PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN PERSAMAAN POISSON DALAM PELAT PERSEGI PANJANG DAN PELAT CAKRAM DENGAN METODE BEDA-HINGGA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  

PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN

PERSAMAAN POISSON DALAM PELAT PERSEGI PANJANG

DAN PELAT CAKRAM DENGAN METODE BEDA-HINGGA

SKRIPSI

  

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

  

Oleh:

ANTONIUS SETYO HARTANTO

NIM: 023114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

  

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

  

THE NUMERICAL SOLUTIONS OF

THE LAPLACE EQUATION AND THE POISSON EQUATION

  

IN A RECTANGULAR PLATE AND A DISK PLATE

BY FINITE-DIFFERENCE METHOD

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

  

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

by:

ANTONIUS SETYO HARTANTO

  

Student Number: 023114015

MATHEMATICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

  

2008

  

Semoga orang-orang lain lebih banyak memperoleh penghargaan dari pada aku,

Semoga mereka mendapat jalan yang lancar sedangkan aku tersisihkan,

Semoga mereka bertambah besar dimana dunia sedangkan aku terbelakang,

Semoga mereka mendapat pujian sedangkan aku diabaikan,

  

Semoga mereka mengatasi aku dalam segala hal:

YESUS, berikanlah daku rahmat untuk mengharapkannya.

  [Kard. Marry de Val] Skripsi ini saya persembahkan kepada:

  Allah Bapa Yang Maha Kuasa dan Tuhan Yesus Kristus, Roh Kudus Roh hidupku dan Bunda Maria Bunda hatiku, Kedua orang tuaku dan Mbakku tercinta, Malaikat hidupku Obel terkasih, Semua sesama yang mendukungku

  

ABSTRAK

  Persamaan diferensial parsial adalah persamaan-persamaan yang memuat satu atau lebih turunan parsial. Persamaan diferensial parsial dapat timbul pada masalah-masalah fisis, contohnya adalah persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram.

  Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram dapat diselesaikan secara eksak dengan menggunakan metode Pemisahan Variabel. Sedangkan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram dapat diselesaikan secara eksak dengan cara membagi ke dalam dua masalah, yaitu persamaan Laplace dengan syarat batas nonhomogen dan persamaan Poisson dengan syarat batas homogen. Dalam penyelesaian secara eksak dibutuhkan kemampuan analitik dalam menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial biasa yang dihasilkan dari metode Pemisahan Variabel.

  Persamaan Laplace dan persamaan Poisson dapat juga diselesaikan secara numerik dengan metode Beda-Hingga. Metode ini dilakukan dengan menutup permukaan pelat dengan grid beda hingga, menentukan pendekatan beda hingga di titik-titik grid pada permukaan pelat, dan menyelesaikan sistem persamaan linear yang dihasilkan dari pendekatan-pendekatan beda hingga. Dalam skripsi ini, sistem persamaan linear diselesaikan dengan metode iterasi Gauss-Seidel. Penyelesaian numerik ini menghasilkan suhu pendekatan di titik-titik dalam pada permukaan pelat.

  

ABSTRACT

  Partial differential equations are equations, which contain one or more partial derivatives. Partial differential equations can be found on the physical problems, for examples Laplace equation and Poisson equation, which occur on the two-dimensional heat flow problems in a rectangular plate and a disk plate.

  Laplace equation in a rectangular plate and a disk plate can be solved exactly by the method of Separation of Variable. While Poisson equation in a rectangular plate and a disk plate can be solved exactly by divide into two problems that are Laplace equation with a nonhomogenous boundary condition and Poisson equation with a homogenous boundary condition. In the exactly solution required analytical ability to solve ordinary differential equations, which obtained from the method of Separation of Variable.

  Laplace equation and Poisson equation can be solved numerically by the finite-difference method. This method executed by cover surface plate with the finite difference grid, determine the finite difference approximations at the grid points in the surface plate, and solve the linear equation system, which obtained from the finite difference approximations. In this paper, the system is solved by Gauss-Seidel iteration method. This numerical solution yields approximation temperatures at interior points of the surface plate.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada ALLAH Yang Maha Rahim, atas segala berkat, rahmat, kesehatan, dan mukjizat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Setelah sekian lama, akhirnya berkat doa dan dukungan dari semua pihak penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu menulis mengucapkan banyak terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada:

  1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, kesabaran, ketelatenan, nasehat, dan dorongan dalam membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Y.G Hartono, S. Si. M.Sc. atas segala masukan dan nasehat selama mengerjakan skripsi ini.

  3. Bapak St. Eko Hari Permadi, S.Si., M.Kom. dan Bapak Herry Pribawanto, S.Si., M.Si. selaku tim penguji, atas segala masukan bagi penulis dalam merevisi skripsi ini.

  4. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, yang telah memberi dukungan kepada penulis.

  5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

  6. Teman-teman seperjuangan: Taim, Markus, Bani, Aan, Ijup, dan Galih.

  7. Teman-teman Matematika angkatan 2002, semangat kalian hebat-hebat.

  Yogyakarta, April 2008

  

DAFTAR ISI

  Halaman

  

HALAMAN JUDUL …………………………………………………. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ………………. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ……………………. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………… v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………... vi

ABSTRAK ……………………………………………………………. vii

ABSTRACT …………………………………………………………... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............ ix

KATA PENGANTAR ………………………………………………... x

DAFTAR ISI ………………………………………………………….. xi

DAFTAR GAMBAR …………………………………………………. xiii

DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………. xvi

  BAB I. Pendahuluan ………………………………………………

  1 A. Latar Belakang Masalah ……………………………….

  2 B. Perumusan Masalah ……………………………………

  2 C. Pembatasan Masalah …………………………………..

  2 D. Tujuan Masalah ………………………………………..

  3 E. Metode Penulisan ……………………………………...

  3 F. Manfaat Penulisan ……………………………………..

  3 G. Sistematika Penulisan ………………………………….

  3 BAB II. Persamaan Diferensial Parsial dan Metode Gauss-Seidel

  5 A. Persamaan Diferensial Parsial …………………………

  5 B. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson …………..

  12 C. Penyelesaian Persamaan Laplace Secara Eksak ……….

  20 D. Penyelesaian Persamaan Poisson Secara Eksak ……….

  39

  BAB III. Penyelesaian Persamaan Laplace dan Persamaan Poissson Secara Numerik …………………………...........

  57 A. Metode Beda-Hingga …………………………………

  57 1. Pendekatan Beda Hingga …………………………..

  57

  2. Pendekatan Beda Hingga untuk Persamaan Laplace

  65

  a. Persamaan Laplace dalam Pelat Persegi Panjang

  65

  b. Persamaan Laplace dalam Pelat cakram ……..…

  72

  3. Pendekatan Beda Hingga untuk Persamaan Poisson

  80

  a. Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi Panjang

  80 b. Persamaan Poisson dalam Pelat Cakram ……….

  84

  4. Kekonsistenan, Orde, dan Kekonvergenan Pendekatan Beda Hingga …………………………..

  90

  a. Kekonsistenan .…………………………………

  90 b. Orde ……………………………………..……...

  94

  c. Kekonvergenan …………………………………

  96 B. Penyelesaian Numerik Persamaan Laplace dengan Metode Beda-Hingga .…………………………………

  97 1. Persamaan Laplace dalam Pelat Persegi Panjang .....

  97

  2. Persamaan Laplace dalam Pelat Cakram ………….. 104

  C. Penyelesaian Numerik Persamaan Poisson dengan Metode Beda-Hingga .………………………………… 111

  1. Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi Panjang ..... 111

  2. Persamaan Poisson dalam Pelat Cakram ………….. 114

  

BAB IV. Penutup …………………………………………………… 118

A. Kesimpulan ……………………………………………. 118 B. Saran …………………………………………………… 119

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………… 120

LAMPIRAN …………………………………………………………... 121

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2.1.1 Vektor normal di setiap titik pada batas C …….....................

  9 Gambar 2.2.1 Aliran panas dua-dimensi tetap dalam pelat persegi panjang

  13 Gambar 2.2.2 Domain penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang …..................................

  16 Gambar 2.2.3 Aliran panas dua-dimensi tetap dalam pelat cakram ..............

  17 Gambar 2.2.4 Koordinat kutub …………………………………………......

  18 Gambar 2.2.5 Domain penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat cakram …...............................................

  20 Gambar 2.3.1 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet .............................................................

  22 Gambar 2.3.2 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann .............................................................

  26 Gambar 2.3.3 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Dirichlet ..................................................................................

  31 Gambar 2.3.4 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Neumann ................................................................................

  37 Gambar 2.4.1 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet ..............................................................

  40 Gambar 2.4.2 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann .............................................................

  47 Gambar 3.1.1 Grid beda hingga pada domain persegi panjang .....................

  58 Gambar 3.1.2 Stensil beda hingga di titik dalam u untuk persamaan _{i , j}

  66 Laplace dalam pelat persegi panjang ......................................

Gambar 3.1.3 Stensil-stensil beda hingga di titik pada tepi batas untuk persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang …………...

  68 Gambar 3.1.4 Grid berukuran

  5 × 5 dimana Δ x = Δ y =

  1 untuk persamaan

  70 Laplace dengan syarat batas Dirichlet ………………............

Gambar 3.1.5 Grid berukuran × dimana Δ x = Δ y = 1 untuk persamaan

  5

  5

  72 Laplace dengan syarat batas Neumann ………………..........

Gambar 3.1.6 Grid beda hingga pada domain lingkaran …………………...

  73 Gambar 3.1.7 Stensil beda hingga di titik dalam U sampai dengan _{2 , j}

  75 U untuk persamaan Laplace dalam pelat cakram .......... _{n 1 , j}

  −

Gambar 3.1.8 Stensil beda hingga di titik dalam U dan titik pada batas 1 , j

  76 U untuk persamaan Laplace dalam pelat cakram .............. _{n , j} π

Gambar 3.1.9 Grid berukuran 4 × dimana 8 Δr = , 5 dan untuk

  Δ θ =

  4 persamaan Laplace dengan syarat batas Dirichlet ……..........

  77 π

Gambar 3.1.10 Grid berukuran 4 × dimana 8 Δr = , 5 dan

  Δ θ =

  4 untuk persamaan Laplace dengan syarat batas Neumann ...

  79 Gambar 3.1.11 Pendekatan beda hingga di titik dalam u untuk _{i , j}

  81 persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang …………..

Gambar 3.1.12 Grid berukuran 5 × dimana 5 Δ x = Δ y = 1 untuk

  82 persamaan Poisson dengan syarat batas Dirichlet ………...

  84 persamaan Poisson dengan syarat batas Neumann ………..

Gambar 3.1.14 Stensil beda hingga di titik dalam U sampai dengan 2 , j untuk persamaan Poisson dalam pelat cakram .......

  85 U _{n 1 , j}

  −

  π

Gambar 3.1.15 Grid berukuran

  4

  8 1 dan untuk × dimana Δr = Δ θ =

  4 persamaan Poisson dengan syarat batas Dirichlet ...............

  87 π

  4

  8

  1 Gambar 3.1.16 Grid berukuran × dimana Δr = dan Δ θ = untuk

  4 persamaan Poisson dengan syarat batas Neumann ..............

  89

Gambar 3.2.1 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet .............................................................. 102Gambar 3.2.2 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann ............................................................. 103Gambar 3.2.3 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas

  Dirichlet .................................................................................. 109

Gambar 3.2.4 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas

  Neumann ................................................................................ 110

Gambar 3.3.1 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet ............................................................. 112Gambar 3.3.2 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann ............................................................. 113Gambar 3.3.3 Persamaan Poisson dalam pelat cakram dengan syarat batas

  Dirichlet .................................................................................. 115

Gambar 3.3.4 Persamaan Poisson dalam pelat cakram dengan syarat batas

  Neumann ................................................................................ 116

DAFTAR LAMPIRAN

  Halaman Lampiran 2.5.1 Program untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi Gauss-Seidel ……………………. 122 Lampiran 3.2.1 Program untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam

  124 pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet ……. Lampiran 3.2.2 Program untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam

  126 pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann …… Lampiran 3.2.3 Program untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam

  130 pelat cakram dengan syarat batas Dirichlet …………...... Lampiran 3.2.4 Program untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam

  132 pelat cakram dengan syarat batas Neumann ……………. Lampiran 3.3.1 Program untuk menyelesaikan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet pada Contoh 3.3.1 …………………………………………….. 135 Lampiran 3.3.2 Program untuk menyelesaikan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann pada Contoh 3.3.2 …………………………………………….. 137 Lampiran 3.3.3 Program untuk menyelesaikan persamaan Poisson dalam pelat cakram dengan syarat batas Dirichlet pada Contoh 3.3.3 …………………………………………….. 141 Lampiran 3.3.4 Program untuk menyelesaikan persamaan Poisson dalam pelat cakram dengan syarat batas Neumann pada Contoh 3.3.4 …………………………………………….. 143

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah A. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan-persamaan yang memuat satu

  atau lebih turunan parsial. Persamaan diferensial parsial dapat timbul pada masalah- masalah fisis, contohnya adalah persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam zat padat, seperti dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram.

  Sebagai ilustrasi kasus tadi, pelat akan dipanaskan secara konstan pada tepi batasnya dengan suhu tertentu dan disekat sempurna pada kedua sisi permukaaannya agar tidak terpengaruh oleh suhu dari luar. Sehingga akan muncul permasalahan bagaimana perambatan panas di titik-titik dalam pada pelat tersebut pada saat mencapai kesetimbangan?

  Perambatan panas di titik-titik dalam untuk persamaan Laplace dapat diselesaikan secara eksak dengan metode Pemisahan Variabel, sedangkan untuk persamaan Poisson dapat diselesaikan dengan cara membagi ke dalam dua masalah, yaitu persamaan Laplace dengan syarat batas nonhomogen dan persamaan Poisson dengan syarat batas homogen.

  Perambatan panas di titik-titik dalam untuk persamaan Laplace dan persamaan Poisson dapat diselesaikan secara numerik dengan metode Beda-Hingga, yang akan menghasilkan suatu sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear yang dihasilkan dapat diselesaikan dengan metode-metode iterasi, seperti metode iterasi Jacobi, Gauss-Seidel, Relaksasi Berlebih Berturutan (SOR), Penurunan Tercuram, dan Konjugasi Gradien.

B. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

  1. Landasan teori apa saja yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram secara numerik?

  2. Bagaimanakah cara menyelesaikan persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram secara numerik dengan metode Beda-Hingga dan dengan bantuan program Matlab? C.

   Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram. Syarat batas yang digunakan adalah syarat batas Dirichlet dan Neumann. Metode iterasi yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode iterasi Gauss-Seidel. Landasan teori yang berkaitan dengan Aljabar Linear tidak diberikan dalam penulisan ini.

  D. Tujuan Masalah

  Penulisan ini bertujuan untuk mengetahui cara penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram secara numerik.

  E. Metode Penulisan

  Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal yang baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat penulisan ini adalah untuk memahami teknik penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram secara numerik dengan metode Beda- Hingga dan dengan bantuan program Matlab.

  G. Sistematika Penulisan

  Bab I. Pendahuluan A. Latar Balakang Masalah B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan

  E. Metode Penulisan

  F. Manfaat Penulisan

  G. Sistematika Penulisan

  Bab II. Persamaan Diferensial Parsial dan Metode Iterasi Gauss-Seidel A. Persamaan Diferensial Parsial B. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson C. Penyelesaian Persamaan Laplace Secara Eksak D. Penyelesaian Persamaan Poisson Secara Eksak E. Metode Iterasi Gauss-Seidel Bab III. Penyelesaian Persamaan Laplace dan persamaan Poisson Secara Numerik A. Metode Beda-Hingga B. Penyelesaian Numerik Persamaan Laplace dengan Metode Beda-Hingga C. Penyelesaian Numerik Persamaan Poisson dengan Metode Beda-Hingga Bab IV. Penutup A. Kesimpulan B. Saran

  

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL A. Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan-persamaan yang memuat

  satu atau lebih turunan parsial. Persamaan itu harus melibatkan paling sedikit dua variabel bebas. Orde persamaan diferensial parsial adalah tingkat turunan tertinggi pada persamaan itu.

  Definisi 2.1.1

  Pandanglah variabel bebas ( x , x , ..., x ) dan variabel terikat u ( x , x , ..., x ) _{1 2 n 1 2 n} adalah fungsi yang tidak diketahui, maka bentuk umum persamaan diferensial parsial dapat ditulis sebagai berikut: ₂

  u u u u ∂ ∂ ∂ ∂ f ( x , x , ..., x , u , , , ..., , , _{1 2 n 2}

  ∂ x ∂ x ∂ x _{1 2 n 1 2 2 2 2 n} (2.1.1) ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ∂ u ₂ , , , , ..., ) = .

  ∂ x x ∂ x x ∂ x ∂ x ∂ x _{2 1}

₂

_{2 1 3 n} Definisi 2.1.2 u dan u didefinisikan oleh _{1 2} Operator linear L untuk dua fungsi _{1 2 1 2 1 1 2 2 1 1} + + + + L ( u u ) = L ( u ) L ( u ) dan L ( c u c u ) = c L ( u ) c L ( u ) , (2.1.2) _{2 2} dimana c dan c adalah konstanta sebarang. _{1 2}

  Definisi 2.1.3

  Dengan menulis persamaan diferensial parsial ke dalam bentuk Lu = atau Lu = , g dengan L adalah operator. Maka persamaan

  Lu = (2.1.3) L

  disebut linear, jika adalah operator linear. Persamaan (2.1.3) disebut persamaan diferensial parsial linear homogen. Persamaan

  Lu = , g (2.1.4)

  dimana L adalah operator linear dan g ≠ adalah fungsi dari variabel-variabel bebas, disebut persamaan diferensial parsial linear nonhomogen.

  Contoh 2.1.1

  Contoh persamaan diferensial parsial adalah:

• 1. u y u = merupakan PDP orde-1, dengan variabel bebas adalah x, y dan _{x y}
_{1 2 x 1 x} + + variabel terikatnya adalah u(x, y), karena untuk ( u u ) = ( u ) ( u ) dan _{2 x}

  

y ( u u ) y ( u ) y ( u ) memenuhi persamaan (2.1.2), maka persamaan

_{1 2 y} = _{1 y} + + _{2 y} ini adalah persamaan diferensial linear homogen; ₃

  2. u u u = merupakan PDP orde-2, dengan variabel bebas adalah x, t dan _{xx tt} + + variabel terikatnya adalah u(x, t ), karena untuk _{3 3 2 2 3 3 3} ( u u ) = u _{1 2 1} 3 u u _{1 2} 3 u u u ≠ u u tidak memenuhi persamaan _{1 2} + + + + + _{2 1 2} (2.1.2), maka persamaan ini adalah persamaan diferensial nonlinear homogen.

  Teorema 2.1.1 Prinsip Superposisi

  Jika u , u , ..., u memenuhi persamaan linear homogen dan jika c , c , ..., c _{1 2 n 1 2 n}

  L

  adalah konstanta sebarang, maka kombinasi linear c u c u c u adalah juga _{1 1} + + + _{2 2 n n} memenuhi persamaan linear homogen yang sama.

  Bukti: u u

  Misalkan , , ..., u adalah penyelesaian-penyelesaian persamaan linear _{1 2 n} ( ) ( ) homogen, maka ini berarti bahwa L u = , L u = , ..., L ( u ) = . Selanjutnya _{1 2 n} menghitung ( L ) . Dari definisi operator linear, maka

  L c u c u c u _{1 1 2 2 n n} + + + _{1 1 2 2 n n}

₁

₁ + + + + + + L ( c u c u L c u ) = c L ( u ) c L ( u ) L c L ( u ) . _{2 2 n n}

  Karena u , u , ..., u adalah penyelesaian homogen, maka _{1 2 n 1 1 2 2 n n} + + + + + + L ( c u c u L c u ) = c c L c = . _{1 2 n} Jadi terbukti bahwa L memenuhi persamaan linear homogen

  c u c u c u _{1 1 2 2 n n} + + + L ( u ) u u = , jika , , ..., u memenuhi persamaan linear homogen yang sama. _{1 2 n}

  Persamaan diferensial parsial dapat juga timbul pada masalah-masalah fisis, seperti dalam masalah aliran panas, penyebaran zat, dan getaran senar.

  Syarat Awal dan Syarat Batas

  Persamaan diferensial parsial yang timbul dalam masalah fisis mempunyai banyak penyelesaian, maka akan dipilih satu penyelesaian dengan menetapkan syarat- syarat bantu. Syarat-syarat bantu akan dirumuskan untuk menentukan penyelesaian tunggal. Syarat-syarat ini terjadi secara fisis dalam dua peubah, yaitu syarat awal dan syarat batas.

  Syarat awal menentukan keadaan fisis pada waktu . Bentuk persamaan t syarat awal adalah u(x, t ) = φ (x), dimana x = (x, y) dan φ (x) = φ (x, y) adalah fungsi yang diberikan. Sebagai contoh untuk masalah aliran panas

  φ (x) adalah suhu awal, dan untuk masalah penyebaran zat φ (x) adalah konsentrasi awal. Untuk masalah getaran senar terdapat sepasang syarat awal, yaitu u(x, t ) = φ (x) dan

  ∂ u (x, t ) = ψ (x), dimana φ (x) adalah posisi awal dan ψ (x) adalah kecepatan awal.

  ∂ t Persamaan diferensial parsial yang timbul dalam masalah-masalah fisis akan mempunyai domain D. Sebagai contoh untuk masalah aliran panas, D adalah daerah bidang dengan batas D adalah kurva tertutup, Untuk masalah peyebaran zat, D adalah lubang wadah zat cair dengan batas D adalah permukaan wadah, jadi batasnya adalah permukaan S yang disebut bdy D. Sedangkan untuk masalah getaran senar, D adalah interval 0 < x < l dengan batas D adalah dua titik ujung yaitu x = 0 dan x = l.

  Syarat batas menentukan keadaan fisis di x pada domain D. Terdapat tiga macam syarat batas yang cukup penting, yaitu:

  1. Syarat batas Dirichlet, yaitu jika u diketahui. Syarat batas Dirichlet dapat ditulis sebagai

  u (x, t) = g(x, t), dimana g (x, t) adalah fungsi yang diberikan yang biasanya disebut data batas.

  ∂ u

  2. Syarat batas Neumann, yaitu jika turunan normal diketahui. Syarat batas ∂ n

  Neumann dapat ditulis sebagai ∂ u

  (x, t) = g(x, t), ∂ n dimana g (x, t) adalah fungsi yang diberikan. Misalkan n = ( n , n ) _{1 2} menotasikan vektor normal satuan dalam bdy D di setiap titik pada batas C.

  ∂ u ( x , y ) ( , ) ( , )

  Sedangkan = n ⋅ ∇ u x y menotasikan turunan berarah dari u x y ∂ n dalam arah normal pada batas C.

  

n

n n

  batas C

  n D n n n n

Gambar 2.1.1 Vektor normal di setiap titik pada batas C

  ∂

  

u +

  3. Syarat batas Robin, yaitu jika au diketahui, dimana a adalah fungsi

  n

  ∂ dalam x, y, t yang diberikan. Syarat batas Robin ditulis menjadi persamaan

  ∂ u (x, t) + au(x, t) = g(x, t),

  ∂ n dimana g (x, t) adalah fungsi yang diberikan dan a adalah fungsi dalam x, y, t yang diberikan. Masing-masing berlaku pada semua t dan x = (x, y) yang berada dalam bdy D.

  Persamaan Diferensial Parsial Orde-Dua

  Disini penulis hanya akan membahas persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas.

  Definisi 2.1.4

  Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas adalah:

  A u + 2 B u C u D u E u F u = + + + + S , (2.1.5) _{xx xy yy x y}

  dengan x dan y adalah variabel bebas, u adalah variabel terikat, dan A, B, C, D, E, F,

  

S adalah fungsi dalam x dan y. Turunan u , u , u , dan u kontinu pada domain,

_{x y xy yx} sehingga u = u . _{xy yx}

  Berdasarkan nilai koefisien A, B, dan C dari persamaan (2.1.5), maka persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas dapat diklasifikasikan menjadi tiga bentuk berikut:

  1. Jika dalam domain D, maka disebut PDP eliptik,

  1 4 (

  u c u

  = − _{xx tt}

  3. Persamaan Gelombang 0 yang timbul dalam masalah getaran senar, dengan variabel bebas x, t, variabel terikat u(x, t), dan c adalah kecepatan gelombang. Nilai koefisien A = , B = 0, dan C = 1, maka ²

  4 ² = ⋅ − ⋅ − k

  4 ² − ( ) ) (

  AC B

  dengan variabel bebas x, t, variabel terikat u(x, t), dan k adalah koefisien difusi termal. Nilai koefisien k A − = dan B = C = 0, maka = . Jadi persamaan ini merupakan PDP parabolik;

  ku u yang timbul dalam masalah penyebaran zat,

  2. Persamaan Difusi = − _{xx t}

  4 ^{2 2} < − = ⋅ ⋅ − = − AC B

  1

  4 ² < − AC B

  

4 )

  ) , ( y x f u u _{yy xx} = +

  dan persamaan Poisson yang timbul dalam masalah aliran panas, dengan variabel bebas x, y dan variabel terikat u(x, y). Nilai koefisien A = C = 1 dan B = 0, maka . Jadi kedua persamaan ini merupakan PDP eliptik;

  u u

  1. Persamaan Laplace = + _{yy xx}

  Untuk memperjelas dalam membedakan PDP eliptik, parabolik, dan hiperbolik, diberikan contoh PDP yang timbul dalam masalah-masalah fisis berikut ini:

  Contoh 2.2.2

  4 ² > − AC B

  4 ² = − AC B 3. Jika dalam domain D, maka disebut PDP hiperbolik.

  2. Jika dalam domain D, maka disebut PDP parabolik,

  2 − c

  2 ^{2 2}

²

B −

  4 AC = − 4 ⋅ ( − c ) ⋅ 1 = c > 0. Jadi persamaan ini merupakan PDP ( ) hiperbolik.

  Dalam skripsi ini, penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson.

B. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson

  Persamaan Laplace dan persamaan Poisson dapat timbul pada masalah- masalah fisis, seperti pada aliran panas dalam zat padat, difusi massa, aliran gas ideal, dan elektrostatika. Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi dalam zat padat, yaitu dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram.

  Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi panjang

  Misalkan suatu pelat baja persegi panjang dengan panjang p, lebar l, dan tebal γ , dipanaskan dan suhunya dijaga konstan pada bagian-bagian tepinya. Pada kedua sisi permukaan pelat disekat sempurna, sehingga tidak ada aliran panas ke arah ketebalan γ .

  Jadi diasumsikan bahwa didapatkan suatu bidang pelat (x, y) dengan aliran panas ke arah x dan y saja, yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.1.

  y

  γ

  Q ( y ) Q ( y Δ + y ) D C

• Q (x ) Q ( x Δ x )

  p Δ y Δ x Q (x ) penyekat Æ Å penyekat

• Q ( x Δ x )

  B A

• Q ( y ) Q ( y Δ y )

  x l gambaran dari depan gambaran dari samping

Gambar 2.2.1 Aliran panas dua-dimensi tetap dalam pelat persegi panjang

  Dari Gambar 2.2.1, tampak bahwa elemen segi empat ABCD berukuran Δ x × Δ y dan laju aliran panas dalam arah x dan y secara berturut-turut adalah Q (x ) dan Q ( y ) melintasi tepi-tepi elemen dalam arah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.1. Pada saat terjadi kesetimbangan, aliran panas yang masuk ke elemen pelat dalam

  Δ

  selang waktu t harus sama dengan aliran panas yang keluar dari elemen pelat yaitu [aliran panas yang masuk dalam arah horizontal] +

  [aliran panas yang masuk dalam arah vertikal] = [aliran panas yang keluar dalam arah horizontal] +

  [aliran panas yang keluar dalam arah vertikal], yang dapat ditulis menjadi

• [ Q ( x ) Δ y γ Δ t ] [ Q ( y ) Δ x γ Δ t ] = [ Q ( x Δ x ) Δ y γ Δ t ] [ Q ( y Δ y ) Δ x γ Δ t ] . (2.2.1)

  ⎛ ⎞

  1 Dengan mengalikan persamaan (2.2.1) dengan dan menyusunnya ⎜⎜ ⎟⎟ Δ x Δ y γ Δ t ⎝ ⎠

  kembali, maka diperoleh

• Q ( x ) − Q ( x Δ x ) ⎛ Q ( y ) − Q ( y Δ y ) ⎞ ⎛ ⎞
• = . (2.2.2) ⎜ ⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟ Δ x Δ y

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Dengan mengambil limitnya dan memandang turunan pertama fungsi dengan satu variabel, maka persamaan (2.2.2) dapat ditulis menjadi

  Q ( x ) Q ( y ) ∂ ∂ − − = . (2.2.3)

  ∂ x ∂ y

  Berdasarkan hukum konduksi panas Fourier bahwa laju aliran panas Q (x ) ₂ per-unit elemen dalam arah x kal cm s adalah sebanding terhadap gradien

  ( ( ) )

  ∂ u ( x , y , t ) temperatur , maka diperoleh ∂ x

  ∂ u

  Q ( x ) = − k C , (2.2.4)

  ρ

  x ₂ ∂ ₃ dimana k adalah koefisien difusi panas ( cm s ) , ρ adalah kerapatan massa gr cm , ( ) dan C adalah kapasitas panas dari massa .

  ( kal ( gr C ) )

  Analog dalam arah y akan diperoleh

  u ∂

  ρ

  Q ( y ) = − k C . (2.2.5) ∂ y

  Dengan mensubstitusikan persamaan (2.2.4) dan (2.2.5) ke dalam persamaan (2.2.3), maka dihasilkan

  2 ²

  ∂ u ∂ u ₂ + = , (2.2.6) ₂ ∂ x ∂ y dimana u = u ( x , y ) , karena dalam keadaan setimbang u tidak dipengaruhi oleh waktu. Persamaan (2.2.6) disebut persamaan Laplace dalam bentuk dua dimensi.

  Jika ada sumber panas yang timbul dalam pelat (seperti: pertukaran panas), yang didiskripsikan oleh fungsi

  laju hilangnya panas per unit volume f ( x , y ) = , k ρ C

  dimana k adalah koefisien difusi panas, ρ adalah kerapatan massa, dan C adalah kapasitas panas dari massa. Analog dengan cara diperolehnya persamaan Laplace, maka akan diperoleh persamaan Poisson dalam bentuk dua dimensi berikut: _{2 2}

  ∂ u ( x , y ) ∂ u ( x , y ) ₂ + = f ( x , y ) . (2.2.7) ₂ ∂ x ∂ y

  Persamaan Laplace (2.2.6) dan Poisson (2.2.7) dapat ditulis dalam bentuk: _{2 2}

  ∇ u = dan ∇ u = f ( x , y ) ,

• dimana ∇ u = u u .
² _{xx yy} Persamaan Laplace dan persamaan Poisson berhubungan dengan masalah kesetimbangan yaitu dalam keadaan fisis tidak dipengaruhi oleh waktu t. Dalam kasus ini, penyelesaian di titik dalam u ( x , y ) dalam domain pada bidang-xy bergantung pada penyelesaian di semua titik yang lain dalam domain itu, yang disebut domain ketergantungan. Sebaliknya, perubahan penyelesaian di titik dalam

  

u ( x , y ) akan mempengaruhi titik yang lain dalam domain itu, yang disebut range

  pengaruh. Domain ketergantungan dan range pengaruh di titik P dalam domain persegi panjang D diilustrasikan dalam Gambar 2.2.2. y batas tertutup

  domain ketergantungan dan range pengaruh

  D

• P

  

x