Prota, Prosem, SK&KD, KKM, Silabus, RPP Matematika SMA IPS Kelas XI Tahun 2015 Matematika 11 IPS
Pemetaan Standar Isi
Identifikasi SK dan KD
Rancangan Penilaian Kognitif
Kriteria Ketuntasan Minimal
Program Tahunan
Program Semester
Rincian Minggu Efektif
Silabus
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/Semester
: XI (IPS)/2
(2)
PEMETAAN STANDAR ISI
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar
Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi Pokok
Ruang Lingku
p AlokasiWaktu
1.Menentuka n komposisi dua fungsi dan invers suatu fung-si.
1.1. Menentukan kom-posisi fungsi dari dua fungsi. 1.2. Menentukan
in-vers suatu fungsi
- Menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi.
- Menjelaskan nilai komposisi ter-hadap komponen pembentuk-nya.
- Menentukan komponen pem-bentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui. - Menyebutkan sifat-sifat
kompo-sisi fungsi.
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers. - Menentukan aturan fungsi
invers dari suatu fungsi. - Menggambarkan grafik fungsi
invers dari grafik fungsi asalnya.
- Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi kompo-sisi
Komposisi dua fungsi dan invers fungsi
√ 18 x 40’
2.Menggunak an konsep limit fungsi dan turu-nan fungsi dalam pe-mecahan masalah
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar se-derhana di suatu titik
2.2. Menggunakan si-fat limit fungsi un-tuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
- Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingga - Menghitung limit fungsi aljabar
di satu titik dan di tak hingga - Menjelaskan sifat-sifat yang
di-gunakan dalam perhitungan limit
- Menjelaskan arti bentuk tak ten-tu dari limit fungsi
- Menghitung bentuk tak tentu da-ri limit fungsi aljabar dan tri-gonometri
- Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan - Menjelaskan sifat-sifat yang
di-gunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
Limit fungsi √
3. Mengguna-kan konsep limit fungsi dan turu-nan fungsi dalam pe-mecahan masalah.
3.1. Menggunakan si-fat dan aturan tu-runan dalam per-hitungan turunan fungsi aljabar 3.2. Menggunakan
tu-runan untuk me-nentukan karakte-ristik suatu fungsi aljabar dan
- Menentukan turunan fungsi de-ngan rumus f’(x) =
x 0
f x h f x lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn – 1 jika
y = a xn
- Menentukan selang dimana sua-tu fungsi naik atau turun
(3)
Standar
Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi Pokok
Ruang Lingku
p AlokasiWaktu
meme-cahkan masalah
3.3. Merancang model matematika dari masalah yang ber-kaitan dengan ekstrim fungsi al-jabar 3.4. Menyelesaikan
model
Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi al-jabar dan penafsi-rannya
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya
- Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi - Menggunakan turunan dalam
perhitungan kecepatan dan per-cepatan.
- Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masa-lah yang model Matematikanya menentukan ekstrim fungsi
- Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi Matematikanya
- Merumuskan fungsi satu va-riabel yang merupakan model Matematika dari masalah - Menentukan penyelesaian dari
model Matematika
- Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah
……….. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(4)
IDENTIFIKASI SK, KD UNTUK MENETAPKAN
KEGIATAN PEMBELAJARAN (TM, PT, KMTT)
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Materi Pembelajaran Indikator Jenis Kegiatan Pembelajaran TM PT KMTT
1.Menentukan komposisi dua fungsi dan in-vers suatu fungsi
1.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 1.2. Menentukan
invers suatu fungsi.
Komposisi dua fungsi dan in-vers fungsi
- Menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi.
- Menjelaskan nilai komposisi ter-hadap komponen pemben-tuknya. - Menentukan komponen
pembentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui. - Menyebutkan sifat-sifat komposisi
fungsi.
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers. - Menentukan aturan fungsi invers
dari suatu fungsi.
- Menggambarkan grafik fungsi in-vers dari grafik fungsi asalnya. - Menyebutkan sifat fungsi invers
di-kaitkan dengan fungsi komposisi. 2.Menggunaka
n konsep limit fungsi dan tu-runan fungsi dalam peme-cahan masa-lah
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar se-derhana di suatu titik 2.2.
Mengguna-kan sifat li-mit fungsi untuk meng-hitung ben-tuk tak tentu fungsi alja-bar
Limit fungsi - Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingg
- Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga - Menjelaskan sifat-sifat yang
diguna-kan dalam perhitungan limit
- Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi
- Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri - Menghitung limit fungsi yang
mengarah ke konsep turunan - Menjelaskan sifat-sifat yang
digu-nakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
3.Menggunaka n konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemeca-han masalah
3.1. Mengguna-kan sifat dan aturan turun-an dalam perhitungan turunan fungsi alja-bar
Diferensial - Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) =
x 0
f x h f x lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn – 1 jika y =
a xn
- Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun
(5)
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Materi
Pembelajaran Indikator
Jenis Kegiatan Pembelajaran TM PT KMTT
3.2. Mengguna-kan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecah-kan masa 3.3. Merancang
model Mate-matika dari masalah yang berkai-tan dengan ekstrim fungsi alja-bar 3.4.
Menyelesai-kan model Matematika dari masalah yang berkai-tan dengan ekstrim fungsi alja-bar dan pe-nafsirannya
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya - Menentukan titik belok suatu
fungsi
- Menggambar grafik fungsi - Menggunakan turunan dalam
perhi-tungan kecepatan dan percepatan.
- Menggunakan turunan dalam per-hitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya menen-tukan ekstrim fungsi - Menentukan besaran masalah
yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi matematikanya - Merumuskan fungsi satu variabel
yang merupakan model matematika dari masalah
- Menentukan penyelesaian dari mo-del matematika
- Memberikan tafsiran terhadap so-lusi dari masalah
Keterangan:
TM : Tatap Muka
PT : Penugasan Terstruktur
KMTT : Kegiatan Mandiri Tidak Terstruktur
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(6)
RANCANGAN PENILAIAN KOGNITIF
PEMETAAN PENILAIAN BERDASARKAN SK/KD/INDIKATOR
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator UH UTS LUS
1.Menentukan kom-posisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.
1.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi 1.2. Menentukan invers suatu
fungsi.
- Menentukan aturan kom-posisi dari beberapa fung-si.
- Menjelaskan nilai kompo-sisi terhadap komponen pembentuknya.
- Menentukan komponen pembentuk fungsi kompo-sisi bila komponen lainnya diketahui. - Menyebutkan sifat-sifat
komposisi fungsi. - Menjelaskan kondisi agar
suatu fungsi mempunyai invers.
- Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi. - Menggambarkan grafik
fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.
- Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi. 2. Menggunakan
kon-sep limit fungsi dan turunan fungsi da-lam pemecahan masalah
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi al-jabar
- Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingg
- Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam per-hitungan limit - Menjelaskan arti bentuk
tak tentu dari limit fungsi - Menghitung bentuk tak
ten-tu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri - Menghitung limit fungsi
yang mengarah ke konsep turunan
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam per-hitungan bentuk tak tentu limit fungsi
(7)
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator UH UTS LUS
3. Menggunakan kon-sep limit fungsi dan turunan fungsi da-lam pemecahan masalah
3.1. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam per-hitungan turunan fungsi al-jabar
3.2. Menggunakan turunan un-tuk menentukan karakte-ristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masa-lah
3.3. Merancang model mate-matika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar
3.4. Menyelesaikan model ma-tematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
aljabar dan
penafsirannya
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x)=
x 0
f x h f x lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn – 1 jika y = a xn
- Menentukan selang dima-na suatu fungsi dima-naik atau turun
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya
- Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi - Menggunakan turunan da-lam perhitungan
kecepatan dan
percepatan.
- Menggunakan turunan da-lam perhitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model ma-tematikanya menentukan ekstrim fungsi
- Menentukan besaran ma-salah yang dirancang se-bagai variabel dalam eks-presi matematikanya - Merumuskan fungsi satu
variabel yang merupakan model matematika dari masalah
- Menentukan
penyelesaian dari model matematika
- Memberikan tafsiran ter-hadap solusi dari masalah Keterangan:
UH : Ulangan Harian
UTS : Ulangan Tengah Semester LUS : Latihan Ulangan Semester
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(8)
PENETAPAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL
PER KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi:
1. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
No. Kompetensi Dasar dan Indikator
Kriteria Ketuntasan Minimal
Kriteria Penetapan Ketuntasan Nilai KKM (%) Kompleksitas DukungDaya Intake
1.
2
3
1.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi.
1.2. Menentukan invers suatu fungsi.
- Menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi.
- Menjelaskan nilai komposisi terhadap komponen pembentuknya.
- Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui. - Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi. - Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi
mempunyai invers.
- Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.
- Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.
- Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi.
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
- Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingga
- Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit
- Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi
- Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri
- Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
3.1. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar
(9)
3.2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah
3.3. Merancang model Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar 3.4. Menyelesaikan model Matematika dari
masa-lah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi al-jabar dan penafsirannya
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) =
x 0
f x h f x lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n x n – 1 jika y = a xn
- Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya
- Menentukan titik belok suatu fungsi - Menggambar grafik fungsi
- Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan.
- Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model Matematikanya menentukan ekstrim fungsi
- Menentukan besaran masalah yang diran-cang sebagai variabel dalam ekspresi Mate-matikanya
- Merumuskan fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah - Menentukan penyelesaian dari model
Ma-tematika
- Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah
Catatan: Poin kriteria penetapan ketuntasan diisi guru masing-masing sesuai KKM yang akan dicapai di tingkat sekolahnya
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(10)
PENETAPAN KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL
PER STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
No. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Kriteria Ketuntasan Minimal
Kriteria Penetapan Ketuntasan Nilai KKM (%) Kompleksitas Daya Dukung Intake
1.
2.
3.
1. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
1.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
1.2. Menentukan invers suatu fungsi
2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik
2.2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan
fungsi dalam pemecahan masalah
3.1. Menggunakan sifat dan aturan turunan da-lam perhitungan turunan fungsi aljabar 3.2. Menggunakan turunan untuk menentukan
karakteristik suatu fungsi aljabar dan me-mecahkan masalah
3.3. Merancang model Matematika dari masa-lah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar
3.4. Menyelesaikan model Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya
Catatan: Poin kriteria penetapan ketuntasan diisi guru masing-masing sesuai KKM yang akan dicapai di tingkat sekolahnya
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(11)
PROGRAM TAHUNAN
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Semester No. Materi Pokok/Kompetensi Dasar Alokasi Waktu Keterangan
1 1 Statistika
- Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive
- Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya
- Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta menafsirkannya
- Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah
- Menentukan ruang sampel suatu percobaan
- Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
72 JP
Jumlah 72 JP
2 2.
3.
Komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi - Menentukan komposisi fungsi dai dua fungsi - Menentukan invers suatu fungsi
Limit fungsi dan turunan fungsi
- Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik - Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk
tak tentu fungsi aljabar
- Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar
- Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah
- Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar
- Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya
32 JP
32 JP
Jumlah 64 JP
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(12)
PROGRAM SEMESTER
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
No. Materi Pokok dan Kompetensi Dasar
Jml. Jam
Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Ket.
1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4
1. 1. Komposisi Dua Fungsi
dan Invers Fungsi 24JP x x x x x x
P
er
sia
p
an
P
e
ne
rim
aa
n
R
a
po
r
1.1. Menentukan kom-posisi fungsi dari dua fungsi. 1.2. Menentukan
in-vers suatu fungsi
2. Limit Fungsi 16 JP x x x x
2.1. Menghitung limit fungsi aljabar se-derhana di suatu titik
2.2. Menggunakan si-fat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar
3.Diferensial 24 JP x x x x x x
3.1. Menggunakan si-fat dan aturan tu-runan dalam per-hitungan turunan fungsi aljabar 3.2. Menggunakan
tu-runan untuk me-nentukan karakte-ristik suatu fungsi aljabar dan me-mecahkan masa-lah
3.3. Merancang model Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi al-jabar
3.4. Menyelesaikan model Matemati-ka dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya
Jumlah 64 JP
Keterangan:
: Kegiatan Tengah Semester : Ujian Nasional/Sekolah : Ujian Nasional Susulan : Latihan Ulangan Semester 2
: Ulangan Semester 2 : Libur Semester 2
………. Mengetahui
(13)
(14)
RINCIAN MINGGU EFEKTIF
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
I. Jumlah minggu dalam semester 2
No. Bulan Jumlah Minggu
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Januari Februari Maret April Mei Juni Juli
2 5 4 4 5 4 1
Jumlah Total 25
II. Jumlah minggu tidak efektif dalam semester 2
No. Kegiatan Jumlah Minggu
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Kegiatan tengah semester Ujian nasional/sekolah Ujian nasional susulan Latihan ulangan semester 2 Ulangan semester 2 Persiapan penerimaan rapor Libur semester 2
1 1 1 1 1 1 3
Jumlah Total 9
III. Jumlah minggu efektif dalam semester 2
Jumlah minggu dalam semester 2 – jumlah minggu tidak efektif dalam semester 2 = 25 minggu – 9 minggu
= 16 minggu efektif
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(15)
S I L A B U S
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi:
1. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
2. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar Materi Pokok/ Pembelajara n Kegiatan Pembelajaran Indikator Penilai an Waktu Sumbe r Belajar 1.1. Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 1.2. Menentukan
invers suatu fungsi
- Relasi, fungsi, dan aljabar fungsi - Macam-ma-cam fungsi - Sifat-sifat fungsi - Fungsi kom-posisi - Fungsi
in-vers
- Melalui diskusi dapat memahami dan me-nentukan komposisi dari beberapa fungsi - Melalui ceramah dan
diskusi dapat mema-hami nilai fungsi komposisi
- Melalui tanya jawab dan diskusi menen-tukan komponen pembentuk fungsi komposisi
- Melalui penjelasan dapat memahami dan menentukan in-vers suatu fungsi - Melalui penjelasan
dan diskusi dapat menggambar grafik fungsi invers - Melalui inkuiri dan
tanya jawab mema-hami hubungan fung-si invers dan kompo-sisi
- Menentukan aturan komposisi dari bebe-rapa fungsi. - Menjelaskan nilai
komposisi terhadap komponen pemben-tuknya.
- Menentukan kompo-nen pembentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui.
- Menyebutkan sifat-sifat komposisi fung-si.
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers. - Menentukan aturan
fungsi invers dari suatu fungsi. - Menggambarkan
grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.
- Menyebutkan sifat fungsi invers dikait-kan dengan fungsi komposisi. Jenis: -Kuis -Tugas Individ u -Tugas Kelom -pok - Ulang-an Bentuk Instru-men: -Tes Tertuli s PG -Tes Tertuli s Uraian
24 x 40’ Sumber : -Buku Paket -Buku refe-rensi lain -LKS Wajar 2.1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2.2. Menggkunak
an sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
- Pengertian limit - Limit fungsi
aljabar - Limit fungsi
trigonometri - Teorema limit - Kontinuitas dan diskontinuit
- Melalui penjelasan dapat memahami dan menentukan li-mit fungsi
- Melalui penjelasan dan tanya jawab menghitung limit fungsi aljabar dan tri-gonometri
- Melalui tanya jawab dan diskusi
menje-- Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingga - Menghitung limit
fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga - Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan li-mit
- Menjelaskan arti Jenis: -Kuis -Tugas Individ u -Tugas Kelom -pok
16 x 40’ Sumber : -Buku Paket -Buku refe-rensi lain
(16)
-Kompetensi Dasar Materi Pokok/ Pembelajara n Kegiatan Pembelajaran Indikator Penilai an Waktu Sumbe r Belajar
- Menghitung limit fungsi yang menga-rah ke konsep turun-an
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi men: -Tes Tertuli s PG -Tes Tertuli s Uraian 3.1. Menggunaka
n sifat dan atur-an turunan dalam perhi-tungan turun-an fungsi alja-bar 3.2.
Mengguna-kan turunan untuk me-nentukan ka-rakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah 3.3. Merancang
model Mate-matika dari masalah yang berkai-tan dengan ekstrim fungsi aljabar 3.4.
Menyelesai-kan model matematika dari masalah yang berkait-an dengberkait-an ekstrim fung-si aljabar dan penafsiran-nya
- Turunan fungsi alja-bar - Rumus
turu-nan fungsi - Persamaan
garis sing-gung pada kurva - Gradien
ga-ris singgung pada kurva - Fungsi naik
dan fungsi turun - Titik
stasio-ner - Turunan
ke-dua suatu fungsi - Pemakaian
turunan ke-dua -
Menggam-bar grafik fungsi alja-bar - Aturan
L'Hospital
- Melalui penjelasan dapat memahami dan menentukan dan menghitung turunan - Melalui penjelasan
dan tanya jawab menghitung turunan fungsi aljabar dan tri-gonometri
- Melalui tanya jawab dan diskusi men-jelaskan dan meng-hitung turunan fung-si
- Melalui diskusi dan tanya jawab meng-gambar grafik fungsi - Melalui penjelasan
dan tanya jawab me-mahami dan menen-tukan bentuk tak tentu limit fungsi - Melalui penjelasan,
diskusi dan tanya ja-wab menyelesaikan masalah berkaitan dengan limit fungsi dan turunan
- Menentukan turunan
fungsi dengan rumus f’(x) adalah
x 0
f x h f x lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn – 1 jika
y = a xn
- Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun - Menentukan titik
sta-sioner suatu fungsi beserta jenis eks-trimnya
- Menentukan titik be-lok suatu fungsi - Menggambar grafik
fungsi
- Menggunakan turun-an dalam perhitu-ngan kecepatan dan percepatan. - Menggunakan
turu-nan dalam perhi-tungan bentuk tak terntu limit fungsi - Menjelaskan
karak-teristik masalah
yang model
Matematika-nya menentukan ek-strim fungsi
- Menentukan besaran masalah yang diran-cang sebagai varia-bel dalam ekspresi Matematikanya - Merumuskan fungsi
satu variabel yang merupakan model Matematika dari ma-salah
- Menentukan penye-lesaian dari model Matematika - Memberikan tafsiran
terhadap solusi dari masalah Jenis: -Kuis -Tugas Individ u -Tugas Kelom -pok - Ulang-an Bentuk Instru-men: -Tes Tertuli s PG -Tes Tertuli s Uraian
24 x 40’ Sumber : -Buku Paket -Buku refe-rensi lain -LKS Wajar …………..………. Mengetahui
(17)
NIP. NIP.
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Bab 1
Komposisi Dua Fungsi dan Invers Fungsi
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi : - Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Kompetensi Dasar : - Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
- Menentukan dua invers suatu fungsi
Indikator : - Menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi.
- Menjelaskan nilai komposisi terhadap komponen pembentuknya.
- Menentukan komponen pem-bentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui. - Menyebutkan sifat-sifat kompo-sisi fungsi.
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers. - Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi.
- Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. - Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi kom-posisi. Alokasi Waktu : 24 jam pelajaran (6 x pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat: - Menentukan aturan komposisi dari berbagai fungsi
- Menjelaskan nilai komposisi terhadap komponen pembentuknya
- Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui - Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers - Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi
- Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya - Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi Karakter siswa yang diharapkan:
- Siswa dapat disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
B. Materi Pembelajaran
Komposisi Dua Fungsi dan Invers Fungsi
Pertemuan Ke-1 s.d. 4
- Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x
�
A dan y�
B. Ditulis dengan notasi: A x B = {(x,y) I x�
A dan y �B}- Relasi atau hubungan adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya terdiri dari pasangan-pasangan terurut. - Operasi antarsuku banyak ini tidak lain adalah aljabar fungsi suku banyak. Misalkan f(x) dan g(x) adalah
fungsi-fungsi polinom atau suku banyak dan masing-masing daerah asal Df dan Dg, maka operasi-operasi aljabar fungsi-fungsi suku banyak antara lain:
- Penjumlahan
(18)
(f : g)(x) = f(x) : g(x), dengan daerah asal Df : g = Df
�D
g dan g(x)�
0Pertemuan Ke-5 s.d. 8
- Suatu fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x) menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f dan disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f o g)(x) dengan (f o g)(x) = f(g(x)) dan begitu juga sebaliknya untuk fungsi komposisi (g o f)(x) dengan (g o f)(x) = g(f(x)). - Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f o g)(x) = f(g(x)) seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau
“fungsi dari fungsi”.
- Misal jika diketahui f(x) dan g(x) kita dapat mencari nilai (f o g)(x) dan (g o f)(x). jika diketahui f(x) dan (f o g)(x) maka kita bias mencari nilai g(x), dan seterusnya.
- Sifat-sifat komposisi fungsi - Tidak komutatif
(f o g)(x)
�
(g o f)(x) - Asosiatif(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x) - Idenditas
Dalam operasi komposisi fungsi-fungsi terdapat sebuah unsur identitas, yaitu fungsi identitas I(x) = x. fungsi identitas I(x) = x mempunyai sifat (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).
Pertemuan Ke-9 s.d. 12
- Jika fungsi f : A �B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a,b) I a
�
A dan b�
B} maka invers fungsi f adalah f1: B�
A ditentukan oleh f1= {(b,a) I b �B dan a �A}.- Fungsi f1adalah invers dari f, jika dan hanya jika (f1o f)(x) = x = I(x) untuk x �Df, dan (f o f1)(x) = x = I(x)
untuk x
�
Wf- Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x). Ada 2 macam kemungkinan fungsi h(x) yang dapat dibentuk, yaitu: h(x) = (f o g)(x) atau h(x) = (g o f)(x) dengan demikian, invers dari fungsi h(x) adalah h1( )x = (f o g) ( )1x atau h1( )x = (g o f) ( )1x
- Jika h1 merupakan fungsi, maka bentuk-bentuk h1( )x = (f o g) ( )1 x atau h1( )x = (g o f) ( )1x disebut sebagai fungsi invers dari fungsi komposisi. Dengan demikian berlaku:
- (f o g)1 = (g1 o f1)(x) atau (g o f)1 = (f1 o g1)(x). C. Metode Pembelajaran
Diskusi kelompok, tanya jawab, inkuiri, dan penugasan D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan Ke-1 s.d. 4
Pendahuluan
Apersepsi : Siswa diberi penjelasan mengenai relasi, fungsi, dan aljabar fungsi
Motivasi : Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami relasi, fungsi, dan aljabar fungsi
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami relasi, fungsi, dan aljabar fungsi
2. Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik serta antara peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya; secara disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
3. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai relasi, fungsi, dan aljabar fungsi
2. Guru mengajak siswa untuk mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang relasi, fungsi, dan aljabar fungsi pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya
Pertemuan Ke-5 s.d. 8
(19)
Apersepsi : Siswa diberi penjelasan mengenai fungsi komposisi
Motivasi : Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami fungsi komposisi
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami fungsi komposisi 2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai fungsi komposisi Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai fungsi komposisi 2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai fungsi komposisi
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya
Pertemuan Ke-9 s.d. 12
Pendahuluan
Apersepsi : Siswa diberi penjelasan mengenai fungsi invers
Motivasi : Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami fungsi invers
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami fungsi invers 2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai fungsi invers Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai fungsi invers
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang fungsi invers pada buku lks dan buku penunjang lainnya Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya E. Alat dan Bahan
1. Alat :
-2. Sumber belajar : buku paket, buku lain yang relevan, dan LKS Tuntas F. Penilaian
1. Teknik/jenis : kuis dan tugas individu 2. Bentuk instrumen : pertanyaan lisan dan tes tertulis 3. Instrumen/soal :
1. Diketahui fungsi f(x) = 5x + 7 dan g(x) = 1 – x. Tentukan nilai fungsi (f . g)(x), (f : g)(x), (f + g)(x), dan (f - g)(x)! 2. Tentukan nilai (f o g)(4) jika diketahui f(x) = 3x2 + x – 6 dan g(x) = 1 – x!
3. Carilah rumus fungsi g(x) jika diketahui f(x) = 4x – 1 dan (f o g)(x) = 2x2 – x + 3!
4. Tentukan rumus (f o g o h)(x) jika diketahui f(x) = 9 – 2x, g(x) = 7x2 dan h(x) = 10x!
Perhitungan nilai akhir dalam skala 0 – 100 adalah sebagai berikut: Nilai akhir = perolehan skor : skor maksimum (70) x skor ideal (100)
(20)
(21)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Bab 2
Limit Fungsi
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XII (IPS)/2
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : - Menghitung limit fungsi aljabar sederhana disuatu titik
- Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Indikator : - Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingga
- Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan di tak hingga - Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit - Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi
- Menghitung bentuk tak tentu dari limit fungsi aljabar dan trigonometri - Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan
- Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi Alokasi Waktu : 16 jam pelajaran (4 x pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat: - Menentukan aturan komposisi dari berbagai fungsi
- Menjelaskan nilai komposisi terhadap komponen pembentuknya
- Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila komponen lainnya diketahui - Menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi
- Menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers - Menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi
- Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya - Menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi Karakter siswa yang diharapkan:
- Siswa dapat disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
B. Materi Pembelajaran Limit Fungsi
Pertemuan Ke-13 s.d. 16
- Limit suatu fungsi adalah nilai fungsi yang diperoleh melalui pendekatan terhadap suatu batas. Pengertian x alim� f(x) = L dapat diartikan bahwa jika x mendekati a (tetapi x
�
a), maka f(x) mendekati nilai L.- Teorema: x alim� f(x) = L jika dan hanya jika x a�limf(x) = x alim�f(x) = L dan x alim� f(x) = L jika dan hanya jika untuk
tiap bilangan positif
didapat bilangan positif
demikian sehingga jika x memenuhi 0 < Ix – aI <
maka If(x) – LI <
- Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar yang berbentuk x alim� f(x) dengan metode subsitusi
langsung, Secara umum, pengertian limit fungsi yang mempunyai bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan menggunakan metode penfaktoran
- Dalam menentukan limit fungsi aljabar jika x
� �
dengan menggunakan cara-cara tertentu, yaitu: membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan faktor lawan(22)
- Nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya. Jika f(x) = x, maka x a lim
� f(x) = a
(untuk setiap a bilangan real)
- Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi
x a
lim
� {f(x) + g(x)} = x a lim
� f(x) + x a lim
� g(x)
- Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi
xlim�a {f(x) – g(x)} = xlim�a f(x) - xlim�a g(x)
- Limit hasil kali konstanta dengan fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu. Jika k suatu konstanta, maka x a
lim
� k . f(x) = k xlim�a f(x)
- Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi x a lim
� {f(x) . g(x)} = { x a lim
� f(x)} .
{ x a lim
� g(x)}
- Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tidak
boleh sama dengan nol x a
f(x) lim
g(x) � =
x a x a
lim f(x) lim g(x)
�
�
- Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu x a lim
� { f(x)}n = { lim f(x)}x�a n
- Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu, dengan catatan limit fungsi tersebut tidak negative untuk n genap x a
lim
� nf(x) = nxlim f(x)�a , dengan catatan xlim�af(x) � 0 untuk n genap
- Rumus identitas limit fungsi trigonometri adalah x 0 sin x lim
x
� = x 0
x lim
sin x
� = 1 dan x 0 tan x lim
x
� = x 0
x lim
tan x � = 1
- Kontinuitas suatu fungsi pada sebuah titik menggambarkan hubungan antara nilai limit fungsi dengan nilai fungsi di titik itu. Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam suatu interval yang memuat x = a.
C. Metode Pembelajaran
Diskusi kelompok, tanya jawab, inkuiri, dan penugasan D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan Ke-13 s.d. 16
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai limit fungsi aljabar Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami limit fungsi aljabar
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami limit fungsi aljabar
2. Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik serta antara peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya; secara disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
3. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai limit fungsi aljabar
2. Guru mengajak siswa untuk mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang limit fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
(23)
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya
Pertemuan Ke17 s.d. 20
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai teorema limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas 2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan
diskontinuitas Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya E. Alat dan Bahan
1. Alat :
-2. Sumber belajar : buku paket, buku lain yang relevan, dan LKS Tuntas F. Penilaian
1. Teknik/jenis : kuis dan tugas individu 2. Bentuk instrumen : pertanyaan lisan dan tes tertulis 3. Instrumen/soal :
1. Tentukan nilai
3 2
lim 2 3
�
x x x!
2. Tentukan nilai
3 3
10 14
lim
2 19
� �
x
x x
x x !
3. Tentukan nilai limit fungsi dari
2 3
lim 2
� �
x
x x
x !
4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri dari 0 3
sin 5 sin 5 . cos
lim
4 �
x
x x x
x !
5. Tentukan hasil dari 0
( ) ( )
lim �
h
f x h f x
h untuk fungsi f(x) = 9x2 – 6x + 1!
Perhitungan nilai akhir dalam skala 0 – 100 adalah sebagai berikut: Nilai akhir = perolehan skor : skor maksimum (70) x skor ideal (100)
Untuk siswa yang tidak memenuhi syarat penilaian KKM maka diadakan Remidi.
………. Mengetahui
(24)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Bab 3
Diferensial
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : - Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar
- Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah
- Merancang model Matematika dari masalah yang berkiatan dengan ekstrim fungsi aljabar - Menyelesaikan model Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
aljabar dan penafsiran
Indikator : - Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) =
x 0
f x h f x lim
h �
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn - 1 jika y = a xn
- Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun - Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya - Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi
- Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan. - Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya menentukan ekstrim fungsi - Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi
Matematikanya
- Merumuskan fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah - Menentukan penyelesaian dari model matematika
- Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah Alokasi Waktu : 24 jam pelajaran (6 x pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat: - Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) = h 0
f(x h) f(x) lim
h
�
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn 1 jika y = a xn - Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi berserta jenis ekstrimnya - Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi
- Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan - Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model Matematikanya menentukan ekstrim fungsi - Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi Matematikanya - Merumuskan fungsi satu variabel yang merupakan model Matematika dari masalah
- Menentukan penyelesaian dari model Matematika - Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah Karakter siswa yang diharapkan:
- Siswa dapat disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
(25)
B. Materi Pembelajaran Diferensial
Pertemuan Ke-21 s.d. 24
- Misalkan diketahui fungsi y = f(x) terdefinisi untuk setiap nilai x di sekitar x = a. jika h 0
f(a h) f(a) lim
h
�
ada, maka bentuk limit h 0
f(a h) f(a) lim
h
�
dinamakan turunan dari fungsi f(x) pada x = a.
- Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol. Dengan demikian kecepatan sesaat
ditentukan dengan konsep limit sebagai: - Vsesaat pada t1 = h 0
lim
� V
rata-rata =
1 1
h 0
f(t h) f(t ) lim
h
�
- Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam interval x1� x � x2 ditentukan oleh:
-y x
V V =
2 1
2 1
f(x ) f(x ) x x
- Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdefinisi dalam daerah asal Df = {x I x
�
R}, turunan fungsi f(x) terhadap xditentukan oleh f’(a) = h 0
f(x h) f(x) lim
h
�
dengan catatan bila nilai limit itu ada. Bentuk notasi turunan fungsi y = f(x), yaitu: y’ atau f’(x) atau
dy dx atau
df dx . - Jika f(x) = k (k konstanta real), maka f’(x) = 0
- Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f’(x) = 1
- Jika f(x) = a xn (dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif), maka f’(x) = anxn – 1
- Jika f(x) = k u(x), (k konstanta real dan u(x) fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x)), maka f’(x) = k u’(x) - Jika f(x) = u(x)
�
v(x) dengan u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), makaf’(x) = u’(x)
�
v’(x)- Jika f(x) = u(x) . v(x) dengan u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), maka f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
- Jika f(x) =
u(x)
v(x) dengan u(x)
�
0 serta u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x),maka f’(x) = 2
u'(x) . v(x) u(x) . v '(x) {v(x)}
- Jika f(x) = {u(x)}n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka
f’(x) = n{u(x)}n – 1 . u’(x)
- Misalkan fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada x = a. turunan fungsi f(x) pada x = a atau f’(a) ditafsirkan secara geometri sebagai gradient garis singgung kurva di titik (a, f(a)). Jika titik P(a,f(a)) terletak pada kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) yang melalui titik P(a,f(a)) dirumuskan y – f(a) = m(x - a) dengan m = f’(a)
Pertemuan Ke-25 s.d. 28
- fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 < x2 maka
berlaku hubungan f(x1) < f(x2), ditulis: x1 < x2
�
f(x1) < f(x2)- fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 > x2 maka
berlaku hubungan f(x1) > f(x2), ditulis: x1 > x2
�
f(x1) > f(x2)- Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a dengan f’(a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a. - Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam daerah asal Df , jika interval tertutup a
�
x�
b berada pada Df maka fungsif(x) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
Pertemuan Ke-29 s.d. 32
- Turunan kedua dari fungsi y = f(x) dinotasikan y’’ = f’’(x) = 2
2 d f
dx (turunan dari turunan pertama fungsi y = f(x)) - Jika pada titik (a,f(a)) terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi y = f(x) (dari cekung ke bawah menjadi cekung
ke atas atau sebaliknya), maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y = f(x).
(26)
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai turunan fungsi aljabar Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami turunan fungsi aljabar
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami turunan fungsi aljabar
2. Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik serta antara peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya; secara disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
3. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai turunan fungsi aljabar
2. Guru mengajak siswa untuk mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang turunan fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya
Pertemuan Ke-25 s.d. 28
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya
Pertemuan Ke-29 s.d. 32
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
(27)
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya E. Alat dan Bahan
1. Alat :
-2. Sumber belajar : buku paket, buku lain yang relevan, dan LKS Tuntas F. Penilaian
1. Teknik/jenis : kuis dan tugas individu 2. Bentuk instrumen : pertanyaan lisan dan tes tertulis 3. Instrumen/soal :
1. Tentukan turunan pertama dan ketiga dari fungsi g(x) = (x + 4)3!
2. Tentukan nilai stasioner dan koordinat titik stasioner untuk fungsi y = 15x2 – 3x + 6!
3. Selidiki apakah fungsi g(x) = 4x2 – 2x +6 pada interval manakah fungsi tersebut naik atau turun!
4. Tentukan titik belok untuk fungsi y = f(x) = x3 + x2 – 4x + 4!
5. Gambarlah sketsa kurva untuk y = f(x) = x3 – 3x + 1!
Perhitungan nilai akhir dalam skala 0 – 100 adalah sebagai berikut: Nilai akhir = perolehan skor : skor maksimum (70) x skor ideal (100)
Untuk siswa yang tidak memenuhi syarat penilaian KKM maka diadakan Remidi.
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(1)
- Nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya. Jika f(x) = x, maka x a lim
� f(x) = a (untuk setiap a bilangan real)
- Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi
x a lim
� {f(x) + g(x)} = x a lim
� f(x) + x a lim
� g(x)
- Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi
xlim�a {f(x) – g(x)} = xlim�a f(x) - xlim�a g(x)
- Limit hasil kali konstanta dengan fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu. Jika k suatu konstanta, maka x a
lim
� k . f(x) = k xlim�a f(x)
- Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi x a lim
� {f(x) . g(x)} = { x a lim
� f(x)} .
{ x a lim
� g(x)}
- Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tidak
boleh sama dengan nol x a f(x) lim
g(x)
� =
x a x a
lim f(x) lim g(x)
� �
- Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu x a lim
� { f(x)}n = { lim f(x)}x�a n
- Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu, dengan catatan limit fungsi tersebut tidak negative untuk n genap x a
lim
� nf(x) = nxlim f(x)�a , dengan catatan xlim�af(x) � 0 untuk n genap
- Rumus identitas limit fungsi trigonometri adalah x 0 sin x lim
x
� = x 0
x lim
sin x
� = 1 dan x 0
tan x lim
x
� = x 0
x lim
tan x
� = 1
- Kontinuitas suatu fungsi pada sebuah titik menggambarkan hubungan antara nilai limit fungsi dengan nilai fungsi di titik itu. Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam suatu interval yang memuat x = a.
C. Metode Pembelajaran
Diskusi kelompok, tanya jawab, inkuiri, dan penugasan D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan Ke-13 s.d. 16 Pendahuluan
Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai limit fungsi aljabar Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami limit fungsi aljabar
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami limit fungsi aljabar
2. Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik serta antara peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya; secara disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
3. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai limit fungsi aljabar
2. Guru mengajak siswa untuk mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang limit fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
(2)
Pertemuan Ke17 s.d. 20 Pendahuluan
Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai teorema limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas 2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan
diskontinuitas Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai limit, limit fungsi trigonometri, kontinuitas, dan diskontinuitas pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya E. Alat dan Bahan
1. Alat :
-2. Sumber belajar : buku paket, buku lain yang relevan, dan LKS Tuntas F. Penilaian
1. Teknik/jenis : kuis dan tugas individu 2. Bentuk instrumen : pertanyaan lisan dan tes tertulis 3. Instrumen/soal :
1. Tentukan nilai
3 2
lim 2 3
�
x x x!
2. Tentukan nilai
3 3
10 14
lim
2 19 � �
x
x x
x x !
3. Tentukan nilai limit fungsi dari
2 3 lim
2 � �
x
x x
x !
4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri dari 0 3
sin 5 sin 5 . cos lim
4 �
x
x x x
x !
5. Tentukan hasil dari 0
( ) ( )
lim �
h
f x h f x
h untuk fungsi f(x) = 9x2 – 6x + 1!
Perhitungan nilai akhir dalam skala 0 – 100 adalah sebagai berikut: Nilai akhir = perolehan skor : skor maksimum (70) x skor ideal (100)
Untuk siswa yang tidak memenuhi syarat penilaian KKM maka diadakan Remidi.
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran
(3)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Bab 3
Diferensial
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI (IPS)/2
Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : - Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar
- Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah
- Merancang model Matematika dari masalah yang berkiatan dengan ekstrim fungsi aljabar - Menyelesaikan model Matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
aljabar dan penafsiran
Indikator : - Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) =
x 0f x h f x lim
h �
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn - 1 jika y = a xn - Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya - Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi
- Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan. - Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak terntu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya menentukan ekstrim fungsi - Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi
Matematikanya
- Merumuskan fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah - Menentukan penyelesaian dari model matematika
- Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah Alokasi Waktu : 24 jam pelajaran (6 x pertemuan)
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan dapat: - Menentukan turunan fungsi dengan rumus f’(x) = h 0
f(x h) f(x) lim
h �
- Menentukan turunan fungsi dengan rumus y’ = a n xn 1 jika y = a xn - Menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun
- Menentukan titik stasioner suatu fungsi berserta jenis ekstrimnya - Menentukan titik belok suatu fungsi
- Menggambar grafik fungsi
- Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan - Menggunakan turunan dalam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi
- Menjelaskan karakteristik masalah yang model Matematikanya menentukan ekstrim fungsi - Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel dalam ekspresi Matematikanya - Merumuskan fungsi satu variabel yang merupakan model Matematika dari masalah
- Menentukan penyelesaian dari model Matematika - Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah
Karakter siswa yang diharapkan:
- Siswa dapat disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
(4)
- Misalkan diketahui fungsi y = f(x) terdefinisi untuk setiap nilai x di sekitar x = a. jika h 0
f(a h) f(a) lim
h �
ada, maka bentuk limit h 0
f(a h) f(a) lim
h �
dinamakan turunan dari fungsi f(x) pada x = a.
- Kecepatan sesaat pada waktu t = t1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol. Dengan demikian kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai:
- Vsesaat pada t1 = h 0 lim
� V
rata-rata =
1 1
h 0
f(t h) f(t ) lim
h �
- Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam interval x1� x � x2 ditentukan oleh:
-y x
V
V =
2 1
2 1 f(x ) f(x )
x x
- Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdefinisi dalam daerah asal Df = {x I x
�
R}, turunan fungsi f(x) terhadap x ditentukan oleh f’(a) = h 0f(x h) f(x) lim
h �
dengan catatan bila nilai limit itu ada. Bentuk notasi turunan fungsi y = f(x), yaitu: y’ atau f’(x) atau
dy dx atau
df dx . - Jika f(x) = k (k konstanta real), maka f’(x) = 0
- Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x, maka f’(x) = 1
- Jika f(x) = a xn (dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif), maka f’(x) = anxn – 1
- Jika f(x) = k u(x), (k konstanta real dan u(x) fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x)), maka f’(x) = k u’(x) - Jika f(x) = u(x)
�
v(x) dengan u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), makaf’(x) = u’(x)
�
v’(x)- Jika f(x) = u(x) . v(x) dengan u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x), maka f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
- Jika f(x) = u(x)
v(x) dengan u(x)
�
0 serta u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u’(x) dan v’(x),maka f’(x) = 2
u'(x) . v(x) u(x) . v '(x) {v(x)}
- Jika f(x) = {u(x)}n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka f’(x) = n{u(x)}n – 1 . u’(x)
- Misalkan fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada x = a. turunan fungsi f(x) pada x = a atau f’(a) ditafsirkan secara geometri sebagai gradient garis singgung kurva di titik (a, f(a)). Jika titik P(a,f(a)) terletak pada kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) yang melalui titik P(a,f(a)) dirumuskan y – f(a) = m(x - a) dengan m = f’(a)
Pertemuan Ke-25 s.d. 28
- fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 < x2 maka berlaku hubungan f(x1) < f(x2), ditulis: x1 < x2
�
f(x1) < f(x2)- fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I jika untuk setiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 > x2 maka berlaku hubungan f(x1) > f(x2), ditulis: x1 > x2
�
f(x1) > f(x2)- Jika fungsi y = f(x) diferensiabel di x = a dengan f’(a) = 0, maka f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a. - Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam daerah asal Df , jika interval tertutup a
�
x�
b berada pada Df maka fungsif(x) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. Pertemuan Ke-29 s.d. 32
- Turunan kedua dari fungsi y = f(x) dinotasikan y’’ = f’’(x) = 2
2 d f
dx (turunan dari turunan pertama fungsi y = f(x)) - Jika pada titik (a,f(a)) terjadi perubahan kecekungan grafik fungsi y = f(x) (dari cekung ke bawah menjadi cekung
ke atas atau sebaliknya), maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y = f(x).
- Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x = a atau f’’(a) ada dan (a,f(a)) adalah titik belok grafik fungsi y = f(x), maka f’’(x) = 0
C. Metode Pembelajaran
Diskusi kelompok, tanya jawab, inkuiri, dan penugasan D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran
(5)
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai turunan fungsi aljabar Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami turunan fungsi aljabar
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami turunan fungsi aljabar
2. Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik serta antara peserta didik dengan guru, lingkungan, dan sumber belajar lainnya; secara disiplin (discipline), rasa hormat dan perhatian (respect), tekun (diligence), dan tanggung jawab (responsibility)
3. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menjelaskan mengenai turunan fungsi aljabar
2. Guru mengajak siswa untuk mengerjakan tugas latihan soal-soal tentang turunan fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya Pertemuan Ke-25 s.d. 28
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
Kegiatan Inti Eksplorasi:
1. Dengan informasi dari guru, siswa diajak memahami fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai fungsi naik, fungsi turun, titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya Pertemuan Ke-29 s.d. 32
Pendahuluan Apersepsi:
Siswa diberi penjelasan mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
Motivasi:
Memotivasi akan pentingnya menguasai materi ini dengan baik, untuk membantu siswa dalam memahami turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
(6)
menggambar grafik fungsi aljabar
2. Dengan metode inkuiri, melalui contoh soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
Elaborasi:
1. Dengan berdiskusi siswa diajak memahami dan menyelesaikan contoh soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar
2. Siswa mengerjakan tugas latihan soal-soal mengenai turunan kedua suatu fungsi, kecekungan fungsi, dan menggambar grafik fungsi aljabar pada buku LKS dan buku penunjang lainnya
Konfirmasi:
1. Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa
2. Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan, dan penyimpulan
Penutup
1. Dengan bimbingan guru siswa diminta untuk membuat rangkuman materi 2. Siswa dan guru melakukan refleksi
3. Guru memberikan tugas rumah (PR)
4. Guru merencanakan kegiatan tindak lanjut dalam bentuk pembelajaran remidi, program pengayaan, layanan konseling dan/atau memberikan tugas baik tugas individual maupun kelompok sesuai dengan hasil belajar peserta didik
5. Guru menyampaikan rencana pembelajaran pada pertemuan berikutnya E. Alat dan Bahan
1. Alat :
-2. Sumber belajar : buku paket, buku lain yang relevan, dan LKS Tuntas F. Penilaian
1. Teknik/jenis : kuis dan tugas individu 2. Bentuk instrumen : pertanyaan lisan dan tes tertulis 3. Instrumen/soal :
1. Tentukan turunan pertama dan ketiga dari fungsi g(x) = (x + 4)3!
2. Tentukan nilai stasioner dan koordinat titik stasioner untuk fungsi y = 15x2 – 3x + 6!
3. Selidiki apakah fungsi g(x) = 4x2 – 2x +6 pada interval manakah fungsi tersebut naik atau turun! 4. Tentukan titik belok untuk fungsi y = f(x) = x3 + x2 – 4x + 4!
5. Gambarlah sketsa kurva untuk y = f(x) = x3 – 3x + 1!
Perhitungan nilai akhir dalam skala 0 – 100 adalah sebagai berikut: Nilai akhir = perolehan skor : skor maksimum (70) x skor ideal (100)
Untuk siswa yang tidak memenuhi syarat penilaian KKM maka diadakan Remidi.
………. Mengetahui
Kepala Sekolah Guru Mata Pelajaran