Kajian Experimental dan Teoritis Efek Beban Kerja Tidak di Pusat Geser Terhadap Lateral Buckling pada Balok Kantilever Struktur Baja

(1)

KAJIAN EXPERIMENTAL DAN TEORITIS EFEK BEBAN KERJA

TIDAK DI PUSAT GESER, TERHADAP LATERAL BUCKLING

PADA BALOK KANTILEVER STRUKTUR BAJA.

TESIS

Oleh

TORANG SITORUS

077016010 / TS

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

KAJIAN EXPERIMENTAL DAN TEORITIS EFEK BEBAN KERJA

TIDAK DI PUSAT GESER, TERHADAP LATERAL BUCKLING

PADA BALOK KANTILEVER STRUKTUR BAJA.

TESIS

Diajukan sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister Teknik dalam Program Studi Magister Teknik Sipil

pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara

Oleh

TORANG SITORUS

077016010 / TS

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(3)

Judul Tesis : KAJIAN EXPERIMENTAL DAN TEORITIS EFEK

BEBAN KERJA TIDAK DI PUSAT GESER, TERHADAP LATERAL BUCKLING PADA BALOK KANTILEVER STRUKTUR BAJA

Nama Mahasiswa: Torang Sitorus Nomor Pokok : 077016010

Program Studi : Magister Teknik Sipil

Menyetujui: Komisi Pembimbing,

(Dr. Ing. Hotma Panggabean) (

Ketua Anggota

Ir.Daniel Rumbi Teruna, MT)

Ketua Program Studi, Dekan,

(Prof. Dr. Ir. Roesyanto, MSCE) (Prof. Dr. Ir. Bustami Syam, MSME)

(4)

Telah diuji pada:

Tanggal 21 Desember 2010

________________________________________________________________________

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Ing. Hotma Panggabean

Anggota : Dr.Ing. Johannes Tarigan : Dr. Ir. Bachrian Lubis, MSc : Ir. Sanci Barus, MT

: Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT : Ir. Rudi Iskandar, MT.

(5)

ABSTRAK

Konstruksi baja adalah bangunan yang dirangkai dari batang batang bahan baja dan umumnya berpenampang langsing dan berdinding tipis, disebabkan sifat-sifat kekuatan yang tinggi dan keliatannya (ductility) bahan baja adalah bahan yang mahal. Pada struktur balok dengan menggunakan strip beam, yang merupakan balok dinding tipis tampang terbuka, ketika terjadi aksi beban sampai kondisi beban kritis yang menjadi daya tahan struktur tersebut terhadap lateral buckling hanya dipikul oleh web (badan), dan besarnya sangat rendah dibanding arah sumbu kuatnya ( sb- x ). Pembuatan sayap

(flens), akan menyebabkan peningkatan konstanta warping (Iw), sehingga beban yang

dapat dipikul oleh balok terhadap lateral buckling menjadi bertambah, dan daya tahan balok terhadap pembebanan mengalami peningkatan. Disini dapat dilihat bahwa kondisi awal tampang tanpa flens dan seterusnya penambahan flens yang semakin besar akan semakin besar pula pertambahan kekuatan lateral buckling balok tersebut, demikian juga sejajar dengan hal ini tentang beban yang diposisikan di atas, di pusat geser atau di bawah balok akan mengalami perbedaan yang signifikan sebanding dengan parameter Inersia warping yang semakin besar akan memperbesar perbedaan besar beban yang dapat ditahan balok tersebut pada posisi di atas dan di bawah. Apabila beban di atas balok maka akan ada pertambahan momen sebesar Pcr.½_.β_{.h yang memperlemah balok tersebut.dan} sebaliknya apabila posisi beban ada di bawah balok akan diperkuat sebesar di atas tadi dan pengurangan/pertambahan ini akan tergantung pada faktor Iω.(konstanta warping). Maka penelitian ini akan membuktikan fenomena stabilitas tersebut di atas. Dengan memilih kasus balok kantilever baja tampang double simetris yang langsing di mana (ly <<Ix) dengan beban vertikal tertentu, perilaku struktur yang dibebani akan mengalami deformasi, di samping deformasi vertikal juga akan terjadi deformasi lateral dan lebih lanjut terjadi lateral buckling. Untuk mengetahui perilaku dan kemampuan balok dalam memikul beban, secara teoritis dan praktis telah dilakukan perhitungan dan percobaan eksperimental dengan merancang peralatan pembebanan dan benda uji secara manual melalui proses pengelasan terhadap benda uji, strip beam 150 x 4-1600mm; I Beam 150 x 40 x 4 - 1600mm dan I Beam 150 x50x 4-1600mm. Masing masing benda uji di atas akan diuji dengan sentuhan beban di atas flens, di pusat geser dan di bawah flens. Variasi ini dilakukan agar terlihat apakah ketahanan lateral buckling terjadi pada besar beban yang berbeda lebih dahulu atau setelah beban berdasarkan kejadian elastis. Dan hasil pengujian ternyata benda uji strip beam telah mencapai beban kritis pada kondisi tegangan elastis, sedangkan benda uji I Beam perolehan beban kritis telah melampaui kondisi tegangan elastis, namun masih berada di bawah tegangan leleh baja.

(6)

ABSTRACT

Steel construction is a building constructed from still bars with slim profile and thin wall. Because of its remarkable strength and ductility, steel is an expensive material. In a block structure with strip beam, a thin wall beam with open profile, the load action up to the critical load condition which becomes the durability of the structure toward the lateral buckling is only supported by web, and compared to its strong axis direction (sb – x), the amount of the load is very low. The making of flens will result in an increase of constant warping (Iω) that the load can be supported by the beam toward the lateral buckling increases and the durability of the beam toward the load is increasing. Here we can see that the initial condition of profile without flens, and the bigger the number of flens, the bigger the lateral strength of the buckling block. The same thing occurred with the load positioned either on the beam, in the center of shift, or under the beam will show a significant difference compatible to the parameter. The increasing inertia warping will maximize the difference of amount of load that can be supported by the beam at the above or below position. If the load is on the beam there will be an additional moment for Pcr.½β.h which weakens the beam and on the contrary, if the position of load is under

the beam, the beam will be strengthened for the amount mentioned above and this subtraction/addition will depend on the factor of Iω (constant warping). This study will prove the stability phenomenon mentioned above. By choosing the case of steel cantilever beam with slim double symmetrical profile, where (ly << Ix) with a certain vertical load, the behavior of loaded structure will experience a deformation; vertical and lateral deformations and further lateral buckling occurs. To know the behavior and capability of the beam in supporting the load, theoretically and practically, a calculation and experimental study to design a loading equipment and a test material have been done manually through a process of welding the test material; strip beam 150 x 4 – 1600 mm; I beam 150 x 40 x 4 – 1600 mm. Each of the test materials mention above will be tested with load touch on the flens, in the center of shift, or under the flens. This variation was done to see whether the durability of lateral buckling occurred on the different amount of load first or after the test material was loaded based on the elastic occurrence. The result of the test showed that strip beam, the test material, had reached the critical load at the elastic tension condition, while I Beam, another test material, reached the critical load after passing the elastic tension condition, but it was still under steel melting tension.

(7)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang

atas limpahan rahmat dan karuniaNya, yang telah memberikan kesempatan, kekuatan,

dan kesehatan, sehingga penulisan tesis yang berjudul: “Kajian experimental dan

teoritis efek beban kerja tidak di pusat geser terhadap lateral buckling pada balok kantilever struktur baja”, dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Sejak awal

perkuliahan sampai proses penulisan dan pelaksanaan tesis ini banyak pihak yang telah

turut menyumbangkan pikiran, saran, motivasi, materi dan spiritual. Dalam kesempatan

yang baik ini ucapan terima kasih yang setulus-tulusnya disampaikan kepada:

Bapak Dr. Ing. Hotma Panggabean sebagai Ketua Tim Komisi Pembimbing dan

Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT sebagai Pembimbing, telah memberikan perhatian

penuh sejak awal penulisan proposal, penelitian hingga selesainya penulisan tesis ini.

Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, Bapak Prof. Dr. Ir. Bachrian Lubis, MSc, Bapak

Ir. Sanci Barus, MT, yang menjadi pembanding dan penguji telah memberikan

saran-saran dan koreksi untuk memperluas bahasan serta bekal pengetahuan konstruksi baja.

Bapak Prof. Dr. Ir. Roesyanto, MSCE sebagai Ketua Program Studi Magister

Teknik Sipil USU. Bapak Ir. Rudi Iskandar, MT, selaku Sekretaris Program Studi

Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara, tak pernah surut memberi dorongan

dan nasehat.

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc (CTM) Sp.A(K) selaku

Rektor Universitas Sumatera Utara, Bapak Prof. Dr. Ir. Bustami Syam, MSME selaku

Dekan Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Pemerintah Republik Indonesia,

(8)

pendidikan di Program Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara. Secara khusus bapak

bapak staf pengajar Fakultas Teknik sipil USU, khusus nya bapak Ir.Besman Surbakti

MT yang telah banyak memberikan saran sehingga tulisan ini menjadi lebih baik. Seluruh

Dosen dan Staf Program Studi Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

Seluruh rekan Mahasiswa Program Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara

umumnya dan khusus nya angkatan ke 7 tahun 2007/2008.

Isteri dan Anak-anakku tercinta, yang telah memberikan dukungan selama masa

pendidikan di Universitas Sumatera Utara. Mereka yang tidak dapat disebutkan satu

persatu identitasnya, yang secara langsung ataupun tidak langsung telah memberikan

kontribusinya selama pendidikan di Program Magister Teknik Sipil Universitas Sumatera

Utara. Saya sadari bahwa, sebagai manusia biasa tentu tidak akan pernah memperoleh

solusi yang sempurna atas usaha dan karyanya, oleh karena itu kepada pejuang ilmu

pengetahuan di masa yang akan datang, semoga dapat memberikan peningkatan dan

pencerahan kembali terhadap khasanah ilmu pengetahuan yang pernah ada, sehingga

diperoleh sesuatu yang berharga bagi kemajuan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi dan

kejayaan Bangsa Indonesia. Terima Kasih.

Medan, 21 Desember 2010

(Torang Sitorus) 077 016 010/TS

(9)

RIWAYAT HIDUP

A. DATA PRIBADI

Nama : Torang Sitorus

Tempat Tangga Lahir : Porsea, Taput, 02 Oktober 1957 Alamat : Jln.Pengilar XI No.9 Medan Agama : Kristen Protestant

Anak ke- : 12 (dua belas) Jenis Kelamin : Laki-laki

B. RIWAYAT PENDIDIKAN

- SR (Negri Siraituruk Porsea) : 1964 - 1969 - SMP (Negri Siraituruk Porsea) : 1970 - 1972 - STM HKBP (4 tahun) (P.Siantar) : 1973 - 1976 - Fakultas Teknik Jurusan Sipil USU : 1977 - 1985 - Magister Teknk Sipil Program Pascasarjana USU : 2007 – 2010

C. RIWAYAT PEKERJAAN

- Manager Teknik Sipil di PT.Tulung Agung Medan, sejak tahun 1987-1990 - Manager Teknik Sipil di PT.Torganda Medan,tahun 1990-1996

- Menjadi staf pengajar / dosen di Fakultas Teknik Sipil di Unversitas Sumatera Utara sejak tahun 1986.

- Sekarang memberi mata kuliah Struktur Bangunan Sipil dan Konstruksi Baja di Fak.Teknik Jurusan.Sipil USU Medan.

(10)

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK ... i

ABSTRACT ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

RIWAYAT HIDUP... v

DAFTAR ISI ... vi

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

DAFTAR NOTASI ... xiv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar belakang ... 1

1.2 Permasalahan ... 3

1.3 Landasan teori... 5

1.4 Tujuan penelitian... 5

1.5 Manfaat penelitian... 6

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 7

2.1 Pengantar ... 7

2.1.1 Umum ... 7

2.1.2 Klassifikasi dan idealisasi suatu konstruksi ... 7

2.2 Konsep teori karakteristik material baja ... 9

2.3 Konsep teori stabilitas struktur ... 10

2.4 Elastisitas yang linier ... 12

2.5 Properti penampang baja ... 15

2.6 Tegangan elastis akibat momen lentur pada penampang ... 18

(11)

2.8 Tegangan akibat gaya torsi pada penampang ... 24

2.9 Metode Energy ... 30

2.9.1 Pendahuluan ... 30

2.9.2 Energi regangan, U (Strain energy) ... 31

2.9.3 Energi potensial, V (Potensial energy) ... 33

2.9.4 Fungsi hampiran (shape function) ... 35

2.10 Tekuk lateral pada balok kantilever ... 36

2.11 Metode energy dan Metode numeric pada balok kantilever . 38

2.12 Tekuk lateral pada balok I diatas dua tumpuan sederhana ... 40

2.13 Tekuk lateral pada balok kantilever I di atas tumpuan jepit- bebas ... 46

2.14 In-Elastic buckling dan tegangan residu ... 51

BAB III METODE PENGUJIAN ... 52

3.1 Pemeriksaan fisik benda uji ... 52

3.2 Pembuatan tumpuan dan rangka dial indikator ... 52

3.3 Pembuatan benda uji ... 55

3.4 Pembebanan dan tuas penggantung beban ... 56

3.5 Pengujian ... 58

3.6 Hasil pengujian ... 60

BAB IV ANALISA HASIL PANGUJIAN DAN PEMBAHASAN... 62

4.1 Hasil laboratorium pengujian mutu baja bahan uji ... 62

4.2 Perhitungan Pcr (beban kritis) dengan teoritis ... 62

4.3 Hasil Pengujian Laboratorium untuk lateral buckling …... 68

4.3.1 Benda uji balok kantilever Strip Beam 150 x 4 – 1600 mm ... 68

4.3.2 Benda uji Balok Kantilever I Beam 150 x 40 x 4 – 1600 mm ... 71

4.3.3 Benda uji Balok Kantilever I Beam 150 x 50 x 4 – 1600 mm ... 74

(12)

4.4 Perbedaan perolehanhasil pengujian Pcr pada struktur balok kantilever akibat letak posisi sentuh beban yang

berbeda ...………... 76

4.5 Perbedaan tegangan pada saat Pcr terjadi pada eksperimen dan teoritis... 79

4.6 Tegangan izin elastis untuk perencanaan menurut PPBBI’ 1983 ……... 81

4.7 Penyimpangan/bias hasil antara nilai eksperimen dan nilai teoritis …... 82

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 84

5.1 Kesimpulan ... 84

5.2 Saran saran ... 85

DAFTAR PUSTAKA ... 86

(13)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

1.1 Beban mesin katrol pada balok I ... 1

1.2 Lateral buckling dan putaran sudut profil I & posisi kontak beban berbeda ... 2

2.1 Contoh idealisasi komponen struktur ... 8

2.2 Contoh konstruksi dua dimensi dari gabungan elemen dimensi. satu ... 8

2.3 Contoh konstruksi tiga dimensi dari gabungan elemen dimensi satu ... 9

2.4 Grafik tegangan – regangan material baja ... 10

2.5 Tiga kondisi keseimbangan statis (teori stabilitas) ... 11

2.6 Komponen tegangan pada satu unit elemen solid ... 13

2.7 Komponen tegangan pada satu unit elemen bidang ... 13

2.8 Contoh type type penampang baja ... 15

2.9 Profil umum penampang baja dinding tipis terbuka ... 16

2.10 Elemen memanjang balok dengan kurvature φ ... 18

2.11 Kesetimbangan gaya dan momen pada elemen balok ... 19

2.12 Profil balok yang mempunyai tebal dengan adanya momen ... 20

2.13 Resultan tegangan bekerja pd unit elemen panjg dz pd balok ... 21

2.14 Distribusi tegangan normal akibat momen ... .22

2.15 Tegangan normal dan geser pada unit elemen panjang dz pada balok ... 22

(14)

Nomor Judul Halaman

2.17 Aliran gaya geser pada tampang berbagai profil ... 23

2.18 Momen torsi pada tampang profil bulat ... 24

2.19 Aliran gaya geser torsi pada tampang profil tipis tertutup... 24

2.20 Tegangan normal terjadi akibat warping ... 26

2.21 Tegangan geser St.Venant pada tampang persegi akibat torsi ... 26

2.22 Perputaran pada balok I kantilever akibat momen torsi ... 27

2.23 Lenturan kesamping akibat adanya warping ... 27

2.23a Terjadi tegangan normal dan geser akibat Momen Mz,sv dan Mz,w ... 28

2.24 Energy regangan oleh beban gaya P... 30

2.24a Energy regangan oleh beban aksial ... 31

2.24b Energy regangan oleh beban momen lentur ... 32

2.24c Pergeseran batang karena melentur ... 33

2.24d Balok melentur oleh beban tunggal ... 34

2.24e Balok melentur oleh beban merata ... 35

2.24f Balok kantilever dengan beban ... 35

2.25 Lateral buckling pada balok kantilever (a)sebelum buckling (b) terjadi buckling (c) Potongan terbuckling pada satu titik tertentu .. 36

2.26 Komponen Mx dan Mz pada sb X’ , Y’ dan Z’ ... 37

2.27 Geometrik deformasi lateral (lateral buckling) ... 37

2.28 Beban di pusat geser dan pada jarak yp dari pusat geser ...

(15)

2.29 Beban balok diatas dua tumpuan sederhana jarak yp

2.29a Beban balok kantilever jarak y

dari pusat geser

Nomor Judul Halaman

dari pusat geser ... 46

2.30 Elastic dan inelastic buckling ... 51

2.31 Lateral buckling teoritis dan eksperimen ... ... 51

2.32 Tegangan residu pada profil hot rolled dan las ... 51

3.1 Portal balok uji dan beban ... 52

3.2 Detail tumpuan jepit ... 53

3.3 Elemen rakitan tumpuan jepit (ukuran dalam mm) ... 54

3.4 Rangka bantalan dial indikator (ukuran dalam mm) ... 54

3.5 Profil balok benda uji (ukuran dalam mm) ... 55

3.6 Type balok benda uji (ukuran dalam m) ... 56

3.7 Keranjang beban (ukuran dalam mm) ... 57

3.8 Tuas penggantung beban ... 57

3.9 Posisi tuas pembebanan ... 57

3.10 Pola pergerakan dial ukur displasemen ... 59

3.11 Pembacaan dial ukur untuk arah horizontal dan vertikal ... 59

3.12 Kriteria pencatatan Pcr eksperimen ... 61

4. Posisi gantungan beban pada penampang balok uji ... 65

4.1 Hubungan antara beban dan displasemen balok I.Strip.Beam150.4.1600 ………... 69

4.2 Hubungan antara beban dan sudut twisting (β), I.Strip.beam150.4.1600 …….………... 70

(16)

4.3 Hubungan Antara Beban dan Perpindahan pada

I.beam.150.40.4.1600 ……...………... 72

4.4 Hubungan Antara Beban dan Sudut Puntir (β),pada

I.beam150.40.4.1600 ………... 73

Nomor Judul Halaman

4.5 Hubungan Antara Beban dan Perpindahan pada

I beam 150.50.4.1600 ………... 75

4.6 Hubungan Antara Beban dan Sudut Puntir (β),pada

I beam150.50.4.1600 .………... 76

4.7 Beban Pcr secara teoritis, eksperimen dan Pruntuh eksperimen ... 77

4.8 Hubungan antara Lebar flens b vs Beban Pcr teoritis & eksperimen 78

(17)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

2.1 Konstanta Warping berbagai penampang ... 29

3.1 Pemilihan balok uji ... 56

4.1 Hasil pengujian kekuatan tarik bahan uji …..………... 62

4.2 Hasil nilai pengujian Pcr,eksperimen dan Pruntuh, eksperimen ... 77

4.3 Persentase naik turunnya Pcr secara teoritis dan eksperimen ……. 78

4.4

σ

cr saat Pcr terjadi secara teoritis dan eksperimen ..……… 80

4.5 Tegangan dan beban yang menentukan masing masing balok kantilever ... 81

4.6 Penyimpangan/bias hasil antara nilai eksp dan nilai teoritis………. 82 xii

(18)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

1. Tabulasi data pembacaan Dial indikator ... 87

2. Dokumentasi penelitian ... 100

3. a.Rekapitulasi hasil uji tarik (Tensile test) bahan uji ... 109

b. Dimensionless parameter Pcr

4. Laporan hasil uji tarik (tensile test) Lab Polyteknik Medan ... 110 untuk balok kantilever ... 109 xiii

(19)

DAFTAR NOTASI

β = Sudut perputaran penampang (angle of twist) u = Perpindahan lateral pusat geser

v = Perpindahan vertical (lenturan vertical) pusat geser

φ = fungsi sudut curvature lenturan

λ = Faktor √GJ/EIw

ε = Regangan axial

εx

= Regangan arah sb-x

= Regangan arah sb-y

τ = Tegangan geser = Regangan arah sb-z

τx

= Tegangan geser arah sb-x

= Tegangan geser arah sb-y

= Tegangan geser arah sb-z

xy,τyx,τxz,τzx,τyz,τzy

γ = Regangan geser

= Komponen tegangan geser arah suatu sumbu

γxy,γyx,γxz,γzx,γyz,γzy

π = Angka tetap = 22/7 = π

= Komponen regangan geser arah suatu sumbu xiv

(20)

σ = Tegangan normal

υ, µ = Poisson ratio

θ = Sudut twisting max, diujung balok

δ = Perpindahan lateral max pusat geser, diujung balok Iω

I = Momen inersia (momen kedua penampang) = Konstanta warping

= Momen inersia terhadap sb-x

V = Gaya lintang (gaya geser) = Momen inersia terhadap sb-y

Vx V

= Gaya lintang (gaya geser) arah sb-x

S = Momen statis (momen pertama penampang) = Gaya lintang (gaya geser) arah sb-y

x = Sumbu orthogonal x

= Momen statis (momen pertama penampang) terhadap sb-x

y = Sumbu orthogonal y

z = Sumbu orthogonal z

P = Beban terpusat

A = Luas tampang original

L = Panjang bentang

Pcr = Beban kritis

Pel

H,h = Tinggi penampang = Beban kondisi elastis

B,b = Lebar penampang

(21)

E = Modulus elastisitas

∆σ = Pertambahan tegangan

∆L = Pertambahan panjang G = Modulus geser

J = Konstanta torsi St.Venant

t = Tebal sesuatu materi

s = Panjang suatu garis lengkung

ξ = Sumbu principal orthgnl sb-η

η = Sumbu principal orthgnl sb-ξ

σx = Tegangan normal arah sb-x

σy = Tegangan normal arah sb-y

σz = Tegangan normal arah sb-z

σl = Tegangan leleh

σu

σcr = Tegangan kritis = Tegangan ultimate

σel

M = Momen lentur = Tegangan elastis

Mz = Momen lentur arah sb-z

My = Momen lentur arah sb-y

Mx = Momen lentur arah sb-x

∆ε = Regangan rata rata

(22)

ABSTRAK

(flens), akan menyebabkan peningkatan konstanta warping (Iw), sehingga beban yang

(23)

ABSTRACT

(24)

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang

Hal yang umum terjadi dalam pelaksanaan di lapangan, bahwa kondisi beban

balok struktur baja tidak selalu persis bekerja pada pusat geser. Apabila diteliti khususnya

dalam konsep stabilitas struktur, sangat berbeda efek lateral buckling jika posisi beban

yang bekerja, tidak di pusat geser balok dengan tepat di pusat geser. Maka dengan

penelitian ini perlu dilakukan suatu langkah pengujian untuk penomena di atas, dan

memperbandingkan hasil yang dicapai dengan hasil berdasarkan teoritis. Harapan dari

penelitian ini kita memperoleh manfaat pengetahuan dalam perencanaan yang lebih

akurat dan beralasan, serta dapat kita bayangkan suatu alternatip pengkondisian beban

yang lebih tepat pada rencana yang dilakukan, dapat dilihat contoh perbedaan posisi

beban tersebut pada Gambar 1.1.

(A) = Beban di bagian atas profil dan( B) = Beban di bagian bawah profil

xviii

(25)

( u+β.h/ 2)

( h)

( u) ( u β.h/2) β

( h) ( h)

β β

( u+β.h/ 2)

( u) ( u β.h/2)

( u+β.h/ 2)

( u) ( u β.h/2) P

P P

Gambar 1.1. Beban mesin katrol pada balok I

Fenomena yang akan diteliti di dalam tulisan ini adalah menyangkut hal kestabilan yang

berbeda akibat posisi beban yang berbeda, dengan posisi kontak beban pada struktur

balok di atas, di pusat geser dan di bawah balok tersebut Gambar 1.2.

Gambar 1.2. Lateral buckling dengan putaran sudut profil I dan posisi kontak beban berbeda.

Penelitian di laboratorium meninjau suatu balok kantilever yang menggunakan

profil strip beam dan I beam dengan luas tampang yang berbeda beda, tetapi tinggi yang

sama, dengan perletakan balok jepit bebas. Pada struktur balok yang menggunakan strip

beam, merupakan balok dinding tipis tampang terbuka. Ketika terjadi aksi beban sampai

kondisi beban kritis, besaran beban ini menjadi daya tahan struktur tersebut terhadap

lateral buckling yang hanya dipikul oleh web (badan), dan besarnya sangat rendah

dibanding arah sumbu kuatnya (sb-x). Pembuatan sayap (flens) akan menyebabkan

peningkatan konstanta warping (Iw), sehingga beban yang dapat dipikul oleh balok

terhadap lateral buckling menjadi bertambah, dan daya tahan balok terhadap pembebanan

mengalami peningkatan. Hal ini dapat membuktikan bahwa kondisi awal tampang tanpa

(A) =Beban di atas balok, (B)=Beban di pusat geser balok dan (C)=Beban di bawah balok

(B)

(A) (C)

1 2

(26)

sayap dan seterusnya, penambahan sayap yang semakin besar akan semakin besar pula

pertambahan kekuatan lateral buckling balok tersebut, demikian juga sejajar dengan hal

ini tentang beban yang diposisikan di atas, di pusat geser atau di bawah balok akan

mengalami perbedaan yang signifikan sebanding dengan parameter Inersia warping yang

semakin besar akan memperbesar perbedaan besar beban yang dapat ditahan balok

tersebut pada posisi beban di atas dan di bawah. Apabila beban di atas balok akan ada

pertambahan momen sebesar Pcr.½_.β_{.h yang memperlemah balok tersebut.dan} sebaliknya apabila posisi beban ada di bawah balok akan diperkuat sebesar Pcr.½_.β_.h dan pengurangan/pertambahan ini akan tergantung pada faktor Iω (konstanta warping).

Secara praktis melalui uji eksperimental akan dapat dilihat sejauh mana penomena Iω

1.2. Permasalahan

memberikan kontribusi terhadap perbedaan besar kekuatan balok dengan beban di atas ,

di pusat geser atau di bawah balok , melalui penomena tekuk lateral ( lateral buckling

penomenon).

Untuk mencapai kemudahan dalam penelitian penomena ini, maka dipilihlah

balok kantilever sebagai struktur pengujian. Komponen struktur konstruksi yang terbuat

dari profil profil baja biasanya terdiri dari penampang penampang berdinding tipis, ada

yang berdinding tipis terbuka atau berdinding tipis tertutup. Untuk penelitian ini akan

dilakukan pada balok bertampang I double simetris, dan menguji hal yang mungkin

terjadi perbedaan pada kestabilan, apabila lebar sayap balok I berbeda beda daya

dukungnya juga berbeda terhadap bahaya lateral buckling, boleh saja sebagai benzmark

penelitian dengan balok I tanpa sayap dan secara bertahap menambah lebar sayap, seperti 3

(27)

apa akibat perbedaan tersebut mempengaruhi kekuatan terhadap terhadap lateral buckling

tersebut. Dengan keterbatasan bahan dan syarat teoritis, maka perlu ditetapkan suatu

pembatasan dengan asumsi serta keterbatasan berbagai hal, maka dalam penelitian ini

ditentukan beberapa pembatasan masalah yaitu :

1. Beban yang bekerja adalah beban vertikal terpusat pada ujung balok ,tepat pada

sumbu memanjang balok.

2. Balok adalah profil plat berdinding tipis terbuka (t / h < 0.1).

3. Tegangan terjadi bersifat linier elastis sehingga berlaku hukum Hooke.

4. Tegangan tegangan residu yang terjadi jika ada pada saat perakitan balok

diabaikan.

5. Balok uji adalah 3 jenis penampang dengan tinggi yang sama dengan tampang

strip dan tampang I juga berdinding tipis yang symetris dua arah, dan dirakit

secara manual (tampang tipis terbuka).

6. Analisa yang dilakukan dengan prinsip prinsip tekuk lateral elastis.

7. Tidak terjadi perobahan bentuk penampang (tekuk distorsi).

8. Balok adalah profil berpenampang double simetris.

9. Beban hanya beban vertikal (gravitasi) dan berat sendiri diabaikan, karena

eksperimen ini untuk membuktikan penomena.

10.Efek geser diabaikan.

Balok baja kantilever, dengan beban vertikal terpusat tertentu akan mengalami

deformasi vertikal apabila penambahan beban terus berlanjut, di samping deformasi

vertikal itu juga akan terjadi deformasi ke arah lateral yang disebut terjadi tekuk lateral 4

(28)

(lateral buckling). Namun penomena tekuk lateral itu akan berbeda jika peletakan beban

tepat di sisi atas, di pusat geser dan di sisi bawah penampang dan menghasilkan besar

kekuatan lateral buckling yang berbeda pula. Maka kondisi tersebut di atas perlu

dibuktikan agar di waspada i bahwa kondisi posisi beban itu akan menentukan pada

puncak pencapaian kerusakan/keruntuhan pada struktur apabila mengalami pembebanan

yang berlebihan. Apabila beban tersebut bekerja pada sisi atas profil sejarak ½ h dari

pusat geser akan lebih bahaya dari pada beban bekerja langsung di pusat geser karena

terjadinya pertambahan torsi sebesar Pβ½h, yang akan menambah besar perputaran penampang (twisting) pada arah lateral, serta akan mengurangi ketahanan tekuk terhadap

lateral. Penelitian ini akan berkonsentrasi pada pemberian beban P yang menentukan

sampai mencapai kegagalan elastis struktur balok kantilever terhadap lateral buckling

yang direncanakan, dengan beban diposisikan di atas, di titik pusat dan di bawah profil

balok dan menggunakan profil I dengan Ix >> Iy. Variasi pengujian akan dilakukan agar

terlihat seberapa jauh penomena perbedaan posisi kontak beban mempengaruhi besar

beban yang dapat ditanggulangi satu balok setelah pembebanan berdasarkan kondisi

elastis.

1.3. Landasan teori

Landasan teori dalam kelebihan dan kekurangannya sering berbeda beda

pencapaian suatu hasil yang lebih akurat, maka untuk penelitian ini dipilih dari antara

berbagai model dipakai teori model energi.

1.4. Tujuan Penelitian

(29)

Penelitian ini mengamati efek fenomena lateral buckling pada balok I dengan

beban gravitasi murni, menjadi landasan pengetahuan dasar dalam perencanaan struktur

baja apabila beban bekerja tidak di pusat geser dan lebih luas pada berbagai kemungkinan

beban yang lebih kompleks pada struktur baja. Pengamatan beban kritis yang mengalami

bahaya lateral buckling pada balok kantilever sederhana ini dibagi dalam tiga posisi

peletakan beban antara lain pertama posisi di atas balok, kedua di pusat geser dan ketiga

di bawah balok. Balok dibebani dengan pembebanan vertikal terpusat dan tumpuan jepit

bebas, sehingga dilakukan pengujian serta pengkajian terhadap minimum 3 buah benda

uji yang sama. Pengamatan perilaku balok dicermati pada saat kumulasi beban telah

mendekati besaran beban kritis secara teoritis, dan mendata nilai yang diperoleh dari

hasil pengujian. Selanjutnya dapat diambil beberapa kesimpulan berdasarkan analisa

lateral buckling pada balok baja tersebut dan mengkaji fenomena-fenomena yang terjadi

saat penelitian.

1.5. Manfaat penelitian

Secara praktis prinsip dalam pembangunan struktur baja, pada perencanaan yang

akurat ataupun praktis, penelitian ini dapat memberi gambaran kestabilan yang maksimal

pada satu balok baja yang akan menerima beban, sehingga beban tersebut di mana

baiknya diletakkan / dikonstruksikan agar dapat dicapai kekuatan arah lateral yang lebih

efektif dan menguntungkan, dan menjadi prinsip praktis bagi ilmu dan pengetahuan sifat

sifat struktur baja.

(30)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pengantar

2.1.1. Umum

Pada dasarnya inovasi terhadap produk konstruksi dicapai berdasarkan disiplin,

harga, dan faktor pemikiran para pelaku konstruksi. Dengan kreasi membuat wujud baru

dan menggunakan cara cara penyelesaian melalui, proses yang baru, bahan baru dengan

efisiensi tinggi untuk mencapai hasil struktur yang baru, dan lebih dalam lagi bahwa

engineer perlu menghasilkan produk yang ekonomis, akan tetapi mengutamakan faktor

keselamatan terhadap pemakai, dengan dasar pemikiran yang teoritis dapat menjadi

pegangan pada kenyataan. Membuat suatu idealisasi yang dikembangkan menjadi dasar

pengembangan. Persoalan engineering sangat sering dilakukan dengan pendekatan

pendekatan yang lebih memungkinkan dalam langkah langkah penyelesaian masalah.

Akhirnya konsep diatas digunakan untuk pengembangan engneering dengan membuat

alternatif alternatif dari solusi yang bemacam macam.

2.1.2. Klassifikasi dan idealisasi suatu konstruksi

Konstruksi dalam kenyataan, sebenar benarnya semua berdimensi ruang, apabila

(31)

a) Balok lurus

b) Rangka batang

a) Struktur elemen dimensi tiga b) Struktur elemen dimensi dua c) Struktur elemen dimensi satu Z

tetap dilakukan suatu simplifikasi atau idealisasi, misalnya dengan asumsi asumsi yang

tidak membahayakan apabila ada efek yang diabaikan.

Contoh simplifikasi dengan mengidealisasi komponen komponen struktur Gambar.2.1.

Suatu struktur elemen dua dimensi, mempunyai tiga dimensi saling tegak lurus

,akan tetapi salah satu dimensi secara relatif tidak begitu berpengaruh apabila diabaikan,

maka di idealisasi-kan menjadi struktur berkomponen (ber dimensi) dua, contohnya suatu

lantai bangunan yang tipis dibanding panjang lebarnya, lantai kapal, sayap pesawat dan

lain lainnya.Susunan konstruksi berdimensi dua atau konstruksi ber dimensi tiga dapat

didirikan dari elemen elemen struktur elemen ber dimensi satu (Gambar 2.2 dan 2.3).

Gambar 2.1. Contoh idealisasi komponen struktur

a) b) c)

7 8

(32)

a) Portal ruang b) Rangka batang ruang

c) Balok balkon

2.2. Konsep teori karakteristik material baja

Untuk struktur baja yang paling penting salah satunya adalah sifat sifat

karakteristik kekuatan material baja tersebut.ketika pembebanan berlaku maka pada tahap

mula mula sampai batas tertentu berada pada kondisi elastis, kemudian dengan ber

tambah-nya beban kondisi elastis ini akan beralih ke tahap plastis dan seterusnya

mencapai puncak beban yang dapat ditahan sehingga akhirnya akan runtuh. Perilaku ini

dapat digambarkan dengan hubungan antara tegangan regangan yang terjadi dan

dirumuskan oleh Hooke bahwa,

σ = E.ε ...………...2.1 Gambar 2.2. Contoh konstruksi dua dimensi dari gabungan elemen dimensi satu

Gambar 2.3. Contoh konstruksi tiga dimensi dari gabungan elemen dimensi satu 9

(33)

Regangan ε Regangan ε Tegangan σ

Daerah elastis

Daerah plastis

Tegangan Maximum

Titik Runtuh

σYIELD σY

Daerah pengerasan regangan ε

P L

∆L

σ ult Daerahelastis Daerah_plastis

Tegangan σ

Lengkung alternatif peralihan elastis -plastis dimana, ε = ∆L / L

σ = Tegangan yang terjadi , ε = Regangan yang terjadi , E = Modulus elastisitas , L = Panjang semula dan ∆L = Perobahan panjang.

Gambar 2.4. Grafik tegangan – regangan material baja

Pada peralihan elastis ke plastis terjadi suatu tegangan proporsional tiba tiba dan

daerah plastis sering antara 8 sampai 20 kali daerah elastis dan daerah plastis akan ber

alih ke daerah pengerasan regangan, seterusnya dengan pertambahan tegangan dan

regangan yang non linier, sampai mencapai tegangan maximum, kemudian mulai terjadi

regangan meningkat terus tetapi tegangan nominal tersebut menurun akhir nya terjadi

keruntuhan.

2.3. Konsep teori stabilitas struktur

Keunggulan bahan struktur dari baja yang terutama adalah sifat kekuatan yang

tinggi dan sifat keliatannya (‘high ductility,) sehingga mampu berdeformasi secara nyata 10

(34)

sebelum terjadi kegagalan. Pada perencanaan suatu konstruksi baja diharapkan struktur

yang dihasilkan akan dapat menahan beban rencana tanpa terjadi deformasi yang dapat

menyebabkan struktur bangunan mengalami keruntuhan.

Dalam hal ini biasanya struktur dirancang dengan kekakuan yang mantap, sehingga

beban rencana yang dipikul oleh struktur berada pada kondisi aman. Konsep stabilitas

pada suatu struktur baja biasanya diterapkan sebagai prinsip dasar, maka setiap

perencanaan harus mempertimbangkan kondisi keseimbangan, karena sistem struktur

akan terganggu keseimbangannya jika diberi beban, ada 3 alternatif dasar yang dapat

menjadi prinsip dasar keseimbangan tersebut antara lain :

1. Jika sistem struktur tetap berada pada posisi originalnya, maka sistem tersebut

dikatakan stabil, artinya jika beban ditiadakan maka sistem kembali seperti

semula Gambar 2.5(a)

2. Jika sistem struktur menerima besar beban tertentu, apabila beban tersebut

dihilangkan maka sistem akan kembali seperti semula, tetapi apabila beban

ditambah sedikit saja maka sistem tersebut tidak lagi kembali seperti semula

walaupun beban ditiadakan, kondisi ini dikatakan netral, artinya besar beban itu

adalah beban kritis Gambar 2.5(b)

3. Jika sistem struktur terus bergerak, dan cendrung tidak mampu mendukung beban,

maka sistem tersebut dikatakan tidak stabil Gambar 2.5(c)

Konsep stabilitas dari ketiga keseimbangan tersebut di visualisasikan dengan sebuah bola

yang bergulir di atas suatu bidang pada Gambar 2.5.

(35)

Akibat karakter ketidak stabilan tersebut akan terjadi perubahan geometri yang dihasilkan

oleh kehilangan kemampuan memikul beban tersebut. Pada bagian (a) beban P<Pcr,

maka kondisi struktur masih berada dalam keadaan stabil, dan pada bagian (b) jika P=Pcr maka struktur berada pada kondisi mulai tidak stabil sehingga nilai Pcr adalah suatu nilai

yang menjadi batas peralihan kondisi struktur stabil dan tidak stabil (labil). Apabila

pembebanan melebihi Pcr maka struktur akan mengikuti pola keruntuhan nya dan tidak

dapat kembali lagi pada kondisinya semula bagian (c), dengan kata lain telah terjadi

perubahan geometri dan sifat kekuatan bahan tersebut. Masalah ini menjadi penting bagi

perencana struktur baja untuk diterapkan, selain pertimbangan tercapainya kekuatan

maximum, kekakuan juga harus dipertimbangkan untuk kestabilan.

2.4. Elastisitas yang linier

Asumsi pada bahan dalam bahasan ini dianggap sebagai berikut ini :

1. Hubungan tegangan dan regangan untuk serat tarik sama dengan pada serat tekan

2. Respon bahan pada waktu dibebani adalah elastis yang linier

3. Keadaan bahan adalah homogen dan bersifat isotropic

Maka dengan asumsi ini akan berlaku dan memenuhi terhadap hukum HOOKE.

Untuk berbagai macam material konstruksi, sangat memungkinkan terjadi interrelasi

antara tegangan dan regangan dalam bentuk system koordinat cartesian dimana σx, σy, dan σz adalah tegangan normal pada masing masing arah sb-x, y, dan z Gambar 2.6 dan Gambar 2.5. Tiga kondisi keseimbangan statis (teori stabilitas) 12

(36)

σy τyx

σx τxy

σy τyx σx

τxy

)]

ε μ(ε μ).ε

[(1 2μμ

μ)(1

(1 E

)]

ε μ(ε μ).ε

[(1 2μμ

μ)(1

(1 E

)]

ε μ(ε μ).ε

[(1 2μμ

μ)(1

(1 E

y x z

z x y

z y x

+ +

− −

+ =

+ +

− −

+ =

+ +

− −

+ =

xy xy

yx xy

γ γ

τ τ

Gγ

γ μ)

2(1 E

τ τ

= =

= +

= =

X σz

σy

τyx

τyz _σ

τxz

τxy

τzx

τzy

εx, εy, εz adalah komponen komponen regangan akibat tegangan normal tersebut, τxy =

τyx, τyz = τzy, dan τzx = τxz, adalah komponen komponen tegangan geser, dimana γxy,

γyz, γzx, adalah regangan geser.

Maka persamaan tegangan-regangan adalah :

...2.2 Gambar 2.6. Komponen tegangan pada satu unit elemen solid

Gambar 2.7. Komponen tegangan pada satu unit elemen bidang

(37)

)]

σ μ(σ

[σ E 1

)]

σ μ(σ

[σ E 1

)]

σ μ(σ

[σ E 1

x y z

z x y

z y x

+ −

τ γ γ

zx zx zx

yz zy yz

xy yx xy

= =

γ γ

τ γ

)]

[μμ( E 1

)

μσ

(σ E 1

)

μσ

(σ E 1

xz yz

xy xy

y x z

x y y

y x x

= = =

+ −

− =

Disini, E = Modulus elastisitas bahan, G = Modulus geser dan µ = Poisson ratio. Sehingga hubungan tegangan – regangan adalah :

...2.3

Jika tegangan – regangan dalam dimensi bidang, artinya semua nilai nilai kearah sb-z

semuanya sama dengan nol

σz = τxz = τyz = 0, namun εz≠ 0 maka persamaan diatas menjadi :

...2.4 14

(38)

τ γ

, G

τ γ

, E

μσ ε

E 1

xz xz

xy xy

z y

z z

= =

− = = =

Dan pada batang (balok) yang mempunyai tebal dan dengan gaya geser maka hubungan tegangan – regangan adalah sebagai berikut :

...2.5

2.5. Properti penampang baja

Pada umumnya bentuk penampang profil untuk konstruksi baja biasanya dibuat

berupa penampang penampang berdinding tipis dan tampang pejal, beberapa bentuk

dapat dilihat pada Gambar 2.8.

Gambar 2.8. Contoh type type penampang baja

a).tampang berdinding tipis terbuka b).tampang berdinding tipis tertutup c).tampang pejal 15

(39)

∫

= _η

1 s

0 ds . t . S atau ds . t . y Sx

ξ η

ds t s= s1

s ξ

s= 0

V' SC

(ξ η) atau (x,y)

Pada perencanaan struktur baja dibutuhkan beberapa macam data geometri dari pada

penampang dan dapat kita definisikan sebagai berikut :

1. Pusat (centroid) penampang yaitu, titik 0 pada Gambar 2.9 dimana jumlah momen

statis (first moments) terhadap kedua sumbu orthogonal x dan y adalah = 0

2. Salib sumbu pusat (centroidal axes), adalah setiap sumbu ortogonal yang melalui

pusat penampang seperti sb-x dan sb-y juga sb- ξ dan sb-η.

3. Momen statis penampang (first momen of area) singkat S, adalah integral hasil

kali luas elemen tampang dengan jaraknya kepada sumbu yang ditinjau misalnya :

...……….. ...2.6

Sx =statis momen terhadap sb-x dan Sη = statis momen terhadap sb-η Gambar 2.9. Profil umum penampang baja dinding tipis terbuka

(40)

∫

ξη

= _ξη

s s

xy t.x.y.ds atau I t.. .ds

∫

= _ξ

s s

2 2

ds . t I atau ds y . t Ix

4. Momen inersia penampang (second moment of area) singkat I, adalah integral

hasil kali elemen luas tampang dengan kwadrad jaraknya kepada sumbu yang

ditinjau misalnya :

...2.7

Ix = momen inersia terhadap sb – x dan Iξ= momen inersia terhadap sb-ξ

5. Momen inersia perkalian dari momen statis penampang (product of inertia)

misalnya

...2.8

Ixy = product inertia sb-x dan sb-y , Iξη

6. Sumbu prinsip (Principal-axes) yaitu, apabila product of inertia = 0 sb-ξ dan sb-η = product inertia terhadap sb-ξ dan sb-η

adalah sumbu prinsip artinya Iξη

7. Sumbu pusat geser adalah suatu sumbu dimana tidak terjadi tegangan torsi

(sumbu simetri adalah selalu menjadi sumbu pusat geser)

= 0, (momen inersia terhadap sumbu prinsip

adalah maximum salah satunya dan minimum yang lainnya, yang maximum

disebut sumbu mayor dan yang minimum disebut sumbu minor principal dan

yang lainnya ada diantara maximum dan minimum pada penampang).

8. Pusat geser adalah titik perpotongan dari dua sumbu pusat geser, pusat geser

berada pada SC apabila penampang non simetris (sembarangan) dan sumbu geser

ortogonalnya adalah sb-α dan sb-β. (apabila suatu beban V bekerja melalui pusat penampang akan menimbulkan tegangan torsi, dan hanya apabila V bekerja

melalui SC maka tidak akan terjadi tegangan torsi)

(41)

+εz=-φy

Regangan ε

φ curvature

Z y

∫

= σ

A z A

x z

A z

0 xdA

M ydA

0 dA

z =−φ

z z =Eε

0 dA . y maka 0 dan E 0 dA . y E dA . y . . E dA

y . . E

A A A

z z

= ≠

φ →

= φ

− = φ − = σ

φ − = σ

∫

2.6. Tegangan elastis akibat momen lentur pada penampang

Regangan pada tampang balok diasumsikan linier Gambar 2.10, dimana regangan

positip +εz di daerah tarik, dan φ merupakan sudut perputaran penampang.

Kesetimbangan pada potongan tampang tersebut adalah:

...………..2.9

Untuk deformasi yang sangat kecil: ...………..2.10

dan ...………...2.11

Sehingga,

Gambar 2.10. Elemen memanjang balok dengan kurvature φ

(42)

∫

σ =−

∫

φ =− φ

∫

= → =

x 2

A A A

x 2

zy.dA E. .y dA E. y dA M y dA I ,momen inersia tampang terhadapsb-x

x E.I

x M , φ =

Maka

x x z

I y M

Dan, =

2 / ,

) 2 / (

max max ,

d y karena

I d M

x x imum z

= = σ

Mz Mx

Vx My Vy

qx Pz

Vy + dVy Vx + dVx

My + dMy

Mx + dMxMz+ dMz Pz

Z Y X

+θ −θ

+φ −φ

Z Slope

Cur v at ur e

, =−

= + +

dz dV sehingga

V dV V dz q

y y y y y

x x

y y

dM M

dVdz dz

V dz V M

≅

+ = +

+ +

dz dM atau

2 2

………...2.12

……...………..……2.13

………2.14

Kesetimbangan gaya dan momen yang bekerja pada elemen balok Gambar 2.11, yang

mencakup bidang yz.

………...2.15

... ……….2.16 Gambar 2.11. Kesetimbangan gaya dan momen pada elemen balok

(43)

y 2 2 x x x y y 2 x 2 q dz d E.I maka I . E / M -karena, q dz dV dz M d − = φ = φ − = = x y 4 4 2 2 I . E q dz y d bahwa alkan didifrensi jika maka dz y d

Curvature φ= =

(

)

(

)

pusat sumbu dari diukur y dan x disini 0 x.dA y.dA 0 akan tidak E , 0 . . 0 karena . dan y dan arah x curvature dim A A x A z z x = = = → = + + = = + − = =

∫

jadi dan dA x E dA y E atau dA x y E dA x y E E adalah dan ana A A y x y y x y x z z y φ φ φ φ φ φ σ φ φ σ ε σ φ φ

(

)

(

)

I I I I M I M E 1 φ dan I I I I M I M E 1 φ : φ dan φ Curvature sehingga φ EI φ EI M dan φ EI φ EI M -atau x.dA x φ y φ E M dan y.dA x φ y φ E M y x 2 xy x y xy x y y x 2 xy xy y y x x y x y y x xy y y xy x x x A y x y A y x x         − + − − =         − + − − = + = + = + − = + − =

∫

- x - y

Z Y X Mx My σz.dA dA

∫

= = = A A y x A

zdA 0 dan σzy.dA M dan σzx.dA M σ

) ( _xy _yx

z φ φ

ε =− +

...………..2.17

………2 18

Maka :

Gambar 2.12. Profil balok yang mempunyai tebal dengan adanya momen 20

(44)

(

) (

)

0 I dimana prinsipal

sumbu adalah y -sb dan x -sb Apabila

I I I

x . I M I M y . I M I M

xy y

x 2 xy

x y xy x xy

y y x z

= −

− +

+ −

= σ

y y x

x z

I x M I

y M

+ =

Y X

Mx Vy

Vy+ dVy Mx+ dMx

Y X

Kalau dimasukkan ke persamaan σz, maka tegangan normal pada elemen penampang akibat momen lentur adalah :

………...2 19

Misalnya untuk tampang persegi ...2 20

2.7. Tegangan akibat gaya lintang pada penampang

Hubungan tegangan geser τy dan gaya geser Vy dapat dilihat pada gambar 2.13 dengan keseimbangan statis dimana resultan gaya geser dan momen yang bekerja pada

setiap elemen sepanjang balok

Akibat momen terjadi tegangan normal pada permukaan elemen tampang yang

terdistribusi seperti pada Gambar 2.14 pada bagian atas tertekan dan bagian bawah

tertarik

Gambar 2.13. Resultan tegangan bekerja pada unit elemen panjang dz pada balok 21

(45)

b S I V τ ... maka... x dap.sb area.terha tis.momen. adalah.sta , S y 4 d 2 b . Karena.... y 4 d 2 1 I V y 4 d I 1 dz dM τ .b y 2 d I y dM I (d/2) dM 2 1 b.dz τ x x y z x 2 2 2 2 x x 2 2 x x z x x x x z = − =       −                   − =             − =       −       + = y dz τz y b dz d/ 2 τz

(

)

x x I y dM .

(

)(

)

x x I h

dM /2

(

)(

)

x x

I h

dM /2

Pada Gambar 2.15 disebelah kiri terdapat τz dimana kearah horizontal dianggap merata selebar balok, maka kesetimbangan gaya pada arah sb-z adalah :

...2.21 Gambar 2.14. Distribusi tegangan normal akibat momen

a. Distribusi tegangan sisi kiri dz b. Distribusi tegangan sisi kanan dz

Gambar 2.15. Tegangan normal dan geser pada unit elemen panjang dz pada balok

d z ( ) x x max , z I 2 / h M =

σ ( )

x x I 2 / h

M ( )

x x

I h

dM /2

Element

(46)

Y X

σz σz σz _σ_z

σy

τzy

τyz

y x

1 2 3

( a)

y x

1 2 3

Diagr am alir an geser ( b) . ( b)

y x

1 2 3

Diagr am alir an geser ( c) . ( c)

x x y y

I S V b geser gaya

Aliran. . =τ =

y zy

yz τ τ

τ = = dan

Untuk profil I dobel simetris aliran gaya geser lihat gambar 2.17a akibat beban

geser V pada tepi flens sebesar nol dan makin besar secara linier ke tengah profil dan

masimum pada sumbu pusat tampang tersebut.Aliran gaya geser ini pada bentuk tampang

kanal dan tampang siku dapat dilihat pada gambar 2.17b dan gambar 2.17c Gambar 2.16. Komponen tegangan pada sebuah elemen

Gambar 2.17. Aliran gaya geser pada tampang berbagai profil

(47)

Z Y X

Y X

dr r 1

dA r 0

dψ

γο

dβ

r 0

.dr r.d dA dimana....

τ.r

2π dr.dψ

τ.r

2 . r.τ. M

π 0 r

r 2 2

r z

i 0

ψ =

= =

_∫

_∫∫

_∫

...2.22 ... ... ... ... ... ... ... dz GJ M

dan GJ M G r

dz dβ sehingga

dβ r dz γ : bahwa 2.18c Gambar dari

0 z

z 0

0 0

∫

= = =

Kondisi 3 adalah keadaan pada besaran maximum untuk momen statis penampang,

diagram aliran geser untuk tampang wide flange (tampang profil I) adalah (a), diagram

aliran geser untuk tampang channel (profil C) adalah (b) dan diagram aliran geser untuk

tampang bersudut (profil siku) adalah (c)

2.8 Tegangan akibat gaya torsi pada penampang

Momen Mz yang memuntir sebuah batang penampang bulat, akan menimbulkan

tegangan geser pada penampang Gambar 2.18, dan kesetimbangan antara tegangan geser

dan momen,

Gambar 2.18. Momen torsi pada tampang profil bulat a)

(48)

23 . 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... J

r M

dan τ J r

dr .r r

2π M r

τ τ

0 z max

0 max 0

0 3

r 0 0 z

0 0

i =

= =

= →

_∫

24 . 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... t

τ.t

2AG L

adalah, l

sudut tota putaran

Maka

25 . 2 .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2A

τ.t

dan .t)dA (

2 .t)R.ds (

maka R.ds/2, dA

karena

.t).ds R( dT

adalah 0, titik melalui yang

z sb terhadap T,

momen l

diferensia

2.19 gambar dari

S z

S A

∫

= =

τ τ

Y 0

(τ.t)ds

Pada penampang tertutup berdinding tipis dengan momen torsi T Gambar 2.19, dan β adalah sudut putar elemen dinding akibat T.

Gambar 2.19. Aliran gaya geser torsi pada tampang profil tipis tertutup

(49)

dz dβ GJ M_z,_SV =

dz dβ G.t dan τ

J .t M

τ SV,max

SV z, max

SV, = =

Mz Mz

σω

BLOK KAKU

Y X

Mz,sv

τsv,max

b _τ_sv,max

Torsi pada tampang terbuka yang tidak bulat Gambar 2.20, akan terjadi torsi warping

selain torsi Saint venant, yang akan menimbulkan tegangan normal pada penampang

balok tersebut. Tegangan geser Saint Venant yang terjadi adalah,

...…………...2.26

Apabila penampang balok (batang) dari plat tipis rectangular dengan tebal t, Gambar 2.21 maka

...…...2.27 Gambar 2.20. Tegangan normal terjadi akibat warping

Gambar 2.21. Tegangan geser St.Venant pada tampang persegi akibat torsi 26

(50)

b.t 3 1

J≅

∑

= =

= = n

1 i

3 i i

i b .t

3 1 J J

C A- A B- B C- C

MF MF

Posisi t erdeform asi

Posisi t ak t erdeform asi

d

d/2

Mz Mz

Translasi t anpa berput ar

Berput ar t anpa t ranslasi

Akt ual

( a) ( b) ( c) ( d) ( e)

+ =

Konstanta torsi penampang terbuka tersebut adalah J, atau jumlah J, dari elemen persegi

Atau ...………...2.28

Balok kantilever yang menahan beban torsi Mz akan mengakibatkan dua jenis perlawanan torsi yaitu momen torsi Saint Venant (Mz,SV) dan momen torsi warping

(Mzw) Gambar 2.22.

Mz = Mz,SV + Mz ω ...

………...……...2.29

Gambar 2.22. Perputaran pada balok I kantilever akibat momen torsi

Gambar 2.23. Lenturan kesamping akibat adanya warping

(51)

2 F 2 F F

dz u d EI M =−

2 d u_F =

2 2 F F

d 2 d EI M =−

3 3 F F

d 2 d EI dz

V = =− 3

3 2 F F

d 2 d EI d V

M = =−

3 3 w zw

3 3 2 y zw

d EI M

dan dz

d 4 d EI

M =− =−

3 3 ω z

d EI dz dβ GJ

M = −

MZ= MZ,SV + MZω _Mz,sv

τω

MZ,ω =

τSV

σω

2 3

Balok berpenampang I yang menerima beban torsi Mz

perputaran sekaligus perpindahan kesamping gambar 2.23c dengan,

Gambar 2.23 mengakibatkan

dan berlaku untuk lenturan kesamping

...………...2.30

Maka:

sehingga

atau: . ………...2.31

Konstanta warping berbagai penampang dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Mz = Mz,SV + Mz ω

Diagram tegangan normal dan geser akibat torsi M

→ ………...2.32

z pada balok I Gambar 2.23a.

Gambar 2.23a. Terjadi tegangan normal dan geser akibat Momen Mz,sv dan Mz,w 28

(52)

24 h b t 2 h I I 2 3 f 2 f

w = =

      + = + = 3 2 3 1 3 2 3 1 2 f w 3 2 3 1 3 1 b b b b 12 h t I b b h b e

(

)

[

]

(

)

w 2 2 f 2 3 w h 2b 12 bh 3t h bh b 2t h b I + + + + =       + + = + = h t b 6t h 2t b 3t 12 h b t I h t b 6t t 3b e w f w f 2 3 f w w f f 2       + = 3 w 3 3 f 3

w h t

4 t b 36 1 I 36 t h t b I 3 2 3 3 1 3 w + = h b1 b2 e t w t f SC Cg b h h/ 2 t t f SC= Cg h h/ 2 b t w SC= Cg h e t w t f SC Cg b h t f t w SC Cg h b t 2 t 1 SC Cg

Tabel 2.1 Konstanta Warping berbagai penampang.

Bentuk penampang Konstanta warping

3.Profil Z

2.Profil I mono simetris

4.Profil kanal

1.Profil I doubel simetris

5.Profil T

6.Profil siku siku

(53)

GAYA

PERPINDAHAN ZONA STRAIN

ZONA COMPLEMENTARY

d∆ dP

di asumsikan menjadi garis lurus

sebenarnya garis nonlinear

∆

P 2.9. Metode Energi 2.9.1. Pendahuluan

Konservasi energi pada ilmu statika di definisikan bahwa apabila suatu gaya

(beban) dilakukan terhadap suatu konstruksi akan mengakibatkan deformasi, artinya

adanya suatu kesetaraan sebab dan akibat. Dalam hal ini kita sebutlah bahwa gaya gaya

potensial dari luar akan mengakibatkan perobahan di dalam konstruksi berupa deformasi

yang disebut regangan. Sehingga keseimbangan antara potensi yang bekerja harus sama

dengan efek yang ditimbulkan ke dalam konstruksi tersebut, dengan anggapan tidak ada

energi yang hilang (Energi Potensial = Energi Regangan) dalam kondisi statik, pengertian

energi adalah gaya dikali dengan perpindahan. Energi regangan di asumsikan linear

walaupun sebenarnya ada energi yang diabaikan dan sangat relatif kecil (∆U) Gambar 2.24.

Strain energy (energi regangan)

dU = P.d∆ dan U = ∫ P.d∆

Gambar 2.24. Energi regangan oleh beban gaya P

(54)

x Beban

Perpindahan

Complementary energy (energi potensial)

dU’ = ∆.dP dan U’

Sebenarnya masih ada sesatan kecil bahwa U≠U = ∫∆.dP

’

atau U’ = U+∆U, oleh karena asumsi energi linier atau ∆U <<< , maka cukup U = U’

2.9.2. Energi regangan, U (Strain energy)

a. Akibat gaya aksial P.

Energi regangan akibat gaya aksial P, Gambar 2.24a

U = 0,5.P.x, (luas segitiga)

x = ε.L, dan ε = σ/E dan σ = P/A, sehingga

ume satuan vol per

regangan energi

, 2E disini

2.33 ... ... ... ... ... ... ... ... ... A.L, 2E

A.L 2E

2 .L E

σ σ.A.

σ.A.ε.L

2 P.x U

2 2

σ =

= =

Gambar 2.24a. Energy regangan oleh beban aksial

(55)

luas dA

M σ

Pot .balok t am pang balok Diagram t egangan

....2.34 ... ... ... ... ... ... ... ... ... dx, 2EI M U

I dA y dan I M.y

karena dx,

2EI M I

dA y M 2E dx dA

2E dx

aksial) beban oleh regangan energi

(seperti dx.dA

2 2

2 2 2 2

∫

= =

b. Akibat momen lentur M.

Energi regangan akibat momen lentur M, Gambar 2.24b

Bentuk Integralnya adalah : (catatan : Analog untuk yang lain)

a. Akibat Normal. N → =

∫

0 2 x

2EA dx N

U ………...2.35

b. Akibat Momen. M → =

∫

0 2 x

2EI dx M

U ...………..2.36

Untuk suatu balok yang menerima momen lentur berlaku : EI.y” = Mx

Maka : =

∫

0 2 L

dx ) (y" 2 EI 2EI

dx ) (EI.y"

U , analog untuk yang lain,

Gambar 2.24b. Energy regangan oleh beban momen lentur

(56)

∆b

S y

x P

a. Energi lentur arah sb x-x : =

∫

0 2 x _(v"₎ _dz

2 EI

U ………...2.37

b. Energi lentur arah sb y-y : =

∫

0 2 y

dz ) (u" 2 EI

U ………...2.38

c. Energi torsi warping =

∫

( ) dz 2

U w β'' 2 ………...2.39

d. Energi torsi murni : =

∫

( ') dz 2

U β 2 ………...2.40

2.9.3 Energi potensial, V (Potensial energy)

Sebuah batang dengan panjang L, oleh gaya P melentur sehingga posisi P

berpindah ∆b dan energi potensial =P.∆b Gambar 2.24c.

a. Perpindahan (∆b) karena balok melentur oleh gaya axial P

∆b = S – L

Gambar 2.24c. Pergeseran batang karena melentur

(57)

P y x y dx dx dy 1 ) dy (dx ds 1/2 2 1/2 2 2               + = + =

∫

_             + =L 0 1/2 2 dx dx dy 1 S

Dari teori bentuk binomial :

(

)

a b ...

2! 1) n(n b na a b

a+ n = n + n−1 + − n−2 2 +

...dst dx dy .1 2 1 1 dx dy 1 2 1) (1/2 1/2 1/2 2 +       + =               + −

, apabila suku

2       dx dy

di pangkatkan yang

lebih besar lagi, maka hasilnya makin sangat kecil atau diabaikan saja.

Maka panjang S adalah

∫

              + =L 0 2 dx dx dy 1

S dan

∫



     = − L 0 2 dx dx dy 2 1 L S

Karena, ∆b = S – L sehingga,

∫



     = L 0 2 dx dx dy 2 1

Δb , sebut energi potensial adalah V

dan ∆V = P.∆b atau

∫



     = L 0 2 dx dx dy 2 1 P dV

dan energi potensial : =

∫

L 0 2_dx y' 2 P V ………...2.41

b. Perpindahan (y) karena balok melentur oleh beban tunggal P Gambar 2.24d.

Gambar 2.24d. Balok melentur oleh beban tunggal

(58)

y _q

0 L

L z

z = 0 _{z = L}

Energi potensial nya adalah : V = P.y ………....2.42

c. Perpindahan (y) karena balok melentur oleh beban merata q Gambar 2.24e

Energi potensial nya adalah : =

∫

y.dx q

V ………..2.43

2.9.4 Fungsi hampiran (shape function)

Keakuratan hasil yang didapat dari analisa metode energi adalah sangat

tergantung kepada ketepatan peng-asumsi an pola kelengkungan fungsi hampiran dimana

asumsi yang dilakukan harus memenuhi terhadap syarat syarat batas yang harus

ditetapkan. Tetapi fungsi hampiran akan sangat dipengaruhi posisi beban dan bentuk

penampang, misalnya prismatis atau non prismatis. Boleh di asumsikan sebagai fungsi

aljabar berpangkat atau juga fungsi trigonometrik, power series atau trigonometric series.

Dalam bahasan ini di coba dengan fungsi aljabar

Syarat syarat batas

Gambar 2.24e Balok melentur oleh beban merata

Gambar 2.24f. Balok kantilever dengan beban

(59)

PL P

Pδ

v u

Z' _Y'

X' Z

Y X

) u -δ ( P -dz du ) z -L ( P ' Mz dan

P(δ

) z -L ( P.β -Mx.β '

My dan

0 My

) z -L ( P -Mx ' Mx dan

z) P(L Mx

= −

= =

= = −

− =

Untuk model kantilever ini berlaku syarat syarat batas balok dengan tumpuan jepit bebas

dimana pada z = 0 ; perpindahan lateral u, perpindahan vertical v dan perputaran penam

-pang β adalah : u0 = β0 = u0’= β0’= v0 = βL’’

2.10. Tekuk lateral pada balok kantilever

= 0, Gambar 2.24f.

Pada Gambar 2.25 dibawah ini dapat diperhatikan kondisi buckling yang terjadi.

Gambar 2.25. Lateral buckling pada balok kantilever (a) = sebelum buckling (b) = terjadi buckling (c) = Potongan terbuckling pada satu titik tertentu

(60)

u₊β.h/2

β.h/2

β.h/2 u_-β.h/2

h u

0 ) u

-δ

( P -dz du ) z -L ( P dz dβ GJ dz

d EIω

0 ) z -L ( P.β dz

u d EIy

0 ) z -L ( P dz

v d EIx

3 3

2 2

= +

−

= +

Maka persamaan diferensial kesetimbangan pada ketiga sumbu tersebut adalah :

Komponen momen momen dan deformasi lateral lihat Ganbar 2.26 dan 2.27,

Gambar 2.26. Komponen Mx dan Mz pada sb X’ , Y’ dan Z’

Gambar 2.27. Geometrik deformasi lateral (lateral buckling)

(61)

∫

        + +         = ∈       + + + = ∈ + = ∈ = = = = = = = = = = → = = → =       + + + = = → = → = = → = → = L 0 y 2 2 L 0 L 0 2 L 0 2 ω 2 y y L 0 y 2 2 L 0 L 0 2 L 0 2 ω 2 y L 0 y 2 2 o L 0 y 2 L 0 y o x ' y L 0 L 0 y ' y o o y ' y y ' y y ' y 2 2 L 0 L 0 2 L 0 2 ω 2 y 2 2 2 2 dz EI β z ) z -L ( P -dz ' β GJ dz " β EI dz EI β ) z -L ( P EI 2 1 dz EI β z ) z -L ( P -dz ' β GJ " β EI u" EI 2 1 V U : adalah energi Total Maka dz EI β z ) z -L ( P P.v V : beban potensial Energi jadi kebawah lenturan krn , -tanda , dz EI β z ) z -L ( P dz z β EI β ) z -L ( P v : maka β ) z -L ( P -β M M sedangkan dz z EI M β dv v v adalah ertikal lenturan v kantilever ujung da 3)...Pa dz z EI M β dv β du dv bahwa kecil yang deformasi uk 2)...Unt dz z EI M du EI M dz u d 1)... dz ' β GJ " β EI u" EI 2 1 U : adalah regangan Energi perputaran dan n perpindaha maximum Amplitudo adalah θ dan δ : dimana L 2 z π cos L) (2 π θ ' ' β L 2 z π sin L 2 π θ ' β ) L 2 z π cos -1 ( θ β L 2 z π cos L) (2 π δ ' u' L 2 z π sin L 2 π δ u' ) L 2 z π cos -1 ( δ u : adalah mungkin paling yang hampiran fungsi kantilever balok Untuk 2 p 0 L 0 L 0 2 L 0 2 ω 2

yu" EI β" GJβ ' dz-P.V P.y β

EI 2 1 V U : Energy Total ±       + + + = + = ∈

_∫

2.11. Metode energy dan Metode numeric pada balok kantilever a. Metode energi

(62)

P yp

Pusat geser

uL yp vL βL P P

Pusat geser

βL

P P

Pusat geser

(

)

( )

{

}

56) (page Australia Sydney of Univ , Structures of Buckling Torsional -Flexural 1993 r, N.S.Trahai Sumber : beban. sentuhan dengan geser pusat jarak y ) twisting ( sudut perputaran β lateral lenturan u : dimana ....2.44 ... 0... β P.y 2 1 dz ' u' . 2β M 2 1 .dz β' GJ β" EI u" EI 2 1 : Berarti momen. ataupun merata gal, beban tung seperti luar, gaya oleh potensial energi al jumlah tot V Δ 2 1 ) Venant ( murni dan torsi warping rsi to lateral, lentur oleh regangan energi al jumlah tot U Δ 2 1 dimana 0, V Δ U Δ 2 1 P 2 P x 2 2 w 2 y 2 2 2 2 = = = = + + + + = +

∑

∫

Posisi beban menyentuh balok memungkinkan pada jarak yp dari pusat geser atau tepat di

atas balok dan tepat di pusat geser (yp=0) Gambar 2.28.

Gambar 2.28. Beban di pusat geser dan pada jarak ypdari pusat geser

Persamaan energi untuk tekuk lentur lateral torsi pada balok keadaan elastis adalah: 39

(63)

...2.45 ... ) 0.1) (ε 1.2 (1 0.1) 1.2(ε 1 2) 4(K ) ε 1.2 (1 1.2ε 1 11 GJ) (EI PL 2 2 2 2 y 2         − + − + − +         + + = yp L L / 2

P u yp v β P P

Pusat geser

b. Metode numeric

0 β β' u' β u : ada yang batas Syarat Pu ) β y u ( P M ; 0 M ; ) z -L P( -M M β M -dz u d EI u V -u M ) β y u ( P β EI -β GJ : Torsi l diferencia Persamaan '' L 0 0 0 0 L p z y x y x 2 2 y y ' x L p ' ' ' ω ' = = = = = − + = = = + = + + = π =         = ε K h y 2 GJ EI L

yP y _P

        π = 2 w 2 GJL EI K

P= Pcr (Beban kritis) yP = Jarak beban P dari pusat geser

Sumber : N.S.Trahair, 1993 Flexural – Torsional Buckling of Structures, Univ of Sydney Australia (page 174)

2.12. Tekuk lateral pada balok I diatas dua tumpuan sederhana

Sebuah balok di atas dua tumpuan sederhana dengan beban se jarak yp di atas pusat geser, pada Gambar 2.29a.

Gambar 2.29. Beban balok diatas dua tumpuan sederhana jarak yp dari

pusat geser

(64)

            +       +       =               +       +       =               +               +               =       + + = + + =               =                       − =       =             =               =                       − =       =             =       − =                       − =               − = →       = → =               − = →       = → =

∫

2L π θ GJ 2L π θ EI 2L π δ EI 2 1 2 L L π θ GJ 2 L L π θ EI 2 L L π δ EI 2 1 dz L πz cos L π GJθ L πz sin L π θ EI L πz sin L π δ EI 2 1 dz ' β GJ " β EI u" EI 2 1 Venant Ak.torsi warping Ak.torsi lateral Ak.lentur U Δ 2 1 U) Δ 2 1 .( regangan energi Total 2L πz sin L π θ L πz sin L π θ ) '' ( L πz cos L π θ L πz cos L π θ ) ' ( L πz sin L π δ L πz sin L π δ ) ' (u' L πz sin θ L πz sin θ L πz sin θ β L πz sin L π δθ L πz sin L π δ L πz sin θ ' β.u' L πz sin L π θ ' β' L πz cos L π θ β' L πz sin θ β L πz sin L π δ ' u' L πz cos L π δ u' L πz sin δ u hampiran) (Fungsi function Shape 2 2 3 4 2 ω 3 4 2 y 2 2 4 2 ω 4 2 y L 0 L 0 2 2 2 L 0 2 4 2 ω 2 4 2 y L 0 L 0 2 L 0 2 ω 2 y 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 β β 41

(65)

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

2.46 ... L EI π GJ EI L π 1.423 4 PL L EI π GJ L EI π 2.2072 π 4 PL L EI π GJ L EI π PL/4 π 8 * 0.2759 . maka, 0) (y geser dipusat beban Jika π 2PLy L EI π GJ L EI π PL/4 π 8 * 0.2759 . 0 θ δ π 2PLy L π EI GJ PL/4 π 8 * 0.2759 . PL/4. π 8 * 0.2759 . L π EI θ δ 2L π 2 1 matrix. dengan an Penyelesai θ Py 2 1 δ 0.2759π.27 β Py 2 1 dz ' 2.β.β. M * 2 2 1 . Total θ Py 2 1 L πz sin θ Py 2 1 β Py 2 1 geser. pusat dari y sejarak beban 2.Oleh δ 0.2759π.27 4 1 16 π 2PθP 2 1 π L 8 1 0 0 π L 8 1 0 16 L L π 2PθP 2 1 L 2ππ cos π L 8 1 L 2ππ zsin π L 4 1 4 z L π 2PθP 2 1 dz L πz zsin L π Pθθ 2 2 1 dz L πz sin L π 2δδ Pz 2 1 * 2 2 1 dz ' 2.β.β. M * 2 2 1 . bentang ditengah P beban Oleh 1. : V) Δ 2 1 ( potensial energi Total 2 ω 2 y 2 ω 2 2 y 2 2 ω 2 2 y 2 2 P 2 P 2 ω 2 2 y 2 2 2 P 2 2 ω 2 2 y T 2 2 P 2 0 P L 0 x 2 P 2 2 2 P 2 L/2 P P 2 2 2 2 2 L/2 0 2 2 2 L/2 0 2 2 L/2 0 2 2 L/2 0 x 2       + = →       + =       + =      − =       + + =      − =                         + + − −             + =       +               = =               = = =             + − =                                             − + −               + + −       = =                       + + −       =                     − =                       − =       =

∫

(66)

(

)

.2.47 ... ... ... M y 0.577P M y 0.577P 1 1.423 4M PL M y 0.577P 1 2(1.423)M y 577P 2(1.423)0. 4 PL M π y 4(1.423)P 1 M 4(1.423) π y P 8(1.423) 4 PL M 4(1.423) π y P 8(1.423) π y P 8(1.423) 4 PL 0 M (1.423) 4 PL π y P 8(1.423) 4 PL π 2PLy P M (1.423) 4 PL π 2PLy P M 1.423 PL/4 L EI π P dan L EI π GJ L EI π M : Misalkan π 2PLy L EI π L EI π GJ L EI π PL/4 π 8 * 0.2759 . π 2PLy L EI π GJ L EI π PL/4 π 8 * 0.2759 . : maka geser pusat dari y sejarak beban Jika yz P y 2 yz P y yz 2 yz P y yz P y 2 yz 2 P y 2 yz 2 2 P y 2 2 yz 2 2 2 P y 2 2 P y 2 12 2 yz 2 2 P y 2 2 2 P y 2 yz 2 2 2 P y 2 yz 2 y 2 y 2 ω 2 2 y 2 yz 2 P 2 y 2 2 ω 2 2 y 2 2 2 P 2 ω 2 2 y 2 2 P         +                 + =                         + ± =                       + ± =       +         ± =       = −       −             ₊ =       ⇒ + = =       + = +       + =      −       + + =      − 43

(1)

9. MENGATUR ANGKA AWAL DIAL, LOT DAN GANTUNG TUAS BEBAN

(2)

11. PEMBEBANAN BERKUMULASI

(3)

13. MEMBACA & MENCATAT DATA DIAL INDIKATOR

(4)

15. BALOK PADA SAAT RUNTUH

(5)

17. BEBAN DILEPAS

(6)

b. Dimensionless parameter Pcr untuk balok kantilever

Catatan : Apabila parameter K diketahui maka Pcr akan dapat dihitung untuk masing

masing posisi beban.

No.Uji Tegangan Ulur ( σy ) Tegangan max ( σu ) Modulus Elastis Regangan ( % )

Sample Mpa kg/cm2 Mpa kg/cm2 Mpa kg/cm2 ε

1 203.59 1997.218 293.23 2876.5863 207090.3 2031555.6 23.76 % 2 201.85 1980.149 291.5 2859.615 206345.6 2024250.6 28.04 % 3 201.27 1974.459 286.87 2814.1947 207300.2 2033615 23.96 %

Rata-rata 1983.942 2850.132 2029807.1 25.25333 %

BEBAN KRITIS BALOK I KANTILEVER BEBAN TERPUSAT DI UJUNG BENTANG

0 5 10 15 20 25 30 35

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Beban di bawah flens

Beban di pusat geser

Beban di atas flens

Parameter balok K =

√

π2 E I w / L 2 G J

B eb an k ritis ( d im en sio n les s ) P L

2 /

√ E Iy G J 109