Bentuk Pangkat dan Logaritma LKS SMA MAT X
Standar Kompetensi
Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang
berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat
dan fungsi
kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.
Kompetensi Dasar
: 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma
dalam pemecahan masalah
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
Prasyarat
Pengalaman Belajar
Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.
Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang
lainnya.
Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen.
Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.
Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.
.
: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.
2. Operasi hitung dalam aljabar.
A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk
akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi / media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang
pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:
Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35
b. 56
c. 104
Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243
b.
56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….
c.
104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………
Penarikan kesimpulan:
an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n
n factor
a disebut bilangan pokok atau basis.
n disebut pangkat atau eksponen
an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan
yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42
Penyelesaian :
a.
b. 24 x 25
43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..
3 faktor
2 faktor
(3 + 2) factor
LKS-Mat.X-01
LKS-Mat.X-02
b.
24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2…..
Penarikan kesimpulan:
ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….
…. factor
…. factor
ap . aq = a …. + ……
Sifat 1 :
45
43
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a.
Penyelesaian : 5 faktor
a.
b.
38
34
3 faktor
45 4 x4 x.....x.....x..... 4 x.....x.....
=
=
x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3
3
4 x.....x.....
4 x.....x.....
4
3 faktor
3 faktor
8 faktor
b.
( … + …. ) factor
2 faktor
4 faktor
4 faktor
38
3x.....x.....x.....x.....x.....x.....x3 3x.....x.....x.....
=
=
x ( 3 x ….. x ….. x….. )
4
3x.....x.....x3
3x.....x.....x.....
3
4 faktor
4 faktor
= 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3
4 faktor
….. - …..
4 faktor
Penarikan kesimpulan:
p faktor
( p - …. ) faktor
q faktor
ap
ax.....x.....x.....x.....x.....x.....xa
ax.....x.....x.....
=
=
. ( a x ….. x ….. x….. )
q
ax.....x.....xa
ax.....x.....x.....
a
q faktor
q faktor
= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……
( …. - …. ) faktor
Sifat 2 :
( ….. - …. ) faktor
ap
= a ….. - ……
aq
Masalah 4 : Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
3 faktor
( 2 x 5 )3
3 faktor
3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….
Penarikan kesimpulan:
( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)
= a … . b ….
p factor
p factor
p factor
LKS-Mat.X-03
( a . b ) p = a ….. . b p
Sifat 3 :
( 5 3 )4
Masalah 5 : Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
4 faktor
4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. )
3 faktor
3 faktor
, 3 faktor
3 faktor
= 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5……
2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
( a p ) q = a … x …..
Sifat 4 :
Masalah 6
: Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
(
(
2 4
)
5
4 faktor
4 faktor
2 .....
2 4
2 ...
2
2 x....x....x2
) =
x x ….. x
=
= .....
5
5 5
5
5 x....x....x....
5
4 faktor
p
Sifat 5 :
(
a
a p
) =
b
b ....
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan
yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 7
: Buktikan bahwa: a. ao = 1
Bukti
: a. Akan dibuktikan ao = 1
b. a-p =
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
….
q
a .a =a
a0 =
b. Akan dibuktikan
a-p =
= a
, missal : p = 0 didapat:
…..
aq
= …….
a ....
a0 =
Sifat 6 :
0 + ……
1
ap
Terbukti.
1
1
ap
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
, missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a …..
a –p =
a ....
.....
= ....
....
a
a
Terbukti.
LKS-Mat.X-04
a-p =
Sifat 7 :
1
ap
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat
bilangan pangkat!
a. 4p2 x 2p3 x 23p
c. 10y7 : 2y2
e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 )
3 2
4
5
2 4
7
b. ( -k ) : k
d. ( -m : m ) x m
f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2
2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative !
a.
1
4t 6
b.
5
(a b) 3
c.
2
(b c 3 ) 3
e.
9m 2 n 3 p 7
21.m 1 n 2 p 6
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !
27 p 7
9p2
a. a-6b4 x a2b-2
c.
b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2
2 2 m 4 n
d.
3
mn
8
2
2
3m n
2
f.
2 2
:
p4
p 3
m6
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.
Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
rasional.
Definisi:
a adalah bilangan non negative sedemikian hingga
a.
a =a
Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan
pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:
a 2 .a 2 a .....
1
a.
3
a =a
3
berarti
3
a . a . a = a berarti
1
3
..... .....
.....
1
1
....
a .a .a
a
.....
......
a ...... sehingga :
..... ..... .....
..... ..... .....
a
......
......
a
......
1
a = a ......
sehingga
a p a .....
p
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya :
q
Sifat 8 :
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan !
b. m3 m
a. q 2 4 q 3
c.
2. Nyatakan dalam bentuk akar !
2
a. 4a 5
b. 9k
2
96a 3 .b 2
b.
2 8
3a .b
y5 6 y5
c. 9a 2 3a 2
5
2
7
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !
12 32
a. 3a .b
1
5
1
x3
c.
y
3
m
ym
3
x
m
3
a a
1
1
.....
LKS-Mat.X-05
4. Hitung nilai dari !
c. 1442 .8
1
a. 64
1
3
b.
(27) 3
9
1
5
2
2
3
A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.
a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang
sejenis / sama.
Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. 2 3 + 5
b. 4
3
7 -
7
Penyelesaian:
a. 2 3 + 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3
Penarikan Kesimpulan :
a
b. 4 7 - 7 = (…. - ….) 7 = …. 7
p b p = ( a …. )
.....
a.2. Perkalian bentuk akar.
Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. 3 x 2
b. 4 3 x 2 7
Penyelesaian:
a.
3x..... ......
3 x 2=
Penarikan Kesimpulan :
b. 4 3 x 2 7 = ( 4 x…. )
a .b =
3x..... ..... ......
a. b
a.3. Menyederhanakan bentuk akar.
Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
b. 8 x 12
a. 12
Penyelesaian:
a.
12 .....x3 .....x ...... ...... ......
b.
8 x 12 = .....x2 x .....x3 = …. ..... x …. ..... = ( …. x…. ) ...x... = ….
.....
A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.
Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami
tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa
permasalahan berikut ini:
Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
6
a.
3
Penyelesaian:
a.
6
3
=
6
3
x1=
6
3
x
b.
5
3 2
....
..... ..... ..... ..... .....
=
...... ..... .....
......
......
.....
.....x.....
b.
5
3 2
Di mana :
5
3 2
=
x 1=
5
3 2
3 2
.... .....
x
=
....( ... ... )
( ... ) ( ... )
2
2
LKS-Mat.X-06
=
...( ... ... )
..... .....
3 2 dan 3 2 disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di2
2
kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3 ) - ( 2 ) = 3 – 2 = 1
Penarikan Kesimpulan :
a
a.
b
a
b
a
b c
b.
x
=
....
....
a
a ....
b
b c
x
b ....
.... ....
a ( .... ....)
...... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !
a. 5 7 3 7 7 b. 3 2 ( 2 5 )
c. 5 (4 5 3 ) 3 ( 5 3 3 )
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !
3
2 3
a.
b.
3. Diketahui x = 2 3 2
a. x2 y
11 2
2 32 2
5
3
3
2
c.
dan y = 2 3 2 . Tentukan nilai dari :
b. x2 + 2xy + y2
c.
x
y
B. BENTUK LOGARITMA.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali
informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media
interaktif.
Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen:
ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:
1. a x = …….
dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.
2. (….)x = c
3. a (….) = c
x
c ...... dikenal dengan operasi bentuk akar.
log c = …... dikenal dengan operasi logaritma.
a
Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk
logaritma memiliki korelasi yang erat.
Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan
dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0.
a
log c = x ax = c
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara
beberapa model logaritma berikut ini:
Masalah 12
:
2
Tentukan nilai dari : a. log 8
b.
10
log 10000
c.
1
3
log 9
LKS-Mat.X-07
Penyelesaian:
a. 2log 8 = 3
, sebab
b. log 10000 = …….
c.
=8
, sebab 10….. = 10000
10
1
3
23
1
, sebab
3
log 9 = ……..
........
= ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:
1.1.
1.2.
Untuk bil. Pokok a = 10
Untuk bil. Pokok selain 10
10
log c biasa ditulis log c
log c , missalnya: 2log 3
a
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.
2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. )
e
log c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)
Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang
pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:
Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = a
Sehingga berlaku:
Sifat 1 :
Sederhanakan: 4
4
Masalah 13
2
log 7
2
log 7
a
.....
(....) 2
2
a
log c
= c
(.....)
log.....
2
a
log c
= …..
,
log(.....)2
(.....) 2 .......
: Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp
Penyelesaian:
a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat
q = alog y maka sesuai definisi didapat
x.y = ap . a….. = a….. + …..
sehingga
Sehingga berlaku:
Sederhanakan:
3
3
Sifat
2
log 15 jika
:
a
log x.y = alog …. + alog ….
diketahui
3
log 5 = a
, dengan cara yang sama didapat:
ap
x
= q = a p ......
y
a
maka
Sehingga berlaku:
Sifat
4
log 8 = 3 log
log (…. …..) = p + …..
log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y
Sederhanakan:
a
maka :
a…. = x
aq = …..
4
3
:
log 8 jika
16
2
a
log
x
y
diketahui
a
x
= …. - …..
y
log
= alog …. - alog ….
4
log 2 = a
= 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. –a
LKS-Mat.X-08
a
p
c. log x
=
a
p faktor
log ( x . x . x . ….. . x ) =
log x + a log x + …….. + a log x = …..
a
a
log x
p suku
Sehingga berlaku:
Sifat
2
Sederhanakan:
2
4
a
:
log xp = ….. alog x
log 32 = ……………
2
log 32 =
log (….)5 = (….) 2log ….. = …….
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:
a.
6
b.
3
log 8 – 6 log 2 + 6 log 9
1
log 3 + log
27
8
c. 3 log 81 – 3 log 9
e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
3
d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105
3
2. Sederhanakanlah:
a. log x – 3. log x + log 1/x
4
b. 2 log
6-
c. log x
1 2
. log 3
2
1
3
d.
1
2
1 10
. log 10 + 3 . 10 log 10
2
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini:
7
a. 3 log 275
b. 16 log 8 9
3
c.
log
1
94
1
log x y
2
+ log y -
d. 25 log
5
21
e. 8 log 4-19
4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut:
a
a.
5
1 a
1
= log x
log 8 - a log 4 – a log
4
16
3
b. 4 . 2 log x = 2 log 81
p
Masalah 14
: Buktikan bahwa: a. alog x =
log x
p
log a
c.
am
log b n
a
n
log b
m
b. alog b . blog x = alog x
p
Penyelesaian: a. alog x =
p
log x
log a
, Bukti:
a
Missal
am
=
p
….
log a =
(…) p log a =
p
=
maka :
x
log …..
….
p
m
log x = m
log x
log .....
=
log .....
.....
a
log x
terbukti.
Sehingga berlaku:
p
Sifat
Sederhanakan:
log 7 =
2
4
:
a
log x =
log 7 = ……
p
log x
log a
jika diketahui
log .....
......
.....
2
2
log(....)
2 log .... .....
2
4
5
2
log 7 = b
LKS-Mat.X-09
log b ..... log ...
.
p
log .... p log ...
p
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =
p
=
Sehingga berlaku:
Sifat 6 :
3
Sederhanakan:
3
c.
am
log .... .....
log x , terbukti.
log ....
....
a
log b . blog x = alog x
log 36 .6log 9 = ……
log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log ....
log b n
= …. x …. = ......
a
n
log b , Bukti:
m
am
log b n (....) a log ..... ( dari sifat 4 ) .... 1)
m
Missal : p =
Maka
1
m
Dari 2) 1) didapat :
am
a
......
p
am
log b (am)….. = …..
= b
1
m
log ..... p
.....
log b
Sehingga berlaku:
Sifat
7
Sederhanakan:
log 8 =
3......
9
am
:
log b n (....) a log ..... = (….)
m
log b n
Tunjukan bahwa:
a. Jika
b.
p
c.
ab
a
log x = y maka
3
log q +
1
p
log q 0
a
log x =
log x
1 log b
a
an
.....
log x n y
3
......
log .....
......
a
.....
.....
a
log ....
.....
.....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1
m
n
log b
m
log 8 = …… jika diketahui
log .(....).......
1
......
…….2)
.....
=
.....
9
(dari sifat 5)
log 2 = a
log .....
Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang
berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat
dan fungsi
kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.
Kompetensi Dasar
: 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma
dalam pemecahan masalah
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
Prasyarat
Pengalaman Belajar
Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.
Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang
lainnya.
Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen.
Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.
Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.
.
: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.
2. Operasi hitung dalam aljabar.
A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk
akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari
beberapa sumber referensi / media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang
pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:
Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35
b. 56
c. 104
Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243
b.
56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….
c.
104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………
Penarikan kesimpulan:
an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n
n factor
a disebut bilangan pokok atau basis.
n disebut pangkat atau eksponen
an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan
yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42
Penyelesaian :
a.
b. 24 x 25
43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..
3 faktor
2 faktor
(3 + 2) factor
LKS-Mat.X-01
LKS-Mat.X-02
b.
24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2…..
Penarikan kesimpulan:
ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….
…. factor
…. factor
ap . aq = a …. + ……
Sifat 1 :
45
43
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a.
Penyelesaian : 5 faktor
a.
b.
38
34
3 faktor
45 4 x4 x.....x.....x..... 4 x.....x.....
=
=
x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3
3
4 x.....x.....
4 x.....x.....
4
3 faktor
3 faktor
8 faktor
b.
( … + …. ) factor
2 faktor
4 faktor
4 faktor
38
3x.....x.....x.....x.....x.....x.....x3 3x.....x.....x.....
=
=
x ( 3 x ….. x ….. x….. )
4
3x.....x.....x3
3x.....x.....x.....
3
4 faktor
4 faktor
= 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3
4 faktor
….. - …..
4 faktor
Penarikan kesimpulan:
p faktor
( p - …. ) faktor
q faktor
ap
ax.....x.....x.....x.....x.....x.....xa
ax.....x.....x.....
=
=
. ( a x ….. x ….. x….. )
q
ax.....x.....xa
ax.....x.....x.....
a
q faktor
q faktor
= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……
( …. - …. ) faktor
Sifat 2 :
( ….. - …. ) faktor
ap
= a ….. - ……
aq
Masalah 4 : Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
3 faktor
( 2 x 5 )3
3 faktor
3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….
Penarikan kesimpulan:
( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)
= a … . b ….
p factor
p factor
p factor
LKS-Mat.X-03
( a . b ) p = a ….. . b p
Sifat 3 :
( 5 3 )4
Masalah 5 : Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
4 faktor
4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. )
3 faktor
3 faktor
, 3 faktor
3 faktor
= 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x ….. = 5……
2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
( a p ) q = a … x …..
Sifat 4 :
Masalah 6
: Tentukan nilai dari:
Penyelesaian :
(
(
2 4
)
5
4 faktor
4 faktor
2 .....
2 4
2 ...
2
2 x....x....x2
) =
x x ….. x
=
= .....
5
5 5
5
5 x....x....x....
5
4 faktor
p
Sifat 5 :
(
a
a p
) =
b
b ....
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan
yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 7
: Buktikan bahwa: a. ao = 1
Bukti
: a. Akan dibuktikan ao = 1
b. a-p =
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
….
q
a .a =a
a0 =
b. Akan dibuktikan
a-p =
= a
, missal : p = 0 didapat:
…..
aq
= …….
a ....
a0 =
Sifat 6 :
0 + ……
1
ap
Terbukti.
1
1
ap
Ambil sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
, missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a …..
a –p =
a ....
.....
= ....
....
a
a
Terbukti.
LKS-Mat.X-04
a-p =
Sifat 7 :
1
ap
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat
bilangan pangkat!
a. 4p2 x 2p3 x 23p
c. 10y7 : 2y2
e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 )
3 2
4
5
2 4
7
b. ( -k ) : k
d. ( -m : m ) x m
f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2
2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative !
a.
1
4t 6
b.
5
(a b) 3
c.
2
(b c 3 ) 3
e.
9m 2 n 3 p 7
21.m 1 n 2 p 6
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !
27 p 7
9p2
a. a-6b4 x a2b-2
c.
b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2
2 2 m 4 n
d.
3
mn
8
2
2
3m n
2
f.
2 2
:
p4
p 3
m6
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.
Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
rasional.
Definisi:
a adalah bilangan non negative sedemikian hingga
a.
a =a
Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan
pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:
a 2 .a 2 a .....
1
a.
3
a =a
3
berarti
3
a . a . a = a berarti
1
3
..... .....
.....
1
1
....
a .a .a
a
.....
......
a ...... sehingga :
..... ..... .....
..... ..... .....
a
......
......
a
......
1
a = a ......
sehingga
a p a .....
p
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya :
q
Sifat 8 :
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan !
b. m3 m
a. q 2 4 q 3
c.
2. Nyatakan dalam bentuk akar !
2
a. 4a 5
b. 9k
2
96a 3 .b 2
b.
2 8
3a .b
y5 6 y5
c. 9a 2 3a 2
5
2
7
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !
12 32
a. 3a .b
1
5
1
x3
c.
y
3
m
ym
3
x
m
3
a a
1
1
.....
LKS-Mat.X-05
4. Hitung nilai dari !
c. 1442 .8
1
a. 64
1
3
b.
(27) 3
9
1
5
2
2
3
A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.
a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang
sejenis / sama.
Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. 2 3 + 5
b. 4
3
7 -
7
Penyelesaian:
a. 2 3 + 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3
Penarikan Kesimpulan :
a
b. 4 7 - 7 = (…. - ….) 7 = …. 7
p b p = ( a …. )
.....
a.2. Perkalian bentuk akar.
Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:
a. 3 x 2
b. 4 3 x 2 7
Penyelesaian:
a.
3x..... ......
3 x 2=
Penarikan Kesimpulan :
b. 4 3 x 2 7 = ( 4 x…. )
a .b =
3x..... ..... ......
a. b
a.3. Menyederhanakan bentuk akar.
Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:
b. 8 x 12
a. 12
Penyelesaian:
a.
12 .....x3 .....x ...... ...... ......
b.
8 x 12 = .....x2 x .....x3 = …. ..... x …. ..... = ( …. x…. ) ...x... = ….
.....
A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.
Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami
tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa
permasalahan berikut ini:
Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
6
a.
3
Penyelesaian:
a.
6
3
=
6
3
x1=
6
3
x
b.
5
3 2
....
..... ..... ..... ..... .....
=
...... ..... .....
......
......
.....
.....x.....
b.
5
3 2
Di mana :
5
3 2
=
x 1=
5
3 2
3 2
.... .....
x
=
....( ... ... )
( ... ) ( ... )
2
2
LKS-Mat.X-06
=
...( ... ... )
..... .....
3 2 dan 3 2 disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di2
2
kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3 ) - ( 2 ) = 3 – 2 = 1
Penarikan Kesimpulan :
a
a.
b
a
b
a
b c
b.
x
=
....
....
a
a ....
b
b c
x
b ....
.... ....
a ( .... ....)
...... .....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !
a. 5 7 3 7 7 b. 3 2 ( 2 5 )
c. 5 (4 5 3 ) 3 ( 5 3 3 )
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !
3
2 3
a.
b.
3. Diketahui x = 2 3 2
a. x2 y
11 2
2 32 2
5
3
3
2
c.
dan y = 2 3 2 . Tentukan nilai dari :
b. x2 + 2xy + y2
c.
x
y
B. BENTUK LOGARITMA.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa
permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali
informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media
interaktif.
Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen:
ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:
1. a x = …….
dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.
2. (….)x = c
3. a (….) = c
x
c ...... dikenal dengan operasi bentuk akar.
log c = …... dikenal dengan operasi logaritma.
a
Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk
logaritma memiliki korelasi yang erat.
Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan
dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0.
a
log c = x ax = c
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara
beberapa model logaritma berikut ini:
Masalah 12
:
2
Tentukan nilai dari : a. log 8
b.
10
log 10000
c.
1
3
log 9
LKS-Mat.X-07
Penyelesaian:
a. 2log 8 = 3
, sebab
b. log 10000 = …….
c.
=8
, sebab 10….. = 10000
10
1
3
23
1
, sebab
3
log 9 = ……..
........
= ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:
1.1.
1.2.
Untuk bil. Pokok a = 10
Untuk bil. Pokok selain 10
10
log c biasa ditulis log c
log c , missalnya: 2log 3
a
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.
2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. )
e
log c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)
Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang
pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:
Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = a
Sehingga berlaku:
Sifat 1 :
Sederhanakan: 4
4
Masalah 13
2
log 7
2
log 7
a
.....
(....) 2
2
a
log c
= c
(.....)
log.....
2
a
log c
= …..
,
log(.....)2
(.....) 2 .......
: Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp
Penyelesaian:
a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat
q = alog y maka sesuai definisi didapat
x.y = ap . a….. = a….. + …..
sehingga
Sehingga berlaku:
Sederhanakan:
3
3
Sifat
2
log 15 jika
:
a
log x.y = alog …. + alog ….
diketahui
3
log 5 = a
, dengan cara yang sama didapat:
ap
x
= q = a p ......
y
a
maka
Sehingga berlaku:
Sifat
4
log 8 = 3 log
log (…. …..) = p + …..
log 15 = 3 log (….. x …..) = 3log ….. + 3 log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y
Sederhanakan:
a
maka :
a…. = x
aq = …..
4
3
:
log 8 jika
16
2
a
log
x
y
diketahui
a
x
= …. - …..
y
log
= alog …. - alog ….
4
log 2 = a
= 4 log …. - 4 log …. = 4 log (….)2 – 4 log ….. = 2 4 log … - a = …. –a
LKS-Mat.X-08
a
p
c. log x
=
a
p faktor
log ( x . x . x . ….. . x ) =
log x + a log x + …….. + a log x = …..
a
a
log x
p suku
Sehingga berlaku:
Sifat
2
Sederhanakan:
2
4
a
:
log xp = ….. alog x
log 32 = ……………
2
log 32 =
log (….)5 = (….) 2log ….. = …….
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:
a.
6
b.
3
log 8 – 6 log 2 + 6 log 9
1
log 3 + log
27
8
c. 3 log 81 – 3 log 9
e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
3
d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 – 2log 105
3
2. Sederhanakanlah:
a. log x – 3. log x + log 1/x
4
b. 2 log
6-
c. log x
1 2
. log 3
2
1
3
d.
1
2
1 10
. log 10 + 3 . 10 log 10
2
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini:
7
a. 3 log 275
b. 16 log 8 9
3
c.
log
1
94
1
log x y
2
+ log y -
d. 25 log
5
21
e. 8 log 4-19
4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut:
a
a.
5
1 a
1
= log x
log 8 - a log 4 – a log
4
16
3
b. 4 . 2 log x = 2 log 81
p
Masalah 14
: Buktikan bahwa: a. alog x =
log x
p
log a
c.
am
log b n
a
n
log b
m
b. alog b . blog x = alog x
p
Penyelesaian: a. alog x =
p
log x
log a
, Bukti:
a
Missal
am
=
p
….
log a =
(…) p log a =
p
=
maka :
x
log …..
….
p
m
log x = m
log x
log .....
=
log .....
.....
a
log x
terbukti.
Sehingga berlaku:
p
Sifat
Sederhanakan:
log 7 =
2
4
:
a
log x =
log 7 = ……
p
log x
log a
jika diketahui
log .....
......
.....
2
2
log(....)
2 log .... .....
2
4
5
2
log 7 = b
LKS-Mat.X-09
log b ..... log ...
.
p
log .... p log ...
p
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =
p
=
Sehingga berlaku:
Sifat 6 :
3
Sederhanakan:
3
c.
am
log .... .....
log x , terbukti.
log ....
....
a
log b . blog x = alog x
log 36 .6log 9 = ……
log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6 .6log 9 = ....3 log ....
log b n
= …. x …. = ......
a
n
log b , Bukti:
m
am
log b n (....) a log ..... ( dari sifat 4 ) .... 1)
m
Missal : p =
Maka
1
m
Dari 2) 1) didapat :
am
a
......
p
am
log b (am)….. = …..
= b
1
m
log ..... p
.....
log b
Sehingga berlaku:
Sifat
7
Sederhanakan:
log 8 =
3......
9
am
:
log b n (....) a log ..... = (….)
m
log b n
Tunjukan bahwa:
a. Jika
b.
p
c.
ab
a
log x = y maka
3
log q +
1
p
log q 0
a
log x =
log x
1 log b
a
an
.....
log x n y
3
......
log .....
......
a
.....
.....
a
log ....
.....
.....
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1
m
n
log b
m
log 8 = …… jika diketahui
log .(....).......
1
......
…….2)
.....
=
.....
9
(dari sifat 5)
log 2 = a
log .....