ISYARAT DAN SISTEM Bab 4 Deret Fourier U
TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM
Bab 4 – Deret Fourier Untuk Isyarat Periodik
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
2009
79
BAB IV
DERET FOURIER UNTUK ISYARAT PERIODIK
Tujuan Instruksional
1. Umum
Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan
analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang
kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem.
2. Khusus
Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan:
-
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu
kontinyu.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu
kontinyu.
-
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu
diskrit.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat menentukan tanggapan frekuensi sistem LTI.
-
Mahasiswa dapat memahami tentang filter-filter pemilih frekuensi.
4.1. Tanggapan Sistem LTI Terhadap Eksponensial Kompleks
Tanggapan sistem LTI terhadap masukan eksponensial merupakan
isyarat eksponensial yang sama tetapi dengan perubahan amplitudo. Hal ini
dapat dinyatakan sebagai:
est
zn
→
→
H(s) est
(sistem waktu kontinyu)
H[z] zn
(sistem waktu diskrit)
Suatu isyarat yang menghasilkan keluaran yang merupakan hasil kali suatu
konstanta dengan masukannya tersebut, disebut eigenfunction dari sistem
tersebut (dalam hal ini adalah est atau zn). Sedangkan faktor amplitudonya
disebut dengan eigenvalue sistem tersebut (dalam hal ini adalah H(s) atau
H[z]) .
80
Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu.
Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t).
Untuk masukan x(t) = est maka keluarannya dapat ditentukan dengan
integral konvolusi, yaitu:
∫
= ∫
= ∫
y(t) =
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
= e st
h (τ) x ( t − τ)dτ
h (τ)e s( t−τ)dτ
h ( τ ) e st e − s τ d τ
∫
+∞
−∞
h ( τ ) e − sτ d τ
= e st H ( s )
dengan
est merupakan eigenfunction sistem
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ merupakan eigenvalue sistem
−∞
+∞
Sedangkan ilustrasi pada sistem LTI waktu diskrit dapat dijelaskan sebagai
berikut.
Sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] mempunyai
masukan
x[n] = zn
maka keluaran sistem dapat ditentukan dengan jumlah konvolusi
sebagai
y[n ] =
=
=
∑ h[k]
∞
k = −∞
∑ h[k]
∞
k = −∞
∑ h[k]
∞
k = −∞
= zn
dengan
zn −k
zn z−k
∑ h[k]
∞
k = −∞
= z H[z]
n
x[n − k ]
z−k
81
zn merupakan eigenfunction sistem
H[z] =
∑ h[k ]
∞
z −k merupakan eigenvalue sistem
k = −∞
4.2. Sifat Superposisi
Sistem LTI memiliki sifat superposisi. Jika x(t) merupakan kombinasi
linier yang dinyatakan dengan persamaan
x ( t ) = a 1 e s1t + a 2 e s 2 t + a 3 e s3t
maka tanggapan sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan merupakan
jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang
membentuk masukannya. Perhatikan:
x 1 ( t ) = a 1 e s1t
→
y1 ( t ) = a 1 H (s1 ) e s1t
x 3 ( t ) = a 3 e s3t
→
y 3 ( t ) = a 3 H (s 3 ) e s3t
x 2 ( t ) = a 2 e s2t
x (t ) →
∑a
k
→
y 2 ( t ) = a 2 H(s 2 ) e s2 t
+
y( t )
→
e sk t
k
∑a
k
H (s k ) e sk t
k
y( t ) = ∑ a k H(s k ) e sk t
Dengan demikian, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai
k
Sifat superposisi juga terdapat pada sistem LTI waktu diskrit. Jika
x[ n ] = ∑ a k z k
masukan x[n] merupakan kombinasi linier yang dinyatakan sebagai
n
k
maka tanggapan sistem LTI waktu diskrit yang dihasilkan juga merupakan
jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang
membentuk masukannya. Dengan cara yang sama, maka keluaran y[n] dapat
y[ n ] = ∑ a k H[ z k ] z k
dinyatakan dengan
k
n
82
4.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan masukan dan
keluaran sebagai berikut:
y(t) = x(t – 3)
Jika masukannya adalah x(t) = e
j2t
, maka tentukanlah keluaran sistem
tersebut.
Penyelesaian
Cara 1
Dengan masukan x(t) = e j2t, maka
y(t) = x(t – 3)
= e j2(t – 3)
= e – j6 e j2t
Dalam hal ini e
j2t
merupakan eigenfunction dan eigenvalue untuk
s = j2 dituliskan sebagai
H(s) = H(j2) = e – j6
Cara 2
H(s) dapat ditemukan dengan rumusan H(s) =
h(t) = δ(t – 3), sehingga
∫
H(s) = ∫ h (τ) e −sτ dτ
+∞
−∞
= ∫ δ (τ − 3) e −sτ dτ
+∞
−∞
= ∫ e −3s δ (τ − 3) dτ
+∞
−∞
=e
−3s
= e −3s
∫ δ (τ − 3)
+∞
−∞
dτ
Jika x(t) = e j2t, maka s = j2 dan dengan demikian
H(j2) = e – 3s
= e – j6
+∞
−∞
h (τ)e −st dτ , dengan
83
2. Untuk sistem LTI yang sama dengan pada contoh soal no. 1, maka
tentukanlah keluaran sistem jika masukannya adalah
x(t) = cos 4t + cos 7t
Penyelesaian
Masukan x(t) merupakan kombinasi linear yang terdiri atas dua
komponen, sehingga soal ini dapat diselesaikan dengan sifat superposisi
yang dimiliki sistem LTI. Masukan x(t) dapat diuraikan menggunakan
rumus Euler menjadi:
x ( t ) = cos 4 t + cos 7 t
1
1
= {e j 4 t + e − j 4 t }+ {e j 7 t + e − j 7 t }
2
2
maka keluaran y(t) dapat ditemukan sebagai
y( t ) = x ( t − 3)
1
1
1
1
= e j4 ( t −3) + e − j4( t −3) + e j7 ( t −3) + e − j7 ( t −3)
2
2
2
2
= cos{4( t − 3)} + cos{7( t − 3)}
Eigenfunction
dan
eigenvalue
untuk
masing-masing
komponen
diperlihatkan pada tabel 4.1.
Tabel 4.1. Eigenfunction dan eigenvalue untuk masing-masing
komponen untuk contoh soal no. 2
Komponen
Eigenfunction
j4t
Eigenvalue
e j4(t – 3)
e
e – j4(t – 3)
e – j4t
½ e – j12
e j7(t – 3)
e j7t
½e
e – j7(t – 3)
e – j7t
½ e – j21
½e
j12
j21
4.2.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan
masukan yang dinyatakan dengan persamaan
84
y(t) = 2 x(t – 1)
Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.
2. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan
masukan yang dinyatakan dengan persamaan
y(t) = x(t) + 2 x(t – 1)
Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.
4.3. Representasi Deret Fourier Pada Isyarat Periodik Waktu Kontinyu
Untuk isyarat periodik waktu kontinyu x(t) yang mempunyai perioda
dasar T dan frekuensi dasar ω0 = 2π/T, maka deret Fourier atas x(t)
didefinisikan sebagai berikut:
x(t) =
=
dengan
ak =
=
∑a
+∞
k = −∞
k
e jkω0 t
∑ ak e
+∞
k = −∞
⎛ 2π ⎞
jk ⎜
⎟t
⎝ T ⎠
1
x ( t ) e − jkω0 t dt
∫
TT
⎛ 2π ⎞
1
− jk ⎜ T ⎟ t
⎝
⎠ dt
x
(
t
)
e
T ∫T
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari
x(t). Koefisien a0 (yaitu ak saat k = 0) disebut komponen dc atau konstan dari
x(t), yang ditentukan oleh:
a0 =
1
x ( t ) dt
T ∫T
Besarnya ak menunjukkan besarnya sinyal x(t) pada setiap harmonik dari
komponen dasar. Pada subab berikut akan diberikan beberapa contoh soal
berikut penyelesaiannya dalam hal menyatakan sebuah isyarat menjadi deret
Fouriernya.
85
4.3.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Isyarat x(t) = sin ω0 t mempunyai frekuensi dasar ω0. Tentukanlah deret
Fourier untuk menyatakan x(t).
Penyelesaian
Salah satu cara untuk menentukan deret Fourier untuk x(t) = sin ω0 t
adalah dengan menguraikan x(t) menggunakan rumus Euler.
x ( t ) = sin ω 0 t
{
=
}
1
e jω 0 t − e − jω 0 t
j2
1 jω 0 t
1 − jω 0 t
e
=
−
e
j2
j2
Dari penguraian x(t) dapat diketahui bahwa
a −1 = −
1
j2
a0 = 0
a1 =
1
j2
dan ak = 0 untuk nilai k yang lain.
2. Isyarat x(t) didefinisikan sebagai berikut:
x(t) = 1 + sin ω0 t + 2 cos ω0 t + cos (2ω0 t + π/4)
Nyatakanlah x(t) dalam deret Fourier.
Penyelesaian
Isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 dan dapat diuraikan menjadi:
π⎞
⎛
x ( t ) = 1 + sin ω 0 t + 2 cos ω 0 t + cos ⎜ 2ω 0 t + ⎟
4⎠
⎝
=1+
{
} {
}
π⎞
⎛
π⎞
⎛
− j ⎜ 2 ω0 t + ⎟ ⎫
4⎠ ⎪
⎝
1 j ω0 t
1 ⎧⎪ j⎜ 2 ω0 t + 4 ⎟⎠
e − e − j ω0 t + e j ω0 t + e − jω 0 t + ⎨ e ⎝
−e
⎬
j2
2 ⎪⎩
⎪⎭
π
π
⎡
1 ⎤ j ω0 t ⎡
1 ⎤ − j ω0 t 1 j 4 j 2 ω0 t 1 − j 4 − j 2 ω0 t
+ e e
+ e e
= 1 + ⎢1 + ⎥ e + ⎢1 − ⎥ e
j2 ⎦
j2 ⎦
2
2
⎣
⎣
maka
86
x(t) = 1
→ k=0
⎡
1⎤
+ ⎢1 + ⎥ e jω0 t
⎣ j2 ⎦
→ k =1
⎡ 1⎤
+ ⎢1 − ⎥ e − jω0t → k = −1
⎣ j2 ⎦
+
π
1 j 4 j2ω0t
→ k=2
e e
2
π
1 − j 4 − j2ω0t
+ e e
→ k = −2
2
dan dapat diketahui bahwa:
a0 = 1
⎡
a 1 = ⎢1 +
⎣
⎡
a −1 = ⎢1 −
⎣
1⎤
1
=1− j
⎥
j2 ⎦
2
1⎤
1
=1+ j
⎥
j2 ⎦
2
π
1 j
2
a2 = e 4 =
(1 + j)
2
4
π
2
1 − j4
(1 − j)
a −2 = e
=
4
2
a k = 0 untuk k > 2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
k
Gambar 4.1 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2
3. Isyarat x(t) pada gambar 4.2 dapat dinyatakan sebagai
⎧1,
t < T1
⎪
x(t ) = ⎨
T
⎪⎩0, T1 < t < 2
Nyatakanlah isyarat tersebut dalam deret Fourier.
87
X(t)
1
-T
-T1
T1
T
Gambar 4.2 Isyarat x(t) untuk soal no. 3
Penyelesaian
Isyarat x(t) merupakan isyarat yang periodik, maka untuk satu periode x(t)
dapat ditemukan koefisien ak.
•
Saat k = 0, maka
a0 =
=
=
•
1 1
x ( t ) e − jkω0 t dt
∫
T −T1
T
1 1
1.1 dt
T −∫T1
T
1
T
t −1T
1
T
1
= [T1 − (−T1 )]
T
2T
= 1
T
Saat k ≠ 0, maka
1 1
a k = ∫ x ( t ) e − jkω0t dt
T −T1
T
1 1
= ∫ e − jkω0t dt
T −T1
T
=
=
=
=
T
1
−1
×
× e − jkω0t 1
− T1
T jkω0
[
−1
× e − jkω0T1 − e jkω0T1
jkω0 T
[
1
× e jkω0T1 − e − jkω0T1
jkω0 T
2
e jkω0T1 − e − jkω0T1
×
kω 0 T
j2
]
]
88
=
=
=
Ingat bahwa ω0 =
2
× sin (kω0 T1 )
kω0 T
2 sin(kω0 T1 )
kω0 T
sin(kω0 T1 )
kπ
2π
T
Sebagai gambaran, maka dapat dimisalkan suatu kasus jika T = 4T1
sehingga ω0 =
π
2π 2π
atau ω0 T1 = . Dengan pemisalan ini dapat
=
T 4T1
2
ditemukan nilai-nilai koefisien deret Fourier x(t) untuk berbagai harga k.
a0 =
2T1 2T1 1
=
=
T
4T1 2
⎡ π⎤
sin ⎢k ⎥
sin( kω0 T1 )
⎣ 2⎦
ak =
=
kπ
kπ
maka
sin( π / 2) 1
a1 =
=
→ a −1 = a 1
π
π
sin π
=0
→ a −2 = a 2
a2 =
2π
sin(3π / 2) − 1
→ a −3 = a 3
=
a3 =
3π
3π
sin 2π
=0
→ a −4 = a 4
a4 =
4π
sin(5π / 2) 1
=
→ a −5 = a 5
a5 =
5π
5π
dan seterusnya
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.3.
ak
-3
-5
-4
3
-2
-1
0
1
2
4
5
k
Gambar 4.3 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 3
89
4.3.2 Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan contoh soal no. 3, tentukanlah koefisien
deret Fourier dari x(t) jika:
a. T = 8T1
b. T = 16T1
c. Apa kesimpulan anda?
2. Tentukanlah deret Fourier untuk isayarat x(t) yang diperlihatkan pada
gambar 4.4 berikut ini.
X(t)
-8
-5
-2
0 1
4
7
k
Gambar 4.4 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu
Untuk kepentingan kemudahan dalam pembahasan tentang sifat-sifat
deret Fourier waktu kontinyu, maka koefisien deret Fourier dari sebuah isyarat
x(t), yaitu ak , akan dituliskan dengan notasi:
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
Artinya, isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier dengan koefisienkoefisien ak (FS = Fourier Series = Deret Fourier).
Berikut adalah sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu:
1. Linearitas
Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
FS
y( t ) ←⎯→
bk
maka untuk isyarat z(t) yang didefinisikan sebagai
z(t) = A x(t) + B y(t)
berlaku sifat linearitas sebagai berikut:
FS
z( t ) ←⎯→
ck = A a k + B bk
90
yaitu koefisien deret Fourier dari z(t) adalah ck = A ak + B bk , dengan A
dan B adalah konstanta.
2. Pergeseran waktu
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
dan y(t) merupakan isyarat tergeser waktu dari x(t) yang dinyatakan
sebagai
y(t) = x(t – t0)
maka berlaku sifat
y( t ) ←⎯→ a k .e
FS
− jkω0 t 0
= a k .e
− jk
2π
t0
T
yaitu koefisien deret Fourier dari y(t) merupakan perkalian ak dengan
e
− jkω0 t 0
=e
− jk
2π
t0
T
.
3. Waktu-balikan
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
maka untuk isyarat waktu balikan dari x(t) yaitu x(-t) berlaku sifat sebagai
berikut:
FS
x (− t ) ←⎯→
a −k
4. Perkalian
Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
FS
y( t ) ←⎯→
bk
maka berlaku
FS
x ( t ) y( t ) ←⎯→
hk =
∑a
∞
l = −∞
l
b l −k
yaitu koefisien deret Fourier dari perkalian x(t) dan y(t) merupakan jumlah
konvolusi diskrit dari ak dan bk.
5. Penskalaan waktu (time scalling)
Jika isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai
91
x(t) =
∑a
∞
k = −∞
k
e jkω0 t
maka isyarat x(t) yang terskala waktu (sebesar α) mempunyai deret
Fourier yang dinyatakan sebagai
x (α t ) =
∑a
∞
k = −∞
e jk ( αω0 ) t
k
6. Konjugat dan simetri konjugat
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
maka
FS
x ( t ) ←⎯→
a −k
dimana x ( t ) adalah konjugat kompleks dari x(t) dan a k adalah konjugat
kompleks dari ak .
Jika x(t) merupakan bilangan riil murni, maka x ( t ) = x(t) dan koefisien
deret Fourier akan menjadi simetri konjugat, yaitu:
a −k = a k
4.5. Deret Fourier Isyarat Periodik Waktu Diskrit
Jika isyarat periodik waktu kontinyu x[n] periodik dengan periode
dasar N dan frekuensi dasar ω0 = 2π / N , maka x[n] dapat dinyatakan sebagai
∑
deret Fourier waktu diskrit sebagai berikut:
x[n ] =
=
k= N
∑
k= N
a k e jk ω 0 n
ak e
jk
2π
n
N
dengan ak adalah koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n], dan didefinisikan
dengan pernyataan
92
1
x[n ] e − jkω0n
∑
N k= N
ak =
− jk n
1
x[n ] e N
∑
N k= N
2π
=
4.5.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Jika x[n] = sin ω0 n, maka tentukan deret Fourier untuk x[n].
Penyelesaian
Isyarat x[n] = sin ω0 n periodik hanya jika 2π/ω0 merupakan bilangan
bulat atau perbandingan bilangan bulat. Jika ω0 =
2π
, maka x[n] periodik
N
dengan periode dasar N dan x[n] dapat diuraikan menjadi deret Fourier
sebagai berikut:
x[n ] = sin ω0 n
⎡ 2π ⎤
= sin ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
=
2π
2π
1 j N n 1 −j N n
e
− e
j2
j2
Dengan demikian, koefisien deret Fouriernya adalah
a1 =
1
j2
a −1 = −
1
j2
a k = ..... ? untuk k yang lain
Untuk harga k yang lain, dapat dicari dengan cara berikut. Oleh karena
x[n] periodik dengan periode dasar N, maka koefisien-koefisien deret
Fourier x[n] juga akan berulang dengan periode N, sehingga
a N+1 = a 1
dan a N−1 = a −1
Misalkan diambil periode dasar N = 5, maka dapat ditentukan:
a1 =
1
j2
93
a −1 = −
1
j2
a N +1 = a 5+1 = a 6 =
1
j2
(= a 1 )
a N −1 = a 5−1 = a 4 = −
a − N +1
a − N −1
a 2 N+1
a 2 N−1
1
(= a −1 )
j2
1
(= a 1 )
= a −5+1 = a −4 =
j2
1
(= a −1 )
= a −5−1 = a −6 = −
j2
1
(= a 1 )
= a 10+1 = a 11 =
j2
1
(= a −1 )
= a 10−1 = a 9 = −
j2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.5.
ak
1/j2
-6
4
-1
-5 -4 -3 -2
0 1 2 3
9
5 6 7 8
10 11
k
-1/j2
Gambar 4.5 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 1
2. Untuk soal yang sama dengan soal no. 1, maka misalkan 2π/ω0 merupakan
perbandingan bilangan bulat sebagai berikut:
ω0 =
2π
M
N
atau
2π N
=
ω0 M
maka nyatakanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n].
Penyelesaian
Dengan mensubsitusikan ω0 =
2π
M pada persamaan isyarat x[n], maka
N
x[n] dapat dinyatakan kembali sebagai:
94
x[n ] = sin ω0 n
⎡ 2π ⎤
= sin ⎢ M ⎥ n
⎣N ⎦
=
2π
2π
1 jM N n 1 − jM N n
e
− e
j2
j2
Sehingga
aM =
1
j2
a −M = −
1
j2
Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, jika dipilih M = 3 dan N = 5,
maka diperoleh:
aM = a3 =
1
j2
a − M = a −3 = −
1
j2
a N + M = a 5+ 3 = a 8 =
1
j2
(= a 3 )
a N − M = a 5 −3 = a 2 = −
1
( = a −3 )
j2
1
a − N + M = a −5 + 3 = a − 2 =
(= a 3 )
j2
1
a − N −M = a −5−3 = a −8 = −
( = a −3 )
j2
1
a 2 N+ M = a 10+3 = a 13 =
(= a 3 )
j2
1
a 2 N−M = a 10−3 = a 7 = −
( = a −3 )
j2
1
a −2 N+M = a −10+3 = a −7 =
(= a 3 )
j2
1
a −2 N−M = a −10−3 = a −13 = −
( = a −3 )
j2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.6.
95
ak
-8
1/j2
-3
-7 -6 -5 -4
7
2
-2 -1 0 1
3 4 5 6
8 9
k
-1/j2
Gambar 4.6 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
3. Tentukanlah deret Fourier untuk isyarat x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
⎣N⎦
Penyelesaian
Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, dan dapat diuraikan
menjadi:
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
⎣N⎦
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
− j⎢ ⎥ n ⎫
− j⎢ ⎥ n ⎫
3 ⎧⎪ j⎢⎣ N ⎥⎦ n
1 ⎧⎪ j ⎢⎣ N ⎥⎦ n
⎪
⎣N⎦ ⎪
+e ⎣N⎦ ⎬
= 1 + ⎨e
−e
⎬ + ⎨e
j2 ⎪⎩
⎪⎭
⎪⎭ 2 ⎪⎩
⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ − j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n
= 1 + ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦ + ⎨ − ⎬e ⎣ N ⎦ ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦
⎩ 2 j2 ⎭
⎩ 2 j2 ⎭
⎩ 2 j2 ⎭
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
Sehingga diperoleh:
a0 = 1
a1 =
3
+
2
3
a −1 = −
2
1 3
1
= −j
j2 2
2
1 3
1
= +j
j2 2
2
4. Tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n] jika
isyarat x[n] diperlihatkan pada gambar 4.7.
X[n]
1
-N
-N1
0
N1
Gambar 4.7 Isyarat x[n] untuk soal no. 4
N
n
96
Penyelesaian
Dari gambar isyarat x[n] di atas, diketahui bahwa x[n] = 1 untuk harga
–N1 < n < N1 , maka dapat dinyatakan:
1 N1 − jk ⎢⎣ N ⎥⎦ n
ak =
∑e
N n =− N1
⎡ 2π ⎤
Dengan menganggap bahwa m = n + N1 , maka
1 2 N1 − jk ⎢ ⎥ ( m− N1 )
ak = ∑ e ⎣ N ⎦
N m=0
⎡ 2π ⎤
=
⎡ 2π ⎤
1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1
e
N
∑
2 N1
m =0
e
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢ ⎥ m
⎣N⎦
)*
⎛ 2 N1 +1 ⎞
⎧
− jk 2 π ⎜
⎟⎫
⎡ 2π ⎤
⎝ N ⎠
1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1 ⎪1 − e
⎪
= e
⎨
⎬
⎛ 2π ⎞
− jk ⎜
N
⎟
⎪
⎪
⎝ N ⎠
⎩ 1− e
⎭
2
2
π
π
⎛ 2 N1 +1 ⎞
⎡ ⎤
⎧ jk ⎡⎢ N ⎤⎥ N1
jk ⎢ ⎥ N1
− jk 2 π ⎜
⎟
⎝ N ⎠
⎣N⎦
⎣ ⎦
−e
1 ⎪e
.e
= ⎨
⎛ 2π ⎞
− jk ⎜
N⎪
⎟
⎝ N ⎠
−
1
e
⎩
=
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢
⎥
⎣ 2N ⎦
1 e
×
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢
N
⎥
e ⎣ 2N ⎦
⎡ N +0,5 ⎤
⎧⎪ jk 2 π ⎡⎢ N1 +N0,5 ⎤⎥
− jk 2 π ⎢ 1
⎥⎫
⎣ N ⎦⎪
⎦
⎣
−e
⎨e
⎬
⎪⎩
⎪⎭
×
2
2
π
π
⎤
⎡
⎧⎪ jk ⎡⎢ 2 N ⎤⎥
− jk ⎢
⎥⎫
⎣ 2N ⎦ ⎪
⎦
⎣
−
e
e
⎨
⎬
⎪⎩
⎪⎭
⎡
⎛ N + 0,5 ⎞⎤
sin ⎢2πk⎜ 1
⎟⎥
1
⎝ N ⎠⎦
⎣
= ×
N
⎡ πk ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣N⎦
Catatan
)* Suku
∑e
2 N1
m =0
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢ ⎥ m
⎣N⎦
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
; k ≠ 0, ± N, ± 2 N, ....
merupakan sebuah deret geometri dengan 2N1+1 suku, sehingga
jumlah deret geometri tersebut dapat diketahui menggunakan rumus jumlah deret
geometri.
Sedangkan untuk k = 0, ±N, ±2N, … maka koefisien deret Fouriernya
adalah
97
ak =
2 N1 + 1
N
Sebagai contoh, koefisien-koefisien ak untuk (2N1 + 1) = 5 dapat
digambarkan untuk berbagai nilai N, misalnya N = 10.
•
Untuk k = 0, ±10, ±20, … maka
•
Untuk k ≠ 0, ±10, ±20, … maka
ak =
2 N1 + 1 5 1
=
=
N
10 2
⎡
⎛ N + 0 ,5 ⎞ ⎤
sin ⎢ 2 π k ⎜ 1
⎟⎥
N
1
⎝
⎠⎦
⎣
×
ak =
k
π
N
⎡
⎤
sin ⎢
⎥⎦
N
⎣
⎡ ⎛ 2 N 1 + 1 ⎞⎤
sin ⎢ π k ⎜
⎟⎥
N
1
⎝
⎠⎦
⎣
=
×
N
⎡ πk ⎤
sin ⎢
⎣ N ⎥⎦
⎡ πk ⎤
sin ⎢
1
⎣ 2 ⎥⎦
=
10
⎡ πk ⎤
sin ⎢
⎣ 10 ⎥⎦
Sehingga diperoleh:
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,3
→ a −1 = a 1
a1 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣10 ⎦
1 sin π
=0
→ a −2 = a 2
a2 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a
a3 =
3
−3
10
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
1 sin 2π
=0
→ a −4 = a 4
a4 =
10
⎡ 4π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
98
⎡ 5π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,1
a5 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣2⎦
1 sin 3π
=0
a6 =
10
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
→ a −5 = a 5
→ a −6 = a 6
⎡ 7π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a
a7 =
−7
7
10
⎡ 7π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
1 sin 4π
a8 =
=0
→ a −8 = a 8
10
⎡ 4π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
⎡ 9π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,3
a9 =
→ a −9 = a 9
10
⎡ 9π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
Karena sifatnya yang periodik dengan periode N = 10, maka
a 11 = a 1
→ a −11 = a 11
....
a 19 = a 9
→ a −19 = a 19
a 12 = a 2
a 21 = a 1
a 22 = a 2
→ a −12 = a 12
→ a −21 = a 21
→ a −22 = a 22
.....
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.8.
ak
-7
-10
3
-3
-5
-1 0 1 2
7
4 5 6
8 9 1011
k
Gambar 4.8 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 4
99
4.5.2. Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 3, tentukanlah
koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika
a. N = 5
b. N =10
c. N = 15
Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.
2. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 4, tentukanlah
koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika
a. N = 20
b. N = 40
Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.
4.6. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Diskrit
Untuk isyarat waktu diskrit x[n] yang periodik dengan periode N dan
mempunyai koefisien deret Fourier ak, maka hubungan ini akan ditulis sebagai
berikut:
FS
x[n ] ←⎯→
ak
Berikut ini adalah sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.
1. Perkalian
Jika x[n] dan y[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan
FS
x[n ] ←⎯→
ak
FS
y[n ] ←⎯→
bk
maka berlaku
FS
x[n ].y[n ] ←⎯→
dk =
∑a
l= N
l
b k −l
2. Diferensiasi pertama
Jika x[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan
FS
x[n ] ←⎯→
ak
100
maka koefisien deret Fourier yang sesuai dengan diferensiasi pertama dari
x[n] dinyatakan sebagai:
⎛ 2π ⎞
⎡
− jk ⎜
⎟⎤
x[n ] − x[n − 1] ←⎯→ a k ⎢1 − e ⎝ N ⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
FS
dimana frekuensi dasar x[n] adalah ω0 = 2π/N.
4.7. Deret Fourier dan Sistem LTI
Dalam waktu kontinyu, jika x(t) = est merupakan input atau masukan
sistem LTI waktu kontinyu, maka keluarannya adalah
y(t) = H(s) est
dengan
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ
+∞
−∞
dan h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI. Jika s = jω maka
e st = e jωt
sehingga masukan LTI merupakan eksponensial kompleks dengan frekuensi
ω. Dalam hal ini, maka H(s) = H(jω) yang dinyatakan:
H( jω) = ∫ h (τ)e −sτdτ
+∞
−∞
H(jω) disebut dengan istilah tanggapan frekuensi (frequency response) sistem
LTI.
Jika isyarat masukan x(t) dinyatakan dalam deret Fourier sebagai
berikut
x[n ] =
∑a
+∞
k = −∞
k
e jkω0 t
maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan dengan
y[n ] =
∑a
+∞
k = −∞
k
H ( jkω0 ) e jkω0t
dimana dalam hal ini sk = jkω0 , dan koefisien dari y(t) adalah
bk = ak H(jkω0)
101
Dengan cara yang sama, dalam waktu diskrit jika x[n] = zn merupakan
masukan sistem LTI waktu diskrit, maka keluarannya adalah
y[n] = H(z) zn
dengan
H (z) =
∑ h[k ]
∞
z −k
k = −∞
dan h[n] adalah tanggapan impuls sistem LTI.
Jika harga z dipilih sedemikian rupa sehingga ⎢z⎥ = 1, maka
z = e jω
dan
zn = e jωn
Dengan demikian, maka diperoleh persamaan yang menyatakan tanggapan
H (e jω ) =
frekuensinya, yaitu:
∑ h[n ] e
+∞
n = −∞
− jωn
Jika isyarat masukan x[n] merupakan isyarat periodik yang dinyatakan
dalam deret Fourier sebagai
x[n ] =
∑a
k= N
k
e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
maka keluaran sistem LTI (dengan tanggapan impuls h[n]) adalah
y[n ] =
∑a
k= N
k
H (e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥
⎣N⎦
)e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
dimana koefisien y[n] adalah
bk = ak H(e j2πk/N)
4.7.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai tanggapan impuls
h(t) = e −t u(t)
Jika masukan sistem sistem ini adalah
102
x[n ] =
∑a
3
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan
a0 = 1
a1 = a−1 = ¼
a2 = a−2 = ½
a3 = a−3 =
1
3
maka tentukanlah tanggapan frekuensi dan keluaran sistem LTI tersebut.
Penyelesaian
Tanggapan frekuensi dapat ditemukan sebagai berikut:
H( jω) = ∫ h ( t ) e − jωt dt
∞
−∞
= ∫ e −t u ( t ) e − jωt dt
∞
−∞
= ∫ e − t e − jωt dt
∞
= ∫ e −(1+ jω) t dt
0
∞
0
∞
1
=−
e −(1+ jω) t
1 + jω
0
=
1
1 + jω
Oleh karena isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 = 2π maka
keluaran sistem LTI tersebut adalah
y[n ] =
∑b
3
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan
bk = ak H( jk2π )
sehingga dapat ditentukan besaranya bk untuk harga-harga k yang berbeda
sebagai berikut.
103
b 0 = a 0 H ( 0) = 1
b1 = a 1 H( j2π) =
1
1
×
4 1 + j2π
1
1
b 2 = a 2 H( j4π) = ×
2 1 + j4π
1
1
b 3 = a 3 H( j6π) = ×
3 1 + j6π
1
1
b −1 = a −1 H (− j2π) = ×
4 1 − j2π
1
1
b −2 = a −2 H (− j4π) = ×
2 1 − j4π
1
1
b −3 = a −3 H(− j6π) = ×
3 1 − j6π
2. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls
h[n] = α n u[n]
dimana −1 < α < 1. Jika masukan sistem ini adalah
2πn
N
x [ n ] = cos
maka tentukanlah tanggapan frekuensi sistem tersebut.
Penyelesaian
2 πn
N
x [ n ] = cos
=
2π
1 jN
e
2
n
+
2π
1 −j N
e
2
n
maka dapat diperoleh tanggapan frekuensi untuk jω = j2π/N dan
jω = −j2π/N, sebagai berikut:
(
) ∑ h[n ] e
H e j2 π / N =
=
=
+∞
n = −∞
∑α
+∞
n
u [ n ] e − j( 2 π / N ) n
∑ [α e
n = −∞
=
+∞
n=0
− j( 2 π / N ) n
]
− j( 2 π / N ) n
1
1 − α e − j2 π / N
104
dan
(
) ∑ h[n ] e
+∞
H e − j2 π / N =
n = −∞
∑α
+∞
=
u [ n ] e j( 2 π / N ) n
∑ [α e
n = −∞
+∞
=
n =0
=
( )
n
j( 2 π / N ) n
]
j( 2 π / N ) n
1
1 − α e j2 π / N
Secara umum, tanggapan frekuensinya dapat dinyatakan dengan
H e jω =
1
1 − α e − jω
Cara lain untuk menentukan tanggapan frekuensi sistem adalah sebagai
berikut. Masukan x[n] dapat ditulis sebagai deret Fourier
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
1 j⎢ ⎥ n 1 − j⎢ ⎥ n
x[n ] = e ⎣ N ⎦ + e ⎣ N ⎦
2
2
H (e jω ) =
dan tanggapan frekuensinya adalah
=
∑ h[n] e
+∞
n = −∞
∑α
+∞
n = −∞
n
− jωn
u[n ] e − jωn
= ∑ α n e − jωn
∞
n =0
= ∑ α n e − jωn
∞
=
n =0
1
1 − α e − jω
Dengan demikian, keluaran sistem dapat dinyatakan sebagai:
y[ n ] =
=
∑ a k H ( e j 2 πk / N ) e
k= N
2π
jk
2π
n
N
2π
j n
−j n
1
1
H (e j2 π / N ) e N + H (e − j2 π / N ) e N
2
2
⎫ j 2Nπ n 1 ⎧
⎫ − j 2Nπ n
1
1⎧
1
= ⎨
+ ⎨
⎬e
⎬e
2 ⎩1 − α e j 2 π / N ⎭
2 ⎩1 − α e − j 2 π / N ⎭
105
4.7.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls
⎡1⎤
h[ n ] = ⎢ ⎥
⎣2⎦
n
maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y[n] jika masukan x[n]
adalah isyarat periodik dengan periode 6 dan dinyatakan sebagai berikut
n = 0, ± 1
⎧1,
x[n ] = ⎨
⎩0, n = ±2, ± 3
2. Sebuah sistem LTI waktu kontiyu dengan tanggapan impuls
h(t) = e −4⎜t⎥
maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y(t) jika masukan x(t)
seperti pada gambar berikut.
X(t)
...
...
-2
-1
0
1
2
3
t
Gambar 4.9 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.8. Filter-filter Pemilih Frekuensi
Tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu kontinyu, secara garis
besar dibedakan menjadi:
1. Lowpass ideal
Filter ini melewatkan frekuensi rendah saja. Perhatikan gambar 4.10.
H(jω)
1
−ωc
0
ωc
ω
Gambar 4.10 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu kontinyu)
106
2. Highpass ideal
Filter ini melewatkan frekuensi tinggi saja. Perhatikan gambar 4.11.
H(jω)
1
−ωc
ω
ωc
0
Gambar 4.11 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu kontinyu)
3. Bandpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.12.
H(jω)
1
−ω2
ω1
−ω1
ω
ω2
Gambar 4.12 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu kontinyu)
Sedangkan tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu diskrit, secara
garis besar juga dibedakan menjadi:
1. Lowpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.13.
H(e jω)
1
−2π
−π −ω
1
0
ω1
π
2π
ω
Gambar 4.13 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu diskrit)
2. Highpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.14.
107
H(e jω)
1
−π
−2π
π
0
2π
ω
Gambar 4.14 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu diskrit)
3. Bandpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.15.
H(e jω)
1
−π
−2π
π
0
2π
ω
Gambar 4.15 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu diskrit)
4.8.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah rangkaian filter lowpass RC sederhana pada gambar 4.16. Jika
masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah Vc(t), tentukanlah
persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan
sistem.
R
Vs(t)
C
Vc(t)
i(t)
Gambar 4.16 Rangkaian filter RC lowpass sederhana
Penyelesaian
Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan Vc(t) sebagai keluarannya,
maka untuk rangkaian RC di atas berlaku:
108
VR ( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
R i( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
RC
d
VC ( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
dt
Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran Vc(t) harus menjadi
Vc(t) = H(jω) e jωt
{
}
Sehingga diperoleh
d
H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt
dt
RCjω H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt
RCjω H( jω) + H( jω) = 1
RC
[RCjω
Jika
ω ≈ 0 maka ⎢H(jω)⎥ ≈ 1 dan
+ 1] H( jω) = 1
H( jω) =
1
RCjω + 1
ω > 0 maka ⎢H(jω)⎥ > 1/RC maka terjadi redaman. Dengan kata lain, jika ω mendekati
nol maka ⎢H(jω)⎥
ISYARAT DAN SISTEM
Bab 4 – Deret Fourier Untuk Isyarat Periodik
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro
Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer
Universitas Mercu Buana Yogyakarta
2009
79
BAB IV
DERET FOURIER UNTUK ISYARAT PERIODIK
Tujuan Instruksional
1. Umum
Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan
analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang
kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem.
2. Khusus
Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan:
-
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu
kontinyu.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu
kontinyu.
-
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu
diskrit.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat menentukan tanggapan frekuensi sistem LTI.
-
Mahasiswa dapat memahami tentang filter-filter pemilih frekuensi.
4.1. Tanggapan Sistem LTI Terhadap Eksponensial Kompleks
Tanggapan sistem LTI terhadap masukan eksponensial merupakan
isyarat eksponensial yang sama tetapi dengan perubahan amplitudo. Hal ini
dapat dinyatakan sebagai:
est
zn
→
→
H(s) est
(sistem waktu kontinyu)
H[z] zn
(sistem waktu diskrit)
Suatu isyarat yang menghasilkan keluaran yang merupakan hasil kali suatu
konstanta dengan masukannya tersebut, disebut eigenfunction dari sistem
tersebut (dalam hal ini adalah est atau zn). Sedangkan faktor amplitudonya
disebut dengan eigenvalue sistem tersebut (dalam hal ini adalah H(s) atau
H[z]) .
80
Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu.
Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t).
Untuk masukan x(t) = est maka keluarannya dapat ditentukan dengan
integral konvolusi, yaitu:
∫
= ∫
= ∫
y(t) =
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
= e st
h (τ) x ( t − τ)dτ
h (τ)e s( t−τ)dτ
h ( τ ) e st e − s τ d τ
∫
+∞
−∞
h ( τ ) e − sτ d τ
= e st H ( s )
dengan
est merupakan eigenfunction sistem
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ merupakan eigenvalue sistem
−∞
+∞
Sedangkan ilustrasi pada sistem LTI waktu diskrit dapat dijelaskan sebagai
berikut.
Sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] mempunyai
masukan
x[n] = zn
maka keluaran sistem dapat ditentukan dengan jumlah konvolusi
sebagai
y[n ] =
=
=
∑ h[k]
∞
k = −∞
∑ h[k]
∞
k = −∞
∑ h[k]
∞
k = −∞
= zn
dengan
zn −k
zn z−k
∑ h[k]
∞
k = −∞
= z H[z]
n
x[n − k ]
z−k
81
zn merupakan eigenfunction sistem
H[z] =
∑ h[k ]
∞
z −k merupakan eigenvalue sistem
k = −∞
4.2. Sifat Superposisi
Sistem LTI memiliki sifat superposisi. Jika x(t) merupakan kombinasi
linier yang dinyatakan dengan persamaan
x ( t ) = a 1 e s1t + a 2 e s 2 t + a 3 e s3t
maka tanggapan sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan merupakan
jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang
membentuk masukannya. Perhatikan:
x 1 ( t ) = a 1 e s1t
→
y1 ( t ) = a 1 H (s1 ) e s1t
x 3 ( t ) = a 3 e s3t
→
y 3 ( t ) = a 3 H (s 3 ) e s3t
x 2 ( t ) = a 2 e s2t
x (t ) →
∑a
k
→
y 2 ( t ) = a 2 H(s 2 ) e s2 t
+
y( t )
→
e sk t
k
∑a
k
H (s k ) e sk t
k
y( t ) = ∑ a k H(s k ) e sk t
Dengan demikian, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai
k
Sifat superposisi juga terdapat pada sistem LTI waktu diskrit. Jika
x[ n ] = ∑ a k z k
masukan x[n] merupakan kombinasi linier yang dinyatakan sebagai
n
k
maka tanggapan sistem LTI waktu diskrit yang dihasilkan juga merupakan
jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang
membentuk masukannya. Dengan cara yang sama, maka keluaran y[n] dapat
y[ n ] = ∑ a k H[ z k ] z k
dinyatakan dengan
k
n
82
4.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan masukan dan
keluaran sebagai berikut:
y(t) = x(t – 3)
Jika masukannya adalah x(t) = e
j2t
, maka tentukanlah keluaran sistem
tersebut.
Penyelesaian
Cara 1
Dengan masukan x(t) = e j2t, maka
y(t) = x(t – 3)
= e j2(t – 3)
= e – j6 e j2t
Dalam hal ini e
j2t
merupakan eigenfunction dan eigenvalue untuk
s = j2 dituliskan sebagai
H(s) = H(j2) = e – j6
Cara 2
H(s) dapat ditemukan dengan rumusan H(s) =
h(t) = δ(t – 3), sehingga
∫
H(s) = ∫ h (τ) e −sτ dτ
+∞
−∞
= ∫ δ (τ − 3) e −sτ dτ
+∞
−∞
= ∫ e −3s δ (τ − 3) dτ
+∞
−∞
=e
−3s
= e −3s
∫ δ (τ − 3)
+∞
−∞
dτ
Jika x(t) = e j2t, maka s = j2 dan dengan demikian
H(j2) = e – 3s
= e – j6
+∞
−∞
h (τ)e −st dτ , dengan
83
2. Untuk sistem LTI yang sama dengan pada contoh soal no. 1, maka
tentukanlah keluaran sistem jika masukannya adalah
x(t) = cos 4t + cos 7t
Penyelesaian
Masukan x(t) merupakan kombinasi linear yang terdiri atas dua
komponen, sehingga soal ini dapat diselesaikan dengan sifat superposisi
yang dimiliki sistem LTI. Masukan x(t) dapat diuraikan menggunakan
rumus Euler menjadi:
x ( t ) = cos 4 t + cos 7 t
1
1
= {e j 4 t + e − j 4 t }+ {e j 7 t + e − j 7 t }
2
2
maka keluaran y(t) dapat ditemukan sebagai
y( t ) = x ( t − 3)
1
1
1
1
= e j4 ( t −3) + e − j4( t −3) + e j7 ( t −3) + e − j7 ( t −3)
2
2
2
2
= cos{4( t − 3)} + cos{7( t − 3)}
Eigenfunction
dan
eigenvalue
untuk
masing-masing
komponen
diperlihatkan pada tabel 4.1.
Tabel 4.1. Eigenfunction dan eigenvalue untuk masing-masing
komponen untuk contoh soal no. 2
Komponen
Eigenfunction
j4t
Eigenvalue
e j4(t – 3)
e
e – j4(t – 3)
e – j4t
½ e – j12
e j7(t – 3)
e j7t
½e
e – j7(t – 3)
e – j7t
½ e – j21
½e
j12
j21
4.2.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan
masukan yang dinyatakan dengan persamaan
84
y(t) = 2 x(t – 1)
Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.
2. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan
masukan yang dinyatakan dengan persamaan
y(t) = x(t) + 2 x(t – 1)
Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.
4.3. Representasi Deret Fourier Pada Isyarat Periodik Waktu Kontinyu
Untuk isyarat periodik waktu kontinyu x(t) yang mempunyai perioda
dasar T dan frekuensi dasar ω0 = 2π/T, maka deret Fourier atas x(t)
didefinisikan sebagai berikut:
x(t) =
=
dengan
ak =
=
∑a
+∞
k = −∞
k
e jkω0 t
∑ ak e
+∞
k = −∞
⎛ 2π ⎞
jk ⎜
⎟t
⎝ T ⎠
1
x ( t ) e − jkω0 t dt
∫
TT
⎛ 2π ⎞
1
− jk ⎜ T ⎟ t
⎝
⎠ dt
x
(
t
)
e
T ∫T
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari
x(t). Koefisien a0 (yaitu ak saat k = 0) disebut komponen dc atau konstan dari
x(t), yang ditentukan oleh:
a0 =
1
x ( t ) dt
T ∫T
Besarnya ak menunjukkan besarnya sinyal x(t) pada setiap harmonik dari
komponen dasar. Pada subab berikut akan diberikan beberapa contoh soal
berikut penyelesaiannya dalam hal menyatakan sebuah isyarat menjadi deret
Fouriernya.
85
4.3.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Isyarat x(t) = sin ω0 t mempunyai frekuensi dasar ω0. Tentukanlah deret
Fourier untuk menyatakan x(t).
Penyelesaian
Salah satu cara untuk menentukan deret Fourier untuk x(t) = sin ω0 t
adalah dengan menguraikan x(t) menggunakan rumus Euler.
x ( t ) = sin ω 0 t
{
=
}
1
e jω 0 t − e − jω 0 t
j2
1 jω 0 t
1 − jω 0 t
e
=
−
e
j2
j2
Dari penguraian x(t) dapat diketahui bahwa
a −1 = −
1
j2
a0 = 0
a1 =
1
j2
dan ak = 0 untuk nilai k yang lain.
2. Isyarat x(t) didefinisikan sebagai berikut:
x(t) = 1 + sin ω0 t + 2 cos ω0 t + cos (2ω0 t + π/4)
Nyatakanlah x(t) dalam deret Fourier.
Penyelesaian
Isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 dan dapat diuraikan menjadi:
π⎞
⎛
x ( t ) = 1 + sin ω 0 t + 2 cos ω 0 t + cos ⎜ 2ω 0 t + ⎟
4⎠
⎝
=1+
{
} {
}
π⎞
⎛
π⎞
⎛
− j ⎜ 2 ω0 t + ⎟ ⎫
4⎠ ⎪
⎝
1 j ω0 t
1 ⎧⎪ j⎜ 2 ω0 t + 4 ⎟⎠
e − e − j ω0 t + e j ω0 t + e − jω 0 t + ⎨ e ⎝
−e
⎬
j2
2 ⎪⎩
⎪⎭
π
π
⎡
1 ⎤ j ω0 t ⎡
1 ⎤ − j ω0 t 1 j 4 j 2 ω0 t 1 − j 4 − j 2 ω0 t
+ e e
+ e e
= 1 + ⎢1 + ⎥ e + ⎢1 − ⎥ e
j2 ⎦
j2 ⎦
2
2
⎣
⎣
maka
86
x(t) = 1
→ k=0
⎡
1⎤
+ ⎢1 + ⎥ e jω0 t
⎣ j2 ⎦
→ k =1
⎡ 1⎤
+ ⎢1 − ⎥ e − jω0t → k = −1
⎣ j2 ⎦
+
π
1 j 4 j2ω0t
→ k=2
e e
2
π
1 − j 4 − j2ω0t
+ e e
→ k = −2
2
dan dapat diketahui bahwa:
a0 = 1
⎡
a 1 = ⎢1 +
⎣
⎡
a −1 = ⎢1 −
⎣
1⎤
1
=1− j
⎥
j2 ⎦
2
1⎤
1
=1+ j
⎥
j2 ⎦
2
π
1 j
2
a2 = e 4 =
(1 + j)
2
4
π
2
1 − j4
(1 − j)
a −2 = e
=
4
2
a k = 0 untuk k > 2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
k
Gambar 4.1 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2
3. Isyarat x(t) pada gambar 4.2 dapat dinyatakan sebagai
⎧1,
t < T1
⎪
x(t ) = ⎨
T
⎪⎩0, T1 < t < 2
Nyatakanlah isyarat tersebut dalam deret Fourier.
87
X(t)
1
-T
-T1
T1
T
Gambar 4.2 Isyarat x(t) untuk soal no. 3
Penyelesaian
Isyarat x(t) merupakan isyarat yang periodik, maka untuk satu periode x(t)
dapat ditemukan koefisien ak.
•
Saat k = 0, maka
a0 =
=
=
•
1 1
x ( t ) e − jkω0 t dt
∫
T −T1
T
1 1
1.1 dt
T −∫T1
T
1
T
t −1T
1
T
1
= [T1 − (−T1 )]
T
2T
= 1
T
Saat k ≠ 0, maka
1 1
a k = ∫ x ( t ) e − jkω0t dt
T −T1
T
1 1
= ∫ e − jkω0t dt
T −T1
T
=
=
=
=
T
1
−1
×
× e − jkω0t 1
− T1
T jkω0
[
−1
× e − jkω0T1 − e jkω0T1
jkω0 T
[
1
× e jkω0T1 − e − jkω0T1
jkω0 T
2
e jkω0T1 − e − jkω0T1
×
kω 0 T
j2
]
]
88
=
=
=
Ingat bahwa ω0 =
2
× sin (kω0 T1 )
kω0 T
2 sin(kω0 T1 )
kω0 T
sin(kω0 T1 )
kπ
2π
T
Sebagai gambaran, maka dapat dimisalkan suatu kasus jika T = 4T1
sehingga ω0 =
π
2π 2π
atau ω0 T1 = . Dengan pemisalan ini dapat
=
T 4T1
2
ditemukan nilai-nilai koefisien deret Fourier x(t) untuk berbagai harga k.
a0 =
2T1 2T1 1
=
=
T
4T1 2
⎡ π⎤
sin ⎢k ⎥
sin( kω0 T1 )
⎣ 2⎦
ak =
=
kπ
kπ
maka
sin( π / 2) 1
a1 =
=
→ a −1 = a 1
π
π
sin π
=0
→ a −2 = a 2
a2 =
2π
sin(3π / 2) − 1
→ a −3 = a 3
=
a3 =
3π
3π
sin 2π
=0
→ a −4 = a 4
a4 =
4π
sin(5π / 2) 1
=
→ a −5 = a 5
a5 =
5π
5π
dan seterusnya
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.3.
ak
-3
-5
-4
3
-2
-1
0
1
2
4
5
k
Gambar 4.3 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 3
89
4.3.2 Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan contoh soal no. 3, tentukanlah koefisien
deret Fourier dari x(t) jika:
a. T = 8T1
b. T = 16T1
c. Apa kesimpulan anda?
2. Tentukanlah deret Fourier untuk isayarat x(t) yang diperlihatkan pada
gambar 4.4 berikut ini.
X(t)
-8
-5
-2
0 1
4
7
k
Gambar 4.4 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu
Untuk kepentingan kemudahan dalam pembahasan tentang sifat-sifat
deret Fourier waktu kontinyu, maka koefisien deret Fourier dari sebuah isyarat
x(t), yaitu ak , akan dituliskan dengan notasi:
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
Artinya, isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier dengan koefisienkoefisien ak (FS = Fourier Series = Deret Fourier).
Berikut adalah sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu:
1. Linearitas
Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
FS
y( t ) ←⎯→
bk
maka untuk isyarat z(t) yang didefinisikan sebagai
z(t) = A x(t) + B y(t)
berlaku sifat linearitas sebagai berikut:
FS
z( t ) ←⎯→
ck = A a k + B bk
90
yaitu koefisien deret Fourier dari z(t) adalah ck = A ak + B bk , dengan A
dan B adalah konstanta.
2. Pergeseran waktu
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
dan y(t) merupakan isyarat tergeser waktu dari x(t) yang dinyatakan
sebagai
y(t) = x(t – t0)
maka berlaku sifat
y( t ) ←⎯→ a k .e
FS
− jkω0 t 0
= a k .e
− jk
2π
t0
T
yaitu koefisien deret Fourier dari y(t) merupakan perkalian ak dengan
e
− jkω0 t 0
=e
− jk
2π
t0
T
.
3. Waktu-balikan
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
maka untuk isyarat waktu balikan dari x(t) yaitu x(-t) berlaku sifat sebagai
berikut:
FS
x (− t ) ←⎯→
a −k
4. Perkalian
Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
FS
y( t ) ←⎯→
bk
maka berlaku
FS
x ( t ) y( t ) ←⎯→
hk =
∑a
∞
l = −∞
l
b l −k
yaitu koefisien deret Fourier dari perkalian x(t) dan y(t) merupakan jumlah
konvolusi diskrit dari ak dan bk.
5. Penskalaan waktu (time scalling)
Jika isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai
91
x(t) =
∑a
∞
k = −∞
k
e jkω0 t
maka isyarat x(t) yang terskala waktu (sebesar α) mempunyai deret
Fourier yang dinyatakan sebagai
x (α t ) =
∑a
∞
k = −∞
e jk ( αω0 ) t
k
6. Konjugat dan simetri konjugat
Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan
FS
x ( t ) ←⎯→
ak
maka
FS
x ( t ) ←⎯→
a −k
dimana x ( t ) adalah konjugat kompleks dari x(t) dan a k adalah konjugat
kompleks dari ak .
Jika x(t) merupakan bilangan riil murni, maka x ( t ) = x(t) dan koefisien
deret Fourier akan menjadi simetri konjugat, yaitu:
a −k = a k
4.5. Deret Fourier Isyarat Periodik Waktu Diskrit
Jika isyarat periodik waktu kontinyu x[n] periodik dengan periode
dasar N dan frekuensi dasar ω0 = 2π / N , maka x[n] dapat dinyatakan sebagai
∑
deret Fourier waktu diskrit sebagai berikut:
x[n ] =
=
k= N
∑
k= N
a k e jk ω 0 n
ak e
jk
2π
n
N
dengan ak adalah koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n], dan didefinisikan
dengan pernyataan
92
1
x[n ] e − jkω0n
∑
N k= N
ak =
− jk n
1
x[n ] e N
∑
N k= N
2π
=
4.5.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Jika x[n] = sin ω0 n, maka tentukan deret Fourier untuk x[n].
Penyelesaian
Isyarat x[n] = sin ω0 n periodik hanya jika 2π/ω0 merupakan bilangan
bulat atau perbandingan bilangan bulat. Jika ω0 =
2π
, maka x[n] periodik
N
dengan periode dasar N dan x[n] dapat diuraikan menjadi deret Fourier
sebagai berikut:
x[n ] = sin ω0 n
⎡ 2π ⎤
= sin ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
=
2π
2π
1 j N n 1 −j N n
e
− e
j2
j2
Dengan demikian, koefisien deret Fouriernya adalah
a1 =
1
j2
a −1 = −
1
j2
a k = ..... ? untuk k yang lain
Untuk harga k yang lain, dapat dicari dengan cara berikut. Oleh karena
x[n] periodik dengan periode dasar N, maka koefisien-koefisien deret
Fourier x[n] juga akan berulang dengan periode N, sehingga
a N+1 = a 1
dan a N−1 = a −1
Misalkan diambil periode dasar N = 5, maka dapat ditentukan:
a1 =
1
j2
93
a −1 = −
1
j2
a N +1 = a 5+1 = a 6 =
1
j2
(= a 1 )
a N −1 = a 5−1 = a 4 = −
a − N +1
a − N −1
a 2 N+1
a 2 N−1
1
(= a −1 )
j2
1
(= a 1 )
= a −5+1 = a −4 =
j2
1
(= a −1 )
= a −5−1 = a −6 = −
j2
1
(= a 1 )
= a 10+1 = a 11 =
j2
1
(= a −1 )
= a 10−1 = a 9 = −
j2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.5.
ak
1/j2
-6
4
-1
-5 -4 -3 -2
0 1 2 3
9
5 6 7 8
10 11
k
-1/j2
Gambar 4.5 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 1
2. Untuk soal yang sama dengan soal no. 1, maka misalkan 2π/ω0 merupakan
perbandingan bilangan bulat sebagai berikut:
ω0 =
2π
M
N
atau
2π N
=
ω0 M
maka nyatakanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n].
Penyelesaian
Dengan mensubsitusikan ω0 =
2π
M pada persamaan isyarat x[n], maka
N
x[n] dapat dinyatakan kembali sebagai:
94
x[n ] = sin ω0 n
⎡ 2π ⎤
= sin ⎢ M ⎥ n
⎣N ⎦
=
2π
2π
1 jM N n 1 − jM N n
e
− e
j2
j2
Sehingga
aM =
1
j2
a −M = −
1
j2
Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, jika dipilih M = 3 dan N = 5,
maka diperoleh:
aM = a3 =
1
j2
a − M = a −3 = −
1
j2
a N + M = a 5+ 3 = a 8 =
1
j2
(= a 3 )
a N − M = a 5 −3 = a 2 = −
1
( = a −3 )
j2
1
a − N + M = a −5 + 3 = a − 2 =
(= a 3 )
j2
1
a − N −M = a −5−3 = a −8 = −
( = a −3 )
j2
1
a 2 N+ M = a 10+3 = a 13 =
(= a 3 )
j2
1
a 2 N−M = a 10−3 = a 7 = −
( = a −3 )
j2
1
a −2 N+M = a −10+3 = a −7 =
(= a 3 )
j2
1
a −2 N−M = a −10−3 = a −13 = −
( = a −3 )
j2
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.6.
95
ak
-8
1/j2
-3
-7 -6 -5 -4
7
2
-2 -1 0 1
3 4 5 6
8 9
k
-1/j2
Gambar 4.6 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
3. Tentukanlah deret Fourier untuk isyarat x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
⎣N⎦
Penyelesaian
Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, dan dapat diuraikan
menjadi:
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
⎣N⎦
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
− j⎢ ⎥ n ⎫
− j⎢ ⎥ n ⎫
3 ⎧⎪ j⎢⎣ N ⎥⎦ n
1 ⎧⎪ j ⎢⎣ N ⎥⎦ n
⎪
⎣N⎦ ⎪
+e ⎣N⎦ ⎬
= 1 + ⎨e
−e
⎬ + ⎨e
j2 ⎪⎩
⎪⎭
⎪⎭ 2 ⎪⎩
⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ − j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n
= 1 + ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦ + ⎨ − ⎬e ⎣ N ⎦ ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦
⎩ 2 j2 ⎭
⎩ 2 j2 ⎭
⎩ 2 j2 ⎭
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
Sehingga diperoleh:
a0 = 1
a1 =
3
+
2
3
a −1 = −
2
1 3
1
= −j
j2 2
2
1 3
1
= +j
j2 2
2
4. Tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n] jika
isyarat x[n] diperlihatkan pada gambar 4.7.
X[n]
1
-N
-N1
0
N1
Gambar 4.7 Isyarat x[n] untuk soal no. 4
N
n
96
Penyelesaian
Dari gambar isyarat x[n] di atas, diketahui bahwa x[n] = 1 untuk harga
–N1 < n < N1 , maka dapat dinyatakan:
1 N1 − jk ⎢⎣ N ⎥⎦ n
ak =
∑e
N n =− N1
⎡ 2π ⎤
Dengan menganggap bahwa m = n + N1 , maka
1 2 N1 − jk ⎢ ⎥ ( m− N1 )
ak = ∑ e ⎣ N ⎦
N m=0
⎡ 2π ⎤
=
⎡ 2π ⎤
1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1
e
N
∑
2 N1
m =0
e
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢ ⎥ m
⎣N⎦
)*
⎛ 2 N1 +1 ⎞
⎧
− jk 2 π ⎜
⎟⎫
⎡ 2π ⎤
⎝ N ⎠
1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1 ⎪1 − e
⎪
= e
⎨
⎬
⎛ 2π ⎞
− jk ⎜
N
⎟
⎪
⎪
⎝ N ⎠
⎩ 1− e
⎭
2
2
π
π
⎛ 2 N1 +1 ⎞
⎡ ⎤
⎧ jk ⎡⎢ N ⎤⎥ N1
jk ⎢ ⎥ N1
− jk 2 π ⎜
⎟
⎝ N ⎠
⎣N⎦
⎣ ⎦
−e
1 ⎪e
.e
= ⎨
⎛ 2π ⎞
− jk ⎜
N⎪
⎟
⎝ N ⎠
−
1
e
⎩
=
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢
⎥
⎣ 2N ⎦
1 e
×
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢
N
⎥
e ⎣ 2N ⎦
⎡ N +0,5 ⎤
⎧⎪ jk 2 π ⎡⎢ N1 +N0,5 ⎤⎥
− jk 2 π ⎢ 1
⎥⎫
⎣ N ⎦⎪
⎦
⎣
−e
⎨e
⎬
⎪⎩
⎪⎭
×
2
2
π
π
⎤
⎡
⎧⎪ jk ⎡⎢ 2 N ⎤⎥
− jk ⎢
⎥⎫
⎣ 2N ⎦ ⎪
⎦
⎣
−
e
e
⎨
⎬
⎪⎩
⎪⎭
⎡
⎛ N + 0,5 ⎞⎤
sin ⎢2πk⎜ 1
⎟⎥
1
⎝ N ⎠⎦
⎣
= ×
N
⎡ πk ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣N⎦
Catatan
)* Suku
∑e
2 N1
m =0
⎡ 2π ⎤
− jk ⎢ ⎥ m
⎣N⎦
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
; k ≠ 0, ± N, ± 2 N, ....
merupakan sebuah deret geometri dengan 2N1+1 suku, sehingga
jumlah deret geometri tersebut dapat diketahui menggunakan rumus jumlah deret
geometri.
Sedangkan untuk k = 0, ±N, ±2N, … maka koefisien deret Fouriernya
adalah
97
ak =
2 N1 + 1
N
Sebagai contoh, koefisien-koefisien ak untuk (2N1 + 1) = 5 dapat
digambarkan untuk berbagai nilai N, misalnya N = 10.
•
Untuk k = 0, ±10, ±20, … maka
•
Untuk k ≠ 0, ±10, ±20, … maka
ak =
2 N1 + 1 5 1
=
=
N
10 2
⎡
⎛ N + 0 ,5 ⎞ ⎤
sin ⎢ 2 π k ⎜ 1
⎟⎥
N
1
⎝
⎠⎦
⎣
×
ak =
k
π
N
⎡
⎤
sin ⎢
⎥⎦
N
⎣
⎡ ⎛ 2 N 1 + 1 ⎞⎤
sin ⎢ π k ⎜
⎟⎥
N
1
⎝
⎠⎦
⎣
=
×
N
⎡ πk ⎤
sin ⎢
⎣ N ⎥⎦
⎡ πk ⎤
sin ⎢
1
⎣ 2 ⎥⎦
=
10
⎡ πk ⎤
sin ⎢
⎣ 10 ⎥⎦
Sehingga diperoleh:
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,3
→ a −1 = a 1
a1 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣10 ⎦
1 sin π
=0
→ a −2 = a 2
a2 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a
a3 =
3
−3
10
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
1 sin 2π
=0
→ a −4 = a 4
a4 =
10
⎡ 4π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
98
⎡ 5π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,1
a5 =
10
⎡π⎤
sin ⎢ ⎥
⎣2⎦
1 sin 3π
=0
a6 =
10
⎡ 3π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
→ a −5 = a 5
→ a −6 = a 6
⎡ 7π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a
a7 =
−7
7
10
⎡ 7π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
1 sin 4π
a8 =
=0
→ a −8 = a 8
10
⎡ 4π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣5⎦
⎡ 9π ⎤
sin ⎢ ⎥
1
⎣ 2 ⎦ = 0,3
a9 =
→ a −9 = a 9
10
⎡ 9π ⎤
sin ⎢ ⎥
⎣ 10 ⎦
Karena sifatnya yang periodik dengan periode N = 10, maka
a 11 = a 1
→ a −11 = a 11
....
a 19 = a 9
→ a −19 = a 19
a 12 = a 2
a 21 = a 1
a 22 = a 2
→ a −12 = a 12
→ a −21 = a 21
→ a −22 = a 22
.....
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.8.
ak
-7
-10
3
-3
-5
-1 0 1 2
7
4 5 6
8 9 1011
k
Gambar 4.8 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 4
99
4.5.2. Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 3, tentukanlah
koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika
a. N = 5
b. N =10
c. N = 15
Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.
2. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 4, tentukanlah
koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika
a. N = 20
b. N = 40
Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.
4.6. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Diskrit
Untuk isyarat waktu diskrit x[n] yang periodik dengan periode N dan
mempunyai koefisien deret Fourier ak, maka hubungan ini akan ditulis sebagai
berikut:
FS
x[n ] ←⎯→
ak
Berikut ini adalah sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.
1. Perkalian
Jika x[n] dan y[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan
FS
x[n ] ←⎯→
ak
FS
y[n ] ←⎯→
bk
maka berlaku
FS
x[n ].y[n ] ←⎯→
dk =
∑a
l= N
l
b k −l
2. Diferensiasi pertama
Jika x[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan
FS
x[n ] ←⎯→
ak
100
maka koefisien deret Fourier yang sesuai dengan diferensiasi pertama dari
x[n] dinyatakan sebagai:
⎛ 2π ⎞
⎡
− jk ⎜
⎟⎤
x[n ] − x[n − 1] ←⎯→ a k ⎢1 − e ⎝ N ⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
FS
dimana frekuensi dasar x[n] adalah ω0 = 2π/N.
4.7. Deret Fourier dan Sistem LTI
Dalam waktu kontinyu, jika x(t) = est merupakan input atau masukan
sistem LTI waktu kontinyu, maka keluarannya adalah
y(t) = H(s) est
dengan
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ
+∞
−∞
dan h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI. Jika s = jω maka
e st = e jωt
sehingga masukan LTI merupakan eksponensial kompleks dengan frekuensi
ω. Dalam hal ini, maka H(s) = H(jω) yang dinyatakan:
H( jω) = ∫ h (τ)e −sτdτ
+∞
−∞
H(jω) disebut dengan istilah tanggapan frekuensi (frequency response) sistem
LTI.
Jika isyarat masukan x(t) dinyatakan dalam deret Fourier sebagai
berikut
x[n ] =
∑a
+∞
k = −∞
k
e jkω0 t
maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan dengan
y[n ] =
∑a
+∞
k = −∞
k
H ( jkω0 ) e jkω0t
dimana dalam hal ini sk = jkω0 , dan koefisien dari y(t) adalah
bk = ak H(jkω0)
101
Dengan cara yang sama, dalam waktu diskrit jika x[n] = zn merupakan
masukan sistem LTI waktu diskrit, maka keluarannya adalah
y[n] = H(z) zn
dengan
H (z) =
∑ h[k ]
∞
z −k
k = −∞
dan h[n] adalah tanggapan impuls sistem LTI.
Jika harga z dipilih sedemikian rupa sehingga ⎢z⎥ = 1, maka
z = e jω
dan
zn = e jωn
Dengan demikian, maka diperoleh persamaan yang menyatakan tanggapan
H (e jω ) =
frekuensinya, yaitu:
∑ h[n ] e
+∞
n = −∞
− jωn
Jika isyarat masukan x[n] merupakan isyarat periodik yang dinyatakan
dalam deret Fourier sebagai
x[n ] =
∑a
k= N
k
e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
maka keluaran sistem LTI (dengan tanggapan impuls h[n]) adalah
y[n ] =
∑a
k= N
k
H (e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥
⎣N⎦
)e
⎡ 2π ⎤
jk ⎢ ⎥ n
⎣N⎦
dimana koefisien y[n] adalah
bk = ak H(e j2πk/N)
4.7.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai tanggapan impuls
h(t) = e −t u(t)
Jika masukan sistem sistem ini adalah
102
x[n ] =
∑a
3
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan
a0 = 1
a1 = a−1 = ¼
a2 = a−2 = ½
a3 = a−3 =
1
3
maka tentukanlah tanggapan frekuensi dan keluaran sistem LTI tersebut.
Penyelesaian
Tanggapan frekuensi dapat ditemukan sebagai berikut:
H( jω) = ∫ h ( t ) e − jωt dt
∞
−∞
= ∫ e −t u ( t ) e − jωt dt
∞
−∞
= ∫ e − t e − jωt dt
∞
= ∫ e −(1+ jω) t dt
0
∞
0
∞
1
=−
e −(1+ jω) t
1 + jω
0
=
1
1 + jω
Oleh karena isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 = 2π maka
keluaran sistem LTI tersebut adalah
y[n ] =
∑b
3
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan
bk = ak H( jk2π )
sehingga dapat ditentukan besaranya bk untuk harga-harga k yang berbeda
sebagai berikut.
103
b 0 = a 0 H ( 0) = 1
b1 = a 1 H( j2π) =
1
1
×
4 1 + j2π
1
1
b 2 = a 2 H( j4π) = ×
2 1 + j4π
1
1
b 3 = a 3 H( j6π) = ×
3 1 + j6π
1
1
b −1 = a −1 H (− j2π) = ×
4 1 − j2π
1
1
b −2 = a −2 H (− j4π) = ×
2 1 − j4π
1
1
b −3 = a −3 H(− j6π) = ×
3 1 − j6π
2. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls
h[n] = α n u[n]
dimana −1 < α < 1. Jika masukan sistem ini adalah
2πn
N
x [ n ] = cos
maka tentukanlah tanggapan frekuensi sistem tersebut.
Penyelesaian
2 πn
N
x [ n ] = cos
=
2π
1 jN
e
2
n
+
2π
1 −j N
e
2
n
maka dapat diperoleh tanggapan frekuensi untuk jω = j2π/N dan
jω = −j2π/N, sebagai berikut:
(
) ∑ h[n ] e
H e j2 π / N =
=
=
+∞
n = −∞
∑α
+∞
n
u [ n ] e − j( 2 π / N ) n
∑ [α e
n = −∞
=
+∞
n=0
− j( 2 π / N ) n
]
− j( 2 π / N ) n
1
1 − α e − j2 π / N
104
dan
(
) ∑ h[n ] e
+∞
H e − j2 π / N =
n = −∞
∑α
+∞
=
u [ n ] e j( 2 π / N ) n
∑ [α e
n = −∞
+∞
=
n =0
=
( )
n
j( 2 π / N ) n
]
j( 2 π / N ) n
1
1 − α e j2 π / N
Secara umum, tanggapan frekuensinya dapat dinyatakan dengan
H e jω =
1
1 − α e − jω
Cara lain untuk menentukan tanggapan frekuensi sistem adalah sebagai
berikut. Masukan x[n] dapat ditulis sebagai deret Fourier
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
1 j⎢ ⎥ n 1 − j⎢ ⎥ n
x[n ] = e ⎣ N ⎦ + e ⎣ N ⎦
2
2
H (e jω ) =
dan tanggapan frekuensinya adalah
=
∑ h[n] e
+∞
n = −∞
∑α
+∞
n = −∞
n
− jωn
u[n ] e − jωn
= ∑ α n e − jωn
∞
n =0
= ∑ α n e − jωn
∞
=
n =0
1
1 − α e − jω
Dengan demikian, keluaran sistem dapat dinyatakan sebagai:
y[ n ] =
=
∑ a k H ( e j 2 πk / N ) e
k= N
2π
jk
2π
n
N
2π
j n
−j n
1
1
H (e j2 π / N ) e N + H (e − j2 π / N ) e N
2
2
⎫ j 2Nπ n 1 ⎧
⎫ − j 2Nπ n
1
1⎧
1
= ⎨
+ ⎨
⎬e
⎬e
2 ⎩1 − α e j 2 π / N ⎭
2 ⎩1 − α e − j 2 π / N ⎭
105
4.7.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls
⎡1⎤
h[ n ] = ⎢ ⎥
⎣2⎦
n
maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y[n] jika masukan x[n]
adalah isyarat periodik dengan periode 6 dan dinyatakan sebagai berikut
n = 0, ± 1
⎧1,
x[n ] = ⎨
⎩0, n = ±2, ± 3
2. Sebuah sistem LTI waktu kontiyu dengan tanggapan impuls
h(t) = e −4⎜t⎥
maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y(t) jika masukan x(t)
seperti pada gambar berikut.
X(t)
...
...
-2
-1
0
1
2
3
t
Gambar 4.9 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.8. Filter-filter Pemilih Frekuensi
Tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu kontinyu, secara garis
besar dibedakan menjadi:
1. Lowpass ideal
Filter ini melewatkan frekuensi rendah saja. Perhatikan gambar 4.10.
H(jω)
1
−ωc
0
ωc
ω
Gambar 4.10 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu kontinyu)
106
2. Highpass ideal
Filter ini melewatkan frekuensi tinggi saja. Perhatikan gambar 4.11.
H(jω)
1
−ωc
ω
ωc
0
Gambar 4.11 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu kontinyu)
3. Bandpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.12.
H(jω)
1
−ω2
ω1
−ω1
ω
ω2
Gambar 4.12 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu kontinyu)
Sedangkan tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu diskrit, secara
garis besar juga dibedakan menjadi:
1. Lowpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.13.
H(e jω)
1
−2π
−π −ω
1
0
ω1
π
2π
ω
Gambar 4.13 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu diskrit)
2. Highpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.14.
107
H(e jω)
1
−π
−2π
π
0
2π
ω
Gambar 4.14 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu diskrit)
3. Bandpass ideal
Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.15.
H(e jω)
1
−π
−2π
π
0
2π
ω
Gambar 4.15 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu diskrit)
4.8.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah rangkaian filter lowpass RC sederhana pada gambar 4.16. Jika
masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah Vc(t), tentukanlah
persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan
sistem.
R
Vs(t)
C
Vc(t)
i(t)
Gambar 4.16 Rangkaian filter RC lowpass sederhana
Penyelesaian
Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan Vc(t) sebagai keluarannya,
maka untuk rangkaian RC di atas berlaku:
108
VR ( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
R i( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
RC
d
VC ( t ) + VC ( t ) = VS ( t )
dt
Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran Vc(t) harus menjadi
Vc(t) = H(jω) e jωt
{
}
Sehingga diperoleh
d
H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt
dt
RCjω H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt
RCjω H( jω) + H( jω) = 1
RC
[RCjω
Jika
ω ≈ 0 maka ⎢H(jω)⎥ ≈ 1 dan
+ 1] H( jω) = 1
H( jω) =
1
RCjω + 1
ω > 0 maka ⎢H(jω)⎥ > 1/RC maka terjadi redaman. Dengan kata lain, jika ω mendekati
nol maka ⎢H(jω)⎥