RELASI DAN FUNGSI Paper ini disusun untuk memenuhi syarat tugas perkuliahan Matematika Diskrit Oleh: RISMAWATI A410090016 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMADIYAH SURAKARTA 2012 KATA PENGANTAR - RELASI DA

RELASI DAN FUNGSI

Paper ini disusun untuk memenuhi syarat tugas perkuliahan
Matematika Diskrit

Oleh:
RISMAWATI
A410090016

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMADIYAH SURAKARTA
2012

KATA PENGANTAR
Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur
kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memberikan nikmat-Nya berupa kesehatan
dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan makalah “Matematika
Diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Makalah ini kami susun sebagai pendukung dalam proses perkuliahan dan
sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat dan saran dari teman-teman

namun dalam makalah ini pastilah terdapat kekurangan, oleh karena itu kritik dan
saran akan kami terima demi kualitas penyusunan makalah selanjutnya.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya saya sendiri
atau teman-teman pada umumnya.

Surakarta, 25 Oktober 2012
Penyusun

Rismawati

BAB I
PENDAHULUAN

Matematika diskret atau diskrit adalah cabang matematika yang
membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling
berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika
Diskrit seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara
kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang
dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial,
permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain.

Hubungan (relationship), antara elemen himpunan dengan elemen
himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Misalnya hubungan
antara mahasiswa dengan mata kuliah yang diambil, hubungan antara bilangan
genap dan bilangan yang habis dibagi 2 dan sebagainya. Di dalam bidang ilmu
komputer, dapat dicontohkan hubungan antara program komputer dengan peubah
yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan
(statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang
kriptografi dan sebagainya (Munir,2001). Hubungan antara elemen himpunan
dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi.
Dan fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi.

BAB II
PEMBAHASAN

RELASI DAN FUNGSI
1. RELASI
a. Relasi dalam Himpunan
 Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya memetakan setiap
anggota pada himpunan A (x ∈ A) dengan anggota pada himpunan B
(y ∈ B)

 Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan,
yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan
tertentu, contoh (x,y) ∈ R
 Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian
dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)
b. Notasi dalam Relasi
 Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan
pasangan berurutan (x,y) ∈ R
 Contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:
F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}
xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y
c. Contoh Relasi
Humpunan A : himpunan nama orang
A={Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan
B={es krim, coklat, permen}
Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

A

B

via

permen

Andre

coklat

Ita

es krim

A : Domain
B : Kodomain
R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “
Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A
d. Cara Menyatakan Relasi
1) Diagram Panah

A

B

via

permen

Andre

coklat

Ita

es krim

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B
2) Himpunan Pasangan Berurutan
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) ,
(Ita,es krim)}

3) Diagram Kartesius
p er m en

cok la t

e s kri m

via

andre

ita

4) Tabel
Nama

Makanan

Via

Permen

Via

Coklat

Andre

Coklat

Andre

Es Krim

Ita

Es Krim

5) Matriks
 Baris = domain

 Kolom = kodomain

Permen

Coklat

Es krim

Via

1

1

0

Andre

0

1

1

Ita

0

0

1

Via 1 1 0
Andre 0 1 1
Ita 0 0 1

[ ]

6) Graph Berarah

 Hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan
(bukan antara dua himpuanan).
 Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut
juga simpul atau vertex)
 Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
i. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a
ke simpul b.
ii. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
iii. Simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
iv. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari
simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut
loop
 Contoh graph berarah
Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)}
adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

7) Latihan 1
 Z = {1,2,3,4};
 R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}
 Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk

a) Himpunan pasangan berurutan
b) Matrix
c) Graf
e. Sifat-sifat Relasi

1) Refleksif
 Sebuah relasi dikatakan refleksif jika sedikitnya: x ∈ A, xRx
 Minimal

2) Transitif
 Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:
xRy , yRz => xR ; (x,y, z) ∈ A
 Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}
3) Simetrik
 Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:
xRy, berlaku pula yRx untuk

(x dan y) ∈ A

 Contoh:
A={a,b,c,d}
R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}
4) Asimetrik
 Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik
Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R
 Contohnya: R = {(a,b), (a,c), (c,d)}
5) Anti Simetrik
 Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x dan y di dalam
A; jika xRy dan yRx maka x=y
6) Equivalen
 Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat:
a) Refelksif

b) Simeteris
c) Transitif
7) Partially Order Set (POSET)
 Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika
memenuhi syarat:
a) Refleksif
b) Antisimetri
c) Transitif
8) Latihan 2
a) A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A !
b) Apakah relasi berikut asimetris, transitif?
R = {(1,2),(3,4),(2,3)}
c) Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?
d) R merupakan relasi pada himpunan Z, yang dinyatakan oleh
aRb jika dan hanya jika a=b atau a= –b
Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !
f. Operasi dalam Relasi
 Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan
(beda setangkup) juga berlaku pada relasi
 Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpuna A ke
himpunan B, maka R1 ∩ R2,

R1 ∪ R2,

R1 – R2,

dan R1 ⊕ R2 juga

adalah relasi dari A ke B.
1) Contoh operasi relasi
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}
Maka :
 R1 ∩ R2 = {(a, a)}
 R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

 R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}
 R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
 R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
2) Operasi dalam bentuk matriks
 Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan
oleh matriks

 Maka

g. Komposisi Relasi
 Misalkan :
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B
T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
 Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke
C yang didefinisikan oleh :
T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈
R dan (b, c) ∈ S }
 Contoh komposisi relasi
 Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}
 Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

 Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
 Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

2. FUNGSI
a. Fungsi dari Himpunan
 Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi
 Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A
memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B
 Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang
dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.
 Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.
 Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat
menuliskan dalam bentuk :

f:A→B

artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
 Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
b. Domain, Kodomain, dan Jelajah
 f:A→B
 A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil
(codomain) dari f.

 Misalkan f(a) = b,
maka b dinamakan bayangan (image) dari a,
dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
 Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah
(range) dari f.
c. Penulisan Fungsi
1) Himpunan pasangan terurut.
 Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}
maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :
f = {(2, 4), (3, 9)}
2) Formula pengisian nilai (assignment)
 f(x) = x2 + 10,
 f(x) = 5x

d. Jenis-jenis Fungsi
1) Fungsi Injektif
 Fungsi satu-satu
 Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk
sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1)
tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1)
sama dengan f(a2).

a

1

b

2
3
4
5

c
d

2) Fungsi Surjektif
 Fungsi kepada
 Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk
sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam
domain A sehingga berlaku f(a) = b.
 Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua
kodomain adalah peta dari domain).

a

1

b

2
3

c
d
3) Fungsi Bijektif

 Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika
untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam
domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak
terpetakan dalam B.
 Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus
fungsi surjektif.

a

1

b

2
3

c
d

4

4) Fungsi Invers
 Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri
f:A®B

di mana f(a) = b

f –1: B ® A di mana f –1(b) = a
 Catatan: f dan f –1 harus bijective
e. Operasi Fungsi
 (f + g)(x) = f(x) + g(x)
 (f . g)(x) = f(x) . g(x)
 Komposisi:
(f o g)(x) = f(g(x))
f. Latihan 3
f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6
Tentukan:
a. (f + g)(x)
b. (f – g)(x)
c. (f . g)(x)
d. (f o g)(x)
e. Invers dari g(x)

BAB III
PENUTUP

A. KESIMPULAN
Kesimpulannya matematika disktrit adalah bagian dari matematika yang
mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek diskrit diartikan sebagai
objek-objek yang berbeda dan saling lepas. Relasi dan fungsi merupakan bagian
dari matematika diskrit yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Dengan
mempelajari relasi dan fungsi tidak akan terjadi kesalahpahaman dan
memudahkan manusia dalam berkehidupan.

B. SARAN-SARAN
Dalam makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat
membutuhkan

penambahan-penambahan,

misalnya

contoh-contoh

dan

pembahasan yang mungkin masih belum bisa dimengerti dengan cepat oleh yang
sempat membacanya, kami harapkan semoga makalah ini dapat berguna bagi
pembacanya.

DAFTAR PUSTAKA

yenikustiyahningsih.files.wordpress.com/.../matdis-4-relasi-dan-fungsi...
mohamad-haris.blogspot.com/.../makalah-tentang- pengertian –dan manfaat.html
http://adekdik.wordpress.com/2008/09/23/matematika-diskrit-relasi