Aplikasi Game Theory dalam Menentukan Strategi Pemasaran Optimum pada Perusahaan Asuransi

BAB2

LANDASAN TEORI

2.1.Asuransi

2.1.1. Pengertian Asuransi

Istilah asuransi dalam perkembangannya di Indonesia berasal dari kata Belandaassurantie yang kemudian menjadi asuransi dalam bahasa Indonesia.Namun istilah assurantie itu sendiri sebenarnya bukanlah istilah asli bahasa Belanda akan tetapi berasal dari bahasa Latin, yaitu assecurare yang berarti meyakinkan orang. Kata ini kemudian dikenal dalam bahasa Prancis sebagai assurance.

Pengertian asuransi menurut undang-undang Republik Indonesia nomor 2 Tahun 1992 tentang usaha perasuransian Bab I, pasal 1, yaitu asuransi atau pertanggungan adalah suatu perjanjian antara dua pihak atau lebih, dimana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang munbnatau untuk memberikan suatu pembayaran yang didasarkan pada yang meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan.

Sedangkan pengertian asuransi menurut kitab Undang-Undang Hukum Dagang Pasal 246, yaitu:asuransi atau pertanggungan adalah sutu perjanjian, dengan mana seseorang penanggung mengikatkan diri kepada seseorang tertanggung, dengan menerima suatu premi untuk memberikan penggantian kepadanya karena suatu kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin terjadi karena suatu peristiwa tak tertentu.

Terdapat tiga unsur tentang pengertian asuransi, yaitu:

1. Unsur ke 1: pihak terjamin berjanji membayar uang premi kepada penjamin,sekaligus atau berangsur angsur.

2. Unsur ke 2: pihak penjamin berjanji membayar sejumlah uang kepada pihak terjamin, sekaligus atau bersangsur-angsur apabila terlaksana unsur ke 3. 3. Unsur ke 3: suatu peristiwa semula yang belum jelas akan terjadi.

Dari definisi tersebut, asuransi jelas merupakan salah satu cara pembayaran ganti kerugian kepada pihak yang mengalami musibah, yang dananya diambil dari iuran premi seluruh peserta asuransi (Dewi, 2010).

2.1.2. Asuransi Kesehatan

Asuransi kesehatanadalah kontrak yang sah antara dua pihak, yaitu perusahaan asuransi dan pemegang polis. Ini memastikan bahwa penerima menerima dukungan keuangan dalam hal kematian tertanggung atau kecelakaan. Istilah dalam asuransi pemegang polis setuju untuk membayar premi tertentu secara berkala.Asuransi jiwa tergantung pada sejumlah faktor, termasuk usia, pendapatan, pengeluaran, pinjaman, jumlah tanggungan, kesehatan dan lain-lain.Secara umum, sistem asuransi menawarkan kepada pemegang polis sebuah solusi dimana pemegang polis bisa menjamin masa depannya secara finansial dan asuransi jiwa menawarkan beberapa macam solusi yang terkait dengan kebutuhan hidupdi masa depan. Asuransi jenis ini juga tersedia dalam berbagai macam jenis dan pilihannya tergantung kebutuhan.Adapun beberapa contoh yang termasuk dalam golongan Asuransi Jiwa adalah asuransi kesehatan, asuransi kematian, dan masih banyak lagi. Adapun tujuan asuransi jiwa, yaitu:

1. Menjamin adanya suatu estate dari mana para ahli waris dapat memperoleh penghasilan, jikakepala keluarga (breadwinner) meninggal dunia

2. Untuk menabung sebagai bagian dari estate hidup seseorang, yang diadakan untuk penghasilan di masa depan.

Tujuan yang pertama disebut sebagai proteksi atau perlindungan, sedangkan tujuan dinamakan kebutuhan tabungan.

Istilah-istilah yang ada dalam asuransi itu sendiridiantaranya adalah: 1. Penanggung, adalah sebuah istilah yang mengacu pada perusahaan asuransi. 2. Pemegang polis, adalah seseorang atau badan yang melakukan perjanjian

pertanggungan dengan penanggung. Dan pemegang polis ini berkewajiban membayar premi asuransi.

3. Tertanggung, adalah orang atau pihak yang pada dirinya diadakan perjanjian pertanggungan.

4. Polis, adalah surat berharga yang berisi kontrak pertangguangan antara penanggung dengan pemegang polis.

5. Ahli waris, yaitu orang yang ditunjuk oleh tertanggung dan berhak menerima keuntungan asuransi jiwa yang diberikan oleh penanggung jika tertanggung meninggal dunia.

6. Uang pertanggungan, adalah sejumlah uang yang nilainya sudah disepakatai dalam polis apabila dalam masa kontrak terjadi sesuatu pada tertanggung. Bila tertanggung meninggal, maka uang tersebut diserahkan pada ahli warisnya. 7. Premi yaitu sejumlah uang yang diberikan kepada penanggung oleh pemegang

polis sebagaimana dalam surat perjanjian kontrak.

8. Nilai tunai atau nilai tebus adalah sejumlah yang yang akan diberikan kepada tertanggung oleh penanggung jika dalam masa kontrak, tertanggung mengundurkan diri.

9. Manfaat Asuransi adalah sejumlah uang yang sesuai perjanjian akan dibayarkan oleh penanggung kepada tertanggung jika semua syarat terpenuhi. 10.Bonus, yaitu tambahan sejumlah uang selain yang dialokasikan oleh

penanggung untuk keuntungan pemegang polis atau tertanggung (Kusumawati, 2004)

2.1.3. Manfaat Asuransi

Asuransi pada dasarnya dapat memberi manfaat bagi tertanggung (Iinsured) antara lain sebagai berikut:

1. Rasa aman dan perlindungan. Dengan memiliki polis asuransi maka tertanggung akan terhindar dari kerugian-kerugian yang mungkin timbul. 2. Meningkatkan efiiensi karena tidak prlu secara khusus mengadakan

pengamanan dan pengawasn untuk memberikan perlindungan yang memakan banyak tenaga, waktu dan biaya.

3. Pemerataan biaya, yaitu cukup hanya dengan mengeluarkan biaya yang jumlahnya tertentu dan tidak perlu mengganti/membayar sendiri kerugian yang timbul yang jumlahnya tidak tentu dan tidak pasti.

4. Dasar dari pihak bank untuk memberikan kredit karena bank memerlukan jaminan perlindungan atas agunan yang diberikan oleh peminjam uang sebagai tabungan karena jumlah yang lebih besar (berlaku khusus untuk asuransi jiwa). 5. Menutup loss of earning power seseorang atau badan usaha pada saat ia tidak

dapat berfungsi (bekerja), dengan kata lain asuransi dapat berfungsi sebagai tabungan dan sumber pendapatan (Sari, 2008).

2.2.Strategi Pemasaran

2.2.1. Pengertian Pemasaran

Pemasaran adalah suatu proses sosial dan manajerial yang didalamnya individu dan kelompok mendapatkan apa yang mereka butuhkan dan inginkan dengan menciptakan, menawarkan dan mempertukarkan produk dan nilaidengan pihak lain.

Kegiatan pemasaran dalam suatu perusahhan harus dimulai dengan usaha mengenali dan merumuskan keinginan dan kebutuhan dari konsumen. Kegiatan pemasaran telah berkembang dengan pesat dari kegiatan distribusi penjualan, menjadi suatu falsafah untuk menghubungkan perusahaan-perusahaan dengan pemasaran. Keberhasilan ataupun kegagalan suatu perusahaan dalam mencapai sasaran akhir perusahaan, akan mencerminkan berhasil tidaknya perusahaan

tersebut mengaplikasikan fungsi pemasaran terhadap aktifitas yang dilaksanakan oleh perusahaan itu.

Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa pemasaran adalah suatu sistem keseluruhan dari kegiatan usaha yang ditujukan untuk merencanakan, menentukan harga, mempromosikan, dan mendistribusikan barang dan jasa yang dapat memuaskan kebutuhan dan keinginan pembeli yang ada maupun pembeli potensial, sehingga pemasaran bersandar pada beberapa konsep inti yaitu: kebutuhan (needs), keinginan (wants), permintaan (demands), produk (barang, jasa, gagasan), nilai, biaya dan kepuasan (satisfaction), pertukaran, transaksi, hubungan dan jaringan, pasar, serta pemasar dan prospek (Kotler, 1999).

2.2.2. Pengertian Strategi Pemasaran

Strategi pemasaran terdiri dari menentukan lingkup dan tujuan dari bisnis dimana tujuannya untuk menentukan kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan dan sumber daya yang diperlukan untuk memperoleh tujuan tersebut. Strategi pemasaran merupakan rencana yang menjabarkan ekspektasi perusahaan akan dampak dari berbagai aktivitas atau program pemasaran terhadap permintaan produk atau lini produknya dipasar sasaran tertentu. Karena hubungan yang dekat ini, sangat penting untuk memeriksa asspek-aspek utama dari mendesain dan mengimplementasikan strategi pemasaran (Tjiptono, 1997).

2.2.3. Bauran Pemasaran

Salah satu unsur dalam strategi pemasaran adalah bauran pemasaran, yang merupakan strategi yang dijalankan perusahaan, yang berkaitan dengan penentuan, pemasaran bagaimana perusahaan menyajikan penawaran produk pada satu segmen pasar tertentu, yang merupakan sasaran pasarnya.Marketing mix merupakan kombinasi variabel atau kegiatan yang merupakan inti dari sistem

pemasaran, variabel apa yang dapat dikendalikan oleh perusahaan untuk mempengaruhi tanggapan konsumen dalam pasar sasarannya. Variabel atau kegiatan tersebut perlu dikondisikan dan dikoordinasikan oleh perusahaan seefektif mungkin, dalam melakukan kegiatan pemasarannya.

Dengan demikian perusahaan tidak hanya sekedar memiliki kombinasi kegiatan yang terbaik saja, akantetapi dapat mengkoordinasikan berbagai variabel marketing mix tersebut, untuk melaksanakan program pemasaran secara efektif. Bauran pemasaran adalah kumpulan alat pemasaran taktis terkendali yang dipadukan perusahaan untuk menghasilkan respons yang diinginkannya di pasar sasaran.

Elemen bauran pemasaran jasa terdiri atas tujuh hal, yaitu: 1. Produk(Product)

Produk adalah sesuatu yang dapat ditawarkan ke pasar untuk mendapatkan perhatian, untuk dibeli, digunakan atau dikonsumsi yang dapat memenuhi suatu keinginan atau kebutuhan. Akan tetapi pada dasarnya kualitas produk merupakan hal yang sangat penting yang harus di jaga dan juga dipertahankan oleh setiap perusahaan agar dapat bertahan (survive) diera persaingan yang semakin kuat, sebab dapat dikatakan bahwa variabel yang satu ini merupakan variabel yang paling diperhatikan oleh konsumen dalam mengambil keputusan untuk memilih suatu produk.

2. Harga (Price)

Harga adalah sejumlah nilai yang ditukarkan konsumen dengan manfaat dari memiliki atau menggunakan produk atau jasa yang nilainya ditetapkan oleh pembeli dan penjual melalui tawar-menawar, atau ditetapkan oleh penjual untuk satu harga yang sama terhadap suatu pembeli. Pada variabel ini seorang konsumen sangat mempertimbangkan keputusan mereka ketika memilih suatu produk sebab dalam proses pemasaran harga secara signifikan sangat memengaruhi perilaku konsumen dalam menentukan pilihannya dalam proses transaksi karena harga biasanya harga dianggap sebagai indikator dalam

menafsirkan kulitas suatu produk, dengan kata lain harga berbanding lurus dengan kualitas produk.

3. Promosi (Promotion)

Kegiatan promosi merupakan suatu kegiatan membujuk dan mengedukasi pasar dengan tujuan adanya respon positif atau tindakan pembeli yang berulang kali yang dilakukan oleh konsumen. Dalam promosi kegiatan yang terdapat didalamnya yaitu periklanan, personal selling, promosi penjualan dan publisitas (public relation). Akan tetapi perlu diingat bahwa proses promosi tidak hanya dilakukan secara person to person saja akan tetapi promosi juga dapat dilakukan dengan memanfaatkan perkembangan teknologi yang telah ada seperti menggunakan media televisi, radio, surat kabar dan internet.

4. Orang (People)

Pada faktor ini unsur yang paling dominan ialah personal approach, dimana baik jajaran front office, back office (staf administrasi), agen, sales marketing, supervisor, maupun manajer, seluruhnya dituntut untuk melayani pelanggan secara optimal.

5. Proses (Process)

Proses merupakan gabungan semua aktivitas. Pada umumnya proses ini terdiri atas prosedur, jadwal pekerjaan, mekanisme, aktivitas, dan hal-hal rutin, termasuk persyaratan ataupun ketentuan yang berlaku oleh suatu perusahaan (sistem registrasi atau pendaftaran yang cepat atau lambat).

6. Tempat/Saluran Distribusi (Place/Distribution Channel)

Saluran distribusi yaitu sekelompok organisasi yang saling tergantung dalam keterlibatan mereka pada proses yang memungkinkan suatu produk atau jasa yang tersedia bagi penggunaan atau konsumsi oleh konsumen atau penggunaan industrial. Setelah melakukan beberapa proses seperti menghasilkan produk, menetapkan harga kemudian mempromosikannya langkah selanjutnya adalah mendistribusikan produk kepada konsumen, dengan memerhatikan beberapa hal seperti pelayanan yang memuaskan pelanggan, jalur distribusi juga harus dipertimbangkan sebab jalur distribusi yang tidak efektif akan memberikan

efek dominan yang berdampak pada pembengkakan anggaran dan harga produk yang akan didistribusikan nantinya (Tjiptono, 1997).

2.3.Data dan Variabel

2.3.1. Data

Pengertian data yaitu sesuatu yang diketahui atau dianggap.Diketahui artinya yang sudah terjadi merupakan fakta (bukti).Data juga dapat didefinisikan sekumpulan informasi atau nilai yang diperoleh dari pengamatan (observasi) suatu objek, data dapat berupa angka dan dapat pula merupakan lambang atau sifat. Pada dasarnya kegunaan data (setelah diolah dan dianalisis) ialah sebagai dasar yang objektif di dalam proses pembuatan keputusan atau kebijaksanaan dalam tujuan utuk memecahkan persoalan.

Menurut sifatnya, data dapat digolongkan menjadi dua, yaitu: 1. Data kuanlitatif, yaitu data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka

2. Data kuantitatif, yaitu data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang mengandung makna (tidak berbentuk angka).

Berdasarkan cara memperolehnya, data dapat dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Data Primer, yaitu data yang dikumpulkan sendiri oleh perorangan atau suatu

organisasi secara langsung dari objek yang diteliti dan untuk kepentingan study yang bersangkutan yang dapat berupa interview atau observasi.

2. Data Skunder, yaitu data yang diperoleh/dikumpulkan dan disatukan oleh study-study sebelumnya atau yang diterbitkan oleh instansi lain.

Menurut waktu pengumpulannya, data digolongkan menjadi dua, yaitu: 1. Data Cross Section, adalah data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu

untuk menggambarkan keadaan dan kegiatan pada waktu tersebut. Misalnya data penelitian yang menggunakan kuesioner.

2. Data Time Series/Berkala, adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk melihat perkembangan suatu kejadian/kegiatan selama periode tersebut. Misalnya perkembangan yang beredar (S.H.Situmorang dkk, 2010).

2.3.2. Variabel

Variabel adalah suatu yang dapat membedakan atau mengubah variasi pada nilai.Nilai dapat berbeda pada waktu yang berbeda untuk objek atau orang yang sama, atau nilai dapat berbeda dalam waktu yang sama untuk objek atau orang yang bebeda.

Menurut hubungan antara suatu variabel dengan variabel lainnya, variabel terbagi atas beberapa, yaitu:

1. Variabel bebas, yaitu variabel yang menajdi sebab terjadinya atau terpengaruhnya variabel tak bebas.

2. Variabel tak bebas, yaitu variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel bebas.

3. Variabel moderator, yaitu variabel yang memperkuat atau memperlemah hubungan antara suatu variabel bebas dengan variabel tak bebas.

4. Variabel intervening, seperti halnya veriabel moderator, tetapi nilainya tidak dapat diukur, seperti kecewa, marah, gembira, senang, sedih, dan lain sebagainya (S.H.Situmorang dkk, 2010).

2.4. Uji validitas dan Reliabilitas

2.4.1. Uji validitas

Uji Validitas digunakan untuk mengukur sah atau tidak validnya suatu kuesioner. Suatu kuesioner dinyatakan valid jika pertanyaan pada kuesioner mampu mengungkapakan sesuatu yang akan diukur oleh kuesioner tersebut. Uji Validitas dilakukan dengan membandingkan antara nilai r hitung dengan r tabel.Jika r

hitung lebih besar dari pada r tabel dan bernilai positif, maka instrument tersebut dikatakan valid. (Ghozali, 2005)

2.4.2. Uji Reliabilitas

Uji Realibilitas digunakan untuk mengukur reliable atau handal tidaknya kuesioner yang merupakan indikator dari suatu variabel.Kuesioner dikatakan reliable jika jawaban seseorang terhadap pertanyaan adalah konsisten atau stabil dari waktu ke waktu. Nilai reliabilitas variabel ditunjukkan oleh koefisien Cronbach Alpha (α) Nilai suatu kuesioner dikatakan reliabel apabila koefisien α> 0,60. (Ghozali, 2005)

2.5. Teori Permainan

Teori permainan merupakan suatu model matematika yang digunakan dalam situasi konflik atau persainagan antara berbagai kepentingan yang saling berhadapan sebagai pesaing.Dalam permainan peserta adalah pesaing. Keuntungan bagi yang satu merupakan kerugian bagi yag lain. Model-model permainan dapat dibedakan berdasarkan jumlah pemain, jumlah keuntungan atau kerugian, dan jumlah strategi yang digunakan dalam permainan.Jika jumlah pemain ada dua, permainan disebut sebagai permainan dua pemain. Bila keuntungan atau kerugian sama dengan nol, disebut permainan jumlah nol(Aminudin, 2005)

Teori permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Prancis yang bernama Emile Biorel pada tahun 1921.Kemudian Jhon Von Neemann dan Oskar Morgenstern mengembangkan lebih lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing (Subagyo dkk, 2002).

2.5.1. Unsur-unsur Dasar Teori Permainan

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa unsur dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan, dengan mengambil contoh permaian dua pemain jumlah nol (two person zero sum game) dimana matriks pay off-nya di tunjukkan dalam tabel matriks pay off (Aminudin, 2005).

Tabel 2.1 Matriks Pay Off

Pemain A Pemain B

8 10

11 7

4 6

Dari contoh tabel permainan di atas dapat dijelaskan unsur-unsur dasar teori pemainan sebagai berikut:

1. Angka-angka dalam matriks pay off (matriks permaianan) merupakan hasil-hasil atu pay off dari strategi-strategi permaianan yang berbeda-beda, dimana hasil-hasil merupakan ukuran efektifitas. Bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris (maximizing player) dan kerugian bagi pemain kolom (minimizing player).

2. dan merupakan alternatif strategi-strategi yang dimiliki oleh maing-masing pemain A dan B. Suatu strategi permainan adalah rangkaian rencana yang menyeluruh dari pemain sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pesaing.

3. Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau rata-rata pay off sepanjang permaianan. Suatu permainan dikatakan adil (fair) apabila nilainya sama dengan nol.

4. Suatu permaian dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Pada matriks di atas hal ini terjadi untuk pemain B, kedua strategi dan didominasi oleh pemain . Sehingga strategi dan dapat

direduksi. Artinya pemain B menjalankan strategi optimalnya adalah , Sedangkan pemain A memilih strategi karena berusaha mencari keuntungan maksimal. Jadi nilai permainan dari kasus diatas adalah 4.

5. Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasi strategi mana yang paling optimal untuk setiap pemain (Aminudin, 2005).

2.5.2. Klasifikasi Permaianan

A.Berdasarkan Jumlah Langkah dan Pilihan

Permainan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu:

1. Permainan berhingga (Finite Game), yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah langkah yang berhingga dengan setiap langkah yang memuat sejumlah pilihan yang berhingga pula.

2. Permainan tak berhingga (Infinite Game), untuk setiap permainan selain permainan berhingga (Supranto, 1991).

B.Berdasarkan Jumlah Pemaian

Suatu permainan dikatakan permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Disini orang dapat berperan sebagai individu ataupun kelompok (Subagyo dkk, 2002).

C.Berdasarkan Jumlah Pembayaran

Berdasarkan jumlah pembayaran diklasifikasikan menjadi dua, yaitu:

1. Permainan berjumlah nol (Zero Sum Game) adalah suatu permainan dengan jumlah kemenangan jumlah kedua belah pihak sama dengan nol. Hal ini berarti bahwa jumlah pembayaran yang diterima oleh salah satu pemain yang menang

sama dengan jumlah pembayaran yang dibayarkan oleh pihak yang kalah. Bila ada dua orang yang bermain di dalam permainan maka dinamakan perrmainan berjumlah nol dari dua orang(Two Person Zero Sum Game).

2. Permainan berjumlah tidak nol (Non Zero Sum Game), yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainanan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dimainkan oleh dua orang ataupun n orang (Subagyo dkk, 2002).

2.5.3. Permaianan Dua Pemain Jumlah Nol

Konsep dasar yang memuat dalam teori permainan dapat dijelaskan oleh permainan yang sederhana yang dimainkan oleh dua orang atau dua pemain. Disebut permainan jumlah nol karena keuntungan (kerugian) pemain adalah sama dengan kerugian (keuntungan) pemain lainnya, sehingga jumlah total keuntungan dan kerugian adalah nol.

Ada dua macam permainan ini, pertama jenis permainan strategi murni (pure strategy game) dimana setiap pemain hanya menjalankan strategi tunggal dan jenis kedua adalah permainan strategi campuran (mixed strategy game) dimana kedua pemain menggunakan strategi yang berbeda-beda (Aminudin, 2005)

A.Strategi Murni (Pure Strategy)

Permaianan dengan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal.Dalam permainan dengan strategi murni, pemain pertama (pemain baris) yaitu pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan (keuntungan) yang minimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maksimin.Sedangkan pemain kedua (pemain kolom) yaitu pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian) yang maksimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria minimax. Apabila nilai maksiminsama dengan nilai minimax, maka

permainan ini dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan telah tercapai. Titik keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana atau sadle point(Subagyo dkk, 2002).

B.Strategi Campuran (Mixed Strategy)

Di dalam permaianan dimana permainan tersebut tidak mempunayai titik pelana maka para pemaian akan bersandar kepada apa yang diseburt sebagai strategi canpuran. Hal ini berarti pemain pertama akan memaiankan setiap strategi baris dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Demikian juga untuk pemain kedua, ia akan memainkan setiap strategi kolom dengan prorporsi waktu (probabilitas) tertentu. Oleh karena itu dengan suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran, strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang akan menunjukkan proporsi waktu atau banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut. Jadi tugas dari setiap pemaian adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strateginya (Subagyo dkk, 2002).

C.Aturan Dominasi

Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayarannya yang tidak efektif pengaruhnya di dalam penentuan strategi optimum dan nilai permaianan.Bila ada maka baris atau kolom yang seperti itu bisa dihapus atau tidak dipakai.Hal ini berarti bahwa probabilitasmemilih strategi sesuai baris atau kolom tersebut sama dengan nol.

Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil. Hal ini akan mempermudah untuk menyelesaikannya. Aturan demikian ini dinamakan aturan dominasi.

i. Aturan dominasi bagi pemain pertama (pemain baris). Karena pemain (pemain baris) merupakan pemain yang berusaha untuk memaksimumkan kemenagan/perolehannya maka bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama atau lebih kecil (sekolom) dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominasi dan baris itu dapat dihapus. Jika dalam suatu permaianan yang berukuran m x n terdapat _, ≤ _, untuk semua j = 1, 2, …,n maka baris k mendominasi baris i.

ii. Aturan dominasi bagi pemain kedua (pemain kolom). Karena pemain (pemain kolom) merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan/kerugiannya maka bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari kolm tersebut adalah sama atau lebih besar dari elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominasi oleh kolom itu dapat dihapus. Jika dalam permainan yang berukuran m x n terdapat _, ≤ _, untuk semua i = 1, 2, …, m maka kolom k mendominasi kolom j.

Keterangan:

, = Elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-j

, = Elemen matriks pay off baris ke-k dan kolom ke-j

, = Elemen matriks pay offbaris ke-i dan kolom ke-k

Aturan dominasi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya yang didominasi oleh baris atau kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks pembayaran semula akan tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila hal ini dapat terjadi maka permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut.Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominasi yang berulang-ulang tersebut (Siagian, 1987).

2.5.4. Metode Penyelesaian Masalah dalam Teori Permainan

Yang dimaksud dengan menyelesaikan permainan adalah usaha mencari strategi optimum dan mencari nilai permainan.Dalam menyelesaikan permasalahan teori permainan juga dapat menggunakan program linier, dengan menggunakan metode simpleks, yaitu membentuk program linier dan mencari solusi optimumnya. Langkah-langkah dalam linear programing teori permainan adalah sebagai berikut:

a. Untuk Pemain P1 (Pemain Baris)

1. Menentukan persamaan matematis untuk maximizing player a. Fungsi tujuan

+

b. Fungsi batasan

a11 + a12 + … + aij ≥ V a21 + a22 + … + aij ≥ V syarat:

+ = 1 , , ≥ 0 Keterangan:

a11 = matriks pay off

= probabilitas pemilihan strategi a1 = probabilitas pemilihan strategi a2 i = 1, 2, 3, …

j = 1, 2, 3, … V = nilai permainan

2. Membagi fungsi tujuan dan batasan maximizing player dengan V a. Fungsi tujuan

+ =

Apabila

=

X dan

=

X maka persamaannya menjadi: + =

Karena pemain baris maximizing player,maka tujuannya adalah memaksimumkan V atau meminimumkan

b. Fungsi batasan

+

+ … +

≥

+

+ … +

≥

Apabila

=

X _{, V}2

=

X _, dan maka batasannya menjadi: a11 + a12 + … + aij ≥ 1

a12 + a22 + … + aij ≥ 1

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam tabel simpleks minimizing player.

b. Untuk Pemain P2 (PemainKolom)

1. Menentukan persamaan matematis untuk minimizing player a. Fungsi tujuan

+

b. Fungsi batasan

a11 + a12 + … + aij ≤ V a21 + a22 + … + aij ≤ V syarat:

+ = 1 , , ≥ 0 Keterangan:

a11 = matriks pay off

= probabilitas pemilihan strategi a1 = probabilitas pemilihan strategi a2 i = 1, 2, 3, …

j = 1, 2, 3, … V = nilai permainan

2. Membagi fungsi tujuan dan batasan minimizing player dengan V a. Fungsi tujuan

!

+

!

=

Apabila!

=

Y dan !

=

Y maka persamaannya menjadi: + =

Karena pemain kolom minimizing player,maka tujuannya adalah meminimumkan V atau memaksimumkan

b. Fungsi batasan

!

+

!

+ … +

! ≤

!

+

!

+ … +

!≤

Apabila!

=

Y_{, V}2

=

Y_, dan !maka batasannya menjadi: a11 + a12 + … + aij ≤ 1

a12 + a22 + … + aij ≤ 1

3. Masukkan nilai-nilai ke dalam tabel simpleks maximizing player.

2.6. Program Linier

Konsep program linier ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig, yang berupa metode mencari solusi masalah program linear dengan banyak variabel-varabel keputusan (Zulfikarizah,2004).Program linear dapat didefinisikan sebagai pembuatan rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secara optimal.

Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi, dalam penyelesaiannya, yaitu:

1. Proportionality (Kesebandingan), asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.

2. Additivity (Penambahan), artinya nilai tujuan setiap kegiatan bersifat independent (bebas atau tidak saling bergantung) dan dalam program linier dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan nilai yang lain.

3. Divisibility (Pembagian), berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.

4. Certainty (Kepastian), artinya bahwa semua nilai parameter (aij, bj, cj) yang

terdapat dalam model program linier dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataannya tidak sama persis.

Model umum persamaan linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematika (Aminudin, 2005).

Optimumkan:

# = % &

' (

Dengan batasan:

% ) ≥≤

' (

* ; untuk 0 = 1, 2, 3, … , 4 ≥ 0 ; untuk 6 = 1, 2, 3, … , 7 Atau dapat ditulis secara lengkap sebagai berikut:

Optimumkan : & + & + & + ⋯ + &_{' '}

Dengan batasan:) + ) + ) + ⋯ + ) _{' '}≥≤ * ) + ) + ) + ⋯ + ) ' '≥≤ *

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

); + ); + ); + ⋯ + );' '≥≤ *;

, , , . . . '≥ 0

Keterangan:

== kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satusatuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan jterhadap Z

n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia m = macam batasansumber atau fasilitas yang tersedia

= tingkat kegiatan ke-j

) = banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setuap unit keluaran kegiatan i

* =kapasitas sumber i yang tersdia untuk di alokasikan kesetiap unit kegiatan(Aminudin, 2005)

2.7.Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau lebih kecil atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.Dalam metode simpleks terdapat beberapa defenisi penting, yaitu:

a. Solusi basis, yaitu solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol.

b. Solusi basis fisibel, yaitu solusi variabel pada suatu solusi basis berharga non-negatif

c. Solusi fisibel titik ekstrim, yaitu solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solsi fisibel lainnya (Supranto, 1991).

2.7.1. Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Maksimasi

Untuk menyelesaikan persoalan maksimasi program linear dengan mengunakan metode simpleks, terdapat beberapa langkah, yaitu:

1. Konversikan fungsi tujuan kedalam bentuk standar.

2. Mengubah fungsi batasan. Fungsi batasan yang bertanda ≤ (lebih kecil sama dengan) diubah menjadi fungsi sama dengan (=) dan menambah variabel slack (S) pada setiap batasan.

3. Memasukkan koefisien fungsi tujuan, fungsi batasan, dan nilai kanan ke dalam tabel simpleks.

4. Menentukan Kolom Kunci (KK). Kolom kunci dipilih dari nilaiterkecil dari baris Z.

5. Menentukan Baris Kunci (BK). Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya, mencari nilai indeks adalah koefisien nilai kanan dibagi koefisien kolom kunci, dari perhitungan indeks dipilih nilai indeks terkecil > 0.

6. Menentukan Angka Knci (AK). Angka kunci adalah angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.

7. Membuat baris kunci baru. Untuk membuat baris kunci baru mengikuti aturan berikut:

a. Membuat tabel baru

b. Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci

c. Mengisikan pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara membagi koefisien baris kunci dengan angka kunci.

8. Mengubah nilai pada baris lainnya (selain baris kunci) menjadi baris-baris pada tabel baru yang belun terisi.

9. Uji optimalisasi. Untuk mengetahui apaka sudah optimal atau belumsyaratnya adalah nilai pada baris Z ≥ 0 (sudah positif semua). Apabila syarat optimal belum terpenuhi, maka dilakukan pengulangan mulai dari langkah ke 3 (Zulfikarijah, 2004).

Contoh:

Maksimumkan : Z = 3x1 + 5x2 + 4x3 Kendala : x1 + 2x2 +3x3 ≤ 10 2x1 + 3x2 + x3≤ 16 3x1 + 2x2 + x3≤ 20

x1, x2, x3 ≥ 0 Penyelesaian

Bentuk standarnya menjadi:

Maksimumkan : Z = 3x1 + 5x2 + 4x3 Kendala : x1 + 2x2 +3x3 = 10 2x1 + 3x2 +x3 = 16 3x1 + 2x2 +x3 = 20 xj≥ 0, j = 1, 2, … , 6 Tabel 2.2 Iterasi 0

Basis / C 3 5 4 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6

X4 0 1 2 3 1 0 0 10

X5 0 2 3 1 0 1 0 16

X6 0 3 2 1 0 0 1 20

Zj - Cj -3 -5 -4 0 0 0 0

Tabel 2.3Iterasi 1

Basis / C 3 5 4 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6

X2 5 0,5 1 1,5 0,5 0 0 5

X5 0 0,5 0 -3,5 -1,5 1 0 1

X6 0 2 0 -2 -1 0 1 10

Zj - Cj -0,5 0 3,5 2,5 0 0 25

Tabel 2.4Iterasi 2

Basis / C 3 5 4 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6

X2 5 0 1 5 2 -1 0 4

X1 3 1 0 -7 -3 2 0 2

X6 0 0 0 12 5 -4 1 6

Karena baris Zj – Cj ≥ 0, maka persoalan telah optimal dengan maksimum Z =

26untuk X1 = 2, X2 = 4, X6 = 6 dan X3 = X4 = X5 = 0

2.7.2. Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Minimasi

Sama halnya dengan penyelesaian persoalan maksimasi, untuk persoalan minimasi juga mengunakan langkah-langkah penyelesaian, yaitu:

1. Konversikan fungsi tujuan kedalam bentuk standar.

2. Mengubah fungsi batasan. Fungsi batasan yang bertanda ≥ (lebih besar sama dengan) diubah menjadi fungsi sama dengan (=) dan menambah variabel slack (S) pada setiap batasan.

3. Memasukkan koefisien fungsi tujuan, fungsi batasan, dan nilai kanan ke dalam tabel simpleks.

4. Menentukan Kolom Kunci (KK). Kolom kunci dipilih dari nilai terbesar dari baris Z.

5. Menentukan Baris Kunci (BK). Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya, mencari nilai indeks adalah koefisien nilai kanan dibagi koefisien kolom kunci, dari perhitungan indeks dipilih nilai indeks terkecil.

6. Menentukan Angka Knci (AK). Angka kunci adalah angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.

7. Membuat baris kunci baru. Untuk membuat baris kunci baru mengikuti aturan berikut:

a. Membuat tabel baru

b. Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci

c. Mengisikan pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara membagi koefisien baris kunci dengan angka kunci.

8. Mengubah nilai pada baris lainnya (selain baris kunci) menjadi baris-baris pada tabel baru yang belun terisi.

9. Uji optimalisasi. Untuk mengetahui apaka sudah optimal atau belum syaratnya adalah nilai pada baris Z ≤ 0. Apabila syarat optimal belum terpenuhi, maka dilakukan pengulangan mulai langkah ke 3 (Zulfijarijah, 2004).

Contoh:

Minimumkan : x1 + 2x2 + 3x3≥8 Kendala : 3x1 + 2x2 + 3x3≥ 15

x1 + 2x2 + 2x3≥ 6 2x1 + 3x2 + 5x3≥ 20 x1, x2, x3, x4≥ 0 Penyelesaian

Bentuk standarnya menjadi:

Minimumkan : Z = 9x1 + 12x2 + 16x3 Kendala : x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + x8=8

3x1 + 2x2 + 3x3 – x5 + x9=15 x1 + 2x2 + 2x3 – x6 + x1= 6 2x1 + 3x2 + 5x3 – x7 + x11= 20 xj ≥ 0, (j = 1, 2, … , 11)

Tabel 2.5 Iterasi 0

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X8 M 1 2 3 -1 0 0 0 1 0 0 0 8

X9 M 3 2 3 0 -1 0 0 0 1 0 0 15

X10 M 1 2 2 0 0 -1 0 0 0 1 0 6

X11 M 2 3 5 0 0 0 -1 0 0 0 1 20

Zj – Cj 7M-9 9M-12

13M-16 -M -M -M -M 0 0 0 0 49M

Tabel 2.6 Iterasi 1

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 1/3 2/3 1 -1/3 0 0 0 1/3 0 0 0 8/3

X9 M 2 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 7

X10 M 1/3 2/3 0 2/3 0 -1 0 -2/3 0 1 0 2/3

X11 M 1/3 -1/3 0 5/3 0 0 -1 -5/3 0 0 1 20/3

Zj – Cj 8/3M -11/3/3

1/3M

-4/3 0

10/3M

-16/3 -M -M -M

-13/3M

+16/3 0 0 0

43/3M +128/3

Tabel 2.7 Iterasi 2

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 1/2 1 1 0 0 -1/2 0 0 0 1/2 0 3

X9 M 3/2 -1 0 0 -1 3/2 0 1 1 -3/2 0 6

X4 9 1/2 1 0 1 0 -3/2 0 -1 0 3/2 0 1

X11 M -1/2 -2 0 0 0 5/2 -1 0 0 -5/2 1 5

Zj – Cj M+

7/2

-3M

+13 0 9 -M

4M

-43/2 -M

-9

0 -5M

+43/2 0

11M +57

Tabel 2.8 Iterasi 3

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 2/5 3/5 1 0 0 0 -1/5 0 0 0 -1/5 4

X9 M 9/5 1/5 0 0 -1 0 3/5 1 1 0 -3/5 3

X4 0 1/5 -1/5 0 1 0 0 -3/5 -1 0 0 3/5 4

X6 0 -1/5 -4/5 0 0 0 1 -2/5 0 0 -1 2/5 2

Zj – Cj 9/5M -13/5

1/5M

-12/5 0 0 -M 0

3/5M

-16/5 0 0 -M

-8/5M -16/5

3M +64

Tabel 2.9 Iterasi 4

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 0 5/9 1 0 2/9 0 -1/3 -2/9 -2/9 0 1/15 10/3

X1 9 1 1/9 0 0 -5/9 0 1/3 5/9 5/9 0 -1/3 5/3

X4 0 0 -2/9 0 1 1/9 0 -2/3 -10/9 -1/9 0 2/5 11/3

X6 0 0 -7/9 0 0 -1/9 1 -1/3 1/9 1/9 -1 1/3 7/3

Zj – Cj 0 -19/9 0 0 -13/9 0 -7/3 13/9

-M

13/9

-M -M

-29/15

-M 205/3 Karena baris Zj – Cj≤ 0, maka solusi optimal telah diperoleh.

2.8 Teori Dualitas

Idedasar yang melatar belakangi teori dualitas adalah bahwa setiap persoalan program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual.Sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut primal) juga memberi solusi pada dualnya.

Adapun hubungan antara primal dan dual adalah sebagai berikut:

1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual dan untuk setiap variabel

primal ada satu pembatas dual.

3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya. 4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya). 5. Setiap kolom pada primal berkorespndensi dengan baris (pembatas) pada dual 6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkosrespodensi dengan kolom pada dual. 7. Dual dari dual adalah primal.

Untuk lebih jelas lagi dapat dilihat pada tabel (Zulfikarizah, 2004) Tabel 2.10Perbandingan Primal dan Dual

Primal Dual

# = 4)> % = >

' (

Pembatas: % ) > ≤

' (

* ; 0 = 1, 2, … , 7 Syarat: > ≥ 0 ; 6 = 1, 2, … , 7

# = 407 % * ?

; (

Pembatas: % ) ? ≤

' (

= ; 6 = 1, 2, … , 7 Syarat: ? ≥ 0 ; 0 = 1, 2, … , 7

26untuk X1 = 2, X2 = 4, X6 = 6 dan X3 = X4 = X5 = 0

2.7.2. Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Minimasi

Sama halnya dengan penyelesaian persoalan maksimasi, untuk persoalan minimasi juga mengunakan langkah-langkah penyelesaian, yaitu:

1. Konversikan fungsi tujuan kedalam bentuk standar.

2. Mengubah fungsi batasan. Fungsi batasan yang bertanda ≥ (lebih besar sama dengan) diubah menjadi fungsi sama dengan (=) dan menambah variabel slack (S) pada setiap batasan.

3. Memasukkan koefisien fungsi tujuan, fungsi batasan, dan nilai kanan ke dalam tabel simpleks.

4. Menentukan Kolom Kunci (KK). Kolom kunci dipilih dari nilai terbesar dari baris Z.

5. Menentukan Baris Kunci (BK). Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya, mencari nilai indeks adalah koefisien nilai kanan dibagi koefisien kolom kunci, dari perhitungan indeks dipilih nilai indeks terkecil.

6. Menentukan Angka Knci (AK). Angka kunci adalah angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.

7. Membuat baris kunci baru. Untuk membuat baris kunci baru mengikuti aturan berikut:

a. Membuat tabel baru

b. Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci

c. Mengisikan pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara membagi koefisien baris kunci dengan angka kunci.

8. Mengubah nilai pada baris lainnya (selain baris kunci) menjadi baris-baris pada tabel baru yang belun terisi.

9. Uji optimalisasi. Untuk mengetahui apaka sudah optimal atau belum syaratnya adalah nilai pada baris Z ≤ 0. Apabila syarat optimal belum terpenuhi, maka dilakukan pengulangan mulai langkah ke 3 (Zulfijarijah, 2004).

Minimumkan : x1 + 2x2 + 3x3≥8

Kendala : 3x1 + 2x2 + 3x3≥ 15

x1 + 2x2 + 2x3≥ 6

2x1 + 3x2 + 5x3≥ 20

x1, x2, x3, x4≥ 0

Penyelesaian

Bentuk standarnya menjadi:

Minimumkan : Z = 9x1 + 12x2 + 16x3

Kendala : x1 + 2x2 + 3x3 – x4 + x8=8

3x1 + 2x2 + 3x3 – x5 + x9=15

x1 + 2x2 + 2x3 – x6 + x1= 6

2x1 + 3x2 + 5x3 – x7 + x11= 20

Tabel 2.5 Iterasi 0

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X8 M 1 2 3 -1 0 0 0 1 0 0 0 8

X9 M 3 2 3 0 -1 0 0 0 1 0 0 15

X10 M 1 2 2 0 0 -1 0 0 0 1 0 6

X11 M 2 3 5 0 0 0 -1 0 0 0 1 20

Zj – Cj 7M-9 9M-12

13M-16 -M -M -M -M 0 0 0 0 49M

Tabel 2.6 Iterasi 1

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 1/3 2/3 1 -1/3 0 0 0 1/3 0 0 0 8/3

X9 M 2 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 7

X10 M 1/3 2/3 0 2/3 0 -1 0 -2/3 0 1 0 2/3

X11 M 1/3 -1/3 0 5/3 0 0 -1 -5/3 0 0 1 20/3

Zj – Cj 8/3M

-11/3/3

1/3M

-4/3 0

10/3M

-16/3 -M -M -M

-13/3M

+16/3 0 0 0

43/3M +128/3

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 1/2 1 1 0 0 -1/2 0 0 0 1/2 0 3

X9 M 3/2 -1 0 0 -1 3/2 0 1 1 -3/2 0 6

X4 9 1/2 1 0 1 0 -3/2 0 -1 0 3/2 0 1

X11 M -1/2 -2 0 0 0 5/2 -1 0 0 -5/2 1 5

Zj – Cj M+

7/2

-3M

+13 0 9 -M

4M

-43/2 -M

-9

0 -5M

+43/2 0

11M +57

Tabel 2.8 Iterasi 3

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 2/5 3/5 1 0 0 0 -1/5 0 0 0 -1/5 4

X9 M 9/5 1/5 0 0 -1 0 3/5 1 1 0 -3/5 3

X4 0 1/5 -1/5 0 1 0 0 -3/5 -1 0 0 3/5 4

X6 0 -1/5 -4/5 0 0 0 1 -2/5 0 0 -1 2/5 2

Zj – Cj

9/5M -13/5

1/5M

-12/5 0 0 -M 0

3/5M

-16/5 0 0 -M

-8/5M -16/5

3M +64

Tabel 2.9 Iterasi 4

Basis / C

9 12 16 0 0 0 0 M M M M

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11

X3 16 0 5/9 1 0 2/9 0 -1/3 -2/9 -2/9 0 1/15 10/3

X1 9 1 1/9 0 0 -5/9 0 1/3 5/9 5/9 0 -1/3 5/3

X4 0 0 -2/9 0 1 1/9 0 -2/3 -10/9 -1/9 0 2/5 11/3

X6 0 0 -7/9 0 0 -1/9 1 -1/3 1/9 1/9 -1 1/3 7/3

Zj – Cj 0 -19/9 0 0 -13/9 0 -7/3

13/9 -M

13/9

-M -M

-29/15

-M 205/3

Karena baris Zj – Cj≤ 0, maka solusi optimal telah diperoleh.

program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual.Sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut primal) juga memberi solusi pada dualnya.

Adapun hubungan antara primal dan dual adalah sebagai berikut:

1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual dan untuk setiap variabel

primal ada satu pembatas dual.

3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya. 4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya). 5. Setiap kolom pada primal berkorespndensi dengan baris (pembatas) pada dual 6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkosrespodensi dengan kolom pada dual. 7. Dual dari dual adalah primal.

Untuk lebih jelas lagi dapat dilihat pada tabel (Zulfikarizah, 2004)

Tabel 2.10Perbandingan Primal dan Dual

Primal Dual

# = 4)> % = > ' (

Pembatas:

% ) > ≤ '

(

* ; 0 = 1, 2, … , 7

Syarat: > ≥ 0 ; 6 = 1, 2, … , 7

# = 407 % * ? ; (

Pembatas:

% ) ? ≤ '

(

= ; 6 = 1, 2, … , 7