Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014 (Hari Pertama) www.olimattohir.blogspot.com
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2014
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.
Bahri bertempat tinggal cukup dekat dengan Jam Gadang di kota Bukit tinggi Sumatera barat.
Bahri memiliki jam antik. Pada hari senin tanggal 4 Maret 2013 pukul 10.00 pagi, jam antik Bahri
terlambat dua menit dibandingkan Jam Gadang. Sehari kemudian, jam antiknya terlambat empat
menit dibandingkan Jam Gadang. Tanggal 6 Maret 2013 jam tersebut terlambat enam menit
dibandingkan Jam gadang. Hari-hari berikutnya Bahri mengamati bahwa jam antiknya
menunjukkan pola keterlambatan yang sama. Pada hari apa dan tanggal berapakah di tahun 2014
jam antik Bahri (jarum pendek dan jarum panjang) menunjuk angka yang sama dengan Jam
Gadang?
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa sejak hari senin tanggal 4 maret 2013 pada pukul 10.00 pagi
jam antik Bahri menunjukkan pola keterlambatan yang sam pada hari-hari berikutnya
dibandingkan jam Gadang, yaitu 2 menit, 4 menit, 6 menit, 8 menit dan seterusnya.
Oleh karena itu, kita mencari pola untuk mengetahui hari apa dan tanggal berapa di tahun 2014
menunjukkan jam yang sama antara jam antik Bahri dengan jam Gadang, sebagai berikut:
Hari ke-1
: jam antik Bahri terlambat 1×2 = 2 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-2
: jam antik Bahri terlambat 2×2 = 4 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-3
: jam antik Bahri terlambat 3×2 = 6 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-4
: jam antik Bahri terlambat 4×2 = 8 menit dibandingkan jam Gadang
.
.
.
: ....
: ....
: ....
Hari ke-10
.
.
.
: jam antik Bahri terlambat 10×2 = 20 menit dibandingkan jam Gadang
: ....
: ....
: ....
Hari ke-20
.
.
.
: jam antik Bahri terlambat 20×2 = 40 menit dibandingkan jam Gadang
: ....
: ....
: ....
Hari ke-30
: jam antik Bahri terlambat 30×2 = 60 menit dibandingkan jam Gadang
Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa setiap 30 hari jam antik Bahri terlambat 60
menit atau 1 jam dibanding jam Gadang.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Sehingga...
karena ada 12 jam dalam satu kali putaran, maka hari yang diperlukan untuk menunjukkan jam
yang sama adalah 30×12 = 360 hari
karena tahun 2013 dan tahun 2014 bukan termasuk tahun kabisat, maka 1 tahun ada 365 hari,
artinya bahwa 365 hari setelah tanggal 4 Maret 2013 adalah tanggal 3 maret 2014.
Sedangkan banyak hari yang dibutuhkan pada permasalahan yang adalah adalah 360 hari,
sehingga mundur 5 hari dari tanggal 3 maret 2014, yaitu tanggal 26 Pebruari 2014
360
= 51 sisa 3
7
Hal ini berarti bahwa hari ke-360 jatuh pada hari ke-3 setelah hari Minggu, yaitu hari Rabu
Selanjutnya kita mencari hari, yaitu
Dengan demikian, hari dan tanggal yang ditanyakan adalah hari Rabu tanggal 26 Pebruari 2014
Jadi, jam antik Bahri (jarum pendek dan jarum panjang) menunjuk angka yang sama
dengan Jam Gadang yaitu pada hari Rabu tanggal 26 Pebruari 2014
2.
Pada satu musim kompetisi Liga Sepakbola Indonesia diikuti oleh 20 tim sepakbola. Setiap tim
bertanding dengan setiap tim lain sebanyak dua kali. Nilai hasil setiap pertandingan adalah 3 jika
menang, 1 jika imbang (seri), dan 0 jika kalah. Setiap minggu ada 10 pertandingan yang
melibatkan semua tim. Juara kompetisi adalah tim yang mendapatkan total nilai tertinggi. Pada
akhir minggu ke berapakah paling cepat yang mungkin, juara kompetisi pada musim tersebut
dapat dipastikan?
Pembahasan:
Diketahui bahwa terdapat 20 tim sepakbola pada liga LSI, dimana pada setiap tim akan bermain 2
kali dengan tim lainnya.
Sehingga menurut Penulis dapat diasumsikan dalam hal ini terdapat 2 putaran pertandingan.
Alternatif 1:
Dalam kasus ini, Penulis memilih kemungkinan yang terjadi sebagai berikut ini:
Selanjutnya agar waktu yang dibutuhkan adalah paling cepat ditentukan pemenangnya, maka
syaratnya harus ada tim A yang harus selalu menang pada putaran pertama sehingga tim A
tersebut mendapatkan skor 19×3 = 57. Sedangkan tim lainnya harus mendapatkan skor maksimal
9 dari sisa 18 pertandingan.
Sehingga pada putaran kedua tim A dapat mengunci gelar pada 4 putaran pertama dan pada 4
putaran tersbut tim A harus selalu menang, sehingga skor yang didapat adalah 57 + 4×3 = 69 poin
Setelah putaran ke-4 tersebut, miskipun tim ada lain selalu menang dan tim A selalu kalah, maka
skor yang didapat oleh tim A sudah tidak terkejar lagi, karena skor yang di dapat oleh tim tersebut
maksimal akan didapat 19×3 + 9 = 66 poin
Jadi, paling cepat pemenang akan mengunci gelar yaitu pada minggu ke-23
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Alternatif 2:
Selanjutnya agar waktu yang dibutuhkan adalah paling cepat ditentukan pemenangnya, maka
syaratnya harus ada tim A yang harus selalu menang, dan tim yg lain itu seri terus, dan kalah pada
tim A, sehingga maka klasmen pada putaran pertama, sebagai berikut
1. Tim A = 57
2. Tim B =18
3. Tim C = 18
.
.
.
18. Tim R = 18
19. Tim S = 18
20. Tim T =18
Oleh karena itu, selisih poin tim A dengan tim lainnya adalah 57 – 18 = 39
Sedangkan pada putaran kedua selisih poin A dengan tim lainnya sebagai berikut:
60 – 19 = 41 (minggu ke-20)
63 – 20 = 43 (minggu ke-21)
66 – 21 = 45 (minggu ke-22)
69 – 22 = 47 (minggu ke-23)
.
.
.
114 – 36 = 78 (minggu ke-38)
Dengan demikian, disebabkan karena pada stiap pertandingan selisih tim A dngan tim lainnya
selalu bertambah 2, maka tim A hanya membutuhkan:
18
2 =12 poin lagi, tepatnya 4 pertandingan lagi sesudah putaran pertama, yaitu pada minggu ke3
19 + 4 = 23
Jadi, paling cepat pemenang akan mengunci gelar yaitu pada minggu ke-23
3.
Perhatikan gambar berikut.
F
C
D
E
A
G
B
Segiempat ABCD adalah segiempat talibusur (segiempat yang keempat titik sudutnya terletak
pada lingkaran). Diketahui CF tegak lurus AF, CE tegak lurus BD, dan CG tegak lurus AB.
Apakah pernyataan berikut benar? Tuliskan alasan Anda!
BD AB AD
CE CG CF
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
F
C
D
E
A
B
G
Dibuat garis bantu AC,
sehingga besar CAD = CBD dan CAB = CDB serta ABD = ACD
Kemudian perhatikan CAF dengan CBD! Keduanya adalah sebangun, diperoleh
AF CF
BE AF
........ (1)
CE CF
BE CE
Perhatikan juga CAG dengan CDE! Keduanya adalah sebangun, diperoleh
AG CG
DE AG
........ (2)
DE CE
CE CG
Perhatikan pula CFD dengan CGB!
Keduanya adalah sebangun karena besar CDF = DAC + DCA = CBG, sehingga DF = BG,
CF = BC dan CD = CB, diperoleh
DF CF
BG CG
DF BG
........ (3)
CF CG
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat
BE AF
DE AG
dan
CE CF
CE CG
BE DE AF AG
CE CE CF CG
BD AF AG
CE CF CG
Selanjutnya mencari pola untuk dihubungkan dengan persamaan (3), yaitu
BD AF AG
CE CF CG
BD
CE
BD
CE
BD
CE
BD
CE
Jadi, terbukti bahwa
AD DF AB BG
CF
CG
AD DF AB BG
CF CF CG CG
AB AD DF BG
CG CF CF CG
AB AD
CG CF
BD AB AD
CE CG CF
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
4.
Misalkan 20142014 = M. Jika jumlah semua angka (digit) penyusun bilangan M sama dengan A dan
jumlah semua angka penyusun bilangan A sama dengan B, maka tentukan jumlah semua angka
penyusun B
Pembahasan:
Untuk mengetahui jumlah semua angka penyusun dari 20142014 hingga mendapatkan digit 1, maka
bilangan tersebut di modulukan 9 (kecuali bilangan kelipatan 9), yaitu sebagai berikut
2014
2014
2014
≡ 2014
(mod 9)
2014
≡ (7)
(mod 9)
≡ (7)3 × 671 + 1 (mod 9)
(73)671 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡ (343)1007 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡ (– 1)1007 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡1×7
7
Jadi, jumlah semua angka penyusun B adalah 7.
5.
Tentukan semua bilangan bulat positif n < 200 sehingga n2 + (n + 1)2 adalah kuadrat dari suatu
bilangan bulat.
Pembahasan:
Misalkan n2 + (n + 1)2 = m2
Persamaan n2 + (n + 1)2 = m2 merupakan Tripel Pythagoras, Tripel Pythagoras adalah tiga
bilangan asli yang tepat untuk menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku
Berlaku sebagai berikut: a2 – b2, 2ab, a2 + b2
Sehingga ada 2 kemungkinan
Kemungkinan I:
n = a2 – b2 dan n + 1 = 2ab
a2 – b2 + 1 = 2ab
a2 – b2 – 2ab + 1 = 0
a2 + b2 – 2b2– 2ab + 1 = 0
a2 + b2 – 2ab = 2b2 – 1
(a – b)2 = 2b2 – 1
a – b = ± 2b 2 1
a = b ± 2b 2 1
Pada kondisi seperti ini yang memenuhi untuk b adalah b = 1 dan b = 5,
sehingga jika b = 1, maka a = 2
jika b = 5, maka a = 12
oleh karena itu untuk a = 2 dan b = 1 didapat n = 3 dan n + 1 = 4
untuk a = 12 dan b = 5 didapat n = 119 dan n + 1 = 120
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Kemungkinan II:
n = 2ab dan n + 1 = a2 – b2
a2 – b2 = 2ab + 1
a2 – b2 – 2ab = 1
a2 + b2 – 2b2 – 2ab = 1
a2 + b2 – 2ab = 2b2 + 1
(a – b)2 = 2b2 + 1
a – b = ± 2b 2 1
a = b ± 2b 2 1
Pada kondisi seperti ini yang memenuhi untuk b adalah b = 2,
sehingga jika b = 2, maka a = 5
oleh karena itu untuk a = 5 dan b = 2 didapat n = 20 dan n + 1 = 21
Jadi, semua bilangan bulat positif untuk (n, n + 1) adalah (3, 4), (20, 21), dan (119, 120)
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
6
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2014
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
A. HARI PERTAMA
1.
Bahri bertempat tinggal cukup dekat dengan Jam Gadang di kota Bukit tinggi Sumatera barat.
Bahri memiliki jam antik. Pada hari senin tanggal 4 Maret 2013 pukul 10.00 pagi, jam antik Bahri
terlambat dua menit dibandingkan Jam Gadang. Sehari kemudian, jam antiknya terlambat empat
menit dibandingkan Jam Gadang. Tanggal 6 Maret 2013 jam tersebut terlambat enam menit
dibandingkan Jam gadang. Hari-hari berikutnya Bahri mengamati bahwa jam antiknya
menunjukkan pola keterlambatan yang sama. Pada hari apa dan tanggal berapakah di tahun 2014
jam antik Bahri (jarum pendek dan jarum panjang) menunjuk angka yang sama dengan Jam
Gadang?
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa sejak hari senin tanggal 4 maret 2013 pada pukul 10.00 pagi
jam antik Bahri menunjukkan pola keterlambatan yang sam pada hari-hari berikutnya
dibandingkan jam Gadang, yaitu 2 menit, 4 menit, 6 menit, 8 menit dan seterusnya.
Oleh karena itu, kita mencari pola untuk mengetahui hari apa dan tanggal berapa di tahun 2014
menunjukkan jam yang sama antara jam antik Bahri dengan jam Gadang, sebagai berikut:
Hari ke-1
: jam antik Bahri terlambat 1×2 = 2 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-2
: jam antik Bahri terlambat 2×2 = 4 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-3
: jam antik Bahri terlambat 3×2 = 6 menit dibandingkan jam Gadang
Hari ke-4
: jam antik Bahri terlambat 4×2 = 8 menit dibandingkan jam Gadang
.
.
.
: ....
: ....
: ....
Hari ke-10
.
.
.
: jam antik Bahri terlambat 10×2 = 20 menit dibandingkan jam Gadang
: ....
: ....
: ....
Hari ke-20
.
.
.
: jam antik Bahri terlambat 20×2 = 40 menit dibandingkan jam Gadang
: ....
: ....
: ....
Hari ke-30
: jam antik Bahri terlambat 30×2 = 60 menit dibandingkan jam Gadang
Berdasarkan pola di atas, dapat kita simpulkan bahwa setiap 30 hari jam antik Bahri terlambat 60
menit atau 1 jam dibanding jam Gadang.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Sehingga...
karena ada 12 jam dalam satu kali putaran, maka hari yang diperlukan untuk menunjukkan jam
yang sama adalah 30×12 = 360 hari
karena tahun 2013 dan tahun 2014 bukan termasuk tahun kabisat, maka 1 tahun ada 365 hari,
artinya bahwa 365 hari setelah tanggal 4 Maret 2013 adalah tanggal 3 maret 2014.
Sedangkan banyak hari yang dibutuhkan pada permasalahan yang adalah adalah 360 hari,
sehingga mundur 5 hari dari tanggal 3 maret 2014, yaitu tanggal 26 Pebruari 2014
360
= 51 sisa 3
7
Hal ini berarti bahwa hari ke-360 jatuh pada hari ke-3 setelah hari Minggu, yaitu hari Rabu
Selanjutnya kita mencari hari, yaitu
Dengan demikian, hari dan tanggal yang ditanyakan adalah hari Rabu tanggal 26 Pebruari 2014
Jadi, jam antik Bahri (jarum pendek dan jarum panjang) menunjuk angka yang sama
dengan Jam Gadang yaitu pada hari Rabu tanggal 26 Pebruari 2014
2.
Pada satu musim kompetisi Liga Sepakbola Indonesia diikuti oleh 20 tim sepakbola. Setiap tim
bertanding dengan setiap tim lain sebanyak dua kali. Nilai hasil setiap pertandingan adalah 3 jika
menang, 1 jika imbang (seri), dan 0 jika kalah. Setiap minggu ada 10 pertandingan yang
melibatkan semua tim. Juara kompetisi adalah tim yang mendapatkan total nilai tertinggi. Pada
akhir minggu ke berapakah paling cepat yang mungkin, juara kompetisi pada musim tersebut
dapat dipastikan?
Pembahasan:
Diketahui bahwa terdapat 20 tim sepakbola pada liga LSI, dimana pada setiap tim akan bermain 2
kali dengan tim lainnya.
Sehingga menurut Penulis dapat diasumsikan dalam hal ini terdapat 2 putaran pertandingan.
Alternatif 1:
Dalam kasus ini, Penulis memilih kemungkinan yang terjadi sebagai berikut ini:
Selanjutnya agar waktu yang dibutuhkan adalah paling cepat ditentukan pemenangnya, maka
syaratnya harus ada tim A yang harus selalu menang pada putaran pertama sehingga tim A
tersebut mendapatkan skor 19×3 = 57. Sedangkan tim lainnya harus mendapatkan skor maksimal
9 dari sisa 18 pertandingan.
Sehingga pada putaran kedua tim A dapat mengunci gelar pada 4 putaran pertama dan pada 4
putaran tersbut tim A harus selalu menang, sehingga skor yang didapat adalah 57 + 4×3 = 69 poin
Setelah putaran ke-4 tersebut, miskipun tim ada lain selalu menang dan tim A selalu kalah, maka
skor yang didapat oleh tim A sudah tidak terkejar lagi, karena skor yang di dapat oleh tim tersebut
maksimal akan didapat 19×3 + 9 = 66 poin
Jadi, paling cepat pemenang akan mengunci gelar yaitu pada minggu ke-23
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Alternatif 2:
Selanjutnya agar waktu yang dibutuhkan adalah paling cepat ditentukan pemenangnya, maka
syaratnya harus ada tim A yang harus selalu menang, dan tim yg lain itu seri terus, dan kalah pada
tim A, sehingga maka klasmen pada putaran pertama, sebagai berikut
1. Tim A = 57
2. Tim B =18
3. Tim C = 18
.
.
.
18. Tim R = 18
19. Tim S = 18
20. Tim T =18
Oleh karena itu, selisih poin tim A dengan tim lainnya adalah 57 – 18 = 39
Sedangkan pada putaran kedua selisih poin A dengan tim lainnya sebagai berikut:
60 – 19 = 41 (minggu ke-20)
63 – 20 = 43 (minggu ke-21)
66 – 21 = 45 (minggu ke-22)
69 – 22 = 47 (minggu ke-23)
.
.
.
114 – 36 = 78 (minggu ke-38)
Dengan demikian, disebabkan karena pada stiap pertandingan selisih tim A dngan tim lainnya
selalu bertambah 2, maka tim A hanya membutuhkan:
18
2 =12 poin lagi, tepatnya 4 pertandingan lagi sesudah putaran pertama, yaitu pada minggu ke3
19 + 4 = 23
Jadi, paling cepat pemenang akan mengunci gelar yaitu pada minggu ke-23
3.
Perhatikan gambar berikut.
F
C
D
E
A
G
B
Segiempat ABCD adalah segiempat talibusur (segiempat yang keempat titik sudutnya terletak
pada lingkaran). Diketahui CF tegak lurus AF, CE tegak lurus BD, dan CG tegak lurus AB.
Apakah pernyataan berikut benar? Tuliskan alasan Anda!
BD AB AD
CE CG CF
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
F
C
D
E
A
B
G
Dibuat garis bantu AC,
sehingga besar CAD = CBD dan CAB = CDB serta ABD = ACD
Kemudian perhatikan CAF dengan CBD! Keduanya adalah sebangun, diperoleh
AF CF
BE AF
........ (1)
CE CF
BE CE
Perhatikan juga CAG dengan CDE! Keduanya adalah sebangun, diperoleh
AG CG
DE AG
........ (2)
DE CE
CE CG
Perhatikan pula CFD dengan CGB!
Keduanya adalah sebangun karena besar CDF = DAC + DCA = CBG, sehingga DF = BG,
CF = BC dan CD = CB, diperoleh
DF CF
BG CG
DF BG
........ (3)
CF CG
Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat
BE AF
DE AG
dan
CE CF
CE CG
BE DE AF AG
CE CE CF CG
BD AF AG
CE CF CG
Selanjutnya mencari pola untuk dihubungkan dengan persamaan (3), yaitu
BD AF AG
CE CF CG
BD
CE
BD
CE
BD
CE
BD
CE
Jadi, terbukti bahwa
AD DF AB BG
CF
CG
AD DF AB BG
CF CF CG CG
AB AD DF BG
CG CF CF CG
AB AD
CG CF
BD AB AD
CE CG CF
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
4.
Misalkan 20142014 = M. Jika jumlah semua angka (digit) penyusun bilangan M sama dengan A dan
jumlah semua angka penyusun bilangan A sama dengan B, maka tentukan jumlah semua angka
penyusun B
Pembahasan:
Untuk mengetahui jumlah semua angka penyusun dari 20142014 hingga mendapatkan digit 1, maka
bilangan tersebut di modulukan 9 (kecuali bilangan kelipatan 9), yaitu sebagai berikut
2014
2014
2014
≡ 2014
(mod 9)
2014
≡ (7)
(mod 9)
≡ (7)3 × 671 + 1 (mod 9)
(73)671 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡ (343)1007 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡ (– 1)1007 (mod 9) × 7 (mod 9)
≡1×7
7
Jadi, jumlah semua angka penyusun B adalah 7.
5.
Tentukan semua bilangan bulat positif n < 200 sehingga n2 + (n + 1)2 adalah kuadrat dari suatu
bilangan bulat.
Pembahasan:
Misalkan n2 + (n + 1)2 = m2
Persamaan n2 + (n + 1)2 = m2 merupakan Tripel Pythagoras, Tripel Pythagoras adalah tiga
bilangan asli yang tepat untuk menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku
Berlaku sebagai berikut: a2 – b2, 2ab, a2 + b2
Sehingga ada 2 kemungkinan
Kemungkinan I:
n = a2 – b2 dan n + 1 = 2ab
a2 – b2 + 1 = 2ab
a2 – b2 – 2ab + 1 = 0
a2 + b2 – 2b2– 2ab + 1 = 0
a2 + b2 – 2ab = 2b2 – 1
(a – b)2 = 2b2 – 1
a – b = ± 2b 2 1
a = b ± 2b 2 1
Pada kondisi seperti ini yang memenuhi untuk b adalah b = 1 dan b = 5,
sehingga jika b = 1, maka a = 2
jika b = 5, maka a = 12
oleh karena itu untuk a = 2 dan b = 1 didapat n = 3 dan n + 1 = 4
untuk a = 12 dan b = 5 didapat n = 119 dan n + 1 = 120
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Kemungkinan II:
n = 2ab dan n + 1 = a2 – b2
a2 – b2 = 2ab + 1
a2 – b2 – 2ab = 1
a2 + b2 – 2b2 – 2ab = 1
a2 + b2 – 2ab = 2b2 + 1
(a – b)2 = 2b2 + 1
a – b = ± 2b 2 1
a = b ± 2b 2 1
Pada kondisi seperti ini yang memenuhi untuk b adalah b = 2,
sehingga jika b = 2, maka a = 5
oleh karena itu untuk a = 5 dan b = 2 didapat n = 20 dan n + 1 = 21
Jadi, semua bilangan bulat positif untuk (n, n + 1) adalah (3, 4), (20, 21), dan (119, 120)
Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
6