Trik Matematika SMA Trik Matematika SMA Trik Matematika SMA

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

5. LIMIT FUNGSI
Kata kunci: Akar Sekawan, Metode Horner dan Teorema Faktor

5.1 Definisi dan Sifat Limit
Definisi 5.1*) 1 Secara intuitif, limit fungsi didefinisikan sebagai
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿

𝑥→𝑘

yang berarti bahwa jika nilai 𝑥 mendekati 𝑘 maka nilai 𝑓 𝑥 terbatas di 𝐿.

Notasi ”→ 𝑘” dibaca “mendekati 𝑘”, baik dari arah kiri maupun dari kanan titik 𝑎 pada garis bilangan.

Contoh 1 Tentukan

lim 𝑥 2 − 𝑥 + 1 .

𝑥→3

⋙ Untuk menentukan limitnya, dapat diperhatikan tabel nilai fungsi di bawah ini
𝑥

𝑥2 − 𝑥 + 1

…

2.9

2.99

2.999

….

6.4351

6.9426

6.9942

→3←
→7←

3.001

3.01

3.1

…

7.0057

7.0576

7.5851

…

Tampak bahwa untuk nilai 𝑥 yang mendekati 3 baik dari arah kiri maupun kanan, nilai 𝑥 2 − 𝑥 + 1
terbatas di 7. Oleh karenanya dikatakan
lim 𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 7. ∎

𝑥→3

Seberapa pun dekat substitusi 𝑥 terhadap 3, nilai fungsi tidak akan mencapai nilai limitnya yaitu 7.
Adapun nilai limit 7 hanya diperoleh jika 𝑥 = 3.
Teknik 5.1 (Substitusi Langsung) Nilai limit dari fungsi 𝑓 𝑥 untuk 𝑥 yang mendekati 𝑘 adalah
𝑓 𝑘 , sehingga ditulis
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘 .

𝑥→𝑘

Contoh 2
𝑥 2 − 4 22 − 4 0
= 3
= = 0.

𝑥→2 𝑥 3 + 1
2 +1 9

1. lim

2.

lim 𝑥 − sin 2𝑥 =

𝑥→𝜋/2

𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
− sin 2 ∙
= −0= .
2
2
2

2

Dari teknik substitusi langsung di atas dapat disimpulkan sifat-sifat dasar dari limit fungsi berikut:
Sifat Dasar Limit Jika diasumsikan
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑘

𝑥→𝑘

maka

dan

lim 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑘

𝑥→𝑘

1. lim 𝑐 = 𝑐, 𝑐 ≔ konstan
𝑥→𝑘

2. lim 𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 lim 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑘 , 𝑐 ≔ pengali konstan

𝑥→𝑘

𝑥→𝑘

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

1

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

3. lim𝑥→𝑘 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
4. lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
𝑥→𝑘

= lim𝑥→𝑘 𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑘 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑘 + 𝑔 𝑘

= lim 𝑓 𝑥 ∙ lim 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑘 ∙ 𝑔 𝑘 , dan
𝑥→𝑎

𝑥→𝑘

lim 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
𝑓 𝑘
= 𝑥→𝑘
=
,
𝑥→𝑘 𝑔 𝑥
lim 𝑔 𝑥
𝑔 𝑘

𝑔 𝑘 ≠ 0,

lim

5. lim 𝑓 𝑥
𝑥→𝑘

lim

𝑥→𝑘

𝑛

𝑛

𝑥→𝑘

= lim 𝑓 𝑥

𝑓 𝑥 =

𝑛

𝑥→𝑘

𝑛

lim 𝑓 𝑥 =

𝑥→𝑘

= 𝑓 𝑘

𝑛

𝑓 𝑘 ,

𝑛

, dan

𝑓 𝑘 dapat diakarkan.

Meski masalah limit seolah menjadi hal yang sangat mudah yaitu cukup dengan mensubstitusi 𝑘
ke 𝑓 𝑥 menjadi 𝑓 𝑘 . Namun kenyataannya ada beberapa bentuk yang mana dengan substitusi nilai
limitnya belum bisa diketahui. Salah satu bentuk dari hasil substitusi yang dimaksud adalah 𝟎/𝟎,
bentuk ini disebut sebagai bentuk tak tentu. Sebagai contoh,

1− 2−𝑥 1− 2−1 0
sin 2𝑥 sin 0 0
𝑥 2 − 9 32 − 9 0
=
= , lim
=
=
dan lim
=
= .
𝑥→0 4𝑥
𝑥→3 𝑥 − 3
1−1
3−3
0 𝑥→1 𝑥 − 1
0
4∙0 0
lim

5.2 Limit Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar terdiri atas fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pangkat tinggi (fungsi kubik, pangkat
empat dst), fungsi pecahan, fungsi akar (kuadrat) dan fungsi akar pangkat 𝑛, 𝑛 ≥ 3.
Teknik 5.2 (Pemfaktoran) Jika fungsi 𝑓 𝑥 dan g 𝑥 merupakan fungsi aljabar dengan
𝑓 𝑘 = 𝑔 𝑘 = 0, maka terdapat dengan tunggal fungsi aljabar 𝑕 𝑥 dan 𝑗 𝑥 sehingga

Oleh karenanya, jika

𝑓 𝑥 = 𝑥−𝑘 𝑕 𝑥

dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑘 𝑗 𝑥 .

𝑕 𝑘
0
≠
𝑗 𝑘
0

maka

𝑓 𝑥
𝑕 𝑘
𝑥−𝑘 𝑕 𝑥
= lim
=
.
𝑥→𝑘 𝑥 − 𝑘 𝑗 𝑥
𝑥→𝑘 𝑔 𝑥
𝑗 𝑘
lim

Contoh 3

1. lim

𝑥→3

𝑓 𝑥

𝑕 𝑥

𝑔 𝑥

𝑗 𝑥

𝑥2

𝑕 𝑥

𝑕 3

𝑗 𝑥

𝑗 3

−9
𝑥+3
6
𝑥−3 𝑥+3
= lim
= lim
=
= 6.
𝑥→3
𝑥→3 1
𝑥−3 ∙ 1
1
𝑥−3
𝑓 𝑥

1 − 3 − 2𝑥
= lim
2. lim
𝑥→1
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑔 𝑥

𝑕 𝑥

𝑕 1

2
2
1 + 3 − 2𝑥 1 + 3 − 2 ∙ 1 1
=
= .
2
𝑥−1 𝑥+1
1+1

𝑥−1 ∙

𝑗 𝑥

𝑗 1

Bagaimana menentukan secara umum faktor 𝑕 𝑥 dan 𝑗 𝑥 di atas? Berikut pembahasannya.
oleh: Abu Nuh AsySyahrani

2

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

Kasus 1: Pecahan dari fungsi berpangkat tinggi (suku banyak). Cara termudah yaitu dengan
menerapkan pembagian sintetis Horner. Sebagai contoh, menentukan faktor 𝑕 𝑥 pada fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 9 yaitu
1

3

1

0
3

-9
9

3

0

Dengan demikian,

𝑥2 − 9 = 𝑥 − 3 𝑥 + 3

Selanjutnya, bagi yang telah memahami pembagian sintetis Horner di atas dengan baik, berikut
ini akan diperkenalkan metode yang disebut metode Horner bertingkat untuk menyelesaikan masalah
limit fungsi suku banyak.
Contoh 4 Tentukan nilai limit fungsi berikut
𝑥 2 − 2𝑥 − 8
.
𝑥→4 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 4𝑥
lim

Trik 1 (Metode Horner Bertingkat)

4
4

1

-2
4

1

2
4

1

6

1

4

-8
8
0

4

(Pembilang)

-3
4

-4
4

0
0

1

1
4

0
20

1

5

20

Dengan demikian
6
3
𝑥 2 − 2𝑥 − 8
=
= .
3
2
𝑥→4 𝑥 − 3𝑥 − 4𝑥
20 10
lim

0

(Penyebut)

Adapun secara prosedural, Contoh 4 dikerjakan sebagai berikut
𝑓 𝑥

𝑕 𝑥

𝑕 𝑥

𝑕 4

𝑔 𝑥

𝑗 𝑥

𝑗 𝑥

𝑗 4

𝑥−4 𝑥+2
𝑥 2 − 2𝑥 − 8
𝑥+2
6
3
= lim
= lim 2
=
=
.∎
3
2
2
𝑥→4 𝑥 − 3𝑥 − 4𝑥
𝑥→4 𝑥 − 4 𝑥 + 𝑥
𝑥→4 𝑥 + 𝑥
20 10
lim

Kasus 2: Pecahan akar. Caranya yaitu dengan mengalikan fungsi akar tersebut dengan akar
sekawannya. Sebagai contoh, menentukan faktor 𝑕 𝑥 pada fungsi 𝑓 𝑥 = 1 − 3 − 2𝑥 dengan akar
sekawannya yaitu 𝑓 𝑥 = 1 + 3 − 2𝑥.
𝑓 𝑥

𝑓 𝑥

1 − 3 − 2𝑥 = 1 − 3 − 2𝑥 ×

𝑓 𝑥

1 + 3 − 2𝑥

1 + 3 − 2𝑥

1 −
2

=

𝑓 𝑥

3 − 2𝑥

1 + 3 − 2𝑥
𝑓 𝑥

Berdasarkan fakta ini, Contoh 3 dapat dikerjakan sebagai berikut:

2

= 𝑥−1

𝑕 𝑥

2

1 + 3 − 2𝑥

1 − 3 − 2𝑥
1 − 3 − 2𝑥 1 + 3 − 2𝑥
2 𝑥−1
= lim
×
= lim
2
2
𝑥→1
𝑥→1
𝑥 −1
𝑥 −1
1 + 3 − 2𝑥 𝑥→1 𝑥 − 1 𝑥 + 1 1 + 3 − 2𝑥
lim

=

2

1
= .
2
1+1 1+ 3−2∙1

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

3

.

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

Contoh 5
1. lim

𝑥→1

𝑥+1− 3−𝑥

𝑥+1− 3−𝑥

= lim

𝑥−1

𝑥−1

𝑥→1

2 𝑥−1

= lim

𝑥+1

𝑥+1+ 3−𝑥

𝑥+1+ 3−𝑥

𝑥−1

𝑥→1

𝑥+1+ 3−𝑥

×

=

2

×

𝑥−1

𝑥−1

1+1

1+1+ 3−1

=

4
2 2

= 2.

Trik 2 Jika 𝑏𝑎 + 𝑐 − 𝑑𝑎 + 𝑒 = 0 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑗 𝑥 maka

𝑏−𝑑
𝑏−𝑑
𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑𝑥 + 𝑒
=
=
.
𝑔 𝑥
2𝑗 𝑎 𝑏𝑎 + 𝑐 2𝑗 𝑎 𝑑𝑎 + 𝑒

lim

𝑥→𝑎

Contoh 6
1. lim

𝑥→1

2. lim

𝑥→0

1 − 3 − 2𝑥
1 − 3 − 2𝑥
0 − −2
1
= lim
=
= .
2
𝑥→1
𝑥 −1
𝑥−1 𝑥+1
2 1+1 ∙1 2
2𝑥 2 − 𝑥

5 − 𝑥 − 2𝑥 + 5

𝑥 2𝑥 − 1

= lim

𝑥→0

Trik 3 Jika 𝑏𝑎 + 𝑐 − 𝑑𝑎 + 𝑒 =
lim

𝑥→𝑎

Contoh 7

𝑝𝑥 + 𝑞 − 𝑟𝑥 + 𝑠

𝑥+1− 3−𝑥

2. lim

2 − 2𝑥

𝑥→2

𝑥−1

4𝑥 + 1 − 3

5.3 Limit Tak Hingga

=

=

2 2∙0−1 5−0 2
=
5.
−1 − 2
3

𝑝𝑎 + 𝑞 − 𝑟𝑎 + 𝑠 = 0, maka

𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑𝑥 + 𝑒

1. lim

𝑥→1

5 − 𝑥 − 2𝑥 + 5

=

1 − −1

1−0

𝑏−𝑑

=

𝑝−𝑟

∙1

1+1

=

2
2

𝑝𝑎 + 𝑞

𝑏𝑎 + 𝑐

=

𝑏−𝑑

𝑝−𝑟

𝑟𝑎 + 𝑠

𝑑𝑎 + 𝑒

,

= 2.

0−2 ∙3
3
=− .
4−0 ∙2
4

Definisi 5.2 Bentuk tak hingga ∞ merupakan simbol yang mewakili sesuatu yang tidak terukur
yang disebabkan nilainya sangat besar.
Berdasarkan definisi tersebut, akan diperoleh
lim 𝑥 = ∞

𝑥→∞

dan

1
= 0.
𝑥→∞ 𝑥
lim

Tabel berikut dapat menjelaskan mengapa nilai limitnya demikian.
𝑥

…

10

100

1000

10000

100000

1000000

…

10

100

1000

10000

100000

1000000

1/𝑥

…

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

𝑥

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

→∞
→∞
→0
4

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

Selanjutnya, tidak sulit untuk menunjukkan bahwa
1
= 0,
𝑥→∞ 𝑥 𝑛

lim 𝑥 𝑛 = ∞ dan

𝑥→∞

Contoh 8

𝑛 > 0.

lim

1. lim 3𝑥 6 + 7𝑥 3 + 10𝑥 = 3 lim 𝑥 6 + 7 lim 𝑥 3 + 10 lim 𝑥 = ∞.
𝑥→∞

2. lim 5 −
𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

3 1
1
1
+ 2 = lim 5 − 3 lim + lim 2 = 5 − 3 ∙ 0 + 0 = 5.
𝑥→∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
𝑥 𝑥

1
1
1
3. lim 𝑥 2 − 𝑥 = lim 𝑥 2 − lim 𝑥 = lim 𝑥 2 − lim 𝑥 = ∞.
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥→∞ 2
𝑥→∞
2
2 𝑥→∞

4. lim 1 − 𝑥 3 = lim 1 − lim 𝑥 3 = −∞.
𝑥→∞

𝑥→∞

𝑥→∞

Dalam limit di tak hingga, bentuk hasil substitusi ∞/∞ merupakan bentuk yang tidak tentu. Meski
simbol yang digunakan sama, namun secara kuantitas, simbol ∞ pada pembilang secara umum tidak
sama dengan simbol ∞ pada penyebut. Sebagai contoh
3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 ∞
=
𝑥→∞ 5𝑥 3 + 2𝑥 2
∞
lim

dan

lim

𝑥→∞ 2𝑥

𝑥+1

+ 𝑥2 + 𝑥

=

∞
.
∞

Teknik 5.3 Untuk menyelesaikan masalah limit ∞/∞, baik pembilang maupun penyebut
dinyatakan ke dalam bentuk faktor, dengan salah satu faktornya adalah 𝑥 berpangkat tertinggi.
Sebagai contoh, dimisalkan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi aljabar dengan pangkat tertinggi
masing-masing 𝑚 dan 𝑛 maka terdapat 𝑕 𝑥 dan 𝑗 𝑥 sehingga
𝑓 𝑥
𝑥𝑚 𝑕 𝑥
= lim 𝑛
.
𝑥→∞ 𝑔 𝑥
𝑥→∞ 𝑥 𝑗 𝑥
lim

Contoh 9
7 3
7 3
3−𝑥+ 2
𝑥2 3 − 𝑥 + 2
1
3𝑥 2 − 7𝑥 + 3
𝑥 = lim ∙ lim
𝑥 = 0 ∙ 3 − 0 + 0 = 0.
1. lim
= lim
3
2
2
2
𝑥→∞ 5𝑥 + 2𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞
5+0
𝑥3 5 + 𝑥
5+𝑥
2. lim

𝑥→∞ 2𝑥

𝑥+1

+ 𝑥2 + 𝑥

= lim

𝑥→∞

𝑥+1

1
2𝑥 + 𝑥 1 + 𝑥

4
𝑥 2+𝑥

2𝑥 + 4 2
3. lim
= lim
10
𝑥→∞ 4𝑥 − 10
𝑥→∞
𝑥 4− 𝑥

= lim

2

𝑥→∞

1
𝑥 2+ 1+𝑥

= lim 𝑥 ∙ lim
𝑥→∞

1
𝑥 1+𝑥

𝑥→∞

4
2+𝑥

=

1+0

1
= .
2+ 1+0 3

2

10
4− 𝑥

=∞∙

2+0 2
= ∞.
4−0

Trik 4 (Fokus pada pangkat tertinggi) Diberikan fungsi aljabar 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 dengan pangkat
tertinggi berturut-turut 𝑚 dan 𝑛. Selanjutnya misalkan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 dapat dinyatakan sebagai
𝑓 𝑥 = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑝 𝑥

dan

𝑔 𝑥 = 𝑐2 𝑥 𝑛 + 𝑞 𝑥 , 𝑐1 , 𝑐2 ≔ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

dengan 𝑝 𝑥 dan 𝑞 𝑥 merupakan fungsi aljabar yang pangkat tertingginya kurang dari 𝑚 dan 𝑛. Jika
lim𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = ∞ dan lim𝑥→∞ 𝑔 𝑥 = ∞ maka
oleh: Abu Nuh AsySyahrani

5

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA
𝑐1 𝑥 𝑚
𝑓 𝑥
= lim
.
𝑥→∞ 𝑔 𝑥
𝑥→∞ 𝑐2 𝑥 𝑛
lim

Contoh 10

3𝑥 2 − 7𝑥 + 3
3𝑥 2 3
1 3
1. lim
=
lim
=
lim
= ∙ 0 = 0,
𝑥→∞ 5𝑥 3 + 2𝑥 2
𝑥→∞ 5𝑥 3
5 𝑥→∞ 𝑥 5

2. lim

𝑥→∞ 2𝑥

3. lim

𝑥→∞

𝑥+1

+

𝑥2

+𝑥

𝑥

= lim

𝑥→∞ 2𝑥

+

𝑥2

= lim

𝑥→∞ 2𝑥

𝑥
𝑥
1 1
= lim
= lim = ,
𝑥→∞
𝑥→∞
+𝑥
3𝑥
3 3

2𝑥 + 4 2
2𝑥 2
4𝑥 2
= lim
= lim
= lim 𝑥 = ∞.
𝑥→∞ 4𝑥
𝑥→∞ 4𝑥
𝑥→∞
4𝑥 − 10

Dalam limit tak hingga pada fungsi akar terkadang dijumpai bentuk ∞ − ∞ yang tergolong tak
tentu. Sebagai contoh:
lim

Contoh 7
1. lim

𝑥→∞

2. lim

𝑥→∞

𝑥→∞

2𝑥 − 2𝑥 + 1
𝑥→∞

2𝑥 + 2𝑥 + 1

6𝑥 + 4 − 𝑥 − 24 = lim

𝑥→∞

= lim

5𝑥 + 28

𝑥→∞

5

𝑥→∞

𝑥→∞

6𝑥 + 4 + 𝑥 − 24

6+1

∙ lim 𝑥 =
𝑥→∞

𝑥 2 + 9𝑥 − 36 − 𝑥 2 − 𝑥 + 7 = lim

𝑥→∞

𝑥2

1
2𝑥 + 2𝑥

5

𝑥→∞

6+1

2𝑥 2 − 𝑥 − 1 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 11 = lim
= lim

𝑥→∞

𝑥

2𝑥 2

𝑥→∞

2

+ 𝑥2

1

lim

1

2 2 𝑥→∞ 𝑥

6𝑥 + 𝑥

=

= lim

𝑥→∞

1
2 2
5𝑥

𝑥2

+ 9𝑥 − 36 +

−𝑥+7

𝑥

6+1

∙ 0 = 0.

10𝑥 − 36

∙ 0 = 0.

= lim

𝑥→∞

10𝑥
𝑥2

+ 𝑥2

𝑥 2 + 3𝑥 − 12

2𝑥 2 − 𝑥 − 1 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 11
𝑥2

= lim

2+1 𝑥

𝑥→∞

5.4 Limit Fungsi Trigonometri

=

5𝑥

= lim

10𝑥
= lim 5 = 5.
𝑥→∞ 2𝑥
𝑥→∞

= lim
4. lim

𝑥 2 + 9𝑥 − 36 − 𝑥 2 − 𝑥 + 7 .

lim

𝑥→∞

−1

2𝑥 − 2𝑥 + 1 = lim

=
3. lim

dan

1

=

2+1

∙ lim 𝑥 = ∞.
𝑥→∞

Dalam trigonometri, bentuk limit dasar dan penting dengan hasil substitusi 0/0 yaitu
sin 𝑢
𝑢→0 𝑢
lim

dan

Adapun nilai limitnya dapat dilihat pada Tabel berikut:
𝑢

sin 𝑢
𝑢

tan 𝑢
.
𝑢→0 𝑢
lim

1

0.75

0.5

0.25

0.1

0.01

0.841471

0.908852

0.958851

0.989616

0.998334

0.999983

→0
→1

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

6

5. LIMIT FUNGSI

tan 𝑢
𝑢

Trik Matematika SMA

1.557408

1.242129

1.092605

1.021368

1.003347

1.000033

Dari tabel disimpulkan bahwa
sin 𝑢
=1
𝑢→0 𝑢
lim

dan

→1

tan 𝑢
= 1.
𝑢→0 𝑢
lim

Selanjutnya, jika 𝑢 = 𝑝𝑥 dengan 𝑝 ≠ 0 maka untuk 𝑢 → 0 menyebabkan 𝑥 → 0. Akibatnya dua limit
dasar di atas menjadi
sin 𝑝𝑥
= 1 dan
𝑥→0 𝑝𝑥
lim

Contoh 8

sin 4𝑥
sin 4𝑥
= 2 lim
=2∙1=2
𝑥→0 4𝑥
𝑥→0 2𝑥

tan 𝑝𝑥
= 1.
𝑥→0 𝑝𝑥
lim

1. lim

2𝑥

2. lim

𝑥→0 tan

3. lim

2𝑥

sin 2𝑥

𝑥→0 tan 3𝑥

= lim

=

𝑥→0

1

tan 2𝑥
2𝑥

1

=
lim

𝑥→0

tan 2𝑥
2𝑥

=

1
= 1.
1

2𝑥
2
2
sin 2𝑥
3𝑥
∙ lim
∙ lim
= ∙1∙1= .
𝑥→0
𝑥→0
3𝑥
3
2𝑥
tan 3𝑥 3

Trik 5 Dengan menggunakan sifat limit bentuk pembagian diperoleh
lim sin 𝑝𝑥 = lim 𝑝𝑥 dan lim tan 𝑝𝑥 = lim 𝑝𝑥.

𝑥→0

Contoh

𝑥→0

2𝑥

𝑥→0 tan

= lim

2𝑥

4. lim

2𝑥 2
sin2 2𝑥
=
lim
=4
𝑥→0 𝑥 2 cos 2𝑥
𝑥→0 𝑥 2 ∙ 1

5. lim

= 1.

2𝑥 𝑥→0 2𝑥
2𝑥 2
sin 2𝑥
= lim
=
3. lim
𝑥→0 3𝑥
𝑥→0 tan 3𝑥
3

7𝑥 2 + sin 2𝑥 2
7𝑥 2 + 2𝑥 2
=
lim
=1
𝑥→0
𝑥→0
tan2 3𝑥
3𝑥 2

6. lim

Trik 6 Secara umum, Jika 𝑓 𝑎 = 0 maka
Contoh 9
1. lim

𝑥→2

2. lim

𝑥→3

3. lim

𝑥→1

lim sin 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 ,

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→0

sin 2𝑥 tan 3𝑥
2𝑥 ∙ 3𝑥
= lim
= 6.
𝑥→0
𝑥→0 𝑥 ∙ 𝑥
𝑥 sin 𝑥

sin 4𝑥
4𝑥
= lim
=2
𝑥→0 2𝑥
𝑥→0 2𝑥

1. lim

2. lim

𝑥→0

lim cos 𝑓 𝑥 = 1 dan lim tan 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 .

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

1
sin 𝑥 − 2
𝑥−2
1
= lim
= lim
= .
𝑥→2 𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥→2 𝑥 + 2
4
𝑥2 − 4
𝑥 − 7 sin 2𝑥 − 6
−4 sin 2 𝑥 − 3
= lim
2
𝑥→3
𝑥 + 2𝑥 − 15
𝑥+5 𝑥−3

= lim

𝑥→3

𝑥→𝑎

−4 ∙ 2 𝑥 − 3
−8
= lim
= −1.
𝑥→3 𝑥 + 5
𝑥+5 𝑥−3

𝑥+2 𝑥−1 𝑥−1
𝑥 2 + 𝑥 − 2 sin 𝑥 − 1
= lim
= lim 𝑥 + 2 = 3.
2
𝑥→1
𝑥→1
𝑥−1 𝑥−1
𝑥 − 2𝑥 + 1

Dalam limit trigonometri, terdapat dua bentuk dasar yang melibatkan fungsi cosinus, yaitu
cos 𝑝𝑥 − cos 𝑞𝑥 = −2 sin

𝑝+𝑞
𝑝−𝑞
𝑥 sin
𝑥
2
2

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

7

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA
1 − cos 𝑝𝑥 = 2 sin2

Contoh 10

𝑝
𝑥 .
2

1
1 1
2 sin2 2 𝑥
2∙ 𝑥∙ 𝑥 1
1 − cos 𝑥
1. lim
= lim
= lim 2 2 = .
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0
4
𝑥 ∙ 2𝑥

cos 4𝑥 − 1
−(1 − cos 4𝑥)
−2 sin2 2𝑥
−2 ∙ 2𝑥 ∙ 2𝑥
2. lim
= lim
= lim
= lim
= −1.
𝑥→0 𝑥 tan 8𝑥
𝑥→0
𝑥→0 𝑥 tan 8𝑥
𝑥→0
𝑥 tan 8𝑥
𝑥 ∙ 8𝑥

tan 2𝑥 cos 8𝑥 − tan 2𝑥
4𝑥 2
2𝑥 1 − cos 8𝑥
2 sin2 4𝑥
=
−
lim
=
−
lim
=
−
lim
= −4.
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0 4𝑥 2
16𝑥 3
8𝑥 2
16𝑥 3

3. lim

Trik 4

lim cos 𝑝𝑥 − cos 𝑞𝑥 = −

𝑥→0

𝑝2 𝑥 2
𝑥→0 2

lim 1 − cos 𝑝𝑥 = lim

𝑥→0

dan

𝑝 + 𝑞 𝑝 − 𝑞 𝑥2
,
2
lim 1 − cos2 𝑝𝑥 = lim 𝑝2 𝑥 2
𝑥→0

𝑥→0

Contoh 11
12 𝑥 2
1
1 − cos 𝑥
= lim 2 2 = .
1. lim
𝑥→0 2𝑥
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
4

42 𝑥 2
− 2
cos 4𝑥 − 1
2. lim
= lim
= −1.
𝑥→0 𝑥 tan 8𝑥
𝑥→0 8𝑥 2

82 𝑥 2
2𝑥
∙
2𝑥 cos 8𝑥 − 1
tan 2𝑥 cos 8𝑥 − tan 2𝑥
2 = −4.
= lim
= − lim
3. lim
3
3
3
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
16𝑥
16𝑥
16𝑥
9𝑥 2
7𝑥 2 + sin 2𝑥 2
=
lim
= 1.
𝑥→0 3𝑥 2
𝑥→0
tan2 3𝑥

4. lim

cos 4𝑥 − 1
5. lim
= lim
𝑥→0 cos 5𝑥 − cos 3𝑥
𝑥→0

42 𝑥 2
− 2
8𝑥 2
=
lim
= 1.
5 + 3 5 − 3 𝑥 2 𝑥→0 8𝑥 2
−
2

𝑥−2 2
𝑥−2 2
1
1 − cos2 𝑥 − 2
=
lim
=
lim
= .
2
2
2
𝑥→2 3 𝑥 − 4𝑥 + 4
𝑥→2 3 𝑥 − 2
𝑥→2 3𝑥 − 12𝑥 + 12
3

6. lim

4 − 4 cos2 𝑥
4 1 − cos2 𝑥
4𝑥 2
= lim
=
lim
= 2.
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0
𝑥→0 2𝑥 2
2𝑥 2

7. lim
8. lim

sin 2𝑥

𝑥→0 3 −

2𝑥 + 9

2𝑥 3 + 2𝑥 + 9
= − 3 + 2 ∙ 0 + 9 = −6.
𝑥→0
−2𝑥

= lim

𝑥 2 sin 2𝑥
2 sin 𝑥 cos 𝑥
2 sin 𝜋 − 𝑥 cos 𝑥
= 𝜋 2 lim
= 𝜋 2 lim
= 𝜋 2 ∙ 2 ∙ −1 ∙ −1 = 2𝜋 2 .
𝑥→𝜋 𝑥 − 𝜋
𝑥→𝜋
𝑥→𝜋
𝑥−𝜋
𝑥−𝜋

9. lim

Dalil L’Hospital
oleh: Abu Nuh AsySyahrani

8

5. LIMIT FUNGSI

Trik Matematika SMA

Trik 5 Jika fungsi 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 dapat didiferensialkan, dan selanjutnya 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0 dan
𝑓′ 𝑎
0
≠
0
𝑔′ 𝑎

maka
lim

𝑥→𝑎

Contoh 12
1.

𝑓′ 𝑎
𝑓 𝑥
=
.
𝑔′ 𝑎
𝑔 𝑥

𝑥2 − 9
2𝑥 2 ∙ −3
= lim
=
= −6.
𝑥→−3 𝑥 + 3
𝑥→−3 1
1
lim

𝑥 2 − 2𝑥 − 8
2∙4−2
6
3
2𝑥 − 2
= lim 2
=
=
= .
3
2
2
𝑥→4 𝑥 − 3𝑥 − 4𝑥
𝑥→4 3𝑥 − 6𝑥 − 4
3 ∙ 4 − 6 ∙ 4 − 4 20 10

2. lim

−1
1
3
3
4
−
+
1
3𝑥 − 4 − 𝑥
2 3𝑥 2 4 − 𝑥 2 3 ∙ 1 2 4 − 1
2 3
3.
3. lim
= lim
=
=−
=−
2
𝑥→1
𝑥→1
6
2 − 2𝑥
−4𝑥
−4 ∙ 1
4
2𝑥
2∙1
−1
−1 1−1
2
2+3
𝑥2 + 3 − 𝑥 − 1
1
2
𝑥
+
3
2
1
4. lim
= lim
=
=2
= .
2
𝑥→1
𝑥→1
−2𝑥
−2 ∙ 1
−2
1−𝑥
4
5. lim

𝑥→0

14 cos 14𝑥 14 ∙ 1
sin 14𝑥
= lim
=
= 2.
𝑥→0
7
7
7𝑥

sin 𝑥 − 2
1
1
cos 𝑥 − 2
= lim
=
= .
2
𝑥→2 𝑥 − 4
𝑥→2
2∙2 4
2𝑥

6. lim

1 − cos 𝑥
1 − cos 𝑥
sin 𝑥 1
= lim
= lim
= .
2
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0
𝑥→0 4𝑥
4
2𝑥

7. lim

−4 sin 4𝑥
−16𝑥
cos 4𝑥 − 1
= lim
= lim
= 1.
𝑥→0 −5 sin 5𝑥 + 3 sin 3𝑥
𝑥→0 −25𝑥 + 9𝑥
𝑥→0 cos 5𝑥 − cos 3𝑥

8. lim

2 sin 𝑥 − 2 cos 𝑥 − 2
2 𝑥−2
2 1
1 − cos2 𝑥 − 2
= lim
= lim
= lim = .
2
𝑥→2
𝑥→2 6𝑥 − 12
𝑥→2 6
𝑥→2 3𝑥 − 12𝑥 + 12
3
6𝑥 − 12

7. lim

4 − 4 cos2 𝑥
4 − 4 cos2 𝑥
8 sin 𝑥 cos 𝑥
= lim
= lim
= 2.
2
𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥
𝑥→0
𝑥→0
2𝑥
4𝑥

8. lim

9. lim

sin 2𝑥

𝑥→0 3 −

2𝑥 + 9

= lim

𝑥→0 3 −

2𝑥

2𝑥 + 9

2
2
=
= −6.
1
2
𝑥→0
−3
−
2 2𝑥 + 9

= lim

sin 2𝑥
2 cos 2𝑥
𝑥 2 sin 2𝑥
= 𝜋 2 lim
= 𝜋 2 lim
= 2𝜋 2 .
𝑥→𝜋 𝑥 − 𝜋
𝑥→𝜋
𝑥→𝜋 𝑥 − 𝜋
1

10. lim

Referensi:

oleh: Abu Nuh AsySyahrani

9