Power Point Matematika SMP Kelas 7 dan 8 Kurikulum 2013 PECAHAN

PECAHAN

A. Pengertian Pecahan

Sebuah jeruk mula-mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu bagian jeruk dari dua bagian yang sama disebut “satu per dua” atau “seperdua” ditulis ” ”.Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi empat bagian yang sama. Satu bagian yang sama itu

disebut “satu per empat” atau “seperempat”, ditulis “ ”. Bilangan dan disebut bilangan pecahan.Selanjutnya disepakati sebutan “bilangan pecahan” disingkat dengan “pecahan”. 2 1 2 1 c 4 1 4 1

Pada pecahan , 1 disebut pembilang dan 2 disebut

penyebut.

Pada pecahan , 1 disebut pembilang dan 2 disebut

penyebut.

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “ ”,

dengan a,b adalah bilangan bulat, b≠

0

dan

b

bukan

faktor dari

a

disebut bilangan pecahan. Bilangan “

a

”

disebut pembilang, dan “

b

” disebut penyebut.

Dengan kata lain pecahan adalah bilangan yang

menggambarkan bagian dari keseluruhan

.

2 1

4 1

b a

B. Pecahan Sederhana

Pecahan , , , dan merupakan pecahan- pecahan yang senilai. Dari empat pecahan tersebut, merupakan pecahan dengan bentuk paling sederhana. Suatu

pecahan mempunyai bentuk paling sederhana (pecahan sederhana) jika faktor persekutuan terbesar (FPB) dari pembilang dan penyebutnya adalah 1.

Menulis bentuk paling sederhana dari suatu pecahan itu dengan FPB dari pembilang dan penyebut tersebut.

Contoh :

Tulislah dalam bentuk paling sederhana.

FPB dari 20 dan 28 adalah 4.

4 2

Bagilah pembilang dan penyebut dengan 4. Jadi, bentuk paling sederhana dari pecahan adalah

÷4

÷4

28

20

7

5

C. Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Biasa

Bilangan-bilangan dan disebut

pecahan

campuran

atau

bilangan campuran

. Pecahan

campuran menunjukkan jumlah dari suatu

bilangan cacah dan suatu pecahan.

Contohnya:

Pecahan campuran juga dapat ditulis sebagai

pecahan biasa.

D. Mengubah Pecahan Dengan Pembilang Lebih Dari Penyebutnya Menjadi Pecahan Campuran

Jika diketahui terdapat 28 liter minyak. Isilah 8 kaleng dengan minyak itu dengan volume yang sama . Berapa liter harus

diisikan pada tiap kaleng?

Jawab: tulis dalam bentuk pecahan

  3 sisa 4

 8

Bagilah 28 dengan 8

Lalu menyatakan sisa pembagian sebagai suatu pecahan dan menyederhanakannya.

Jadi, setiap kaleng harus diisi dengan liter minyak.

E. Membandingkan Pecahan

1.

Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Sama.

Perhatikan kedua model pecahan berikut!

 

5/6 Dari model- model tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa Seperenam dapat dipandang sebagai 4/6 satuan baru.

berarti 5 seperenam, dan berarti 4 seperenam.

Manakah yang lebih besar antara 5

seperenam dengan 4 seperenam?

Dari uraian di atas jelas bahwa

Jadi, untuk membandingkan beberapa

pecahan yang penyebutnya sama, cukup

dengan membandingkan pembilanganya. Jika

pembilang lebih besar maka pecahannya juga

lebih besar.

2. Membandingkan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda.

senilai dengan dan senilai dengan .

=1/2

=1/3

=3/6

Pecahan mana yang lebih besar?

Tampak bahwa dan , sebab dan .

Jadi, suatu cara membandingkan pecahan adalah

dengan menyatakan pecahan-pecahan itu sebagai

pecahan-pecahan yang penyebutnya sama

kemudian membandingkan

pembilang-pembilangnya. Dalam proses ini digunakan

kelipatan-kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari

penyebut-penyebut pecahan.

Contoh 1:

Mana yang lebih besar antara dan ?

Tahap I: Menentukan KPK dari penyebutnya

yaitu KPK dari 3 dan 7.

Kelipatan dari 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,...

Kelipatan dari 7: 7, 14, 21, 28,..

KPK dari 3 dan 7 adalah 21, sebab 21 adalah

bilangan terkecil yang habis dibagi 3 dan 7.

Tahap II: Menentukan pecahan yang senilai

dengan dan pecahan yang senilai dengan

dengan menggunakan KPK pada tahap I sebagai

berikut.

Sehingga 1/3=7/21

x7

1/3

x3

x3

2/7

21

...

Tahap III: Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama pada tahap II.

Membandingkan pembilang dari dan .

Karena 7 > 6 maka

Sehingga dapat disimpulkan bahwa

F. Mengurutkan Pecahan-Pecahan

Mengurutkan pecahan sama halnya dengan membandingkan tiga pecahan atau lebih.

Jika kita akan mengurutkan pecahan yang penyebutnya sama, urutkanlah berdasarkan besar dari pembilangnya.

Tetapi, jika akan mengurutkan pecahan yang

penyebutnya berbeda, terlebih dahulu tentukanlah pecahan senilai dari tiap pecahan semula yang

penyebutnya adalah KPK dari penyebutnya pecahan semula.

Contoh:

Urutkanlah pecahan , , dan dari yang terkecil ke yang terbesar

3

Tentukan KPK dari 7, 4, dan 20 dengan cara menuliskan semua faktor prima tiap bilangan, kemudian tandailah semua faktor berbeda yang paling sering muncul

Kalikan faktor-faktor yang telah ditulis lebih besar

3

2

6



x

2

2

2

2

4



x



5

2

2

5

2

2

50 > 15 > 9

Bandingkan

pembilangnya dan urutkan.

 

> > maka > >

Jadi, jika yang diurutkan dari yang terkecil ke

yang terbesar diperoleh , ,

 

G. Pecahan yang Nilainya di Antara Dua Pecahan

Misalkan kita mempunyai 5/8 Dan 3/4

Adakah pecahan yang berada di antara bilangan-bilangan tersebut ?

1. Penyebut dua pecahan disamakan terlebih dahulu, kemudian kita tentukan pecahan

yang nilainya terletak di antara kedua pecahan yang diketahui.

Terlihat bahwa dan tidak

memungkinkan adanya nilai di antara keduanya, maka kita harus

melakukan tahap berikutnya.

2. Jika belum diperoleh pecahan yang dimaksud, ubah lagi penyebutnya menjadi dua kali lebih besar

Jadi, di antara dua pecahan yang berbeda, selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua bilangan itu.

H. Pecahan Desimal

Pecahan biasa atau pecahan campuran dapat pula dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal. Demikian pula sebaliknya, pecahan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa atau pecahan campuran.

 

Di antara 10/16 dan 12/16

Contoh:

Tulislah 0,253 sebagai suatu pecahan dalam bentuk pecahan sederhana.

0,25 = Tulislah dalam bentuk pecahan

Sederhankanlah dengan cara membagi

pembilang dan penyebutnya dengan FPBnya. FPB dari 125 dan 200 adalah 25.

Jika suatu bilangan desimal lebih dari 1 maka bilangan desimal tersebut dapat ditulis sebagai pecahan campuran.

 

Contoh:

Bilangan cacah tetap ditulis terpisah dari pecahan.

Sederhanakanlah pecahan tersebut. FPB dari 100 dan 45 adalah 5.

Jadi,

Selanjutnya, untuk menulis suatu pecahan dalam bentuk desimal, dapat menulisnya dengan cara membagi pembilang oleh penyebut. Ingat bahwa simbol pecahan tersebut juga berarti pembagian.

4

,

0

0

20

2

5

Pada pecahan, jika kamu membagi pembilang oleh penyebut dan sisanya nol, maka hasil baginya

merupakan bilangan desimal tak berulang. Tetapi, jka hasil baginya mengulang sebuah angka atau

sekelompok angka tertentu tanpa berakhir, maka bilangan desimal itu disebut bilangan desimal berulang.

0,22222 . . . = Garis datar yang ada di atas angak 2 menandakan bahwa angka 2 berulang

Contoh lain:

=

Angka 63 berulang.

H. Persen

Jika membandingkan sebuah bilangan dengan 100 maka akan menemukan prosen. Prosen artinya “perseratus”. ,

 

I. Permil

Permil artinya per seribu. Jadi, pecahan permil adalah suatu pecahan yang penyebutnya seribu atau per seribu. Permil dilambangkan oleh .

 

 

=

Sebagai ilustrasi

OPERASI PADA PECAHAN

Operasi dalam pecahan meliputi: 1)Penjumlahan pecahan

2)Pengurangan pecahan 3)Perkalian pecahan 4) Pembagian pecahan

 

Contoh :

Tentukan jumlah dari 3/5 dan 4/5 Penyelesaian :

Menjumlahkan Pecahan yang Penyebutnya Sama

Untuk Menjumlahkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, jumlahkanlah pembilang –

pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.

Untuk Menjumlahkan Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama, jumlahkanlah pembilang –

pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.

3/5 4/5

7/5

5 4 3

5 4 5

3 

 

5 7



5 2 1

B. Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Sama

Mengurangkan Pecahan yang Penyebutnya Sama

Untuk Mengurangkan

Pecahan – Pecahan dengan penyebut yang sama,

kurangkanlah pembilang – pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.

Untuk Mengurangkan

Pecahan – Pecahan dengan

penyebut yang sama,

kurangkanlah pembilang – pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.

Contoh 1 :

Tini menemukan kue tar di meja makan. Dia makan

kue tar. Berapa kue tar yang belum dimakan?

Contoh 2 :

Pak Slamet mempunyai minyak tanah sebanyak kaleng minyak. Tetangga Pak Slamet membeli minyak tanah itu sehinggga minyak tanah Pak Slamet sekarang sebanyak kaleng minyak. Berapa banyak minyak tanah dalam

satuan kaleng yang telah dibeli oleh tetangga Pak Slamet itu ?

atau

Penyelesaian :

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara berikut :

pikirkan : berapa ditambah untuk memperoleh ?

, sehingga diperoleh bahwa tetangga Pak Slamet telah membeli minyak tanahnya sebesar kaleng minyak.

C. Penjumlahan dan pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda

Ani membaca sebuah buku cerita. Dua hari yang lalu, Ani membaca dari isi buku itu. Hari ini Ani

melanjutkan membaca buku cerita itu. Dia membaca

dari isi buku itu. Berapa bagian dari isi buku cerita yang telah dibaca oleh Ani ?

•_{Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita perlu}

menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Kita dapat menggunakan model pecahan untuk penjumlahan berikut.

Pertanyaan 1 :

Berapa bagian dari isi buku yang telah dibaca oleh Ani? Penyelesaian :

menyatakan jumlah

 

 

Gunakan model pecahn untuk 1/4 Gunakan model pecahn untuk 2/3

 tentukan model pecahan untuk

 jadi ani telah membaca 11/12 bagian isi dari buku tersebut

contoh 1:

Modelkan pengurangan

Dari pertanyaan 1 dan contoh 1 di atas, tampak bahwa untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan yang penyebutnya berbeda, pertama- tama menyamakan

penyebutnya dahulu, yaitu dengan menggunakan KPK.

 

Gunakan model pecahan 3/6 atau 1/2 Gunakan model pecahan 2/6 atau 1/3

Contoh 2 :

Tentukan hasil dari

Tentukan KPK dari 4 dan 7 KPK dari 4 dan 7 adalah 28

.

Tentukan KPK dari 4 dan 7

KPK adalah 28. Tulis pecahan dengan penyebut sama.

D. Penjumlahan Pecahan Campuran

Satu cara untuk menjumlahkan pecahan campuran adalah menghitung bagian bilangan cacah dan

pecahannya secara terpisah.kadang- kadang jumlah dari bagian pecahan adalah suatu pecahan yang

pembilangnya lebih dari penyebutnya. Jika demikian, ubahlah dahulu pecahan tersebut sebagai pecahan campuran.

Contoh 1 :

Tentukan hasil dari

KPK adalah 4. Tulislah pecahan – pecahan itu dengan penyevut yang sama

Jumlahkan bagian bilangan cacah dan pecahannya

Ubahlah bentuk pecahannya

Jumlahkan bilangan cacahnya

+

Penyeles aian:

E. Pengurangan Pecahan Campuran

Untuk menyelesaikan masalah pengurangan pecahan campuran, rubahlah dahulu menjadi pecahan biasa.

Contoh:

selesaikanlah

tulislah dalam pecahan senama ubahlah bentuk pecahannya

kurangilah bilangan cacah dan kemudian pecahanya. 2 1 4 3 1 6  6 3 4 6 2 6 2 1 4 3 1

6   

6 3 4 6 8 5   6 5 1 

F.

Perkalian dan Pembagian Pecahan

Sebelum melangkah dalam pembahasan perkalian dan pembagian

pecahan, berikut adalah sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian dalam bilangan bulat:

Jadi

Untuk a, b, dan c anggota bilangan bulat, berlaku:

a. a x b = b x a (komutatif)

b. (a x b) x c = a x (b x c) (asosiatif)

c_{. a x 1 = 1 x a = a (1 adalah unsur identitas perkalian)}

d_{. a x (-b) = -(a x b); (-a) x b = -(a x b); (-a) x (-b) = a x b} e_{. a : b : c sama artinya dengan a = b x c}

6 5 1 2 1 4 3 1

Sifat-sifat tersebut juga berlaku dalam bilangan pecahan.

 

1. Mengalikan Pecahan dengan Pecahan

Kita dapat menggunakan model luas untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan. Kata dari bila digunakan

dalam matematika, dapat berarti perkalian.

 

Contoh:

Pak arif mempunyai sebidang tanah untuk lahan

perkebunan. Dia merencanakan menanami separuh lahanya dengan tanaman apotik hidup. Dia ingin

sepertiga dari lahan yang akan ditanami tanaman apotik hidup itu ditanami temulawak. Berapakah dari lahan itu yang akan ditanami temulawak ?

Lahan yang ditanami tanaman apotik hidup = ½ dari lahan

perkebunan

Bagilah lahan perkebunan

untuk tanaman apoti hidup ke dalam tiga bagian yang sama. Arsirlah 1/3 dari bagian yang telah diwarnai itu.

Bagian yang diwarnai sekaligus diarsir adalah 1/6 dari lahan semula. Bagian ini menunjukkan bagian dari lahan yang ditanami temulawak. Luas dari bagian tersebut adalah

panjang x lebar, yaitu ½ x 1/3. jadi, bagian yang ditanami temulawak menyatakan ½ x 1/3 = 1/6. Dari contoh tersebut tampak berlaku pernyataan sebagai berikut:

Perkalian Pecahan

Untuk mengalihkan pecahan dengan pecahan, kalikanlah pembilang-pembilangnya.

Contoh :

Tentukanlah 2/3 dari ½

2/3 dari ½ = kalikan pecahan-pecahan

tersebut

kalikan pecahan-pecahan tersebut

sederhanakanlah

Jika pembilang dari pecahan yang pertama dan penyebut dari pecahan yang lain

mempunyai factor persekutuan, maka kamu dapat menyederhanakan sebelum mengalikanya. 2 1 3 2 x 2 3 1 2 x x  6 2  3 1 

Contoh:

Tentukan hasil dari

Sederhanakanlah sebelum mengalikan.

bagilah pembilang dan penyebut dengan 4 karena 4 merupakan FPB dari 4 dan 8

kalikanlah pembilang dan penyebutnya 5 4 8 3 x 5 . 8 4 . 3 5 4 8 3  x 5 2 1 3 x x  10 3 

2. Perkalian Bilangan Cacah dengan Pecahan

Masih ingatkah kamu arti dari 4x2 ? arti 4x2 adalah 2+2+2+2. hal ini berlaku pula untuk perkalian

bilangan pecahan oleh bilangan cacah.

1 x _{1 x 1 x 1 x}

1 1 1 1

2/3 2/3 2/3 2/3

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

4x    

3 8  3 2 2 

Pada perkalian bilangan cacah dengan bilangan pecahan, kita dapat mengubah bilangan cacah ke

dalam bentuk pecahan dengan penyebut 1 kemudian melakukan perkalian pecahan. Misalnya

3. Perkalian Pecahan Campuran

Dony mempunyai album foto besar. Sebanyak 8 1/3 halam dari album itu masih kosong. Dony bermaksud mengisi separuh dari halam kosong itu dengan foto-foto artis secara berurutan. Berapa halaman dari album itu yang akan diisi dengan foto-foto artis?

  3 2 2 3 8 3 1 2 4 3 2 1 4 3 2

4    

x x x

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu menentukan ½ dari 8 1/3 atau ½ X 8 1/3.Untuk

mengalikan pecahan campuran, nyatakanlah terlebih dahulu pecahan campuran itu sebagai

pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya.

Kemudian kalikanlah pecahan pecahan tersebut.

½ x 25/3 = 25/6 kalikan pembilang-pembilangnya dan kalikan penyebut-penyebutnya

= 4 1/6 sederhanakan.

Jadi, sebanyak 4 1/6 halaman dari album foto itu yang akan di isi dengan foto-foto artis.

Kita juga dapat menunjukan permasalahan di atas dengan menggunakan model seperi berikut.

3 1 8

dari 8 adalah 4, dan dari adalah . Sehingga,

 

Kita juga dapat menggunakan model luasan untuk

mengalikan pecahan campuran seperti berikut. Misal, luas dari suatu segiempat dengan panjang cm dan lebar cm ditunjukan pada gambar di bawah ini.

1 1 2 1 1 4 1 2 4 1 2 2 1 1

Tentukan hasil perkalian 2 2

= = =

tulislah setiap pecahan campuran sebagai pecahan tak murni.

menyederhanakan dengan cara membagi angka 8 dan 4 dengan keduanya oleh FPB-nya yaitu 4

kalikan

4. Pembagian Pecahan

Untuk memahami arti dari pembagian pecahan, kita lakukan kegiatan berikut seolah-olah kita membagi

permen kepada beberapa teman.

i. Kita mempunyai 6 biji permen yang akan dibagi kepada beberapa teman. Masing-masing teman

memperoleh 2 biji permen. Berapakah orang yang akan menerima permen?

Jawab : 3

ii. Jika 6 biji permen itu dibagi sehingga masing-masing temanmu menerima 1 biji permen,

berapakah orang yang menerima permen?

iii. Jika 6 biji permen itu dibagai sehingga masing-masing temanmu menerima ½ biji permen,

berapakah orang yang menerima permen?

Jawab: 6

Jawab : 12 Ditulis 6 : Perhatikan:

6 :

Bagaimana hubungan dengan bentuk 6 x

Bilangan dan 2 mempunyai hubungan khusus, yaitu hasil kalinya 1.

5. Pembagian Pecahan Campuran

Untuk membagi pecahan campuran, terlebih dahulu tulislah setiap pecahan campuran sebagai yang

pembilangnya lebih dari penyebutnya, kemudian kalikan.

Contoh 1:

Tentukan hasil dari

disebut kebalikan 2.

Catat bahwa, sebarang dua bilangan yang hasil kalinya adalah 1 di sebut berkebalikan.

ubahlah pecahan campuran

= bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB dari 9 dan 18 yaitu 9

= tentukan hasil kalinya

Contoh 2:

Tentukan

=

=

=

kalikan dengan kebalikan dari 3 yaitu 1/3

kalikan pembilang dan kalikan penyebutnya

tulislah hasil kalinya

4. Pembagian Pecahan

Untuk memahami arti dari pembagian pecahan, kita lakukan kegiatan berikut seolah-olah kita membagi

permen kepada beberapa teman.

i. Kita mempunyai 6 biji permen yang akan dibagi kepada beberapa teman. Masing-masing teman

memperoleh 2 biji permen. Berapakah orang yang akan menerima permen?

Jawab : 3

ii. Jika 6 biji permen itu dibagi sehingga masing-masing temanmu menerima 1 biji permen,

berapakah orang yang menerima permen?

iii. Jika 6 biji permen itu dibagai sehingga masing-masing temanmu menerima ½ biji permen,

berapakah orang yang menerima permen?

Jawab: 6

Jawab : 12 Ditulis 6 : Perhatikan: 6 :

Bagaimana hubungan dengan bentuk 6 x

Bilangan dan 2 mempunyai hubungan khusus, yaitu hasil kalinya 1.

5. Pembagian Pecahan Campuran

Untuk membagi pecahan campuran, terlebih dahulu tulislah setiap pecahan campuran sebagai yang

pembilangnya lebih dari penyebutnya, kemudian kalikan.

Contoh 1:

Tentukan hasil dari

disebut kebalikan 2.

Catat bahwa, sebarang dua bilangan yang hasil kalinya adalah 1 di sebut berkebalikan.

ubahlah pecahan campuran

= bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB dari 9 dan 18 yaitu 9

= tentukan hasil kalinya Contoh 2:

Tentukan

=

=

=

kalikan dengan kebalikan dari 3 yaitu 1/3

kalikan pembilang dan kalikan penyebutnya

tulislah hasil kalinya