ANALISIS KESULITAN PESERTA DIDIK DALAM M
6
BAB II
ANALISIS KESULITAN PESERTA DIDIK DALAM
MEMAHAMI KONSEP MATERI FUNGSI KUADRAT SERTA
ALTERNATIF PEMECAHANNYA DI KELAS X 1 SMA
NEGERI KARANGNUNGGAL TAHUN AJARAN 2012-2013
A. Kajian Teoritis
Peserta didik
harus
belajar
matematika
dengan
pemahaman,
membangun pengetahuan baru secara aktif dari pengalaman dan pengetahuan
yang dimiliki peserta didik sebelumnya. Visi matematika sekolah didasarkan
kepada belajar matematika dengan pemahaman. Sayang sekali bahwa belajar
matematika tanpa pemahaman merupakan hasil umum pembelajaran
matematika yang berlangsung cukup lama. Kenyataannya, belajar matematika
tanpa pemahaman telah berlangsung cukup lama, yaitu sejak tahun 1930-an,
dan telah menjadi pokok pembicaraan, diskusi, dan penelitian oleh para
psikolog serta para pendidik selama bertahun-tahun Brownell (Tirmudi,1947;
Skemp, 1976, dan Hierbert, 1992) mengatakan, ‘Belajar matematika dengan
pemahaman dan menjadikan siswa mampu menerapkan prosedur, konsepkonsep, dan proses matematika.’ Di abad 21 ini semua peserta didik
diharapkan memahami dan sanggup menerapkan matematika. Berikut ini
materi yang disampaikan pada bahasan fungsi kuadrat.
1. Pengertian Fungsi
Fungsi, atau bisa juga disebut pemetaan, senantiasa melibatkan dua
himpunan. Diketahui bahwa setiap himpunan tak kosong memiliki elemen
atau anggota atau boleh juga disebut unsur. Fungsi hanya terdefinisi pada
dua himpunan tak kosong. “Fungsi, dalam istilah matematika adalah
pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain)
kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).”
(Wikipedia). “Kata fungsi dalam matematika adalah digunakan untuk
menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.”
(Leibniz, 1646-1716).
7
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang persamaannya berbentuk:
a,b,c∈ R
2
y=a x +bx +c , di mana
dengan
a ≠ 0.
Hubungan
antara fungsi kuadrat dengan persamaan kuadrat adalah: akar-akar real
persamaan kuadrat diperoleh dengan menentukan titik potong fungsi
kuadrat dengan sumbu
X
2
y=a x +bx +c . Variabel
yaitu:
merupakan variable bebas, dan
f (x)
y
atau
bebas karena nilainya bergantung pada nilai
x
merupakan variabel tak
x . Lihatlah fungsi kuadrat:
2
f ( x )=x −5 x+ 7 .
f ( 2 )=22−5 ( 2 )+7=1
f ( 0 )=02−5 ( 0 )+7=7 f (2)
f ( 1 )=12 −5 ( 1 ) +7=3
merupakan nilai fungsi
x=2, f (1) adalah nilai fungsi f
untuk
f
untuk
x=1 , dan seterusnya.
Fungsi kuadrat memiliki bentuk grafik yang istimewa, yaitu parabola.
Cara paling sederhana mensketsa grafik fungsi kuadrat adalah dengan
menggunakan tabel nilai.
3. Titik Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Grafik
fungsi
2
f ( x )=a x +bx +c , a≠ 0
memiliki
dua
kemungkinan, yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Jika parabola
terbuka keatas, maka fungsi f ( x) memiliki nilai minimum (Gambar 1.1
(a)). Sebaliknya, jika parabola terbuka ke bawah,maka fungsi
f (x)
memiliki nilai maksimum (Gambar 1.1 (b)).
Titik maksimum
Titik minimum
(a)
(b)
Gambar 2.1
Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat
tergantung pada koefisien (pengali)
x
2
, yang penjelasannya adalah
8
2
sebagai berikut: perhatikan bentuk
y=a x +bx +c ; a , b , c ∈ R
dengan
a ≠ 0. Dengan sedikit perhitungan aljabar, bntuk ini dapat ditulis:
(
y=a x 2 +bx +c=a x+
Karena
b 2 D
−
2a
4a
)
.
a ≠ 0 , ada dua kasus yang mungkin terjadi,yaitu:
a>0
atau
a0 , maka suku prtama dari
y
sehingga mencapai nilai minimum sebesar
x=
adalah tak-negatif;
−D
, yang terjadi bila
4a
−b
. Pada kasus ini, titik minimum fungsi kuadrat adalah
2a
−b
2a
.
−D
4a
b.
Jika a0, D=0
fungsi kuadrat, kita lihat tiga kemungkinan, yaitu
atau
D0 , maka parabola memotong
X
pada dua titik yang
berlainan. Absis titik potong ini adalah akar persamaan kuadratnya,
a x 2+ bx+ c=0 . Misalkan titik potong itu ( x 1 , 0 )
dan ( x 2 , 0 ) .
Gambar grafik:
a>0
Sumbu
a0
Sumbu
Sumbu
X
X
a
BAB II
ANALISIS KESULITAN PESERTA DIDIK DALAM
MEMAHAMI KONSEP MATERI FUNGSI KUADRAT SERTA
ALTERNATIF PEMECAHANNYA DI KELAS X 1 SMA
NEGERI KARANGNUNGGAL TAHUN AJARAN 2012-2013
A. Kajian Teoritis
Peserta didik
harus
belajar
matematika
dengan
pemahaman,
membangun pengetahuan baru secara aktif dari pengalaman dan pengetahuan
yang dimiliki peserta didik sebelumnya. Visi matematika sekolah didasarkan
kepada belajar matematika dengan pemahaman. Sayang sekali bahwa belajar
matematika tanpa pemahaman merupakan hasil umum pembelajaran
matematika yang berlangsung cukup lama. Kenyataannya, belajar matematika
tanpa pemahaman telah berlangsung cukup lama, yaitu sejak tahun 1930-an,
dan telah menjadi pokok pembicaraan, diskusi, dan penelitian oleh para
psikolog serta para pendidik selama bertahun-tahun Brownell (Tirmudi,1947;
Skemp, 1976, dan Hierbert, 1992) mengatakan, ‘Belajar matematika dengan
pemahaman dan menjadikan siswa mampu menerapkan prosedur, konsepkonsep, dan proses matematika.’ Di abad 21 ini semua peserta didik
diharapkan memahami dan sanggup menerapkan matematika. Berikut ini
materi yang disampaikan pada bahasan fungsi kuadrat.
1. Pengertian Fungsi
Fungsi, atau bisa juga disebut pemetaan, senantiasa melibatkan dua
himpunan. Diketahui bahwa setiap himpunan tak kosong memiliki elemen
atau anggota atau boleh juga disebut unsur. Fungsi hanya terdefinisi pada
dua himpunan tak kosong. “Fungsi, dalam istilah matematika adalah
pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain)
kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).”
(Wikipedia). “Kata fungsi dalam matematika adalah digunakan untuk
menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.”
(Leibniz, 1646-1716).
7
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang persamaannya berbentuk:
a,b,c∈ R
2
y=a x +bx +c , di mana
dengan
a ≠ 0.
Hubungan
antara fungsi kuadrat dengan persamaan kuadrat adalah: akar-akar real
persamaan kuadrat diperoleh dengan menentukan titik potong fungsi
kuadrat dengan sumbu
X
2
y=a x +bx +c . Variabel
yaitu:
merupakan variable bebas, dan
f (x)
y
atau
bebas karena nilainya bergantung pada nilai
x
merupakan variabel tak
x . Lihatlah fungsi kuadrat:
2
f ( x )=x −5 x+ 7 .
f ( 2 )=22−5 ( 2 )+7=1
f ( 0 )=02−5 ( 0 )+7=7 f (2)
f ( 1 )=12 −5 ( 1 ) +7=3
merupakan nilai fungsi
x=2, f (1) adalah nilai fungsi f
untuk
f
untuk
x=1 , dan seterusnya.
Fungsi kuadrat memiliki bentuk grafik yang istimewa, yaitu parabola.
Cara paling sederhana mensketsa grafik fungsi kuadrat adalah dengan
menggunakan tabel nilai.
3. Titik Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Grafik
fungsi
2
f ( x )=a x +bx +c , a≠ 0
memiliki
dua
kemungkinan, yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah. Jika parabola
terbuka keatas, maka fungsi f ( x) memiliki nilai minimum (Gambar 1.1
(a)). Sebaliknya, jika parabola terbuka ke bawah,maka fungsi
f (x)
memiliki nilai maksimum (Gambar 1.1 (b)).
Titik maksimum
Titik minimum
(a)
(b)
Gambar 2.1
Tercapainya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadrat
tergantung pada koefisien (pengali)
x
2
, yang penjelasannya adalah
8
2
sebagai berikut: perhatikan bentuk
y=a x +bx +c ; a , b , c ∈ R
dengan
a ≠ 0. Dengan sedikit perhitungan aljabar, bntuk ini dapat ditulis:
(
y=a x 2 +bx +c=a x+
Karena
b 2 D
−
2a
4a
)
.
a ≠ 0 , ada dua kasus yang mungkin terjadi,yaitu:
a>0
atau
a0 , maka suku prtama dari
y
sehingga mencapai nilai minimum sebesar
x=
adalah tak-negatif;
−D
, yang terjadi bila
4a
−b
. Pada kasus ini, titik minimum fungsi kuadrat adalah
2a
−b
2a
.
−D
4a
b.
Jika a0, D=0
fungsi kuadrat, kita lihat tiga kemungkinan, yaitu
atau
D0 , maka parabola memotong
X
pada dua titik yang
berlainan. Absis titik potong ini adalah akar persamaan kuadratnya,
a x 2+ bx+ c=0 . Misalkan titik potong itu ( x 1 , 0 )
dan ( x 2 , 0 ) .
Gambar grafik:
a>0
Sumbu
a0
Sumbu
Sumbu
X
X
a