PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA
PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika berbasis ICT
Dosen Pengampu Dr. Dwijanto, M.S.
Oleh:
Purwanti Wahyuningsih (0401514014)
Franky Martion ( 0401514030 )
Rombel B1
PROGRAM PASCA SARJANA
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2015
PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE
GEOGEBRA
Software Geogebra merupakan salah satu software yang bisa dimanfaatkan
untuk pembelajaran Matematika, diantaranya geometri dan aljabar. Software ini
dapat diunduh secara gratis melalui situs www.geogebra.org. Berikut ini disajikan
materi Irisan dua lingkaran dan integral, yang merupakan salah satu materi yang
membutuhkan keterampilan siswa dalam menggambar dan menganalisis sebuah
permasalahan. Di zaman yang serba canggih sekarang ini yang dibutuhkan adalah
efisiensi waktu, kemudahan dan kecepatan. Untuk mempermudah siswa dalam
memahami materi irisan dua lingkaran dan integral, kita bisa memanfaatkan
software geogebra.
A. MATERI IRISAN DUA LINGKARAN
Materi Irisan dua lingkaran meliputi kedudukan dua lingkaran dan persamaan
garis singgung diantara kedua lingkaran. Berikut ini yang akan disajikan adalah materi
mengenai Kedudukan dua Lingkaran.
1. Dua lingkaran saling pisah / lepas.
Langkah 1. Ketikkan pada input, A=(2,2) akan muncul titik A pada koordinat (2,2)
Langkah 2. Klik icon Circle with center and radius
yaitu kita memilih untuk
menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu. Klik pada titik
A kemudian muncul kotak untuk mengisikan radiusnya.
Ketik 2 karena kita akan menggambar lingkaran dengan jari-jari 2 satuan.
Kemudian klik Ok. Akan muncul gambar lingkaran seperti berikut:
2|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Langkah 3. Dengan cara yang sama, buat sebuah lingkaran lagi dengan Pusat
B(10,2) dan jari-jari 3, akan muncul gambar dua lingkaran yang saling terpisah.
Untuk menanamkan konsep dua lingkaran yang saling pisah, siswa diarahkan
untuk mengamati gambar dua lingkaran tersebut, kemudian mencari hubungan
antara jari-jari kedua lingkaran tersebut dengan jarak kedua pusatnya. Disitu
terlihat bahwa jarak AB lebih besar dari pada jumlah kedua jari-jarinya.
3|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Kedua lingkaran dikatakan saling lepas jika
.
2. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar
Dengan cara yang sama seperti pada nomor 1, silahkan gambar kedua lingkaran
seperti gambar berikut:
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan diluar jika
3. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar
Dengan cara yang sama, silahkan gambar kedua lingkaran seperti gambar
berikut:
4|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika
4. Dua Lingkaran saling berpotongan
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika |
5. Lingkaran di dalam Lingkaran
5|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
|
|
|
Sebuah lingkaran berada didalam lingkaran yang lain jika
B. MATERI INTEGRAL
|
|
Fungsi pre-definisi sudah ditanam dalam GeoGebra dan untuk menggunakan fungsi
tersebut kita tinggal memanggil dengan menggunakan format nama fungsi disertai
parameter yang diperlukan. Sebagai contoh, kita akan mencoba memanfaatkan
beberapa fungsi untuk menghitung integral maupun menentukan pendekatan
dengan penjumlahan Riemann. Misalkan kita mendefinisikan sebuah fungsi
bernama f maka kita dapat menentukan integral dengan terlebih dahulu
menentukan a sebagai batas bawah dan b adalah batas atas. Setelah itu panggil
fungsi Integral dengan sintaks berikut:
Integral[f] untuk integral tak tentu, dan
Integral[f,a,b] untuk integral tertentu
Untuk contoh lebih jelas masukkan rangkaian statemen berikut ke dalam Input Bar
Geogebra.
f(x)=6x-x^2
Integral[f]
a=0 (a adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas bawah)
b=3 (b adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas atas)
Integral[f,a,b]
Akan muncul tampilan grafik berikut:
6|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Untuk menentukan nilai batas atas dan batas bawah yang dinamis, tampilkan variabel a
dan b sebagai slider dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel yang
bersangkutan.
Ubahlah nilai a dan b dengan menggerakkan slider dan amati perubahannya.
Masih melanjutkan pada fungsi dan variabel yang sama, sekarang tambahkan sebuah
variabel bernama n dan tentukan nilainya 10. Variabel ini akan kia gunakan sebagai
nilai selang/interval. Langkah selanutnya kemudian panggil beberapa fungsi untuk
menghitung upper sum, lower sum dan trapezoidal sum. Masukkan beberapa sintaks
berikut.
n=10
LowerSum[f,a,b,n]
7|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
UpperSum[f,a,b,n]
TrapezoidalSum[f,a,b,n]
Pada grafik akan nampak tampilan masing-masing pendekatan. Kita dapat
menampilkan atau menyembunyikan masing-masing pendekatan dengan mengeset
visible atau hidden dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel. Dengan cara
yang sama, tampilkan slider n sehingga selang dapat diatur secara dinamis. Aturlah
supaya nilai maksimum n menjadi lebih besar, misalnya 100. Tampilannya akan terlihat
seperti berikut.
Pada contoh di atas, kita menghitung nilai integral pada daerah antara kurva dan sumbu
x. Sebagai tambahan, untuk menentukan luas di antara dua buah kurva GeoGebra sudah
menyediakan fungsi yaitu IntegralBetween. Sebagai contoh jika kita memiliki dua fungsi
f dan g serta batas bawah a dan batas atas b, sintaks untuk menghitung luas antara
kurva fungsi f dan g adalah
IntegralBetween[f,g,a,b]
Tampilannya akan kurang lebih seperti berikut:
8|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Referensi:
Panduan Diklat Online p4tkmatematika.org.
9|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
MENGENAL GEOGEBRA UNTUK KALKULUS
Tujuan
Pembaca mengenal berbagai fasilitas yang disediakan geogebra untuk
menyelesaikan peroalan-persoalan berkaitan dengan Kalkulus, khususnya Kalkulus
Integral.
Dasar Teori
Perkembangan teknologi sangat membantu dalam memahami berbagai konsep
dalam matematika dan juga membantu dalam menyelesaikan beberapa persoalan
yang sulit diselesaikan secara aljabar.
Geogebra dengan fasilitas yang dimilikinya sangat membantu. Fasilitas
penggambaran grafik, penentuan nilai maksimum, nilai minimum, nilai limit, nilai
turunan dan turunan fungsi dapat di tentukan. Pendekatan polygon untuk
menghitung luas daerah di bawah kurva, jumlah Riemann dan integral tentu dengan
mudah dicari melalui geogebra.
Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open source sehingga sangat
mudah mencarinya. Untuk lebih memahami kegunaan geogebra, kita akan lihat
berbagai fasilitas yang disediakan.
Langkah-langkah
1. Buka geogebra, sehingga akan tampil menu berikut;
Tool yang disediakan
Untuk mengisi perintah
Untuk melihat fasilitas yang
disediakan
10 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Klik tanda,
akan tampil fasilitas-fasilitas yang disediakan, lihat gambar dibawah.
Jenis-jenis fungsi yang disediakan
otomatis oleh geogebra.
3. Selanjutnya klik, functions & calculus.
Fasilitas yang berkaitan
dengan kalkulus
4. Ambil sembarang fasilitas, misalkan, function, klik akan tampak dilayar
Fasilitas yang berkaitan
dengan integral
5. Atau kita bisa mengetik “integral” pada bagian “input” pojok kiri bawah, maka akan
muncul berikut
11 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Tujuan
Pembaca trampil menggambar grafik fungsi polinom, rasional dan trigonometri
dengan menggunakan Geogebra
Dasar Teori
Fungsi merupakan kajian utama dalam Kalkulus. Konsep- konsep tentang
antiturunan, polygon dalam dan luar, jumlah Riemann dan integral tentu banyak
melibatkan tentang fungsi. Fungsi polinom memiliki peran yang penting karena
didalamnya memuat fungsi linier, kuadrat dan fungsi lainnya. Secara umum fungsi
polinom memiliki bentuk ( )
Dengan
dinamakan fungsi linier,
dinamakan fungsi kuadrat, dan
seterusnya. Sedangkan fungsi rasional memiliki bentuk umum
masing-masingnya adalah fungsi polinom.
( )
( )
dimana
Fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang memuat sinus, cosinus, tangent,
cosecant, secan dan gabungannya. Fungsi ini memiliki domain berupa derajat atau
diperumum dalam bilangan real.
Langkah-langkah
1. Bukalah software Geogebra
2. Klik tanda atau ketik “function” tekan enter
3. Tuliskan persamaan fungsi yang akan kita buat grafiknya pada bagian sudut kiri
]
bawah, misalkan,
, pada [
12 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
4. Tekan enter, akan diperoleh
5. Untuk menampilkan persamaan
dalam grafiknya dapat dilakukan
dengan mengklik kanan fungsi
6. Klik
object
properties
7. Beri centang pada “show label” pilih “name & value”, sehingga akan muncul
8. Contoh menggambar fungsi
seperti di bawah ini
(
), masukkan fungsi yang akan dibuat,
Tekan “enter” akan muncul
13 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
9. Menggambar fungsi ( )
√
, masukkan fungsi
Tekan “enter” akan muncul
Latihan
Gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut;
1.
2.
( )
( )
(
)
14 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
POLIGON DALAM DAN POLIGON LUAR
Tujuan
Pembaca trampil dalam membentuk grafik fungsi polygon dalam dan polygon luar
dari grafik
Dasar Teori
Polygon dalam merupakan sebuah pendekatan dalam menentukan luas daerah
dibawah kurva. Potongan-potongan berbentuk segiempat dilakukan pada daerah
yang akan dihitung luasnya. Potongan ini diberikan seperti gambar (1) berikut;
Gambar 1
Gambar 2
(
Dengan membuat partisi pada selang [a,b] akan diperoleh,
)
)
(
dan luas totalnya
sehingga luas ke-I untuk polygon dalam adalah
∑
( ) . Dengan cara yang sama akan diperoleh polygon luar yaitu
adalah
∑
( ) .
Tentu saja semakin banyak potongan yang dibuat atau n semakin besar akan
semakin mendekati luas dari daerah yang akan dhitung. Pada polygon dalam hasil
yang didapatkan akan lebih kecil dari luas yang sebenarnya. Sedangkan pada
polygon luar hasilnya akan lebih besar dari luas yang sebenarnya.
Pertanyaan awal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
dengan
apabila
a) Menggunakan polygon dalam
b) Menggunakan polygon luar
pada interval [
] apabila
Langkah-langkah
Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh
pada [
]
a) Buatlah grafik fungsi, missal
, dengan nilai awal yang kurang dari
batas kiri selang dan nilai akhir lebih dari batas akhir selang
15 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
b) Ketik
lower
pada
kiri
bawah,
akan
muncul
tulisan
berwarna
biru,
c) Tekan enter akan muncul
d) Masukkan fungsi, batas awal selang, batas akhir selang, banyaknya polygon
atau nilai n
e) Tekan enter, akan muncul
f) Lihat sebelah kiri atas, muncul a = 3.7 (inilah luas yg dimaksud)
Untuk mencari dengan polygon luar, lakukan dengan langkah yang sama,
pada saat langkah ke-3. Ganti menjadi uppersum sehingga muncul
Lanjutnya langkahnya sampai ke-6, akan diperoleh
Muncul b = 5.7 merupakan luas polygon luar yang dimaksud. Bagaimana bila n
nya kita ganti-ganti. Geogebra menyediakan slider untuk membuat ini.
Langkah-langkahnya adalah sebagai
Berikut
16 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
1) Pilih tombol
sorot “slider”
, klik,
Enter akan muncul gambar
berikut
2) Pada “nama, isi dengan n, beri tanda pada “integer”, minimum
missal 4 maksimum 100, increment 5
3) Klik apply akan tampil
17 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
4) Klik kanan pada a (sebelah kiri) klik „object properties”
5) Pilih “basic”, ganti 6 dengan n dan “close”
6) Klik kanan pada slider, pilih animation
7) Amati pada perubahan n, nilai a dan grafiknya
Lakukan hal yang sama untuk polygon luar
Latihan
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
apabila menggunakan
a) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240
b) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240
18 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
pad selang [
]
INTEGRAL TAKTENTU DAN TENTU
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan integral taktentu dan
tentu
Dasar Teori
Integral taktentu merupakan sebuah operasi yang bersifat linier. Integral taktentu
juga dikatakan sebagai antiturunan. Sebagai antiturunan, maka integral taktentu
merupakan sebuah operasi invers dari turunan. Kalau turunan diilhami oleh
gradient kurva di suatu titik tertentu, maka antiturunan diilhami sebagai pencarian
fungsi. Akan tetapi, integral tentu diilhami dengan luas daerah pada bidang rata.
Integral taktentu dinyatakan dalam bentuk umum ∫ ( )
( )
( ).
Sedangkan integral tentu dinyatakan dalam bentuk ∫
( )
( )
( )
dimana
( )
Geogebra menyediakan juga bisa menentukan integral taktentu dan tentu. dalam
menentukan integral taktentu juga ditampilkan gafik dari fungsi yang dihasilkan,
meskipun tidak ditampilkan langkah-langkahnya. Sangat sederhana langkah yang
ditempuh, karena sudah tersedia menu, function and calculus. Demikian pula dalam
integral tentu.
Langkah-Langkah
Menentukan integral taktentu
1. Buka geogebra, arahkan mouse pada tanda t pada pojok kanan bawah, klik akan
tampil
19 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Pilih menu function and calculus, akan muncul berbagai pilihan, sementara pilih
integral
3. klik paste, sehingga di pojok kiri bawah muncul
4. Masukkan fungsi, misalkan
5. Selanjutnya,
tekan enter, akan tampak seperti berikut
6. Akan diperoleh fungsi dan grafiknya, yakni ( )
(
)
20 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menentukan integral tentu
1. Ulangi langkah 1 dan 2
2. Ketik integral, pilih integral bagian dua, lihat gambar berikut
Klik, Sehingga tampil
3. Masukkan fungsi, batas bawah dan batas atas, misalkan berikut
4. Tekan enter, akan didapatkan hasil berikut
Nilai c = 2, pada pojok kanan merupakan hasil integrasi, sedangkan
gambar menunjukkan daerah yang diintegralkan.
Latihan
1) Carilah
(a) ∫
(b)
(a) ∫
(b) ∫
2) Hitunglah
(
)
21 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
LUAS DAERAH BIDANG RATA
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan luas daerah pada
bidang rata
Dasar Teori
Integral tentu yang didefinisikan dari jumlah Riemann tampaknya mudah diterima
apabila penggunaan integral untuk mencari luas daerah.
( )
Luas daerah yang berada di atas sumbu-x dan dibatasi oleh,
dan sumbu-x dapat dihitung dengan rumus ( )
Luas daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva
sumbu-x dapat dihitung dengan rumus
( )
( )
∫ [ ( )
∫ [ ( )
Langkah-langkah
( )]
( )]
untuk ( )
untuk ( )
∫
( )
( ) dan
( )
dan
( ) pada [a,b]
( ) pada [a,b]
Menentukan luas daerah diatas sumbu-x
1. Masukkan fungsi, misalkan ( )
sumbu-x
, lihat grafik yang berada di atas
22 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Tentukan batasnya, missal [0,1]
3. Hitung luas dengan menggunakan lowersum, uppersum atau rectanglesum,
missal rectanglesum, seperti berikut
4. Jadi, luasnya adalah 1.41
23 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menentukan luas daerah dibawah sumbu-x
Lihat kasus diatas
1. Tentukan selang dimana fungsi dibawah sumbu-x, ambil [-1,0]
2. Ketik rectanglesum[fungsi,-1,0,100,0.001], tekan enter akan diperoleh berikut
3. Jadi, luasnya adalah 0.08
24 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menghitung luas diantara dua kurva
1. Pada input, ketik fun akan muncul
2. Masukan fungsi, misal
3. Ulangi (1) dan masukkan fungsi, misal
4. Tentukan selang, dimana ( )
( ), missal [0,2]
5. Tulis, integralbetween[f-g,0,2] pada input, tekan enter akan tampil berikut
25 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
6. Jadi, luasnya adalah 1,61
7. Ganti selang menjadi [-2,0], dengan proses yang sama akan kita dapatkan,
dimana ( )
( )
26 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
VOLUME BENDA PUTAR
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk mententukan volume benda putar
dan mampu menginterpretasikannya.
Dasar Teori
Salah satu aplikasi integral yang sangat penting adalah penghitungan volume benda
putar. Hasil perputarannya tentu merupakan bangun berdimensi tiga, seperti
kerucut, tabung, cakram berlubang di tengahnya, atau seperti bambu. Secara
volume dapat dihitung dengan rumus, V = a.t.
Volume benda putar pada kajian kalkulus dapat dihitung dengan
metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung.
menggunakan
Metode cakram digunakan untuk volume beda putar dimana salah satu sisi
daerahnya menjadi sumbu putarnya. Secara umum,
perhitungan
dapat
ditentukan dengan persamaan berikut;
r
∫
( )
Metode cincin digunakan untuk volume beda putar dimana salah daerah yang
akan diputar memiliki jarak dengan sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan
dapat ditentukan dengan persamaan berikut
( )
( )
∫
( )
( )
Metode kulit tabung digunakan apabila potongan daerah yang dibuat sejajar dengan
sumbu putarnya. Metode ini dapat dipahami sebagai berikut;
Secara umum, volume ini dapat dihitung melalui rumusan,
∫
27 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
( )
Langkah-langkah
Menggunakan metode cakram, missal daerah
mengelilingi sumbu-x
1. Buat daerah yang akan diputar, ketik pada input
2. Cerminkan terhadap sumbu-x dengan klik tanda pencerminan
3. Klik, reflect object about line, klik grafik, klik sumbu-x, akan didapatkan
28 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
diputar
4. Pilih menu berikut
5. Pilih ellipse, klik pada titik (2,4) dan
(2.-4) geser dan klik sehingga
didapat
29 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
6. klik ellips pada titik lain, sehingga
( )
Sehingga volumenya, dapat Anda hitung dengan mengetik pada input,
Integral[*f^2,0,2] tekan enter sehingga didapat a = 6.4
30 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menghitung volume metode cincin
Hitung volume daerah yang dibatasi oleh
mengelilingi sumbu-x
( )
dan
( )
diputar
1. Buatlah grafik dari kedua fungsi
2. Tentukan titik potong dan ulangi langkag 2-6 sehingga didapatkan grafik berikut
3. Selanjutnya ketik pada input, Integral[f^2-g^2,0,2], tekan enter, sehingga didapat
a =4.27
31 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
NILAI LIMIT FUNGSI
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan nilai limit dari berbagai
jenis fungsi
Dasar Teori
Kajian tentang limit merupakan kajian konsep dasar dalam kalkulus. Beberapa
konsep seperti turunan dan integral didefinisikan dari limit.
Limit secara intuitif diartikan sebagai nilai f(x) akan dekat ke-L apabila x dekat
tetapi berlainan dengan c, yang selanjutnya disimbolkan secara matematis
. Secara formal definisi tentang limit disajikan melalui
( )
menjadi
konsep epsilon ( ) dan delta ( ), dimana
( )
diartikan dengan
sedemikian sehingga
|
|
| ( )
|
.
Ada tidaknya limit ditentukan oleh limit kiri dan kanan, dimana
( )
( )
( )
Dalam geogebra, nilai limit dapat dihitung dengan menggunakan perintah Limit[
, ]. Untuk menentukan limit kiri dapat digunakan dengan
perintah LimitBelow[ , ], sedangkan limit kanan dapat
dihitung dengan LimitAbove[ , ].
Langkah-langkah
Menghitung nilai limit
1. Misalkan kita akan menghitung
, masukkan Function[(x^2-1)/(x-1)]
2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat
3. Jadi, nilai dari
32 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
, masukan Function[(x^2-1)/abs(x-1)]
|
|
2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat
3. Jadi,
|
|
tidak terdefinisi.
Menghitung limit kiri
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
2. Masukkan LimitBelow[f,1]
3. Jadi
|
|
, masukan fungsi.
|
(lihat nilai a disamping dan grafik).
|
Menghitung limit kanan
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
2. Masukkan LimitAbove[f,1]
|
, masukan fungsi.
|
33 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
3. Jadi
|
|
(lihat nilai a disamping dan grafik).
34 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika berbasis ICT
Dosen Pengampu Dr. Dwijanto, M.S.
Oleh:
Purwanti Wahyuningsih (0401514014)
Franky Martion ( 0401514030 )
Rombel B1
PROGRAM PASCA SARJANA
PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2015
PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE
GEOGEBRA
Software Geogebra merupakan salah satu software yang bisa dimanfaatkan
untuk pembelajaran Matematika, diantaranya geometri dan aljabar. Software ini
dapat diunduh secara gratis melalui situs www.geogebra.org. Berikut ini disajikan
materi Irisan dua lingkaran dan integral, yang merupakan salah satu materi yang
membutuhkan keterampilan siswa dalam menggambar dan menganalisis sebuah
permasalahan. Di zaman yang serba canggih sekarang ini yang dibutuhkan adalah
efisiensi waktu, kemudahan dan kecepatan. Untuk mempermudah siswa dalam
memahami materi irisan dua lingkaran dan integral, kita bisa memanfaatkan
software geogebra.
A. MATERI IRISAN DUA LINGKARAN
Materi Irisan dua lingkaran meliputi kedudukan dua lingkaran dan persamaan
garis singgung diantara kedua lingkaran. Berikut ini yang akan disajikan adalah materi
mengenai Kedudukan dua Lingkaran.
1. Dua lingkaran saling pisah / lepas.
Langkah 1. Ketikkan pada input, A=(2,2) akan muncul titik A pada koordinat (2,2)
Langkah 2. Klik icon Circle with center and radius
yaitu kita memilih untuk
menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari tertentu. Klik pada titik
A kemudian muncul kotak untuk mengisikan radiusnya.
Ketik 2 karena kita akan menggambar lingkaran dengan jari-jari 2 satuan.
Kemudian klik Ok. Akan muncul gambar lingkaran seperti berikut:
2|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Langkah 3. Dengan cara yang sama, buat sebuah lingkaran lagi dengan Pusat
B(10,2) dan jari-jari 3, akan muncul gambar dua lingkaran yang saling terpisah.
Untuk menanamkan konsep dua lingkaran yang saling pisah, siswa diarahkan
untuk mengamati gambar dua lingkaran tersebut, kemudian mencari hubungan
antara jari-jari kedua lingkaran tersebut dengan jarak kedua pusatnya. Disitu
terlihat bahwa jarak AB lebih besar dari pada jumlah kedua jari-jarinya.
3|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Kedua lingkaran dikatakan saling lepas jika
.
2. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar
Dengan cara yang sama seperti pada nomor 1, silahkan gambar kedua lingkaran
seperti gambar berikut:
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan diluar jika
3. Dua lingkaran saling bersinggungan diluar
Dengan cara yang sama, silahkan gambar kedua lingkaran seperti gambar
berikut:
4|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika
4. Dua Lingkaran saling berpotongan
Kedua lingkaran dikatakan saling bersinggungan di dalam jika |
5. Lingkaran di dalam Lingkaran
5|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
|
|
|
Sebuah lingkaran berada didalam lingkaran yang lain jika
B. MATERI INTEGRAL
|
|
Fungsi pre-definisi sudah ditanam dalam GeoGebra dan untuk menggunakan fungsi
tersebut kita tinggal memanggil dengan menggunakan format nama fungsi disertai
parameter yang diperlukan. Sebagai contoh, kita akan mencoba memanfaatkan
beberapa fungsi untuk menghitung integral maupun menentukan pendekatan
dengan penjumlahan Riemann. Misalkan kita mendefinisikan sebuah fungsi
bernama f maka kita dapat menentukan integral dengan terlebih dahulu
menentukan a sebagai batas bawah dan b adalah batas atas. Setelah itu panggil
fungsi Integral dengan sintaks berikut:
Integral[f] untuk integral tak tentu, dan
Integral[f,a,b] untuk integral tertentu
Untuk contoh lebih jelas masukkan rangkaian statemen berikut ke dalam Input Bar
Geogebra.
f(x)=6x-x^2
Integral[f]
a=0 (a adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas bawah)
b=3 (b adalah variabel yang akan kita gunakan sebagai batas atas)
Integral[f,a,b]
Akan muncul tampilan grafik berikut:
6|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Untuk menentukan nilai batas atas dan batas bawah yang dinamis, tampilkan variabel a
dan b sebagai slider dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel yang
bersangkutan.
Ubahlah nilai a dan b dengan menggerakkan slider dan amati perubahannya.
Masih melanjutkan pada fungsi dan variabel yang sama, sekarang tambahkan sebuah
variabel bernama n dan tentukan nilainya 10. Variabel ini akan kia gunakan sebagai
nilai selang/interval. Langkah selanutnya kemudian panggil beberapa fungsi untuk
menghitung upper sum, lower sum dan trapezoidal sum. Masukkan beberapa sintaks
berikut.
n=10
LowerSum[f,a,b,n]
7|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
UpperSum[f,a,b,n]
TrapezoidalSum[f,a,b,n]
Pada grafik akan nampak tampilan masing-masing pendekatan. Kita dapat
menampilkan atau menyembunyikan masing-masing pendekatan dengan mengeset
visible atau hidden dengan mengklik bulatan kecil di samping variabel. Dengan cara
yang sama, tampilkan slider n sehingga selang dapat diatur secara dinamis. Aturlah
supaya nilai maksimum n menjadi lebih besar, misalnya 100. Tampilannya akan terlihat
seperti berikut.
Pada contoh di atas, kita menghitung nilai integral pada daerah antara kurva dan sumbu
x. Sebagai tambahan, untuk menentukan luas di antara dua buah kurva GeoGebra sudah
menyediakan fungsi yaitu IntegralBetween. Sebagai contoh jika kita memiliki dua fungsi
f dan g serta batas bawah a dan batas atas b, sintaks untuk menghitung luas antara
kurva fungsi f dan g adalah
IntegralBetween[f,g,a,b]
Tampilannya akan kurang lebih seperti berikut:
8|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
Referensi:
Panduan Diklat Online p4tkmatematika.org.
9|Geogebra untuk Pembelajaran Matematika
MENGENAL GEOGEBRA UNTUK KALKULUS
Tujuan
Pembaca mengenal berbagai fasilitas yang disediakan geogebra untuk
menyelesaikan peroalan-persoalan berkaitan dengan Kalkulus, khususnya Kalkulus
Integral.
Dasar Teori
Perkembangan teknologi sangat membantu dalam memahami berbagai konsep
dalam matematika dan juga membantu dalam menyelesaikan beberapa persoalan
yang sulit diselesaikan secara aljabar.
Geogebra dengan fasilitas yang dimilikinya sangat membantu. Fasilitas
penggambaran grafik, penentuan nilai maksimum, nilai minimum, nilai limit, nilai
turunan dan turunan fungsi dapat di tentukan. Pendekatan polygon untuk
menghitung luas daerah di bawah kurva, jumlah Riemann dan integral tentu dengan
mudah dicari melalui geogebra.
Geogebra sendiri merupakan software yang bersifat open source sehingga sangat
mudah mencarinya. Untuk lebih memahami kegunaan geogebra, kita akan lihat
berbagai fasilitas yang disediakan.
Langkah-langkah
1. Buka geogebra, sehingga akan tampil menu berikut;
Tool yang disediakan
Untuk mengisi perintah
Untuk melihat fasilitas yang
disediakan
10 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Klik tanda,
akan tampil fasilitas-fasilitas yang disediakan, lihat gambar dibawah.
Jenis-jenis fungsi yang disediakan
otomatis oleh geogebra.
3. Selanjutnya klik, functions & calculus.
Fasilitas yang berkaitan
dengan kalkulus
4. Ambil sembarang fasilitas, misalkan, function, klik akan tampak dilayar
Fasilitas yang berkaitan
dengan integral
5. Atau kita bisa mengetik “integral” pada bagian “input” pojok kiri bawah, maka akan
muncul berikut
11 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
Tujuan
Pembaca trampil menggambar grafik fungsi polinom, rasional dan trigonometri
dengan menggunakan Geogebra
Dasar Teori
Fungsi merupakan kajian utama dalam Kalkulus. Konsep- konsep tentang
antiturunan, polygon dalam dan luar, jumlah Riemann dan integral tentu banyak
melibatkan tentang fungsi. Fungsi polinom memiliki peran yang penting karena
didalamnya memuat fungsi linier, kuadrat dan fungsi lainnya. Secara umum fungsi
polinom memiliki bentuk ( )
Dengan
dinamakan fungsi linier,
dinamakan fungsi kuadrat, dan
seterusnya. Sedangkan fungsi rasional memiliki bentuk umum
masing-masingnya adalah fungsi polinom.
( )
( )
dimana
Fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang memuat sinus, cosinus, tangent,
cosecant, secan dan gabungannya. Fungsi ini memiliki domain berupa derajat atau
diperumum dalam bilangan real.
Langkah-langkah
1. Bukalah software Geogebra
2. Klik tanda atau ketik “function” tekan enter
3. Tuliskan persamaan fungsi yang akan kita buat grafiknya pada bagian sudut kiri
]
bawah, misalkan,
, pada [
12 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
4. Tekan enter, akan diperoleh
5. Untuk menampilkan persamaan
dalam grafiknya dapat dilakukan
dengan mengklik kanan fungsi
6. Klik
object
properties
7. Beri centang pada “show label” pilih “name & value”, sehingga akan muncul
8. Contoh menggambar fungsi
seperti di bawah ini
(
), masukkan fungsi yang akan dibuat,
Tekan “enter” akan muncul
13 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
9. Menggambar fungsi ( )
√
, masukkan fungsi
Tekan “enter” akan muncul
Latihan
Gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut;
1.
2.
( )
( )
(
)
14 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
POLIGON DALAM DAN POLIGON LUAR
Tujuan
Pembaca trampil dalam membentuk grafik fungsi polygon dalam dan polygon luar
dari grafik
Dasar Teori
Polygon dalam merupakan sebuah pendekatan dalam menentukan luas daerah
dibawah kurva. Potongan-potongan berbentuk segiempat dilakukan pada daerah
yang akan dihitung luasnya. Potongan ini diberikan seperti gambar (1) berikut;
Gambar 1
Gambar 2
(
Dengan membuat partisi pada selang [a,b] akan diperoleh,
)
)
(
dan luas totalnya
sehingga luas ke-I untuk polygon dalam adalah
∑
( ) . Dengan cara yang sama akan diperoleh polygon luar yaitu
adalah
∑
( ) .
Tentu saja semakin banyak potongan yang dibuat atau n semakin besar akan
semakin mendekati luas dari daerah yang akan dhitung. Pada polygon dalam hasil
yang didapatkan akan lebih kecil dari luas yang sebenarnya. Sedangkan pada
polygon luar hasilnya akan lebih besar dari luas yang sebenarnya.
Pertanyaan awal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
dengan
apabila
a) Menggunakan polygon dalam
b) Menggunakan polygon luar
pada interval [
] apabila
Langkah-langkah
Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh
pada [
]
a) Buatlah grafik fungsi, missal
, dengan nilai awal yang kurang dari
batas kiri selang dan nilai akhir lebih dari batas akhir selang
15 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
b) Ketik
lower
pada
kiri
bawah,
akan
muncul
tulisan
berwarna
biru,
c) Tekan enter akan muncul
d) Masukkan fungsi, batas awal selang, batas akhir selang, banyaknya polygon
atau nilai n
e) Tekan enter, akan muncul
f) Lihat sebelah kiri atas, muncul a = 3.7 (inilah luas yg dimaksud)
Untuk mencari dengan polygon luar, lakukan dengan langkah yang sama,
pada saat langkah ke-3. Ganti menjadi uppersum sehingga muncul
Lanjutnya langkahnya sampai ke-6, akan diperoleh
Muncul b = 5.7 merupakan luas polygon luar yang dimaksud. Bagaimana bila n
nya kita ganti-ganti. Geogebra menyediakan slider untuk membuat ini.
Langkah-langkahnya adalah sebagai
Berikut
16 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
1) Pilih tombol
sorot “slider”
, klik,
Enter akan muncul gambar
berikut
2) Pada “nama, isi dengan n, beri tanda pada “integer”, minimum
missal 4 maksimum 100, increment 5
3) Klik apply akan tampil
17 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
4) Klik kanan pada a (sebelah kiri) klik „object properties”
5) Pilih “basic”, ganti 6 dengan n dan “close”
6) Klik kanan pada slider, pilih animation
7) Amati pada perubahan n, nilai a dan grafiknya
Lakukan hal yang sama untuk polygon luar
Latihan
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
apabila menggunakan
a) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240
b) polygon dalam dengan n = 4, 8, 12, 16, 20, 60, 120, 240
18 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
pad selang [
]
INTEGRAL TAKTENTU DAN TENTU
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan integral taktentu dan
tentu
Dasar Teori
Integral taktentu merupakan sebuah operasi yang bersifat linier. Integral taktentu
juga dikatakan sebagai antiturunan. Sebagai antiturunan, maka integral taktentu
merupakan sebuah operasi invers dari turunan. Kalau turunan diilhami oleh
gradient kurva di suatu titik tertentu, maka antiturunan diilhami sebagai pencarian
fungsi. Akan tetapi, integral tentu diilhami dengan luas daerah pada bidang rata.
Integral taktentu dinyatakan dalam bentuk umum ∫ ( )
( )
( ).
Sedangkan integral tentu dinyatakan dalam bentuk ∫
( )
( )
( )
dimana
( )
Geogebra menyediakan juga bisa menentukan integral taktentu dan tentu. dalam
menentukan integral taktentu juga ditampilkan gafik dari fungsi yang dihasilkan,
meskipun tidak ditampilkan langkah-langkahnya. Sangat sederhana langkah yang
ditempuh, karena sudah tersedia menu, function and calculus. Demikian pula dalam
integral tentu.
Langkah-Langkah
Menentukan integral taktentu
1. Buka geogebra, arahkan mouse pada tanda t pada pojok kanan bawah, klik akan
tampil
19 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Pilih menu function and calculus, akan muncul berbagai pilihan, sementara pilih
integral
3. klik paste, sehingga di pojok kiri bawah muncul
4. Masukkan fungsi, misalkan
5. Selanjutnya,
tekan enter, akan tampak seperti berikut
6. Akan diperoleh fungsi dan grafiknya, yakni ( )
(
)
20 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menentukan integral tentu
1. Ulangi langkah 1 dan 2
2. Ketik integral, pilih integral bagian dua, lihat gambar berikut
Klik, Sehingga tampil
3. Masukkan fungsi, batas bawah dan batas atas, misalkan berikut
4. Tekan enter, akan didapatkan hasil berikut
Nilai c = 2, pada pojok kanan merupakan hasil integrasi, sedangkan
gambar menunjukkan daerah yang diintegralkan.
Latihan
1) Carilah
(a) ∫
(b)
(a) ∫
(b) ∫
2) Hitunglah
(
)
21 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
LUAS DAERAH BIDANG RATA
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan luas daerah pada
bidang rata
Dasar Teori
Integral tentu yang didefinisikan dari jumlah Riemann tampaknya mudah diterima
apabila penggunaan integral untuk mencari luas daerah.
( )
Luas daerah yang berada di atas sumbu-x dan dibatasi oleh,
dan sumbu-x dapat dihitung dengan rumus ( )
Luas daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva
sumbu-x dapat dihitung dengan rumus
( )
( )
∫ [ ( )
∫ [ ( )
Langkah-langkah
( )]
( )]
untuk ( )
untuk ( )
∫
( )
( ) dan
( )
dan
( ) pada [a,b]
( ) pada [a,b]
Menentukan luas daerah diatas sumbu-x
1. Masukkan fungsi, misalkan ( )
sumbu-x
, lihat grafik yang berada di atas
22 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
2. Tentukan batasnya, missal [0,1]
3. Hitung luas dengan menggunakan lowersum, uppersum atau rectanglesum,
missal rectanglesum, seperti berikut
4. Jadi, luasnya adalah 1.41
23 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menentukan luas daerah dibawah sumbu-x
Lihat kasus diatas
1. Tentukan selang dimana fungsi dibawah sumbu-x, ambil [-1,0]
2. Ketik rectanglesum[fungsi,-1,0,100,0.001], tekan enter akan diperoleh berikut
3. Jadi, luasnya adalah 0.08
24 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menghitung luas diantara dua kurva
1. Pada input, ketik fun akan muncul
2. Masukan fungsi, misal
3. Ulangi (1) dan masukkan fungsi, misal
4. Tentukan selang, dimana ( )
( ), missal [0,2]
5. Tulis, integralbetween[f-g,0,2] pada input, tekan enter akan tampil berikut
25 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
6. Jadi, luasnya adalah 1,61
7. Ganti selang menjadi [-2,0], dengan proses yang sama akan kita dapatkan,
dimana ( )
( )
26 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
VOLUME BENDA PUTAR
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk mententukan volume benda putar
dan mampu menginterpretasikannya.
Dasar Teori
Salah satu aplikasi integral yang sangat penting adalah penghitungan volume benda
putar. Hasil perputarannya tentu merupakan bangun berdimensi tiga, seperti
kerucut, tabung, cakram berlubang di tengahnya, atau seperti bambu. Secara
volume dapat dihitung dengan rumus, V = a.t.
Volume benda putar pada kajian kalkulus dapat dihitung dengan
metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung.
menggunakan
Metode cakram digunakan untuk volume beda putar dimana salah satu sisi
daerahnya menjadi sumbu putarnya. Secara umum,
perhitungan
dapat
ditentukan dengan persamaan berikut;
r
∫
( )
Metode cincin digunakan untuk volume beda putar dimana salah daerah yang
akan diputar memiliki jarak dengan sumbu putarnya. Secara umum, perhitungan
dapat ditentukan dengan persamaan berikut
( )
( )
∫
( )
( )
Metode kulit tabung digunakan apabila potongan daerah yang dibuat sejajar dengan
sumbu putarnya. Metode ini dapat dipahami sebagai berikut;
Secara umum, volume ini dapat dihitung melalui rumusan,
∫
27 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
( )
Langkah-langkah
Menggunakan metode cakram, missal daerah
mengelilingi sumbu-x
1. Buat daerah yang akan diputar, ketik pada input
2. Cerminkan terhadap sumbu-x dengan klik tanda pencerminan
3. Klik, reflect object about line, klik grafik, klik sumbu-x, akan didapatkan
28 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
diputar
4. Pilih menu berikut
5. Pilih ellipse, klik pada titik (2,4) dan
(2.-4) geser dan klik sehingga
didapat
29 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
6. klik ellips pada titik lain, sehingga
( )
Sehingga volumenya, dapat Anda hitung dengan mengetik pada input,
Integral[*f^2,0,2] tekan enter sehingga didapat a = 6.4
30 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
Menghitung volume metode cincin
Hitung volume daerah yang dibatasi oleh
mengelilingi sumbu-x
( )
dan
( )
diputar
1. Buatlah grafik dari kedua fungsi
2. Tentukan titik potong dan ulangi langkag 2-6 sehingga didapatkan grafik berikut
3. Selanjutnya ketik pada input, Integral[f^2-g^2,0,2], tekan enter, sehingga didapat
a =4.27
31 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
NILAI LIMIT FUNGSI
Tujuan
Pembaca trampil menggunakan geogebra untuk menentukan nilai limit dari berbagai
jenis fungsi
Dasar Teori
Kajian tentang limit merupakan kajian konsep dasar dalam kalkulus. Beberapa
konsep seperti turunan dan integral didefinisikan dari limit.
Limit secara intuitif diartikan sebagai nilai f(x) akan dekat ke-L apabila x dekat
tetapi berlainan dengan c, yang selanjutnya disimbolkan secara matematis
. Secara formal definisi tentang limit disajikan melalui
( )
menjadi
konsep epsilon ( ) dan delta ( ), dimana
( )
diartikan dengan
sedemikian sehingga
|
|
| ( )
|
.
Ada tidaknya limit ditentukan oleh limit kiri dan kanan, dimana
( )
( )
( )
Dalam geogebra, nilai limit dapat dihitung dengan menggunakan perintah Limit[
, ]. Untuk menentukan limit kiri dapat digunakan dengan
perintah LimitBelow[ , ], sedangkan limit kanan dapat
dihitung dengan LimitAbove[ , ].
Langkah-langkah
Menghitung nilai limit
1. Misalkan kita akan menghitung
, masukkan Function[(x^2-1)/(x-1)]
2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat
3. Jadi, nilai dari
32 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
, masukan Function[(x^2-1)/abs(x-1)]
|
|
2. Masukkan Limit[f, 1 ] tekan enter akan didapat
3. Jadi,
|
|
tidak terdefinisi.
Menghitung limit kiri
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
2. Masukkan LimitBelow[f,1]
3. Jadi
|
|
, masukan fungsi.
|
(lihat nilai a disamping dan grafik).
|
Menghitung limit kanan
1. Misalkan
kita
akan
menghitung
2. Masukkan LimitAbove[f,1]
|
, masukan fungsi.
|
33 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a
3. Jadi
|
|
(lihat nilai a disamping dan grafik).
34 | G e o g e b r a u n t u k P e m b e l a j a r a n M a t e m a t i k a