TRANSFER MOMENTUM ALIRAN DALAM ANULUS

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  

TRANSFER M OM ENTUM

ALIRAN DALAM ANULUS

  Alir an dalam anulus adalah aliran di ant ara dua pipa yang segaris pusat . Jadi ada pipa besar dan ada pipa kecil. Pipa kecil ber ada dalam pipa besar . Ruang yang t erbent uk oleh dua pipa ini disebut anulus.

  Pipa besar Pipa kecil Ruang anulus R OI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam.

  

R OI

R

  IO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar.

  

R

  

IO

Fluida mengalir di antara dan .

  R

  IO R OI

  Unt uk keperluan analisis alir an, kit a t et apkan t erlebih dahulu jari-jar i pipa, yait u

  

R adalah jari-jar i pipa luar bagian dalam . R adalah jari-jar i pipa dalam bagian

OI

  IO

  luar . Sket sa alir an fluidanya adalah seper t i pada gam bar ber ikut . Di sini fluida ber ger ak ke ar ah kanan (arah x posit if).

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  R OI p

  2 r

1 Fluida: ρ , μ p

  R

  IO x p

  1 p

  2 Fluida: ρ , μ L X = L X = 0

  Unt uk mem udahkan analisis, sist em pada gam bar di at as ini masih harus dijelaskan lebih lanjut dalam bent uk volume at ur (Cont rol Volume) agar kit a bisa mem buat neraca moment umnya. Gambarannya seper t i berikut .

  Pipa luar Pipa dalam

  Volum e atur berbentuk

  ∆ r

  gelang dengan ketebalan dr dan berjari-jarir r.

  r

  Tekanan pada sisi yg m enghadap pembaca sebesar p dan sebesar p

  1

  2

  pada sisi penampang yang

  R OI m enembus halaman ini. R

  IO

  Fluida m engalir dari arah pem baca menuju ke arah belakang halaman ini.

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  Analisis Terhadap Volume Atur Neraca Gaya:

1. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesar F = p A;

  1

1 A = 2 π r r ∆ Jadi F = p [2πr∆r]

  1

  1

2. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesar F = -p A;

  2

2 Jadi F = -p [2πr∆r]

  2

  2

  3. Ada gaya masuk (viskous) ke elem en volume melalui perm ukaan dalam pada posisi r, yait u:

  ] . [ 2

  4. Ada Gaya keluar (viskous) dari elemen volume melalui perm ukaan luar pada posisi r+ ∆r, yaitu:

  ] . [ 2

  ∆ ∆

  5. Ada gaya (inersia) masuk pada penam pang 1, (pada x = 0), sebesar:

  [ ] 2 .

  ∆

  6. Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar:

  [ 2 . ] ∆

  −

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 Sekarang kit a jum lahkan sem ua gaya: p [2πr∆r] - p [2πr∆r] ]

• [ 2 π r L. τ ] [

  1 2 [ 2 r L.

  π τ

  2 π r r v . ρ v ]

  ∆

  x x

  ∆ [ r v ] -

  2 r . v = 0 (keadaan st edi) x x

  π ∆ ρ Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan kar ena v x -nya sama (A sama).

  Sehingga kit a peroleh:

  p - p ] [ ] [2πr∆r] [2πr∆r] + [ . . = 0

  1

  2 −

• At au:

  ∆

  [ . ] [ ] .

  − ∆

  1

2 Kit a bagi dengan 2π∆ rL

  = (p -p ) [2πr∆r]

  2 L r | – r | [ 2 r r ]( p1 p2) r x r x

  π τ τ π ∆ − r + r r

  ∆

  = 2 r L 2 r L

  

π∆ π∆

  Kit a per oleh:

  r | – r | r ( p1 p2) r x r x

  τ τ − r + r r

  ∆

  = r L

  ∆

  Kalau nilai r diam bil limit nya mendekat i nol, maka suku sebelah kiri mer upakan

  ∆

  t urunan pert ama t erhadap r , yait u:

  τ rx

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  ∆ ( ) =

  dan .

  ) = (

  ∆ −

  At au:

  ∆ ( ) =

  Unt uk mem peroleh dist ribusi fluks moment um, persamaan ini kit a ingt egralkan:

  ∆ ( ) =

  Kit a peroleh:

  1 ∆

  = +

  2

  at au

  ∆

= +

2 Ber apakah nilai C1 ?? Sayang sekali, t idak ada infor masi sedikit pun t ent ang nilai

  fluksi moment um baik pada r = R maupun pada r = R . Namun masih bisa

IO OI

  dimanipulasikan, bahw a pada posisi r t er t ent u t er dapat kecepat an aliran yang maksimum , m isalnya saja posisi yang dimaksud adalah pada jarak r = ξ R .

  OI SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  ∆ r r r = R ξ OI R OI R

  IO

  Pada jar ak r = ξ R , fluksi moment umnya adalah no l. Sehingga, per samaan

  OI ∆

• =

  2 dengan memasukkan r = ξ R , menjadi:

  OI ∆

  0 =

• R

  ξ

  OI

  R

  2

  ξ

  OI At au C1-nya adalah:

  ∆ R

  = ( )

  ξ OI −

2 Dengan demikian:

  R

  ( )

  ξ OI − ∆ ∆

  2

• =

  2 R R OI OI

  ∆

  =

  ξ −

  R

2 OI

  Ingat bahw a ξ masih belum diket ahui. Tujuan menggant ikan konst ant a int egr asi C1 dengan ξ semat a-mat a karena ξ memiliki art i fisis yang cukup ber makna.

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 Terapkan hukum New t on t ent ang viskosit as:

  = −

  maka:

  R R

  OI OI

  −∆

  2 =

  ξ −

  R

2 OI

  At au:

  R R

  OI OI

  −∆

  2 =

  ξ −

  R

  2 OI Int egrasikan:

  R R

  OI OI

  −∆

  2 =

  ξ −

  R

  2 OI Diper oleh:

  2 R OI

  −∆

  2

  2 R ln + C

  =

  ξ − OI

  2 R

4 OI

  At au:

  2

  2 R OI

  −∆

  2

  2 ln + C

  =

  ξ

  2

  −

  2 R

4 OI

  2

2 R

  −∆ OI

  2

  2

  = ln +

  (* ) ξ

  −

  3

4 R R

OI OI

  Unt uk menent ukan ξ dan C3, kit a pergunakan syarat bat as, yait u: Pada r = R , V = 0

  IO x

  r = R , V = 0

  OI x

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 M asukkan ke pers (* ) dan kit a per oleh dua per samaan serent ak (simult an), yait u:

  2 R R R ∆ OI

  IO

  IO

  0 = ln

• 2

  ξ −

  R R

  OI OI

  2 R R R OI OI OI ∆

  2

  0 = ln

• R R

  ξ −

  OI OI

  At au: R R

  IO

  IO

  2

  0 = ln

• R R

  ξ −

  OI OI

  R R

  OI OI

  2

  0 = ln

• R R

  ξ −

  OI OI

  Dikur angi dan didapat :

  R R

  IO

  IO

  2

  0 = 1 ln

  ξ

− −

  R R

  OI OI

  R R

  IO

  IO

  2

  1 = ln

  ξ −

  R R

  OI OI

  

R

  IO

  1

  −

R

  OI

  2

  =

  ξ R

  IO ln

  R

  OI Dan dengan memasukkan nilai

  2 t er sebut ke salah sat u per samaan bat as t sb, ξ

  kit a dapat kan unt uk C3: R R

  IO

  IO

  0 = ξ

• +

  2 ln

  −

  R R OI OI

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 RIO R R

  IO

  IO ROI

  0 =

• + ln

  −

  RIO R R OI OI ROI R R

  IO

  IO

  0 = + 1 + −

  R R OI OI Sehingga

  =

  1

  −

  Kem udian masukkan

  R

  IO

  1

  − R

  OI =

  ξ R

  IO 2 ln

  R

  OI kepersamaan fluksi moment um ini :

  R R

  OI OI

  −∆

  =

  ξ −

  R

2 OI

  R

  IO

  1

  − R R R

  OI OI

  −∆ OI

  =

  

−

R

  IO

  R

  2 OI 2 ln

  R

  OI Unt uk profil kecepat an, masukkan nilai

  

R

  IO

  1

  −

R

  OI

  2

  =

  ξ R

  IO ln

  R

  OI dan

  =

  1

  −

  

2

  2 R

  OI −∆

  2

  2

  = ln

• ke dalam per samaan ini:

  ξ −

  3

4 R R

OI OI

  Diper oleh:

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  2 R

  IO

  2

  1

  2

  − R R

  OI

  −∆

  OI = ln

  1

  − − R

  IO

  R R

  4 OI OI ln

  R

  OI Dengan bat asan:

  R

IO OI

  ≤ r ≤ R

  Gam bar berikut adalah plot vs unt uk nilai-nilai:

  2 R R OI

  IO ∆

  = 100 satuan ; = 0,4 ; at au R

  IO = 4 sat uan R

  OI dan R OI = 10 sat uan.

  20

  18

  16

  14 x

  12 , V n ta

  10 a p e c e

8 K

  6

  4

  2

  2

  4

  6

  8

  10

  12 Jarak dari pusat pipa, r

  Kecepat an maksimum t er jadi pada r = R ; yait u:

  

ξ OI

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  2 R

  1

  −

R

= R

  = .R

  ξ OI R

  2 ln

  R

  2 0,4 1 0,84

  − − = R

  = .10 = .10 = 6,77 satuan

  ξ

  1,833 2 ln 0,4

  − yang kecepat an maksimumnya adalah: sat uan.

  18,436

  Unt uk menent ukan kecepat an maksimum sebenar nya juga bisa diper oleh dengan menur unkan sat u kali t er hadap dar i per samaan:

  2 R

  IO

  2

  1

  2

  − R R

  OI

  −∆

  OI = ln

  1

  − − R

  IO

  R R

  4 OI OI ln

  R

  OI hingga

  = 0 yait u pada :

  = R ξ

  Dengan

  2 R

  1

  − R

  =

  ξ R

  2 ln

  R

Ternyat a kecepat an m aksim um t idak berada di t engah-

t engah anulus.

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009 Sekar ang perhat ikan sekali lagi persamaan profil kecepat an yang sudah kit a per oleh:

  2 R

  IO

  2

  1

  2

  − R R

  OI

  −∆

  OI = ln

  1

  − − R

  IO

  R R

  4 OI OI ln

  R

  OI at au

  2 R

  IO

  2

  1

  2

  − R R

  ∆ OI

  OI 1 ln + =

  − R

  IO

  R R

  4 OI OI ln

  R

  OI at au

  2

  2

2 R

  ( )

  1

  ∆ OI − ट

  = 1 ln

• R R

  −

  ( )

  4 ln OI OI

  ट at au

  2

  2

  2 R

  1 OI

  ∆ − ट

  = 1 ln

• 1

  −

  R R

  4 OI OI ln

  ट dengan

  R

  IO =

  ट R

  OI

  

M aka jika mendeka nol, persamaan profil kecepatannya

ट menjadi:

  SEM ESTER GENAP 2008/ 2009

  2

  2 R OI

  ∆

  =

  1

  − R

4 OI

  yang sama saja dengan profil kecepat an dalam suat u pipa ber jari-jar i R sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yait u:

  ∆

  =

  1

  −

  4 =====================

  

Hingga tahap ini, untuk aliran dalam anulus kita sudah

memperoleh:

   Profil Shear Stress: R R

  1 OI OI

  −∆ − ट

  =

  

−

R

2 OI 2 ln

  ट

   Profil Kecepatan:

  2

  2

2 R

  1 ( ) OI

  ∆ − ट

  = 1 + ln

  −

  1 R R

  4 OI OI ln

  ट

   Kecepatan M aksimum terjadi pada

  dengan

  = R ξ

  ( )

ट

dan

  = ξ

  ( ) ट

  R

  IO =

  ट R

  OI