BAB 4
OPERASI MATRIKS
Ketika kita bekerja dengan matriks di dalam M
ATLAB
, operasi ataupun manipulasi yang kita lakukan terhadap matriks tersebut
bisa berupa: operasi aljabar matriks, dan operasi elemen-per- elemen. Operasi matriks di M
ATLAB
sama seperti yang kita temui di aljabar matriks, misalkan penjumlahanpengurangan, perkalian
matriks, invers, transpose, dot product, cross product, dan sebagainya. Sementara operasi elemen-per-elemen, yang
merupakan ciri khas M
ATLAB
, mengoperasikan satu per satu elemen matriks seperti operasi skalar, meliputi
penjumlahanpengurangan, perkalianpembagian, dan pangkat. Dalam bab ini, operasi matriks dibahas terlebih dahulu, dan
kemudian operasi elemen-per-elemen.
4.1 Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dua matriks, A+B, dan selisih dua matriks, A–B, terdefinisi jika A dan B berukuran sama. Namun demikian,
penjumlahanpengurangan juga bisa dilakukan antara matriks dengan skalar. Untuk jelasnya mari kita praktekkan contoh berikut
ini.
A=[0 1;2 3]; B=[4 5;6 7];
Jumlah=A+B, Selisih=A-B, Tambah50=A+50 Jumlah =
4 6 8 10
Selisih = -4 -4
-4 -4 Tambah50 =
50 51 52 53
4.2 Perkalian Matriks
Perkalian matriks, misalkan C = AB, terdefinisi jika jumlah kolom di A sama dengan jumlah baris di B. Selain itu, perkalian juga
bisa dilakukan antara matriks dengan skalar. Kita akan lanjutkan contoh sebelumnya.
A,B A =
0 1 2 3
B = 4 5
6 7 MultAB=AB, MultBA=BA
MultAB = 6 7
26 31 MultBA =
10 19
14 27
Tips
Ketika mengalikan dua matriks, maka matriks hasil perkalian dihitung berdasarkan formula baku. Misalkan
C=AB; A dan B matriks 2
×2,
sehingga hasilnya C juga 2
×2.
=
22 21
12 11
22 21
12 11
22 21
12 11
b b
b b
a a
a a
c c
c c
di mana: c
11
= a
11
b
11
+ a
12
b
21
c
12
= a
11
b
12
+ a
12
b
22
c
21
= a
21
b
11
+ a
22
b
21
c
22
= a
21
b
12
+ a
22
b
22
Contoh berikutnya ialah perkalian dua vektor, yang juga mengikuti aturan perkalian matriks, karena vektor sesungguhnya sama
dengan matriks 1-dimensi.
x=[3 2 1], y=[100;10;1] x =
3 2 1
y = 100
10 1
z1=xy, z2=yx z1 =
321 z2 =
300 200 100 30 20 10
3 2 1
Selain perkalian di atas, dikenal pula perkalian vektor, yaitu: “dot- product” atau disebut juga inner-product, dan “cross-product”.
Tabel 4. 1
dotx,y crossx,y
menghitung dot-product dari vektor x dan y menghitung cross-product dari vektor x dan y
Tips
Dot-product dan cross-product dihitung berdasarkan formula baku.
Misalkan terdapat dua vektor x = x
1
x
2
x
3
dan
y = y
1
y
2
y
3
, maka:
dot-product: x • y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
cross-product: x × y = x
2
y
3
− x
3
y
2
x
3
y
1
− x
1
y
3
x
1
y
2
− x
2
y
1
Perlu diingat bahwa hasil dot-product berupa skalar, sementara hasil cross-product berupa vektor.
4.3 Persamaan Linier dalam Matriks
Kita sering menemui persamaan linier dengan beberapa variabel. Di dalam aljabar, solusi persamaan tersebut bisa ditemukan, salah
satunya dengan menggunakan matriks. Misalkan kita tinjau sistem persamaan linier dengan variabel x
1
dan x
2
. x
1
– 2 x
2
= 32 12
x
1
+ 5 x
2
= 7
Dalam bentuk matriks bisa kita tuliskan:
=
−
7 32
5 12
2 1
2 1
x x
⇔ AX = B X = A
-1
B
; di mana
A
-1
ialah invers matriks A
Dalam M
ATLAB
kita tuliskan:
A=[1 –2;12 5]; B=[32;7]; X=invAB
X = 6.0000
-13.0000
Sehingga kita dapatkan solusi x
1
= 6 dan x
2
= -13. Atau kita juga bisa mendapatkan solusi tersebut dengan operator
pembagian terbalik:
X=A\B X =
6.0000 -13.0000
Sebagai bahan latihan, cobalah Anda pecahkan persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini.
x + 2y + 3z = 2 4x + 5y + 6z = -5,5
7x + 8y – 9z = -49
4.4 Transposisi
