APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA (1)
APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA
Integral Tak Tentu. Proses untuk menemukan seluruh antiderivative dari sebuah fungsi
dinamakan antideferensial atau integral dan dilambangkan dengan ∫ .
Dibawah ini merupakan beberapa contoh soal integral beserta jawaban yang berhubungan
dengan mata kuliah fisika.
1. Diketahui suatu mobil bergerak dengan persamaan kecepatan
=
, dengan
v dalam satuan meter per sekon dan t dalam satuan sekon. Tentukan perpindahan mobil
setelah menempuh waktu t=3 sekon! (soal buatan sendiri)
Jawab:
=
m/s
Persamaan perpindahan dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan kecepatan.
=∫
=∫
=
= 27 + 18 - 15 = 30
Jadi, perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon adalah 30 meter.
2. Percepatan suatu benda dilukiskan dengan suatu persamaan
m/ .
Benda tersebut bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s dan bergerak ke arah kanan.
Berapakah kecepatan benda tersebut setelah 2 sekon? (soal buatan sendiri)
Jawab:
m/
Pertama-tama harus dicari persamaan
=
=
=
∫
yaitu:
∫
=
Setelah itu substitusikan t=2, maka:
=
=
=
= 21
Jadi, kecepatan benda setelah 2 sekon adalah 21 m/s.
3. Sebuah cakram mempunyai jari-jari 10 cm digunakan dalam percobaan praktikum fisika.
Pada saat pemutaran didapatkan percepatan dengan persamaan
m/ ,
dengan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sudut pada cakram setelah 2 sekon! (soal
buatan sendiri)
Jawab:
R = 0,1 m
m/
Rumus mencari kecepatan sudut ω adalah V = ω.R.
Sedangkan kecepatan V dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan percepatan a.
=∫
=∫
=4
4
= 16 – 4 = 12
Sehingga, kita dapat mencari besar kecepatan sudut ω:
ω = ⁄
= ⁄
= 120 rad/s
Jadi, kecepatan sudut cakram setelah 2 sekon adalah 120 rad/s.
4. Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y. Posisi awal partikel adalah pada koordinat
(2,4) m, dengan kecepatan partikel memenuhi persamaan ⃗
⃗
⃗ m/s,
dengan t dalam sekon. Tentukan:
a. Persamaan vektor posisi partikel.
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon.
(sumber: Buku Pintar Belajar Fisika untuk SMA/MA XI-A)
Jawab:
⃗
⃗
⃗ m/s, maka
Posisi awal (2,4) m, maka
m/s dan
m dan
m/s.
m.
a. ⃗
⃗
⃗
x =
∫
=
∫
=2+
=
y =
=
=4+
m
∫
∫
=
m
Jadi, vektor posisi partikel adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon:
⃗
⃗
⃗
=
⃗
⃗
= 24,5⃗ + 43 ⃗
Jadi, vektor posisi pada saat 3 sekon adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
5. Vektor percepatan sebuah partikel bergerak dalam bidang xy diberikan oleh ⃗
⃗
⃗, dengan ⃗ dalam meter per sekon kuadrat dan t dalam
sekon. Carilah posisi partikel sesaat! (soal buatan sendiri)
Jawab:
⃗
⃗
⃗
Pertama-tama integralkan vektor percepatan sehingga di dapat vektor kecepatan.
⃗
∫⃗
⃗
∫⃗
⃗
⃗]
= ∫[
=
⃗
⃗
Vektor posisi dicari dari integral vektor kecepatan.
= ∫[
⃗
⃗
Jadi, posisi partikel sesaat adalah ⃗
⃗]
⃗
⃗
⃗
6. Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal 128 ft/sec. Kita mengetahui bahwa
percepatan batu itu sesuai dengan gravitasi dalam arah ke bawah.
a. Tentukan fungsi kecepatan vertikal v(t) dan fungsi ketinggian s (t)
b. Berapa tinggi yang dicapai batu itu?
c. Berapa lama akan di ambil batu iu untuk sampai di tanah?
(SUMBER: Yahya, Yusuf, dkk. 2012. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor:
Penerbit Ghalia Indnesia. Halaman: 296-297)
Jawab:
a. Andaikan batu dilempar pada waktu t = 0 dan arah positif ke atas, maka v(0) = 128.
Karena percepatan arahnya ke bawah, maka a(t) = -32
Dari v’(t) = a(t), maka v(t) = ∫
Karena v(0) = 128 = 32 (0) + C + 128
Maka v(t) = -32t + 128
Untuk menentukan s(t), ingat bahwa s’(t) = v(t) atau
Sehingga s(t) = ∫
= -16t2 + 128t + C1
= v(t)
Untuk menghitung C1, kita gunakan syarat awal bahwa pada waktu t=0 ketinggian
objek itu adalah nol. Oleh karena itu, s (0)=0 sehingga C1 =0 dan s(t)=-16t2 + 128t
adalah fungsi yang meberikan ketinggian objek itu pada sembarang waktu.
b. Titik tertinggi dari pelayangan batu itu terjadi ketika v(t)=0.
Maka,
v(t)=-32t+128=0 32t=128 t=4
Hitung fungsi jarak (jauh) yaitu:
S (4)=-16(4) 2 +128(4) = -256+512=256
Jadi, titik tertingginya adalah 256 ft.
c. Ketika objek itu jatuh ke tanah, s(t)=0, sehingga:
-16t2 +128t=0
16t(-t+8)=0
16t=0 t=0 atau –t+8=0 t=8
Objek itu dilempar pada waktu t=0 dan pada waktu t=8 detik objek itu kembali ke
tanah.
:: Lama pelayangan batu itu adalah 8 detik.
7. Percepatan suatu benda yang bergerak dapat dirumuskan a = 5t – 4. Pada saat t = 1
diperoleh jarak s = 2 dan kecepatannya pada t =2 adalah 9 (a =
rumus untuk s ! (soal buatan sendiri)
Jawab:
a = 5t – 4
5t – 4
dv = 5t – 4 dt
=∫
dt
∫
v =∫
dt
v=
– 4t + c
Saat t=2, v=9, maka:
9=
– 4.(2) + c
9 = 10 – 8 + c
9 = 2 + c c = 7
– 4t + 7
maka v =
– 4t + 7
=
– 4t + 7dt
ds =
∫
s=∫
s=
=∫
–
-2
–
+ 7t + c
saat t = 1, s = 2, maka:
dan v = ). Tentukan
2=
-2
+ 7(1) + c
2 = – 2 + 7 + c c = - 23
-2
Jadi, s =
+ 7t – 23
8. Posisi awal mobil adalah pada koordint (2,0). Komponen kecepatan dinyatakan:
Vx = 2t , Vy = 5 + 0,75 t2
Tentukan:
a. Persamaan umum posisi mobil
b. Posisi mobil saat t= 2s (soal buatan sendiri)
Jawab:
X0 = 2 dan y0 = 0
r= xi + yi
x= x0 + ∫
=2+∫
2
+C
= 2 + (t2 + C) – (02 + C)
= 2 + t2
y = y0 + ∫
=0+∫
= 5t +
y dt
2
) dt
t3 + C |
= (5t + 0,25 t3 + C) – (0 + 0+ C)
= 5t + 025t3
r= (2 + t2) i + (5t + 0,25t3) j
= (2 + 22) i + [5(2) + 0,25 (23)] j
|r| = √
=√
= 6√ m
9. Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t)= 0,05t Ampere.
Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t=0 sampai t=5
detik ? (soal buatan sendiri)
Jawab:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan q.
i=
sehingga q= ∫
jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
q= ∫
–
=
=∫
=0
=
t2
- 0 = 0,625 coloumb
10. Sebuah benda jatuh dalam ruangan hampa udara. Benda tersebut jatuh sejauh 16t2 m
dalam t detik. Hitung kecepatan pada detik pertama! (soal buatan sendiri)
Jawab:
V pada t= 1 sekon
f(t)= 16 t2 maka f’ (1) = .....?
f’ (t) =
–
f’ (1) =
=
=
=
=
= 32 m/s2
(
)
Integral Tak Tentu. Proses untuk menemukan seluruh antiderivative dari sebuah fungsi
dinamakan antideferensial atau integral dan dilambangkan dengan ∫ .
Dibawah ini merupakan beberapa contoh soal integral beserta jawaban yang berhubungan
dengan mata kuliah fisika.
1. Diketahui suatu mobil bergerak dengan persamaan kecepatan
=
, dengan
v dalam satuan meter per sekon dan t dalam satuan sekon. Tentukan perpindahan mobil
setelah menempuh waktu t=3 sekon! (soal buatan sendiri)
Jawab:
=
m/s
Persamaan perpindahan dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan kecepatan.
=∫
=∫
=
= 27 + 18 - 15 = 30
Jadi, perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon adalah 30 meter.
2. Percepatan suatu benda dilukiskan dengan suatu persamaan
m/ .
Benda tersebut bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s dan bergerak ke arah kanan.
Berapakah kecepatan benda tersebut setelah 2 sekon? (soal buatan sendiri)
Jawab:
m/
Pertama-tama harus dicari persamaan
=
=
=
∫
yaitu:
∫
=
Setelah itu substitusikan t=2, maka:
=
=
=
= 21
Jadi, kecepatan benda setelah 2 sekon adalah 21 m/s.
3. Sebuah cakram mempunyai jari-jari 10 cm digunakan dalam percobaan praktikum fisika.
Pada saat pemutaran didapatkan percepatan dengan persamaan
m/ ,
dengan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sudut pada cakram setelah 2 sekon! (soal
buatan sendiri)
Jawab:
R = 0,1 m
m/
Rumus mencari kecepatan sudut ω adalah V = ω.R.
Sedangkan kecepatan V dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan percepatan a.
=∫
=∫
=4
4
= 16 – 4 = 12
Sehingga, kita dapat mencari besar kecepatan sudut ω:
ω = ⁄
= ⁄
= 120 rad/s
Jadi, kecepatan sudut cakram setelah 2 sekon adalah 120 rad/s.
4. Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y. Posisi awal partikel adalah pada koordinat
(2,4) m, dengan kecepatan partikel memenuhi persamaan ⃗
⃗
⃗ m/s,
dengan t dalam sekon. Tentukan:
a. Persamaan vektor posisi partikel.
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon.
(sumber: Buku Pintar Belajar Fisika untuk SMA/MA XI-A)
Jawab:
⃗
⃗
⃗ m/s, maka
Posisi awal (2,4) m, maka
m/s dan
m dan
m/s.
m.
a. ⃗
⃗
⃗
x =
∫
=
∫
=2+
=
y =
=
=4+
m
∫
∫
=
m
Jadi, vektor posisi partikel adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon:
⃗
⃗
⃗
=
⃗
⃗
= 24,5⃗ + 43 ⃗
Jadi, vektor posisi pada saat 3 sekon adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
5. Vektor percepatan sebuah partikel bergerak dalam bidang xy diberikan oleh ⃗
⃗
⃗, dengan ⃗ dalam meter per sekon kuadrat dan t dalam
sekon. Carilah posisi partikel sesaat! (soal buatan sendiri)
Jawab:
⃗
⃗
⃗
Pertama-tama integralkan vektor percepatan sehingga di dapat vektor kecepatan.
⃗
∫⃗
⃗
∫⃗
⃗
⃗]
= ∫[
=
⃗
⃗
Vektor posisi dicari dari integral vektor kecepatan.
= ∫[
⃗
⃗
Jadi, posisi partikel sesaat adalah ⃗
⃗]
⃗
⃗
⃗
6. Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal 128 ft/sec. Kita mengetahui bahwa
percepatan batu itu sesuai dengan gravitasi dalam arah ke bawah.
a. Tentukan fungsi kecepatan vertikal v(t) dan fungsi ketinggian s (t)
b. Berapa tinggi yang dicapai batu itu?
c. Berapa lama akan di ambil batu iu untuk sampai di tanah?
(SUMBER: Yahya, Yusuf, dkk. 2012. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor:
Penerbit Ghalia Indnesia. Halaman: 296-297)
Jawab:
a. Andaikan batu dilempar pada waktu t = 0 dan arah positif ke atas, maka v(0) = 128.
Karena percepatan arahnya ke bawah, maka a(t) = -32
Dari v’(t) = a(t), maka v(t) = ∫
Karena v(0) = 128 = 32 (0) + C + 128
Maka v(t) = -32t + 128
Untuk menentukan s(t), ingat bahwa s’(t) = v(t) atau
Sehingga s(t) = ∫
= -16t2 + 128t + C1
= v(t)
Untuk menghitung C1, kita gunakan syarat awal bahwa pada waktu t=0 ketinggian
objek itu adalah nol. Oleh karena itu, s (0)=0 sehingga C1 =0 dan s(t)=-16t2 + 128t
adalah fungsi yang meberikan ketinggian objek itu pada sembarang waktu.
b. Titik tertinggi dari pelayangan batu itu terjadi ketika v(t)=0.
Maka,
v(t)=-32t+128=0 32t=128 t=4
Hitung fungsi jarak (jauh) yaitu:
S (4)=-16(4) 2 +128(4) = -256+512=256
Jadi, titik tertingginya adalah 256 ft.
c. Ketika objek itu jatuh ke tanah, s(t)=0, sehingga:
-16t2 +128t=0
16t(-t+8)=0
16t=0 t=0 atau –t+8=0 t=8
Objek itu dilempar pada waktu t=0 dan pada waktu t=8 detik objek itu kembali ke
tanah.
:: Lama pelayangan batu itu adalah 8 detik.
7. Percepatan suatu benda yang bergerak dapat dirumuskan a = 5t – 4. Pada saat t = 1
diperoleh jarak s = 2 dan kecepatannya pada t =2 adalah 9 (a =
rumus untuk s ! (soal buatan sendiri)
Jawab:
a = 5t – 4
5t – 4
dv = 5t – 4 dt
=∫
dt
∫
v =∫
dt
v=
– 4t + c
Saat t=2, v=9, maka:
9=
– 4.(2) + c
9 = 10 – 8 + c
9 = 2 + c c = 7
– 4t + 7
maka v =
– 4t + 7
=
– 4t + 7dt
ds =
∫
s=∫
s=
=∫
–
-2
–
+ 7t + c
saat t = 1, s = 2, maka:
dan v = ). Tentukan
2=
-2
+ 7(1) + c
2 = – 2 + 7 + c c = - 23
-2
Jadi, s =
+ 7t – 23
8. Posisi awal mobil adalah pada koordint (2,0). Komponen kecepatan dinyatakan:
Vx = 2t , Vy = 5 + 0,75 t2
Tentukan:
a. Persamaan umum posisi mobil
b. Posisi mobil saat t= 2s (soal buatan sendiri)
Jawab:
X0 = 2 dan y0 = 0
r= xi + yi
x= x0 + ∫
=2+∫
2
+C
= 2 + (t2 + C) – (02 + C)
= 2 + t2
y = y0 + ∫
=0+∫
= 5t +
y dt
2
) dt
t3 + C |
= (5t + 0,25 t3 + C) – (0 + 0+ C)
= 5t + 025t3
r= (2 + t2) i + (5t + 0,25t3) j
= (2 + 22) i + [5(2) + 0,25 (23)] j
|r| = √
=√
= 6√ m
9. Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t)= 0,05t Ampere.
Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t=0 sampai t=5
detik ? (soal buatan sendiri)
Jawab:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan q.
i=
sehingga q= ∫
jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
q= ∫
–
=
=∫
=0
=
t2
- 0 = 0,625 coloumb
10. Sebuah benda jatuh dalam ruangan hampa udara. Benda tersebut jatuh sejauh 16t2 m
dalam t detik. Hitung kecepatan pada detik pertama! (soal buatan sendiri)
Jawab:
V pada t= 1 sekon
f(t)= 16 t2 maka f’ (1) = .....?
f’ (t) =
–
f’ (1) =
=
=
=
=
= 32 m/s2
(
)