Power Point Matematika SMP Kelas 7 dan 8 Kurikulum 2013 BANGUN DATAR
Kelompok 4
Dony Dwi F. (103174089)
Nur Rakhmah F. (103174203)
Annisa Dita I.(103174204)
Yafita Arfina M. (103174207)
Ganang Wahyu H. (10317421 3)
Sinta Devi N. (103174228)
SEGITIGA
SEGITIGA
Perhatikan gambar
di samping!
Layar pada perahu
tersebut berbentuk
sebuah bangun
yang biasa kita
sebut segitiga.
apakah segitiga itu?
Segitiga adalah bangun datar
yang dibatasi tiga sisi dan
mempunyai tiga buah titik sudut.
C
F
A
D
E
Perhatikan gambar di
samping!
Pada gambar tersebut
menunjukkan segitiga ABC.
a. Jika alas = AB maka
tinggi
= CD (CD AB)
B b. Jika alas = BC maka
tinggi =AE (AE BC).
c. Jika alas = AC maka
tinggi = BF (BF AC).
Catatan: “ ” dibaca
“tegak lurus”
Jadi, pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang
sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas. Dari uraian di
atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu
segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang
tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut
yang berhadapan dengan sisi alas.
Jenis-jenis Segitiga
a. Ditinjau dari panjang sisinya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai dua sisi yang sama panjang sehingga
disebut segitiga sama kaki
Segitiga (b) mempunyai tiga sisi yang sama panjang sehingga
disebut segitiga sama sisi
Segitiga (c) mempunyai sisi yang tidak beraturan sehingga disebut
segitiga sebarang
b. Ditinjau dari ukuran
sudutnya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai satu sudut siku-siku sehingga
disebut segitiga siku-siku
Segitiga (b) mempunyai satu sudut tumpul sehingga
disebut segitiga tumpul
Segitiga (c) mempunyai tiga sudut lancip sehingga
disebut segitiga lancip
c. Ditinjau dari sifat-sifatnya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai satu sudut siku-siku dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga siku-siku sama kaki
Segitiga (b) mempunyai satu sudut tumpul dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga tumpul sama kaki
Segitiga (c) mempunyai tiga sudut lancip dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga lancip sama kaki
d. Pertaksamaan segitiga
Perhatikan segitiga di samping
Dalam segitiga ABC, sisi AC
berhadapan dengan sudut B,
sisi BC berhadapan dengan
sudut A, dan sisi AB
berhadapan dengan sudut C.
C
A
B
Jika dua sisi dari suatu segitiga tidak sama, maka sudut yang
berhadapan dengan sisi ini tidak sama, dan sudut terkecil berhadapan
dengan sisi terkecil.
Jika dua sudut dari suatu segitiga tidak sama, maka sisi yang
berhadapan dengan sudut ini tidak sama, dan sisi terkecil berhadapan
dengan sudut terkecil.
Sss,,,jumlah
ukuran sudut
dalam segitiga
tu berapa ????
18
0°
Contoh
Diketahui pada PQR, besar P = 48° dan
Q = 72°. Hitunglah besar R!
Penyelesaian:
Diketahui: P = 48° dan Q = 72°.
Ditanya: R
Jawab:
Pada PQR, berlaku P + Q + R = 180°,
sehingga 48° + 72° + R = 180°
120° + R = 180°
R = 180° – 120°
R = 60°
Jadi, besar R = 60°
Sudut Luar dan Sudut Dalam pada
Segitiga
C
Kalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut
dalam segitiga adalah 180o. Selanjutnya, untuk
memahami pengertian sudut luar segitiga,
pelajari uraian berikut.
Perhatikan Gambar
Pada gambar ABC di samping, sisi AB
A
diperpanjang
sehingga membentuk garis lurus ABD. Pada
segitiga ABC berlaku
BAC + ABC + ACB = 180° (sudut dalam
ABC)
BAC + ACB = 180° – ABC ................. (i)
Padahal ABC + CBD = 180° (berpelurus)
CBD = 180° – ABC ................... (ii)
Selanjutnya CBD disebut sudut luar segitiga
ABC.
Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh
CBD
= sudut
BAC +luar
ACB.
Besar
suatu segitiga sama dengan jumlah
Dari
atas dapat
sebagai
duauraian
sudutdi
dalam
yangdisimpulkan
tidak berpelurus
dengan sudut
berikut:
luar tersebut.
B
D
MELUKIS GARIS-GARIS
ISTIMEWA PADA SEGITIGA
Garis Tinggi
• Garis tinggi segitiga selalu tegak lurus pada
alasnya. Jadi, ada tiga garis tinggi pada suatu
segitiga.
• Garis tinggi segitiga adalah garis yang ditarik dari
sebuah titik sudut segitiga tegak lurus sisi di
hadapannya.
Misalkan kita akan melukis garis tinggi PQR di titik Q.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
C
R
B
A
P
Q
• Lukislah busur lingkaran dari titik Q sehingga memotong PR
• di titik A dan B.
• Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran
dengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan di titik C.
• Hubungkan titik Q dan titik C sehingga memotong PR di titik
S. Garis QS adalah garis tinggi sisi PR. Peragakanlah langkahlangkah di atas untuk melukis garis tinggi sisi PQ dan QR.
Garis Bagi
• Pada bab terdahulu siswa telah mempelajari cara
membagi sudut menjadi dua sama besar. Konsep
itu digunakan pada bagian ini untuk melukis garis
bagi suatu segitiga.
• Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari
titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi
dua sama besar.
• Karena ada tiga titik sudut segitiga, maka pada
segitiga ada tiga garis bagi.
Diketahui KLM siku-siku di K.
L
B
A
C
K
D
M
Langkah-langkah untuk melukis garis
bagi L pada KLM sebagai berikut .
• Lukislah busur lingkaran dari titik L sehingga memotong KL
di titik A dan LM di titik B.
• Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran
dengan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan di
titik C.
• Hubungkan titik L dan titik C sehingga memotong KM di titik
D. LD adalah garis bagi sudut L.
Garis Sumbu
Garis sumbu suatu segitiga adalah garis
yang membagi sisi-sisi segitiga menjadi
dua bagian sama panjang dan tegak lurus
pada sisi-sisi tersebut.
Misalkan diketahui KLM seperti
M
P
Q
K
L
Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi LM sebagai
berikut.
• Lukislah busur lingkaran dari titik L dengan jari-jari lebih dari LM.
• Kemudian dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkaran dari titik M,
sehingga memotong busur pertama di titik P dan Q.
• Hubungkan titik P dan Q, sehingga terbentuk garis PQ. Garis PQ
merupakan garis sumbu pada sisi LM.
Garis Berat
Garis berat suatu segitiga adalah
garis yang ditarik dari titik sudut
suatu segitiga dan membagi sisi di
hadapannya menjadi dua bagian
sama panjang.
Misalkan diketahui DEF sebarang seperti pada
gambar di samping.
F
D
G
Langkah-langkah untuk melukis garis berat F
sebagai berikut.
– Lukislah garis sumbu pada sisi DE sehingga
memotong DE di titik G.
– Hubungkan titik F dan titik G. Garis FG adalah
garis berat F.
Keliling dan Luas
Segitiga
Keliling segitiga
Untuk mencari keliling sebuah segitiga, kamu harus mengetahui terlebih
dahulu panjang dari ketiga sisi segitiga tersebut karena keliling segitiga
adalah jumlah panjang ketiga sisi yang membentuk segitiga.
A
Keliling ABC
b
= AB + BC + AC
= c+a+b
c
=a+b+c
C
a
Jadi, keliling ABC adalah .a + b + c
B
Jika K adalah keliling sebuah segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c,
maka keliling segitiga dapat dinyatakan dengan
K = a + b + c.
Contoh :
Pak Budi mempunyai kebun berbentuk seperti pada gambar berikut.Pak
Budi ingin memberi pagar yang mengelilingi kebunnya. Jika biaya
pemasangan pagar Rp25.000,00 per meter, berapakah biaya yang harus
dikeluarkan oleh Pak Budi untuk memasang pagar tersebut?
12 m
8m
10 m
Penyelesaian :
Diketahui
:panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 m, 10 m, dan 12 m.
Biaya pemasangan pagar = Rp25.000,00 per meter.
Ditanya : biaya pemasangan pagar ?
Jawab :
misalkan a = 8 m, b = 10 m, dan c = 12 m.
Maka keliling segitiga tersebut adalah
K=a+b+c
= 8 + 10 + 12
= 30
Jadi, keliling segitiga adalah 30 m.
Biaya pemasangan pagar = 25.000 x 30
= 750.000
Jadi, biaya pemasangan pagar Pak Budi adalah Rp 750.000,00
Luas segitiga
Jika L adalah luas
daerah sebuah segitiga
yang panjang alasnya a
dan tinggi t, maka luas
daerah segitiga dapat
dinyatakan dengan :
t
a
1
L a.t
2
Jika L adalah luas daerah
sebuah segitiga yang
panjang ketiga sisinya
diketahui, maka luas daerah
segitiga dapat dinyatakan
dengan :
L s( s a)( s b)( s c)
1
dimana
s keliling
2
1
s (a b c)
2
Contoh
Perhatikan gambar berikut.
F
21 cm
D
14 cm
12 cm
E 5 cm G
Pada DEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm, dan FG
= 12 cm.
Hitunglah keliling dan luas DEF !
Penyelesaian :
EF2 = EG2 + FG2
= 52 + 122
= 25 + 169
144
=
EF = = 13
Jadi, panjang EF adalah 13 cm
Keliling DEF
= DE + EF + DF
= 14 + 13 + 21
= 48
Jadi, keliling DEF 48 cm
Luas DEF = x DE x FG
= x 14 x 12
= 84
Jadi, luas DEF 84 cm2.
Melukis Segitiga dan Garis-Garis
Pada Segitiga
Melukis Segitiga apabila Diketahui Panjang Ketiga Sisinya
(Sisi-Sisi-Sisi)
Apabila sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya, maka
segitiga tersebut dapat dilukis dengan menggunakan jangka dan
penggaris.
Misalkan kita akan melukis ABC jika diketahui AB = 7 CB, BC = 5 cm , dan
AC = 4 cm .
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 7 cm.
2. Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 4cm.
3. Dengan pusat titik B buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm
sehingga memotong busur pertama di titik C .
4. Hubungkan titik C dengan titik A dan titik B sehingga terbentuk ABC .
Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Sudut Apit
Kedua Sisi Tersebut (Sisi-Sudut-Sisi)
Misalkan kita akan melukis jika diketahui KLM, KL = 3 cm, KM = 4 cm dan
LKM = 70° .
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis KL dengan panjang 3 cm .
2. Dengan menggunakan busur derajat, pada titik K buatlah sudut
yang besarnya 70 .
3. Dari titik K buatlah busur lingkaran dengan panjangjari-jari 4 cm ,
sehingga berpotongan di titik M .
4. Hubungkan titik L dengan titik M sehingga terbentuk KLM.
Melukis Segitiga jika Diketahui Satu Sisi dan Dua
Sudutpada Kedua Ujung Sisi Tersebut (Sudut-Sisi-Sudut)
Misalkan kita akan melukis RST apabila diketahui panjang RS = 5 cm, TRS
= 45o, dan TSR = 65o.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis RS dengan panjang 5 cm.
2) Dari titik R, buatlah sudut yang besarnya 45° dengan menggunakan busur
derajat.
3) Kemudian dari titik S, buatlah sudut yang besarnya 65° sehingga
berpotongan di titik T.
4) RST adalah segitiga yang dimaksud.
Melukis Segitiga-segitiga
Istimewa
Melukis Segitiga sikusiku
Misalkan kita akan melukis BCD siku-siku dengan
panjang alasnya 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 4 cm.
2. Ambil titik tengah dan beri nama titik C. Dengan
pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jarijari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah
busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga
memotong busur pertama di titik D.
4. Hubungkan titik B dengan D dan titik C dengan D,
sehingga diperoleh BCD siku-siku di C .
Melukis Segitiga Sama
Kaki
Misalkan kita akan melukis ABC sama kaki
dengan AB = 4 cm dan AC = BC = 5 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB yang panjangnya 4 cm.
2. Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran
dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah
busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga
berpotongan dengan busur pertama di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B
dengan titik C, sehingga diperoleh ABC yang
merupakan segitiga sama kaki.
Melukis Segitiga Sama
Sisi
Misalkan kita akan melukis ABC sama sisi dengan
panjang setiap sisinya 5 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 5 cm.
2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran
dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur
lingkaran dengan pusat titik B, sehingga memotong
busur pertama di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan C,
sehingga diperoleh ABC sama sisi dengan AB = BC
= AC = 5 cm.
Melukis Segitiga Sebarang
Misalkan kita akan melukis ABC sebarang dengan panjang
setiap sisinya 5 cm, 4cm, 6cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 6 cm.
2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jarijari 4 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari 5cm, buatlah busur lingkaran
dengan pusat titik B, sehingga memotong busur pertama
di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan C,
sehingga diperoleh ABC sebarang dengan AB = 6cm,
BC = 5cm, AC = 4 cm.
segiempat
Persegi Panjang
Persegi
Jajargenjang
Belahketupat
Layang-layang
Trapesium
segie
mpat
persegi
panjang
Perhatikan papan tulis di atas! Tentu kalian
sudah tak asing lagi dengan bentuknya. Di
sekolah dasar kita telah mengetahui bangun di
atas disebut persegi panjang.
Unsur-unsur
D
C
A
B
persegi panjang ABCD di atas
yaitu:
dan merupakan sisi persegi panjang
dan merupakan diagonal
dan merupakan sudut
dan
Berdasar unsur-unsur persgi panjang di atas, sifatsifat persegi panjang adalah:
• Panjang sisi yang berhadapan sama dan sejajar
• Keempat sudutnya siku-siku
• Panjang diagonalnya sama dan membagi dua
sama panjang
Jadi persegi panjang adalah:
Suatu segiempat yang keempat sudutnya sikusiku dan panjang sisi-sisi yang berhadapan
sama
ilustrasi
Andra mempunyai kamar. Lantai kamarnya
berbentuk persegipanjang. Ayahnya
merencanakan untuk memasang ubin di lantai
kamar tersebut. Ubin yang akan dipasang
berbentuk persegi. Misalkan sepanjang sisi
lantai kamar yang panjang dapat dipasang
sebanyak 15 ubin dan sepanjang sisi lantai
kamar yang pendek terpasang 8 ubin, maka ada
120 ubin yang dapat memenuhi lantai kamar
Banyaknya ubin yang dapat menutup dengan
Andra.
tepat lantai kamar disebut luas dari lantai kamar
dalam satuan ubin.
Misalkan suatu persegipanjang dengan panjang p
satuan panjang dan lebar l satuan panjang. Jika K
satuan panjang menyatakan keliling dan L satuan
luas menyatakan luas, maka rumus keliling dan
luas persegipanjang adalah:
dan
contoh
Diketahui luas persegipanjang 24 m2 dan panjang
salah satu sisinya 8 m, hitunglah keliling
persegipanjang tersebut!
Penyelesaian:
Pertama akan dicari lebar Karena , maka kelililing
persegipanjang adalah:
dari persegi panjang:
Jadi,
persegipanjang
keliling
tersebut
persegi
Unsur-unsur
D
C
A
B
persegi ABCD di atas yaitu:
dan merupakan sisi persegi
dan merupakan diagonal
dan merupakan sudut
dan
Berdasar unsur-unsur peresgi di atas, sifat-sifat
persegi adalah:
• Panjang sisi yang berhadapan sejajar
• Keempat sudutnya siku-siku
• Panjang diagonalnya sama dan membagi dua
sama panjang
• Panjang keempat sisinya sama
• Setiap sudutnya dibagi dua sama ukuran oleh
diagonal-diagonalnya
• Diagonal-diagonalnya berpotongan saling
tegaklurus.
Jadi persegi adalah:
Suatu persegipanjang yang mempunyai 4 sisi
yang sama panjang
Misalkan suatu persegi dengan panjang s satuan
panjang. Jika K satuan panjang menyatakan
keliling dan L satuan luas menyatakan luas, maka
rumus keliling dan luas daerah persegi adalah:
dan
contoh
Hitunglah panjang sisi dan keliling dari persegi
yang mempunyai luas 625 cm2 :
Penyelesaian:
Karena luas persegi
telah diketahui, maka
Karena , maka keliling
persegi adalah:
panjang sisinya adalah:
Jadi, keliling persegi
yang luasnya 625 cm2
adalah 100 cm
jajargenjang
D
C Sisi-sisi yang berhadapan
sejajar dan sama panjang,
yaitu AB//CD, AD//BC , AB =
A
Sudut-sudut
DC, dan AD = BC.
B
yang berhadapan sama ukuran, yaitu A = C
dan B = D.
Dua
sudut yang berdekatan saling berpelurus, yaitu A + B
= B + C = C + D = D + A =180°
Diagonal jajargenjang membagi daerah
jajargenjangmenjadi dua bagian sama besar, yaitu luas
daerah ACB = luas daerah CAD dan luas daerah ADB =
luas daerah CBD
Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama
panjang, yaitu AO = CO dan BO = DO.
Jadi jajargenjang adalah:
Suatu segiempat yang pasang setiap sisinya
yang berhadapan sejajar
Misalkan suatu persegi dengan alas a , sisi yang
berdekatan dengan a adalah b dan tinggi t. Jika
K satuan panjang menyatakan keliling dan L
satuan luas menyatakan luas, maka rumus
keliling dan luas daerah persegi adalah:
t=tinggi
a=ala
s
b
dan
contoh
D
C
8
A
10
Hitunglah luas daerah jajargenjang
ABCD
di
samping ini!
Penyelesaian:
Diketahui AB(alas)=10 cm, t = 8 cm
B Ditanya : Luas jajargenjang
Jawab:
Jadi, luas jajargenjang tersebut adalah 80
belahketupa
t
A
B
C
•Semua sisinya kongruen
•Sisi yang berhadapan sejajar
•Sudut-sudut yang berhadapan
kongruen
•Diagonal-diagonalnya membagi
sudut mejadi ukuran yang sama
D •Kedua diagonal saling membagi
dua sama panjang
•Diagonal membagi belah ketupat
menjadi dua bagian sama besar
atau diagonal-diagonalnya
merupakan sumbu simetri
•Jumlah ukuran dua sudut yang
berdekatan 180o
Jadi belahketupat adalah:
Suatu segiempat yang semua sisinya sama
panjang
Luas
daerah belahketupat
sama dengan setengah hasilkali panjang diagonaldiagonalnya.
Keliling belahketupat sama
dengan empat kali panjang
sisinya.
Misal L adalah luas daerah
belahketupat dengan
diagonal-diagonalnya dan ,
maka
Misal kadalah keliling
belahketupat dengan
panjang sisi s, maka
contoh
P
PQRS adalah belahketupat dengan
diagonal PR = 6 cm, QS = 8 cm dan
Q
S
PQ = 5 cm.
Hitunglah luas daerah dan keliling
belahketupat PQRS!
R
Penyelesaian:
Diketahui PR=8cm, QS=6cm, PQ=5cm
Ditanya luas dan keliling belahketupat PQRS
Jawab
Misal luas belahketupat PQRS adalah L, maka
Jadi, luas belahketupat PQRS adalah
Dan keliling belahketupat:
Jadi, keliling belahketupat PQRS adalah 20cm
layanglayang
•
A
B
E
C
Panjang dua pasang sisi
berdekatan sama, yaitu dan . , .
• Sepasang sudut yang berhadapan
sama ukuran, yaitu .
D • Salah satu diagonalnya membagi
layanglayang menjadi dua sama
ukuran, yaitu atau merupakan
sumbu simetri.
• Diagonal-diagonalnya saling tegak
lurus dan salah satu diagonalnya
membagi diagonal yang lain
menjadi dua sama panjang, yaitu
dan
Jadi layang-layang adalah:
Segiempat yang diagonal diagonalnya saling
tegaklurus dan salah satu diagonalnya
membagi diagonal lainnya menjadi dua sama
panjang.
Misal
L adalah luas layanglayang dengan panjang
diagonal-diagonalnya dan,
maka
Dan k adalah keliling layanglayang dengan s adalah sisi
layang-layang, maka
contoh
Andi membuat sebuah layang-layang dengan
panjangdiagonal-diagonalnya adalah 30cm dan 50
cm. Berapakah luas daerah layang-layang yang
dibuat Andi?
Penyelesaian:
Diketahui:
Ditanya:
Luas layang-layang
Jawab:
Jadi, layang-layang Andi luasnya adalah
trapesium
D
A
C
B
•Jumlah ukuran dua sudut
yang berdekatan antara
dua sudut sisi sejajar pada
trapesium adalah 180o
•Pada trapesium samakaki,
ukuran sudut-sudut
alasnya sama
•Pada trapesium samakaki,
panjang diagonaldiagonalnya sama
•Trapesium siku-siku
mempunyai tepat dua
sudut siku-siku
Jadi trapesium adalah:
Segiempat yang mempunyai tepat sepasang
sisi sejajar yang berhadapan
Misal
L adalah luas
daerah trapesium yang
mempunyai tinggi t dan
panjang sisi-sisi yang
sejajar dan , maka:
Dony Dwi F. (103174089)
Nur Rakhmah F. (103174203)
Annisa Dita I.(103174204)
Yafita Arfina M. (103174207)
Ganang Wahyu H. (10317421 3)
Sinta Devi N. (103174228)
SEGITIGA
SEGITIGA
Perhatikan gambar
di samping!
Layar pada perahu
tersebut berbentuk
sebuah bangun
yang biasa kita
sebut segitiga.
apakah segitiga itu?
Segitiga adalah bangun datar
yang dibatasi tiga sisi dan
mempunyai tiga buah titik sudut.
C
F
A
D
E
Perhatikan gambar di
samping!
Pada gambar tersebut
menunjukkan segitiga ABC.
a. Jika alas = AB maka
tinggi
= CD (CD AB)
B b. Jika alas = BC maka
tinggi =AE (AE BC).
c. Jika alas = AC maka
tinggi = BF (BF AC).
Catatan: “ ” dibaca
“tegak lurus”
Jadi, pada suatu segitiga setiap sisinya dapat dipandang
sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas. Dari uraian di
atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari suatu
segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang
tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik sudut
yang berhadapan dengan sisi alas.
Jenis-jenis Segitiga
a. Ditinjau dari panjang sisinya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai dua sisi yang sama panjang sehingga
disebut segitiga sama kaki
Segitiga (b) mempunyai tiga sisi yang sama panjang sehingga
disebut segitiga sama sisi
Segitiga (c) mempunyai sisi yang tidak beraturan sehingga disebut
segitiga sebarang
b. Ditinjau dari ukuran
sudutnya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai satu sudut siku-siku sehingga
disebut segitiga siku-siku
Segitiga (b) mempunyai satu sudut tumpul sehingga
disebut segitiga tumpul
Segitiga (c) mempunyai tiga sudut lancip sehingga
disebut segitiga lancip
c. Ditinjau dari sifat-sifatnya
(a)
(b)
(c)
Segitiga (a) mempunyai satu sudut siku-siku dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga siku-siku sama kaki
Segitiga (b) mempunyai satu sudut tumpul dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga tumpul sama kaki
Segitiga (c) mempunyai tiga sudut lancip dan dua sisi sama
panjang sehingga disebut segitiga lancip sama kaki
d. Pertaksamaan segitiga
Perhatikan segitiga di samping
Dalam segitiga ABC, sisi AC
berhadapan dengan sudut B,
sisi BC berhadapan dengan
sudut A, dan sisi AB
berhadapan dengan sudut C.
C
A
B
Jika dua sisi dari suatu segitiga tidak sama, maka sudut yang
berhadapan dengan sisi ini tidak sama, dan sudut terkecil berhadapan
dengan sisi terkecil.
Jika dua sudut dari suatu segitiga tidak sama, maka sisi yang
berhadapan dengan sudut ini tidak sama, dan sisi terkecil berhadapan
dengan sudut terkecil.
Sss,,,jumlah
ukuran sudut
dalam segitiga
tu berapa ????
18
0°
Contoh
Diketahui pada PQR, besar P = 48° dan
Q = 72°. Hitunglah besar R!
Penyelesaian:
Diketahui: P = 48° dan Q = 72°.
Ditanya: R
Jawab:
Pada PQR, berlaku P + Q + R = 180°,
sehingga 48° + 72° + R = 180°
120° + R = 180°
R = 180° – 120°
R = 60°
Jadi, besar R = 60°
Sudut Luar dan Sudut Dalam pada
Segitiga
C
Kalian telah mengetahui bahwa jumlah sudut
dalam segitiga adalah 180o. Selanjutnya, untuk
memahami pengertian sudut luar segitiga,
pelajari uraian berikut.
Perhatikan Gambar
Pada gambar ABC di samping, sisi AB
A
diperpanjang
sehingga membentuk garis lurus ABD. Pada
segitiga ABC berlaku
BAC + ABC + ACB = 180° (sudut dalam
ABC)
BAC + ACB = 180° – ABC ................. (i)
Padahal ABC + CBD = 180° (berpelurus)
CBD = 180° – ABC ................... (ii)
Selanjutnya CBD disebut sudut luar segitiga
ABC.
Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh
CBD
= sudut
BAC +luar
ACB.
Besar
suatu segitiga sama dengan jumlah
Dari
atas dapat
sebagai
duauraian
sudutdi
dalam
yangdisimpulkan
tidak berpelurus
dengan sudut
berikut:
luar tersebut.
B
D
MELUKIS GARIS-GARIS
ISTIMEWA PADA SEGITIGA
Garis Tinggi
• Garis tinggi segitiga selalu tegak lurus pada
alasnya. Jadi, ada tiga garis tinggi pada suatu
segitiga.
• Garis tinggi segitiga adalah garis yang ditarik dari
sebuah titik sudut segitiga tegak lurus sisi di
hadapannya.
Misalkan kita akan melukis garis tinggi PQR di titik Q.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
C
R
B
A
P
Q
• Lukislah busur lingkaran dari titik Q sehingga memotong PR
• di titik A dan B.
• Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran
dengan jari-jari yang sama sehingga berpotongan di titik C.
• Hubungkan titik Q dan titik C sehingga memotong PR di titik
S. Garis QS adalah garis tinggi sisi PR. Peragakanlah langkahlangkah di atas untuk melukis garis tinggi sisi PQ dan QR.
Garis Bagi
• Pada bab terdahulu siswa telah mempelajari cara
membagi sudut menjadi dua sama besar. Konsep
itu digunakan pada bagian ini untuk melukis garis
bagi suatu segitiga.
• Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari
titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi
dua sama besar.
• Karena ada tiga titik sudut segitiga, maka pada
segitiga ada tiga garis bagi.
Diketahui KLM siku-siku di K.
L
B
A
C
K
D
M
Langkah-langkah untuk melukis garis
bagi L pada KLM sebagai berikut .
• Lukislah busur lingkaran dari titik L sehingga memotong KL
di titik A dan LM di titik B.
• Dari titik A dan B, masing-masing lukislah busur lingkaran
dengan jari-jari yang sama sehingga saling berpotongan di
titik C.
• Hubungkan titik L dan titik C sehingga memotong KM di titik
D. LD adalah garis bagi sudut L.
Garis Sumbu
Garis sumbu suatu segitiga adalah garis
yang membagi sisi-sisi segitiga menjadi
dua bagian sama panjang dan tegak lurus
pada sisi-sisi tersebut.
Misalkan diketahui KLM seperti
M
P
Q
K
L
Langkah-langkah melukis garis sumbu sisi LM sebagai
berikut.
• Lukislah busur lingkaran dari titik L dengan jari-jari lebih dari LM.
• Kemudian dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkaran dari titik M,
sehingga memotong busur pertama di titik P dan Q.
• Hubungkan titik P dan Q, sehingga terbentuk garis PQ. Garis PQ
merupakan garis sumbu pada sisi LM.
Garis Berat
Garis berat suatu segitiga adalah
garis yang ditarik dari titik sudut
suatu segitiga dan membagi sisi di
hadapannya menjadi dua bagian
sama panjang.
Misalkan diketahui DEF sebarang seperti pada
gambar di samping.
F
D
G
Langkah-langkah untuk melukis garis berat F
sebagai berikut.
– Lukislah garis sumbu pada sisi DE sehingga
memotong DE di titik G.
– Hubungkan titik F dan titik G. Garis FG adalah
garis berat F.
Keliling dan Luas
Segitiga
Keliling segitiga
Untuk mencari keliling sebuah segitiga, kamu harus mengetahui terlebih
dahulu panjang dari ketiga sisi segitiga tersebut karena keliling segitiga
adalah jumlah panjang ketiga sisi yang membentuk segitiga.
A
Keliling ABC
b
= AB + BC + AC
= c+a+b
c
=a+b+c
C
a
Jadi, keliling ABC adalah .a + b + c
B
Jika K adalah keliling sebuah segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c,
maka keliling segitiga dapat dinyatakan dengan
K = a + b + c.
Contoh :
Pak Budi mempunyai kebun berbentuk seperti pada gambar berikut.Pak
Budi ingin memberi pagar yang mengelilingi kebunnya. Jika biaya
pemasangan pagar Rp25.000,00 per meter, berapakah biaya yang harus
dikeluarkan oleh Pak Budi untuk memasang pagar tersebut?
12 m
8m
10 m
Penyelesaian :
Diketahui
:panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 m, 10 m, dan 12 m.
Biaya pemasangan pagar = Rp25.000,00 per meter.
Ditanya : biaya pemasangan pagar ?
Jawab :
misalkan a = 8 m, b = 10 m, dan c = 12 m.
Maka keliling segitiga tersebut adalah
K=a+b+c
= 8 + 10 + 12
= 30
Jadi, keliling segitiga adalah 30 m.
Biaya pemasangan pagar = 25.000 x 30
= 750.000
Jadi, biaya pemasangan pagar Pak Budi adalah Rp 750.000,00
Luas segitiga
Jika L adalah luas
daerah sebuah segitiga
yang panjang alasnya a
dan tinggi t, maka luas
daerah segitiga dapat
dinyatakan dengan :
t
a
1
L a.t
2
Jika L adalah luas daerah
sebuah segitiga yang
panjang ketiga sisinya
diketahui, maka luas daerah
segitiga dapat dinyatakan
dengan :
L s( s a)( s b)( s c)
1
dimana
s keliling
2
1
s (a b c)
2
Contoh
Perhatikan gambar berikut.
F
21 cm
D
14 cm
12 cm
E 5 cm G
Pada DEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm, dan FG
= 12 cm.
Hitunglah keliling dan luas DEF !
Penyelesaian :
EF2 = EG2 + FG2
= 52 + 122
= 25 + 169
144
=
EF = = 13
Jadi, panjang EF adalah 13 cm
Keliling DEF
= DE + EF + DF
= 14 + 13 + 21
= 48
Jadi, keliling DEF 48 cm
Luas DEF = x DE x FG
= x 14 x 12
= 84
Jadi, luas DEF 84 cm2.
Melukis Segitiga dan Garis-Garis
Pada Segitiga
Melukis Segitiga apabila Diketahui Panjang Ketiga Sisinya
(Sisi-Sisi-Sisi)
Apabila sebuah segitiga diketahui panjang sisi-sisinya, maka
segitiga tersebut dapat dilukis dengan menggunakan jangka dan
penggaris.
Misalkan kita akan melukis ABC jika diketahui AB = 7 CB, BC = 5 cm , dan
AC = 4 cm .
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 7 cm.
2. Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 4cm.
3. Dengan pusat titik B buatlah busur lingkaran dengan jari-jari 5 cm
sehingga memotong busur pertama di titik C .
4. Hubungkan titik C dengan titik A dan titik B sehingga terbentuk ABC .
Melukis Segitiga jika Diketahui Dua Sisi dan Sudut Apit
Kedua Sisi Tersebut (Sisi-Sudut-Sisi)
Misalkan kita akan melukis jika diketahui KLM, KL = 3 cm, KM = 4 cm dan
LKM = 70° .
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis KL dengan panjang 3 cm .
2. Dengan menggunakan busur derajat, pada titik K buatlah sudut
yang besarnya 70 .
3. Dari titik K buatlah busur lingkaran dengan panjangjari-jari 4 cm ,
sehingga berpotongan di titik M .
4. Hubungkan titik L dengan titik M sehingga terbentuk KLM.
Melukis Segitiga jika Diketahui Satu Sisi dan Dua
Sudutpada Kedua Ujung Sisi Tersebut (Sudut-Sisi-Sudut)
Misalkan kita akan melukis RST apabila diketahui panjang RS = 5 cm, TRS
= 45o, dan TSR = 65o.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1) Buatlah ruas garis RS dengan panjang 5 cm.
2) Dari titik R, buatlah sudut yang besarnya 45° dengan menggunakan busur
derajat.
3) Kemudian dari titik S, buatlah sudut yang besarnya 65° sehingga
berpotongan di titik T.
4) RST adalah segitiga yang dimaksud.
Melukis Segitiga-segitiga
Istimewa
Melukis Segitiga sikusiku
Misalkan kita akan melukis BCD siku-siku dengan
panjang alasnya 4 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 4 cm.
2. Ambil titik tengah dan beri nama titik C. Dengan
pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jarijari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah
busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga
memotong busur pertama di titik D.
4. Hubungkan titik B dengan D dan titik C dengan D,
sehingga diperoleh BCD siku-siku di C .
Melukis Segitiga Sama
Kaki
Misalkan kita akan melukis ABC sama kaki
dengan AB = 4 cm dan AC = BC = 5 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB yang panjangnya 4 cm.
2. Dengan pusat titik A buatlah busur lingkaran
dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah
busur lingkaran dengan pusat titik B, sehingga
berpotongan dengan busur pertama di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan titik C dan titik B
dengan titik C, sehingga diperoleh ABC yang
merupakan segitiga sama kaki.
Melukis Segitiga Sama
Sisi
Misalkan kita akan melukis ABC sama sisi dengan
panjang setiap sisinya 5 cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 5 cm.
2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran
dengan jari-jari 5 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari yang sama, buatlah busur
lingkaran dengan pusat titik B, sehingga memotong
busur pertama di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan C,
sehingga diperoleh ABC sama sisi dengan AB = BC
= AC = 5 cm.
Melukis Segitiga Sebarang
Misalkan kita akan melukis ABC sebarang dengan panjang
setiap sisinya 5 cm, 4cm, 6cm.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Buatlah ruas garis AB dengan panjang 6 cm.
2. Dengan pusat titik A, buatlah busur lingkaran dengan jarijari 4 cm.
3. Kemudian dengan jari-jari 5cm, buatlah busur lingkaran
dengan pusat titik B, sehingga memotong busur pertama
di titik C.
4. Hubungkan titik A dengan C dan titik B dengan C,
sehingga diperoleh ABC sebarang dengan AB = 6cm,
BC = 5cm, AC = 4 cm.
segiempat
Persegi Panjang
Persegi
Jajargenjang
Belahketupat
Layang-layang
Trapesium
segie
mpat
persegi
panjang
Perhatikan papan tulis di atas! Tentu kalian
sudah tak asing lagi dengan bentuknya. Di
sekolah dasar kita telah mengetahui bangun di
atas disebut persegi panjang.
Unsur-unsur
D
C
A
B
persegi panjang ABCD di atas
yaitu:
dan merupakan sisi persegi panjang
dan merupakan diagonal
dan merupakan sudut
dan
Berdasar unsur-unsur persgi panjang di atas, sifatsifat persegi panjang adalah:
• Panjang sisi yang berhadapan sama dan sejajar
• Keempat sudutnya siku-siku
• Panjang diagonalnya sama dan membagi dua
sama panjang
Jadi persegi panjang adalah:
Suatu segiempat yang keempat sudutnya sikusiku dan panjang sisi-sisi yang berhadapan
sama
ilustrasi
Andra mempunyai kamar. Lantai kamarnya
berbentuk persegipanjang. Ayahnya
merencanakan untuk memasang ubin di lantai
kamar tersebut. Ubin yang akan dipasang
berbentuk persegi. Misalkan sepanjang sisi
lantai kamar yang panjang dapat dipasang
sebanyak 15 ubin dan sepanjang sisi lantai
kamar yang pendek terpasang 8 ubin, maka ada
120 ubin yang dapat memenuhi lantai kamar
Banyaknya ubin yang dapat menutup dengan
Andra.
tepat lantai kamar disebut luas dari lantai kamar
dalam satuan ubin.
Misalkan suatu persegipanjang dengan panjang p
satuan panjang dan lebar l satuan panjang. Jika K
satuan panjang menyatakan keliling dan L satuan
luas menyatakan luas, maka rumus keliling dan
luas persegipanjang adalah:
dan
contoh
Diketahui luas persegipanjang 24 m2 dan panjang
salah satu sisinya 8 m, hitunglah keliling
persegipanjang tersebut!
Penyelesaian:
Pertama akan dicari lebar Karena , maka kelililing
persegipanjang adalah:
dari persegi panjang:
Jadi,
persegipanjang
keliling
tersebut
persegi
Unsur-unsur
D
C
A
B
persegi ABCD di atas yaitu:
dan merupakan sisi persegi
dan merupakan diagonal
dan merupakan sudut
dan
Berdasar unsur-unsur peresgi di atas, sifat-sifat
persegi adalah:
• Panjang sisi yang berhadapan sejajar
• Keempat sudutnya siku-siku
• Panjang diagonalnya sama dan membagi dua
sama panjang
• Panjang keempat sisinya sama
• Setiap sudutnya dibagi dua sama ukuran oleh
diagonal-diagonalnya
• Diagonal-diagonalnya berpotongan saling
tegaklurus.
Jadi persegi adalah:
Suatu persegipanjang yang mempunyai 4 sisi
yang sama panjang
Misalkan suatu persegi dengan panjang s satuan
panjang. Jika K satuan panjang menyatakan
keliling dan L satuan luas menyatakan luas, maka
rumus keliling dan luas daerah persegi adalah:
dan
contoh
Hitunglah panjang sisi dan keliling dari persegi
yang mempunyai luas 625 cm2 :
Penyelesaian:
Karena luas persegi
telah diketahui, maka
Karena , maka keliling
persegi adalah:
panjang sisinya adalah:
Jadi, keliling persegi
yang luasnya 625 cm2
adalah 100 cm
jajargenjang
D
C Sisi-sisi yang berhadapan
sejajar dan sama panjang,
yaitu AB//CD, AD//BC , AB =
A
Sudut-sudut
DC, dan AD = BC.
B
yang berhadapan sama ukuran, yaitu A = C
dan B = D.
Dua
sudut yang berdekatan saling berpelurus, yaitu A + B
= B + C = C + D = D + A =180°
Diagonal jajargenjang membagi daerah
jajargenjangmenjadi dua bagian sama besar, yaitu luas
daerah ACB = luas daerah CAD dan luas daerah ADB =
luas daerah CBD
Diagonal-diagonalnya saling membagi dua sama
panjang, yaitu AO = CO dan BO = DO.
Jadi jajargenjang adalah:
Suatu segiempat yang pasang setiap sisinya
yang berhadapan sejajar
Misalkan suatu persegi dengan alas a , sisi yang
berdekatan dengan a adalah b dan tinggi t. Jika
K satuan panjang menyatakan keliling dan L
satuan luas menyatakan luas, maka rumus
keliling dan luas daerah persegi adalah:
t=tinggi
a=ala
s
b
dan
contoh
D
C
8
A
10
Hitunglah luas daerah jajargenjang
ABCD
di
samping ini!
Penyelesaian:
Diketahui AB(alas)=10 cm, t = 8 cm
B Ditanya : Luas jajargenjang
Jawab:
Jadi, luas jajargenjang tersebut adalah 80
belahketupa
t
A
B
C
•Semua sisinya kongruen
•Sisi yang berhadapan sejajar
•Sudut-sudut yang berhadapan
kongruen
•Diagonal-diagonalnya membagi
sudut mejadi ukuran yang sama
D •Kedua diagonal saling membagi
dua sama panjang
•Diagonal membagi belah ketupat
menjadi dua bagian sama besar
atau diagonal-diagonalnya
merupakan sumbu simetri
•Jumlah ukuran dua sudut yang
berdekatan 180o
Jadi belahketupat adalah:
Suatu segiempat yang semua sisinya sama
panjang
Luas
daerah belahketupat
sama dengan setengah hasilkali panjang diagonaldiagonalnya.
Keliling belahketupat sama
dengan empat kali panjang
sisinya.
Misal L adalah luas daerah
belahketupat dengan
diagonal-diagonalnya dan ,
maka
Misal kadalah keliling
belahketupat dengan
panjang sisi s, maka
contoh
P
PQRS adalah belahketupat dengan
diagonal PR = 6 cm, QS = 8 cm dan
Q
S
PQ = 5 cm.
Hitunglah luas daerah dan keliling
belahketupat PQRS!
R
Penyelesaian:
Diketahui PR=8cm, QS=6cm, PQ=5cm
Ditanya luas dan keliling belahketupat PQRS
Jawab
Misal luas belahketupat PQRS adalah L, maka
Jadi, luas belahketupat PQRS adalah
Dan keliling belahketupat:
Jadi, keliling belahketupat PQRS adalah 20cm
layanglayang
•
A
B
E
C
Panjang dua pasang sisi
berdekatan sama, yaitu dan . , .
• Sepasang sudut yang berhadapan
sama ukuran, yaitu .
D • Salah satu diagonalnya membagi
layanglayang menjadi dua sama
ukuran, yaitu atau merupakan
sumbu simetri.
• Diagonal-diagonalnya saling tegak
lurus dan salah satu diagonalnya
membagi diagonal yang lain
menjadi dua sama panjang, yaitu
dan
Jadi layang-layang adalah:
Segiempat yang diagonal diagonalnya saling
tegaklurus dan salah satu diagonalnya
membagi diagonal lainnya menjadi dua sama
panjang.
Misal
L adalah luas layanglayang dengan panjang
diagonal-diagonalnya dan,
maka
Dan k adalah keliling layanglayang dengan s adalah sisi
layang-layang, maka
contoh
Andi membuat sebuah layang-layang dengan
panjangdiagonal-diagonalnya adalah 30cm dan 50
cm. Berapakah luas daerah layang-layang yang
dibuat Andi?
Penyelesaian:
Diketahui:
Ditanya:
Luas layang-layang
Jawab:
Jadi, layang-layang Andi luasnya adalah
trapesium
D
A
C
B
•Jumlah ukuran dua sudut
yang berdekatan antara
dua sudut sisi sejajar pada
trapesium adalah 180o
•Pada trapesium samakaki,
ukuran sudut-sudut
alasnya sama
•Pada trapesium samakaki,
panjang diagonaldiagonalnya sama
•Trapesium siku-siku
mempunyai tepat dua
sudut siku-siku
Jadi trapesium adalah:
Segiempat yang mempunyai tepat sepasang
sisi sejajar yang berhadapan
Misal
L adalah luas
daerah trapesium yang
mempunyai tinggi t dan
panjang sisi-sisi yang
sejajar dan , maka: