1.17.2 Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian itu dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks
bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian AB hanya memenuhi arti bila banyaknya lajur A sama dengan
banyaknya baris B. Jadi bila A dinyatakan dengan dan unsur B dinyatakan
dengan maka unsure C=AB adalah:
∑ Perhatikan bahwa pada umumnya AB
BA Bila
[ ] [
] Maka
[ ]
Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan tidak terdefenisi, akan tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefinisi maka AB=BA. Perkalian suatu
matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
1.17.3 Determinan Matriks
Determinan adalah suatu scalar angka yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar melalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses
penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | | .
1.7.3.1 Determinan Matriks dengan Metode Sarrus
Metode Sarrus adalah metode yang hanya dapat digunakan untuk mencari determinan matriks berordo sampai dengan 3. Perhitungan determinan matriks
dengan metode sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2x2 dan
Universitas Sumatera Utara
3x3. Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3 x 3 tidak bisa dihitung menggunakan Metode Sarrus. Metode Sarrus disebut juga Metode
Spaghetti menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal. Perkalian elemen matris pada diagonal turun dari kiri atas ke kanan
bawah diberi tanda positif + sedangkan perkalian elemen matriks pada diagonal naik dari dari kiri bawah ke kanan atas diberi tanda negatif -.
[ ]
Diperoleh determinan A =
1.7.3.2 Determinan Matriks dengan Metode Kofaktor
Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2x2 atau 3x3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4x4, 5x5,
dan seterusnya. Jika A adalah matriks persegi, maka minor dari komponen
dinyatakan oleh
dan didefinisikan sebagai determinan submatriks A dengan komponen selain baris ke-I dan baris ke-j dari matriks A. Bilangan
dinyatakan oleh
dinamakan kofaktor dari komponen .
Jika suatu matriks [
] Langkah awal menentukan determinan A adalah dengan membuat minor dari
elemen baris pertama.
Universitas Sumatera Utara
Minor dari adalah
[ ]
Minor dari adalah
[ ]
Minor dari adalah
[ ]
Minor dari adalah
[ ]
Minor dari adalah
[ ]
Langkah selanjutnya adalah menentukan kofaktor dari elemen baris pertama. =
= [
]
= [
]
= [
]
= [
]
= [
]
Universitas Sumatera Utara
Setelah itu masukkan dalam rumus | |
| | |
| |
|
| |
| |
| |
Karena matriks determinan dari persamaan di atas masih berordo 4x4 lebih dari ordo 3x3, maka determinan dari persamaan di atas belum bisa dicari dengan
metode Sarrus, melainkan masih menggunakan metode kofaktor. | |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Universitas Sumatera Utara
1.18 Persamaan Regresi Linier Berganda dalam Bentuk Matriks Analisis regresi linier berganda ialah suatu alat analisis dalam ilmu statistik yang
berguna untuk mengukur hubungan matematis antara lebih dari 2 peubah.Bentuk umum persamaan regresi linier berganda ialah sebagai berikut :
Persamaan tersebut diduga oleh persamaan di bawah ini : Ŷ =
Menentukan b , b
1
, b
2
, …, b
k
dapat menggunakan metode kuadrat terkecil melalui apa yang disebut dengan persamaan normal seperti di bawah ini :
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
[ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
]
Bentuk persamaan matriks di atas termasuk ke dalam suatu sistem persamaan linier. Mencari atau menentukan b
, b
1
, b
2
, b
3
, …, b
n
berarti mencari atau menentukan solusi dari sistem persamaan linier SPL. Mencari solusi SPL ada
berbagai macam cara, diantaranya ialah Metode Eliminasi Gauss, Metode Invers Metode Matriks yang diperbesar dan Metode Matriks Adjoin, dan Metode
Cramer. Metode Cramer merupakan metode yang paling populer dalam menentukan suatu solusi SPL karena sifatnya yang mudah dipelajari dan
sederhana. Menurut Cramer jika kita punya SPL sebagai berikut :
[ ]
[ ]
[ ]
Maka b , b
1
, b
2
, …, b
n
dapat langsung dicari dengan membagi determinan matriks A
j
dengan determinan matriks koefisien A.
Universitas Sumatera Utara
Dimana : A
j
= matriks A yang kolom ke-j-nya diganti dengan matriks Y.
Contoh:
[ ]
; [
] |
| | |
Di mana: j = 1,2,3,…,n.
sehingga:
| |
| | |
| | |
Adapun jumlah varibel bebas pada data penelitian ini ada 4. Maka, bentuk persamaannya regresi linear bergandanya dalam bentuk matriks adalah:
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
[ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
] Untuk mencari
dengan metode Cramer maka diperlukan matriks
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
Universitas Sumatera Utara
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
[ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ]
Selanjutnya adalah dengan mencari determinan dari matriks dengan metode Ekspansi Kofaktor.
| | |
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ |
|
Universitas Sumatera Utara
| | || ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ || ∑
|| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ||
+ ∑
|| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ || ∑
|| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ||
∑ ||
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
||
| | ∑ |
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ | ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ |
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ | ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
Universitas Sumatera Utara
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
| ∑ ∑
| ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
|
| | ∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
1.19
Pengujian Kriteria Statistik
Gujarati 1995 menyatakan bahwa uji signifikan merupakan prosedur yang digunakan untuk menguji kebenaran atau kesehatan dari hasil hipotesis nol dari
sampel. Ide dasar yang melatarbelakangi pengujian signifikansi adalah uji statistik estimator dari distribusi sampel dari suatu statistik dibawah hipotesis nol.
Keputusan untuk mengolah Ho dibuat berdasarkan nilai uji statistik yang diperoleh dari data yang ada.
Universitas Sumatera Utara
1.19.1 Kesalahan Standard Estimasi Untuk mengetahui ketepatan persamaan estimasi dapat digunakan kesalahan
standar estimasi standard error of estimate. Besarnya kesalahan standar estimasi menunjukkan ketepatan persamaan estimasi untuk menjelaskan nilai variabel
tidak bebas yang sesungguhnya. Semakin kecil nilai kesalahan standar estimasi, makin tinggi ketepatan persamaan estimasi yang dihasilkan untuk menjelaskan
nilai variable tidak bebas sesungguhnya. Sebaliknya, semakin besar nilai kesalahan standar estimasi, makin rendah ketepatan persamaan estimasi yang
dihasilkan untuk menjelaskan nilai variable tidak bebas sesungguhnya Algifari; 2010. Kesalahan standar estimasi dapat ditentukan dengan rumus :
√ ∑
̂
dimana: Y
i
= nilai data sebenarnya Ŷ
= nilai taksiran
1.19.2 Uji F-Statistik Uji statistik ini adalah pengujian yang bertujuan untuk mengetahui seberapa besar
pengaruh koefisien regresi secara bersama-sama terhadap variabel dependen. Adapun langkah-langkah dalam pengujian uji F-statistik adalah sebagai berikut:
1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Mencari nilai F
tabel
dari Tabel Distribusi F Dengan taraf nyata α = 0,05 dan nilai F
tabel
dengan dk pembilang v
1
= k = 4 dan dk penyebut v
2
= n – k – 1 = 24 – 4 – 1 = 19, maka di peroleh
3. Menentukan kriteria pengujian
diterima bila ditolak bila
4. Menentukan nilai statistik F
hitung
Universitas Sumatera Utara
Untuk menguji model regresi yang telah terbentuk, maka diperlukan nilai- nilai y, x
1
, x
2
, x
3,
dan x
4
dengan rumus : y Y Y
2 2
x X
Y
Y
X x
4 4
1 1
x X
Y
3 3
x X
Y
1.19.3 Koefisien Determinasi Menguji keberartian regresi linear berganda dimaksudkan untuk meyakinkan
apakah regresi yang didapat berdasarkan penelitian ada artinya bila dipakai untuk membuat kesimpulan mengenai sejumlah peubah yang dipelajari.Usman,
Husaini, dan R. Purnomo Setiady Akbar,2008.
Hipotesa : H
: Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara semua faktor yang mempengaruhi terhadap faktor yang dipengaruhi.
H
1
: Terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara semua faktor yang mempengaruhi terhadap faktor yang dipengaruhi.
Koefisien determinasi yang dinyatakan dengan R
2
untuk pengujian regresi linear berganda yang mencakup lebih dari dua variabel adalah untuk mengetahui
proporsi keragaman total dalam variabel terikat Y yang dapat dijelaskan atau diterangkan oleh variabel
–variabel bebas X yang ada dalam model persamaan regresi linear berganda secara bersama
–sama. Maka R
2
akan ditentukan dengan rumus, yaitu:
∑ Dimana:
JK
reg
= Jumlah Kuadrat Regresi R
2
= Koefisien Determinasi Harga R
2
yang diperoleh sesuai dengan variansi yang dijelaskan masing –
masing variabel yang tinggal dalam regresi. Hal ini mengakibatkan variasi yang
Universitas Sumatera Utara
dijelaskan penduga yang disebabkan oleh variabel yang berpengaruh saja yang bersifat nyata.
1.19.4 Koefisien Korelasi Analisa korelasi adalah alat statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui
derajat hubungan linier antara satu variabel dengan variabel lain. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan, terutama data kuantitatif dinamakan
koefisien korelasi. Untuk menghitung koefisien korelasi r antara dua variabel dapat digunakan rumus:
∑ ∑ ∑ √ ∑
∑ ∑
∑
Dimana: r
yx
= Koefisien korelasi antara Y dan X X
= Variabel bebas Y
= Variabel terikat
Nilai r selalu terletak antara -1 dan 1, sehingga nilai r tersebut dapat ditulis -1
r +1. Untuk r = +1, berarti ada korelasi positif sempurna antara X dan Y, sebaliknya jika r = -1, berarti korelasi negatif sempurna antara X dan Y,
sedangkan r = 0, berarti tidak ada korelasi antara X dan Y. Jika kenaikan didalam suatu variabel diikuti dengan kenaikan didalam variabel lain, maka dapat
dikatakan bahwa kedua variabel tersebut mempunyai korelasi yang positif. Tetapi jika kenaikan didalam suatu variabel diikuti oleh penurunan didalam variabel lain,
maka dapat dikatakan bahwa variabel tersebut mempunyai korelasi yang negatif. Dan jika tidak ada perubahan pada variabel walaupun variabel lainnya berubah
maka dikatakan bahwa kedua variabel tersebut tidak mempunyai hubungan. Interpretasi harga r akan disajikan dalam tabel berikut:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 1.1 Interpretasi Koefisien Korelasi
Besarnya Nilai Interpretasi
Sangat Tinggi Tinggi
Sedang Rendah
Sangat Rendah Sumber : Santoso Singgih 2000:22
Keterangan: r
= koefisien korelasi +
= menunjukkan korelasi positif −
= menunjukkan korelasi negatif = menunjukkan tidak adanya korelasi korelasi nihil
Hubungan antara variabel dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis: 1. Korelasi Positif
Terjadinya korelasi positif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang sama berbanding lurus. Artinya variabel
yang satu meningkat, maka akan diikuti peningkatan variabel lainnya. 2. Korelasi Negatif
Terjadinya korelasi negatif apabila perubahan antara variabel yang satu diikuti oleh variabel lainnya dengan arah yang berlawanan berbanding terbalik. Artinya
apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti penurunan variabel lainnya.
3. Korelasi Nihil Korelasi nihil artinya tidak adanya korelasi antara variabel.
Dalam hal ini penulis menggunakan lima variabel dalam penelitiannya, untuk hubungan lima variabel dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai
berikut: a. Koefisien Korelasi antara Y dan X
1
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
Universitas Sumatera Utara
b. Koefisien Korelasi antara Y dan X
2
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
c. Koefisien Korelasi antara Y dan X
3
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
d. Koefisien Korelasi antara Y dan X
4
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
e. Koefisien Korelasi antara X
1
dan X
2
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
f. Koefisien Korelasi antara X
1
dan X
3
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
g. Koefisien Korelasi antara X
1
dan X
4
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
h. Koefisien Korelasi antara X
2
dan X
3
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
i. Koefisien Korelasi antara X
2
dan X
4
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
Universitas Sumatera Utara
j. Koefisien Korelasi antara X
3
dan X
4
∑ ∑
∑ √ ∑
∑ ∑
∑
1.19.5 Uji t- Statistik Uji t-statistik merupakan suatu pengujian secara parsial yang bertujuan untuk
mengetahui apakah masing-masing koefisien regresi signifikan atau tidak terhadap variabel dependen dengan menganggap variabel lainnya konstan.
Adapun langkah-langkahnya adalah: 1.
Menentukan formulasi hipotesis 2.
Mencari nilai t
tabel
dari Tabel Distribusi t 3.
Menentukan kriteria pengujian diterima bila
ditolak bila 4.
Menentukan nilai statistik t
hitung
Untuk menguji hipotesis ini digunakan kekeliruan baku taksiran √
∑ Selanjutnya hitung statistik :
5. Kesimpulan
1.19.6 Uji Penyimpangan Asumsi Klasik 1.19.6.1