BAB XVIII Notasi Sigma Barisan Deret (1)

BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA Notasi Sigma :

  =

   ⁿ _{i i i}

   

   ^{p n} _{p m i} ^{p i} U 9. a.

     

  =

   ^{p n} _{p m i} ^{p i} U

     

  U

    ^{n i i}

    ^{n m i i}

  ; dimana 1< m < n 8.

    ^{n m i i} U ₁

  U ₁

    ^{m i i}

  =

  U ₁

    ^{n i i}

  V U ₁ ² ) ( =

  U ₁ ²

    

  V U 

  Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b Bentuk umum deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana: a = suku pertama b = beda n = banyak suku

  , U _n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b). b = U ₂ - U ₁ = U ₃ - U ₂ = U _n - U _{1  n}

   ⁿ

  Suatu barisan U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U ₁

  V ₁ ² Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):

   ^{n i i}

  1

  U ₁ ²

  V U 

    ^{n i i}

  =

  V U ₁ ² ) (

   ⁿ _{i i i}

   

  V ₁ ² b.

   ^{n i i}

  1

   ¹ ₂ ^{1 n} _i ⁱ U 7.

  =

  

   ⁿ _{i i i}

  

  adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola.

    ^{n i i}

  KU ₁

  = K

    ^{n i i}

  U ₁ 5.

   

  V U ₁ ) ( = 

  merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Bentuk umum notasi sigma:

   ^{n i i} U ₁

   

   ^{n i i}

  V ₁ 6.

    ^{n i i}

  U ₁

  =

    

   ^{1 1 n} _i ⁱ U

• 
• 2 _i ⁿ _{i i}
• 
• 2 _i ⁿ _{i i}
• 

    ^{n k k}

  U ₁

  = nK ; dimana K adalah konstanta 4.

  K ₁

  U ₁ 3.

    ^{n i i}

  U ₁

  = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n

    ^{n i i}

  dibaca penjumlahan suku U _i untuk i=1 sampai dengan i=n i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan Contoh: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan notasi sigma yaitu

  =

    ^{50 1}

  2 _i i Sifat-sifat notasi sigma: 1.

    ^{n i i}

  U ₁

  = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n 2.

    ^{n i i}

  U ₁

    ^{n i}

  Rumus-rumus :

  2 ^' n

  b. jika banyaknya suku =3 U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ k suku k suku banyaknya suku baru: n ^' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k

  c. . jika banyaknya suku =4 U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ ,…, U ₄ k suku k suku k suku banyaknya suku baru: n ^' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ^' = n + (n-1) k

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n ^' ) S _n ^' =

  2 ^' n

  (a + _n

  U ^'

  ) atau S _n ^' = {

  (2a + (n ^' -1) b ^' } _n

  U

  U ^'

  = _n

  U maka,

  S _n ^' =

  2 ^' n

  (a + _n

  U

  ) contoh soal sisipan :

  a. jika banyaknya suku =2 U ₁ , …,U ₂ k suku banyaknya suku baru: n ^' = 2 + k = 2 +(2-1)k

  = _n

  1. Suku ke n barisan aritmetika (U _n ) ditulis sbb: U _n = a + (n-1) b

  3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U _t ) ditulis sbb: U _t =

  2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S _n ) ditulis sbb: S _n = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n =

  2

  n

  (a + U _n ) =

  2

  n

  (2a +(n-1) b) hubungan U _n dan S _n adalah: U _n = S _n - S _{1  n}

  2

  U ^'

  1 (a + U _n )

  Sisipan: Suatu barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ^' ), (a+2 b ^' ),…,(a+k b ^' ),{a+(k+1) b ^' },… k buah bilangan sisipan U ₁ barisan lama U ₂ barisan lama dengan b ^' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan

  1. Beda barisan baru (b ^' ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ^' b = (k+1) b ^' b ^' = 1  k

  b

  b = beda deret lama b ^' = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan

  2. Menentukan banyaknya suku baru (n ^' ) Barisan lama : U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U ₁

   ⁿ

  , U _n Barisan baru: U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ ,…, U ₄ ,… U _n k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa _n

  1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .

  , ar ⁿ

   r r a ⁿ

  Bentuk umum barisan geometri:

  a, ar, ar ² , ar ³ , . . . , ar ¹

   ⁿ

  , ar ⁿ Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar ² + ar ³ + . . . + ar ¹

   ⁿ

  Rumus-rumus:

  1. Suku ke n barisan geometri (U _n ) ditulis sbb: U _n = ar ¹

   ⁿ

  2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S _n ) ditulis sbb: S _n =

  1 ) 1 ( 

  untuk r >1 S _n =

  = . . .= ₁

  r r a ⁿ  

  1 ) 1 (

  untuk r <1 Hubungan U _n

   dan S _n

  U _n = S _n - S ₁

   ⁿ

  3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U _t ) adalah : U _t = _n

  U a.

  Sisipan: Suatu barisan geometri:

  a, ar, ar ² , ar ³ , . . . , ar ¹

   ⁿ

   ^{n n} U U

  U

  jawab: banyaknya suku awal = 2 n deret setelah sisipan 60+ … + 110 10 bilangan Banyaknya suku baru: n ^' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : S _n ^' =

  = ₂ ³ U

  U

  Jadi r = ₁ ² U

• ar ⁿ a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio

  Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):

  1 

  2 ^' n

  (a + _n

  U

  ) =

  2

  12 (60+110)

  = 1020

  2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk Jawab: dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k = 4 beda barisan yang baru: b ^' =

  k b

  10 {2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140

  =

  Suatu barisan U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U _{1  n} , U _n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).

  4

  10 

  = 2 Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : S _n ^' = {

  2 ^' n

  (2a + (n ^' -1) b ^' } S ₁₀ =

  2

  1

  1 + . . . Berapakan jumlah deret tsb? jawab:

  

  Barisan geometri tak hingga:

  Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret : a + ar + ar ² + ar ³ + . . . + ar ¹

   ⁿ

  disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar ² + ar ³ + . . . disebut deret tak hingga (n nya tak hingga) Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :

  1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1 S

  

  =

  r a

  1 ; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)

  16 

  2. Bila |r| > 1 S

  

  =

  

  ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai) Contoh deret tah hingga:

  1. Diketahui deret geometri :

  2

  1

  1

  = ^{4 4} 2 = 2

  = ^{1 3}

  r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan

  apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb:

  a, ar ^' , a(r ^' ) ² , a(r ^' ) ³ ,…, a(r ^' ) ^k , a(r ^' ) ¹

   ^k

  ,… k buah bilangan sisipan U ₁ barisan lama U ₂ barisan lama r ^' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan

  1. Banyaknya suku baru: n ^' = n + (n-1) k

  2. Rasio baru (r ^' ) : hubungan rasio lama dan baru ar = a(r ^' ) ^{1  k} r = (r ^' ) ¹

   ^k

  r ^' = ¹

   ^k r

• ar ⁿ

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n ^' ): Jumlah n suku pertama setelah sisipan : S _n ^' =

   ^k r

  1 ] [( 1 ) _' ^{' ' '} 

   r r a ⁿ

  ; r ^' > 1 atau S _n ^' = _' ^{' '}

  1 ] ) ( 1 [ ^' r r a ⁿ

   

  ; r ^' < 1 Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.

  Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768 3 sisipan Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n ^' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5 rasio barisan lama , r =

  48 768

  = 16 Rasio barisan baru, r ^' = ¹

• 8
• 32

  Induksi Matematika:

  1

  1

  1

8 Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu

  Diketahui : a = ; r = =

  1

  2

  4 pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap

  2 bilangan asli.

  1 Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika r = memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka

  4 adalah: konvergen.

  1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1

  1

  1

  2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k

  a

  4

  2

  2

2 S = = = = =

  3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1

  

  1

  3

  1  r

  6

  3

  1 

  4

  4

  contoh induksi matematika:

  2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai

  1. Buktikan jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ? langkah 1 : jawab: untuk n = 1 diketahui S = 10 ; a = 5

  

  masukkan nilai n =1 karena S = 10 maka deret tak hingga ini adalah

  

  2n = n (1+n) konvergen. 2.1 = 1 (1+1)

  a

  2 = 2  terbukti S =

  

  1  r langkah 2 :

  5

  5 10 = ; 1 - r = 1  r

  10 untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi

  1

  1

  1 1 – r = ; r = 1 - =

  2

  2 2 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :

1 Jadi rasionya: r =

  2 untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2 jumlah 5 suku pertamanya: 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) Karena r <1 maka _n jika n = k +1 didapat :

  a ( 1 r )  a n n

  S = = ( 1 - r ) = S ( 1 - r ) _{n }

  1 r

  1 r

   

  2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)

  1 ⁵

1 S = 10 [1 – ( ) ] = 10 ( 1 - )

  ₅ k(1+k)

  2

  32 31 310

  22 = 10 . = = 9

  Catatan:

  32

  32

32 Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1

  Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2)  ini yang akan dibuktikan ruas kanan dijabarkan jika n = k +1 didapat : ₂ k (1+k) + 2 (k+1) = k + k + 2k +2

  1

  1

  1

  1

  1

• . . . + + + +

  k k k ₂

  2

  6 12 ( 

  1 ) (  k 1 )(  2 )

  = k + 3k +2

  k

  = (k+1)(k+2)  terbukti

  k 

  1

  k

  1

  2. Buktikan = + _n

  k 

  1 ( k  k

  1 )(  2 ) 1 n

  =

   _{m 1 m ( m } 1 ) n 

  1

  

  Catatan:

  n

  jawab: Rumus kanan awal : , kita masukkan n = k+1

  n

  1 

  Nilai m dimasukkan menjadi

  k k

   1 

  1

  1

  1

  1

  1 n

  Menjadi =  ini yang akan dibuktikan

• . . . + = + +

  k

  1 1 k

  2   

  2

  6 12 n ( n 

  1 ) n 

  1 langkah 1 : ruas kanan dijabarkan :

  Untuk n = 1

  k

  1

  1

  1

  masukkan n=1 ruas kiri dan kanan

• =

  k

  1 ( k  k

  1 )(  2 ) ( k  k 1 )(  2 ) ( k  k 1 )(  2 )

  

  1 n

  =

  n ( n  1 ) n 

  1

  k k (  2 )

  1

  = +

  ( k  1 )( k  2 ) ( k  k 1 )(  2 )

  1

  1 =

  1 ( 1  1 )

  1 

  1

  k ( k  2 ) 

  1

  =

  ( k  1 )( k  2 )

  1

  1 =  terbukti

  2

  2 ₂

  k  2 k 

  1

  =

  ( k  1 )( k  2 )

  Langkah 2:

  ( k  1 )( k  1 )

  Untuk n = k =

  ( k  1 )( k  2 )

  Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi

  k

  

  1 =  terbukti

  1

  1

  1

  1 k k

  2 

• . . . + + + =

  2

  6 12 k ( k 

  1 ) k 

1 Langkah 3 :

  Untuk n = k+1 Berdasrakan langkah 2 :

  1

  1

  1 1 k

• . . . + =

  k ( k 1 ) k

  2

  6 12  

  1