2 PERSAMAAN PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KU

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum persamaan kuadrat

: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac
3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:

x1,2 =

−b± D
2a

4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:
a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda
b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional
c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)
5. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat

: x1 + x 2 = − b

a

6. Selisih akar–akar persamaan kuadrat

: x1 − x 2 =

D
, x1 > x2
a

: x1 ⋅ x 2 = c
a
8. Persamaan kuadrat baru disusun dengan rumus : x2 – (x1 +x2)x + x1·x2 = 0
7. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

9. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan persamaan kuadrat baru
a. x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2( x1 ⋅ x 2 )
b. x13 + x23 = ( x1 + x 2 ) 3 − 3( x1 ⋅ x 2 )( x1 + x 2 )
B. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah

ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0
Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)
2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)
3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:
No Pertidaksamaan
Daerah penyelesaian
Notasi Himpunan Penyelsaian

a

≥ atau >

HP ada di tepi, menggunakan
kata hubung atau
Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} atau
Hp = {x | x < x1 atau x > x1}
HP ada tengah

b

≤ atau <

Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2} atau
Hp = {x | x1 < x < x2} atau

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com

C. Fungsi kuadrat
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah:
D
a > 0 (fungsi minimum)
a < 0 (fungsi maksimum)

D>0
Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik memotong sumbu X di dua titik

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

Grafik tidak menyinggung sumbu X

D=0

D 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g
memotong parabola h di dua titik berlainan
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g
menyinggung parabola h
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak
memotong ataupun menyinggung parabola h.
Cermati secara seksama cara pengerjaannya

12
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com

SOAL
1. Akar–akar persamaan kuadrat
x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β.
Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = …
a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
e. 8

PENYELESAIAN
α = 2β

c
a
2
2β⋅β =
1

(i) α ⋅ β =

−b
a
− (a − 1)
2β + β =
1
α+β=

2β2 = 2
β2 = 1
β=±1
β = 1 atau β = –1

3β = 1 – a
3(–1) = 1 – a
a =1+3
= 4 ……...(c)
2. Persamaan kuadrat yang akar–akarnya – 2 Rumus persamaan kuadrat baru adalah :
x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0
dan ½ adalah …
2
a. 2x – 3x – 2 = 0
⇔ x2 – (– 2 + ½ )x + (– 2 ½ ) = 0
2
b. 2x + 3x – 2 = 0
⇔ x2 – (–1½ )x + (– 1 ) = 0
2
c. 2x – 3x + 2 = 0
⇔ {x2 – ( − 32 )x – 1 = 0}x 2
d. 2x2 + 3x + 2 = 0
⇔ 2x2 + 3x – 2 = 0 ……………………….(b)
e. 2x2 – 5x + 2 = 0

3. Diketahui akar–akar persamaan kuadrat
2x2 – 4x + 1 = 0 adalah α dan β. Persamaan
α β
α
β (i) x1 + x2 = β + α
kuadrat baru yang akar–akarnya
dan

β

α

α2 +β2
=
αβ

adalah …
a. x2 – 6x + 1 = 0
b. x2 + 6x + 1 = 0
c. x2 – 3x + 1 = 0

d. x2 + 6x – 1 = 0
e. x2 – 8x – 1 = 0

=

(α + β ) 2 − 2(α ⋅ β )

αβ

( 4 ) 2 − 2( 12 )
= 2

{

1
2

}

= 2 16

− 1 = 2(4 – 1) = 6
4
(ii) x1 x2 =

α
β

β
=1
α

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah
x2 – (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0
⇔ x2 – 6x + 1 = 0 ………………………..(a)
Untuk soal model ini hanya bisa dengan 1
cara karena akar–akarnya beda atau x1 ≠ x2
Pers kuadrat lama :
2x2 – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1
Akar–akar persamaan kuadrat baru
x1 =

α
β
dan x2 =
β
α

Cermati secara seksama cara pengerjaannya
13
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com

SOAL
4. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0,
mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan
kuadrat baru yang akar–akarnya (2x1 – 3) dan
(2x2 – 3) adalah …
a. 2x2 + 9x + 8 = 0
b. x2 + 9x + 8 = 0
c. x2 – 9x – 8 = 0
d. 2x2 – 9x + 8 = 0
e. x2 + 9x – 8 = 0

PENYELESAIAN

Cara II.
Misal akar–akar persamaan kuadrat baru
adalah: α = β = 2x – 3
α = 2x – 3, maka 2x = α + 3
x=

(i) α + β = 2x1 – 3 + 2x2 – 3
= 2(x1 + x2) – 6
= 2 ( −ab ) – 6 = 2 ( −23 ) – 6 = – 3 – 6 = – 9
(ii) α β = (2x1 – 3) (2x2 – 3)
= 4(x1 x2) – 6x1– 6x2 + 9
= 4(x1 x2) – 6(x1+x2) + 9

α +3

= 4 ( ac ) – 6 ( −ab ) + 9

2

= 4 ( −25 ) – 6 ( −23 ) + 9

Substitusikan nilai x ke pers. Kuadrat lama
2x2 + 3x – 5 = 0

( )

Pers kuadrat lama :
2x2 + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5
Cara I
Akar–akar persamaan kuadrat baru
α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3

( )

2
⇔ 2 a 2+3 + 3 a 2+3 – 5 = 0

 2(a 2 + 6a + 9) 3a + 9

+
− 5 = 0 × 4
4
2



⇔

= – 10 + 9 + 9 = 8
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah
x2 – (α + β)x + (α β) = 0
⇔ x2 – (– 9)x + 8 = 0
⇔ x2 + 9x + 8 = 0 …………………………(b)

⇔ 2(a2 + 6a + 9) + 2(3a + 9) – 20 = 0
⇔ 2a2 + 12a + 18 + 6a + 18 – 20 = 0
PILIH CARA YANG KAMU SUKAI
⇔ 2a2 + 18a + 16 = 0
2
⇔ a + 9a + 8 = 0
⇔ x2 + 9x + 8 = 0 ………………………(b)
5. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan
2
2
+ (x1 + x2)
+
x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat (i) α + β =

2
2
yang akar–akarnya
dan x1 + x2
+
x1 x 2
adalah …
a. x2 – 2p2x + 3p = 0
b. x2 + 2px + 3p2 = 0
c. x2 + 3px + 2p2 = 0
d. x2 – 3p2x + p2 = 0
e. x2 + p2x + p = 0

x1 x 2
2 x1 + 2 x 2
=
+ (x1 + x2)
x1 ⋅ x 2
2( x1 + x 2 )
=
+ (x1 + x2)
x1 ⋅ x 2
2( − p ) − p
+
= – 3p
=
1
1

Persamaan kuadrat barunya adalah
x2 – (α + β)x + (α β) = 0
Untuk soal model ini hanya bisa dengan cara I
karena akar–akarnya beda atau α ≠ β
Pers kuadrat lama :
x2 + px + 1 = 0, a = 1, b = p, c = 1
Akar–akar persamaan kuadrat baru

Dengan melihat hasil α + β maka jawaban
yang benar sudah dapat diketahui yaitu ….(c)

karena nilai dari :
– (α + β)x = – (–3p)x = 3px
untuk meyakinkan perhitungan, silahkan
2
2
dicari pula nilai dari
α=
dan β = x1 + x2
+
x1 x 2
(ii) α β = ….. ?
SOAL
PENYELESAIAN
Cermati secara seksama cara pengerjaannya
14
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

6. Kedua akar persamaan x2 – 2px + 3p = 0
mempunyai perbandingan 1 : 3. Nilai dari 2p
adalah …
a. –4
b. –2
c. 2
d. 4
e. 8

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com
Perbandingan akar–akarnya 1 : 3, maka

x1 1
=
x2 3
x2 = 3x1
(i) x1 + x2 =

−b
a

x1 + 3x1 = –(– 2p)
4 x1 = 2p
x1 = ½ p
(ii) x1 x2 =

c
a

x1 3x1 = 3p

p 3p
= 3p
×
2 2

3p2 = 12p
3p2 – 12p = 0
3p(p – 4) = 0
p = {0, 4}
Jadi, nilai 2p = 0 atau 8 ……………….(e)
7. Persamaan kuadrat
Akar–akarnya nyata dan sama, maka
(k + 2)x2 – (2k – 1)x + k – 1 = 0 mempunyai x1 = x2 dan D = 0
akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar (i) D = b2 – 4ac
0 = (2k – 1)2 – 4(k + 2) (k – 1)
persamaan tersebut adalah…
0 = (4k2 – 4k + 1) – 4(k2 +k – 2)
9
a.
0 = 4k2 – 4k + 1– 4k2 – 4k + 8
8
0 = –8k + 9
8
8k = 9
b.
9
k = 89
5
c.
9
−b
2k − 1 2 8 − 1
2
(ii) x1 + x2 =
=
=
9+2
2
a
k+2
8
d.

()

5
1
e.
5

=

18
8

− 88
25
8

8 = 2 ….(d)
= 10
× 25
8
5
8. Persamaan kuadrat mx2 + (m – 5)x – 20 = 0, Akar–akar nya saling berlawanan, maka:
akar–akarnya saling berlawanan. Nilai m = …
x1 = – x2
a. 4
−b
x1 + x2
=
b. 5
a
c. 6
− (m − 5)
d. 8
– x2 + x2 =
m
e. 12

0

=

−m+5
, maka diperoleh
m

–m+5=0
m = 5 ………………………….(b)
SOAL
PENYELESAIAN
Cermati secara seksama cara pengerjaannya
15
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com

9. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 Cara I.
menyinggung garis y = 3x + 4. nilai b yang Tentukan Persamaan kuadrat baru
f(x) = y
memenuhi adalah …
2
x + bx + 4 = 3x + 4
a. – 4
2
x
+ bx – 3x = 0
b. – 3
2
x
+ (b – 3)x = 0 ……..pers. kuadrat baru
c. 0
d. 3
Agar f(x) menyinggung y maka determinan
e. 4
persamaan kuadrat baru sama dengan nol
D=0
D = (b–3)2 – 4(1)(0)
0 = (b–3)2
0=b–3
b = 3 …………………………………….(d)
Cara II
Samakan koefisien dari variabel yang
berderajat sama
f(x) = y
f(x) = y
sama
2
x + bx + 4 = 3x + 4
b=3
Dengan menyamakan koefisien dari variabel
yang berderajat sama bisa langsung di lihat
jika b = 3 …………………………..…….(d)
10. Grafik fungsi f(x) = x – 2 memotong grafik
fungsi g(x) = x2 – 3x + 1 di titik–titik …
a. (2, –1) dan (–2, 1)
b. (–1, –1) dan (1, 3)
c. (–1, 1) dan (1, 3)
d. (1, –1) dan (3, 1)
e. (1, –1) dan (1, 3)

Tentukan Persamaan kuadrat baru
g(x) = f(x)
x2 – 3x + 1 = x – 2
x2 – 3x – x + 1 +2 = 0
x2 – 4 x + 3 = 0 ……..pers. kuadrat
baru
(x – 1)(x – 3) = 0, maka diperoleh
x = {1 , 3}
dengan mensubstitusikan nilai x tersebut ke
f(x) maka akan diperoleh nilai y
(i) Jika x = 1, maka y = f(1) = 1 – 2
= –1
(ii) Jika x = 3, maka y = f(3) = 3 – 2
= 1
Jadi titik potong kedua grafik tersebut adalah di :
(1, –1) dan (3, 1) …………………………..(d)

SOAL
11. Agar garis y = 3x + a menyinggung parabola
y = x2 – 2x – 8, sehingga a harus …

PENYELESAIAN
Tentukan Persamaan kuadrat baru
y1 = y2
2
x – 2x – 8 = 3x + a
Cermati secara seksama cara pengerjaannya
16
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN

Soal Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

EDISI 2
http://www.soalmatematik.com
x2 – 2x – 3x – 8 – a = 0
x2 – 5x – (8 + a) = 0 ……..pers. kuadrat
baru
Agar y2 menyinggung y1 maka determinan
persamaan kuadrat baru sama dengan nol

a. − 17 14
b. − 16 14
c. − 15 14
d. − 14 14

D=0
D = (–5)2 – 4(1){– (8+a)}
0 = 25 + 4(8 + a)
0 = 25 + 32 + 4a
0 = 57 + 4a

e. − 13 14

{4a = –57} × 14
a = − 14 14 ……………………………(d)
12. Agar Garis y = mx – 9 tidak memotong
dan tidak menyinggung parabola y = x2 ,
maka …
a. m < – 6 atau m > 6
b. m < –3 atau m > 9
c. –9 < m < 9
d. –3 < m < 3
e. –6 < m < 6

Tentukan Persamaan kuadrat baru
y1 = y2
x2 = mx – 9
2
x – mx + 9 = 0 ……..pers. kuadrat baru
Agar y2 tidak menyinggung dan tidak
memotong y1 maka determinan persamaan
kuadrat baru lebih besar dari nol
D>0
(–m)2 – 4(1)(9) > 0
m2 – 36 > 0
(m + 6)(m – 6) > 0, maka pembentuk nol
m = {– 6, 6}
Karena tanda pertidaksamaan > maka
himpunan penyelesaian menggunakan kata
atau dan batas m = {– 6, 6} ……………..(a)
Jika bingung lihat materi 2.B di atas

Cermati secara seksama cara pengerjaannya
17
lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book kumpulan soal UN