BAB 3 Sifat Gelombang dari partikel
Bab 3
Sifat gelombang dari partikel
Pendahuluan
BAB 3:
Sifat Gelombang dari
partikel
1923, ketika masih sebagai mhs
pasca sarjana University of Paris,
Louis de Broglie
mempublikasikan tulisan ringkas
dalam journal Comptes rendus
yang berisi ide yang revolutionor
terhadap pemahaman fisika pada
level yang paling fundamental:
yaitu bahwa partikel memiliki
Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memiliki
sifat gelombang?
Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifat
gelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristal
tunggal nikel.
Prince de Broglie
sifat gelombang intrinsic
Werner Heisenberg dan
kemudian Erwin Schrödinger
mengembangkan teori
berdasarkan sifat gelombang
dari partikel.
Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel dari
gelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein
ini diperkuat oleh hamburan Compton
Heisenberg
Schrödinger
3.1 Gelombang de Broglie
Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/λ,
dan panjang gelombang λ=h/p.
De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlaku
juga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m
dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie
λ=
Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitungan
relativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistik
momentum:
λ=
h
.
γmv
Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuah
permulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?
h
.
p
partikel dgn momentum p
Digambarkan sbg gelombang
Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baru
untuk partikel.
Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesis
yang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masih
muda.*
h
h
λ= =
p γmv
Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwa
partikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama ini
tdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untuk
membuktikannya?
Verifikasi dengan Eksperimen!
Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel,
panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkan
dengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnya
jarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalam
kristal.
*Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.
Gelombang partikel
dgn panjang
gelombang de Broglie
λ = p/h
Partikel dgn
momentum linear p
Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerak
dengan kecepatan 30 m/s.
Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanpa
relativistik.
h
h
λ=
λ=
γmv
=
mv
non-relativistic: γ=1
6.63×10-34 J ⋅ s
(46×10-3 kg)× ( 30 m/s )
λ = 4.8×10-34 m
Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34 m,
dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya?
Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksi
gelombang bola golf?
Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerak
dengan kecepatan 107 m/s.
Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungan
nonrelativistik sudah cukup.
λ=
λ=
h
mv
6.63×10-34 J ⋅ s
(9.11×10-31 kg)× (107 m/s )
Gelombang Matter adalah fenomena quantum
¾
¾
Konstanta h yg kecil pada λ = h/p membuat karakteristik
gelombang dari partikel susah untuk diobservasi
¾
jika h Æ 0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berarti
perilaku gelombang dari partikel secara effektif akan
“berhenti” dan akan kehilangan sifat gelombangnya
apabila momentum partikel tidak sebanding dengan h ~
10-34 Js
λ = 7.3×10-11 m
Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkan
dengan dimensi atomic, sehingga kita dapat
mempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang dari
elektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.
Sesuatu yang harus kita pikirkan :
Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul ada
disana dan gelombang yang berhubungan dengan partikel
bukan partikel yang terhambur.
Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikel
memiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatan
cahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memiliki
interpretasi secara fisik.
Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan:
E = hf
p = h/λ
ω = 2πf
ħ = h/2π
E = ħω
p = ħk
k = 2π/λ
Efek gelombang partikel sulit diobservasi secara
makroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)
¾
Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akan
muncul jika skala momentum p sebanding dengan harga
h
Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatu
fungsi –“fungsi gelombang”—yang menjelaskan sifat
gelombang dari benda tsb.
Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsi
gelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalu
kemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang
dijelaskannya?
Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkan
tentang matematika gelombang dan fungsi yang
menjelaskannya.
3.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ?
Gelombang air terdiri dari ketinggian air
yang berbeda, gelombang suara terdiri
dari perbedaan tekanan didalam medium,
gelombang E&M terdiri dari osilasi medan
listrik dan magnet. Bagaimana dengan
gelombang partikel?
Ψ
Ψ
Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalam
gelombang partikel?
Sesuatu dimana variasinya
membentuk gelombang partikel
adalah fungsi gelombang function, Ψ
("psi", biasa dibaca "si").
Ψ
Ψ adalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukur
secara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari Ψ = 0.
(ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapi
gelombang sinus tdk sama dgn 0)
Akan tetapi, Ψ dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentan
partikel yang dia representasikan.
Ψ*Ψ mengatakan kepada kita probabilitas menemukan benda
yang direpresentasikan dengan Ψ.
Secara umum, Ψ adalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu.
Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan
Ψ pada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding dengan
harga Ψ*Ψ disana.
jika Ψ complex, maka Ψ*Ψ = Ψ2 adalah real (dan positif).
Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapat
dilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang
“langsung”.
Ψ Adalah solusi Schrödinger. Seperti telah
disinggung didepan, Schrödinger
mengembangkan teori untuk sifat
gelombang partikel. Kita akan
mempelajarinya pada bab 5.
Secara umum, harga Ψ*Ψ adalah antara 0 dan 1. Harga yang
kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitas
menemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besar
menunjukan probabilitas yang besar.
Jika Ψ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidak
ada disana. Jika Ψ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu , objek
pasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukan
bahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimana
dengan tepat kita dapat meletakan objek.
Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadian
itu sendiri.
Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektron
ada disana, tdk berarti 50% ada disana.
Jika probabilitas menemukan elektron pada
(xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron
50% ada disana. Ini berarti ½ dari
pengukuran kita akan menemukan elektron
disana, dan ½ nya lagi tidak menemukan
elektron.
Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka Ψ*Ψ
proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita sering
menyebut Ψ*Ψ sebagai “probability density” meskipun kita
bicara tentang satu partikel.*
Mari kita lihat lebih jauh lagi …
Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombang
Ψ, Ψ*ΨdV adalah probabilitas menemukan partikel (atau
sistem) dalam elemen volume dV.
Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatu
tempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruh
ruang.
Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikel
disuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga
∫
Ψ*Ψ dV = 1 .
all space
Fungsi gelombang yang dinormalisasi.
Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kita
kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalam
ruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalam
beberapa gelombang.
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
¾
momentum benda bergerak dihubungkan dengan
kecepatan yang terukur lewat p = mv
Menentukan Ψ secara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita
akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpa
memasuki bagian detil dari mana itu datang.
¾
Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang
bergerak memiliki momentum dan panjang gelombang
yang dihubungkan oleh p = h/λ
Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam dunia
mekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5.
¾
Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie
(sebut saja vp) harus sama dengan v
Mari kita lihat apakah hal tsb betul
Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang
(tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baik
mempelajari gelombang lebih detail.
¾
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
¾
Dimana panjang gelombang de Broglie λ dihubungkan
dengan kecepatan benda yang terukur lewat λ = h/(mv)
¾
¾
¾
kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgn
frekuensi gelombang dan panjang gelombang lewat
v p=λ f
Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie
adalah E=hf
Sehingga diperoleh, hf = mc
⇒ f = mc 2/h
2
Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm vp=λ f , kita
peroleh
vp=(h/mv)(mc 2/h) =c 2/v
Energi E harus sama dengan energi relativistik dari
benda bergerak, E = mc2
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
vp=c 2/v
Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon
yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga vp= c
Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selalu
c2/v > c
suatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitu
kecepatan gelombang de Broglie vp tdk hanya tdk sama dgn
v tapi juga > c
photon: faster than a
speeding bullet
matter wave: faster than
a speeding photon?
Ada sesuatu yang salah disini
Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengan
kecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itu
gelombang.
Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikan
penurunan persamaan gelombang.
Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi lalu
ayunkan.
Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:
Gerakan tangan
Ikatkan tali disini
Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akan
terbentuk gelombang berdiri.
pulsa
penjalaran gel tali
refleksi (& inverts)
bertemu pulsa lainnya
pd perjalanan pulang
Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalen
untuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y pada
suatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.
x
y = A cos 2πf (t - )
vp
f adl frekuensi dan
vp adl kecepatan
gelombang
x
y = A cos 2π (f t - )
λ
Dgn menggunakan vp = f λ, ω = 2πf, and k = 2π/λ,
Kita dapatkan
Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdk
merepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa.
Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis
"group velocity."
vp
y
x
y = A cos ( kx - ωt ) , or
Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasi
pada arah y.
r r
r r
y = A cos ( k ⋅ r - ωt ) in 3 dimensions.
Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang
berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.
3.4 Kecepatan Fasa dan Group
vp
y
Group gelombang adalah superposisi dari gelombanggelombang yg berbeda.
x
Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang
(and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (ada
harganya disetiap tempat).
Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb?
Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatu
tempat disepanjang sumbu x.
Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel,
kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyak
gelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang
berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyai
panjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.
Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwa
dω dan dk adalah kecil dibanding ω dan k, Beiser
menunnjukan :
dω
dk
tx) .
y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx) ] cos (
2
2
Gelombang dinyatakan
oleh y1+y2 dibangun dari
gelombang dgn frekuensi
sudut ω dan bilangan
gelombang k, dan
mempunyai superposisi
pada suatu modulasi
frekwensi dω/2 dan
bilangan gelombang dk/2.
y1
y2
Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentuk
dari grup.
Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thd λ,
maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbeda
dgn kecepatan group.
Beiser menghitung kecepatan penjalaran, vg, dari grup
sederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.
y1 = A cos (ωt - kx)
y 2 = A cos [(ω + dω) t - (k + dk) x ]
Dua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untuk
membuat gelombang "paket" atau "grup."
dω
dk
tx) .
y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx)] cos (
2
2
Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebab
ini merupakan suatu snapshot pada suatu
waktu dari gelombang yang h bergerak
pada ruang dan waktu.
Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah vp=ω/k,
sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatan
vg=(dω/2)/(dk/2)=dω/dk.
y1+y2
vp =
ω
k
vg =
dω
dk
Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).
ω
k
vp =
vg =
dω
dk
Apakah vg konsisten dengan ide kita tentang kecepatan
partikel?
Frekuensi sudut :
vg dapat > vp atau < vp.
Jika kecepatan fasa vp sama untuk seluruh panjang
gelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, maka
kecepatan fasa dan group adalah sama.
Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumus
matematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah vg?
Bilangan gelombang: k =
vg =
dω
dk
mc 2 2π
(γ m0c2 )
=
h
h
ω = 2π f ⇒ ω = 2π
⇒
2π m0 v
d ω 2π m0 c 2 d γ
=
=
dv
h dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
k=
2π
vg =
λ
=
2π m0
2π mv
dk
⇒
=
h
dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
d ω d ω dk
/
=
=v
dk
dv dv
2πγmc 2
2πmc 2
=
2
h
h 1- v
2π 2πγmv
2πmv
=
=
2
λ
h
h 1- v
.
c
2
.
c
2
Gunakan pers. Diatas untuk menghitung
vp =
Hasilnya: vp=c2/v (kita sudah tahu ini) dan vg=v (kecepatan
partikel).
ω = 2πf =
ω
k
vg =
dω
dk
Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasa
gelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kita
dapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasi
lebih cepat dari kecepatan cahaya c?
Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau
“energi” ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdk
dapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadian
itu terjadi
Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi,
tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi,
yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan vg,
maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatu
kecepatan lebih besar dari c
Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebih
merepresentasikanpartikel:
Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -ωt ) .
Ingat relasi Euler mengatakan ejθ dibentuk dari sinus dan
cosinus.
Gelombang grup de Broglie’ diidentifikasi dengan partikel yg
bergerak dgn kecepatan v
3.5 Diffraksi Partikel
Diffraksi adalah perilaku gelombang.
Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yg
lainnya : Ψ(x) = exp(-x2/0.2) exp(10jπx).
modulasi
ossillasi
Coba plot Ψ vs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner.
Tidak ada “t” pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombang
bervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat dia
menjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.
Penjelasan diffraksi partikel dengan
menggunakan cara klasik sangatlah
sulit. Diffraksi partikel hanya dapat
dijelaskan dengan mekanika kuantum.
Eksperimen Davisson and Gremer
¾
DG mengkonfirmasi perilaku
gelombang dari elektron yang
mengalami diffraksi Bragg
¾
Elektron Thermionik yang
dihasilkan oleh hot filamen
dipercepat dan difokuskan ke
target pada kondisi vacuum.
¾
Menurut mekanika klasik
seharusnya elektron akan
dihamburkan kesegala arah
¾
Tapi kenyataannya elektron
dihamburkan pada sudut φ ke
detektor yang dapat digerakan
Davisson dan Gremer
Diffraksi konstruktif Bragg
Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG?
¾
Elektron didifraksikan oleh atom
pd permukaan (yg bertindak sbg
grating) logam seperti elektron
berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai
gelombang seperti yang
dipostulatkan oleh de Broglie
¾
Elektron didifraksikan oleh atom
pd permukaan (yg bertindak sbg
grating) logam seperti elektron
berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai
gelombang seperti yang
dipostulatkan oleh de Broglie
Puncak yg tajam
dr interferensi
konstruktif antara
gelombang elektron yg dihamburkan oleh atom
yg berbeda pd
permukaan kristal
¾
Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1
interferensi konstruktif : dsin φ = 1λ
¾
dimana φ = 50o untuk V = 54 V
¾
Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray
yang dilakukan terpisah, kita
mengetahui bahwa d = 2.15 A
¾
Sehingga panjang gelombang elektron
adalah λ = dsinθ = 1.65 A
¾
1.65 A adalah hasil yg diperoleh dari
eksperimen dan harus dicek dengan
harga yang diprediksi secara teoritis
oleh de Broglie
φ
Nilai teoriti λ elektron
¾
Potensial eksternal V mempercepat elektron melalui
Prediksi Teori cocok dgn pengukuran
¾
Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir mirip
dengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom)
EV=EK
¾
Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi ke
EK = 54 eV (non-relativistic)
¾
Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimen
telah dikonfirmasi
¾
Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang
deakselerasi ke EK = p2/2me = 54 eV memiliki pajang
gelombang ekuivalen λ = h/p = h/(2Kme)-1/2 = 1.67 A
¾
Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikel
mikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapi
juga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton,
molekule dsb)
¾
Dalam bentuk potensial eksternal ,
λ = h/(2EVme)-1/2
Applikasi gelombang elektron:
Mikroskop Elektron, Nobel Prize
1986 (Ernst Ruska)
¾
Panjang gelombang
elektron de Broglie dapat
diatur lewat
λ = h/(2EVme)-1/2
¾
Mikroskop elektron dapat
memiliki perbesaran
sampai x500000 (EV
30kV) resolusi 0.1 nm
Manifestasi lainnya dari perilaku gelombang
elektron
¾
Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar pola
diffraksi
3.6 partikel dlm Box
Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilaku
gelombang
Apa artinya perilaku gelombang dari partikel?
Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanya
sesuatu yang ditemukan fisikawan?
Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrödinger
bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?
Apakah elektron itu gelombang atau partikel?
Kedua-duanya ada, tapi tidak
simultan.
Pada beberapa eksperimen
(atau pengamatan empirik)
hanya satu aspek gelombang
atau partikel saja yang dapat
teramati.
Seperti coin dgn dua muka.
Tapi kita hanya dapat melihat
salah satu sisinya saja pada
suatu waktu
Ini yang disebut sebagai
dualitas gelombang-partikel
elektron sbg
partikel
elektron sbg
gelombang
Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kita
bahas didepan.
Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuat
pd satu ujung karena interferensi antara gelombang datang
dan gelombang pantul yang berbeda fasa 180° ketika
mencapai ujung terikat.
Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergerak
naik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang
sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jika
berbeda fasa 180° akan diperoleh minimum.
Kita hanya dapat melihat gelombang
berdiri pada kecepatan dan panjang
gelombang tertentu.
Misalnya gelombang berdiri pada
partikel di dalam box sebelah ini.
Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikel
direpresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikel
bergerak “dengan” partikel dan akan dipantulkan ketika
mencapai dinding box.
Interferensi konstruktif terjadi bila
panjang box adalah kelipatan integer
dari ½ panjang gelombang dari
gelombang partikel (L=nλ/2), sehingga
panjang gelombang Broglie dari partikel
yang terkrung adalah :
2L
λn =
, n = 1,2,3...
n
Karena KE = mv2/2 dan λ = h /mv, batasan pada λ juga
merupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:
n2h2
En =
, n = 1,2,3...
8mL2
Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombang
partikel), gelombang partikel “terlipat dan terlipat lagi" setiap
dipantulkan dinding.
visualisai
Segmen gelombang partikel dan pantulannya akan
berinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikel
dapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdk
dapat eksis didalam box.
λn =
2L
, n = 1,2,3...
n
En =
n2h2
, n = 1,2,3...
8mL2
Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebut
sebagai bilangan kuantum.
Pikirkan box sebagai sumur potensial,
dimana didlmnya terdapat partikel.
partikel bebas, diluar box, dapat memiliki
sembarang energi dan panjang
gelombang.
Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombang
dan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd
diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkan
energi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.
CONTOH
10 gram marble dlm 10 cm box :
En =
En =
elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) “box” :
n2h2
8mL2
En =
n2 ( 6.63×10-34 )
8 (10×10
-3
n2h2
8mL2
2
)(10 )
-1 2
En = 5.5×10-64 n2 Joules
energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble
pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde
1030. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilaku
kuantum marble dalam box.
3.7 prinsip ketidak pastian I – penurunan
berdasarkan sifat gelombang partikel
Misalkan partikel dinyatakan dgn
grup gelombang disamping ini.
En =
n2 ( 6.63×10-34 )
2
8 ( 9.11×10-31 )(10-10 )
2
En = 6.0×10-18 n2 Joules = 38 n2 eV
energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkat
energi cukup terpisah shg dapat terukur.
Sekarang partikel dinyatakan
dgn grup gelombang disamping
ini.
Dimana partikel?
Dimana partikel?
Berapa panjang gelombangnya?
Berapa panjang gelombangnya?
Posisi dapat didefinisikan dgn
baik, tapi panjang gelombang
tdk terdefinisi dengan baik.
panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibanding
posisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar pada
posisi partikel’s.
Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum
partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum saling
berhubungan).
Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi dan
momentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail
pada transformasi Fourier dan representasi group gelombang
dgn menjumlahkan masing-masing gelombang.
¾
grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyak
gelombang yang berbeda ω dan k-nya sebesar ∆ω dan
∆k (atau ekuivalen dgn ∆λ)
Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik
¾
A1, k1
Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidak
pastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secara
matematis dgn beberapa pendekatan)
~
A3, k3
¾
A4, k4
.
.
.
¾
k = 2π/λ, maka ∆k/k = ∆λ/λ
gelombang partikel harus mengikuti relasi
ketidak pastian yg sama
¾
dimana
¾
∆E∆t ≥
h
2
h = h / 2π
Buktikan sendiri (hint: mulai dr p = h/λ, ∆p/p = ∆λ/λ)
∆ν∆t ≥
1
4π
Hubungan Ketidakpastian Heisenberg
∆p x ∆x ≥
¾
h
2
λ2
≡ ∆k∆x ≥ 1 / 2
4π
Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang berada
pd daerah sempit ∆x memerlukan rentang bilangan gelombang
yang besar, yaitu ∆k besar. Kebalikannya, rentang sempit
bilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paket
gelombang pada lokasi jarak yang sempit.
Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) dan
panjang gelombang (frekuensi) dihubungkan oleh p = h/λ
(E = hν), hubungan ketidak pastian gelombang klasik di
terjemahkan menjadi
∆p x ∆x ≥
~
Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpa
pendekatan) memberikan relasi yg eksak
∆λ∆x ≥
∆x
∆t∆ν ≥ 1
∆λ∆x > λ2 ≡ ∆k∆x > 2π
A2, k2
h
2
∆E ∆ t ≥
h
2
Perkalian ketidakpastian
momentum (energi) dan posisi
(waktu) sedikitnya sebesar
konstanta Planck
Apa artinya
∆p x∆x ≥
h
2
¾
Penetapan batas terendah mungkin ada pada
ketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai px
dan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatu
eksperimen dilakukan.
¾
¾
Adalah mustahil untuk menetapkan secara
serempak dan dengan ketepatan yang tanpa
batas momentum linear dan posisi suatu partikel
yang bersesuaian.
¾
∆E∆t ≥
oleh karena itu, energi suatu objek atau sistem
dapat diukur dengan ketepatan tanpa batas
( ∆E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatu
waktu tak batas (∆t→∞)
CONTOH
Variabel Konjugat
¾
¾
h
2
Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E
pada suatu periode terbatas ∆t, maka energi ini
adalah tidak-pasti dengan ketidakpastian
sedikitnya sejumlah h/(4π∆t)
Apa artinya
{px,x}, {E,t} adalah konjugat
Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%.
Memiliki harga 5.00 x 103 m/s Cari ketidakpastian pada posisi
elektron
variables
¾
Konjugat variabel pada prinsipnya
tidak bisa diukur (atau diketahui)
dengan ketepatan tanpa batas
secara serempak
SOLUSI
¾ v = 5.00 × 103 m/s; (∆v)/v = 0.003%
¾ Dart definisi, p = mev = 4.56 x 10-27 Ns;
¾ ∆p = 0.003% x p = 1.37x10-27 Ns
¾ maka, ∆x ≥ h/4π∆p = 0.38 nm
p = (4.56±1.37)×10-27 Ns
∆x = 0.38 nm
∆x
0
x
Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik
CONTOH SOAL
¾
Muatan meson π memiliki energi diam 140 MeV dan
lifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energi π meson,
dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya
Solusi
¾ E = mπc2 = 140 MeV, ∆τ = 26 ns.
¾ ∆E ≥h/4π∆τ = 2.03×10-27J
= 1.27×10-14 MeV;
¾ ∆E/E = 1.27×10-14 MeV/140 MeV = 9×10-17
Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard
(m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m
Solusi
Untuk ∆x ~ 1 m, we have
∆p ≥h/4π∆x = 5.3x10-35 Ns,
¾ Shg ∆v = (∆p)/m ≥ 5.3x10-34 m/s
¾ ∆v = 5.3x10-34 m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola
billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantum
¾ Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut
benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian
∆v = 5.3 x 10-34 m/s
eksis untuk
Sekarang
kita melihat
E ±∆E
∆τ = 26 ns
100 g bola billard
ukuran ~ 2 cm
Sekarang
??
panjang1 m meja billard
partikel yang berada pd daerah tertebatas harus
memiliki minimal EK
Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsip
ketidak pastian adalah partikel yang diletakan pada
suatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapat
secara eksak pada keadaan diam.
Kenapa ???, karena ………….
Berapa EKave partikel dlm box karena prinsip
ketidak pastian?
Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlm
box
prinsip ketidakpastian mensyaratkan ∆p ≥ (h/4π a)
maka, besarnya p, secara rata-rata, harus sedikitnya sama
dengan ∆p
Shg EK, harus rata-rata berada disekitar
Jika dia betul-betul diam, momentumnya harus
secara pasti = 0, artinya ∆p = 0, yang menyalahi
prinsip ketidakpastian.
EK ave
| p | ≥ ∆p
2
p2
(
∆p )
h2
>
=
>
~ 2m ~ 8ma 2
2
m
ave
Zero-point energy
EK ave
2
p2
(
∆p )
h2
>
>
=
2
2m av ~ 2m ~ 8ma
Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang
mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerah
selebar a
a
LATIHAN SOAL
Misalkan Vx dari benda bermasa 2x10-4 kg diukur dengan
akurasi ±10-6m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapat
meletakan partikel sepanjang sumbu x?
Solusi :
h
∆p∆x ≥ ; p = mv;
2
∆ ( mv ) ∆x = m∆v∆x ≥
Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal
ketika membahas persamaan Schrodinger untuk
partikel dalam box.
Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikel
sama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapa
minimal ketidak pastian kecepatan, vx?
A. vx/4p
D. vx
JAWAB: A
B. vx/2p
E. vx/p
C. vx/8p
∆x ≥
h
2
h
h
=
= 1.32 × 10−25 m
2m∆v 4π m∆v
Example 3.6
Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ±1.00x10-11 m.
Cari ketidak pastian pd posisi proton 1 s kemudian.
Assumsikan v > mc2 sehingga
2
(
E = mc
E=
Energi elektron “diam” =… 0.511 MeV/c2.
≈0
2
)
2
+p2 c 2
hc
2 ∆x
p
(1.055×10 ) ( 3×10 )
E=
2 (1×10 )
-34
8
-14
KE = p2 / 2m
)
+ p2 c 2 .
Example 3.9
Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihan
energinya dengan cara mengemisikan photon. Periode waktu
rata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8 s.
Cari ketidak pastian frekuensi photon.
Kita punya waktu, yg dicari ∆f, tapi E dan f memiliki relasi, shg
∆E∆t ≥
h
4π
E = hf ⇒ ∆E = h∆f
h ∆f ∆t ≥
∆f ≥
h
4π
1
4 π∆t
Untuk energi yang cukup besar, E≈pc.
∆f ≥
1
4 π (10-8 )
∆f ≥ 7.96×106 Hz
Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang
diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnya
intrinsic linewidth seperti dibawah ini.
Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser
yang sangat tajam, yaitu laser hanya
memiliki satu warna. Lebar spektrum laser
ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandaipandainya kita mendisain tidak akan pernah
dapat lebih sempit dari yang ditentukan oleh
prinsip ketidak pastian.
intensity
(
E2 = mc 2
E = 1.58×10-12 joules = 9.89 MeV
2
frequency
Sifat gelombang dari partikel
Pendahuluan
BAB 3:
Sifat Gelombang dari
partikel
1923, ketika masih sebagai mhs
pasca sarjana University of Paris,
Louis de Broglie
mempublikasikan tulisan ringkas
dalam journal Comptes rendus
yang berisi ide yang revolutionor
terhadap pemahaman fisika pada
level yang paling fundamental:
yaitu bahwa partikel memiliki
Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memiliki
sifat gelombang?
Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifat
gelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristal
tunggal nikel.
Prince de Broglie
sifat gelombang intrinsic
Werner Heisenberg dan
kemudian Erwin Schrödinger
mengembangkan teori
berdasarkan sifat gelombang
dari partikel.
Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel dari
gelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein
ini diperkuat oleh hamburan Compton
Heisenberg
Schrödinger
3.1 Gelombang de Broglie
Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/λ,
dan panjang gelombang λ=h/p.
De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlaku
juga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m
dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie
λ=
Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitungan
relativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistik
momentum:
λ=
h
.
γmv
Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuah
permulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?
h
.
p
partikel dgn momentum p
Digambarkan sbg gelombang
Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baru
untuk partikel.
Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesis
yang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masih
muda.*
h
h
λ= =
p γmv
Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwa
partikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama ini
tdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untuk
membuktikannya?
Verifikasi dengan Eksperimen!
Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel,
panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkan
dengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnya
jarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalam
kristal.
*Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.
Gelombang partikel
dgn panjang
gelombang de Broglie
λ = p/h
Partikel dgn
momentum linear p
Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerak
dengan kecepatan 30 m/s.
Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanpa
relativistik.
h
h
λ=
λ=
γmv
=
mv
non-relativistic: γ=1
6.63×10-34 J ⋅ s
(46×10-3 kg)× ( 30 m/s )
λ = 4.8×10-34 m
Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34 m,
dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya?
Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksi
gelombang bola golf?
Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerak
dengan kecepatan 107 m/s.
Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungan
nonrelativistik sudah cukup.
λ=
λ=
h
mv
6.63×10-34 J ⋅ s
(9.11×10-31 kg)× (107 m/s )
Gelombang Matter adalah fenomena quantum
¾
¾
Konstanta h yg kecil pada λ = h/p membuat karakteristik
gelombang dari partikel susah untuk diobservasi
¾
jika h Æ 0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berarti
perilaku gelombang dari partikel secara effektif akan
“berhenti” dan akan kehilangan sifat gelombangnya
apabila momentum partikel tidak sebanding dengan h ~
10-34 Js
λ = 7.3×10-11 m
Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkan
dengan dimensi atomic, sehingga kita dapat
mempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang dari
elektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.
Sesuatu yang harus kita pikirkan :
Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul ada
disana dan gelombang yang berhubungan dengan partikel
bukan partikel yang terhambur.
Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikel
memiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatan
cahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memiliki
interpretasi secara fisik.
Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan:
E = hf
p = h/λ
ω = 2πf
ħ = h/2π
E = ħω
p = ħk
k = 2π/λ
Efek gelombang partikel sulit diobservasi secara
makroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)
¾
Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akan
muncul jika skala momentum p sebanding dengan harga
h
Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatu
fungsi –“fungsi gelombang”—yang menjelaskan sifat
gelombang dari benda tsb.
Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsi
gelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalu
kemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang
dijelaskannya?
Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkan
tentang matematika gelombang dan fungsi yang
menjelaskannya.
3.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ?
Gelombang air terdiri dari ketinggian air
yang berbeda, gelombang suara terdiri
dari perbedaan tekanan didalam medium,
gelombang E&M terdiri dari osilasi medan
listrik dan magnet. Bagaimana dengan
gelombang partikel?
Ψ
Ψ
Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalam
gelombang partikel?
Sesuatu dimana variasinya
membentuk gelombang partikel
adalah fungsi gelombang function, Ψ
("psi", biasa dibaca "si").
Ψ
Ψ adalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukur
secara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari Ψ = 0.
(ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapi
gelombang sinus tdk sama dgn 0)
Akan tetapi, Ψ dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentan
partikel yang dia representasikan.
Ψ*Ψ mengatakan kepada kita probabilitas menemukan benda
yang direpresentasikan dengan Ψ.
Secara umum, Ψ adalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu.
Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan
Ψ pada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding dengan
harga Ψ*Ψ disana.
jika Ψ complex, maka Ψ*Ψ = Ψ2 adalah real (dan positif).
Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapat
dilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang
“langsung”.
Ψ Adalah solusi Schrödinger. Seperti telah
disinggung didepan, Schrödinger
mengembangkan teori untuk sifat
gelombang partikel. Kita akan
mempelajarinya pada bab 5.
Secara umum, harga Ψ*Ψ adalah antara 0 dan 1. Harga yang
kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitas
menemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besar
menunjukan probabilitas yang besar.
Jika Ψ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidak
ada disana. Jika Ψ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu , objek
pasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukan
bahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimana
dengan tepat kita dapat meletakan objek.
Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadian
itu sendiri.
Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektron
ada disana, tdk berarti 50% ada disana.
Jika probabilitas menemukan elektron pada
(xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron
50% ada disana. Ini berarti ½ dari
pengukuran kita akan menemukan elektron
disana, dan ½ nya lagi tidak menemukan
elektron.
Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka Ψ*Ψ
proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita sering
menyebut Ψ*Ψ sebagai “probability density” meskipun kita
bicara tentang satu partikel.*
Mari kita lihat lebih jauh lagi …
Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombang
Ψ, Ψ*ΨdV adalah probabilitas menemukan partikel (atau
sistem) dalam elemen volume dV.
Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatu
tempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruh
ruang.
Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikel
disuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga
∫
Ψ*Ψ dV = 1 .
all space
Fungsi gelombang yang dinormalisasi.
Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kita
kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalam
ruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalam
beberapa gelombang.
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
¾
momentum benda bergerak dihubungkan dengan
kecepatan yang terukur lewat p = mv
Menentukan Ψ secara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita
akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpa
memasuki bagian detil dari mana itu datang.
¾
Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang
bergerak memiliki momentum dan panjang gelombang
yang dihubungkan oleh p = h/λ
Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam dunia
mekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5.
¾
Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie
(sebut saja vp) harus sama dengan v
Mari kita lihat apakah hal tsb betul
Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang
(tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baik
mempelajari gelombang lebih detail.
¾
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
¾
Dimana panjang gelombang de Broglie λ dihubungkan
dengan kecepatan benda yang terukur lewat λ = h/(mv)
¾
¾
¾
kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgn
frekuensi gelombang dan panjang gelombang lewat
v p=λ f
Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie
adalah E=hf
Sehingga diperoleh, hf = mc
⇒ f = mc 2/h
2
Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm vp=λ f , kita
peroleh
vp=(h/mv)(mc 2/h) =c 2/v
Energi E harus sama dengan energi relativistik dari
benda bergerak, E = mc2
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
vp=c 2/v
Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon
yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga vp= c
Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selalu
c2/v > c
suatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitu
kecepatan gelombang de Broglie vp tdk hanya tdk sama dgn
v tapi juga > c
photon: faster than a
speeding bullet
matter wave: faster than
a speeding photon?
Ada sesuatu yang salah disini
Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengan
kecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itu
gelombang.
Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikan
penurunan persamaan gelombang.
Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi lalu
ayunkan.
Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:
Gerakan tangan
Ikatkan tali disini
Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akan
terbentuk gelombang berdiri.
pulsa
penjalaran gel tali
refleksi (& inverts)
bertemu pulsa lainnya
pd perjalanan pulang
Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalen
untuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y pada
suatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.
x
y = A cos 2πf (t - )
vp
f adl frekuensi dan
vp adl kecepatan
gelombang
x
y = A cos 2π (f t - )
λ
Dgn menggunakan vp = f λ, ω = 2πf, and k = 2π/λ,
Kita dapatkan
Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdk
merepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa.
Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis
"group velocity."
vp
y
x
y = A cos ( kx - ωt ) , or
Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasi
pada arah y.
r r
r r
y = A cos ( k ⋅ r - ωt ) in 3 dimensions.
Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang
berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.
3.4 Kecepatan Fasa dan Group
vp
y
Group gelombang adalah superposisi dari gelombanggelombang yg berbeda.
x
Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang
(and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (ada
harganya disetiap tempat).
Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb?
Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatu
tempat disepanjang sumbu x.
Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel,
kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyak
gelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang
berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyai
panjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.
Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwa
dω dan dk adalah kecil dibanding ω dan k, Beiser
menunnjukan :
dω
dk
tx) .
y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx) ] cos (
2
2
Gelombang dinyatakan
oleh y1+y2 dibangun dari
gelombang dgn frekuensi
sudut ω dan bilangan
gelombang k, dan
mempunyai superposisi
pada suatu modulasi
frekwensi dω/2 dan
bilangan gelombang dk/2.
y1
y2
Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentuk
dari grup.
Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thd λ,
maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbeda
dgn kecepatan group.
Beiser menghitung kecepatan penjalaran, vg, dari grup
sederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.
y1 = A cos (ωt - kx)
y 2 = A cos [(ω + dω) t - (k + dk) x ]
Dua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untuk
membuat gelombang "paket" atau "grup."
dω
dk
tx) .
y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx)] cos (
2
2
Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebab
ini merupakan suatu snapshot pada suatu
waktu dari gelombang yang h bergerak
pada ruang dan waktu.
Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah vp=ω/k,
sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatan
vg=(dω/2)/(dk/2)=dω/dk.
y1+y2
vp =
ω
k
vg =
dω
dk
Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).
ω
k
vp =
vg =
dω
dk
Apakah vg konsisten dengan ide kita tentang kecepatan
partikel?
Frekuensi sudut :
vg dapat > vp atau < vp.
Jika kecepatan fasa vp sama untuk seluruh panjang
gelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, maka
kecepatan fasa dan group adalah sama.
Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumus
matematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah vg?
Bilangan gelombang: k =
vg =
dω
dk
mc 2 2π
(γ m0c2 )
=
h
h
ω = 2π f ⇒ ω = 2π
⇒
2π m0 v
d ω 2π m0 c 2 d γ
=
=
dv
h dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
k=
2π
vg =
λ
=
2π m0
2π mv
dk
⇒
=
h
dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
d ω d ω dk
/
=
=v
dk
dv dv
2πγmc 2
2πmc 2
=
2
h
h 1- v
2π 2πγmv
2πmv
=
=
2
λ
h
h 1- v
.
c
2
.
c
2
Gunakan pers. Diatas untuk menghitung
vp =
Hasilnya: vp=c2/v (kita sudah tahu ini) dan vg=v (kecepatan
partikel).
ω = 2πf =
ω
k
vg =
dω
dk
Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasa
gelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kita
dapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasi
lebih cepat dari kecepatan cahaya c?
Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau
“energi” ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdk
dapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadian
itu terjadi
Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi,
tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi,
yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan vg,
maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatu
kecepatan lebih besar dari c
Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebih
merepresentasikanpartikel:
Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -ωt ) .
Ingat relasi Euler mengatakan ejθ dibentuk dari sinus dan
cosinus.
Gelombang grup de Broglie’ diidentifikasi dengan partikel yg
bergerak dgn kecepatan v
3.5 Diffraksi Partikel
Diffraksi adalah perilaku gelombang.
Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yg
lainnya : Ψ(x) = exp(-x2/0.2) exp(10jπx).
modulasi
ossillasi
Coba plot Ψ vs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner.
Tidak ada “t” pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombang
bervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat dia
menjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.
Penjelasan diffraksi partikel dengan
menggunakan cara klasik sangatlah
sulit. Diffraksi partikel hanya dapat
dijelaskan dengan mekanika kuantum.
Eksperimen Davisson and Gremer
¾
DG mengkonfirmasi perilaku
gelombang dari elektron yang
mengalami diffraksi Bragg
¾
Elektron Thermionik yang
dihasilkan oleh hot filamen
dipercepat dan difokuskan ke
target pada kondisi vacuum.
¾
Menurut mekanika klasik
seharusnya elektron akan
dihamburkan kesegala arah
¾
Tapi kenyataannya elektron
dihamburkan pada sudut φ ke
detektor yang dapat digerakan
Davisson dan Gremer
Diffraksi konstruktif Bragg
Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG?
¾
Elektron didifraksikan oleh atom
pd permukaan (yg bertindak sbg
grating) logam seperti elektron
berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai
gelombang seperti yang
dipostulatkan oleh de Broglie
¾
Elektron didifraksikan oleh atom
pd permukaan (yg bertindak sbg
grating) logam seperti elektron
berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai
gelombang seperti yang
dipostulatkan oleh de Broglie
Puncak yg tajam
dr interferensi
konstruktif antara
gelombang elektron yg dihamburkan oleh atom
yg berbeda pd
permukaan kristal
¾
Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1
interferensi konstruktif : dsin φ = 1λ
¾
dimana φ = 50o untuk V = 54 V
¾
Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray
yang dilakukan terpisah, kita
mengetahui bahwa d = 2.15 A
¾
Sehingga panjang gelombang elektron
adalah λ = dsinθ = 1.65 A
¾
1.65 A adalah hasil yg diperoleh dari
eksperimen dan harus dicek dengan
harga yang diprediksi secara teoritis
oleh de Broglie
φ
Nilai teoriti λ elektron
¾
Potensial eksternal V mempercepat elektron melalui
Prediksi Teori cocok dgn pengukuran
¾
Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir mirip
dengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom)
EV=EK
¾
Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi ke
EK = 54 eV (non-relativistic)
¾
Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimen
telah dikonfirmasi
¾
Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang
deakselerasi ke EK = p2/2me = 54 eV memiliki pajang
gelombang ekuivalen λ = h/p = h/(2Kme)-1/2 = 1.67 A
¾
Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikel
mikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapi
juga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton,
molekule dsb)
¾
Dalam bentuk potensial eksternal ,
λ = h/(2EVme)-1/2
Applikasi gelombang elektron:
Mikroskop Elektron, Nobel Prize
1986 (Ernst Ruska)
¾
Panjang gelombang
elektron de Broglie dapat
diatur lewat
λ = h/(2EVme)-1/2
¾
Mikroskop elektron dapat
memiliki perbesaran
sampai x500000 (EV
30kV) resolusi 0.1 nm
Manifestasi lainnya dari perilaku gelombang
elektron
¾
Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar pola
diffraksi
3.6 partikel dlm Box
Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilaku
gelombang
Apa artinya perilaku gelombang dari partikel?
Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanya
sesuatu yang ditemukan fisikawan?
Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrödinger
bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?
Apakah elektron itu gelombang atau partikel?
Kedua-duanya ada, tapi tidak
simultan.
Pada beberapa eksperimen
(atau pengamatan empirik)
hanya satu aspek gelombang
atau partikel saja yang dapat
teramati.
Seperti coin dgn dua muka.
Tapi kita hanya dapat melihat
salah satu sisinya saja pada
suatu waktu
Ini yang disebut sebagai
dualitas gelombang-partikel
elektron sbg
partikel
elektron sbg
gelombang
Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kita
bahas didepan.
Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuat
pd satu ujung karena interferensi antara gelombang datang
dan gelombang pantul yang berbeda fasa 180° ketika
mencapai ujung terikat.
Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergerak
naik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang
sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jika
berbeda fasa 180° akan diperoleh minimum.
Kita hanya dapat melihat gelombang
berdiri pada kecepatan dan panjang
gelombang tertentu.
Misalnya gelombang berdiri pada
partikel di dalam box sebelah ini.
Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikel
direpresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikel
bergerak “dengan” partikel dan akan dipantulkan ketika
mencapai dinding box.
Interferensi konstruktif terjadi bila
panjang box adalah kelipatan integer
dari ½ panjang gelombang dari
gelombang partikel (L=nλ/2), sehingga
panjang gelombang Broglie dari partikel
yang terkrung adalah :
2L
λn =
, n = 1,2,3...
n
Karena KE = mv2/2 dan λ = h /mv, batasan pada λ juga
merupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:
n2h2
En =
, n = 1,2,3...
8mL2
Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombang
partikel), gelombang partikel “terlipat dan terlipat lagi" setiap
dipantulkan dinding.
visualisai
Segmen gelombang partikel dan pantulannya akan
berinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikel
dapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdk
dapat eksis didalam box.
λn =
2L
, n = 1,2,3...
n
En =
n2h2
, n = 1,2,3...
8mL2
Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebut
sebagai bilangan kuantum.
Pikirkan box sebagai sumur potensial,
dimana didlmnya terdapat partikel.
partikel bebas, diluar box, dapat memiliki
sembarang energi dan panjang
gelombang.
Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombang
dan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd
diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkan
energi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.
CONTOH
10 gram marble dlm 10 cm box :
En =
En =
elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) “box” :
n2h2
8mL2
En =
n2 ( 6.63×10-34 )
8 (10×10
-3
n2h2
8mL2
2
)(10 )
-1 2
En = 5.5×10-64 n2 Joules
energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble
pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde
1030. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilaku
kuantum marble dalam box.
3.7 prinsip ketidak pastian I – penurunan
berdasarkan sifat gelombang partikel
Misalkan partikel dinyatakan dgn
grup gelombang disamping ini.
En =
n2 ( 6.63×10-34 )
2
8 ( 9.11×10-31 )(10-10 )
2
En = 6.0×10-18 n2 Joules = 38 n2 eV
energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkat
energi cukup terpisah shg dapat terukur.
Sekarang partikel dinyatakan
dgn grup gelombang disamping
ini.
Dimana partikel?
Dimana partikel?
Berapa panjang gelombangnya?
Berapa panjang gelombangnya?
Posisi dapat didefinisikan dgn
baik, tapi panjang gelombang
tdk terdefinisi dengan baik.
panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibanding
posisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar pada
posisi partikel’s.
Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum
partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum saling
berhubungan).
Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi dan
momentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail
pada transformasi Fourier dan representasi group gelombang
dgn menjumlahkan masing-masing gelombang.
¾
grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyak
gelombang yang berbeda ω dan k-nya sebesar ∆ω dan
∆k (atau ekuivalen dgn ∆λ)
Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik
¾
A1, k1
Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidak
pastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secara
matematis dgn beberapa pendekatan)
~
A3, k3
¾
A4, k4
.
.
.
¾
k = 2π/λ, maka ∆k/k = ∆λ/λ
gelombang partikel harus mengikuti relasi
ketidak pastian yg sama
¾
dimana
¾
∆E∆t ≥
h
2
h = h / 2π
Buktikan sendiri (hint: mulai dr p = h/λ, ∆p/p = ∆λ/λ)
∆ν∆t ≥
1
4π
Hubungan Ketidakpastian Heisenberg
∆p x ∆x ≥
¾
h
2
λ2
≡ ∆k∆x ≥ 1 / 2
4π
Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang berada
pd daerah sempit ∆x memerlukan rentang bilangan gelombang
yang besar, yaitu ∆k besar. Kebalikannya, rentang sempit
bilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paket
gelombang pada lokasi jarak yang sempit.
Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) dan
panjang gelombang (frekuensi) dihubungkan oleh p = h/λ
(E = hν), hubungan ketidak pastian gelombang klasik di
terjemahkan menjadi
∆p x ∆x ≥
~
Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpa
pendekatan) memberikan relasi yg eksak
∆λ∆x ≥
∆x
∆t∆ν ≥ 1
∆λ∆x > λ2 ≡ ∆k∆x > 2π
A2, k2
h
2
∆E ∆ t ≥
h
2
Perkalian ketidakpastian
momentum (energi) dan posisi
(waktu) sedikitnya sebesar
konstanta Planck
Apa artinya
∆p x∆x ≥
h
2
¾
Penetapan batas terendah mungkin ada pada
ketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai px
dan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatu
eksperimen dilakukan.
¾
¾
Adalah mustahil untuk menetapkan secara
serempak dan dengan ketepatan yang tanpa
batas momentum linear dan posisi suatu partikel
yang bersesuaian.
¾
∆E∆t ≥
oleh karena itu, energi suatu objek atau sistem
dapat diukur dengan ketepatan tanpa batas
( ∆E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatu
waktu tak batas (∆t→∞)
CONTOH
Variabel Konjugat
¾
¾
h
2
Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E
pada suatu periode terbatas ∆t, maka energi ini
adalah tidak-pasti dengan ketidakpastian
sedikitnya sejumlah h/(4π∆t)
Apa artinya
{px,x}, {E,t} adalah konjugat
Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%.
Memiliki harga 5.00 x 103 m/s Cari ketidakpastian pada posisi
elektron
variables
¾
Konjugat variabel pada prinsipnya
tidak bisa diukur (atau diketahui)
dengan ketepatan tanpa batas
secara serempak
SOLUSI
¾ v = 5.00 × 103 m/s; (∆v)/v = 0.003%
¾ Dart definisi, p = mev = 4.56 x 10-27 Ns;
¾ ∆p = 0.003% x p = 1.37x10-27 Ns
¾ maka, ∆x ≥ h/4π∆p = 0.38 nm
p = (4.56±1.37)×10-27 Ns
∆x = 0.38 nm
∆x
0
x
Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik
CONTOH SOAL
¾
Muatan meson π memiliki energi diam 140 MeV dan
lifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energi π meson,
dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya
Solusi
¾ E = mπc2 = 140 MeV, ∆τ = 26 ns.
¾ ∆E ≥h/4π∆τ = 2.03×10-27J
= 1.27×10-14 MeV;
¾ ∆E/E = 1.27×10-14 MeV/140 MeV = 9×10-17
Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard
(m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m
Solusi
Untuk ∆x ~ 1 m, we have
∆p ≥h/4π∆x = 5.3x10-35 Ns,
¾ Shg ∆v = (∆p)/m ≥ 5.3x10-34 m/s
¾ ∆v = 5.3x10-34 m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola
billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantum
¾ Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut
benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian
∆v = 5.3 x 10-34 m/s
eksis untuk
Sekarang
kita melihat
E ±∆E
∆τ = 26 ns
100 g bola billard
ukuran ~ 2 cm
Sekarang
??
panjang1 m meja billard
partikel yang berada pd daerah tertebatas harus
memiliki minimal EK
Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsip
ketidak pastian adalah partikel yang diletakan pada
suatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapat
secara eksak pada keadaan diam.
Kenapa ???, karena ………….
Berapa EKave partikel dlm box karena prinsip
ketidak pastian?
Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlm
box
prinsip ketidakpastian mensyaratkan ∆p ≥ (h/4π a)
maka, besarnya p, secara rata-rata, harus sedikitnya sama
dengan ∆p
Shg EK, harus rata-rata berada disekitar
Jika dia betul-betul diam, momentumnya harus
secara pasti = 0, artinya ∆p = 0, yang menyalahi
prinsip ketidakpastian.
EK ave
| p | ≥ ∆p
2
p2
(
∆p )
h2
>
=
>
~ 2m ~ 8ma 2
2
m
ave
Zero-point energy
EK ave
2
p2
(
∆p )
h2
>
>
=
2
2m av ~ 2m ~ 8ma
Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang
mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerah
selebar a
a
LATIHAN SOAL
Misalkan Vx dari benda bermasa 2x10-4 kg diukur dengan
akurasi ±10-6m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapat
meletakan partikel sepanjang sumbu x?
Solusi :
h
∆p∆x ≥ ; p = mv;
2
∆ ( mv ) ∆x = m∆v∆x ≥
Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal
ketika membahas persamaan Schrodinger untuk
partikel dalam box.
Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikel
sama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapa
minimal ketidak pastian kecepatan, vx?
A. vx/4p
D. vx
JAWAB: A
B. vx/2p
E. vx/p
C. vx/8p
∆x ≥
h
2
h
h
=
= 1.32 × 10−25 m
2m∆v 4π m∆v
Example 3.6
Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ±1.00x10-11 m.
Cari ketidak pastian pd posisi proton 1 s kemudian.
Assumsikan v > mc2 sehingga
2
(
E = mc
E=
Energi elektron “diam” =… 0.511 MeV/c2.
≈0
2
)
2
+p2 c 2
hc
2 ∆x
p
(1.055×10 ) ( 3×10 )
E=
2 (1×10 )
-34
8
-14
KE = p2 / 2m
)
+ p2 c 2 .
Example 3.9
Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihan
energinya dengan cara mengemisikan photon. Periode waktu
rata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8 s.
Cari ketidak pastian frekuensi photon.
Kita punya waktu, yg dicari ∆f, tapi E dan f memiliki relasi, shg
∆E∆t ≥
h
4π
E = hf ⇒ ∆E = h∆f
h ∆f ∆t ≥
∆f ≥
h
4π
1
4 π∆t
Untuk energi yang cukup besar, E≈pc.
∆f ≥
1
4 π (10-8 )
∆f ≥ 7.96×106 Hz
Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang
diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnya
intrinsic linewidth seperti dibawah ini.
Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser
yang sangat tajam, yaitu laser hanya
memiliki satu warna. Lebar spektrum laser
ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandaipandainya kita mendisain tidak akan pernah
dapat lebih sempit dari yang ditentukan oleh
prinsip ketidak pastian.
intensity
(
E2 = mc 2
E = 1.58×10-12 joules = 9.89 MeV
2
frequency