Berdasarkan uraian yang dikemukakan di atas maka penulis tertarik untuk
membahas masalah MOLP dengan judul “Metode Branch and Cut Untuk Menyelesaikan
Multi–Objective Integer Programming”.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah apakah metode branch and cut dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan multi-objective integer programming.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini, penulis hanya membatasi pada persoalan multi-objective integer programming dengan menggunakan metode branch and cut. Dalam hal ini
masalah yang diangkat adalah masalah goal programming dan pure integer
programming.
1.4 Tinjauan Pustaka
Matthias Ehrgott dan Xavier Gandibleux dalam bukunya yang berjudul “Multiple Criteria Optimization: “State Of The Art Annotated Bibliographic Surveys”
menjelaskan bahwa masalah optimasi banyak fungsi objektif yang berlawanan sekaligus dengan kendala-kendala yang diberikan disebut masalah multiobjective
programming dan dapat diformulasikan sebagai vektor minimasi sebagai berikut:
Minimumkan
≜ ,
, …
Kendala ∈ ≜
∈ |
, , … ,
di mana ,
, … , adalah k fungsi objektif berbeda dari vektor
keputusan ,
, … , adalah m pertidaksamaan kendala-kendala dan X
adalah himpunan keputusan yang mungkin dari kendala-kendala yang ada.
Thomas Vincent dalam makalahnya yang berjudul “Multi-objective Branch and Bound for Mixed 0-1 Linear Programming: Corrections and
Improvements for the Biobjective Case” menjelaskan bahwa multiple objective linear program MOLP dan diformulasikan sebagai berikut:
Min Kendala
∈ Dalam hal ini,
, … , dengan baris , … , merupakan sebuah
matriks linear p x n, ∈
merupakan vektor dari variable-variabel, dan ≔
∈ ∶
, adalah himpunan yang mungkin dalam ruang keputusan
. A adalah matriks m x n dari kendala-kendala dan
∈ adalah vektor sisi sebelah kanan. Kita
tunjukkan ≔
≔ ≔
∈ : ∈
sebagai outcome set di ruang objective .
Melih Ozlen dan Benjamin A. Burton 2009 dalam makalahnya yang berjudul “Multi-Objective Integer Programming: An Improved recursive
algorithm” menerangkan bahwa bentuk umum dari MOIP didefinisikan sebagai berikut :
Min ,
, … ,
Kendala di mana X adalah himpunan titik-titik layak yang didefinisikan oleh masing-
masing fungsi objektifnya didefinisikan ,
dan ∈ untuk semua ∈ , , … , . Masing–masing fungsi objektifnya didefinisikan oleh
∑ ,
∑ , … ,
∑ dimana
∈ untuk semua ∈ , , , … , dan ∈ , , , … , .
Sebuah titik
′
∈ disebut -objektif yang efisien jika dan hanya jika tidak ada
′
∈ yang mengakibatkan ′ untuk setiap ∈
, , , … , dan ′ untuk sedikitnya satu . Hasil vector objektif
′
,
′
, … ,
′
dikatakan -objektif yang tidak terdominasi. John E. Mitchell
dalam makalahnya yang berjudul ”Branch and Cut Algorithms for Combinatorial Optimization Problems” menjelaskan bahwa algoritma branch and cut
memodifikasi strategi dasar branch and bound dengan mencoba menguatkan linear programming relaxation LPR dari permasalah integer programming IP dengan
pertidaksaman baru sebelum melakukan mencabangan solusi bagian. Branch and bound murni dapat dipercepat dengan menggunakan cutting planes baik di awal diagram pohon
branch and bound maupun di tiap-tiap nodenya, karena cutting planes mampu mengurangi banyak diagram pohon tersebut. Branch and cut dapat digunakan dalam
penyambungan dengan heuristic untuk memperoleh batas yang lebih rendah pada nilai optimal dengan menggunakan algoritma branch and bound.
Shon Albert dalam makalahnya yang berjudul “Solving Mixed Integer Linear Programs Using Branch and Cut Algorithm” menerangkan bahwa metode
branch and cut menggabungkan keuntungan dari skema branch and bound murni dan skema gomory cutting plane. Menyelesaikan masalah dengan metode branch
and cut akan lebih cepat dibandingkan dengan branch and bound saja. Gomory cutting plane cepat, tetapi tidak dapat diandalkan. Branch and
bound dapat diandalkan, tetapi lambat. Akibatnya kedua metode dapat digabung menjadi satu yaitu dinamakan branch and cut. Pertama ditambahkan beberapa cut
dari menggunakan skema gomory kemudian mengaplikasikan sisanya menggunakan branch and bound. Algoritma tersebut tidak hanya dapat
diandalkan hasilnya, tetapi juga lebih cepat.
1.5 Tujuan Penelitian
