Metode Numerik : Integrasi Turunan
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
Teknik Informatika
Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
2016
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
1 / 22
Rencana Presentasi
1
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Contoh Sederhana
2
Metode Penyelesaian Integrasi & Turunan Numerik
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias
Metode Newton-Cotes
Metode Kuadratur Gauss
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor
Turunan dengan Polinom Interpolasi
3
Aturan UAS
4
Catatan
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
2 / 22
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan → sulitnya penyelesaian secara
analitik pada kasus yang lebih rumit.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
3 / 22
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan → sulitnya penyelesaian secara
analitik pada kasus yang lebih rumit.
Pendekatan numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
3 / 22
Contoh Sederhana
Contoh Kasus Integral & Turunan
1
2
R 2 2 + cos (1 + x3/2 )
√
exp0.5x dx
0
1 + 0.5sin x
p
cos (2x 2 ) + x tan (3x)
f (x) =
sin (x) + expx −2x/cos (x)
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
4 / 22
Contoh Sederhana
Contoh Kasus Integral & Turunan
1
2
R 2 2 + cos (1 + x3/2 )
√
exp0.5x dx
0
1 + 0.5sin x
p
cos (2x 2 ) + x tan (3x)
f (x) =
sin (x) + expx −2x/cos (x)
Apakah Saudara bersedia untuk menghitung hasil dari integral dan
turunan fungsi contoh diatas ?
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
4 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Integrasi Numerik → Integral Tertentu
Bentuk Umum Integral Tertentu
Z
b
a
b
f (x)d(x) = F (x) = F (b) − F (a)
a
Gambar Plot Integral Tertentu
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
5 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias → segmen/strip
1
Kaidah Segiempat (rectangle rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−1
X
b−a
h
fi + fn ), dimana h =
f (x)d(x) = (f0 + 2
2
n
i=1
Gambar Plot Kaidah Segiempat
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
6 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
2
Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z
n−1
b
f (x)d(x) =
a
X
h
b−a
fi + fn ), dimana h =
(f0 + 2
2
n
i=1
Gambar Plot Kaidah Trapesium
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
7 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
3
Kaidah Titik Tengah (midpoint rule)
Bentuk Umum :
Z
b
f (x)d(x) = h
a
n−1
X
fi+1/2 , dimana h =
b−a
n
i=0
Gambar Plot Kaidah Titik Tengah
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
8 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : R
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah trapesium dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah trapesium !!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
9 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : R
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah trapesium dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah trapesium !!
Tabel :
0
0
0.1
0.002
Z b
0.2
0.016
0.3
0.054
h
f (x)d(x)
=
a
=
=
2
(f0 + 2
n−1
X
0.4
0.128
0.5
0.25
0.6
0.432
0.7
0.686
0.8
1.024
0.9
1.458
1
2
fi + fn )
i=1
0.1
(0 + 2(0.002 + 0.016 + 0.054 + 0.128 + 0.25 + 0.432 + 0.686 + 1.024 + 1.458) + 2)
2
0.505
Jadi, Galat (e) = 0.505 − 0.5
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
9 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes → polinom interpolasi
1
Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z b
n
X
h
b−a
f (x)d(x) = (f0 + 2
fi + fn ), dimana h =
2
n
a
i=1
2
Kaidah Simpson 1/3 (simpson’s 1/3 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−1
n−2
X
X
h
f (x)d(x) = (f0 + 4
fi + 2
fi + fn )
3
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
i=1,3,5
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
i=2,4,6
2016
10 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3
Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−3
n−1
X
X
3h
f (x)d(x) =
fi + fn )
fi + 2
(f0 + 3
8
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
i=1
i6=3,6,9
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
i=3,6,9
2016
11 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3
Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−3
n−1
X
X
3h
f (x)d(x) =
fi + fn )
fi + 2
(f0 + 3
8
i=1
i6=3,6,9
i=3,6,9
Selesaikan soalRberikut :
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah simpson dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah simpson 1/3 atau 3/8 !!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
11 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss → tanpa analisa titik diskrit
Bentuk umum :
I =
Z
1
f (x)d(x) ≈ c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) + ... + cn f xn
−1
dengan c1 ...cn , x1 ...xn adalah sembarang nilai.
Transformasi :
Z
b
f (x)d(x) =⇒
a
Z
1
f (t)d(t)
−1
Syarat :
selang [a, b] menjadi selang [−1, 1]
(a + b) + (b − a)t
2
b−a
turunan dx menjadi dt ⇒ dx =
dt
2
peubah x menjadi peubah t ⇒ x =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
12 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
1
Kaidah Gaus-Legendre 2-Titik
Bentuk Umum :
Z 1
√
√
f (x)d(x) ≈ f (1/ 3) + f (−1/ 3)
−1
2
Kaidah Gaus-Legendre 3-Titik
Bentuk Umum :
Z 1
p
5 p
8
5
f (x)d(x) ≈ f [(− (3/5))] + f (0) + f [( (3/5))]
9
9
9
−1
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
13 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
R2
Contoh Soal : Hitung integral dari 1 (x 2 + 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
14 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
R2
Contoh Soal : Hitung integral dari 1 (x 2 + 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya!
Penyelesaian :
x
=
dx
=
Sehingga,
Z 2
(x 2 + 1)dx
1
(1 + 2) + (2 − 1)t
= 1.5 + 0.5t
2
2−1
dt = 0.5t
2
Z
1
[(1.5 + 0.5t)2 + 1]dt
−1
√
√
≈ 0.5 × {f (1/ 3) + f (−1/ 3} = 3.333333333
= 0.5
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
14 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Bentuk Umum & Pendekatan Turunan Numerik
f (x + h) − f (x)
(Ingat Kalkulus !!)
h
Ada tiga pendekatan secara umum :
f ′ (x) = lim
h→0
Hampiran selisih-maju
f ′ (x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 )
f1 − f0
=
h
h
Hampiran selisih-mundur
f ′ (x0 ) =
f0 − f1
f (x0 ) − f (x0 − h)
=
h
h
Hampiran selisih-pusat
f ′ (x0 ) =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
f (x0 + h) − f (x0 − h)
f1 − f−1
=
2h
h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
15 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor
Bentuk umum :
f (xi+1 ) = f (xi ) +
(xi+1 − xi )2
(xi+1 − xi ) ′
f (xi ) +
f ”(xi ) + ...
1!
2!
Hampiran selisih-maju
fi
′
=
fi ”
=
fi+1 − fi
+ O(h), dengan O(h) = h/2f ”(t), xi < t < xi+1
h
fi+2 − 2fi+1 + fi
+ O(h), dengan O(h) = −hf ”(t), xi < t < xi+2
h2
Hampiran selisih-mundur
fi
′
fi ”
=
=
fi − fi−1
+ O(h), dengan O(h) = −h/2f ”(t), xi−1 < t < xi
h
fi−2 − 2fi−1 + fi
+ O(h), dengan O(h) = hf ”(t), xi−2 < t < xi
h2
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
16 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Hampiran selisih-pusat
fi
′
fi ”
=
=
fi+1 − fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /6f ′′′ (t), xi−1 < t < xi+1
2h
fi+1 − 2fi + fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /12f (4) (t), xi−1 < t < xi+1
h2
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f ′ (1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x
f(x)
1.3
0.002
1.5
0.016
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
1.7
0.054
1.9
0.128
2.1
0.25
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2.3
0.432
2.5
0.686
2016
17 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Hampiran selisih-pusat
fi
′
fi ”
=
=
fi+1 − fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /6f ′′′ (t), xi−1 < t < xi+1
2h
fi+1 − 2fi + fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /12f (4) (t), xi−1 < t < xi+1
h2
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f ′ (1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x
f(x)
1.3
0.002
1.5
0.016
1.7
0.054
1.9
0.128
2.1
0.25
2.3
0.432
2.5
0.686
Penyelesaian :
′
fi =
f (1.9) − f (1.5)
0.128 − 0.016
fi+1 − fi−1
=
=
= 0.28
2h
2(0.2)
0.4
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
17 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Polinom Interpolasi
Bentuk umum : ⇒ Newton-Gregory
f (x) ≈ pn (x) = f0 +
s(s − 1) 2
s(s − 1)(s − 2) 3
s
△ f0 +
△ f0 +
△ f0 ...
1!
2!
3!
Hampiran selisih-maju
Untuk titik x0 dan x1
f ′ (x0 ) = 1/h(△ f0 ) =
f1 − f0
h
Untuk titik x0 , x1 , dan x2
f ′ (x0 )
=
=
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
1/h(△ f0 + (s − 1/2) △2 f0 )
−3f0 + 4f1 − f2
2h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
18 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Polinom Interpolasi (Lanjutan)
Hampiran selisih-mundur ⇒ Newton-Gregory Maju
Untuk titik x0 dan x−1
f ′ (x0 ) = 1/h(▽f0 ) =
f0 − f−1
h
Hampiran selisih-pusat
Untuk titik x0 , x1 , dan x2
f ′ (x0 ) = 1/h(△ f0 + (s − 1/2) △2 f0 ) =
f2 − f0
2h
Untuk titik x−1 , x0 , dan x1
f ′ (x0 ) =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
f1 − f−1
2h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
19 / 22
Aturan UAS
Jadwal UAS hari Rabu, 15 Juni 2016 (waktu 75 menit → 5 soal).
Kelas T dimulai pukul 18.00 − 19.15 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Kelas U dimulai pukul 19.30 − 20.45 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Ujian bersifat terbuka dan hanya diperbolehkan membawa alat tulis,
catatan, printout slide presentasi (bukan HP dan laptop).
Hanya diperbolehkan menggunakan kalkulator manual (bukan hp dan
laptop).
Diharapkan mahasiswa datang ± 15 menit sebelum UAS dimulai.
Dilarang mencotek antar teman, bila ketahuan langsung tidak
diperbolehkan mengikuti UAS dan masuk berita acara.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
20 / 22
Catatan
Presentasi dapat didownload pada link berikut :
https://sites.google.com/site/elsenronandosite/files
Klik
.
Apabila ada pertanyaan mengenai metode numerik dapat kirim email
melalui : elsen.ronando@untag-sby.ac.id.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
21 / 22
Terimakasih & Sukses UAS
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
22 / 22
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc.
Teknik Informatika
Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Surabaya
2016
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
1 / 22
Rencana Presentasi
1
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Contoh Sederhana
2
Metode Penyelesaian Integrasi & Turunan Numerik
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias
Metode Newton-Cotes
Metode Kuadratur Gauss
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor
Turunan dengan Polinom Interpolasi
3
Aturan UAS
4
Catatan
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
2 / 22
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan → sulitnya penyelesaian secara
analitik pada kasus yang lebih rumit.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
3 / 22
Konsep Dasar Integrasi & Turunan
Integrasi Numerik → integral tertentu (ada batasnya).
Turunan Numerik → nilai hampiran.
Permasalahan Integral & Turunan → sulitnya penyelesaian secara
analitik pada kasus yang lebih rumit.
Pendekatan numerik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
3 / 22
Contoh Sederhana
Contoh Kasus Integral & Turunan
1
2
R 2 2 + cos (1 + x3/2 )
√
exp0.5x dx
0
1 + 0.5sin x
p
cos (2x 2 ) + x tan (3x)
f (x) =
sin (x) + expx −2x/cos (x)
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
4 / 22
Contoh Sederhana
Contoh Kasus Integral & Turunan
1
2
R 2 2 + cos (1 + x3/2 )
√
exp0.5x dx
0
1 + 0.5sin x
p
cos (2x 2 ) + x tan (3x)
f (x) =
sin (x) + expx −2x/cos (x)
Apakah Saudara bersedia untuk menghitung hasil dari integral dan
turunan fungsi contoh diatas ?
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
4 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Integrasi Numerik → Integral Tertentu
Bentuk Umum Integral Tertentu
Z
b
a
b
f (x)d(x) = F (x) = F (b) − F (a)
a
Gambar Plot Integral Tertentu
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
5 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias → segmen/strip
1
Kaidah Segiempat (rectangle rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−1
X
b−a
h
fi + fn ), dimana h =
f (x)d(x) = (f0 + 2
2
n
i=1
Gambar Plot Kaidah Segiempat
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
6 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
2
Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z
n−1
b
f (x)d(x) =
a
X
h
b−a
fi + fn ), dimana h =
(f0 + 2
2
n
i=1
Gambar Plot Kaidah Trapesium
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
7 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
3
Kaidah Titik Tengah (midpoint rule)
Bentuk Umum :
Z
b
f (x)d(x) = h
a
n−1
X
fi+1/2 , dimana h =
b−a
n
i=0
Gambar Plot Kaidah Titik Tengah
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
8 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : R
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah trapesium dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah trapesium !!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
9 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Pias (Lanjutan)
Contoh soal : R
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah trapesium dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah trapesium !!
Tabel :
0
0
0.1
0.002
Z b
0.2
0.016
0.3
0.054
h
f (x)d(x)
=
a
=
=
2
(f0 + 2
n−1
X
0.4
0.128
0.5
0.25
0.6
0.432
0.7
0.686
0.8
1.024
0.9
1.458
1
2
fi + fn )
i=1
0.1
(0 + 2(0.002 + 0.016 + 0.054 + 0.128 + 0.25 + 0.432 + 0.686 + 1.024 + 1.458) + 2)
2
0.505
Jadi, Galat (e) = 0.505 − 0.5
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
9 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes → polinom interpolasi
1
Kaidah Trapesium (trapezodial rule)
Bentuk Umum :
Z b
n
X
h
b−a
f (x)d(x) = (f0 + 2
fi + fn ), dimana h =
2
n
a
i=1
2
Kaidah Simpson 1/3 (simpson’s 1/3 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−1
n−2
X
X
h
f (x)d(x) = (f0 + 4
fi + 2
fi + fn )
3
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
i=1,3,5
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
i=2,4,6
2016
10 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3
Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−3
n−1
X
X
3h
f (x)d(x) =
fi + fn )
fi + 2
(f0 + 3
8
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
i=1
i6=3,6,9
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
i=3,6,9
2016
11 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Newton-Cotes (Lanjutan)
3
Kaidah Simpson 3/8 (simpson’s 3/8 rule)
Bentuk Umum :
Z
b
a
n−3
n−1
X
X
3h
f (x)d(x) =
fi + fn )
fi + 2
(f0 + 3
8
i=1
i6=3,6,9
i=3,6,9
Selesaikan soalRberikut :
1
Hitung Integral 0 2x 3 dx dengan kaidah simpson dimana h = 0.1.
Tentukan nilai galatnya (e) !
Penyelesaian :
Ingat kaidah simpson 1/3 atau 3/8 !!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
11 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss → tanpa analisa titik diskrit
Bentuk umum :
I =
Z
1
f (x)d(x) ≈ c1 f (x1 ) + c2 f (x2 ) + ... + cn f xn
−1
dengan c1 ...cn , x1 ...xn adalah sembarang nilai.
Transformasi :
Z
b
f (x)d(x) =⇒
a
Z
1
f (t)d(t)
−1
Syarat :
selang [a, b] menjadi selang [−1, 1]
(a + b) + (b − a)t
2
b−a
turunan dx menjadi dt ⇒ dx =
dt
2
peubah x menjadi peubah t ⇒ x =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
12 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
1
Kaidah Gaus-Legendre 2-Titik
Bentuk Umum :
Z 1
√
√
f (x)d(x) ≈ f (1/ 3) + f (−1/ 3)
−1
2
Kaidah Gaus-Legendre 3-Titik
Bentuk Umum :
Z 1
p
5 p
8
5
f (x)d(x) ≈ f [(− (3/5))] + f (0) + f [( (3/5))]
9
9
9
−1
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
13 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
R2
Contoh Soal : Hitung integral dari 1 (x 2 + 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya!
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
14 / 22
Metode Penyelesaian Integrasi Numerik
Metode Kuadratur Gauss (Lanjutan)
R2
Contoh Soal : Hitung integral dari 1 (x 2 + 1)dx menggunakan kaidah
Gaus-Legendre 2-Titik beserta nilai galatnya!
Penyelesaian :
x
=
dx
=
Sehingga,
Z 2
(x 2 + 1)dx
1
(1 + 2) + (2 − 1)t
= 1.5 + 0.5t
2
2−1
dt = 0.5t
2
Z
1
[(1.5 + 0.5t)2 + 1]dt
−1
√
√
≈ 0.5 × {f (1/ 3) + f (−1/ 3} = 3.333333333
= 0.5
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
14 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Bentuk Umum & Pendekatan Turunan Numerik
f (x + h) − f (x)
(Ingat Kalkulus !!)
h
Ada tiga pendekatan secara umum :
f ′ (x) = lim
h→0
Hampiran selisih-maju
f ′ (x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 )
f1 − f0
=
h
h
Hampiran selisih-mundur
f ′ (x0 ) =
f0 − f1
f (x0 ) − f (x0 − h)
=
h
h
Hampiran selisih-pusat
f ′ (x0 ) =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
f (x0 + h) − f (x0 − h)
f1 − f−1
=
2h
h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
15 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor
Bentuk umum :
f (xi+1 ) = f (xi ) +
(xi+1 − xi )2
(xi+1 − xi ) ′
f (xi ) +
f ”(xi ) + ...
1!
2!
Hampiran selisih-maju
fi
′
=
fi ”
=
fi+1 − fi
+ O(h), dengan O(h) = h/2f ”(t), xi < t < xi+1
h
fi+2 − 2fi+1 + fi
+ O(h), dengan O(h) = −hf ”(t), xi < t < xi+2
h2
Hampiran selisih-mundur
fi
′
fi ”
=
=
fi − fi−1
+ O(h), dengan O(h) = −h/2f ”(t), xi−1 < t < xi
h
fi−2 − 2fi−1 + fi
+ O(h), dengan O(h) = hf ”(t), xi−2 < t < xi
h2
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
16 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Hampiran selisih-pusat
fi
′
fi ”
=
=
fi+1 − fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /6f ′′′ (t), xi−1 < t < xi+1
2h
fi+1 − 2fi + fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /12f (4) (t), xi−1 < t < xi+1
h2
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f ′ (1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x
f(x)
1.3
0.002
1.5
0.016
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
1.7
0.054
1.9
0.128
2.1
0.25
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2.3
0.432
2.5
0.686
2016
17 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Deret Taylor (Lanjutan)
Hampiran selisih-pusat
fi
′
fi ”
=
=
fi+1 − fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /6f ′′′ (t), xi−1 < t < xi+1
2h
fi+1 − 2fi + fi−1
+ O(h2 ), dengan O(h2 ) = −h2 /12f (4) (t), xi−1 < t < xi+1
h2
Contoh soal :
Hitung nilai hampiran dari f ′ (1.7) menggunakan selisih-pusat berdasarkan
tabel berikut :
x
f(x)
1.3
0.002
1.5
0.016
1.7
0.054
1.9
0.128
2.1
0.25
2.3
0.432
2.5
0.686
Penyelesaian :
′
fi =
f (1.9) − f (1.5)
0.128 − 0.016
fi+1 − fi−1
=
=
= 0.28
2h
2(0.2)
0.4
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
17 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Polinom Interpolasi
Bentuk umum : ⇒ Newton-Gregory
f (x) ≈ pn (x) = f0 +
s(s − 1) 2
s(s − 1)(s − 2) 3
s
△ f0 +
△ f0 +
△ f0 ...
1!
2!
3!
Hampiran selisih-maju
Untuk titik x0 dan x1
f ′ (x0 ) = 1/h(△ f0 ) =
f1 − f0
h
Untuk titik x0 , x1 , dan x2
f ′ (x0 )
=
=
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
1/h(△ f0 + (s − 1/2) △2 f0 )
−3f0 + 4f1 − f2
2h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
18 / 22
Metode Penyelesaian Turunan Numerik
Turunan dengan Polinom Interpolasi (Lanjutan)
Hampiran selisih-mundur ⇒ Newton-Gregory Maju
Untuk titik x0 dan x−1
f ′ (x0 ) = 1/h(▽f0 ) =
f0 − f−1
h
Hampiran selisih-pusat
Untuk titik x0 , x1 , dan x2
f ′ (x0 ) = 1/h(△ f0 + (s − 1/2) △2 f0 ) =
f2 − f0
2h
Untuk titik x−1 , x0 , dan x1
f ′ (x0 ) =
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
f1 − f−1
2h
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
19 / 22
Aturan UAS
Jadwal UAS hari Rabu, 15 Juni 2016 (waktu 75 menit → 5 soal).
Kelas T dimulai pukul 18.00 − 19.15 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Kelas U dimulai pukul 19.30 − 20.45 (tidak ada waktu tambahan bagi
yang terlambat).
Ujian bersifat terbuka dan hanya diperbolehkan membawa alat tulis,
catatan, printout slide presentasi (bukan HP dan laptop).
Hanya diperbolehkan menggunakan kalkulator manual (bukan hp dan
laptop).
Diharapkan mahasiswa datang ± 15 menit sebelum UAS dimulai.
Dilarang mencotek antar teman, bila ketahuan langsung tidak
diperbolehkan mengikuti UAS dan masuk berita acara.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
20 / 22
Catatan
Presentasi dapat didownload pada link berikut :
https://sites.google.com/site/elsenronandosite/files
Klik
.
Apabila ada pertanyaan mengenai metode numerik dapat kirim email
melalui : elsen.ronando@untag-sby.ac.id.
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
21 / 22
Terimakasih & Sukses UAS
Elsen Ronando, S.Si.,M.Si.,M.Sc. (UNTAG)
Metode Numerik : Integrasi & Turunan
2016
22 / 22