SMA MA Rangkuman Matematika. pdf
MATEMATIKA
BAB 1
EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONEN
Definisi
Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan
bulat positif (bilangan asli), maka:
a n = a × a × a × a × ... × a
2.
Persamaan Eksponen
a.
b.
c.
a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g( x )
a f ( x ) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0
g(x)
h( x )
f ( x ) = f ( x ) maka:
n g(x) = h(x)
n f(x) = 1
n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/
ganjil
n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif
Dengan:
a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1.
Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a , b ∈ R ,
maka:
3. Pertidaksamaan Eksponen
a.
a m × a n = a m+ n
b.
a m : a n = a m −n , a ≠ 0
Jika a f ( x ) > ag ( x ) maka berlaku:
n f(x) > g(x) , untuk a > 1
n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1
c.
(a )
B. BENTUK AKAR
d.
(a b ) = a b
m n
m
= a mn
n p
mp
np
p
e.
f.
g.
a m a mp
n = np , b ≠ 0
b
b
a0 = 1 , a ≠ 0
1
a−n = n , a ≠ 0
a
Sifat-sifat Bentuk Akar
a.
n
a ⋅ b = a⋅b
a
a
=
b
b
b.
c.
d.
e.
an = a
n
m
am = a n
1
1
a 1
=
×
=
a
a
a
a a
kendi_mas_media@yahoo.com
C. LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga
hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
a
log b = c ⇔ a c = b
Di mana:
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau
a > 1,
2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari
logaritmanya, dengan b > 0,
3. c dinamakan hasil logaritma.
1. Sifat-Sifat Logaritma
Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a.
a
log b = c ⇔ a = b
b.
a
log b + a log c = a log bc
a
c.
d.
c
an
log b − a log c = a log
log bm =
b
c
m a
⋅ log b
n
BAB 2
p
e.
f.
log b
, dengan 0 < p < 1 ∨ p > 1
log a
1
a
log b = b
log a
a
log b =
g. a
a
log b
p
=b
log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d
h.
a
2.
Persamaan Logaritma
a
log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x)
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku:
I. Syarat Basis:
1. Untuk 0 < a < 1
f ( x ) ≥ g( x )
2. Untuk a > 1
f ( x ) ≤ g( x )
II. Syarat Numerus:
1. f (x) > 0
2. g(x) > 0
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
−b
c
x1 ⋅ x2 =
a
a
A. PERSAMAAN KUADRAT
x1 + x2 =
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2
ax 2 + bx + c = 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 .
1.
Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai:
1. akar real jika D ≥ 0 ,
2. akar real berlainan jika D > 0 ,
3. akar real kembar jika D = 0 ,
4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 ,
dengan D = b2 − 4ac .
2.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , maka:
x1 − x2 =
D
a
2
x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 )
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 )
3
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2 x1 ⋅ x2
3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar
persamaan kuadrat yang diketahui:
1. Kedua akarnya positif, jika:
x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
kendi_mas_media@yahoo.com
2.
dua titik.
ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x.
iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.
Kedua akarnya negatif, jika:
x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3.
Kedua akarnya berlainan tanda, jika:
2.
Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0
4.
Fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c mempunyai:
Kedua akarnya berlawanan, jika:
x1 + x2 = 0
5.
Kedua akarnya berkebalikan, jika:
x1 ⋅ x2 = 1
4.
1.
Sumbu simetri: x =
2.
Nilai ekstrem:
Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan
D
b2 − 4ac
=
−4a
−4a
Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.
Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
θ
Menentukan Persamaan Kuadrat
−b
2a
adalah
3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a.
x 2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0
Diketahui titik puncak (x p , y p ) dan titik lain
y = a(x − x p )2 + y p
B. FUNGSI KUADRAT
b.
(x2 ,0) serta titik lain
Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax 2 + bx + c
di mana a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai
fungsi kuadrat.
1.
Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan
y = a(x − x1 )(x − x2 )
c.
Diketahui tiga titik pada parabola
Hubungan a, b, c, dan D
y = ax 2 + bx + c
Fungsi kuadrat f (x) = ax + bx + c didapat hubungan:
a. “a” menentukan keterbukaan kurva.
i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas.
ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
2
a>0
4. Definit
a.
a 0 maka puncak berada di sebelah kiri
sumbu y.
Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah
kanan sumbu y.
“c” menentukan titik potong dengan sumbu y.
i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.
ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0).
iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.
Definit Positif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif
untuk semua x disebut definit positif.
Syarat:
D < 0 dan a > 0
Definit Negatif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif
untuk semua x disebut definit negatif.
Syarat:
D < 0 dan a < 0
d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan
sumbu x.
i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 3
PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUM
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR
Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c,
dan d ∈ R adalah sebagai berikut.
1. a > b maka a + c > b + c
2. a > b, c > d maka a + c > b + d
3. a > b, b > c maka a > c
4. a > b, c > 0 maka a c > b c
5. a > b, c < 0 maka a c < b c
Langkah penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas.
2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI
MUTLAK
6.
a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2
Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan:
7.
a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2
a
> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0
b
ìï x jika x > 0
ïï
x = ïí-x jika x < 0
ïï
ïïî 0 jika x = 0
Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:
1. x £ a Û -a £ x £ a
2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a
3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x) - g(x)) £ 0
f (x)
4.
£ k Û ( f (x) - k × g(x))( f (x) + k × g(x)) £ 0
g( x )
8.
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan
tanda pada ruas yang paling kanan.
Pangkat genap memiliki tanda yang sama.
Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
n
n
n
BAB 4
LOGIKA MATEMATIKA
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
A. DEFINISI
Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.
n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan menjadi pernyataan jika variabel
tersebut diganti konstanta dalam himpunan
semestanya.
Beberapa operator yang digunakan dalam logika.
n
No
1
Operator
Nama
Lambang
Negasi
~
p
q
~p
B
B
S
p∧q
B
p∨ q
B
pÞq
B
pÛ q
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
C. NEGASI/INGKARAN
No
Arti
Tidak, bukan
2
Konjungsi
Ù
dan, tetapi
3
Disjungsi
∨
atau
4
Implikasi
Þ
jika...maka
5
Biimplikasi
Û
jika dan hanya jika
Pernyataan
Negasi/Ingkaran
1
pÙq
pÚ q
2
pÚq
pÙ q
3
pÞq
pÙ q
4
pÛq
pÙ
q pÚ pÙ q
q
kendi_mas_media@yahoo.com
D. EKUIVALENSI
F.
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q
Modus Ponens
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n
n
n
Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p
Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q
Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p
BAB 5
Modus Tollens
Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:
n Metode eliminasi
n Metode substitusi
n Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
pÞq
p
(B)
(B)
pÞq
q
(B)
(B)
p Þ q (B)
q Þ r (B)
\ q
(B)
\ p (B)
\ p Þ r (B)
n
Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
n
m1 × m2 = -1
Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut
sebesar a dengan
tan a =
m1 - m2
1 + m1 × m2
Melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m, berlaku:
y − y1 = m(x − x1 )
2.
Garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) , berlaku:
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
3.
Sillogisme
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAAN
1.
PENARIKAN KESIMPULAN
Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di
titik (0, a) berlaku:
y
ax + by = a.b
a
b
x
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis
h : y = m2 x + c2 maka
Garis g dan h sejajar jika m1 = m2
n
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 6
STATISTIKA DAN PELUANG
Data kelompok:
A. STATISTIKA
∑ f c
1n−
2
Me = Q2 = tb +
fk
1. Rata-rata/mean ( x )
Data tunggal:
n
x + x + ... + xn
=
x= 1 2
n
∑x
n = banyak data,
xi = data ke-i,
i = 1, 2, 3, …, n.
i
i =1
n
tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
∑
fk = frekuensi kelas yang memuat Me
Data kelompok:
n
f x + f x + ... + fn xn
=
x= 1 1 2 2
f1 + f2 + ... + fn
∑fx
i i
fi = banyak data xi,
i =1
n
n = f1 + f2 + ... + fn .
∑f
4. Kuartil
Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah
terurut menjadi 4 bagian.
Data kelompok:
(∑ )
1n−
f
4
Q1 = tb1 +
f1
i
i =1
Kuartil bawah (Q1):
2. Modus (Mo)
Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak
atau data yang paling sering muncul.
n Data tunggal:
Contoh:
Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.
Modus dari data tersebut adalah 7.
n Data kelompok:
d1
Mo = tb +
c
d1 + d2
tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
c = panjang kelas
3. Median (Me/Q2)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah
diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau
kuartil tengah.
Data tunggal:
Me = x n +1
Jika n ganjil maka:
2
xn + xn
Jika n genap maka: Me =
2
2
Kuartil atas (Q3):
3
c
c
Dengan:
tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
( ∑ f )1 / ( ∑ f )3 = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3
f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3
5. Jangkauan (J)
n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:
J = xmax − xmin
n
Jangkauan antarkuartil (H):
H = Q3 − Q1
n
Jangkauan semi antarkuartil (Qd):
1
Qd = (Q3 − Q1 )
2
6. Simpangan rata-rata (SR)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑
| xi − x |
SR =
+1
(∑ )
3n−
f
4
Q3 = tb3 +
f3
1
i =1
n
2
kendi_mas_media@yahoo.com
∑ f |x − x |
i
SR =
i
i =1
n
∑f
i
i =1
7.
Ragam/variansi (R)
Data tunggal:
n
n
∑
i
R = S2 =
i =1
n
∑ f |x − x |
Notasi Faktorial
2
| xi − x |2
R = S2 =
A1 × A2 × A3 × ... × In
Data kelompok:
n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n
1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli
i
i =1
n
∑f
i
i =1
1.
8. Simpangan baku/deviasi standar (S)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑| x − x |
i
S=
∑ f |x − x |
i
i =1
S=
n
i
n
n
i =1
n
∑f
i
i =1
9. Perubahan data
Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang
sama, berlaku
Perubahan
data
+
x
:
Ukuran
pemusatan
+
x
:
Ukuran
penyebaran
TETAP
TETAP
x
:
Catatan:
Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,
Me, Q1 .
Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,
Qd, S, R.
P(n, r ) =
n
n!
(n − r )!
Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang
sama, n unsur yang sama dan unsur yang sama
adalah:
k!
cara
m!⋅ n!⋅ !
n
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur
adalah
(n – 1)!
2.
n
B. PELUANG
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:
n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama.
n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi.
n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga
setelah tempat pertama dan kedua terisi.
n An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n
setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia
secara keseluruhan adalah:
Permutasi
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda
dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA)
Rumus dan notasi yang digunakan dalam
permutasi adalah:
Banyaknya permutasi n unsur yang diambil
dari n unsur adalah P(n, r) = n!
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur:
n
n
Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa
memperhatikan urutan-nya (AB = BA).
Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan
dengan nCk atau C (n, k) .
Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n
unsur adalah
C (n, k) =
n!
(n − k)!k!
3. Peluang Kejadian
Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan
rumus:
P(A) =
n(A)
n(S)
n(S) = banyaknya anggota semesta
n(A) = banyaknya anggota A
P(A) = peluang kejadian A
kendi_mas_media@yahoo.com
b.
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
P(Ac ) = 1 − P(A)
5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah
FH(A) = n × P(A)
Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling
lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang
berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
c.
Kejadian Saling Bebas
A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila
kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian
lainnya.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
6. Peluang Kejadian Majemuk
a. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
BAB 7
TRIGONOMETRI
Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:
A
b
sin x =
c
c
a
cos x =
b
c
b
x
tan x =
C
B
a
a
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
Sin
0o
0
30o
½
Cos
1
½
3
Tan
0
1
3
3
45o
½
2
½
2
60o
3
½
1
90o
1
sin(90o - a) = cos a
sin(180o - a) = sin a
sin(90o + a) = cos a
sin(180o + a) = -sin a
cos(90o - a) = sin a
cos(180o - a) = -cos a
cos(90o + a) = -sina
cos(180o + a) = -cos a
tan(90o - a) = cot a
tan(180o - a) = - tan a
tan(90o + a) = -cot a
tan(180o + a) = tan a
sin(270o - a) = -cos a
sin(360o - a) = -sin a
sin(270o + a) = -cos a
sin(360o + a) = sin a
cos(270o - a) = -sin a
cos(360o - a) = cos a
½
0
cos(270o + a) = sin a
cos(360o + a) = cos a
3
~
tan(270o - a) = cot a
tan(360o - a) = - tan a
tan(270o + a) = -cot a
tan(360o + a) = tan a
B. SUDUT-SUDUT BERELASI
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
90o y
Kuadran II
Sin, Cosec
180o positif
Kuadran I
Semua positif
0o
Kuadran III
Kuadran IV
Tan, Cot
Positif
Cos, Sec
Positif
360o
Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:
sin x
2
2
1.
= tan x
4. tan x + 1 = sec x
cos x
1
= sec x
2. sin2 x + cos2 x = 1
5.
cos x
2
2
1
3.
6. 1 + cot x = cos ec x
= co sec x
sin x
kendi_mas_media@yahoo.com
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS
Pada setiap segitiga sembarang
ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
C
a
b
A
2sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
c
B
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan
cosinus, yaitu:
2cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y)
2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y)
-2sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y)
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TRIGONOMETRI
a.
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Sinus
sin x = sinα
x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α ) + k.360o
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
b.
Cosinus
cos x = cosα
x = ±α + k.360o
E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA
Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan
dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:
1
L = bc sin A
C
2
1
a
b
L = ac sin B
2
1
B
A
L = ab sinC
c
2
F.
c.
Tan
tan x = tanα
x = α + k.180o
k = ..., –1, 0, 1, 2, …
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
tan A + tan B
tan (A + B) =
1 − tan A ⋅ tan B
tan A − tan B
tan (A − B) =
1 + tan A ⋅ tan B
sin2 x = 2sin x cos x
cos2 x = cos2 x − sin2 x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x
tan2 x =
2tan x
1 − tan2 x
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS
1
1
sin A + sinB = 2sin (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
sin A − sin B = 2cos (A + B)sin (A − B)
2
2
1
1
cos A + cos B = 2cos (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
cos A − cos B = −2sin (A + B)sin (A − B)
2
2
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 8
DIMENSI TIGA
B. SUDUT
A. JARAK
n
n
Jarak Antara Dua Titik
Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan
kedua titik itu.
A
B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara
titik A dan titik B.
Jarak Titik ke Garis
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.
n
Sudut Dua Garis Bersilangan
Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara
melukis sudut antara garis g dan h adalah:
lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,
sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n
Sudut Antara Garis g dan Bidang V
Langkah:
proyeksikan garis g ke bidang V, sebut
hasilnya g’,
sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n
Sudut Antara Dua Bidang
Langkah:
tentukan perpotongan antara bidang V dan
W sebut l,
lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,
lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,
sudutnya = sudut antara garis g dan h.
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jarijari = r.
y
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
(a, b) r
A
g
B
n
AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g
yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak
lurus g.
Jarak antara Titik dengan Bidang
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke
bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik
proyeksinya pada bidang.
Jarak antara P dan bidang ditunjukkan oleh garis m yang tegak
lurus bidang.
BAB 9
LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
A. PERSAMAAN LINGKARAN
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
jari = r.
y
x2 + y2 = r 2
r
(0, 0)
x
(0, 0)
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan
menyinggung sumbu x:
kendi_mas_media@yahoo.com
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA
LINGKARAN
y
( x − a) + ( y − b) = b
2
(0, b)
2
2
r
1.
Diketahui titik singgungnya ( x1 , y1 )
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus:
n
x
n
x1 x + y1 y = r 2
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan
menyinggung sumbu y:
y
( x − a) + ( y − b) = a
2
(a, 0)
2
n
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 di titik (x1, y1). Rumus:
( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) = r 2
2
r
x
n
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan
menyinggung garis px + qy + r = 0.
y
px + qy + r = 0
(a, b)
( x − a )2 + ( y − b )2 = d 2
d
x
Dengan d =
adalah d.
ap + bq + r
p2 + q 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1)
pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
Rumus:
x1 x + y1 y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
2.
Diketahui gradien m
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
dan jari–jari r.
Rumus:
n
y = mx ± r 1 + m2
. Jari-jari lingkaran
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus:
y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m2
1.
Persamaan Umum Lingkaran
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Diberikan garis g:
2
2.
2
A B
A B
+ −C
Pusat − , − dan jari-jari r =
4
4
2 2
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan
L: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1,
y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L
adalah:
K = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c
n
n
n
K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar
lingkaran.
K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam
lingkaran.
K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.
y = mx + n dan lingkaran:
L ≡ x + y = r . Hubungan antara garis g dan lingkaran
L dapat diselidiki dengan cara:
n
Substitusi garis g ke L.
n
Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,
yaitu:
1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada
dua titik,
2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada
satu titik (garis menyinggung lingkaran),
3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.
2
2
2
1
2
kendi_mas_media@yahoo.com
3
BAB 10
SUKU BANYAK
Bentuk umum:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0,
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1,
a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masingmasing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta
real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap
(konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka
sisanya = f( b ).
n
Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x)
maka f(a) = 0.
a
D. TEOREMA FAKTOR
n
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:
1. Cara Substitusi
Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak
tersebut untuk x = 1 adalah
f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5
2. Metode Horner
Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka
f(h) diperoleh cara sebagai berikut.
a
b
c
d
h
a
n
ah
ah2 + bh
ah3 + bh2 + ch
ah + b
ah2 + bh + c
ah3 + bh2 + ch + d
n
n
E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK
n
+
Berarti kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh
suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka
didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x),
secara matematis pembagian ini dapat ditulis:
f(x) = h(x) g(x) + s(x)
Keterangan:
f(x) = yang dibagi
g(x) = pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa
Catatan: k < n
à berderajat n
à berderajat k
à berderajat (n – k)
à berderajat (k – 1)
Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat
nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor
dari suku banyak f(k).
Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b)
= 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah
akar dari f(x).
n
Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
b
1. x1 + x2 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a
d
3. x1 . x2 . x3 = −
a
Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
b
1. x1 + x2 + x3 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =
a
d
3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = −
a
e
4. x1 .x2 .x3 .x4 =
a
C. TEOREMA SISA
n
n
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka
sisanya = f(a).
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka
sisanya = f(–a).
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 11
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika
ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan
A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut
daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B
yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau
range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan
setiap anggota domain dengan tepat satu kawan
dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .
f
x
A
Sehingga jika f(x) = y maka f (y) = x. Fungsi invers
berlaku:
Rumus,
g
x
f(x)
f ( x) =
g(f(x))
B
gof
C
ax + b
-dx + b
Þ f -1 ( x ) =
cx + d
cx - a
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
( g f )( x ) = f ( f ( x ) )
f
Sifat-sifat fungsi komposisi:
n
n
B
f (a) = b ⇔ f -1 (b) = a
f
n
f-1
-1
A. FUNGSI KOMPOSISI
A
f(x)
g
x
f g ≠ g f
f (g h) = ( f g) h = f g h
I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku I f = f I dan f f −1 = f −1 f = I
f(x)
B
gof
A
g(f(x))
C
(gof)-1
Sifat:
( g f )−1 ( x ) = ( f −1 g −1 ) ( x )
B. FUNGSI INVERS
Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi
itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan f −1 (x) .
BAB 12
LIMIT
A. TEOREMA LIMIT
n
Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, dengan k konstanta,
x →a
k dan a ∈ real
n
Jika f(x) = x, maka lim f(x) = a
n
n
lim k. f(x) = k. lim f(x), k konstanta
n
lim { f(x). g(x)} = lim f(x). lim g(x)
x →a
x →a
x →a
f ( x)
f (x) lim
x →a
lim
, lim g(x) ≠ 0
=
x →a g( x )
lim g(x) x→a
n
lim { f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
n
{
}
lim{ f (x)} = lim f (x)
n
x →a
x →a
n
kendi_mas_media@yahoo.com
C. LIMIT TRIGONOMETRI
B. LIMIT ALJABAR
1.
a.
b.
2.
0
0
Bentuk
∞
∞
n
a
p
Untuk n > m ⇒ L = ∞
n
Untuk n < m ⇒ L = 0
sin mx m
=
nx
n
sin m(x − a) m
lim
=
x →a
n(x − a)
n
lim
x →0
Beberapa rumus bantu:
ax n + bx n−1 + ... + c
lim m
=L
x →∞ px + qx m−1 + ... + r
3.
x →0
Dengan pemfaktoran.
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
F (x)
F '(x) F '(a)
lim
= lim
=
x →a G( x )
x →a G '( x )
G '(a)
Bentuk tak tentu
n
sin x
=1
x
x
lim
=1
x →0 sin x
tan x
lim
=1
x →0
x
x
lim
=1
x →0 tan x
lim
Untuk n = m ⇒ L =
1.
2.
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
3.
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4.
1 – cos 2x = 2 sin 2 x
5.
1 + cos 2x = 2cos 2 x
Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Rumus cepat:
lim
x ®¥
(
)
b-q
( Jika a = p)
2 a
= ( Jika a > p)
= - ( Jika a < p)
ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r =
BAB 13
TURUNAN
A. DEFINISI
3.
y ' = f '(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4.
Turunan perkalian fungsi.
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)
B. RUMUS DASAR
1.
5.
Turunan suatu konstanta c.
Jika y =
Jika y = c maka y’ = 0
2.
Turunan perkalian fungsi dan konstanta.
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)
Turunan pembagian fungsi.
6.
u '(x).v(x) − u(x).v '(x)
u(x)
maka y ' =
v 2 (x)
v(x)
Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).
Jika y = f(g(x)) adalah
kendi_mas_media@yahoo.com
dy dy dg
= .
dx dg dx
7.
Turunan fungsi pangkat.
Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1.
m =f ’(x1)
Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n−1
Persamaan garis singgungnya:
Turunan Trigonometri
y − y1 = m(x − x1 )
n
n
f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax
f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax
n
f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec ax
C. PENERAPAN TURUNAN
n
Gradien (m) garis singgung di titik ( x1 , y1 ) pada
kurva f(x)
m = f’(x)
f(x)
BAB 14
C. INTEGRAL PARSIAL
∫ f ′(x)dx = f (x) + C
∫ UdV = UV − ∫VdU
D. LUAS DAERAH
A. RUMUS DASAR
3.
4.
5.
6.
7.
8.
∫ a dx = ax + C
1
∫ x dx = n + 1 x
n
Keadaan stasioner
Bila keadaan stasioner terjadi di titik (x1 , y1 ) maka
f’(x1) = 0. y1 = f (x1 ) disebut nilai stasioner.
Jadi nilai maksimal/minimum adalah . (x1 , f (x1 ))
Catatan:
Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/
titik balik.
INTEGRAL
Integral adalah anti turunan.
2.
Interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Kurva naik jika: f’(x) > 0
Kurva turun jika: f’(x) < 0
n
( x1 , y1 )
1.
n
2
b
n+1
L = ∫ ( yatas − ybawah ) dx
+ C , syarat n ≠ −1
a
1
∫ x dx = ln x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
b
L = ∫ ( y2 − y1 )dx
a
∫ cos x dx = sin x + C
1
∫ s in x c os xdx = m + 1s in
m+1
m
−1
x +C
d
∫ cos x sinx dx = m + 1 cos x + C
∫ ( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
m
m+1
∫ f '(x) ⋅ ( f (x)) dx =
c
d
L = ∫ ( x2 − x1 ) dy
c
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
n
L = ∫ ( xkanan − xkiri )dy
( f (x))n+1
n+1
+C
kendi_mas_media@yahoo.com
E. VOLUME BENDA PUTAR
Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p ≤ x ≤ q , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila
diputar terhadap sumbu x.
Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r ≤ x ≤ s , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2
terhadap sumbu y.
q
V = π ∫ (y2 )2 − (y1 )2 dx
p
q
V = π ∫ (y jauh )2 − (ydekat )2 dx
p
s
V = π ∫ (x2 )2 − (x1 )2 dy
r
s
V = π ∫ (x jauh )2 − (xdekat )2 dy
r
BAB 15
PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu bagian dari
matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai
persoalan sehari-hari, di mana model matematika
terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier
yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau
lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian
optimum).
n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model
matematika kendala/syarat/masalah berupa sistem pertidaksamaan linear.
n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih
dahulu membuat model matematika. Sasaran program berupa sebuah fungsi linier yang disebut
fungsi sasaran/tujuan/objektif.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan
Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan
sebagai berikut.
n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.
n Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 .
n Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah
penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 .
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok
atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum
(maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentukan dengan:
Penggunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C , maka
garis selidiknya adalah Ax + By + C = k .
n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.
n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.
Pengujian Titik Pojok
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C disubstitusi
dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil
yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum
dari fungsi objektif tersebut.
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 16
BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMATIKA
n
Suku pertama = U1 = a
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang
berurutan besarnya sama.
Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.
n
n
U U
U
Rasio ⇒ r = 2 = 3 = ... = n
Un−1
Suku ke-n U1 U2
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan aritmatika maka:
n
Suku pertama = U1 = a
n
n
Beda ⇒ b = U2 − U1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1
Suku ke-n
Un = a + (n − 1)b
n
Jumlah n suku pertama (Sn )
Un = a ⋅ r n−1
n
Sn =
1−r
atau Sn =
a ( r n − 1)
r −1
n
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
a
S∞ =
1−r
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
a
Sganjil =
1 − r2
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:
B. BARISAN GEOMETRI
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan geometri, maka:
a (1 − r n )
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
n
n
Sn = (2a + (n − 1)b) atau Sn = (a + Un )
2
2
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan
adalah sama.
Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2
Jumlah n suku pertama (Sn )
Sgenap =
n
ar
1 − r2
Rasio deret geometri tak hingga:
Sgenap
r=
Sganjil
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen
jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 .
BAB 17
MATRIKS
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang
disusun dalam baris dan kolom.
Contoh:
a11 a1n
A=
a
m1 amn
Dengan:
a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan
kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan
banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m ×
n, dan ditulis Amn.
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika:
1. ordonya sama
2. anggota yang seletak harus sama
kendi_mas_media@yahoo.com
Contoh:
a1 a2 a3
A=
a4 a5 a6
Determinan matriks B:
b1 b2 b3
B=
b4 b5 b6
a b c
det B = B = d e f
g h i
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3,
a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
Transpose Matriks
Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan
kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu
matriks baru yang disebut transpose matriks.
– – –
a b c
d e f
g h i
+ + +
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
C. INVERS
n
Suatu matriks mempunyai invers jika
determinannya tidak nol.
a b
1 d −b
⇒ A−1 =
A=
ad − bc −c a
c d
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.
n
Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
a b
n Matriks 2 × 2: A =
c d
n
(A )
Transpose matriks A = At = AT
B. DETERMINAN
n
Determinan matriks A: det A = A = ad − bc
identitas.
2.
1 0 0
I3 x 3 = 0 1 0 , I = matriks
0 0 1
B(x2 , y2 , z2 )
AB = B − A = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya
adalah pusat koordinat.
Vektor posisi dari titik A adalah OA = a .
Sehingga dari definisi vektor posisi AB = b − a .
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan
arah yang sama.
3.
Jika a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
4.
Jika k adalah skalar, dan a = ( a1 , a2 , a3 ) maka
ka = ( ka1 , ka2 , ka3 )
Vektor Satuan
n Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan.
n
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
a1
a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1 , a2 , a3 ) = a2
a
3
Panjang vektor a dinotasikan sebagai
a = a12 + a22 + a32
a dibaca “vektor a”.
1.
1 0
0 1
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan
arah. Notasi vektor: a , b, c , dan seterusnya.
A(x1 , y1 , z1 )
=A
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Dengan: I2×2 =
a b c
n Matriks 3 × 3: B = d e f
g h i
BAB 18
−1 −1
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0 )
dan vektor satuan searah sumbu y adalah
j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z
adalah k = ( 0, 0, 1 ) .
n
Vektor satuan dari a adalah
kendi_mas_media@yahoo.com
a
a
.
C. PROYEKSI
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p adalah vektor posisi
dari titik P yang membagi garis
AB dengan perbandingan
ab
θ
AP : PB = m : n , maka
m.b + n.a
p=
m+n
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
Diketahui a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a.b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
n
n
Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):
a.b
c = a cosθ =
b
Vektor c proyeksi vektor a pada b :
a.b
c = 2 .b
b
( )
Diketahui a , b dan ∠ a , b = α maka
a.b
a.b = a . b .cosθ ⇔ cos θ =
a.b
BAB 19
a bc
Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka:
n
n
bc
TRANSFORMASI GEOMETRI
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
a b
MT
MT =
maka P(x , y) → P '(x ', y ') dengan
c d
B. REFLEKSI/PENCERMINAN
n
x ' a b x
y ' = c d y
A. TRANSLASI
n
1 0
Matriks transformasinya adalah
0 −1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y
menghasilkan bayangan P’(–x, y).
sumbu y
P(x , y)
→ P '(− x , y)
n
−1 0
Matriks transformasinya adalah
0 1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x
menghasilkan bayangan P’(y, x).
garis y =x
P(x , y) →
P '(y , x)
Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
x ' x a
a
= , maka = + . Jadi P '(x + a , y + b) .
y' y b
b
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan P’(x, –y).
sumbu x
P(x , y)
→ P '(x , −y)
0 1
Matriks transformasinya adalah
1 0
kendi_mas_media@yahoo.com
n
n
Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x
menghasilkan bayangan P’(–y, –x)
garis y =− x
P(x , y)
→ P '(−y , − x)
0 −1
Matriks transformasinya adalah
−1 0
Matriks refleksi terhadap garis y = x + k
x ' 0 1 x 0
y ' = 1 0 y − k + k
n
Matriks refleksi terhadap y = –x + k
x ' 0 −1 x 0
y ' = −1 0 y − k + k
n
Refleksi terhadap garis x = h
x =h
P(x , y)
→ P '(2h − x , k)
n
Refleksi terhadap garis y = k
y =k
P(x , y)
→ P '(x ,2k − y)
n
Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k
x =h ,y =k
P(x , y)
→ P '(2h − x ,2k − y)
n
Pencerminan terhadap dua garis yang saling
berpotongan
Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan
yaitu garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2
akan menghasilkan rotasi dengan:
a. pusat di titik potong dua garis,
b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat
sudut antara kedua garis,
c. arah rotasi sama dengan arah dari garis
pertama ke garis kedua.
Jika α sudut yang dibentuk antara garis
y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka
m1 − m2
tanα =
.
1 + m1 ⋅ m2
n
Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
x '− a cosα
y '− b = sinα
− sinα x − a
cosα
y − b
D. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah
ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan
faktor dilatasi (faktor skala).
n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k
adalah
k 0
0 k
n
n
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k
x ' k 0 x
y ' = 0 k y
Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k
x '− a k 0 x − a
y '− b = 0 k y − b
E. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi T1 bersesuaian dengan matriks M1
C. ROTASI
dan transformasi T2 bersesuaian dengan matriks M2 ,
Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan
oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi
itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam,
berlaku sebaliknya.
n Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis T2 T1
x ' cosα
y ' = sinα
bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 .
− sinα x
cosα
y
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 1
EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONEN
Definisi
Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan
bulat positif (bilangan asli), maka:
a n = a × a × a × a × ... × a
2.
Persamaan Eksponen
a.
b.
c.
a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g( x )
a f ( x ) = b f ( x ) ⇒ f (x) = 0
g(x)
h( x )
f ( x ) = f ( x ) maka:
n g(x) = h(x)
n f(x) = 1
n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/
ganjil
n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif
Dengan:
a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1.
Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif
Jika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, a , b ∈ R ,
maka:
3. Pertidaksamaan Eksponen
a.
a m × a n = a m+ n
b.
a m : a n = a m −n , a ≠ 0
Jika a f ( x ) > ag ( x ) maka berlaku:
n f(x) > g(x) , untuk a > 1
n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1
c.
(a )
B. BENTUK AKAR
d.
(a b ) = a b
m n
m
= a mn
n p
mp
np
p
e.
f.
g.
a m a mp
n = np , b ≠ 0
b
b
a0 = 1 , a ≠ 0
1
a−n = n , a ≠ 0
a
Sifat-sifat Bentuk Akar
a.
n
a ⋅ b = a⋅b
a
a
=
b
b
b.
c.
d.
e.
an = a
n
m
am = a n
1
1
a 1
=
×
=
a
a
a
a a
kendi_mas_media@yahoo.com
C. LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga
hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
a
log b = c ⇔ a c = b
Di mana:
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a < 1 atau
a > 1,
2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari
logaritmanya, dengan b > 0,
3. c dinamakan hasil logaritma.
1. Sifat-Sifat Logaritma
Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a.
a
log b = c ⇔ a = b
b.
a
log b + a log c = a log bc
a
c.
d.
c
an
log b − a log c = a log
log bm =
b
c
m a
⋅ log b
n
BAB 2
p
e.
f.
log b
, dengan 0 < p < 1 ∨ p > 1
log a
1
a
log b = b
log a
a
log b =
g. a
a
log b
p
=b
log b ⋅ b log c ⋅ c log d = a log d
h.
a
2.
Persamaan Logaritma
a
log f (x) = a log g(x) ⇒ f (x) = g(x)
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika a log f (x) ≤ a log g(x) , maka berlaku:
I. Syarat Basis:
1. Untuk 0 < a < 1
f ( x ) ≥ g( x )
2. Untuk a > 1
f ( x ) ≤ g( x )
II. Syarat Numerus:
1. f (x) > 0
2. g(x) > 0
PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
−b
c
x1 ⋅ x2 =
a
a
A. PERSAMAAN KUADRAT
x1 + x2 =
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2
ax 2 + bx + c = 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 .
1.
Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 mempunyai:
1. akar real jika D ≥ 0 ,
2. akar real berlainan jika D > 0 ,
3. akar real kembar jika D = 0 ,
4. akar imajiner/ khayal jika D < 0 ,
dengan D = b2 − 4ac .
2.
Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat ax 2 + bx + c = 0 , maka:
x1 − x2 =
D
a
2
x12 − x22 = ( x1 + x2 )( x1 − x2 )
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 ⋅ x2 ( x1 + x2 )
3
1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2 x1 ⋅ x2
3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar
persamaan kuadrat yang diketahui:
1. Kedua akarnya positif, jika:
x1 + x2 > 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
kendi_mas_media@yahoo.com
2.
dua titik.
ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x.
iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.
Kedua akarnya negatif, jika:
x1 + x2 < 0 ; x1 ⋅ x2 > 0 ; D ≥ 0
3.
Kedua akarnya berlainan tanda, jika:
2.
Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
x1 ⋅ x2 < 0 ; D > 0
4.
Fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c mempunyai:
Kedua akarnya berlawanan, jika:
x1 + x2 = 0
5.
Kedua akarnya berkebalikan, jika:
x1 ⋅ x2 = 1
4.
1.
Sumbu simetri: x =
2.
Nilai ekstrem:
Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan
D
b2 − 4ac
=
−4a
−4a
Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.
Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
θ
Menentukan Persamaan Kuadrat
−b
2a
adalah
3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a.
x 2 − (α + β ) x + α ⋅ β = 0
Diketahui titik puncak (x p , y p ) dan titik lain
y = a(x − x p )2 + y p
B. FUNGSI KUADRAT
b.
(x2 ,0) serta titik lain
Fungsi f yang didefinisikan sebagai f (x) = ax 2 + bx + c
di mana a , b, c ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan sebagai
fungsi kuadrat.
1.
Diketahui titik potong dengan sumbu x, (x1 ,0) dan
y = a(x − x1 )(x − x2 )
c.
Diketahui tiga titik pada parabola
Hubungan a, b, c, dan D
y = ax 2 + bx + c
Fungsi kuadrat f (x) = ax + bx + c didapat hubungan:
a. “a” menentukan keterbukaan kurva.
i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas.
ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
2
a>0
4. Definit
a.
a 0 maka puncak berada di sebelah kiri
sumbu y.
Jika a ⋅ b < 0 maka puncak berada di sebelah
kanan sumbu y.
“c” menentukan titik potong dengan sumbu y.
i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.
ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0).
iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.
Definit Positif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif
untuk semua x disebut definit positif.
Syarat:
D < 0 dan a > 0
Definit Negatif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif
untuk semua x disebut definit negatif.
Syarat:
D < 0 dan a < 0
d. “ D = b2 − 4ac ” menentukan titik potong dengan
sumbu x.
i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 3
PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUM
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR
Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c,
dan d ∈ R adalah sebagai berikut.
1. a > b maka a + c > b + c
2. a > b, c > d maka a + c > b + d
3. a > b, b > c maka a > c
4. a > b, c > 0 maka a c > b c
5. a > b, c < 0 maka a c < b c
Langkah penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas.
2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI
MUTLAK
6.
a > b, a > 0, b > 0 maka a2 > b2
Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan:
7.
a > b, a < 0, b < 0 maka a2 < b2
a
> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0
b
ìï x jika x > 0
ïï
x = ïí-x jika x < 0
ïï
ïïî 0 jika x = 0
Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:
1. x £ a Û -a £ x £ a
2. x ³ a Û x £-a atau x ³ a
3. f (x) £ g(x) Û ( f (x) + g(x))( f (x) - g(x)) £ 0
f (x)
4.
£ k Û ( f (x) - k × g(x))( f (x) + k × g(x)) £ 0
g( x )
8.
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN
Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan
tanda pada ruas yang paling kanan.
Pangkat genap memiliki tanda yang sama.
Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
n
n
n
BAB 4
LOGIKA MATEMATIKA
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
A. DEFINISI
Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.
n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan menjadi pernyataan jika variabel
tersebut diganti konstanta dalam himpunan
semestanya.
Beberapa operator yang digunakan dalam logika.
n
No
1
Operator
Nama
Lambang
Negasi
~
p
q
~p
B
B
S
p∧q
B
p∨ q
B
pÞq
B
pÛ q
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
C. NEGASI/INGKARAN
No
Arti
Tidak, bukan
2
Konjungsi
Ù
dan, tetapi
3
Disjungsi
∨
atau
4
Implikasi
Þ
jika...maka
5
Biimplikasi
Û
jika dan hanya jika
Pernyataan
Negasi/Ingkaran
1
pÙq
pÚ q
2
pÚq
pÙ q
3
pÞq
pÙ q
4
pÛq
pÙ
q pÚ pÙ q
q
kendi_mas_media@yahoo.com
D. EKUIVALENSI
F.
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.
Contoh: p ⇒ q ≡ q ⇒ p ≡ p ∨ q
Modus Ponens
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n
n
n
Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p
Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ ~ q
Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ ~ p
BAB 5
Modus Tollens
Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:
n Metode eliminasi
n Metode substitusi
n Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
pÞq
p
(B)
(B)
pÞq
q
(B)
(B)
p Þ q (B)
q Þ r (B)
\ q
(B)
\ p (B)
\ p Þ r (B)
n
Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
n
m1 × m2 = -1
Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut
sebesar a dengan
tan a =
m1 - m2
1 + m1 × m2
Melalui titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m, berlaku:
y − y1 = m(x − x1 )
2.
Garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) , berlaku:
y − y1
x − x1
=
y2 − y1 x2 − x1
3.
Sillogisme
SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAAN
1.
PENARIKAN KESIMPULAN
Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di
titik (0, a) berlaku:
y
ax + by = a.b
a
b
x
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis g : y = m1 x + c1 dan garis
h : y = m2 x + c2 maka
Garis g dan h sejajar jika m1 = m2
n
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 6
STATISTIKA DAN PELUANG
Data kelompok:
A. STATISTIKA
∑ f c
1n−
2
Me = Q2 = tb +
fk
1. Rata-rata/mean ( x )
Data tunggal:
n
x + x + ... + xn
=
x= 1 2
n
∑x
n = banyak data,
xi = data ke-i,
i = 1, 2, 3, …, n.
i
i =1
n
tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
∑
fk = frekuensi kelas yang memuat Me
Data kelompok:
n
f x + f x + ... + fn xn
=
x= 1 1 2 2
f1 + f2 + ... + fn
∑fx
i i
fi = banyak data xi,
i =1
n
n = f1 + f2 + ... + fn .
∑f
4. Kuartil
Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah
terurut menjadi 4 bagian.
Data kelompok:
(∑ )
1n−
f
4
Q1 = tb1 +
f1
i
i =1
Kuartil bawah (Q1):
2. Modus (Mo)
Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak
atau data yang paling sering muncul.
n Data tunggal:
Contoh:
Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.
Modus dari data tersebut adalah 7.
n Data kelompok:
d1
Mo = tb +
c
d1 + d2
tb = tepi bawah kelas modus
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas
sesudahnya
c = panjang kelas
3. Median (Me/Q2)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah
diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau
kuartil tengah.
Data tunggal:
Me = x n +1
Jika n ganjil maka:
2
xn + xn
Jika n genap maka: Me =
2
2
Kuartil atas (Q3):
3
c
c
Dengan:
tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
( ∑ f )1 / ( ∑ f )3 = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3
f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3
5. Jangkauan (J)
n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:
J = xmax − xmin
n
Jangkauan antarkuartil (H):
H = Q3 − Q1
n
Jangkauan semi antarkuartil (Qd):
1
Qd = (Q3 − Q1 )
2
6. Simpangan rata-rata (SR)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑
| xi − x |
SR =
+1
(∑ )
3n−
f
4
Q3 = tb3 +
f3
1
i =1
n
2
kendi_mas_media@yahoo.com
∑ f |x − x |
i
SR =
i
i =1
n
∑f
i
i =1
7.
Ragam/variansi (R)
Data tunggal:
n
n
∑
i
R = S2 =
i =1
n
∑ f |x − x |
Notasi Faktorial
2
| xi − x |2
R = S2 =
A1 × A2 × A3 × ... × In
Data kelompok:
n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n
1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli
i
i =1
n
∑f
i
i =1
1.
8. Simpangan baku/deviasi standar (S)
Data kelompok:
Data tunggal:
n
n
∑| x − x |
i
S=
∑ f |x − x |
i
i =1
S=
n
i
n
n
i =1
n
∑f
i
i =1
9. Perubahan data
Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang
sama, berlaku
Perubahan
data
+
x
:
Ukuran
pemusatan
+
x
:
Ukuran
penyebaran
TETAP
TETAP
x
:
Catatan:
Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,
Me, Q1 .
Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,
Qd, S, R.
P(n, r ) =
n
n!
(n − r )!
Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang
sama, n unsur yang sama dan unsur yang sama
adalah:
k!
cara
m!⋅ n!⋅ !
n
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur
adalah
(n – 1)!
2.
n
B. PELUANG
Aturan Perkalian
Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan:
n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama.
n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi.
n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga
setelah tempat pertama dan kedua terisi.
n An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n
setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia
secara keseluruhan adalah:
Permutasi
Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda
dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA)
Rumus dan notasi yang digunakan dalam
permutasi adalah:
Banyaknya permutasi n unsur yang diambil
dari n unsur adalah P(n, r) = n!
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur:
n
n
Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa
memperhatikan urutan-nya (AB = BA).
Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan
dengan nCk atau C (n, k) .
Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n
unsur adalah
C (n, k) =
n!
(n − k)!k!
3. Peluang Kejadian
Peluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan
rumus:
P(A) =
n(A)
n(S)
n(S) = banyaknya anggota semesta
n(A) = banyaknya anggota A
P(A) = peluang kejadian A
kendi_mas_media@yahoo.com
b.
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
P(Ac ) = 1 − P(A)
5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah
FH(A) = n × P(A)
Kejadian Saling Lepas
Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling
lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang
berakibat P(A ∩ B) = 0, sehingga
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
c.
Kejadian Saling Bebas
A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila
kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian
lainnya.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
6. Peluang Kejadian Majemuk
a. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
BAB 7
TRIGONOMETRI
Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:
A
b
sin x =
c
c
a
cos x =
b
c
b
x
tan x =
C
B
a
a
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA
Sin
0o
0
30o
½
Cos
1
½
3
Tan
0
1
3
3
45o
½
2
½
2
60o
3
½
1
90o
1
sin(90o - a) = cos a
sin(180o - a) = sin a
sin(90o + a) = cos a
sin(180o + a) = -sin a
cos(90o - a) = sin a
cos(180o - a) = -cos a
cos(90o + a) = -sina
cos(180o + a) = -cos a
tan(90o - a) = cot a
tan(180o - a) = - tan a
tan(90o + a) = -cot a
tan(180o + a) = tan a
sin(270o - a) = -cos a
sin(360o - a) = -sin a
sin(270o + a) = -cos a
sin(360o + a) = sin a
cos(270o - a) = -sin a
cos(360o - a) = cos a
½
0
cos(270o + a) = sin a
cos(360o + a) = cos a
3
~
tan(270o - a) = cot a
tan(360o - a) = - tan a
tan(270o + a) = -cot a
tan(360o + a) = tan a
B. SUDUT-SUDUT BERELASI
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
90o y
Kuadran II
Sin, Cosec
180o positif
Kuadran I
Semua positif
0o
Kuadran III
Kuadran IV
Tan, Cot
Positif
Cos, Sec
Positif
360o
Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:
sin x
2
2
1.
= tan x
4. tan x + 1 = sec x
cos x
1
= sec x
2. sin2 x + cos2 x = 1
5.
cos x
2
2
1
3.
6. 1 + cot x = cos ec x
= co sec x
sin x
kendi_mas_media@yahoo.com
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS
Pada setiap segitiga sembarang
ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
C
a
b
A
2sin x cos y = sin(x + y) + sin(x - y)
c
B
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan
cosinus, yaitu:
2cos x sin y = sin(x + y) - sin(x - y)
2cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y)
-2sin x sin y = cos(x + y) - cos(x - y)
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TRIGONOMETRI
a.
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Sinus
sin x = sinα
x1 = α + k.360o atau x1 = (180o − α ) + k.360o
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
b.
Cosinus
cos x = cosα
x = ±α + k.360o
E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA
Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan
dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:
1
L = bc sin A
C
2
1
a
b
L = ac sin B
2
1
B
A
L = ab sinC
c
2
F.
c.
Tan
tan x = tanα
x = α + k.180o
k = ..., –1, 0, 1, 2, …
RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
tan A + tan B
tan (A + B) =
1 − tan A ⋅ tan B
tan A − tan B
tan (A − B) =
1 + tan A ⋅ tan B
sin2 x = 2sin x cos x
cos2 x = cos2 x − sin2 x
= 2cos2 x − 1
= 1 − 2sin2 x
tan2 x =
2tan x
1 − tan2 x
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS
1
1
sin A + sinB = 2sin (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
sin A − sin B = 2cos (A + B)sin (A − B)
2
2
1
1
cos A + cos B = 2cos (A + B)cos (A − B)
2
2
1
1
cos A − cos B = −2sin (A + B)sin (A − B)
2
2
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 8
DIMENSI TIGA
B. SUDUT
A. JARAK
n
n
Jarak Antara Dua Titik
Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan
kedua titik itu.
A
B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara
titik A dan titik B.
Jarak Titik ke Garis
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.
n
Sudut Dua Garis Bersilangan
Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara
melukis sudut antara garis g dan h adalah:
lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,
sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n
Sudut Antara Garis g dan Bidang V
Langkah:
proyeksikan garis g ke bidang V, sebut
hasilnya g’,
sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n
Sudut Antara Dua Bidang
Langkah:
tentukan perpotongan antara bidang V dan
W sebut l,
lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,
lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,
sudutnya = sudut antara garis g dan h.
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jarijari = r.
y
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
(a, b) r
A
g
B
n
AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g
yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak
lurus g.
Jarak antara Titik dengan Bidang
Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke
bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik
proyeksinya pada bidang.
Jarak antara P dan bidang ditunjukkan oleh garis m yang tegak
lurus bidang.
BAB 9
LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
A. PERSAMAAN LINGKARAN
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
jari = r.
y
x2 + y2 = r 2
r
(0, 0)
x
(0, 0)
x
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan
menyinggung sumbu x:
kendi_mas_media@yahoo.com
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA
LINGKARAN
y
( x − a) + ( y − b) = b
2
(0, b)
2
2
r
1.
Diketahui titik singgungnya ( x1 , y1 )
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus:
n
x
n
x1 x + y1 y = r 2
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan
menyinggung sumbu y:
y
( x − a) + ( y − b) = a
2
(a, 0)
2
n
( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 di titik (x1, y1). Rumus:
( x − a ) ( x1 − a ) + ( y − b ) ( y1 − b ) = r 2
2
r
x
n
n
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan
menyinggung garis px + qy + r = 0.
y
px + qy + r = 0
(a, b)
( x − a )2 + ( y − b )2 = d 2
d
x
Dengan d =
adalah d.
ap + bq + r
p2 + q 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1)
pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0.
Rumus:
x1 x + y1 y + a(x1 + x) + b(y1 + y) + c = 0
2.
Diketahui gradien m
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)
dan jari–jari r.
Rumus:
n
y = mx ± r 1 + m2
. Jari-jari lingkaran
n
Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus:
y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m2
1.
Persamaan Umum Lingkaran
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Diberikan garis g:
2
2.
2
A B
A B
+ −C
Pusat − , − dan jari-jari r =
4
4
2 2
Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan
L: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1,
y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L
adalah:
K = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c
n
n
n
K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar
lingkaran.
K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam
lingkaran.
K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.
y = mx + n dan lingkaran:
L ≡ x + y = r . Hubungan antara garis g dan lingkaran
L dapat diselidiki dengan cara:
n
Substitusi garis g ke L.
n
Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,
yaitu:
1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada
dua titik,
2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada
satu titik (garis menyinggung lingkaran),
3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.
2
2
2
1
2
kendi_mas_media@yahoo.com
3
BAB 10
SUKU BANYAK
Bentuk umum:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0,
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1,
a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masingmasing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta
real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap
(konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka
sisanya = f( b ).
n
Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x)
maka f(a) = 0.
a
D. TEOREMA FAKTOR
n
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:
1. Cara Substitusi
Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak
tersebut untuk x = 1 adalah
f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 5
2. Metode Horner
Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka
f(h) diperoleh cara sebagai berikut.
a
b
c
d
h
a
n
ah
ah2 + bh
ah3 + bh2 + ch
ah + b
ah2 + bh + c
ah3 + bh2 + ch + d
n
n
E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK
n
+
Berarti kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh
suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka
didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x),
secara matematis pembagian ini dapat ditulis:
f(x) = h(x) g(x) + s(x)
Keterangan:
f(x) = yang dibagi
g(x) = pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa
Catatan: k < n
à berderajat n
à berderajat k
à berderajat (n – k)
à berderajat (k – 1)
Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat
nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor
dari suku banyak f(k).
Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b)
= 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah
akar dari f(x).
n
Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
b
1. x1 + x2 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a
d
3. x1 . x2 . x3 = −
a
Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
b
1. x1 + x2 + x3 + x3 = −
a
c
2. x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =
a
d
3. x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = −
a
e
4. x1 .x2 .x3 .x4 =
a
C. TEOREMA SISA
n
n
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka
sisanya = f(a).
Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka
sisanya = f(–a).
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 11
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika
ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan
A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut
daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B
yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau
range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan
setiap anggota domain dengan tepat satu kawan
dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .
f
x
A
Sehingga jika f(x) = y maka f (y) = x. Fungsi invers
berlaku:
Rumus,
g
x
f(x)
f ( x) =
g(f(x))
B
gof
C
ax + b
-dx + b
Þ f -1 ( x ) =
cx + d
cx - a
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
( g f )( x ) = f ( f ( x ) )
f
Sifat-sifat fungsi komposisi:
n
n
B
f (a) = b ⇔ f -1 (b) = a
f
n
f-1
-1
A. FUNGSI KOMPOSISI
A
f(x)
g
x
f g ≠ g f
f (g h) = ( f g) h = f g h
I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku I f = f I dan f f −1 = f −1 f = I
f(x)
B
gof
A
g(f(x))
C
(gof)-1
Sifat:
( g f )−1 ( x ) = ( f −1 g −1 ) ( x )
B. FUNGSI INVERS
Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi
itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan f −1 (x) .
BAB 12
LIMIT
A. TEOREMA LIMIT
n
Jika f(x) = k, maka lim f(x) = k, dengan k konstanta,
x →a
k dan a ∈ real
n
Jika f(x) = x, maka lim f(x) = a
n
n
lim k. f(x) = k. lim f(x), k konstanta
n
lim { f(x). g(x)} = lim f(x). lim g(x)
x →a
x →a
x →a
f ( x)
f (x) lim
x →a
lim
, lim g(x) ≠ 0
=
x →a g( x )
lim g(x) x→a
n
lim { f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
x →a
n
{
}
lim{ f (x)} = lim f (x)
n
x →a
x →a
n
kendi_mas_media@yahoo.com
C. LIMIT TRIGONOMETRI
B. LIMIT ALJABAR
1.
a.
b.
2.
0
0
Bentuk
∞
∞
n
a
p
Untuk n > m ⇒ L = ∞
n
Untuk n < m ⇒ L = 0
sin mx m
=
nx
n
sin m(x − a) m
lim
=
x →a
n(x − a)
n
lim
x →0
Beberapa rumus bantu:
ax n + bx n−1 + ... + c
lim m
=L
x →∞ px + qx m−1 + ... + r
3.
x →0
Dengan pemfaktoran.
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
F (x)
F '(x) F '(a)
lim
= lim
=
x →a G( x )
x →a G '( x )
G '(a)
Bentuk tak tentu
n
sin x
=1
x
x
lim
=1
x →0 sin x
tan x
lim
=1
x →0
x
x
lim
=1
x →0 tan x
lim
Untuk n = m ⇒ L =
1.
2.
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin 2x = 2 sin x cos x
3.
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4.
1 – cos 2x = 2 sin 2 x
5.
1 + cos 2x = 2cos 2 x
Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Rumus cepat:
lim
x ®¥
(
)
b-q
( Jika a = p)
2 a
= ( Jika a > p)
= - ( Jika a < p)
ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r =
BAB 13
TURUNAN
A. DEFINISI
3.
y ' = f '(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4.
Turunan perkalian fungsi.
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)
B. RUMUS DASAR
1.
5.
Turunan suatu konstanta c.
Jika y =
Jika y = c maka y’ = 0
2.
Turunan perkalian fungsi dan konstanta.
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)
Turunan pembagian fungsi.
6.
u '(x).v(x) − u(x).v '(x)
u(x)
maka y ' =
v 2 (x)
v(x)
Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).
Jika y = f(g(x)) adalah
kendi_mas_media@yahoo.com
dy dy dg
= .
dx dg dx
7.
Turunan fungsi pangkat.
Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1.
m =f ’(x1)
Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n−1
Persamaan garis singgungnya:
Turunan Trigonometri
y − y1 = m(x − x1 )
n
n
f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax
f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax
n
f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec ax
C. PENERAPAN TURUNAN
n
Gradien (m) garis singgung di titik ( x1 , y1 ) pada
kurva f(x)
m = f’(x)
f(x)
BAB 14
C. INTEGRAL PARSIAL
∫ f ′(x)dx = f (x) + C
∫ UdV = UV − ∫VdU
D. LUAS DAERAH
A. RUMUS DASAR
3.
4.
5.
6.
7.
8.
∫ a dx = ax + C
1
∫ x dx = n + 1 x
n
Keadaan stasioner
Bila keadaan stasioner terjadi di titik (x1 , y1 ) maka
f’(x1) = 0. y1 = f (x1 ) disebut nilai stasioner.
Jadi nilai maksimal/minimum adalah . (x1 , f (x1 ))
Catatan:
Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/
titik balik.
INTEGRAL
Integral adalah anti turunan.
2.
Interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Kurva naik jika: f’(x) > 0
Kurva turun jika: f’(x) < 0
n
( x1 , y1 )
1.
n
2
b
n+1
L = ∫ ( yatas − ybawah ) dx
+ C , syarat n ≠ −1
a
1
∫ x dx = ln x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
b
L = ∫ ( y2 − y1 )dx
a
∫ cos x dx = sin x + C
1
∫ s in x c os xdx = m + 1s in
m+1
m
−1
x +C
d
∫ cos x sinx dx = m + 1 cos x + C
∫ ( f (x) ± g(x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
m
m+1
∫ f '(x) ⋅ ( f (x)) dx =
c
d
L = ∫ ( x2 − x1 ) dy
c
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
n
L = ∫ ( xkanan − xkiri )dy
( f (x))n+1
n+1
+C
kendi_mas_media@yahoo.com
E. VOLUME BENDA PUTAR
Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p ≤ x ≤ q , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila
diputar terhadap sumbu x.
Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r ≤ x ≤ s , maka
volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2
terhadap sumbu y.
q
V = π ∫ (y2 )2 − (y1 )2 dx
p
q
V = π ∫ (y jauh )2 − (ydekat )2 dx
p
s
V = π ∫ (x2 )2 − (x1 )2 dy
r
s
V = π ∫ (x jauh )2 − (xdekat )2 dy
r
BAB 15
PROGRAM LINEAR
Program linear adalah salah satu bagian dari
matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai
persoalan sehari-hari, di mana model matematika
terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier
yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau
lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian
optimum).
n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model
matematika kendala/syarat/masalah berupa sistem pertidaksamaan linear.
n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih
dahulu membuat model matematika. Sasaran program berupa sebuah fungsi linier yang disebut
fungsi sasaran/tujuan/objektif.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan
Ax + By + C ≥ 0 atau Ax + By + C ≤ 0 dapat ditentukan
sebagai berikut.
n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.
n Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By + C = 0 .
n Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah
penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By + C = 0 .
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok
atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum
(maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentukan dengan:
Penggunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C , maka
garis selidiknya adalah Ax + By + C = k .
n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.
n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.
Pengujian Titik Pojok
Jika fungsi objektif f (x , y) = Ax + By + C disubstitusi
dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil
yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum
dari fungsi objektif tersebut.
kendi_mas_media@yahoo.com
BAB 16
BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMATIKA
n
Suku pertama = U1 = a
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang
berurutan besarnya sama.
Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.
n
n
U U
U
Rasio ⇒ r = 2 = 3 = ... = n
Un−1
Suku ke-n U1 U2
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan aritmatika maka:
n
Suku pertama = U1 = a
n
n
Beda ⇒ b = U2 − U1 = U3 − U2 = ... = Un − Un−1
Suku ke-n
Un = a + (n − 1)b
n
Jumlah n suku pertama (Sn )
Un = a ⋅ r n−1
n
Sn =
1−r
atau Sn =
a ( r n − 1)
r −1
n
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
a
S∞ =
1−r
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
a
Sganjil =
1 − r2
n
Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:
B. BARISAN GEOMETRI
Jika U1 ,U2 ,U3 ,...,Un merupakan suku-suku pada
barisan geometri, maka:
a (1 − r n )
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
n
n
Sn = (2a + (n − 1)b) atau Sn = (a + Un )
2
2
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan
adalah sama.
Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2
Jumlah n suku pertama (Sn )
Sgenap =
n
ar
1 − r2
Rasio deret geometri tak hingga:
Sgenap
r=
Sganjil
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen
jika −1 < r < 1 ⇔ r < 1 .
BAB 17
MATRIKS
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang
disusun dalam baris dan kolom.
Contoh:
a11 a1n
A=
a
m1 amn
Dengan:
a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1
amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan
kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan
banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m ×
n, dan ditulis Amn.
Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika:
1. ordonya sama
2. anggota yang seletak harus sama
kendi_mas_media@yahoo.com
Contoh:
a1 a2 a3
A=
a4 a5 a6
Determinan matriks B:
b1 b2 b3
B=
b4 b5 b6
a b c
det B = B = d e f
g h i
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3,
a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
Transpose Matriks
Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan
kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu
matriks baru yang disebut transpose matriks.
– – –
a b c
d e f
g h i
+ + +
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
C. INVERS
n
Suatu matriks mempunyai invers jika
determinannya tidak nol.
a b
1 d −b
⇒ A−1 =
A=
ad − bc −c a
c d
Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.
n
Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
a b
n Matriks 2 × 2: A =
c d
n
(A )
Transpose matriks A = At = AT
B. DETERMINAN
n
Determinan matriks A: det A = A = ad − bc
identitas.
2.
1 0 0
I3 x 3 = 0 1 0 , I = matriks
0 0 1
B(x2 , y2 , z2 )
AB = B − A = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya
adalah pusat koordinat.
Vektor posisi dari titik A adalah OA = a .
Sehingga dari definisi vektor posisi AB = b − a .
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan
arah yang sama.
3.
Jika a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
4.
Jika k adalah skalar, dan a = ( a1 , a2 , a3 ) maka
ka = ( ka1 , ka2 , ka3 )
Vektor Satuan
n Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan.
n
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
a1
a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1 , a2 , a3 ) = a2
a
3
Panjang vektor a dinotasikan sebagai
a = a12 + a22 + a32
a dibaca “vektor a”.
1.
1 0
0 1
VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan
arah. Notasi vektor: a , b, c , dan seterusnya.
A(x1 , y1 , z1 )
=A
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Dengan: I2×2 =
a b c
n Matriks 3 × 3: B = d e f
g h i
BAB 18
−1 −1
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1, 0, 0 )
dan vektor satuan searah sumbu y adalah
j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z
adalah k = ( 0, 0, 1 ) .
n
Vektor satuan dari a adalah
kendi_mas_media@yahoo.com
a
a
.
C. PROYEKSI
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p adalah vektor posisi
dari titik P yang membagi garis
AB dengan perbandingan
ab
θ
AP : PB = m : n , maka
m.b + n.a
p=
m+n
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
Diketahui a = ( a1 , a2 , a3 ) dan b = ( b1 , b2 , b3 ) maka
a.b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
n
n
Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):
a.b
c = a cosθ =
b
Vektor c proyeksi vektor a pada b :
a.b
c = 2 .b
b
( )
Diketahui a , b dan ∠ a , b = α maka
a.b
a.b = a . b .cosθ ⇔ cos θ =
a.b
BAB 19
a bc
Bila c adalah vektor proyeksi a pada b maka:
n
n
bc
TRANSFORMASI GEOMETRI
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
a b
MT
MT =
maka P(x , y) → P '(x ', y ') dengan
c d
B. REFLEKSI/PENCERMINAN
n
x ' a b x
y ' = c d y
A. TRANSLASI
n
1 0
Matriks transformasinya adalah
0 −1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y
menghasilkan bayangan P’(–x, y).
sumbu y
P(x , y)
→ P '(− x , y)
n
−1 0
Matriks transformasinya adalah
0 1
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x
menghasilkan bayangan P’(y, x).
garis y =x
P(x , y) →
P '(y , x)
Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek
sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
x ' x a
a
= , maka = + . Jadi P '(x + a , y + b) .
y' y b
b
Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x
menghasilkan bayangan P’(x, –y).
sumbu x
P(x , y)
→ P '(x , −y)
0 1
Matriks transformasinya adalah
1 0
kendi_mas_media@yahoo.com
n
n
Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x
menghasilkan bayangan P’(–y, –x)
garis y =− x
P(x , y)
→ P '(−y , − x)
0 −1
Matriks transformasinya adalah
−1 0
Matriks refleksi terhadap garis y = x + k
x ' 0 1 x 0
y ' = 1 0 y − k + k
n
Matriks refleksi terhadap y = –x + k
x ' 0 −1 x 0
y ' = −1 0 y − k + k
n
Refleksi terhadap garis x = h
x =h
P(x , y)
→ P '(2h − x , k)
n
Refleksi terhadap garis y = k
y =k
P(x , y)
→ P '(x ,2k − y)
n
Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k
x =h ,y =k
P(x , y)
→ P '(2h − x ,2k − y)
n
Pencerminan terhadap dua garis yang saling
berpotongan
Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan
yaitu garis y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2
akan menghasilkan rotasi dengan:
a. pusat di titik potong dua garis,
b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat
sudut antara kedua garis,
c. arah rotasi sama dengan arah dari garis
pertama ke garis kedua.
Jika α sudut yang dibentuk antara garis
y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 , maka
m1 − m2
tanα =
.
1 + m1 ⋅ m2
n
Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
x '− a cosα
y '− b = sinα
− sinα x − a
cosα
y − b
D. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah
ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang
bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan
faktor dilatasi (faktor skala).
n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k
adalah
k 0
0 k
n
n
Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k
x ' k 0 x
y ' = 0 k y
Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k
x '− a k 0 x − a
y '− b = 0 k y − b
E. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi T1 bersesuaian dengan matriks M1
C. ROTASI
dan transformasi T2 bersesuaian dengan matriks M2 ,
Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan
oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.
Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi
itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam,
berlaku sebaliknya.
n Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis T2 T1
x ' cosα
y ' = sinα
bersesuaian dengan matriks M2 ⋅ M1 .
− sinα x
cosα
y
kendi_mas_media@yahoo.com