II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial
Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut
2.1 dengan
dan adalah fungsi dari waktu t. Jika
adalah suatu fungsi matriks
A berukuran n × n dengan koefisien konstan
dan dinyatakan sebagai vektor konstan
b, maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut
, x0=x 2.2
Farlow 1994
2.2 Titik Tetap
Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut
2.3 Titik
disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis
atau titik kesetimbangan. Tu 1994
2.3 Pelinearan
Diketahui 2.4
Dan misalkan adalah titik tetap 2.4.
Maka dan
. Misalkan,
dan ,
sehingga didapatkan dalam bentuk matriks
.
Matriks disebut matriks
Jacobi pada titik tetap . Karena
, maka
dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan
linear
2.5 Strogatz 1994
2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Misalkan A matriks berukuran n × n,
maka suatu vektor tak nol di R
n
disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar
yang disebut nilai eigen dari A berlaku Ax =
x.
2.6 Vektor x disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk
mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran n × n maka persamaan 2.6 dapat
dituliskan kembali sebagai berikut
A
– I x = 0
2.7
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan 2.7 mempunyai solusi tak nol jika dan
hanya jika
det A
– I = |A – I| = 0. 2.8
Persamaan 2.8
disebut persamaan
karakteristik dari matriks A. Anton 1995
2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan diberikan matriks A berukuran dengan
persamaan karakteristik matriks A tersebut dapat
diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan
. Sehingga diperoleh persamaan
2
dengan: .
Nilai eigen dari matriks A adalah
2 1,2
4 2
2.9
Untuk Δ 0 Kedua nilai eigen mempunyai akar real
yang berbeda tanda, maka titik tetap bersifat titik pelana saddle point.
Untuk Δ 0.
o
Jika τ 0 maka titik tetap menjadi simpul tidak stabil.
o Jika τ 0 maka titik tetap menjadi
simpul stabil.
o Jika τ 0 maka titik tetap menjadi
spiral tidak stabil. o
Jika τ 0 maka titik tetap menjadi spiral stabil.
o Jika τ = 0 maka titik tetap menjadi
center.
kurva adalah garis batas
antara simpul dengan spiral. Star nodes dan degenerate nodes yang
terletak pada kurva ini. Jika kedua nilai eigen bernilai negatif maka titik
tetap tersebut bersifat simpul sejati.
Untuk Δ = 0
Dikarenakan salah satu nilai eigen bernilai nol titik tersebut disebut sebagai
titik tetap tak terisolasi. Strogatz 1994
2.6 Limit Cycle
Limit cycle adalah orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di
sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit.
Strogatz 1994
2.7 Bifurkasi Hopf
Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas limit cycle dari kesetimbangan dalam
sistem dinamis
yang dihasilkan
oleh persamaan
diferensial biasa,
saat kesetimbangan
mengalami perubahan
stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat
superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil.
Misalkan: = f x,a, x R
n
2.10 adalah sistem persamaan diferensial mandiri
orde-2 yang tergantung pada parameter a ∈
R
.
Diasumsikan bahwa matriks Jacobi Aa = f
x
x a,a memiliki sepasang nilai eigen
kompleks
1,2
a = α ± iωα
2.11 yang menjadi imajiner murni saat a = 0, yaitu
0 = 0 dan ω0 = ω 0. Kemudian, ketika
a melewati a = 0 stabilitas kesetimbangan berubah.
Yuri 2006
III PEMODELAN
3.1 Respon Fungsional Model Holling-
Kategori