Tujuan Sistematika Penulisan Sistem Persamaan Diferensial Titik Tetap Pelinearan Vektor Eigen dan Nilai Eigen

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Predator atau pemangsa merupakan suatu organisme yang mencari, memburu, dan memakan organisme lain. Sedangkan mangsa adalah organisme yang diburu dan dimakan oleh pemangsa. Interaksi antara mangsa dan pemangsa merupakan kejadian berulang yang terjadi secara terus-menerus dan kehadiran keduanya dapat saling mempengaruhi populasi satu sama lain. Kehadiran pemangsa merupakan faktor yang secara langsung mempengaruhi populasi mangsa. Populasi mangsa berkurang sebanding dengan jumlah konsumsi per satu pemangsa pada lingkungan tersebut. Andaikan setiap pemangsa hanya memiliki satu jenis mangsa, maka konsumsi yang berlebih akan mengakibatkan jumlah mangsa dapat berkurang dengan cepat yang di kemudian hari akan mendorong keduanya kepada kepunahan. Oleh karena itu, tingkat pertumbuhan mangsa diharapkan lebih besar dari pada tingkat pertumbuhan pemangsa. Sehingga, konsumsi pemangsa akan terus terpenuhi oleh populasi mangsa yang jauh lebih banyak. Oleh karena itu, mangsa-pemangsa menjadi salah satu fenomena alam yang patut dipelajari, bukan hanya untuk upaya pelestarian organisme tersebut tetapi juga dampak keseimbangan alam yang diakibatkan oleh populasi keduanya di masa yang datang. Alfred Lotka 1925 dan Volterra Vito 1927 dalam Beals et al. 1999 mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali. Sepasang persamaan diferensial yang dikenal sebagai model Lotka-Volterra. Dalam model Lotka-Volterra dibuat beberapa asumsi yaitu 1 Populasi mangsa tumbuh secara eksponensial saat ketidakhadiran predator, 2 Populasi pemangsa akan kelaparan tanpa adanya populasi mangsa, 3 Predator dapat mengkonsumsi jumlah tak terbatas mangsa, dan 4 Tidak ada kompleksitas lingkungan. Selanjutnya, Beals et al. 1999 menyatakan bahwa salah satu kekurangan dari model Lotka-Volterra adalah ketergantungan pada asumsi yang tidak realistis. Pendapat senada juga disampaikan oleh Gasull et al. 1997 bahwa model Lotka- Volterra sangat tidak realistis karena populasi mangsa dapat tumbuh tanpa batas banyaknya saat ketidakhadiran pemangsa. Setelah itu, mulai berkembang beberapa model yang merupakan modifikasi dari model Lotka-Volterra tersebut, yaitu model Holling-Tanner. Gasull et al. 1997 mengungkapkan bahwa model Holling- Tanner memberikan gambaran adanya kompetisi yang terjadi di antara para mangsa saat kepadatan yang tinggi. Pada saat kepadatan yang tinggi, para mangsa akan bersaing untuk mendapatkan sumber daya mereka. Dalam tulisan ini, penulis merekonstruksi ulang model Holling-Tanner yang dijelaskan oleh Gasull et al. 1997. Dalam model Holling-Tanner ini digunakan respon fungsional yang tidak hanya monoton naik tetapi juga solusi yang terbatas. Dalam karya ilmiah ini, model tersebut disebut sebagai model Holling-Tanner tipe II.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1 Merekonstruksi model Holling-Tanner tipe II, 2 Menganalisis perilaku dinamik yang terjadi pada model Holling-Tanner tipe II, 3 Memeriksa kestabilan global pada model Holling-Tanner tipe II, dan 4 Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model Holling-Tanner tipe II.

1.3 Sistematika Penulisan

Pada bab pertama dijelaskan latar belakang, tujuan, dan sistematika dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisikan landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga dibahas model Holling-Tanner, kemudian bab empat dibahas pencarian titik tetap pada model Holling-Tanner dan analisis kestabilan titik tetapnya. Dilanjutkan dengan analisis bifurkasi yang terjadi pada model tersebut. Simpulan karya ilmiah ini akan dibahas pada bab lima. II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut 2.1 dengan dan adalah fungsi dari waktu t. Jika adalah suatu fungsi matriks A berukuran n × n dengan koefisien konstan dan dinyatakan sebagai vektor konstan b, maka akan diperoleh bentuk-bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut , x0=x 2.2 Farlow 1994

2.2 Titik Tetap

Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut 2.3 Titik disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Tu 1994

2.3 Pelinearan

Diketahui 2.4 Dan misalkan adalah titik tetap 2.4. Maka dan . Misalkan, dan , sehingga didapatkan dalam bentuk matriks . Matriks disebut matriks Jacobi pada titik tetap . Karena , maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear 2.5 Strogatz 1994

2.4 Vektor Eigen dan Nilai Eigen

Misalkan A matriks berukuran n × n, maka suatu vektor tak nol di R n disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A berlaku Ax = x.

2.6 Vektor x disebut vektor eigen yang