SDOF berhubungan dengan spektra kecepatan struktur. Sejak saat itu, peneliti pada konsep energi semakin maju secara signifikan.
2.1.1 Persamaan Energi
Fungsi keseimbangan untuk SDOF elastis akibat beban gempa dapat ditunjukaan pada Persamaan 2.1:
m + c + f
s
x, = -m
g
2.1 Dimana:
m = massa struktur.
c = damping rasio.
f
s
x, = gaya inersia. k
= kekakuan struktur. = percepatan.
= kecepatan. x
= perpindahan.
g
= percepatan batuan dasar. Persamaan 2.1 di integralkan terhadap perpindahan x Chopra 1995, sehingga
persamaan energi menjadi:
x x
g s
x x
dx x
m dx
x x
f dx
x c
dx x
m ,
2.2
Dengan menggunakan hubungan dx = dt, sehingga persamaan diatas menjadi:
Universitas Sumatera Utara
x x
g s
x x
dt x
x m
dt x
x x
f dt
x x
c dt
x x
m ,
2.3
Dimana Persamaan 2.2 dan 2.3, suku pertama energi kinetik E
k
, dan suku kedua energi redaman E
d
, dan suku ketiga energi yang diserap E
a
yang terdiri dari energi regangan elastis E
s
dan energi histeresis E
h
. Pada persamaan sisi kanan, ini merupakan energi masuk yaitu energi gempa E
i
. Oleh karena itu persamaan energi seimbang untuk SDOF dapat ditulis sebagai:
E
k
+ E
d
+ E
s
+ E
h
= E
i
2.4 Energi dalam persamaan diatas adalah energi relatif berdasarkan perpindahan
relatif antara struktur. Energi absolut dapat diperkirakan dengan menggunakan perpindahan absolut yang dihubungkan dengan gerakan tanah dan perpindahan
relatif. Uang dan Bertero 1988 menyatakan bahwa energi absolut lebih masuk akal dibandingkan dengan energi relatif, karena energi absolut bisa memperhitungkan
pergerakan kekakuan struktur. Chopra 1995 menegaskan bahwa energi relatif lebih penting karena gaya pada struktur dihitung berdasarkan perpindahan relatif dan
kecepatan relatif. Dengan membandingkan energi relatif dan absolut pada time history dari SDOF, Bruneau dan Wang 1996 menunjukkan bahwa konsepnya
berlawanan, dia menyebutkan bahwa energi masuk absolut masih bisa berfluktuasi lama setelah berakhirnya eksitasi masuk. Mereka juga menyimpulkan bahwa energi
relatif lebih berarti dari sudut pandang engineering. Perbedaan antara energi relatif dan absolut adalah perbedaan konstribusi dari
energi masuk dan energi kinetik. Namun, jumlah total menjadi sama pada getaran terakhir. Selain itu menurut Uang dan Bertero 1988 energi masuk relatif dan absolut
Universitas Sumatera Utara
hampir sama ketika periode struktur berada dalam kisaran 0.3 – 5.0 detik. Dalam perencanaan berdasarkan energi, energi histeresis memberikan kontribusi dari
deformasi plastik elemen struktur dihitung berdasarkan pada perpindahan relatif yang merupakan salah satu parameter desain yang paling penting. Untuk melihat perbedaan
antara absolut dan relatif dapat kita lihat pada Gambar 2.1 untuk SDOF.
Gambar 2.1 Idealisasi model matematis SDOF a absolut dan b relatif Bentuk energi masuk absolut pada SDOF diperluas oleh Uang dan Bertero
pada MDOF N-lantai sebagai berikut:
g N
j j
t j
T s
T t
T t
du u
m du
f cdu
u u
m u
1
2 1
dt u
u m
g N
j j
t j
1
2.5
Dimana: m
= matrik diagonal massa. c
= matrik damping. u
= perpindahan relatif tingkat. m
j
= lump mass dari lantai ke-j
th
. ü
tj
= catatan percepatan total di lantai-j
th
.
Universitas Sumatera Utara
N = jumlah lantai.
Dengan cara yang sama, dimungkinkan untuk mengekspresikan energi relatif pada MDOF sebagai berikut:
du u
m du
f cdu
u u
m u
g s
t T
2 1
dt u
u m
N j
j g
j 1
2.6
Perbedaan antara formulasi energi absolut dan relatif untuk sistem MDOF dasarnya adalah perbedaan dalam energi kinetik, yang dapat dinyatakan sebagai
berikut:
1 2
2 1
j g
N j
j g
i i
u u
m u
m E
E
2.7 Dimana:
E
i
= energi masuk absolut. E’
i
= merupakan energi akibat gaya inersia. Untuk modelisasi matematis energi relatif dan absolut pada MDOF dapat
dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Idealisasi model matematis MDOF a absolut dan b relatif
Universitas Sumatera Utara
2.1.2 Prosedur Menghitung Energi Masuk
