Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri Rumus dasar Limit Fungsi Trigonometri Metode Menyederhanakan Pemahaman Secara Intuisi Limit Trigonometri Metode Substitusi Langsung
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Limit
Fungsi Trigonometri
Grafik
fungsi trigonometri
Pengertian Limit Melalui
Pengamatan Grafik Fungsi
Pemahaman Secara Intuisi
Limit Trigonometri
Menyelesaikan Limit Fungsi
Trigonometri
Rumus dasar Limit Fungsi
Trigonometri
Metode
Menyederhanakan
Metode Substitusi Langsung
Dan Pemfaktoran
Kata Kunci :
Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran
dan Menyederhanakan
1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar
3.1 Menjelaskan
dan
menentukan
limit fungsi
trigonometri
Materi
Pembelajaran
Limit fungsi
Trigonometri
4.1 Menyelesaikan
masalah
berkaitan
dengan limit
fungsi
trigonometri
Kegiatan Pembelajaran
Mencermati gambar yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri.
Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri.
Menerapkan limit fungsi
trigonometri dalam
pemecahan masalah.
Mempresentasikan gambar
yang berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
Mempresentasikan
pemecahan masalah yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
Mempresentasikan
penerapan limit fungsi
trigonometridalam
pemecahan masalah.
Masih ingatkah anda definisi
yang telah dipelajari dalam
matematika wajib kelas X ?
Limit suatu fungsi aljabar.
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a {f(x), a} sebagai
suatu limit.
Bila x mendekati a {x → a},
Dinotasikan Lim F(x) = L
Limit fungsi bagian dari
pengantar kalkulus (hitungan
diferensial dan integral),
namun dasar kalkuls yang
disefinisikan Augustin-Louis
Cauchy
1789-1857)
berkebangsaan prancis
Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :
1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan
alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan
vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke
kanan dan ke kiri.
2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan
cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri
terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami
menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi
trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.
Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita
dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi
trigonometri berikut ini:
sin( x 2 ) sin x ,
sin( x) sin x ,
sin(
2
cos( x 2 ) cos x
cos( x) cos x
x) cos x ,
cos(
2
x) sin x
2 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
A. Grafik Fungsi Trigonometri
Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat
titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan
sehingga terbentuk kurva mulus.
Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o!
a. y = sin x
b. y = cos x
c. y = tan x
Penyelesaian :
a. y = sin x
Gambar 1.1
b. y = cos x
Gambar 1.2
c. y = tan x
Gambar 1.3
Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:
1)
2)
3)
Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1
Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.
Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y
4)
Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser
satuan ke kanan
2
3 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi
Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan
arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2
berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau
horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:
a) lim f ( x) L1 , lim f ( x) L2 dan L1 L2
xa
xa
b) lim
xa
f ( x) L1 , lim f ( x) L2 & L1 L2
xa
Gambar 1.4
penjelasan point :
a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L
b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
lim f ( x) L1 , tetapi lim f ( x) tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
xa
xa
Gambar 1.5
lim f ( x) tidak ada, tetapi lim f ( x) L2 maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
x a
x a
Gambar 1.6
4 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
lim f ( x) tidak ada, tetapi lim f ( x) tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada
x a
x a
Gambar 1.7
Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan
berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,
bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a
dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.
Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di
ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri
(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian
yang diperkirakan itu adalah L1 dan L2 , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan
daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:
Kegiatan 1.1
Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit
Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :
No
lim f ( x)
Limit kiri lim f ( x) Limit Kanan lim f ( x)
xa
x a
x a
Gambar
1.4 a
Ada, nilai L1
Ada, nilai L2
Ada nilai L ,karena L1 L2 L
1.4 b
Ada, nilai L1
Ada, nilai L2
..............., L1 L2
1.5 a,b
...............
...............
Ada, nilai L1
1.6 a,b
...............
...............
Ada, nilai L2
1.7a,b,c,d
...............
...............
...............
Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik
bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit
kiri lim f ( x) dan limit kanan lim f ( x) sebagai berikut.
x a
x a
Definisi :
Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka lim f ( x) L jika dan hanya
x a
jika lim f ( x) lim f ( x) L
x a
x a
5 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan
Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara
menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan
nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat
daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:
Kegiatan 1.2
Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini:
1) Cari lim
x 0
sin x
...
x
Penyelesaian :
Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja
kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu,
Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:
X
1
0,5
0,1
0,01
→ 0 ← -0,01
-0,1
-0,5
-1
sin x
x
...
...
...
...
...
?
...
0,99998
0,99833
0,95885
0,84147
sin x
....
x 0
x
Kesimpulan yang diperoleh bahwa : lim
Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,
demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :
cos x
2) Cari lim x 2
...
x 0
10.000
Penyelesaian :
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah
ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika
kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi
nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:
x
±1
±0,5
±0,1
±0,01
→
0
2 cos x
x 10.000
0,99995
0,24991
0,009990
0,000000005
...
?
Kesimpulan yang diperoleh bahwa :
....
cos x
lim ....2 lim
...
lim x 2
x 0
x
0
x
0
.....
10.000
Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda
di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang
mendekati 0 (gunakan kalkulator.
1
x
3) Cari lim sin ...
x 0
Penyelesaian :
6 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
1
x
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai sin( ) pada
semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:
X
2
2
2
2
2
2
1
sin
x
2
1
0
3
-1
4
5
0
...
2
7
6
...
2
8
...
...
→
0
...
?
Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara
1
x
1
Kesimpulannya lim sin ....
x 0
x
tak berhingga. Jelas sin tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.
D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :
cos x
lim x 2
...
x 0
10.000
sin x
...
x 0
x
lim
1
lim sin ...
x 0
x
Limit diatas dapat ditulis sebagai lim f ( x) dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
xa
perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.
Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.
Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang
diperoleh bukan bentuk tak tentu
bentuk taktentu
0
, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya
0
0
, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,
0
baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang
dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk
0
.
0
1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri
Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar
limit fungsi trigonometri dibawah ini:
lim
x 0
x
sin x
lim
1
x
0
x
sin x
lim
x 0
tan x
x
lim
1
x
0
tan x
x
x
sin x
lim
1
x 0 sin x
x 0
x
Berikut ini pembuktian rumus lim
7 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan
besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan
mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :
lim cos x 1 dan lim sin x 0
x 0
x 0
Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik
B. Jadi jelas bahwa :
Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP
Berdasarkan rumus luas :
Luas sektor OBC
= ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x
Luas Δ OBP
= ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
Luas sektor OAP
= ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x
Dengan demikian diperoleh hubungan
½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤
½x
sin x
1
≤
x
cos x
sin x
atau
1 lim
1
x 0
x
cos x ≤
(masing-masing dikalikan
2
) diperoleh
x. cos x
: untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
x
1
x 0 sin x
sin x
x
Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: lim
lim
1
x 0 sin x
x 0
x
1 lim
Kegiatan 1.3
Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:
lim
x 0
x
tan x
lim
1
x 0
tan x
x
Bukti:
lim
x 0
x
x
1
sin x
lim
lim
lim
(....)(...) ...
x
x
x
0
0
0
x
sin
tan x
........
...
cos x
sin ax
ax
a
lim
x 0 sin bx
x 0
bx
b
lim
atau lim
x 0
ax
tan ax
a
lim
x 0
tan bx
bx
b
Bukti :
8 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
ax
ax
.... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x 0 sin bx
x 0 sin bx
x 0 ....
x 0 ....
x 0 ....
.... ....
...
bx
lim
x...x...
x 0 sin bx....
...
lim
Bukti :
tan ax
tan ax .... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x
0
x
0
x
0
x
0
bx
bx
.... ....
....
....
....
tan ax
...
lim
x...x...
x 0
bx
...
a
tan ax
sin ax
lim
lim
x 0 tan bx
x 0 sin bx
b
lim
x0
Bukti :
sin ax
sin ax .... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x 0 tan bx
x 0 tan bx
x 0 ....
x 0 ....
x 0 ....
.... ....
sin ax
...
lim
x...x...
x 0 tan bx
...
lim
2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:
1.
lim sin x cos x .... (....) 1
x
1 cos 2 x 1 cos 1 .... ....
...
2 cos x
2(....) ....
2 cos
2
sin x
sin 0
...
....
3. lim
lim
...
x 0 sin x cos x
x0 sin 0 cos 0
.... .... ....
(2 x 3) sin( x 1)
(............) sin( x 1)
...
....
4. lim
lim
lim
lim
...
2
x 1
x 1 (............)( x 1)
x1 ...... x1 ....
x 4x 3
1 cos( x 2)
...
...
5. lim 2
lim
lim
x 2 x 4 x 4
x 2 ( x 2)(..............)
x 2 ......
2.
lim
x
2
3) Metode Menyederhanakan
Kegiatan 1.4
Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri
1)Tentukan Limit : lim
x
2
1 sin x 1
cos 2 x
2
Langkah 1 :
Substitusi
x
2
, diperoleh lim
x
2
1 sin ...
1 ...
...
0
Karena hasil
(Bukan penyelesaian)
2
2
cos ... (cos ...)
...
0
Langkah 2 :
Anda harus merubah penyebut cos 2 x
9 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Bentuk cos 2 x (1 sin x)(................) dengan demikian :
lim
x
2
1 sin x
1 sin x...
lim
2
cos x. x (1 sin x)(...............)
2
Langkah 3 :
Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut
lim
x
2
1 sin x
...
lim
2
cos x. x ...
2
Langkah 4 :
Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa
1 sin x ... 1
cos 2 x.
... 2
x
lim
2
1 cos x
...
x 0 2 x sin 3 x
2) Tentukan Limit : lim
Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas
trigonometri.
1 cos x
lim
lim
x 0 2 x sin 3 x
x 0
sin 2
= lim
x 0
1 (cos 2
1
1
1
1
1 cos 2 x sin 2 x
x sin 2 x)
2
2
2 lim
2
0
x
...
...
1
1
x sin 2 x
2 lim ...
2
x 0 ...
...
1
1 1
1
2.( x).(sin x)( x).(sin x).3x
...
2
2 2
2
= lim
lim
x0
x0 ...
1
1
2 x.( x).( x).(sin 3x)(3x)
2
2
1
1 1
1
2.( ).(sin x)( x).(sin x).3x
...
2
2 2
2
= lim
lim
x 0
x
0
1
1
...
2.( x).( x).(sin 3x)(3x)
2
2
1
1 1
= .1.1.1.
2
6 12
Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :
Contoh Metode Menyederhanakan
tan 2 x(.............. ....)
tan 2 x(2 sin 2 4 x)
tan 2 x cos 8 x tan 2 x
lim
lim
lim
x 0
x 0
x 0
16 x 3
16 x 3
16 x 3
lim (2)(
x 0
....
... ...
)( 2 ) (...)(....)( ) 4
....
2 x 8x
10 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
sin 2 x
...................
1 (1 2 sin 2 x)
1 cos 2 x
lim
lim
lim
x 0 1 cos 4 x
x 0 1 (1 2 sin 2 2 x )
x 0 ...................
x 0 ( 2 sin x cos x ) 2
.................
1
1
lim
lim
2
x 0 ............................
x 0 4 cos x
4
lim
lim
x
2
cos x
lim
x x 2
2
sin[( x )]
x)
2
2 1
lim
x
[( x )]
x
2
2
2
Sudut rangkap
sin(
cos 2a = cos a ‒ sin a
2
cos 2a = 2 cos a ‒ 1
2
cos 2a = 1 ‒ 2 sin a
2
2
tan2a 2 tan2a
sin( x 2)
1 sin( x 2)
1
1
lim
.(1)
2
x 2
x 2 x 2
x
x2
22
4
1 tan a
lim
Uji Kompetensi 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
tan 2 x
x 0
5x
tan 2 x
9) lim
...
x 0
5x
sin 2 2 x
10) lim
...
x 0 tan 2 3 x
sin 6 x
x 0
2x
tan 4 x
lim
x 0
3x
tan 2 x. tan 3x
lim
...
x 0
x. tan x
sin( x )
4 ...
lim
x
)
4 (x
4
sin( x )
3 ...
lim
x
)
3 (x
3
8) lim
1) lim
2)
3)
4)
5)
6)
(3x 1).sin( x 1)
...
x 1
x2 2x 3
11) lim
12) lim cos( x
x
2
) ...
3
lim sin(2 x ) ...
13) lim sin 2 ( x
( x 2 1) sin 6 x
...
x0
x 3 3x 2
14) lim
x
2
x
2
7) lim
x 3
)
4
x sin( x 3) 3
)
x3
Uji Kompetensi 1.2
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
sin
1.
lim
2.
lim
x 0
1
x tan 2 x
2
...(1)
x x
(cos 2 x 1)
... sifat identitas [‒ 2 sin2a]
x 0
x2
11 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Kesamaan setengah sudut
x
1 cos x
sin( )
2
2
x
1 cos x
cos( )
2
2
2 n
cos nx 1 2 sin ( x), nR
2
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
1 cos x
..
x 0 2 x sin 3 x
3.
lim
4.
lim
x 0
cos x cos 2
1
1 cos x
.......( )
2
8
tan 2 x
1
1
x sin 2 x
2
2
5. lim
x0
cos 4 x 1
...(4)
x tan 2 x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
(cos x 1)
...
x 0
x2
1. lim
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos
-(1/2)
Indentitas trigonometri
(cos 3x cos 5 x)
... (8)
x 0
x2
2. lim
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus
3. lim
x 0
4. lim
x
2
1 tan x 1 sin x
= .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan
x3
(cos 3x cos x)
...(2)
sin 2 x cos 2 x
sin 3x sin 3x cos 2 x
...
x 0
2 x3
5. lim
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
x2 4 x
...
x 0 cos x cos 3 x
1. lim
(1/2)
(SBMPTN2013)
a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan
2. lim
x 0
sin 2( x 1)
1
2
( x 2 x 1).cot ( x 1)
2
(1) (SIMAK UI)
12 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Limit Ketakhinggaan
Fungsi Aljabar &
Trigonometri
Pengertian dan
Nilai Limit Ketakhinggaan
Bentuk
lim
x
f ( x)
g ( x)
Bentuk
lim f ( x) g ( x)
x
Aplikas
Limit Fungsi
lim Aljabar
x
lim
x
Trigonometri
Kata Kunci :
Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞
13 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar
3.2
4.2
Menjelaskan dan
menentukan
limit di
ketakhinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Materi
Pembelajaran
Limit
fungsi
trigonometri
Kegiatan Pembelajaran
Menyelesaikan
masalah
berkaitan dengan
eksistensi limit di
ketak-hinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Mencermati pengertian yang
berkaitan dengan limit fungsi
trigonometri dan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar.
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan limit di
ketakhinggaan fungsi trigonometri
dan fungsi aljabar.
Menggunakan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri dalam
pemecahan masalah
Menyajikan penyelesaian masalah
berkaitan dengan eksistensi limit di
ketak-hinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri
Tak hingga adalah
suatu
nilai
yang
demikian
besar.
Saking besarnya nilai
tak hingga sehingga
bilangan apapun akan
dianggap
kecil
dibandingkan dengan
nilai
∞.
Untuk
memahami limit tak
hingga ini kita baca
dulu paradok filsuf
Zeno dan Elen tentang
perlombaan
kelinci
dan kura-kura.
Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama
jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura
hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.
Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?
Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat
menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba
ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan
kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih
tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan
lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.
Kelinci
kura-kura
kec 10 m/s
kec 1 m/s
10 meter
Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura
dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kurakura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m
Penyelesaiannya adalah t = 11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) (10 s) = 100 m
9
9
9
Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :
1
1
100 ................*)
10 1
...
10 100
9
Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik
tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas
kiri persamaan *) yaitu : 10 1 1 1 ... (deret geometri)
10 100
14 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
U1 = 10 dan r
U2 1
(banyak suku n tak hingga)
U1 10
Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :
1
U 1(1 ) n
1
1
10 1
... = lim 10 ,
10 100
n
1
1
10
Sekarang bagaimana menghitung
1
U 1(1 ) n
10
100 11 1 ...*)
lim
n
1
9
9
1
10
A. Limit Fungsi Berbentuk lim f ( x)
x
Kegiatan 2.1
Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan
Pandanglah fungsi f ( x)
x
digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.
(1 x 2 )
Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin
besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai lim f ( x)
x
Tabel 2.1
X
f ( x)
x
(1 x 2 )
10
...
100
....
1000
.....
↓
↓
∞
....
Gambar 2.1
Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke
arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan
lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk
mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.
Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai f ( x)
x
untuk beberapa nilai x.
(1 x 2 )
Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan
x
....
x 1 x 2
lim f ( x) lim
x
Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa
lim f ( x) lim
x
x
x
....
1 x 2
15 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,
kita membuat definisi berikut :
Gambar 2.1
(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa lim f ( x) L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x
x M f ( x) L
sedemikian sehingga:
(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa lim f ( x) L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x
x M f ( x) L
sedemikian sehingga:
Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka
1
0
x x k
lim f ( x) lim
x
1
0
x x k
lim f ( x) lim
x
f ( x)
x g ( x)
B. Menyelesaikan Bentuk lim
x
0
x 1 x 2
Buktikan bahwa lim
Penyelesaian :
Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2
x
1
1
lim
2
x x
x
0
lim x 2 lim x
0
lim
x 1 x 2
x 1 x
x 1
1
0 1
1 lim 2 lim 1
x x
x
x2
x2
Kegiatan 2.2
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
4 x3 2 x 2 5
...
x 8 x3 x 2
Tentukan Limit : lim
16 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Langkah 1 :
Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.
Pangkat tertingginya adalah x 3
Langkah 2 :
1
Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 3
x
5
1
4
3
2
..................................
4x 2x 5
x
... ... lim
lim
............
lim
3
x
1 ...
... x .................................. x
8x x 2
..
... ...
x3
Langkah 3 :
1
Substitusikan nilai x , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk lim n 0 untuk n
x x
positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :
4 ... ... ... 1
lim
x ... ... 0
... 2
1
Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu
2
dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.
lim
x
f ( x)
a x n ...
lim n m
...
g ( x) x pm x
Uji Kompetensi 2.1
Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam
pengertian tak-terhingga sekalipun.
7) lim
2 x2 x
...
x 4 x3 1
8) lim sin x ...
2) lim
3) lim
x
4)
x 3 4x 2 6
...
3x 2 2 x 1
x
3x3 2 x 2
...
x 2 x 3 x
x
2
9) lim sin
...
1
...
x
sin x
...
x
x
10) lim
lim
lim
5
x
x3 x
...
5) lim 4
x 2 x 1
6)
sin 2
3x 2 4 x 6
...
x 2 x 2 x 5
1) lim
11) lim x sin
x
2 x5 x3
...
x3 x 2 1
1
...
x
1
12) lim sin( x ) ...
x
x
17 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Kegiatan 2.3
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.
Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan
mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Suku tertinggi
Soal
untuk
Pembila
ng f(x)
Penyeb
ut g(x)
1
x →∞
3x 2
2x 2
2
3
4
5
x →-∞
x →∞
x →-∞
x →∞
...
...
...
...
6
x →-∞
...
f ( x)
g ( x)
Hasil
limit
3x 2
2x 2
3
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
x3
...
-∞
Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x).
Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:
lim
x
f ( x)
a x n bn x n 1 c ...
lim n m
g ( x) x pm x qm x m 1 r ...
Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =
...
...
Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =
...
...
Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =
...
...
Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:
................................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Uji Kompetensi 2.2
Tentukan nilai limit dibawah ini:
x3
...
1. lim
(1) perhatikan √x2 = x,
2
x
x 4
1
Pada pembilang kita kalikan 3 sedangkan penyebut kita kalikan dengan
x
2.
lim
x
x3
x 4
6
...
(-1) pangkat tertinggi
18 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
x 6 = - x3 atau
1
x2
1
1
3
x
x6
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
C. Menyelesaikan Bentuk limit lim f ( x) g ( x)
x
Kegiatan 2.4
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu lim f ( x) g ( x)
x
Tentukan Limit : lim ( 5 x 1 3x 7 ...
x
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
lim ( 5 x 1 3x 7 x
x
.......... .......
.......... .......
.
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
lim
( .......... ) 2 ( .......... ) 2
(.....) (.......)
lim
x
.......... .......
.......... .......
.......
2x 6
lim
lim
x
.......... ....... x 5 x 1 3x 7
x
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x
dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut
lim
x
lim
x
2x 6
5 x 1 3x 7
2x
.....(.... ...)
lim
x
2x
..... .....
2 x
lim ...
x
(... ...)
Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞
Uji Kompetensi 2.3
Tentukan nilai limit berikut ini :
5
1. lim x(4 x 5) 4 x 2 3 ...( )
x
4
2. lim ( x 4) 2 x 1 ...
x
3.
1
lim (2 x 1) 4 x 2 6 x 5 ...( )
2
x
4. lim
x
x2
1 1 x2
...
19 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Kegiatan 2.5
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar
Diket: f ( x) ax 2 bx c , g ( x)
a. Jika a = p,
px 2 qx r :
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x)
bq
x
b. Jika a > p,
tunjukan bahwa
2 a
lim f ( x) g ( x)
c. Jika a < p,
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x)
d. Jika a = p, b = q,
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x) 0
x
x
x
Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan
pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 2.1
Tentukan Nilai Limit :
1. lim x 2 2 x x ...
x
2.
(x
5
2) x 1 ...( )
x
3
2
Klu No 2 : (a b)(a ab b 2 ) a 3 b 3 ...
lim
(x
3
3
3
3
2) a, , ( x 1) b
20 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
D. Aplikas Limit Fungsi f ( x) lim
x
1.
Limit Aljabar
Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :
N 20.000
10.000
(t 2) 2
Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang
dimasa depan? (t →∞),Maka:
lim N lim 20.000
t
2.
t
10.000
10.000
20.000 lim
20.000 0 20.000orang
2
t
(t 2) 2
(t 2)
Limit Trigonometri
Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s
adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat
t
6
det
Kec = v(t) = lim
t
s
s(t t ) s(t )
lim
t
t
t
1
1
sin A sin B 2. cos ( A B) sin A B
2
2
Jadi :
s
20 cos(2t t ). sin t
20 cos(2t t ).
. sin t
lim
lim
lim
t
t
t
t
t
t
t
1
20 cos(2t 0).1 20 cos 2t 20 cos 2( ) 20. cos 60 20( ) 10m / det
6
2
lim
t
Kegiatan 2.6
Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi f ( x) lim
x
Tentukan nilai limit berikut ini :
1. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit
untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu
900 x
tertentu bisa dinyatakan oleh : y
Jika kerapatan inang terus meningkat
10 45 x
tanpa batas?
900 x.
...
lim
...
...
900 x
x
...
...
lim y lim
lim
x
x 10 45 x
x 10 45 x
... ... ... ...
10
lim
lim
x ...
x ...
...
21 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
2. Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi
f (t ) t 2 2t t , f(t)jumlah
senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah
senyawa yang terbentuk jika terus menerus?
Penyelesaian
TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2
1. Bagaimana juga perpindahan partikel s(t) = 5.cos 2t, tentukan kec partikel pada
saat t =1/6 µ dan t =µ
22 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR
DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Asimtot
Fungsi Aljabar dan
Trigonometri
DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
MENENTUKAN
ASIMTOT
FUNGSI
ASIMTOT FUNGSI TEGAK
ASIMTOT FUNGSI
MENDATAR
Kata Kunci :
Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak
23 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
3.3 Menjelaskan
asimtot (datar
dan tegak)
kurva fungsi
aljabar dan
fungsi
trigonometri
4.3 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
asimtot (datar
dan tegak)
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi aljabar
Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi
trigonometri
Mencermati gambar yang berkaitan
dengan limit fungsi trigonometri dan
limit fungsi aljabar menuju tak hingga
secara geometri.
Mengilustrasikan dengan gambar
konsep limit fungsi trigonometri dan
limit di ketakhinggaan fungsi aljabar
secara geometri
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Menyajikan penyelesaian masalah
yang berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Bagaimana
menentukan
limit-limit Tak
terhingga dari
fungsi bentuk
lim
x2
1
?
x2
A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.1
Definisi Asimtot secara geometri
Misalkan
fungsi
f
ditentukan
dengan
f ( x)
rumus
adalah D f {x, xR dan x 0} .
1
dan
x2
daerah
asalnya
1
Tabel 3.1 berikut ini.
x2
1
lim f ( x) lim
...
x c
x 2 x 2
Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan
X
...
...
...
...
...
1
x2
...
...
...
...
...
lim f ( x) lim
x c
x 2
1
...
x2
X
...
...
...
...
...
1
x2
...
...
...
...
...
Berdasarkan Tabel diatas tanpa bahwa adalah tidak masuk akal untuk menanyakan limit
lim
x 2
1
... , tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis
x2
1
1
lim f ( x) lim
lim f ( x) lim
xc
x 2 x 2
x c
x 2 x 2
24 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Berikut ini grafik fungsi lim
x2
1
, dapat ditunjukan :
x2
Gambar 3.1
Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.
Definisi
(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa f (x) jika untuk tiap bilangan positif M,
berpandangan suatu 0 sedemikian sehingga 0 x c f ( x) M
Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
x c
lim f ( x)
x c
............(*)
Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan
bilangan positif dan M sebagai berikut.
Definisi
Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal D f [ a, ∞)
Fungsi f(x) mempunyai lim f ( x) L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif
x
didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka f ( x) L
Jika lim f ( x) L atau lim f ( x) L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L
x
x
dinamakan sebagai asimtot datar bagi fungsi y = f(x)
25 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Seperti halnya dalam lim f ( x) yang dapat menjadi besar tnpa batas ∞ atau menjadi kecil
x c
tanpa batas -∞
lim f ( x)
lim f ( x)
atau
x c
............(**)
x c
Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot
tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
x c
x c
B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.2
Memahami dan mengetahui grafik asimtot
1. Tentukan nilai limit berikut ini :
1
Diketahui fungsi f ( x) 2 , dengan daerah asal
x
Hitunglah :
a.
D f {x, xR dan x 0} .
lim f ( x) dan lim f ( x)
x 0
x 0
1
x2
lim f ( x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
x2
b. lim f ( x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
f ( x)
a.
x 0
f ( x)
x 0
b. Apakah lim f ( x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f ( x)
x0
1
x2
lim f ( x)
f ( x)
c.
x 0
Jadi
lim f ( x) = ...
x0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Grafik fungsi
...
1
x2
...d. lim f ( x)
f ( x)
x 0
y
x0
x
26 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
2. Cari nilai limit menggunakan konsep lim
x 1
1
1
dan lim
2
x 1 ( x 1) 2
( x 1)
Penyelesaian :
Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh
1
1
dan
...
...
lim
lim
2
x 1 ( x 1)
x 1 ( x 1) 2
Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan : lim
x 1
1
...
( x 1) 2
y
Grafik fungsiya :
Jadi garis x = 1 adalah asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar
2x
3. Carilah asimtot – asimtot tegak dan datar dari grafik f ( x)
( x 1)
Penyelesaian :
Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita
benar karena
2x
2x
dan
lim
, sebaliknya
lim
x 1 ( x 1)
x 1 ( x 1)
2x
2x
...
...
2x
2x
lim ...
... dan lim
lim
lim ...
2
x ( x 1)
x x
x
x
1 ... ...
x 1 ... ...
( x 1)
... ...
... ...
Sehingga :
f(x) = y = .... merupakan asimtot .........
x = 1 merupakan asimtot ........
Grafik fungsinya :
27 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Uji Kompetensi 3.1
Tentukan nilai limit berikut ini :
1. Diketahui fungsi f ( x)
x3
, dengan daerah asal D f {x, xR dan x 2} .
x2
Hitunglah :
a.
lim f ( x) dan lim f ( x)
x 2
x 2
b. Apakah lim f ( x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f ( x)
x0
x0
2. Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:
a. lim (2 x 1) dan lim (2 x 1)
c. lim (4 2 x) dan lim (4 x 1)
b. lim ( x 2 1) dan lim ( x 2 1)
d. lim (4 x 2 ) dan lim (4 x 2 )
x
x
x
3. lim
x 0
x
x
x
x
x
1 cos x
sin x
TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1
Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :
cos( x 3)
cos x
dan
lim
lim
x 3
x3
x
2 x
2
28 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Turunan
Trigonometri
Definisi
Turunan
Sifat -Sifat
Turunan
Menyelesaikan
Turunan
Aturan
Rantai
Fungsi
Implisit
Persamaan
Parameter
Laju
Perubahan
Aplikasi
Turunan
Kecepatan &
Percepatan
Kecepatan
Sudut
Kata Kunci :
Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan
Parameter, Aplikasi turunan
29 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Turunan
fungsi
trigonometri
3.4 Menjelaskan
turunan fungsi
trigonometri
4.4 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
turunan fungsi
trigonometri
Mencermati konsep turunan
fungsi trigonometri dan sifatsifatnya.
Menentukan turunan fungsi
trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifatnya
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan turunan
fungsi trigonometri
Menyajikan penyelesaian
masalah yang berkaitan
dengan turunan fungsi
trigonometri
Dalam buku matematika
sebelumnya,
kita
telah
mempelajari beberapa fungsi
trigonometri, yaitu
fungsi sinus f(x) = sin x,
fungsi cosinus f(x) =cos x,
fungsi tangen f(x) = tan x.
Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai.
Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan
fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga
merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.
Uji Kompetensi Awal
Tentukan turunan dari fungsi berikut : f(x) = 2x2 & f ( x)
A.
Definisi Turunan : f ' ( x) lim
h 0
1
x
f ( x h) f ( x )
h
Kegiatan 4.1
Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri
1. Turunan dari f ( x ) = sin x
Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
lim
x 0
1 cos x
sin x
0 dan lim
1
x
0
x
x
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = sin ( x + h) = ...
f(x)
= sin x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x) =...
30 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
f ' ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x )
...
lim
h 0 h
h
sin x(1 cosh) cos x sinh
sin x. cosh sin x cos x sinh
lim
h 0
h 0
h
h
f ' ( x) lim
... ...
...
lim sin x
cos x
h 0
...
...
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
...
... ...
cos x. lim
f ' ( x) sin x. lim
h 0
h 0 ...
...
oleh karena, lim
h 0
1 cosh
sinh
0 dan lim
1
h
0
h
h
Maka f ‘ (x) = cos x,
Jadi turunan dari f(x) = sin x adalah f ‘ (x) = cos x,
2. Turunan dari f ( x ) = cos x
Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y
lim
x 0
1 cos x
sin x
0 dan lim
1
x
0
x
x
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = cos ( x + h) = ...
f(x)
= cos x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
f ' ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x )
...
lim
h 0 h
h
............................................................................
h 0
h
f ' ( x) lim
......................................................................................
h 0
h
lim
... ...
...
lim cos x
sin x
h 0
...
...
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
31 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
... ...
...
f ' ( x) cos x. lim
sin x. lim
h 0
h 0 ...
...
oleh karena, lim
h 0
1 cosh
sinh
0 dan lim
1
h
0
h
h
Maka f ‘ (x) = -sin x,
Jadi turunan dari f(x) = cos x adalah f ‘ (x) = -sin x,
3. Turunan dari f ( x ) = tan x
Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :
tan x
tanh
tan x tan y
dan lim
1
x
0
h
1 tan x tan y
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = tan ( x + h) = ...
f(x)
= tan x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
f ' ( x) lim
h 0
...
f ( x h) f ( x )
lim
0
h
h
h
............................................................................
h 0
...
f ' ( x) lim
tanh(1 tan 2 x)
h 0 h(1 tan x. tanh)
lim
tanh
1
. lim (1 tan 2 x). lim
h 0
h 0 (1 tan x. tanh)
h h 0
lim
Oleh karena
tanh
1,
h 0
h
lim
↔
1
=1
h 0 (1 tan x. tanh)
lim (1 tan 2 x) = (1 + tan2x) dan lim
h0
Maka f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
Jadi turunan dari f(x) = tan x adalah f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.1
Buktikan turunan sebagai berikut ini :
y = cot x → y’ = -coses2x dan
y = sec x → y’= sec x. tan x
y = coses x → y’= - cosec x. cot x
32 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
B.
SIFAT-SIFAT TURUNAN
f ( x) u( x).v( x) → f ' ( x) u' ( x).v( x) u( x).v' ( x)
f ( x)
u ( x)
u ' ( x).v( x) u ( x).v' ( x)
→ f ' ( x)
v( x)
v( x) 2
Kegiatan 4.2
Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan T
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Limit
Fungsi Trigonometri
Grafik
fungsi trigonometri
Pengertian Limit Melalui
Pengamatan Grafik Fungsi
Pemahaman Secara Intuisi
Limit Trigonometri
Menyelesaikan Limit Fungsi
Trigonometri
Rumus dasar Limit Fungsi
Trigonometri
Metode
Menyederhanakan
Metode Substitusi Langsung
Dan Pemfaktoran
Kata Kunci :
Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran
dan Menyederhanakan
1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar
3.1 Menjelaskan
dan
menentukan
limit fungsi
trigonometri
Materi
Pembelajaran
Limit fungsi
Trigonometri
4.1 Menyelesaikan
masalah
berkaitan
dengan limit
fungsi
trigonometri
Kegiatan Pembelajaran
Mencermati gambar yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri.
Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri.
Menerapkan limit fungsi
trigonometri dalam
pemecahan masalah.
Mempresentasikan gambar
yang berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
Mempresentasikan
pemecahan masalah yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
Mempresentasikan
penerapan limit fungsi
trigonometridalam
pemecahan masalah.
Masih ingatkah anda definisi
yang telah dipelajari dalam
matematika wajib kelas X ?
Limit suatu fungsi aljabar.
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a {f(x), a} sebagai
suatu limit.
Bila x mendekati a {x → a},
Dinotasikan Lim F(x) = L
Limit fungsi bagian dari
pengantar kalkulus (hitungan
diferensial dan integral),
namun dasar kalkuls yang
disefinisikan Augustin-Louis
Cauchy
1789-1857)
berkebangsaan prancis
Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :
1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan
alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan
vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke
kanan dan ke kiri.
2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan
cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri
terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami
menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi
trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.
Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita
dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi
trigonometri berikut ini:
sin( x 2 ) sin x ,
sin( x) sin x ,
sin(
2
cos( x 2 ) cos x
cos( x) cos x
x) cos x ,
cos(
2
x) sin x
2 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
A. Grafik Fungsi Trigonometri
Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat
titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan
sehingga terbentuk kurva mulus.
Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o!
a. y = sin x
b. y = cos x
c. y = tan x
Penyelesaian :
a. y = sin x
Gambar 1.1
b. y = cos x
Gambar 1.2
c. y = tan x
Gambar 1.3
Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:
1)
2)
3)
Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1
Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.
Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y
4)
Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser
satuan ke kanan
2
3 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi
Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan
arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2
berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau
horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:
a) lim f ( x) L1 , lim f ( x) L2 dan L1 L2
xa
xa
b) lim
xa
f ( x) L1 , lim f ( x) L2 & L1 L2
xa
Gambar 1.4
penjelasan point :
a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L
b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
lim f ( x) L1 , tetapi lim f ( x) tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
xa
xa
Gambar 1.5
lim f ( x) tidak ada, tetapi lim f ( x) L2 maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
x a
x a
Gambar 1.6
4 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
lim f ( x) tidak ada, tetapi lim f ( x) tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada
x a
x a
Gambar 1.7
Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan
berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,
bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a
dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.
Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di
ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri
(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian
yang diperkirakan itu adalah L1 dan L2 , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan
daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:
Kegiatan 1.1
Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit
Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :
No
lim f ( x)
Limit kiri lim f ( x) Limit Kanan lim f ( x)
xa
x a
x a
Gambar
1.4 a
Ada, nilai L1
Ada, nilai L2
Ada nilai L ,karena L1 L2 L
1.4 b
Ada, nilai L1
Ada, nilai L2
..............., L1 L2
1.5 a,b
...............
...............
Ada, nilai L1
1.6 a,b
...............
...............
Ada, nilai L2
1.7a,b,c,d
...............
...............
...............
Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik
bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit
kiri lim f ( x) dan limit kanan lim f ( x) sebagai berikut.
x a
x a
Definisi :
Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka lim f ( x) L jika dan hanya
x a
jika lim f ( x) lim f ( x) L
x a
x a
5 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan
Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara
menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan
nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat
daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:
Kegiatan 1.2
Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini:
1) Cari lim
x 0
sin x
...
x
Penyelesaian :
Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja
kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu,
Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:
X
1
0,5
0,1
0,01
→ 0 ← -0,01
-0,1
-0,5
-1
sin x
x
...
...
...
...
...
?
...
0,99998
0,99833
0,95885
0,84147
sin x
....
x 0
x
Kesimpulan yang diperoleh bahwa : lim
Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,
demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :
cos x
2) Cari lim x 2
...
x 0
10.000
Penyelesaian :
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah
ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika
kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi
nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:
x
±1
±0,5
±0,1
±0,01
→
0
2 cos x
x 10.000
0,99995
0,24991
0,009990
0,000000005
...
?
Kesimpulan yang diperoleh bahwa :
....
cos x
lim ....2 lim
...
lim x 2
x 0
x
0
x
0
.....
10.000
Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda
di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang
mendekati 0 (gunakan kalkulator.
1
x
3) Cari lim sin ...
x 0
Penyelesaian :
6 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
1
x
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai sin( ) pada
semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:
X
2
2
2
2
2
2
1
sin
x
2
1
0
3
-1
4
5
0
...
2
7
6
...
2
8
...
...
→
0
...
?
Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara
1
x
1
Kesimpulannya lim sin ....
x 0
x
tak berhingga. Jelas sin tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.
D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :
cos x
lim x 2
...
x 0
10.000
sin x
...
x 0
x
lim
1
lim sin ...
x 0
x
Limit diatas dapat ditulis sebagai lim f ( x) dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
xa
perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.
Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.
Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang
diperoleh bukan bentuk tak tentu
bentuk taktentu
0
, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya
0
0
, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,
0
baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang
dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk
0
.
0
1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri
Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar
limit fungsi trigonometri dibawah ini:
lim
x 0
x
sin x
lim
1
x
0
x
sin x
lim
x 0
tan x
x
lim
1
x
0
tan x
x
x
sin x
lim
1
x 0 sin x
x 0
x
Berikut ini pembuktian rumus lim
7 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan
besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan
mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :
lim cos x 1 dan lim sin x 0
x 0
x 0
Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik
B. Jadi jelas bahwa :
Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP
Berdasarkan rumus luas :
Luas sektor OBC
= ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x
Luas Δ OBP
= ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
Luas sektor OAP
= ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x
Dengan demikian diperoleh hubungan
½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤
½x
sin x
1
≤
x
cos x
sin x
atau
1 lim
1
x 0
x
cos x ≤
(masing-masing dikalikan
2
) diperoleh
x. cos x
: untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
x
1
x 0 sin x
sin x
x
Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: lim
lim
1
x 0 sin x
x 0
x
1 lim
Kegiatan 1.3
Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:
lim
x 0
x
tan x
lim
1
x 0
tan x
x
Bukti:
lim
x 0
x
x
1
sin x
lim
lim
lim
(....)(...) ...
x
x
x
0
0
0
x
sin
tan x
........
...
cos x
sin ax
ax
a
lim
x 0 sin bx
x 0
bx
b
lim
atau lim
x 0
ax
tan ax
a
lim
x 0
tan bx
bx
b
Bukti :
8 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
ax
ax
.... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x 0 sin bx
x 0 sin bx
x 0 ....
x 0 ....
x 0 ....
.... ....
...
bx
lim
x...x...
x 0 sin bx....
...
lim
Bukti :
tan ax
tan ax .... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x
0
x
0
x
0
x
0
bx
bx
.... ....
....
....
....
tan ax
...
lim
x...x...
x 0
bx
...
a
tan ax
sin ax
lim
lim
x 0 tan bx
x 0 sin bx
b
lim
x0
Bukti :
sin ax
sin ax .... ....
....
....
....
lim
x
x
lim
x lim
x lim
x 0 tan bx
x 0 tan bx
x 0 ....
x 0 ....
x 0 ....
.... ....
sin ax
...
lim
x...x...
x 0 tan bx
...
lim
2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:
1.
lim sin x cos x .... (....) 1
x
1 cos 2 x 1 cos 1 .... ....
...
2 cos x
2(....) ....
2 cos
2
sin x
sin 0
...
....
3. lim
lim
...
x 0 sin x cos x
x0 sin 0 cos 0
.... .... ....
(2 x 3) sin( x 1)
(............) sin( x 1)
...
....
4. lim
lim
lim
lim
...
2
x 1
x 1 (............)( x 1)
x1 ...... x1 ....
x 4x 3
1 cos( x 2)
...
...
5. lim 2
lim
lim
x 2 x 4 x 4
x 2 ( x 2)(..............)
x 2 ......
2.
lim
x
2
3) Metode Menyederhanakan
Kegiatan 1.4
Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri
1)Tentukan Limit : lim
x
2
1 sin x 1
cos 2 x
2
Langkah 1 :
Substitusi
x
2
, diperoleh lim
x
2
1 sin ...
1 ...
...
0
Karena hasil
(Bukan penyelesaian)
2
2
cos ... (cos ...)
...
0
Langkah 2 :
Anda harus merubah penyebut cos 2 x
9 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Bentuk cos 2 x (1 sin x)(................) dengan demikian :
lim
x
2
1 sin x
1 sin x...
lim
2
cos x. x (1 sin x)(...............)
2
Langkah 3 :
Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut
lim
x
2
1 sin x
...
lim
2
cos x. x ...
2
Langkah 4 :
Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa
1 sin x ... 1
cos 2 x.
... 2
x
lim
2
1 cos x
...
x 0 2 x sin 3 x
2) Tentukan Limit : lim
Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas
trigonometri.
1 cos x
lim
lim
x 0 2 x sin 3 x
x 0
sin 2
= lim
x 0
1 (cos 2
1
1
1
1
1 cos 2 x sin 2 x
x sin 2 x)
2
2
2 lim
2
0
x
...
...
1
1
x sin 2 x
2 lim ...
2
x 0 ...
...
1
1 1
1
2.( x).(sin x)( x).(sin x).3x
...
2
2 2
2
= lim
lim
x0
x0 ...
1
1
2 x.( x).( x).(sin 3x)(3x)
2
2
1
1 1
1
2.( ).(sin x)( x).(sin x).3x
...
2
2 2
2
= lim
lim
x 0
x
0
1
1
...
2.( x).( x).(sin 3x)(3x)
2
2
1
1 1
= .1.1.1.
2
6 12
Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :
Contoh Metode Menyederhanakan
tan 2 x(.............. ....)
tan 2 x(2 sin 2 4 x)
tan 2 x cos 8 x tan 2 x
lim
lim
lim
x 0
x 0
x 0
16 x 3
16 x 3
16 x 3
lim (2)(
x 0
....
... ...
)( 2 ) (...)(....)( ) 4
....
2 x 8x
10 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
sin 2 x
...................
1 (1 2 sin 2 x)
1 cos 2 x
lim
lim
lim
x 0 1 cos 4 x
x 0 1 (1 2 sin 2 2 x )
x 0 ...................
x 0 ( 2 sin x cos x ) 2
.................
1
1
lim
lim
2
x 0 ............................
x 0 4 cos x
4
lim
lim
x
2
cos x
lim
x x 2
2
sin[( x )]
x)
2
2 1
lim
x
[( x )]
x
2
2
2
Sudut rangkap
sin(
cos 2a = cos a ‒ sin a
2
cos 2a = 2 cos a ‒ 1
2
cos 2a = 1 ‒ 2 sin a
2
2
tan2a 2 tan2a
sin( x 2)
1 sin( x 2)
1
1
lim
.(1)
2
x 2
x 2 x 2
x
x2
22
4
1 tan a
lim
Uji Kompetensi 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
tan 2 x
x 0
5x
tan 2 x
9) lim
...
x 0
5x
sin 2 2 x
10) lim
...
x 0 tan 2 3 x
sin 6 x
x 0
2x
tan 4 x
lim
x 0
3x
tan 2 x. tan 3x
lim
...
x 0
x. tan x
sin( x )
4 ...
lim
x
)
4 (x
4
sin( x )
3 ...
lim
x
)
3 (x
3
8) lim
1) lim
2)
3)
4)
5)
6)
(3x 1).sin( x 1)
...
x 1
x2 2x 3
11) lim
12) lim cos( x
x
2
) ...
3
lim sin(2 x ) ...
13) lim sin 2 ( x
( x 2 1) sin 6 x
...
x0
x 3 3x 2
14) lim
x
2
x
2
7) lim
x 3
)
4
x sin( x 3) 3
)
x3
Uji Kompetensi 1.2
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
sin
1.
lim
2.
lim
x 0
1
x tan 2 x
2
...(1)
x x
(cos 2 x 1)
... sifat identitas [‒ 2 sin2a]
x 0
x2
11 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Kesamaan setengah sudut
x
1 cos x
sin( )
2
2
x
1 cos x
cos( )
2
2
2 n
cos nx 1 2 sin ( x), nR
2
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
1 cos x
..
x 0 2 x sin 3 x
3.
lim
4.
lim
x 0
cos x cos 2
1
1 cos x
.......( )
2
8
tan 2 x
1
1
x sin 2 x
2
2
5. lim
x0
cos 4 x 1
...(4)
x tan 2 x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
(cos x 1)
...
x 0
x2
1. lim
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos
-(1/2)
Indentitas trigonometri
(cos 3x cos 5 x)
... (8)
x 0
x2
2. lim
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus
3. lim
x 0
4. lim
x
2
1 tan x 1 sin x
= .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan
x3
(cos 3x cos x)
...(2)
sin 2 x cos 2 x
sin 3x sin 3x cos 2 x
...
x 0
2 x3
5. lim
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
x2 4 x
...
x 0 cos x cos 3 x
1. lim
(1/2)
(SBMPTN2013)
a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan
2. lim
x 0
sin 2( x 1)
1
2
( x 2 x 1).cot ( x 1)
2
(1) (SIMAK UI)
12 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Limit Ketakhinggaan
Fungsi Aljabar &
Trigonometri
Pengertian dan
Nilai Limit Ketakhinggaan
Bentuk
lim
x
f ( x)
g ( x)
Bentuk
lim f ( x) g ( x)
x
Aplikas
Limit Fungsi
lim Aljabar
x
lim
x
Trigonometri
Kata Kunci :
Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞
13 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI
Kompetensi Dasar
3.2
4.2
Menjelaskan dan
menentukan
limit di
ketakhinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Materi
Pembelajaran
Limit
fungsi
trigonometri
Kegiatan Pembelajaran
Menyelesaikan
masalah
berkaitan dengan
eksistensi limit di
ketak-hinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Mencermati pengertian yang
berkaitan dengan limit fungsi
trigonometri dan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar.
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan limit di
ketakhinggaan fungsi trigonometri
dan fungsi aljabar.
Menggunakan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri dalam
pemecahan masalah
Menyajikan penyelesaian masalah
berkaitan dengan eksistensi limit di
ketak-hinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri
Tak hingga adalah
suatu
nilai
yang
demikian
besar.
Saking besarnya nilai
tak hingga sehingga
bilangan apapun akan
dianggap
kecil
dibandingkan dengan
nilai
∞.
Untuk
memahami limit tak
hingga ini kita baca
dulu paradok filsuf
Zeno dan Elen tentang
perlombaan
kelinci
dan kura-kura.
Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama
jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura
hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.
Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?
Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat
menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba
ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan
kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih
tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan
lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.
Kelinci
kura-kura
kec 10 m/s
kec 1 m/s
10 meter
Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura
dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kurakura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m
Penyelesaiannya adalah t = 11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) (10 s) = 100 m
9
9
9
Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :
1
1
100 ................*)
10 1
...
10 100
9
Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik
tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas
kiri persamaan *) yaitu : 10 1 1 1 ... (deret geometri)
10 100
14 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
U1 = 10 dan r
U2 1
(banyak suku n tak hingga)
U1 10
Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :
1
U 1(1 ) n
1
1
10 1
... = lim 10 ,
10 100
n
1
1
10
Sekarang bagaimana menghitung
1
U 1(1 ) n
10
100 11 1 ...*)
lim
n
1
9
9
1
10
A. Limit Fungsi Berbentuk lim f ( x)
x
Kegiatan 2.1
Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan
Pandanglah fungsi f ( x)
x
digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.
(1 x 2 )
Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin
besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai lim f ( x)
x
Tabel 2.1
X
f ( x)
x
(1 x 2 )
10
...
100
....
1000
.....
↓
↓
∞
....
Gambar 2.1
Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke
arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan
lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk
mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.
Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai f ( x)
x
untuk beberapa nilai x.
(1 x 2 )
Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan
x
....
x 1 x 2
lim f ( x) lim
x
Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa
lim f ( x) lim
x
x
x
....
1 x 2
15 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,
kita membuat definisi berikut :
Gambar 2.1
(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa lim f ( x) L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x
x M f ( x) L
sedemikian sehingga:
(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa lim f ( x) L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
x
x M f ( x) L
sedemikian sehingga:
Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka
1
0
x x k
lim f ( x) lim
x
1
0
x x k
lim f ( x) lim
x
f ( x)
x g ( x)
B. Menyelesaikan Bentuk lim
x
0
x 1 x 2
Buktikan bahwa lim
Penyelesaian :
Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2
x
1
1
lim
2
x x
x
0
lim x 2 lim x
0
lim
x 1 x 2
x 1 x
x 1
1
0 1
1 lim 2 lim 1
x x
x
x2
x2
Kegiatan 2.2
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
4 x3 2 x 2 5
...
x 8 x3 x 2
Tentukan Limit : lim
16 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Langkah 1 :
Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.
Pangkat tertingginya adalah x 3
Langkah 2 :
1
Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 3
x
5
1
4
3
2
..................................
4x 2x 5
x
... ... lim
lim
............
lim
3
x
1 ...
... x .................................. x
8x x 2
..
... ...
x3
Langkah 3 :
1
Substitusikan nilai x , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk lim n 0 untuk n
x x
positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :
4 ... ... ... 1
lim
x ... ... 0
... 2
1
Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu
2
dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.
lim
x
f ( x)
a x n ...
lim n m
...
g ( x) x pm x
Uji Kompetensi 2.1
Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam
pengertian tak-terhingga sekalipun.
7) lim
2 x2 x
...
x 4 x3 1
8) lim sin x ...
2) lim
3) lim
x
4)
x 3 4x 2 6
...
3x 2 2 x 1
x
3x3 2 x 2
...
x 2 x 3 x
x
2
9) lim sin
...
1
...
x
sin x
...
x
x
10) lim
lim
lim
5
x
x3 x
...
5) lim 4
x 2 x 1
6)
sin 2
3x 2 4 x 6
...
x 2 x 2 x 5
1) lim
11) lim x sin
x
2 x5 x3
...
x3 x 2 1
1
...
x
1
12) lim sin( x ) ...
x
x
17 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Kegiatan 2.3
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.
Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan
mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Suku tertinggi
Soal
untuk
Pembila
ng f(x)
Penyeb
ut g(x)
1
x →∞
3x 2
2x 2
2
3
4
5
x →-∞
x →∞
x →-∞
x →∞
...
...
...
...
6
x →-∞
...
f ( x)
g ( x)
Hasil
limit
3x 2
2x 2
3
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
x3
...
-∞
Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x).
Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:
lim
x
f ( x)
a x n bn x n 1 c ...
lim n m
g ( x) x pm x qm x m 1 r ...
Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =
...
...
Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =
...
...
Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =
...
...
Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:
................................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Uji Kompetensi 2.2
Tentukan nilai limit dibawah ini:
x3
...
1. lim
(1) perhatikan √x2 = x,
2
x
x 4
1
Pada pembilang kita kalikan 3 sedangkan penyebut kita kalikan dengan
x
2.
lim
x
x3
x 4
6
...
(-1) pangkat tertinggi
18 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
x 6 = - x3 atau
1
x2
1
1
3
x
x6
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
C. Menyelesaikan Bentuk limit lim f ( x) g ( x)
x
Kegiatan 2.4
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu lim f ( x) g ( x)
x
Tentukan Limit : lim ( 5 x 1 3x 7 ...
x
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
lim ( 5 x 1 3x 7 x
x
.......... .......
.......... .......
.
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
lim
( .......... ) 2 ( .......... ) 2
(.....) (.......)
lim
x
.......... .......
.......... .......
.......
2x 6
lim
lim
x
.......... ....... x 5 x 1 3x 7
x
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x
dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut
lim
x
lim
x
2x 6
5 x 1 3x 7
2x
.....(.... ...)
lim
x
2x
..... .....
2 x
lim ...
x
(... ...)
Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞
Uji Kompetensi 2.3
Tentukan nilai limit berikut ini :
5
1. lim x(4 x 5) 4 x 2 3 ...( )
x
4
2. lim ( x 4) 2 x 1 ...
x
3.
1
lim (2 x 1) 4 x 2 6 x 5 ...( )
2
x
4. lim
x
x2
1 1 x2
...
19 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Kegiatan 2.5
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar
Diket: f ( x) ax 2 bx c , g ( x)
a. Jika a = p,
px 2 qx r :
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x)
bq
x
b. Jika a > p,
tunjukan bahwa
2 a
lim f ( x) g ( x)
c. Jika a < p,
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x)
d. Jika a = p, b = q,
tunjukan bahwa
lim f ( x) g ( x) 0
x
x
x
Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan
pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 2.1
Tentukan Nilai Limit :
1. lim x 2 2 x x ...
x
2.
(x
5
2) x 1 ...( )
x
3
2
Klu No 2 : (a b)(a ab b 2 ) a 3 b 3 ...
lim
(x
3
3
3
3
2) a, , ( x 1) b
20 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
D. Aplikas Limit Fungsi f ( x) lim
x
1.
Limit Aljabar
Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :
N 20.000
10.000
(t 2) 2
Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang
dimasa depan? (t →∞),Maka:
lim N lim 20.000
t
2.
t
10.000
10.000
20.000 lim
20.000 0 20.000orang
2
t
(t 2) 2
(t 2)
Limit Trigonometri
Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s
adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat
t
6
det
Kec = v(t) = lim
t
s
s(t t ) s(t )
lim
t
t
t
1
1
sin A sin B 2. cos ( A B) sin A B
2
2
Jadi :
s
20 cos(2t t ). sin t
20 cos(2t t ).
. sin t
lim
lim
lim
t
t
t
t
t
t
t
1
20 cos(2t 0).1 20 cos 2t 20 cos 2( ) 20. cos 60 20( ) 10m / det
6
2
lim
t
Kegiatan 2.6
Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi f ( x) lim
x
Tentukan nilai limit berikut ini :
1. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit
untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu
900 x
tertentu bisa dinyatakan oleh : y
Jika kerapatan inang terus meningkat
10 45 x
tanpa batas?
900 x.
...
lim
...
...
900 x
x
...
...
lim y lim
lim
x
x 10 45 x
x 10 45 x
... ... ... ...
10
lim
lim
x ...
x ...
...
21 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
2. Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi
f (t ) t 2 2t t , f(t)jumlah
senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah
senyawa yang terbentuk jika terus menerus?
Penyelesaian
TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2
1. Bagaimana juga perpindahan partikel s(t) = 5.cos 2t, tentukan kec partikel pada
saat t =1/6 µ dan t =µ
22 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR
DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Asimtot
Fungsi Aljabar dan
Trigonometri
DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
MENENTUKAN
ASIMTOT
FUNGSI
ASIMTOT FUNGSI TEGAK
ASIMTOT FUNGSI
MENDATAR
Kata Kunci :
Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak
23 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
3.3 Menjelaskan
asimtot (datar
dan tegak)
kurva fungsi
aljabar dan
fungsi
trigonometri
4.3 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
asimtot (datar
dan tegak)
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi aljabar
Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi
trigonometri
Mencermati gambar yang berkaitan
dengan limit fungsi trigonometri dan
limit fungsi aljabar menuju tak hingga
secara geometri.
Mengilustrasikan dengan gambar
konsep limit fungsi trigonometri dan
limit di ketakhinggaan fungsi aljabar
secara geometri
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Menyajikan penyelesaian masalah
yang berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Bagaimana
menentukan
limit-limit Tak
terhingga dari
fungsi bentuk
lim
x2
1
?
x2
A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.1
Definisi Asimtot secara geometri
Misalkan
fungsi
f
ditentukan
dengan
f ( x)
rumus
adalah D f {x, xR dan x 0} .
1
dan
x2
daerah
asalnya
1
Tabel 3.1 berikut ini.
x2
1
lim f ( x) lim
...
x c
x 2 x 2
Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan
X
...
...
...
...
...
1
x2
...
...
...
...
...
lim f ( x) lim
x c
x 2
1
...
x2
X
...
...
...
...
...
1
x2
...
...
...
...
...
Berdasarkan Tabel diatas tanpa bahwa adalah tidak masuk akal untuk menanyakan limit
lim
x 2
1
... , tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis
x2
1
1
lim f ( x) lim
lim f ( x) lim
xc
x 2 x 2
x c
x 2 x 2
24 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Berikut ini grafik fungsi lim
x2
1
, dapat ditunjukan :
x2
Gambar 3.1
Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.
Definisi
(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa f (x) jika untuk tiap bilangan positif M,
berpandangan suatu 0 sedemikian sehingga 0 x c f ( x) M
Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
x c
lim f ( x)
x c
............(*)
Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan
bilangan positif dan M sebagai berikut.
Definisi
Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal D f [ a, ∞)
Fungsi f(x) mempunyai lim f ( x) L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif
x
didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka f ( x) L
Jika lim f ( x) L atau lim f ( x) L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L
x
x
dinamakan sebagai asimtot datar bagi fungsi y = f(x)
25 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Seperti halnya dalam lim f ( x) yang dapat menjadi besar tnpa batas ∞ atau menjadi kecil
x c
tanpa batas -∞
lim f ( x)
lim f ( x)
atau
x c
............(**)
x c
Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot
tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
lim f ( x)
lim f ( x)
x c
x c
x c
B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.2
Memahami dan mengetahui grafik asimtot
1. Tentukan nilai limit berikut ini :
1
Diketahui fungsi f ( x) 2 , dengan daerah asal
x
Hitunglah :
a.
D f {x, xR dan x 0} .
lim f ( x) dan lim f ( x)
x 0
x 0
1
x2
lim f ( x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
x2
b. lim f ( x)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
f ( x)
a.
x 0
f ( x)
x 0
b. Apakah lim f ( x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f ( x)
x0
1
x2
lim f ( x)
f ( x)
c.
x 0
Jadi
lim f ( x) = ...
x0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Grafik fungsi
...
1
x2
...d. lim f ( x)
f ( x)
x 0
y
x0
x
26 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
2. Cari nilai limit menggunakan konsep lim
x 1
1
1
dan lim
2
x 1 ( x 1) 2
( x 1)
Penyelesaian :
Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh
1
1
dan
...
...
lim
lim
2
x 1 ( x 1)
x 1 ( x 1) 2
Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan : lim
x 1
1
...
( x 1) 2
y
Grafik fungsiya :
Jadi garis x = 1 adalah asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar
2x
3. Carilah asimtot – asimtot tegak dan datar dari grafik f ( x)
( x 1)
Penyelesaian :
Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita
benar karena
2x
2x
dan
lim
, sebaliknya
lim
x 1 ( x 1)
x 1 ( x 1)
2x
2x
...
...
2x
2x
lim ...
... dan lim
lim
lim ...
2
x ( x 1)
x x
x
x
1 ... ...
x 1 ... ...
( x 1)
... ...
... ...
Sehingga :
f(x) = y = .... merupakan asimtot .........
x = 1 merupakan asimtot ........
Grafik fungsinya :
27 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
Uji Kompetensi 3.1
Tentukan nilai limit berikut ini :
1. Diketahui fungsi f ( x)
x3
, dengan daerah asal D f {x, xR dan x 2} .
x2
Hitunglah :
a.
lim f ( x) dan lim f ( x)
x 2
x 2
b. Apakah lim f ( x) ada? Jika ada tentukan nilai lim f ( x)
x0
x0
2. Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:
a. lim (2 x 1) dan lim (2 x 1)
c. lim (4 2 x) dan lim (4 x 1)
b. lim ( x 2 1) dan lim ( x 2 1)
d. lim (4 x 2 ) dan lim (4 x 2 )
x
x
x
3. lim
x 0
x
x
x
x
x
1 cos x
sin x
TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1
Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :
cos( x 3)
cos x
dan
lim
lim
x 3
x3
x
2 x
2
28 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Turunan
Trigonometri
Definisi
Turunan
Sifat -Sifat
Turunan
Menyelesaikan
Turunan
Aturan
Rantai
Fungsi
Implisit
Persamaan
Parameter
Laju
Perubahan
Aplikasi
Turunan
Kecepatan &
Percepatan
Kecepatan
Sudut
Kata Kunci :
Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan
Parameter, Aplikasi turunan
29 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Turunan
fungsi
trigonometri
3.4 Menjelaskan
turunan fungsi
trigonometri
4.4 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
turunan fungsi
trigonometri
Mencermati konsep turunan
fungsi trigonometri dan sifatsifatnya.
Menentukan turunan fungsi
trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifatnya
Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan turunan
fungsi trigonometri
Menyajikan penyelesaian
masalah yang berkaitan
dengan turunan fungsi
trigonometri
Dalam buku matematika
sebelumnya,
kita
telah
mempelajari beberapa fungsi
trigonometri, yaitu
fungsi sinus f(x) = sin x,
fungsi cosinus f(x) =cos x,
fungsi tangen f(x) = tan x.
Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai.
Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan
fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga
merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.
Uji Kompetensi Awal
Tentukan turunan dari fungsi berikut : f(x) = 2x2 & f ( x)
A.
Definisi Turunan : f ' ( x) lim
h 0
1
x
f ( x h) f ( x )
h
Kegiatan 4.1
Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri
1. Turunan dari f ( x ) = sin x
Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
lim
x 0
1 cos x
sin x
0 dan lim
1
x
0
x
x
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = sin ( x + h) = ...
f(x)
= sin x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x) =...
30 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
f ' ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x )
...
lim
h 0 h
h
sin x(1 cosh) cos x sinh
sin x. cosh sin x cos x sinh
lim
h 0
h 0
h
h
f ' ( x) lim
... ...
...
lim sin x
cos x
h 0
...
...
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
...
... ...
cos x. lim
f ' ( x) sin x. lim
h 0
h 0 ...
...
oleh karena, lim
h 0
1 cosh
sinh
0 dan lim
1
h
0
h
h
Maka f ‘ (x) = cos x,
Jadi turunan dari f(x) = sin x adalah f ‘ (x) = cos x,
2. Turunan dari f ( x ) = cos x
Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y
lim
x 0
1 cos x
sin x
0 dan lim
1
x
0
x
x
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = cos ( x + h) = ...
f(x)
= cos x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
f ' ( x) lim
h 0
f ( x h) f ( x )
...
lim
h 0 h
h
............................................................................
h 0
h
f ' ( x) lim
......................................................................................
h 0
h
lim
... ...
...
lim cos x
sin x
h 0
...
...
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
31 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
... ...
...
f ' ( x) cos x. lim
sin x. lim
h 0
h 0 ...
...
oleh karena, lim
h 0
1 cosh
sinh
0 dan lim
1
h
0
h
h
Maka f ‘ (x) = -sin x,
Jadi turunan dari f(x) = cos x adalah f ‘ (x) = -sin x,
3. Turunan dari f ( x ) = tan x
Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :
tan x
tanh
tan x tan y
dan lim
1
x
0
h
1 tan x tan y
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = tan ( x + h) = ...
f(x)
= tan x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
f ' ( x) lim
h 0
...
f ( x h) f ( x )
lim
0
h
h
h
............................................................................
h 0
...
f ' ( x) lim
tanh(1 tan 2 x)
h 0 h(1 tan x. tanh)
lim
tanh
1
. lim (1 tan 2 x). lim
h 0
h 0 (1 tan x. tanh)
h h 0
lim
Oleh karena
tanh
1,
h 0
h
lim
↔
1
=1
h 0 (1 tan x. tanh)
lim (1 tan 2 x) = (1 + tan2x) dan lim
h0
Maka f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
Jadi turunan dari f(x) = tan x adalah f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 4.1
Buktikan turunan sebagai berikut ini :
y = cot x → y’ = -coses2x dan
y = sec x → y’= sec x. tan x
y = coses x → y’= - cosec x. cot x
32 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
www.m4th-lab.net
Di download dari:
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap
B.
SIFAT-SIFAT TURUNAN
f ( x) u( x).v( x) → f ' ( x) u' ( x).v( x) u( x).v' ( x)
f ( x)
u ( x)
u ' ( x).v( x) u ( x).v' ( x)
→ f ' ( x)
v( x)
v( x) 2
Kegiatan 4.2
Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan T