MENGG ANGGU IDENTITAS MATEMATIKA REMAJA B

MAKALAH
“ ISU-ISU PEMBELAJARAN MATEMATIKA”
MENGGANGGU IDENTITAS MATEMATIKA REMAJA BERBAKAT
DENGAN KEKACAUAN EPISTEMOLOGIS

Diterjemahkan oleh:
JUNAINI
(P2A917024)
Dosen Pengampu Mata Kuliah:
Dr. Drs. Syaiful, M.Pd
Dr. Jefri Marzal, M.Sc., D.I.T

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS JAMBI
SEMESTER GANJIL TAHUN 2017/2018

MENGGANGGU IDENTITAS MATEMATIKA REMAJA BERBAKAT

DENGAN KEKACAUAN EPISTEMOLOGIS
Paul Betts, Universitas Winnipeg, Kanada
Laura Mc.Master, Miles Macdonell Collegiate, Kanada

Abstrak
Matematika secara luas dianggap sebagai disiplin universal dan tidak terbantahkan,
bertentangan dengan filosofi literatur matematika. Peneliti lain telah mempertimbangkan peran
potensial filsafat di sekolah, tapi ada sedikit kerja sama dengan siswa berbakat terlibat dengan isuisu yang menyangkut sifat matematika. Kami mengembangkan sebuah filosofi dari unit matematika
dimaksudkan untuk memperbesar persepsi siswa berbakat tentang sifat matematika dengan
mengekspos rendering matematika yang tidak kritis dan rapi di sekolah, matematika dengan
menggunakan metodologi naratif, kami menghadiri cerita siswa - siswa berbakat yang berhubungan
dengan matematika, berdasarkan pada premis bahwa hubungan seseorang dengan matematika
terjalin erat dengan identitas mereka. Dalam tulisan ini, kita akan fokus pada pengalaman tiga
remaja berbakat selama filosofi matematika kita satuan. Kami menemukan bahwa siswa-siswa ini
terganggu dan dikelompokkan di sekolah mereka. matematika dan filsafat pengalaman dan
keyakinan matematika. Kami menyimpulkan itu pengalaman substantif dengan sifat matematika
harus menjadi komponen reguler matematika di sekolah.
Kata kunci : filsafat matematika, siswa SMA berbakat, identitas matematis, naratif
PENGANTAR
Bagi saya, saya tidak menyukai kelabu dalam matematika. Saya menganggap matematika
sebagai benar atau salah ( Dorothy, siswa SMA dalam program IB ).
Sudah diketahui bahwa matematika dianggap universal dan tidak diragukan lagi sebagai
tubuh pengetahuan. Pemosisian sifat matematika di masyarakat luas tercermin dalam dokumen
kurikuler dan dalam pengajaran matematika. sepengetahuan kita kurikulum direkomendasi, tidak

pernah mengacu pada kemungkinan berbasis filosofis tujuan atau hasil belajar (lihat, misalnya,
Dewan Guru Nasional Indonesia Matematika, 2000; Protokol Kanada Barat dan Utara, 2006;
Manitoba Pendidikan, 2008). Secara massal guru percaya bahwa matematika itu mutlak, dan
mereproduksi kepercayaan ini kepada siswa mereka (Philipp, 2007).
Bertentangan dengan posisi populer matematika di sekolah matematika dan yang lebih luas
masyarakat, para filsuf telah memperdebatkan status epistemologis matematika. Perdebatan
ini berkisar seputar pertanyaan tentang matematika sebagai sebuah tubuh mutlak pengetahuan dan
jauh dari terselesaikan. Berbagai posisi fallibilist yang dimiliki telah dikembangkan oleh
matematikawan (misalnya Davis & Hersh, 1981), pendidik matematika (mis., Ernest, 1998), filsuf
(misalnya Lakatos, 1976), dan ilmuwan kognitif (mis.,
George Lakoff & Nunez, 2000).
Mengingat premis bahwa matematika sekolah disajikan sebagai kumpulan fakta yang rapi,
dan tak terbantahkan, kami mengembangkan konsepsi "berantakan" tentang sifat matematika, dan
Kemudian dikembangkan kegiatan yang dimaksudkan untuk mengeksplorasi kekacauan ini dengan
remaja berbakat. Tujuan kami adalah untuk menggunakan kekacauan untuk memperluas konsepsi
siswa SMA yang berbakat tentang sifat matematika sehingga meraka tidak heran, mengingat
bertahun-tahun terpapar yang sempit dan pengajaran matematika yang rapi di sekolah, siswa

berbakat bekerja dengan susah payah untuk memahami matematika sebagai sesuatu yang
berantakan.

Filsafat berbasis program studi untuk anak-anak dan dewasa muda bukanlah ide baru.
Misalnya, program Filsafat untuk Anak (P4C) dimulai di tahun tujuh puluhan oleh Lipman,
didasarkan oleh gagasan bahwa anak-anak dan orang dewasa muda dapat berpikir secara filosofis,
dan karena itu filsafat tidak boleh terdegradasi ke studi tingkat perguruan tinggi. (Lipman, Sharp, &
Oscanyan, 1980). Program ini juga cenderung untuk berbagi kualitas, berikut ini: (1) pedagogi
berakar pada dialog terbuka, di mana konteks, seperti sebuah cerita (misalnya, Lipman, 1988;), atau
sebuah cerita yang dimulai (misalnya, Matthews, 1984) digunakan untuk memicu seorang gurumemfasilitasi diskusi tentang isu filosofis; dan (2) konten biasanya terfokus pada isu filosofis umum
seperti moral, etika, kebenaran, dan jarang menganggap disiplin - isu berbasis efek dari program ini
dan telah terdokumentasi dengan baik. Secara umum, program ini memperbaiki pemikiran
(misalnya, Naji & Ghazinezhad, 2008) dan keterampilan siswa berbasis kurikulum lainnya (mis.,
Trickey & Topping, 2004).
Masalah khusus muncul saat mempertimbangkan untuk mengekspos anak-anak dan orang
dewasa muda dari ide-ide filosofi matematika. Mengingat bahwa matematika dianggap sebagai
(secara dangkal) absolut dalam matematika sekolah dan oleh masyarakat luas, apa yang harus
didiskusikan secara filosofis? misalnya Daniel menggunakan model P4C untuk mengembangkan
filosofi program matematika (disebut P4CM) untuk anak-anak dan orang dewasa muda (Daniel,
Lafortune,Pallascio, & Schleifer, 1999). Cerita dengan konten matematika digunakan untuk memicu
dialog terbuka tentang filsafat matematika. Mereka menemukan berbagai macam bukti bahwa
partisipasi dalam P4CM bermanfaat; Misalnya, sikap negatif terhadap matematika berkurang
(Lafortune, Daniel, Pallascio, & Schleifer, 1999). Lainnya telah berhasil menerapkan variasi pada

P4CM. Misalnya, saat bekerja dengan siswa SMP, Martin (2008) menggunakan sebuah cerita yang
mengangkat isu pembuatan sebuah kubus yang sempurna memicu percakapan tentang apakah
sebuah kubus benar-benar ada; gagasan dalam percakapan para siswa ini konsisten dengan
pandangan ontologis Aristoteles dan Plato.
Untuk semua program filosofis ini, pertanyaan tetap mengenai proses pengembangan
pemikiran siswa yang meningkat. Secara khusus, saat berpartisipasi dalam dialog filosofis terbuka,
para siswa akan secara individual memahami masalah filosofis. Mungkin akan ada perubahan
dalam filosofi pribadi mereka yang informal dan implisit. Perubahan macam apa yang mungkin
terjadi dan bagaimana hal itu terjadi? Pertanyaan-pertanyaan ini berlaku untuk populasi siswa yang
berbakat dan umum. Secara khusus, tidak jelas bagaimana siswa berbakat akan menanggapi satu
unit kegiatan yang berfokus pada isu-isu mengenai filsafat matematika. Misalnya, kami menemukan
berbagai posisi siswa berbakat menuju filosofi unit matematika, termasuk kebingungan, perlawanan
dan keterlibatan (McMaster & Betts, 2007).
Kami bertanya-tanya apakah siswa berbakat yang bekerja dengan kami akan terbuka atau
kurang terbuka untuk menghibur visi alternatif matematika. Apakah mereka responsif? Apakah
kemampuan berbakat mereka berkontribusi atau menghambat responsif mereka? Kami menilai
penelitian ini untuk menjadi perampokan pertama dalam pertanyaan-pertanyaan ini, dan karena itu
dengan sengaja memutuskan untuk melakukan pendekatan eksploratif. Karena kami berharap dapat
memperluas perspektif siswa matematika, karena kami percaya bahwa siswa berbakat akan dapat
menangani gagasan yang akan tampak asing bagi pengalaman masa lalu mereka dengan

matematika, dan karena aktivitas kami mendekati akhir kursus filsafat, kami tidak berharap untuk
mengganggu hubungan mereka dengan matematika. Upaya kami mengganggu hubungan dengan
mahasiswa matematika, namun tidak jelas apakah perspektif mereka diperbesar dengan cara yang
stabil. Dalam tulisan ini, kita akan melihat secara dekat bagaimana tiga siswa berbakat

menyesuaikan diri dengan gangguan yang dipicu oleh rendering "berantakan" dari sifat matematika.
Kami akan menyarankan agar para siswa menavigasi gangguan ini dengan mengelompokkan
pengalaman mereka, yang mana memungkinkan mereka untuk melindungi identitas mereka dalam
kaitannya dengan matematika.
METODE PENELITIAN
Dalam proyek penelitian ini, tujuan kami adalah untuk memperluas apresiasi siswa IB kami
tentang matematika. Untuk mendeteksi tujuan ini, kami menggunakan metodologi naratif
( Clandinin & Connelly, 2000) - kami berusaha untuk mendeteksi cerita identitas siswa sehubungan
dengan matematika. Narasi mengasumsikan bahwa kita menggunakan cerita untuk memahami
pengalaman dan pengalaman itu bertingkat (Clandinin & Connelly, 2000). Oleh karena itu, kami
mencari cerita siswa yang menyarankan bagaimana mereka memposisikan diri mereka dalam
kaitannya dengan gagasan yang disajikan selama filosofi unit matematika kami.
Pendekatan naratif sesuai dengan sifat pertanyaan penelitian kami. Ini Makalah merupakan
hasil dari sebuah proyek awal mengenai posisi siswa berbakat dan lain-lain yang dipicu oleh
pengalaman dengan sifat matematika. Kita kurang peduli dengan apa yang siswa ketahui atau

pelajari tentang matematika atau sifat matematika. Sebaliknya, kami berusaha memahami peran
identitas mereka (sebagai peserta didik dan siswa berbakat) saat mereka berjuang dengan gagasan
baru mengenai sifat matematika. Fokus kami adalah pada pengalaman dan identitas; maka
penggunaan pendekatan naratif. Berikut ini, kami menjelaskan peserta dan konteks mereka untuk
studi ini, metode pengumpulan dan analisis data, dan filosofi unit matematika berdasarkan
kekacauan epistemologis.
Peserta dan konteks
Para siswa yang bekerja sama dengan kami terdaftar penuh waktu dalam program
Baccalaureate Internasional (IB), dan di tahun terakhir sekolah menengah mereka. Kami
menganggap para siswa ini berbakat karena berkinerja tinggi secara akademis dan bermotivasi
tinggi untuk menjadi sukses. Program IB adalah " menuntut kurikulum dua tahun yang memenuhi
kebutuhan siswa yang sangat termotivasi "(International Baccalaureate Organization, 2005-2009c),
dan oleh karena itu dianggap sebagai program studi penempatan lanjutan, menarik siswa dengan
nilai tertinggi dalam studi reguler. Paling tidak, semua siswa berpendidikan akademis dewasa
sebelum waktunya, berdasarkan nilai. Ketiga siswa yang kami fokuskan dalam makalah ini adalah
yang terbaik dalam program IB di sekolah ini. Dorothy adalah atlet multi olahraga dengan nilai
tinggi di semua mata pelajaran, dan mencetak 15% teratas dalam bahasa Inggris di antara semua
program IB di dunia. Mary secara konsisten menerima nilai tertinggi dalam semua mata pelajaran di
antara semua siswa dalam program IB di sekolahnya. John mendapat nilai tinggi di semua mata
kuliah, dan dianggap cemerlang dalam matematika dan sains oleh gurunya.

Program IB dilaksanakan oleh sekolah menengah atas di seluruh dunia, mengikuti semua
kurikulum akademis maju dan standar (International Baccalaureate Organisasi, 2005-2009b).
Kurikulum IB mencakup kursus yang disebut Teori Pengetahuan (ToK), yang berfokus pada cara
mengetahui, termasuk isu epistemologis yang spesifik untuk disiplin utama (International
Baccalaureate Organization, 2005-2009a). Filosofi unit matematika dalam ToK adalah lokasi yang
ideal untuk memperkenalkan gagasan tentang kekacauan epistemologis. Semua siswa yang
berpartisipasi dalam proyek ini terdaftar dalam kursus Teori Pengetahuan, serta kursus IB lainnya
yang akan dianggap sebagai versi lanjutan dari kursus sekolah menengah standar, seperti
Matematika, Sains, dan Bahasa Inggris. Filosofi unit matematika mendekati akhir kursus ToK, jadi

gagasan umum (misalnya, Bentuk Plato, estetika) jika tersedia untuk diterapkan pada kasus disiplin
matematika tertentu.
Pengumpulan dan Analisis Data
Cerita identitas siswa dalam kaitannya dengan matematika dibangun dari data yang
dikumpulkan sebelum, selama dan setelah filsafat unit matematika. Sebelum memulai unit, kami
mewawancarai setiap peserta, berusaha untuk membangun apresiasi dan sikap mereka tentang
matematika. Wawancara ini mengungkapkan apa yang kita harapkan: matematika itu mutlak dan
mengapa perlu mempertimbangkan aspek filosofis matematika. Dengan demikian, kami tahu di
awal unit yang akan cenderung di derita siswa pengalaman dengan narasi seperti "matematika tidak
dapat diakses" dan "matematika itu hitam dan putih." Kami menduga bahwa cerita-cerita ini terkait

erat dengan perasaan mereka tentang ide - ide. Misalnya, Formulir Plato dapat mendukung identitas
siswa "iya, matematika tidak dapat diakses." Kami juga menduga bahwa siswa perlu
menegosiasikan ketegangan antara gagasan yang dikembangkan selama unit dan pengalaman hidup
mereka dengan matematika yang didominasi oleh satu visi matematika saja. , yaitu, matematika
adalah badan pengetahuan yang sempurna dan tidak terbantahkan.
Selama unit, kami meminta siswa menulis jurnal reflektif di akhir masing-masing kelas. Ini
menjadi tujuan pedagogis: mereka memberi kita wawasan tentang pemikiran siswa untuk tujuan
penilaian, memungkinkan kami memberi umpan balik kepada siswa dengan tujuan untuk
mendorong penjabaran lebih lanjut dari gagasan mereka, dan digunakan untuk menampilkan
gagasan siswa di kelas berikutnya. Jurnal juga digunakan untuk tujuan penelitian. Mereka menjadi
sumber data untuk mendeteksi cerita identitas siswa dalam kaitannya dengan matematika. Kami
juga menyimpan catatan lapangan dari percakapan menarik yang terjadi selama di kelas, yang juga
berfungsi sebagai sumber data.
Setelah unit selesai, kami memilih sepuluh siswa untuk berpartisipasi secara mendalam
wawancara. Kami menggunakan dua kriteria untuk memilih kandidat. Pertama, kami mencari
kandidat yang sepertinya menampilkan bakat luar biasa. Meskipun hal ini cenderung berkorelasi
dengan nilai, Kami mencari siswa yang menunjukkan pemikiran luar biasa selama di kelas, seperti
kemampuan untuk mengembangkan ide atau ketepatan gagasan mereka. Kedua, berdasarkan jurnal
dan catatan lapangan, kami mencoba memilih kandidat dengan reaksi berbeda terhadap unit.
Misalnya, John secara agresif menerima Formalisme meski mulai mempertimbangkan Perwujudan

di akhir unit, sedangkan Mary diam-diam memeluk Platonisme selama wawancara, sementara
Dorothy tampak ragu-ragu selama wawancara tapi mempertimbangkan sementara Bukti dan
Pengembalian (lihat subbagian berikut untuk deskripsi filosofis ini posisi). Wawancara terakhir
berlangsung sekitar satu jam, sudah berakhir, dan fokus mendorong dan menantang siswa untuk
menggambarkan dan mengembangkan pandangan mereka mengenai sifat matematika.
Kami memutuskan untuk menggambarkan kisah tiga siswa, Dorothy, Mary dan John. Kita
percaya bahwa masing-masing siswa ini sangat berbeda, dan diambil secara keseluruhan
mencerminkan keragaman kelas. Mereka juga termasuk yang paling berbakat dari para siswa yang
berpartisipasi. Namun, terlepas dari keragaman yang menandakan sampel kecil kami, kami
menemukan tema umum dalam cerita mereka, yaitu navigasi gangguan identitas mereka dalam
kaitannya dengan matematika. Pada bagian selanjutnya, kami akan mencoba untuk
mengilustrasikan cerita-cerita ini ke dalam navigasi gangguan.
Analisis data berlangsung dalam dua tahap. Pertama, kami hanya berfokus pada
pengembangan cerita masing-masing dari tiga siswa (siswa lainnya yang berpartisipasi dalam
wawancara pasca), tanpa perbandingan. Kami masing-masing mengembangkan sebuah cerita dan

kemudian melalui proses dialog dan pemeriksaan ulang terhadap data, kami mencapai kesepakatan
mengenai setiap cerita. Perspektif kita yang berbeda seperti biasa, guru, murid dan peneliti dari luar
sekolah itu saling melengkapi, dan kami percaya, menambah kepercayaan kami pada interpretasi.
Dari cerita ini, kami memilih tiga untuk dianalisis lebih lanjut. Kami kemudian mencari tema cerita

dari tiga kasus peserta. Pada fase kedua inilah kami sepakat mengenai tema gangguan, dan saat
kami mulai mengorientasikan cerita mereka sebagai salah satu gangguan navigasi.
Sebuah Epistemologis Berantakan Filsafat Unit Matematika
Banyak matematikawan telah menggambarkan pekerjaan yang mereka lakukan dengan
menggunakan metafora perjalanan atau proses, yang mendustakan presentasi matematika yang rapi
yang ditemukan di sebagian besar teks ekspositori, termasuk buku teks matematika sekolah.
Sebagai contoh.
Ketika ditanya bagaimana rasanya membuktikan sesuatu, matematikawan disamakan dengan
membuktikan sebuah teorema untuk melihat puncak gunung dan mencoba mendaki di atasnya.
Yang satu membentuk sebuah base camp dan mulai menaiki puncak gunung itu, menghadapi
rintangan di setiap belokan, sering kali menapak langkahnya dan berjuang setiap kaki dari
perjalanan. Akhirnya saat puncak tercapai, satu berdiri memeriksa puncak, mengambil
pemandangan pedesaan sekitarnya dan kemudian mencatat jalan mobil ke sisi lain! (Kleinhenz,
2007)
Apa yang dijelaskan dalam buku teks matematika dan diajarkan di kelas matematika sekolah
adalah "jalan mobil ke sisi lain," yang jelas menyembunyikan sebagian besar dari apa artinya
melakukan matematika. Namun, jika siswa menghargai matematika (tujuan yang ditemukan dalam
semua dokumen kurikulum yang kita sadari), maka mereka harus mengalami proses matematika.
Kutipan di atas mulai mempertanyakan rendering rapi dalam melakukan matematika ada frustrasi,
mulai salah, kembali pelacakan, dan banyak pencapaian dan kemunduran lainnya di sepanjang

jalan. Paling tidak, pemecahan masalah lebih dari sekadar urutan langkah linier, dan selalu ada yang
harus dilakukan bahkan setelah masalah dipecahkan. Ini adalah titik awal untuk mengenali sekolah
itu. Pengalaman matematika menyembunyikan isu-isu filosofis. Dengan penolakan kerahasiaan ini
dalam representasi matematika sekolah yang kita gunakan sebagai titik awal sifat matematika
ternyata berantakan.
Kami ingin bersikap kritis terhadap visi yang rapi mengenai sifat matematika yang tampaknya
ada disebarkan secara universal oleh matematika sekolah. Matematika sebagai sempurna dan tidak
terbantahkan. Badan pengetahuan adalah posisi yang rapi - tidak ada ketidakpastian dan karenanya
tidak berantakan. Tapi banyak filsuf mempertanyakan kepastian matematika. Misalnya, Davis dan
Hersh (1981), yang matematikawan, mengemukakan bahwa matematika adalah manusia usaha, dan
karenanya tunduk pada fallibilisme yang sama seperti usaha manusia lainnya. Ernest (1998)
mengembangkan posisi fallibilist dengan memanfaatkan perspektif konstruktivis sosial. Meski
matematika sekolah tidak secara eksplisit menyajikan filosofi matematika rapi, Ketetapan biasanya
menimbulkan posisi absolutis dangkal di antara filosofi kerja pribadi siswa.
Kami mengembangkan filosofi unit matematika berdasarkan pada mengeksplorasi empat
posisi filosofis yang berbeda mengenai disiplin matematika. Masing-masing posisi ini diberi
kepercayaan sebagai filosofi yang layak, di mana eksplorasi yang lebih dalam dari masing-masing
dimaksudkan untuk mengundang siswa untuk menghadiri dan mengkritik rendemen rapi
matematika sekolah umum untuk pengalaman mereka. Pertama, kita secara luas membedakan
antara Absolutisme (matematika itu universal dan tidak dapat salah) dan Humanisme (matematika

keliru). Kami kemudian mengembangkan dua posisi contoh untuk setiap kategori luas: Platonisme
dan Formalisme untuk Absolutisme, dan Bukti dan Pengabaian dan Perwujudan untuk Humanisme.
Kami secara bertahap mengembangkan masing-masing posisi ini melalui serangkaian kegiatan,
setiap aktivitas biasanya dibangun dari konteks matematika SMA tertentu namun diperiksa dari
sebuah perspektif filosofis dan dengan sedikit perhatian untuk mengajar matematika terlibat (kami
memastikan bahwa konsep matematika yang dieksplorasi sangat familiar bagi siswa). Sebuah
rendisi yang berantakan untuk sifat matematika muncul dalam dua cara: masing-masing. Posisi
filosofis dengan sendirinya membawa banyak kesempatan untuk mengkritik kerapihan matematika
sekolah, dan ketersediaan beberapa posisi untuk sifat matematika adalah kesempatan untuk
memahami filsafat matematika sebagai badan yang diperebutkan pengetahuan. Berikut ini, kami
memberikan penjelasan singkat tentang masing-masing posisi, dan satu contoh aktivitas, untuk
menggambarkan isi filosofi unit matematika kita [lihat Betts (2007) dan McMaster & Betts (2007)
untuk deskripsi lebih rinci tentang filosofi unit matematika kita.
Platonisme adalah posisi absolutis berdasarkan "alegori gua" Plato dan "Formulir" Plato
(Govier, 1997). Bentuk adalah ideal - representasi universal dari rincian yang dapat diakses oleh
manusia. Alegori gua menunjukkan bahwa manusia hanya melihat bayangan kesempurnaan menjadi bentuk dan dirantai, tidak dapat terbebas dari gua untuk mengalami kesempurnaan. Jadi,
khususnya, konsep matematis, seperti fraksi ½ dan gambar garis, hanyalah representasi Formulir
yang tidak sempurna untuk sebuah konsep. Matematika sekolah berpura-pura mempresentasikan
gagasan seolah ideal. Garis digambar seolah-olah Ini adalah garis "sempurna", bukan sebagai
representasi dari garis yang cukup baik untuk tujuan argumen matematis saat ini. Platonisme dapat
memicu kritik terhadap kerapuhan matematika sekolah karena manusia tidak dapat mengakses ideal
- Formulir - dan karenanya harus memperhitungkan ketidaksempurnaan representasi manusia dari
sebuah gagasan matematis. Erdos, salah satu matematikawan paling produktif yang pernah ada,
adalah pendukung Platonisme (Hersh, 1997).
Formalisme juga merupakan posisi Absolutis, dan didasarkan pada premis bahwa kesalahan
masuk ke dalam matematika ketika gagasannya dioperasionalkan dalam konteks manusia (Hersh,
1997). Misalnya, paradoks Russell muncul karena diwakili menggunakan bahasa, dan karena itu
tunduk pada fallibilitas bahasa. Matematikawan seperti Hilbert bertekad untuk memformalisasikan
matematika sebagai sistem simbolis yang independen terhadap bahasa (Mancosu, 1998). Intinya,
matematika adalah seperangkat simbol dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini, yang
tidak memiliki makna di dunia nyata. Menurut ahli matematika Hardy saja Matematika murni,
matematika yang tidak peduli dengan penerapan di dunia nyata, adalah matematika nyata (Hardy,
1992). Siswa dapat terlibat dengan gagasan bahwa matematika tidak hadir dalam paket yang
sempurna; Sebaliknya, matematikawan telah bekerja keras untuk menghilangkan kesalahan dari
matematika. Hardy berpendapat bahwa matematika sekolah bukanlah matematika yang sebenarnya,
yang dapat mengarahkan siswa untuk mempertanyakan rendemen rapi matematika sekolah sebagai
sesuatu yang menyesatkan.
Salah satu posisi Humanis hanya didasarkan pada gagasan yang dikembangkan oleh Lakatos
dalam bukunya Proofs and Refutations. Lakatos menggunakan sejarah perkembangan Euler formula
untuk menggambarkan berbagai iterasi dari proses berikut: dugaan, bukti dugaan, bantahan dugaan
(mis., dengan contoh counter; kritik bukti, definisi, dan / atau aksioma), yang mengarah ke dugaan
baru (dengan memodifikasi definisi, aksioma, dan / atau dugaan yang sebenarnya) (Lakatos, 1976).
Posisi ini berantakan dengan dua cara. Pertama, sebuah hasil disetujui oleh komunitas matematika
bukan hanya dengan bukti, namun dengan proses deteksi kesalahan dan penyesuaian untuk
memperhitungkan kesalahan tersebut. Keputusan matematis dapat didasarkan pada kriteria selain

logika, seperti estetika. Kedua, sebuah teorema dapat selalu mendapat sorotan, meskipun telah
dikenali sebagai kebenaran oleh matematika masyarakat dengan kata lain, kita tidak akan pernah
100% yakin bahwa dugaan dan pembuktiannya benar karena sanggahan lain mungkin timbul di
masa depan.
Posisi humanis lainnya, yang kita sebut Perwujudan, didasarkan pada gagasan Lakoff dan
Nunez. Pembaca harus berkonsultasi dengan penulis lain untuk penjelasan lebih rinci tentang
kognisi yang diwujudkan secara umum (misalnya, G. Lakoff & Johnson, 1999) dan yang berkaitan
dengan matematika (misalnya, George Lakoff & Nunez, 2000). Prinsip utama adalah matematika
Ide dimulai dari pengalaman kami sebagai manusia dan dibangun melalui serangkaian pemetaan
metaforis. Misalnya, gagasan kontinuitas garis bilangan sebenarnya berasal dari kita pengalaman
gerak. Nomor sebenarnya adalah kumpulan angka diskrit dan tak terbatas, namun juga digambarkan
sebagai garis kontinyu. Kita dapat mengatur realisasi bilangan real ini karena kita dapat mengalami
gerakan terus menerus antara dua titik, yang juga merupakan perjalanan dari sejumlah titik diskrit
yang tidak terbatas (mis., Titik tengah). Pengalaman gerak yang diwujudkan dari A ke B secara
metaforis dipetakan ke dalam pengertian interval bilangan real, seperti bilangan real 0 sampai 1.
Visi matematika yang diwujudkan berantakan karena gagasan bahwa matematika itu universal,dan
terlepas dari kemanusiaan benar-benar ditolak.
Salah satu kegiatan yang kami gunakan di dekat awal unit melibatkan lingkaran. Kami
meminta siswa untuk memberikan lebih dari satu jawaban atas pertanyaan berikut, dan untuk dapat
membenarkan jawaban mereka: Berapa banyak sisi yang dimiliki lingkaran? Kita mengetahui 5
jawaban yang berbeda dan matematis terhadap pertanyaan ini, yang mana kita akan menjelaskan
tiga hal: (1) tidak ada sisi karena sisi lurus dan lingkaran melengkung; (2) satu sisi, yaitu tepi pergi
sepanjang jalan di sekitar lingkaran; dan (3) tak terbatas banyak, karena lingkaran adalah kasus
pembatas dari bentuk n-sisi biasa karena n mendekati tak terbatas (dalam batas, ada jumlah sisi
yang tak terbatas, masing-masing memiliki panjang 0). Setelah menghasilkan daftar jawaban yang
tampaknya benar secara matematis dan mencoba untuk membenarkan jawaban mana yang bisa /
harus menjadi jawaban yang benar, kami meminta siswa untuk merefleksikan dan mendiskusikan
apa arti situasi ini bagi sifat matematika.
Kegiatan ini memungkinkan kami mengembangkan beberapa isu filosofis, berdasarkan pada
gagasan siswa. Jika, misalnya, kita memilih satu jawaban, bagaimana kita tahu dengan pasti bahwa
hal itu benar, yang memungkinkan kita menunjukkan perbedaan yang luas antara Absolutisme dan
Humanisme. Perbedaan muncul karena potensi untuk memilih jawaban yang itu ternyata ditolak apakah ini berarti bahwa matematikawan akhirnya dapat menghapus semua kesalahan dengan
analisis yang cermat, atau apakah matematika merupakan usaha manusia sehingga harus menjadi
Keliru pengetahuan. Masalah lain muncul terkait ketidaktepatan yang harus muncul dalam
menggambar lingkaran, yang mengarah ke gagasan lingkaran sempurna dan Bentuk Plato.
Akhirnya, dalam perdebatan tentang jawaban mana yang harus diterima, masalah untuk menyetujui
definisi sisi muncul, mengarah pada diskusi tentang heuristik Lakatos, di mana kita
mempertimbangkan penolakan gagasan melalui kontra sebuah definisi.
Aktivitas lingkaran tidak segera digunakan untuk menggambarkan perwujudan. Posisi yang
diwujudkan sulit dikembangkan karena didasarkan pada perhatian yang halus dan halus aspek
pengalaman manusia yang diambil-untuk-diberikan. Setelah pertemuan awal dengan Perwujudan
yang tidak beralasan dalam konteks matematis, kita kunjung kembali sebelumnya contoh untuk
bukti posisi ini. Untuk contoh lingkaran di atas, kita bertanya-tanya bagaimana membayangkan
bagaimana bentuk n-sisi dari pendekatan mendekati lingkaran tapi lingkaran tidak hilang dalam
kasus pembatas. Bagaimana kita melakukan ini? Kita tidak bisa menggambar lingkaran sebagai

jumlah tak terbatas dari sisi panjang nol. Tapi kita bisa mengalami lingkaran sebagai garis
melengkung yang terus menerus yang berputar kembali ke dirinya sendiri, yang secara metaforis
dipetakan ke definisi definisi lingkaran yang membatasi.
Contoh di atas juga menggambarkan prinsip pedagogis yang digunakan untuk menerapkannya
filosofi kami tentang unit matematika. Kami mengikuti ide pengajaran yang digunakan dalam
model P4C. Secara khusus, kami berusaha membangun lingkungan dimana dialog terbuka
mengenai sifat matematika difasilitasi. Kami mendorong siswa untuk menyatakan dan
mempertahankan posisi filosofis. Kami menolak keinginan untuk memberi tahu siswa tentang
filosofi posisi orang lain atau untuk menyarankan posisi "terbaik". Kami menganggapnya sama
dengan jumlah siswa yang tidak menganggap kami sebagai guru, sebagai arbiter terakhir dari posisi
atau argumen filosofis yang benar. Sebaliknya, kami mencari peluang untuk memvalidasi pemikiran
siswa oleh seorang siswa berpendapat bahwa contoh lingkaran di atas menunjukkan bahwa hasil
matematika berubah Seiring waktu, kami menyarankan agar posisi mereka serupa dengan Lakatos.
Siswa didorong untuk dan mulai mengembangkan posisi filosofis pribadi mereka mengenai
sifat matematika, dan bukan sekadar mereproduksi gagasan dari kita. Penekanan pedagogis kita
pada dialog dan penolakan untuk memberi sanksi pada satu posisi filosofis sebagai mahasiswa yang
benar memimpin untuk memikirkan secara mendalam implikasi filosofis dari konteks matematis
yang kami eksplorasi dan tentang peran mereka sendiri. pengalaman dengan matematika Siswa
tidak memiliki kesulitan menerapkan pada kasus ide matematika yang sebelumnya dikembangkan
dalam kursus filsafat mereka. Kami melihat siswa menunjukkan bahwa estetika merupakan
pertimbangan penting, yang mengarah ke interogasi bukti sebagai satu-satunya penengah kebenaran
matematika. Siswa juga sempat kritik aspek matematis dari konteks yang kita sajikan. Gagasan
bahwa kita harus memutuskan makna sisi selama aktivitas lingkaran di atas dikemukakan oleh
siswa tanpa disuruh dari kita, membantu siswa melihat penggunaan superfisial Humanisme dan
Absolutisme. Mereka, misalnya, mulai mengenalinya bahwa falliblisme tidak sama dengan
solipsisme. Yang paling penting adalah pemikiran kritis yang melekat pada pertanyaan siswa:
Bagaimana kita mendapatkan pengetahuan tentang Formulir jika kita hanya bisa mengakses yang
tidak sempurna - jika kita terjebak dalam gua? Mengapa tidak mungkin hasil matematis bisa
dipastikan meski muncul dari pengalaman manusia? Pertanyaan-pertanyaan ini masing-masing
mewakili kritik Platonisme dan sintesis Absolutisme dan Perwujudan. Para siswa, pada umumnya,
terlibat dengan filosofis ide, kritik kerapihan matematika sekolah, dan mulai menghargai filosofi
matematika sebagai badan pengetahuan yang diperebutkan [lihat McMaster & Betts (2007) untuk
rincian lebih lanjut].
Hasil- Menjelaskan Setiap Siswa Cerita Navigasi Gangguan
Fokus kami dalam makalah ini bukanlah apa yang dipelajari siswa. Kami melihat bukti yang
signifikan bahwa para siswa terlibat dengan gagasan filosofis, dan menganggapnya sebagai
pelajaran yang mereka dapatkan tentang filsafat matematika. Fokus kami pada identitas siswa
membawa kita untuk memperhatikan bagaimana pemikiran mereka tentang sifat matematika terjalin
dengan rumit hubungan dengan matematika dan identitas mereka secara umum. Gagasan filosofis
tentang sifat matematika tidak terbukti dalam masa pra siswa ini pengalaman, namun identitas
mereka penting saat mereka menerima dan bekerja dengan gagasan ini, terlepas dari pengalaman
umum matematika mereka sebagai kumpulan fakta dan aturan yang rapi. Kami menemukan bahwa
banyak identitas siswa dalam kaitannya dengan matematika adalah terganggu dalam karya
sebelumnya, kami mengembangkan deskripsi umum dan karakterisasi gangguan untuk semua siswa
yang berpartisipasi dalam filosofi unit matematika kita (lihat McMaster & Betts, 2007). Dalam

tulisan ini, kami berfokus pada deskripsi yang lebih dalam tentang bagaimana tiga siswa
mengarahkan gangguan identitas mereka dalam kaitannya dengan matematika. Setiap siswa
memulai unit percaya bahwa matematika itu rapi dan tidak terbantahkan, dan kepercayaan ini secara
implisit ditantang oleh aktivitas selama unit. Untuk setiap kasus, kami mencoba membuat kronologi
untuk setiap cerita, berdasarkan identitas mereka sebelum filosofi unit matematika (sesuai prawawancara), selama unit (jurnal dan observasi di kelas), dan setelah unit (sebagai per postinterview)
DOROTHY
Sebelum filosofi unit matematika dimulai, Dorothy mengungkapkan kegembiraannya belajar
secara umum dan matematika pada khususnya. Dia mengungkapkan kepuasan nyata dalam
memperolehnya jawaban yang benar dalam matematika, itulah perasaan yang dia hargai sejak awal
sekolah dasar. Dia lebih memilih cabang matematika tertentu, seperti aljabar dan trigonometri, yang
lainnya seperti probabilitas, karena dia tidak suka memiliki apa yang dia sebut "pilihan" dalam
probabilitas. Dia juga menyukai proses kerja melalui urutan langkah yang tepat, Dimana proses itu
jelas dan linier, sebuah proses yang dia gambarkan sebagai "persis bagaimana segala sesuatu jatuh
ke tempatnya." Dia ingin tahu cara kerjanya, tapi hanya menginginkannya bekerja dengan satu cara.
Satu jawaban yang benar adalah apa yang dia inginkan. Pada akhir wawancara pra ini, dia
menyatakan, meskipun tidak kasar, bahwa dia hanya ingin "berhenti berbicara soal matematika."
Dorothy hanya tertarik bisnis melakukan matematika yang melibatkan sampai pada jawaban yang
benar, dan menemukannya tidak nyaman dan bingung untuk menyelidiki masalah filosofis yang
menyertainya. Dorothy membawa rendering yang rapi tentang sifat matematika: hasilnya salah atau
benar, ada satu metode untuk memecahkan setiap masalah, dan setiap metode pada dasarnya adalah
sebuah algoritma. Filosofi pribadi implisit Dorothy tentang matematika adalah bentuk absolutisme
yang dangkal, didukung oleh kesuksesannya dengan melakukan matematika sekolah.
Selama filsafat unit matematika, Dorothy dengan bebas mengekspresikan perasaan
kebingungan. Dia jelas tidak nyaman dengan perasaan ini, dan cenderung mencari simplistik
resolusi untuk isu-isu yang disajikan di kelas. Misalnya, dalam sebuah jurnal awal dia menulis:
"Lebih mudah menerima apa yang kita katakan daripada membantahnya." Dia sama sekali tidak
ingin memasuki perdebatan ini, tapi karena dia diharuskan untuk melakukannya, dia menganjurkan
untuk matematika yang sederhana dan bermanfaat dalam sebuah jurnal kemudian, dia setuju dengan
posisi Humanis karena sederhana, tidak hanya dari sudut pandang matematis, tapi dari sudut
pandang manusia. Dia menulis: "Kita harus membuat penyesuaian terhadap konsep matematika
untuk kesederhanaan hidup belaka." Dia keberatan mendiskusikan masalah ini. Diskusi ini
membuat dia frustrasi karena dia tidak melihat tujuannya. Kami percaya ini karena dia telah
diindoktrinasi menjadi sasaran yang sangat berorientasi, bukan untuk melihat nilai dari diskusi
berantakan yang kita lakukan di kelas.
Setelah falsafah unit matematika, Dorothy masih enggan membicarakan sifat matematika, dan
berusaha untuk menjaga masalah kekacauan dalam matematika karena mengancam pengalaman
terdahulu dengan pendekatan dikotomi yang benar / salah terhadap matematika bahwa dia telah
dilatih untuk menghargai. Dia bersedia untuk mendiskusikan berbagai elemen matematika selama
diskusi tersebut dilakukan tidak mengancam apa yang dia lihat sebagai operasi fundamental
matematika, seperti bagaimana formula bekerja, atau apakah mereka bekerja. Dia sangat nyaman
dengan pendekatan yang benar / salah untuk matematika dia hanya bersedia untuk mendiskusikan
isu-isu yang mendasari matematika jika dia bisa mempertimbangkannya Masalah terpisah yang
tidak mengancam apa yang dia rasakan sebenarnya dia lakukan di kelas matematika. Posisi filosofis

yang berbeda dapat memanggil berbagai isu yang berbeda namun tidak berarti bahwa ada lebih dari
satu jawaban atas masalah yang diminta untuk dipecahkan di kelas matematika. Dorothy tampaknya
bisa mengkompartemental matematika untuk membuat diskusi ini terasa aman baginya; Artinya,
kita bisa membicarakan filosofi matematika asalkan tidak mencegahnya untuk bisa mendapatkan
jawaban yang benar untuk masalah matematika.
Sepanjang wawancara pasan pewawancara menantang Dorothy untuk mempertimbangkan
posisinya lebih kritis, terutama kecenderungannya untuk setuju dengan Absolutisme dan
Humanisme sebagai filsafat matematika yang dapat diterima. Misalnya, dia ingin matematika selalu
menghasilkan satu jawaban yang benar (Absolutisme), tapi dia juga ingin matematika menjadi
pribadi, di bawah kendali orang yang melakukan matematika, dan menggambarkan evolusi
pengetahuan matematika dalam istilah humanis. Dia menjadi sadar bahwa posisinya tidak dapat
dipertahankan, tapi ini tidak cukup baginya untuk mengubah posisinya. Kami percaya ini
menggambarkan betapa dalamnya gagasannya tentang matematika.
Ketika ditantang lebih jauh untuk mempertahankan posisinya, rasa aman Dorothy, bersumber
dalam mengikuti peraturan, prosedur, menggunakan rumus, dan mendapatkan jawaban yang benar,
adalah terancam. Sepanjang wawancara, dia berulang kali mengganti topik pembicaraan, tertawa,
menggoda, menunjukkan bahwa dia tidak peduli dengan isu yang diangkat, dan mencoba
menyingkirkan pewawancara.
Sebagai contoh:
Pewawancara: Jadi tidak ada interpretasi atau pendapat dalam matematika?
Dorothy: tidak [tertawa].
Pewawancara: Meski begitu Anda berbicara tentang kelabu yang masuk ke dalam filosofi
matematika?
Dorothy: Ahhh oke [tertawa].
Pewawancara: giliran Anda
Dorothy: Noooo [tertawa] seharusnya tidak menjadi giliranku!
Mengingat frekuensi pertukaran ini, kami tidak yakin komentar ini acak-Dorothy sangat
tidak nyaman. Pada satu titik, dia bahkan membuat batas komentar tidak pantas (i.e., "Men!") yang
menargetkan pewawancara. Kami melihat ini sebagai Bukti tambahan tentang usahanya untuk
keluar dari tempat yang ketat dimana dia menemukan dirinya sendiri. Selain itu, dia melihat diskusi
itu sendiri bersifat agresif, bahkan mengatakan pada satu hal kepada pewawancara "You win".
Muridnya tidak nyaman, defensif, dan hampir kasar. Sebuah proses yang dia temukan memuaskan
dan memberi konsep dirinya matematika, proses penargetan dan kemudian mendapatkan jawaban
yang benar, ditantang dengan serius, dan dia mencari cara untuk menyelamatkannya. Keinginannya
untuk menghindari masalah sama sekali berhubungan erat dengan kebutuhan Dorothy untuk
kontrol. Jika filosofi matematika itu Diintegrasikan ke dalam pengalaman matematisnya, dia merasa
kehilangan kendali, dan secara harfiah tidak tahu harus berbuat apa. Sumber besar perasaan
keberhasilan akademisnya menjadi terancam, dan konsep dirinya bersamaan dengannya. Dia
mencoba untuk menghindari masalah dari filsafat matematika agar tetap terpisah dari pengalaman
matematika sekolahnya.
MARY
Berdasarkan wawancara awal, Mary percaya bahwa dia melakukannya dengan baik dalam
matematika karena dia kerja keras. Dia tidak percaya dia pandai matematika, meskipun dia senang
melakukan matematika dan kenikmatan itu tampaknya sangat terkait dengan pengalamannya
tentang kesuksesan dengan matematika karena kerja keras. Mary melakukan apa yang seharusnya

dia lakukan di kelas matematika (dan dalam semua kursus). Dia menerima pengetahuan tentang
instruktur dengan nilai nominal dan tanpa pertanyaan - matematika yang diajarkan di sekolah
dikembangkan oleh para matematikawan di masa lalu dan benar tanpa pertanyaan. Tidak perlu
mempertanyakan hasilnya matematika. Mary senang dengan keadaan ini karena mudah untuk
mengetahui tanggapan apa yang benar, sehingga dia bisa sukses dalam hal nilai dan merasa baik
tentang kerja kerasnya. Mary menganggap hasil matematis sebagai benar atau salah, yang disetujui
oleh para guru sebagai komunikator karya matematikawan. Ini adalah rendering yang rapi dari sifat
matematika karena hubungan sederhana antara guru dan matematikawan dan penerimaan yang tidak
diragukan lagi tentang kebenaran universal dan akhir dari matematika yang dipelajari di sekolah.
Bagi Mary, keyakinan tentang matematika sekolah ini mencakup semua matematika.
Konsepsi Mary tentang matematika ditantang selama filsafat unit matematika Kami
mempresentasikan gagasan bahwa matematika mungkin tidak mutlak dan itu Manusia mungkin
terlibat secara tak terpisahkan dengan apa yang dianggap benar dalam matematika. Sekarang, Mary
harus menghadapi kemungkinan bahwa kanon matematika, yang memang demikian berhasil
bereproduksi pada tes matematika, mungkin tidak begitu yakin. Dia menghadapi kemungkinan itu
bahwa sifat matematika melibatkan ketidakpastian, yang menyebabkan masalah baginya keinginan
untuk mendeteksi dan mereproduksi jawaban yang benar.
Mary menyesuaikan diri dengan ketidaknyamanan yang disebabkan oleh kekacauan
epistemologis dalam dua cara. Pertama, dia terus matematika di lengan panjang. Misalnya, saat
wawancara terakhir, dia berkata:
Saya juga setuju dengan fakta bahwa matematika selalu ada dan tidak diciptakan oleh
manusia atau orang lain Saat kita, sebagai manusia, cari tahu yang baru Konsep matematis,
kita benar-benar hanya menemukan sesuatu yang selalu ada
Kutipan ini mewakili posisi Mary dalam dua cara. Dia jarang menggunakan "aku" untuk
menyatakan posisinya, dan saat dia melakukannya, dia kembali ke "kita" (yang jauh lebih umum),
seperti jika menjauhkan diri dari posisi tersebut. Selanjutnya, kutipan tersebut mewakili keyakinan
Mary bahwa matematika ada di mana-mana - itu adalah "di mana-mana." Mary dengan sengaja
menempatkan matematika di luar Pengalaman pribadinya, dan satu-satunya alasan dia mengalami
matematika adalah karena "kita" tidak dapat membantu menabraknya - dibutuhkan "kami" untuk
"bertahan hidup." Menjaga matematika di Panjang lengannya nyaman bagi Mary. Hal ini
memungkinkan dia untuk menjaga matematika sebagai tujuan dan terpisah dari kita, yang
melindungi penerimaannya yang nyaman terhadap absolutisme matematika.
Cara kedua Mary menyesuaikan ketidaknyamanannya selama unit ini menjadi lambat
berkomitmen untuk menjawab atau duduk di pagar. Misalnya, di jurnal pertama dia menulis: Bisa
dibantah apakah matematika itu mandiri dan bisa bertindak sendiri atau jika dibutuhkan bahasa
untuk eksis. Dalam jurnal terakhir, ketika diminta untuk memilih salah satu dari empat kamp
tersebut, dia menulis: Filosofi matematika saya adalah Platonisme, karena ini adalah filosofi
matematika yang membuat Yang paling masuk akal bagiku. Saya merasa bahwa sebenarnya tidak
ada satu filsafat matematik benar sekali.
Dalam kutipan pertama, dia menyatakan sebuah isu yang kontroversial, namun tidak akan
mengambil posisi. Dalam kutipan kedua, dia memilih posisi tapi membuat kualifikasi. Sepanjang
akhir Wawancara, dia lamban menjawab, mencoba memberikan jawaban singkat dan tidak komit,
dan akan memenuhi syarat dengan ungkapan-ungkapan seperti "Saya tidak yakin." Satu-satunya
gagasan bahwa Mary akan melakukannya berkomitmen untuk adalah bahwa "kita" tidak akan
pernah bisa "yakin." Dia menggunakan ketidakpastian pada umumnya untuk melindungi
Keyakinannya bahwa matematika bisa dipastikan. Dia memenuhi syarat atau tidak melakukan

karena dia sedang mencari jawaban yang tepat untuk direproduksi oleh sekolah. Teori dari Kursus
pengetahuan memperkuat gagasan bahwa pengetahuan tidak pernah pasti. Mary sedang melakukan
Apa yang diajarkan sekolah kepadanya, yaitu untuk mereproduksi jawaban yang benar.
Saat Mary memang berkomitmen pada posisi itu karena ada emosi yang kuat koneksi ke zona
kenyamanan dengan matematika. Di jurnal akhir, saat merenung tentang apakah matematika
sekolah telah mempengaruhi keyakinannya, dia menulis:
Meskipun matematika SMA telah menjadi pengaruh besar pada keyakinan saya Platonisme,
menurut saya sifat pribadi saya dan cara saya berpikir juga berkontribusi pada pandangan Platonis
saya. Saya suka hal-hal yang hitam dan putih yang memberi saya pasti jawaban. Saya tidak ingin
ditangkap di tanah seorang pria, karena saya tidak tahu harus berbuat apa lakukan karena saya tidak
akan tahu apa hal yang benar untuk dilakukan. Platonisme mengatakan itu padaku konsep memiliki
jawaban pasti Inilah yang membuat saya bahagia karena saya akan melakukannya tahu apa yang
saya lakukan, dan dapat mengetahui apakah saya melakukan hal yang benar.
Pandangan Platonis tentang matematika adalah selimut keamanan untuk Mary. Selama final
Wawancara, saat ditekan soal ini, dia mengakuinya. Formalisme ditolak Karena matematika
kehilangan sifat sebenarnya di alam (dia mungkin khawatir bahwa matematika formal sangat
abstrak sehingga dia tidak bisa lagi memahaminya) – ini adalah keselamatan menjaga matematika
agak jauh. perwujudan ditolak karena matematika tidak terpisah dari manusia, dan sebagainya dia
tidak bisa mempertahankan hubungan impersonal dengan matematika. Bukti dan Refutations
dilindung nilai dengan kemungkinan menemukan jawaban atau penjamin bahwa "kami" tidak
pernah bisa memastikan. Ini adalah posisi yang sangat emosional, dalam arti dia merasa kuat
tentang menjaga matematika secara impersonal dan terpisah. Dia memilih Platonisme karena dia
merasa sangat ingin merasa senang mengetahui ada yang benar jawaban bahwa dia bisa
bereproduksi dengan benar.
JOHN
Sangat baik dalam mencapai 100% pada tes matematika dan ujian. Dia juga salah satu dari
sedikit peserta yang menyatakan cinta sejati matematika. Selama Pra-wawancara, dia berkata, "Saya
suka kenyataan bahwa dalam matematika Anda bisa mendapatkan jawaban dan jawaban.Tentu
saja ... "Dia mengagumi karya matematikawan, dan merasakan kenikmatan bila kemampuannya
menjadi satu-satunya di kelas matematika yang bisa memecahkan masalah yang menantang
posisinya sebagai "matematikawan" dari kelas. Kata kunci yang digunakan dalam pra-wawancara
adalah "nyaman." Ia menyukai matematika karena membuatnya merasa nyaman. Dia tahu apa harus
dilakukan, dia pandai melakukannya, dan dia mengalami kepuasan atas pencapaiannya, jawaban
unik Matematika adalah pusat dari konsep dirinya; Dia sebenarnya mengklaim hal itu terjadi di
pusat "segalanya." John telah menyederhanakan sifat matematika dengan mengacaukan apa dia
mengerjakan matematika di sekolah dengan karya matematikawan. Dia melihat dirinya sebagai
pemecah masalah, dan keberhasilannya dalam tes matematika membuat persepsi tentang
matematika ini - dia nyaman dengan persepsinya. Kenyamanan dengan sekolah matematika
menghasilkan kelemahan dalam mengali potensi perbedaan antara bagaimana matematika yang
diberikan disekolah dan bagaimana matematikawan memberikan pengalaman matematika.
Selama filosofi unit matematika, ketidaknyamanan John minimal pada awalnya tapi perlahan
meningkat. Setelah kelas pertama ditulis: "Saya memikirkan matematika hari ini lebih ringan
dibanding hari lain, satu di mana saya tidak terbiasa berpikir. "John hanya sedikit khawatir karena
kelas pertama telah memicu pemikiran bahwa matematika yang dia rasa nyaman mungkin tidak

menurut matematikawan. Dalam jurnal berikutnya, kita menemukan bukti adanya peningkatan
kekhawatiran tentang matematika Kemudian di unit yang dia tulis:
Saya belajar tentang gagasan perwujudan hari ini. Saya, bagaimanapun, tidak membelinya. aku
percaya bahwa kita sebagai manusia, terlepas dari pembatasan yang kita miliki dalam kenyataan
dimana kita hidup, mampu mengekstrapolasi pengetahuan kita ke dalam area dan dimensi tidak
dapat dibuktikan dengan kemampuan kita saat ini. Saya masih percaya dengan absolutisme.
Kata "bagaimanapun" dalam kalimat dua dan "tegas" dalam kalimat terakhir tidak diperlukan
oleh John untuk mengemukakan idenya. Kehadiran mereka menunjukkan betapa pentingnya. John
merasakannya untuk menekankan posisinya, dan karenanya semakin meningkatnya perhatiannya
terhadap gagasan yang dipresentasikan.
Bagian dari ketidaknyamanannya berakar pada rasa hormatnya terhadap matematika dan
matematikawan. Selama diskusi kelas, kita belajar bahwa John membaca tentang matematika dan
matematika dari bunga ( tidak wajib sekolah membaca). Dalam salah satu jurnalnya dia menulis:
"Kami punya masalah. Dan seorang matematikawan harus [penekanan tidak ditambahkan] dapat
menerimanya. "Dia mengagumi matematika hebat, tetapi menemukan unsur menjadi seorang
matematikawan yang berada di luar zona nyamannya. Ketidaknyamanannya dengan gagasan yang
disajikan selama kegiatan kelas meningkat. Kami percaya ini karena dia telah memberikan
kepadanya bukti bahwa matematika yang dia rasa nyaman tidak begitu rapi dan bersih. Jawaban
yang benar dia pasti ada untuk setiap masalah dan mengambilnya Kesenangan dalam menemukan
telah ditantang.
John juga menghargai pemikiran kritis - dia penasaran dengan gagasan tapi juga skeptis. Kami
menemukan ini terbukti dalam sikap bertanya dan menantangnya di kelas diskusi. Kami juga
menemukan ini terbukti dalam entri jurnal. Misalnya dari dua jurnalnya:
Saya merasa bahwa ini adalah topik yang sangat dalam, yang membutuhkan penjelasan
lebih lanjut, dan lihatlah maju untuk menjelajahinya lebih jauh. Dan selalu ada pengecualian abstrak
untuk matematika. Memang menarik untuk bertanya-tanya tentang hal itu dan menganalisa,
menyadari bahwa kita mungkin tidak pernah benar-benar bisa mendapatkan sebuah jawaban. Ini
adalah proses berpikir yang membuat semuanya berharga.
John menghargai pemikiran demi pemikiran. John percaya bahwa sebuah ide harus tahan
terhadap kritik sebelum diterima, dan dia ingin terlibat dalam proses pemikiran kritis semacam itu.
Dia menemukan kesenangan dalam terlibat dengan gagasan. Jadi, saat dia menemukan idenya untuk
ditantang, dia menganggap serius tantangan ini karena dia menghargai pemikiran kritis.
Ia harus menemukan cara untuk menavigasi gangguan dalam kenyamanannya dengan
matematika yang pernah ia alami di sekolah. Dia melakukan ini, dengan senang hati, melalui
pemikiran kritis. Meski dengan tegas dia setuju dengan Absolutisme, melalui tantangan dan
pertanyaan skeptisnya, akhirnya dia menemukan masalah dengan Platonisme dan Formalisme.
Reaksi awalnya terhadap kedua bukti / refutasi dan perwujudan adalah penolakan karena mereka
mewakili penolakan terhadap Absolutisme. Kini sikap skeptisnya adalah mempertanyakan dan
mengkritik agar bisa menemukan alasan untuk juga menolak posisi tersebut. Tapi perwujudan,
dalam persepsinya sulit ditolak. Kami berbicara beberapa kali setelah kelas tentang perwujudan - itu
Jelas bahwa penilaiannya tentang pemikiran murni adalah inti dari rasa ingin tahu dan
pertanyaannya. Dia ingin memastikan bahwa dia mengerti untuk memastikan gagasan tersebut
dapat bertahan menghadapi evaluasi kritis. Jadi, meskipun ia menolak perwujudan dalam jurnal
terakhirnya yang kedua, jurnal terakhirnya mulai menggambarkan sebuah falsafah matematika yang
dia beri label "Absolutisme Terwujud." John menemukan cara untuk melindungi penglihatan dan
pengalamannya yang mutlak dengan matematika melalui sukacita murni dengan pemikiran murni.

Selama wawancara terakhir, penjelasan