Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014 (Hari Kedua) www.olimattohir.blogspot.com

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2014
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
B. HARI KEDUA
6.

Halaman rumah Nurbaya yang berbentuk persegi panjang akan ditutupi dengan sejumlah paving
blok yang berbentuk segienam beraturan atau potongannya seperti gambar di bawah. Panjang sisi
segienam tersebut adalah 12 cm. Pemasangan paving blok yang lain atau potongannya sehingga
seluruh permukaan halaman tertutup penuh. Untuk menutupi seluruh permukaan halaman rumah
tersebut diperlukan 603 paving blok. Berapa paving blok tersebut harus dipotong menjadi model
A, B, C, dan D untuk keperluan penutupan. Jika diperlukan 17 potongan paving blok model A,
berapakah ukuran panjang dan lebar halaman rumah Nurbaya? Hitung juga berapa banyak
masing-masing potongan paving model B, C, dan D yang digunakan.

Paving blok

Model A

(1/2 paving blok)

Model B
(1/2 paving blok)

Model C
(1/4 paving blok)

Model D
(1/4 paving blok)

Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa halaman akan ditutup oleh 603 paving blok yang terdiri dari
paving blok itu sendiri, model A, model B, model C, dan model D. Sudah ditentukan juga bahwa
ada 17 potong paving model blok A dan panjang sisi paving blok adalah 12 cm.
Untuk menyelesaikan masalah di atas, perlu kita membuat ilustrasi bentuk halamannya beserta
susunan paving utuh beserta model-modelnya, yakni sebagai berikut:

Salah satu susunan paving dalam bentuk persegi panjang

http://olimattohir.blogspot.co.id/

1

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Berdasarkan ilsutrasi gambar diatas dapat kita uraikan sebagai berikut:
(i) sebanyak 19 bagian, terdapat 8 blok paving + 9A + 2B: sehingga terdapat 13, 5 blok paving
(ii) sebanyak 19 bagian, terdapat 9 blok paving + 8A + 1C + 1D: sehingga terdapat 13,5 blok
paving
Dengan demikian, banyak blok paving (i) dengan (ii) adalah sebanyak 13,5 + 13,5 = 27 blok
paving
Oleh karena ada 603 paving blok, maka masih terdapat kekurangan paving blok sebanyak 603 –
27 = 576
Sedangkan untuk (iii) sebanyak 19 bagian, terdapat 17 blok pavng + 2B: sehingga terdapat 18 blok
paving
Dengan demikian, untuk menutupi seluruh halaman diperlukan sebanyak 576/18 = 32 model (iii)
Jadi, banyak model B adalah sebanyak 32 × 2 + 2 = 66 model
banyak model C adalah sebanyak 1 model

banyak model D adalah sebanyak 1 model
Sedangkan ukuran panjang dan lebarnya adalah sebagai berikut:

Untuk mencari lebar halaman;

lebar
lebar = 1 × panjang alas blok C + 9 × panjang sisi blok paving + 8 × panjang alas blok A + 1 ×
panjang alas blok D
= 1 × 12 + 9 × 12 + 8 × 24 + 1 × 12
= 12 + 108 + 192 + 12
= 324 cm
Untuk mencari panjang halaman;
panjang = 1 × tinggi C/D + (32 + 1) × panjang alas B
= 1 × 6 3 + 33 × 12 3
= 6 3 + 396 3
panjang

http://olimattohir.blogspot.co.id/

= 402 3 cm

2

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

7.

Diketahui persegi PQRS. Jika salah satu sisinya terletak pada garis y = 2x – 17 dan dua titik
sudutnya terletak pada parabola y = x2, tentukan luas maksimum persegi PQRS yang mungkin.
Pembahasan:
Untuk mentukan luas maksimum persegi PQRS, perhatikan terlebihdulu ilustrasi gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, dimisalkan
Kurva k: y = x2
Garis l1//l2, maka gradiennya sama: m1 = m2 = 2
Garis l1: y = 2x – 17
Garis l2: y = 2x + b
Garis l2l3, maka gradiennya apabila dikalikan sama dengan –1: m2 = 2, m3 = 
Garis l3//l4, maka gradiennya sama: m3 = m4 = 

1
2

1
2

1
x+c
2
1
Garis l4: y =  x + d
2
Garis l3: y = 

Kemudian kita mencari panjang sisi PS dan PQ, yakni sebagai berikut.

http://olimattohir.blogspot.co.id/

3

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Panjang sisi PS:
Terlebihdulu mencari titik potong kurva k dengan garis l2
x2 = 2x + b
x2 – 2x – b = 0
2  4  4b
x1.2 =
2
x1.2 = 1  1  b
x1 = 1  1  b

 y1 = 2 1  b  2  c 

 y1 =  2 1  b  2  c 

x2 = 1  1  b

oleh karena itu panjang sisi PS adalah sebagai berikut:
PS =
=
=
PS =

x2  x1 2   y2  y1 2

 2

 
2

1 b   4 1 b

41  b  161  b



2

201  b

Panjang sisi PQ:
Terlebihdulu mencari titik potong garis l1 dengan garis l3 dan l2 dengan garis l3
titik potong garis l2 dengan garis l3, sebagai berikut:
2x + b = 
x=

1
x+c
2

2
(c – b)
5

y=

1

(4c + b)
5

2
1
(c – b), (4c + b)]
5
5
Sedangkan titik potong garis l1 dengan garis l3, sebagai berikut:
1
2x – 17 =  x + c
2
2
1
x = (17 + c)
 y = (4c – 17)
5
5
2
1

sehingga koordinat titik Q adalah (x2, y2) atau [ (17 + c), (4c – 17)]
5
5

sehingga koordinat titik P adalah (x1, y1) atau [

oleh karena itu panjang sisi PQ adalah sebagai berikut:
PQ =

x2  x1 2   y2  y1 2

=

 2  17  2b    17  b 

   

5

   5 

=

4
17  b2  1 17  b2
25
25

2

PQ =

2

1
17  b 2
5

http://olimattohir.blogspot.co.id/

4

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Selanjutnya, dikarenakan panjang sisi PQ = PS, maka

1
17  b 2 =
5

201  b

1
17  b2 = 201  b
5
(17 + b)2 = 100(1 + b)
289 + 34b + b2 = 100 + 100b
b2 – 66b + 189 = 0
(b – 3)(b – 63) = 0
Sehingga b = 3 atau b = 63

Dengan demikian luas persegi PQRS ada 2 kemungkinan, yakni:
Kemungkina I: Luas Persegi PQRS =



Kemungkina II: Luas Persegi PQRS =



201  b = 20(1 + 3) = 80
2





201  b = 20(1 + 63) = 1280
2

Jadi, karena luas maksimum pada persegi PQRS yang diinginkan, maka luas maksimum
persegi PQRS yang mungkin adalah 1280 cm2
8.

Pada limas segitiga T.ABC, titik E, F, G, dan H berturut-turut terletak pada AB, AC, TC, dan TB
sehingga EA : EB = FA : FC = HB : HT = GC : GT = 2 : 1. Tentukan perbandingan volume kedua
bagian limas segitiga yang terbagi oleh bidang EFGH
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.

P

T

T
G

G

I

H

H
F

A

C

F

A

C

Q
R
E

Diberi garis tambahan
Diberi garis tambahan
Diberi garis tambahan
Diberi garis tambahan
segitiiga ABC

E
B
B
TP yang merupakan perpanjangan garis AT
HP yang merupakan perpanjangan garis EH
GP yang merupakan perpanjangan garis FG
HI dan GI, sehingga membentuk segitiga GHI yang kongruen dengan

http://olimattohir.blogspot.co.id/

5

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

Diberi garis tambahan PQ dan AR yang merupakan tinggi limas P.AEF dan tinggi alas limas
T.ABC
Berdasarkan ilsutrasi di atas dapat kita ketahui, bahwa:
1
1
(i) HG = AB, sehingga tinggi limas T.GHI = tinggi limas T.ABC
3
3
2

1
Dengan demikian, Volume Limas T.GHI =   Volume Limas T.ABC
3
1
=
Volume Limas T.ABC
27
2
4
2
(ii) AQ = AR, sehingga PQ = tingi limas T.ABC dan tinggi limas P.GHI = TQ
3
3
3
Dengan demikian, kita dapat mencari Volume limas P.GHI dan Volume limas P.AEF
1
Volume limas P.GHI = × Luas GHI × tinggi limas P.GHI
3
1 1
2
TQ
= × Luas ABC ×
3 3
3
2
Volume Limas T.ABC
=
27
Volume limas P.AEF =

1
× Luas AEF × PQ
3
2

1 2
4
×   Luas ABC × tingi limas T.ABC
3 3
3
16
=
Volume Limas T.ABC
27

=

Kemudian kita mencari volume limas T.PGH,
Volume limas T.PGH = Volume limas P.GHI – Volume Limas T.GHI
16
1
=
Volume Limas T.ABC –
Volume Limas T.ABC
27
27
1
Volume Limas T.ABC
=
27
Selanjutnya kita menghitung volume EFA.GHT (Bagian I),
Volume limas EFA.GHT = Volume limas P.AEF – Volume limas T.PGH
16
1
Volume Limas T.ABC –
Volume Limas T.ABC
=
27
27
15
Volume Limas T.ABC
=
27
Dan selanjutnya kita menghitung volume BCFE.HG (Bagian II),
Volume limas BCFE.HG = Volume Limas T.ABC – Volume limas EFA.GHT
15
= Volume Limas T.ABC –
Volume Limas T.ABC
27
12
Volume Limas T.ABC
=
27
Jadi, perbandingan Volume Bagian I dengan Volume Bagian II adalah 15 : 12 atau 5 : 4
http://olimattohir.blogspot.co.id/

6

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

9.

Diketahui x bilangan bulat tak negatif dan y bilangan bulat. Tentukan semua pasangan (x, y) yang
memenuhi 1 + 2x + 22x+1 = y2
Pembahasan:
1 + 2x + 22x+1 = y2, nilai x dan y bilangan bulat serta x ≥ 0
Menurut informasi dari soal, bahwa hasil dari bentuk 1 + 2x + 22x+1 yang memenuhi adalah apabila
dalam bentuk kuadrat sempurna/bilangan kuadrat.
Untuk mengetahui nilai dari y, kita coba satu-persatu mulai dari nilai x = 0, yakni sebagai berikut.
Untuk x = 0

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 20 + 22(0) + 1
=1+1+2
=4

(memenuhi)

dan y = ± 2 sehingga pasangannya (0, ±2)
Untuk x = 1

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 21 + 22(1) + 1
=1+2+8
= 11

Untuk x = 2

(tidak memenuhi)

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 22 + 22(2) + 1
= 1 + 4 + 32
= 37

Untuk x = 3

(tidak memenuhi)

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 23 + 22(3) + 1
= 1 + 8 + 128
= 137

Untuk x = 4

(tidak memenuhi)

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 24 + 22(4) + 1
= 1 + 16 + 512
= 529

(memenuhi)

dan y = ± 23 sehingga pasangannya (4, ±23)
Untuk x = 5

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 25 + 22(5) + 1
= 1 + 32 + 2048
= 2081

Untuk x = 6

(tidak memenuhi)

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 26 + 22(6) + 1
= 1 + 64 + 8192
= 8257

Untuk x = 7

(tidak memenuhi)

1 + 2x + 22x+1 = 1 + 27 + 22(7) + 1
= 1 + 128 + 32768
= 32897

(tidak memenuhi)

Dan seterunya, sudah tidak memenuhi lagi
Jadi, semua pasangan (x, y) yang memenuhi 1 + 2x + 22x+1 = y2 adalah (0, ±2) dan (4, ±23)
http://olimattohir.blogspot.co.id/

7

Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2014
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember

10. Pelatih tim nasional Bola Basket Indonesia akan memilih pemain untuk menjadi anggota tim inti.
Pelatih akan menilai lima pemain A, B, C, D, dan E dalam satu pertandingan simulasi (atau uji
coba) dengan total waktu pertandingan 80 menit. Setiap saat hanya ada satu di antara lima pemain
tersebut yang bermain. Tidak ada pembatas banyaknya pergantian pemain selama pertandingan.
Total waktu bermain untuk masing-masing pemain A, B, dan C adalah kelipatan 5 menit,
sedangkan total waktu bermainmasing-masing pemain D dan E adalah kelipatan 7 menit.
Berapakah banyak cara setiap pemian berada di mapangan berdasarkan total waktu bermain?
Pembahasan:
Menurut informasi dari soal bahwa total semua waktu pertandingan baik A, B, C, D, dan E adalah
80 menit, hal ini berarti
A + B + C + D + E = 80 menit
Dengan ketentuan:
- Total waktu untuk A, B, dan C masing-masing merupakan kelipatan 5,
Misalkan 5a + 5b + 5c pasti hasilnya kelipatan 5
 5a + 5b + 5c = 5l
- Total waktu untuk D dan E masing-masing merupakan kelipatan 7,
Misalkan 7d + 7e pasti hasilnya kelipatan 7
 7d + 7e = 7t
Sehingga 5l + 7t = 80 ,
karena setiap pemain di tes minimal 1 kali, maka berlaku untuk l ≥ 3 dan untuk t ≥ 2
Untuk mengetahui nilai l dan t, kita coba satu-persatu mulai dari nilai l = 3 dan t = 2, sehingga
nilai l dan yang memenuhi adalah l = 15 dan t = 5, yakni
5l + 7t = 80
 5(15) + 7(5) = 80
 45 + 35 = 80
 80 = 80
(memenuhi)
Kemudian kita mencari pasangan penjumlahan antar l dan t
1) (i) 5a + 5b + 5c = 45  a + b + c = 9, sehingga nilai a, b, dan c yang memenuhi adalah mulai
dari balangan 1 sampai dengan 7 dengan syarat maksimal ada 2 bilangan yang nilainya sama.
Dengan demikian banyak cara yang munkin adalah 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 cara, yakni:
Jika a = 1, maka hal ini ada 7 cara
a = 2, maka hal ini ada 6 cara
a = 3, maka hal ini ada 5 cara...dan seterunya sampai a = 7
2) 7d + 7e = 35  d + e = 5, sehingga nilai d dan e yang memenuhi adalah mulai dari bilangan
1 sampai dengan 4.
Dengan demikian banyak cara yang mungkin adalah ada 4 cara, yakni:
Jika d = 1, maka e = 4: hal ini ada 2 cara
d = 2, maka e = 3: hal ini juga ada 2 cara
Jadi, banyak cara setiap pemian berada di mapangan berdasarkan total waktu bermain
adalah 28 × 4 = 112 cara

Disusun oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/

http://olimattohir.blogspot.co.id/

8