Analisis kesalahan dan kesulitan siswa kelas X SMA Imannuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma.

(1)

xv ABSTRAK

Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.

Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam

memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian,

(7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan, (9) kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (10) kesulitan memahami konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat, (11) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (12) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (13) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (14) kesulitan dalam menjelaskan cara mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (15) kesulitan dalam menjelaskan hasil penarikan akar suatu bilangan, dan (16) kesulitan dalam menjelaskan hasil pemangkatan bilangan real.


(2)

xvi ABSTRACT

Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University.

This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status.

The results of this research were that the students were doing : (1) mistake in transforming root form into rank form, (2) mistake in comprehending rank form concept, (3) mistake in comprehending root form concept, (4) mistake in accomplishing ranking operation, (5) mistake in transforming numbers into rank form, (6) mistake in accomplishing algebra operation of division, (7) mistake in accomplishing algebra operation of logarithm form, (8) mistake in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number; and that they also found (9) difficulties in transforming root form into rank form, (10) difficulties in comprehending root from concept and rank form concept, (11) difficulties in accomplishing algebra operation of logarithm form, (12) difficulties in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number, (13) difficulties in accomplishing algebra operation in ranking real numbers, (14) difficulties in explaining how to transform root form into rank form, (15) difficulties in explaining the result of root pullouting of a number, and (16) difficulties in explaining the result of real numbers ranking.


(3)

i

ANALISIS KESALAHAN DAN KESULITAN SISWA KELAS X SMA IMMANUEL KALASAN DALAM MENGUBAH BENTUK AKAR

MENJADI BENTUK PANGKAT PADA POKOK BAHASAN LOGARITMA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

YUNITA WIDYASTUTI NIM : 031414008

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA


(4)

(5)

(6)

iv

Motto dan Persembahan

Dan apa yang tidak terpandang dan yang hina bagi dunia, dipilih Allah, bahkan apa yang tidak berarti, dipilih Allah untuk meniadakan apa yang berarti. ( I Korintus 1 : 28 )

Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya. ( Pengkotbah 3 : 11 ) Tidak ada yang mustahil bagi orang yang percaya! ( Markus 9 : 23 )

Nilai yang terpenting dari sebuah kebahagiaan dalam hidup ini adalah memiliki sesuatu untuk dilakukan, sesuatu untuk dicintai, dan sesuatu untuk diharapkan.

Skripsi ini kupersembahkan untuk : Tuhan Yesus Kristus

Bapak dan Ibu tercinta

Mbak Rini dan Mas Bambang Mas Sarwoto

Adhi dan Berna Nunung


(7)

(8)

(9)

vii

KATA PENGANTAR

Puji Tuhan penulis mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang senantiasa melimpahkan berkatNya sehingga skripsi yang berjudul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “ ini dapat penulis selesaikan.

Skripsi ini disusun dengan tujuan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan, Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa tersusunnya skripsi ini tidak lepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak yang dengan tulus membantu penulis dalam mengatasi segala rintangan maupun kesulitan yang penulis hadapi. Oleh karena itu, penulis bersyukur dan berterima kasih kepada :

1. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma 2. Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sanata Dharma

3. Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma 4. Bapak Dr. Susento, M. S., selaku pembimbing yang berkenan memberikan

pengarahan dan bimbingan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 5. Ibu Dra. Sri Trismiyati selaku Kepala SMA Immanuel Kalasan yang telah

memberikan ijin bagi penulis untuk melaksanakan penelitian.

6. Bapak dan Ibu Guru serta seluruh karyawan SMA Immanuel Kalasan yang dengan ramah memberikan waktu kepada penulis selama melaksanakan penelitian.

7. Bapak, Ibu, Mbak Rini, Mas Bambang, Mas Sarwoto, Adhi dan Berna yang selalu memberikan dukungan baik moril maupun materiil.

8. Mas Nunung yang senantiasa membantu dan selalu memberikan dorongan semangat.


(10)

viii

9. Kezia, Renaldo, Rid, Thomas, dan Titik yang telah membantu penulis selama penelitian.

10. Teman – teman Pendidikan Matematika 2003 yang telah memberikan dukungan.

11. Semua pihak yang membantu penyusunan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis dengan senang hati menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi kemajuan penulis. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan dan Tuhan memberkati.

Yogyakarta, 21 Februari 2008


(11)

ix

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 21 Februari 2008

Penulis


(12)

x DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………. ....ii

HALAMAN PENGESAHAN………iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN………...iv

KATA PENGANTAR……….v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………vii

DAFTAR ISI……….viii

DAFTAR TABEL………x

DAFTAR GAMBAR………..xi

DAFTAR LAMPIRAN………..xii

ABSTRAK………xiii

ABSTRACT………..xiv

BAB I PENDAHULUAN……….1

A. Latar Belakang Masalah………..1

B. Rumusan Masalah………...2

C. Batasan Istilah………...2

D. Tujuan Penelitian ………...3

E. Manfaat Penelitian………..3

F. Sistematika Penulisan………...4

BAB II LANDASAN TEORI………...6

A. Pengertian Kesalahan………..6

B. Kategori Jenis Kesalahan………6

C. Faktor Penyebab Kesalahan………..10

D. Pengertian Kesulitan Belajar……….12

E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar………...13

F. Gejala – Gejala Kesulitan Belajar……….14

G. Bentuk Pangkat……….15

H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………...16


(13)

xi

BAB III METODE PENELITIAN……...……….27

A. Metode Penelitian…….………...………..27

B. Subyek dan Obyek Penelitian………...27

C. Teknik Pengumpulan Data………....29

D. Instrumen Penelitian………..29

E. Teknik Analisis Data………...30

BAB IV ANALISIS DATA………..32

A. Hasil Observasi……….32

B. Transkripsi Data………....32

C. Topik Data………..………...32

D. Kategori Data………....39

BAB V HASIL PENELITIAN………....51

A. Kesalahan Subyek..………...51

B. Kesulitan Subyek…….……….54

BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN………....58

A. Kesalahan Subyek……...………..58

B. Faktor Penyebab Kesalahan………..62

C. Kesulitan Subyek………...………...63

D. Faktor Penyebab Kesulitan Subyek…………...………...67

E. Gejala – Gejala Kesulitan Subyek……….68

F. Bentuk Pangkat……….68

G. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan………...69

H. Logaritma………..70

BAB VII PENUTUP..………...71

A. Kesimpulan………...71

B. Saran………...72

DAFTAR PUSTAKA………73


(14)

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi...33

Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha...35

Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno...36

Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata...36

Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi………37

Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha... 38

Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno...39

Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata...39

Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...40

Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...40

Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41

Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41

Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...41

Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...42

Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...42

Tabel 16. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat………...43


(15)

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi……….44 Gambar 2. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha………45 Gambar 3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno………...46 Gambar 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata……….47 Gambar 5. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi……….48 Gambar 6. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha………49 Gambar 7. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno………...50 Gambar 8. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Renata……….50


(16)

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

1. Transkripsi Data………...74

2. Lembar Kerja Siswa………...82

3. Hasil Pekerjaan Siswa………..83


(17)

xv ABSTRAK

Yunita Widyastuti. 2007. Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika. Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan – kesalahan dan kesulitan – kesulitan yang dialami oleh siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif yang dilakukan di SMA Immanuel Kalasan pada bulan Maret 2007. Subyek dalam penelitian ini adalah 4 siswa kelas X. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah video rekaman dan wawancara. Metode analisis data yang digunakan adalah deskriptif kualitatif, yang mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau status fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.

Hasil yang diperoleh dalam penelitian ini yaitu siswa melakukan : (1) kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (2) kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat, (3) kesalahan dalam

memahami konsep bentuk pangkat, (4) kesalahan dalam melakukan operasi pemangkatan, (5) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (6) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap pembagian,

(7) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (8) kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu

bilangan, (9) kesulitan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (10) kesulitan memahami konsep bentuk akar dan konsep bentuk pangkat, (11) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, (12) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan, (13) kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real, (14) kesulitan dalam menjelaskan cara mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, (15) kesulitan dalam menjelaskan hasil penarikan akar suatu bilangan, dan (16) kesulitan dalam menjelaskan hasil pemangkatan bilangan real.


(18)

xvi ABSTRACT

Yunita Widyastuti. 2007. The Analysis of Difficulty and Error of Immanuel Kalasan Senior High School Students in Transforming Root Form into Rank Form of Logarithm Subject. Thesis. Study Program of Mathematics Education. Majors of Natural Sciences and Mathematics Education. Faculty of Education and Teachership. Sanata Dharma University.

This research aimed to identify errors and difficulties faced by Immanuel Kalasan Senior High School students class X in transforming root form into rank form in logarithm subject. This is a descriptive qualitative research conducted at Immanuel Kalasan Senior High School students during March 2007. The subjects of this research were 4 students class X. The data gathering methods used in this research were video recording and interview. The data analyzing method used in this research was descriptive qualitative which describes situation or actual fenomena status.

The results of this research were that the students were doing : (1) mistake in transforming root form into rank form, (2) mistake in comprehending rank form concept, (3) mistake in comprehending root form concept, (4) mistake in accomplishing ranking operation, (5) mistake in transforming numbers into rank form, (6) mistake in accomplishing algebra operation of division, (7) mistake in accomplishing algebra operation of logarithm form, (8) mistake in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number; and that they also found (9) difficulties in transforming root form into rank form, (10) difficulties in comprehending root from concept and rank form concept, (11) difficulties in accomplishing algebra operation of logarithm form, (12) difficulties in accomplishing algebra operation towards root pullouting of a number, (13) difficulties in accomplishing algebra operation in ranking real numbers, (14) difficulties in explaining how to transform root form into rank form, (15) difficulties in explaining the result of root pullouting of a number, and (16) difficulties in explaining the result of real numbers ranking.


(19)

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bukan merupakan suatu hal yang mengherankan lagi jika sebagian besar siswa SD sampai siswa SMU beranggapan bahwa Matematika adalah mata pelajaran yang paling sulit dan menakutkan. Matematika dilihat sebagai situasi yang membuat seseorang tampak dungu, tolol, dan canggung. Oleh karena itu, maka Matematika dianggap merupakan ancaman bagi seseorang yang merasa dirinya seorang yang pandai dan berkemampuan.

Berdasarkan anggapan di atas, hal tersebut dapat mempengaruhi hasil belajar siswa. Padahal, hasil belajar seseorang tidak hanya mengenai aspek kemampuan mengerti Matematika sebagai pengetahuan, tetapi juga meliputi aspek sikap terhadap Matematika dan aspek ketrampilan dalam Matematika.

Melihat kenyataan bahwa sampai sekarang masih banyak siswa yang mengalami kesulitan dalam belajar Matematika, kiranya perlu diketahui

selengkap mungkin aspek – aspek yang diduga mempunyai hubungan ( relevansi ) dengan pembelajaran Matematika agar aspek – aspek tersebut

dapat diperhatikan dalam proses pembelajaran siswa secara optimal, sehingga proses belajar siswa dapat berlangsung dengan lebih lancar dan siswa memperoleh manfaat yang sebesar mungkin dari kegiatan belajar tersebut ( Suwarsono, 1998 : 25 ).

Dari beberapa hal yang menjadi penyebab tidak berminatnya siswa terhadap mata pelajaran Matematika di atas, banyak siswa mengalami kesulitan dalam memahami materi yang disampaikan oleh guru. Kesalahan - kesalahan yang dibuat siswa dalam menyelesaikan soal - soal Matematika antara lain disebabkan oleh kecerobohan siswa dan kurangnya pemahaman siswa terhadap suatu konsep atau definisi atau teorema atau rumus yang harus digunakan.


(20)

Dari sedikit pengalaman penulis selama mengajar, penulis sering menjumpai siswa melakukan kesalahan dan kesulitan dalam menyelesaikan soal Matematika, ini disebabkan karena kurangnya pemahaman siswa terhadap soal yang diberikan sehingga menyebabkan siswa mengerjakan soal tidak sesuai dengan maksud soal tersebut. Selain itu disebabkan juga karena siswa kurang menguasai konsep-konsep dalam Matematika.

Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis tertarik untuk mengetahui kesalahan-kesalahan dan kesulitan-kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Penulis memilih mengetahui kesalahan - kesalahan dan kesulitan - kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat karena mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat merupakan langkah awal dalam menyelesaikan soal logaritma yang memuat bentuk akar.

Mengingat betapa pentingnya pemahaman terhadap materi pelajaran Matematika khususnya dalam hal menyelesaikan soal, maka penulis ingin menyusun skripsi dengan judul “ Analisis Kesalahan dan Kesulitan Siswa Kelas X SMA Immanuel Kalasan dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat pada Pokok Bahasan Logaritma “.

B. Rumusan Masalah

1. Kesalahan – kesalahan apa saja yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ?

2. Kesulitan – kesulitan apa saja yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma ?

C. Batasan Istilah

1. Kesalahan adalah hasil tindakan yang tidak tepat atau menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu.

2. Kesulitan adalah hambatan yang menyebabkan siswa tidak mampu menyelesaikan soal.


(21)

3. Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

4. Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

5. Bentuk pangkat bulat positif adalah jika a merupakan bilangan real ( a R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebihdari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.

6. Bentuk pangkat bulat negatif adalah misalkan a R dan a 0, maka a-n adalah kebalikan dari anatau sebaliknya.

a-n = atau an = a1−n

D. Tujuan Penelitian

1. Mendeskripsikan kesalahan – kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma.

2. Mendeskripsikan kesulitan – kesulitan yang dialami siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dalam pembelajaran materi logaritma.

E. Manfaat Penelitian 1. Bagi Siswa

Penelitian ini dapat membantu siswa mengetahui letak kesalahan dan kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma sehingga siswa dapat memperbaiki kesalahannya dan diharapkan tidak mengulangi kesalahan yang sama.


(22)

2. Bagi Penulis

Penelitian ini memberikan pengalaman dalam meningkatkan wawasan sebagai calon guru sehingga ketika terjun ke lapangan, peneliti dapat mempersiapkan metode – metode pembelajaran yang sesuai agar materi yang disampaikan dapat dipahami siswa sehingga dapat mengurangi kesalahan dan kesulitan dalam menentukan penyelesaian dari soal – soal Matematika.

3. Bagi Guru

Hasil penelitian ini diharapkan dapat membantu guru menyusun program remidi bagi siswa yang mengalami kesalahan dan kesulitan belajar Matematika, khususnya dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pokok bahasan logaritma. Dengan mengetahui kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengerjakan soal-soal bentuk akar pada pokok bahasan logaritma ini, guru akan lebih mudah membuat program bantuan untuk siswa.

F. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab I akan diuraikan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab II akan diuraikan mengenai hasil kajian pustaka yang relevan dengan permasalahan yang diangkat.

BAB III METODE PENELITIAN

Dalam bab III akan diuraikan mengenai jenis, waktu, tempat, subyek dan obyek penelitian, serta metode pengumpulan dan analisis data.

BAB IV ANALISIS DATA

Dalam bab IV akan diuraikan mengenai analisis data yang meliputi transkrip data, menentukan topik data kesalahan dan kesulitan


(23)

siswa, menentukan kategori data kesalahan dan kesulitan siswa. Kategori data disajikan dalam bentuk tabel dan diagram pohon. BAB V HASIL PENELITIAN

Dalam bab V penulis menyajikan hasil penelitian yang telah dilaksanakan. Akan diuraikan mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal.

BAB VI PEMBAHASAN HASIL PENELITIAN

Dalam bab VI akan diuraikan mengenai analisis terhadap cara penyelesaian soal siswa untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa.

BAB VII PENUTUP

Dalam bab VII akan diuraikan kesimpulan mengenai hasil yang diperoleh dari penelitian serta saran – saran yang dapat diberikan.


(24)

BAB II LANDASAN TEORI

A. Pengertian Kesalahan

Pengertian kesalahan secara umum adalah sesuatu yang menyimpang dari aturan atau norma – norma tertentu. Tindakan yang tidak tepat itu dapat mengakibatkan tujuan tidak tercapai secara maksimal atau bahkan gagal. Kesalahan dalam Matematika bisa berarti, sebagai pemahaman yang tidak tepat atau tidak rasional dalam mempelajari suatu masalah, sehingga banyak kesulitan yang dihadapi, bahkan masalah tidak dapat diselesaikan. Sebagai contoh, siswa salah dalam melakukan perhitungan atau salah di dalam menerapkan rumus untuk menentukan penyelesaian.

B. Kategori Jenis Kesalahan

Beberapa tokoh yang telah melakukan penelitian mengenai kesalahan dalam Matematika, diantaranya adalah :

1. Cox (1975) dari Pasifik Lutheran University, mengadakan penelitian tentang kesalahan - kesalahan dalam keterampilan berhitung terhadap kurang lebih 700 anak. Keterampilan berhitung ini oleh Cox, dibagi menjadi keterampilan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Siswa yang diikutsertakan dalam penelitian ini sudah mendapat pelajaran tentang algoritma dan trampil mengerjakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan algoritma. Dalam penelitiannya Cox mengajukan tiga kategori kesalahan, yaitu : a. Kesalahan Sistematis

Kesalahan sistematis lebih mengarah pada cara kerja siswa yang salah atau kurang tepat, di mana kesalahan yang dilakukan sama dan berulang pada beberapa soal lain.


(25)

b. Kesalahan Random

Kesalahan random adalah kesalahan yang dilakukan siswa dalam mengerjakan soal - soal Matematika dengan pola kesalahan yang berbeda.

c. Kesalahan Kecerobohan

Ketidaktelitian siswa dalam mengerjakan soal adalah hal yang sering kita jumpai dalam keseharian siswa. Ketidaktelitian ini merupakan kecerobohan siswa. Siswa yang termasuk dalam kategori ini dapat dilihat dari seberapa besar bobot kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Kalau bobot kesalahannya tidak terlalu besar atau bahkan sangat sedikit, maka kita dapat mengatakan bahwa kesalahan tersebut merupakan suatu kecerobohan.

2. Robert (1988) mengidentifikasi kategori kesalahan dalam studi kasus tentang penulisan hasil perhitungan siswa sebagai berikut:

a. Kesalahan Operasi

Kesalahan operasi sering terjadi pada siswa karena siswa berusaha untuk menjawab dengan melakukan operasi yang biasanya tidak dilakukan untuk menyelesaikan masalah.

b. Kesalahan Perhitungan

Kebiasaan salah menghitung sering terjadi pada siswa, bisa terjadi karena tergesa - gesa atau karena faktor kecerobohan yang lain. Pada kategori ini siswa sudah menerapkan operasi yang benar tetapi salah dalam menghitung bilangan sehingga jawabannya salah. Penggunaan algoritma yang tidak sempurna. Pada kategori ini siswa sudah menggunakan cara pengoperasian yang tepat, melakukan cara perhitungan yang benar, tetapi kesalahannya terletak pada langkah - langkah yang diambil.


(26)

c. Jawaban Acak

Tingkat kategori ini hampir sama dengan kesalahan kecerobohan yang dikategorikan oleh Cox. Tetapi kategori jawaban acak yang diklasifikasikan oleh Robert ini menekankan pada pekerjaan siswa yang sembarangan tanpa berfikir rasional. Siswa sama sekali tidak memperhatikan cara operasi mana yang dipakai, tidak melakukan penghitungan dengan benar, juga tidak menggunakan algoritma tertentu dalam menyelesaikan masalah, tetapi secara langsung menjawab, sehingga jawaban yang diberikan tidak ada hubungannya dengan masalah yang ditanyakan.

3. Hadar dkk (1987) mengemukakan kategori jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal - soal Matematika sebagai berikut :

a. Kesalahan data

Kategori ini merupakan kesalahan - kesalahan yang dapat dihubungkan dengan ketidaksesuaian antara data yang diketahui dengan data yang dikutip oleh siswa. Kategori ini meliputi kesalahan - kesalahan : 1) Menambahkan data yang tidak ada hubungannya dengan soal 2) Mengabaikan data penting yang diberikan

3) Menguraikan syarat - syarat (dalam pembuktian, penghitungan) yang sebenarnya tidak dibutuhkan dalam masalah

4) Mengartikan informasi tidak sesuai dengan teks yang sebenarnya 5) Mengganti syarat yang ditentukan dengan informasi lain yang tidak

sesuai

6) Menggunakan nilai suatu variabel untuk variabel yang lain 7) Salah menyalin data


(27)

b. Kesalahan menginterpretasikan bahasa Yang termasuk dalam kategori ini adalah :

1) Mengubah bahasa sehari-hari ke dalam bentuk persamaan Matematika dengan arti yang berbeda

2) Menuliskan simbol dari suatu konsep yang artinya berbeda 3) Salah mengartikan grafik

c. Kesalahan menggunakan logika untuk menarik kesimpulan

Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan - kesalahan di dalam menarik kesimpulan dari suatu bentuk informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya yaitu :

1) Dari pernyataan bentuk implikasi p Ö q, siswa menarik kesimpulan sebagai berikut :

a) bila q diketahui terjadi, maka p pasti terjadi b) bila p diketahui salah, maka q juga pasti salah

2) Mengambil kesimpulan yang tidak benar, misalnya memberikan q sebagai akibat dari p tanpa dapat menjelaskan urutan pembuktian yang betul.

d. Kesalahan menggunakan definisi atau teorema

Kesalahan ini merupakan penyimpangan dari prinsip, aturan, teorema atau definisi yang pokok dan khas.

e. Penyelesaiannya tidak diperiksa kembali

Kesalahan ini terjadi pada setiap langkah yang ditempuh oleh siswa benar, akan tetapi hasil terakhir yang diberikan bukan penyelesaian dari soal tersebut.

f. Kesalahan teknis

Yang termasuk dalam kategori ini adalah kesalahan perhitungan dan kesalahan dalam memanipulasi simbol - simbol aljabar dasar.


(28)

C. Faktor Penyebab Kesalahan

Secara umum kesalahan dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok besar, yaitu faktor kognitif dan faktor non kognitif. Akan tetapi, penulis hanya akan membahas faktor-faktor kognitif saja.

Faktor kognitif adalah segala sesuatu yang berhubungan dengan kemampuan intelektual siswa dalam memproses atau mencerna materi Matematika ke dalam pikiran (Suwarsono,1982).

Marpaung (1986), mengatakan kognitif adalah sesuatu yang bersifat internal, sesuatu yang tidak dapat diamati secara langsung. Marpaung mengatakan kognitif berarti proses dalam pikiran seseorang (tidak dapat diamati secara langsung tetapi dapat diteliti dengan menyusun model-model dengan menggunakan kemampuan interpretasi terhadap data yang dikumpulkan melalui cara - cara atau metode tertentu) dari saat menerima data, mengolahnya lalu menyimpan dalam bentuk informasi di dalam ingatan dan memanggilnya kembali saat dibutuhkan dalam rangka pengolahan selanjutnya.

Banyak siswa tidak dapat memahami dengan baik Matematika karena mempunyai kemampuan mental yang kurang. Menurut Marpaung, ada 9 kemampuan mental yang hendaknya dikuasai siswa yaitu :

1. Kemampuan Membandingkan

Kemampuan membandingkan adalah kemampuan untuk melihat kesamaan atau perbedaan masalah - masalah Matematika yang dihadapi.

2. Kemampuan Mengatur

Kemampuan mengatur adalah kemampuan untuk mentaati aturan - aturan yang ada dalam Matematika.

3. Kemampuan melakukan Abstraksi

Kemampuan melakukan abstraksi adalah kemampuan melihat kesamaan pokok dan mengabaikan perbedaan - perbedaan atau sifat - sifat yang tidak mendasar. Untuk mencapai kemampuan ini siswa harus mempunyai tingkat operasional formal tentang pendewasaan mental. Jika


(29)

seorang anak gagal melakukan pendewasaan mental, kemungkinan anak akan banyak mengalami masalah dalam pemahaman konsep - konsep Matematika secara umum.

4. Generalisasi

Generalisasi adalah suatu proses memperoleh sifat yang sama yang dimiliki oleh sejumlah obyek berdasarkan pengamatan terhadap himpunan bagian dari obyek tersebut. Dalam konteks sehari-hari, generalisasi sering diartikan sebagai kemampuan seseorang untuk menarik kesimpulan dari khusus ke umum.

5. Kemampuan Klasifikasi

Kemampuan klasifikasi adalah kemampuan menggolongkan obyek atau menetapkan hubungan antarkelas.

6. Kemampuan Konkritisasi atau Partikulasi

Kemampuan konkritisasi atau partikulasi adalah kemampuan mentransfer atau mengaplikasikan prinsip umum atas hal - hal khusus.

7. Kemampuan Formalisasi

Kemampuan formalisasi adalah kemampuan untuk melihat bentuk dan berfikir secara formal dan menghilangkan makna atau konteks untuk memperoleh sesuatu yang lebih abstrak.

8. Kemampuan Analogisasi

Kemampuan analogisasi adalah kemampuan untuk melihat hubungan yang sama atau sifat yang sama dalam dua situasi yang berbeda. 9. Kemampuan Representasi

Kemampuan representasi meliputi kemampuan untuk merepresentasikan ide - ide dalam berbagai modus dan bentuk representasi enaktif, ikonik dan simbolik. Modus enaktif adalah salah satu cara merepresentasikan ide atau pengetahuannya melalui aktivitas, perbuatan dan benda - benda konkret. Merepresentasikan ide dalam modus ikonik dapat diwujudkan melalui gambar, skema, bagan, grafik, dan sejenisnya. Sedangkan


(30)

representasi dalam modus simbolik dilakukan melalui lambang - lambang atau simbol - simbol.

Dari sembilan kemampuan yang harus dimiliki siswa dalam memahami Matematika, nampak bahwa diperlukan kemampuan intelektual yang cukup untuk dapat memenuhi kemampuan - kemampuan tersebut. Apabila seseorang mempunyai kemampuan intelektual terbatas, sehingga lamban dalam memahami Matematika, dapat terjadi kemungkinan kemampuan - kemampuan mental yang seharusnya dikuasai menjadi tidak dikuasai sehingga menjadi penyebab kesalahan sering terjadi pada siswa.

D. Pengertian Kesulitan Belajar

Kesulitan belajar tidak selalu disebabkan oleh faktor intelegensi yang

rendah (kelainan mental), akan tetapi dapat juga disebabkan oleh faktor - faktor non intelegensi. Oleh karena itu, IQ yang tinggi belum tentu menjamin keberhasilan belajar. Abu Ahmadi dan Widodo Supriyono (1991) mendefinisikan kesulitan belajar adalah keadaan yang dialami anak didik atau siswa yang tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Kesulitan belajar yang dialami mengakibatkan terganggunya atau terhambatnya proses belajar dan pencapaian tujuan pendidikan sekolah itu.

Habbiburrahman (1981) menghubungkan pengertian kesulitan belajar dengan kegagalan belajar, dimana kegagalan belajar tersebut dapat dilihat dari prestasi belajar yang rendah. Menurut pendidikan modern, tidak selamanya siswa yang mengalami kegagalan belajar disebabkan oleh kesulitan belajar. Habbiburrahman mendefinisikan kesulitan belajar siswa adalah suatu keadaan apabila hasil belajar tidak sesuai atau lebih rendah dari kemampuan belajar yang dimilikinya.


(31)

E. Faktor Penyebab Kesulitan Belajar

Menurut Burton, faktor - faktor penyebab timbulnya kesulitan belajar dikelompokkan menjadi 2 macam yaitu :

1. Faktor - faktor yang terdapat dalam diri siswa, antara lain : a. Kelemahan secara fisik, seperti :

1) Suatu pusat susunan syaraf tidak berkembang secara sempurna, luka atau cacat, atau sakit, sehingga membawa gangguan emosional.

2) Penyakit menahun (seperti asma) menghambat usaha - usaha belajar secara optimal.

b. Kelemahan - kelemahan secara mental (sejak lahir atau karena pengalaman) yang sukar diatasi oleh individu yang bersangkutan dan juga oleh pendidikan, antara lain :

1) Kelemahan mental ( taraf kecerdasan kurang )

2) Faktor - faktor afektif yang kurang optimal, seperti kekurangan minat, kebimbangan, kurang usaha, kurang semangat, cara belajar yang keliru dan lain - lain

c. Gangguan - gangguan emosional, antara lain : 1) Adanya rasa tidak aman

2) Penyesuaian yang salah terhadap orang - orang, situasi dan tuntutan tugas dan lingkungan

3) Tercekam rasa phobia ( takut, benci dan anti pati )

d. Tidak memiliki ketrampilan - ketrampilan dan pengetahuan dasar yang diperlukan seperti : ketidakmampuan membaca, berhitung, kurang menguasai pengetahuan dasar untuk sesuatu bidang studi yang sedang diikutinya, kurang menguasai bahasa asing yang diperlukan. 2. Faktor-faktor yang terletak di luar diri siswa (situasi sekolah, keluarga dan

masyarakat) antara lain :

a. Kurikulum yang kurang sesuai dengan kondisi siswa, bahan dan buku - buku (sumber) yang tidak sesuai dengan tingkat - tingkat kematangan dan perbedaan - perbedaan individu.


(32)

b. Ketidaksesuaian standar administratif (sistem pengajaran, penilaian, pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar), dan sebagainya.

c. Terlalu berat beban belajar (siswa) dan atau mengajar (guru), terlampau besar populasi siswa dalam kelas, terlalu berat menuntut kegiatan di luar, dan sebagainya.

d. Terlalu sering pindah sekolah, tinggal kelas, dan sebagainya.

e. Kelemahan dari sistem belajar mengajar pada tingkat - tingkat pendidikan sebelumnya.

f. Kelemahan yang terdapat pada kondisi rumah tangga (pendidikan, status sosial ekonomi, keutuhan keluarga, ketentraman dan keamanan sosial psikologis).

g. Terlalu banyak kegiatan di luar jam pelajaran sekolah atau terlalu banyak terlibat dalam kegiatan ekstra kurikuler.

h. Kekurangan makan (gizi) dan sebagainya.

F. Gejala - Gejala Kesulitan Belajar

Murid yang mengalami kesulitan belajar memiliki hambatan - hambatan sehingga menampakkan gejala - gejala yang dapat

diamati oleh orang lain (guru atau pembimbing). Beberapa gejala yang dapat menimbulkan kesulitan belajar menurut Abu Ahmadi (1991) adalah :

1. Menunjukkan prestasi yang rendah atau di bawah rata - rata yang dicapai oleh kelompok kelas.

2. Hasil yang dicapai tidak seimbang dengan usaha yang dilakukan.

3. Lamban dalam melakukan tugas - tugas belajar, seperti dalam mengerjakan soal - soal, dalam menyelesaikan tugas - tugas, dan sebagainya.

4. Menunjukkan sikap yang kurang wajar seperti acuh tak acuh, berpura - pura, dusta dan lain - lain.

5. Menunjukkan tingkah laku yang berlainan, misalnya mudah tersinggung, murung, pemarah, bingung, cemberut, kurang gembira, atau selalu sedih.


(33)

G. Bentuk Pangkat

1.Definisi Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan real ( a R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a dipangkatkan dengan n ( = an ) ditetapkan sebagai perkalian n faktor dengan tiap faktornya adalah a.

Definisi ini dituliskan secara sederhana sebagai : an = a × a × a × … × a × a × a

n buah faktor

dimana a disebut bilangan pokok atau basis dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen.

Contoh :

a. Perkalian berulang 2 × 2 × 2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23.

Jadi, 2 × 2 × 2 = 23.

b. Perkalian berulang 4 × 4 × 4 × 4 × 4 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 45.

Jadi, 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45.

Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a disebut bilangan pokok dan n ( bilangan asli > 1 ) disebut pangkat atau eksponen.

Definisi :

Jika n = 1, maka an = a1 dan ditetapkan a1 = a Jika n = 0, maka an = a0

Untuk a ≠0, maka a0 = 1

Untuk a = 0, maka 00 tidak terdefinisi 2. Definisi Pangkat Bulat Negatif

Konsep bilangan pangkat bulat negatif didefinisikan sebagai berikut : misalkan a R dan a 0, maka a-nadalah kebalikan dari anatau sebaliknya.

a-n = an

1 atau an =

n a


(34)

H. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Bentuk Akar

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ba, dengan a merupakan bilangan real dan b 0.

Beberapa contoh bilangan rasional adalah 41, 7 2,

4 3,

9

15, dan sebagainya. Sedangkan, bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ba. Beberapa contoh bilangan irrasional adalah

3 , 5 , 7 , 10 , 3 6 , dan sebagainya.

Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional. Tanda bentuk akar adalah “ “. Akan tetapi, tanda akar pada sebuah bilangan tidak menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar, karena ada bilangan yang dituliskan dengan tanda akar hasilnya merupakan bilangan rasional.

Contoh :

1) 4 = 2 ( bilangan rasional ) 2) 9 = 3 ( bilangan rasional ) 3) 16 = 4 ( bilangan rasional )

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Beberapa bentuk akar seperti 8 , 12, dan 18 dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana, yaitu dengan cara menyatakan bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan, dimana salah satu di antara kedua bilangan itu harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Sebagai contoh :

1) 8 = 4×2 = 4 × 2 = 2 2

2) 12 = 4×3 = 4 × 3 = 2 3 3) 18 = 9×2 = 9 × 2 = 3 2


(35)

Jadi, untuk menyederhanakan bentuk akar dapat menggunakan sifat sebagai berikut .

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku : b

a× = a × b

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan : a c + b c = ( a + b ) c

dan

a c - b c = ( a - b ) c Contoh :

i. 4 2 + 3 2 = ( 4 + 3 ) 2 = 7 2

ii. 7 5 - 4 5 = ( 7 – 4 ) 5 = 3 5 b. PerkalianBentuk Akar

Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan sifat a × b = a×bdengan a dan b masing – masing bilangan positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menentukan hasil kali bilangan bentuk akar.

Contoh :

i. 3 × 5 = 3×5 = 15

ii. 2 × 12 = 2×12 = 24 = 2 6 c. Menarik Akar Kuadrat

Jika a dan b merupakan bilangan – bilangan rasional ≥ 0, maka bentuk (a+b)+2 ab dan (a+b)−2 ab dapat dituliskan sebagai (

a + b) dan ( a - b). Pengerjaan seperti itu dinamakan menarik akar kuadrat.


(36)

Perhatikan perkalian – perkalian berikut :

i. ( a + b)2 = ( a)2 + 2( a)( b) + ( b )2 = a + 2 ab + b

= ( a + b ) + 2 ab

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :

(a+b)+2 ab = ( a + b)

ii. ( a - b)2 = ( a)2 - 2( a)( b ) + ( b)2 = a - 2 ab + b

= ( a + b ) - 2 ab

Bila kedua ruas ditarik akar kuadrat, kemudian dilakukan perpindahan ruas maka diperoleh :

(a+b)−2 ab = ( a - b ) Contoh :

i. 5+2 6 = (3+2)+2 3.2

= 3 + 2

ii. 8−2 12 = (6+2)−2 6.2

= 6 - 2

d. Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

Bagian penyebut sebuah pecahan dapat berbentuk akar. Pecahan , ,

5 10 , dan

2 7 15

+ adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya

berbentuk akar. Penyebut – penyebut pecahan itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung pada bentuk pecahan itu.

2 3

3 12


(37)

1) Pecahan Berbentuk ab

Pecahan

b

a (a bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar),

bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan itu dengan

b

b, sehingga pecahan tersebut menjadi :

b a =

b a ×

b b =

b b a Contoh : 3 12 = 3 12 × 3 3 = 3 3 3 12 × × = 3 3 12

= 4 3

2) Pecahan Berbentuk

b a

c

+ atau a b c

Perhatikan pasangan bilangan ( a + b) dan ( a - b ) dengan a dan b bilangan rasional dan b merupakan bentuk akar. Hasil kali pasangan bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan sifat distributif sebagai berikut :

( a + b ) ( a - b ) = a ( a - b ) + b( a - b ) = a2 - a b+ a b- b

= a2 – b

Oleh karena a dan b bilangan rasional, maka hasil kali ( a + b ) dan ( a - b) merupakan bilangan rasional. Pasangan bilangan ( a + b) dan ( a - b ) disebut bentuk – bentuk akar sekawan atau dikatakan ( a + b ) kawandari ( a - b) dan sebaliknya.

Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk – bentuk akar sekawan, penyebut pecahan yang berbentuk

b a

c

+ atau a b c

− dapat


(38)

1. Untuk pecahan acb

+ diubah menjadi :

b a

c

+ = a b

c

+ × a b

b a − − = b a b a c − − 2 ) (

2. Untuk pecahan

b a

c

− diubah menjadi :

b a

c

− = a b c

− × a b b a + + = b a b a c − + 2 ) ( Contoh : i. 1 2 2

+ = 2 1

2

+ × 2 1

1 2 − − = 1 2 ) 1 2 ( 2 − − = 2 ( 2 - 1 )

ii.

2 3

3

− = 3 2

3

− × 3 2

2 3 + + = 1 2 ) 2 3 ( 3 − + = - (3 + 2 3 ) 3) Pecahan Berbentuk ac b

+ atau a b c

Penyebut pecahan yang berbentuk

b a

c

± dapat dirasionalkan

dengan menggunakan manipulasi aljabar yang hampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk ac b

± .

1. Untuk pecahan ac b

+ pembilang dan penyebut dikalikan dengan (

a - b), menjadi :

b a

c

+ = a b

c

+ × a b

b a − − = b a b a c − − ) (

2. Untuk pecahan

b a

c

− pembilang dan penyebut dikalikan dengan (

a + b), menjadi :

b a

c

− = a b

c

− × a b

b a + + = b a b a c − + ) (


(39)

Contoh :

i.

2 3

3

+ = 3 2 3

+ × 3 2

2 3 − − = 2 3 ) 2 3 ( 3 − −

= 3 ( 3− 2) ii.

3 5

5

− = 5 3 5

− × 5 3

3 5 + + = 3 5 ) 3 5 ( 5 − + = 2 1

(2+ 15)

4. Pangkat Pecahan

Bilangan pecah adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk mn, m dan n adalah bilangan – bilangan bulat, dengan n 0 dan n

bukan faktor dari m.

Dengan demikian, bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi sebagai :

an m

dengan a bilangan real dan a≠ 0 a) Pangkat Pecahan an

1

, dengan n≠ 0

Perhatikan kembali manipulasi aljabar pada proses penarikan akar berikut :

a. Jika b2 = a, maka b2 = a atau b = a, dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0 b. Jika b3= a, maka 3 b3 = 3 a atau b = 3 a, dengan a 0 dan b 0 c. Jika bn = a, maka n bn =n a atau b = n a, dengan a 0 dan b 0


(40)

Berdasarkan proses penarikan akar di atas, akar pangkat n dari suatu bilangan a dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan – bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.

Untuk n = 2, maka b = 2 a= a dibaca sebagai akar kuadrat dari a.

Untuk n = 3, maka b = 3 a dibaca sebagai akar kubik dari a atau akar pangkat tiga dari a.

Untuk n = n, maka b = n a dibaca sebagai akar pangkat n dari a.

Teknis perhitungan n a ditentukan melalui kaidah berikut ini :

a. Jika a positif, maka hanya dipilih sebuah bilangan positif b sehingga berlaku bn = a.

Misalnya :

416 , a = +16 dan n = 4

Bilangan b = +2 berlaku hubungan 24 = 16, sehingga 416 = 2. Untuk b = -2, juga berlaku ( -2 )4 = 16, tetapi 416 = -2.

b. Jika a negatif dan n ganjil, maka ada sebuah bilangan negatif b sehingga berlaku bn = a.

Misalnya :

1) 3 −8 = -2, a = -8 dan n = 3

Bilangan b = -2 berlaku hubungan ( -2 )3 = -8, sehingga 3 −8= -2. 2) 4 −16= -2, a = -16 dan n = 4

Tidak ada bilangan real b yang apabila dipangkatkan 4 hasilnya (-16 ). Jadi, 4 −16 bukan bilangan real.

Sehingga nilai bilangan b = n a dapat ditetapkan dengan menggunakan kaidah

atau aturan sebagai berikut : 1. Jika a > 0, maka n a 0

2. Jika a < 0 dan ganjil, maka n a < 0


(41)

Hubungan n a dengan an

1 :

1) Misalkan a = ap, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh : ( a)2 = ( ap )2

a = a2p ⇔ 1 = 2p

p =

2 1

Jadi, a = a2 1 . 2) Misalkan 3 a = ap

, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh : (3 a)3

= ( ap )3a = a3p ⇔ 1 = 3p

p =

3 1

Jadi, 3 a = a3 1 . 3) Misalkan n a = ap

, kedua ruas persamaan dikuadratkan, maka diperoleh : (n a)n

= ( ap )na = anp ⇔ 1 = np p =

n 1

Jadi, n a = an

1 .

Sehingga pangkat pecahan an

1

dapat didefinisikan sebagai berikut : Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka pangkat pecahan an

1

sama dengan akar pangkat n dari bilangan a : an

1

= n a


(42)

b) Pangkat Pecahan an m

an m

=

(

an

1

)

m

, menggunakan sifat pangkat bulat positif ⇔an

m

=

(

n a

)

m

, menggunakan definisi pangkat pecahan an

1

= n a

an m

= n am , menggunakan sifat perkalian bentuk akar

Dengan demikian, pangkat pecahan an m

dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan a bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan asli ≥ 2, maka pangkat pecahan an

m

sama dengan akar pangkat n dari bilangan am.

I. Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Pada definisi perpangkatan, bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Jika bilangan pokok dan pangkat sudah ditetapkan, maka nilai dari bilangan berpangkat itu dapat segera ditentukan.

Contoh : 1) 23 = 8 2) 252

1

= ( 52 ) 2 1

= 5

3) 102 = 100, dan seterusnya.

Jika persoalannya dibalik, yaitu apabila bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat sudah diketahui, maka pangkat dari bilangan pokok itu juga dapat ditentukan.

Contoh :

1) 2... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Pangkat itu sama dengan 4.

2) 9... = 3, mencari pangkat dari bilangan 9 yang hasilnya 3.

Pangkat itu sama dengan 2 1

.


(43)

Pangkat itu sama dengan 3, demikian seterusnya.

Persoalan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatannya sudah diketahui seperti di atas, dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma ( disingkat log ) sebagai berikut :

a. 2... = 16, ditulis 2

log 16 = … dan nilai 2log 16 = 4.

b. 9... = 3, ditulis 9

log 3 = … dan nilai 9log 3 = 2 1

.

c. 10... = 1000, ditulis 10log 1000 = … dan nilai 10log 1000 = 3.

Jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Berdasarkan uraian di atas, logaritma suatu bilangan dapat didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yangtidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ).

Untuk a > 0, maka : g

log a = x jika dan hanya jika gx = a Keterangan :

1) g disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan 0 < g < 1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1 ).

a) Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi, 10log 2 ditulis log 2.

b) Jika g = e ( e ≈ 2,7128… ) maka elog a ditulis sebagai ln a ( dibaca : logaritma natural dari a ), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.

2) a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan a > 0.

3) x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.

4) Bentuk gx = a dan x = glog a merupakan pernyataan yang ekuivalen ( setara ), gx = a disebut eksponensial dan x = glog a disebut bentuk logaritmik dalam hubungan itu.


(44)

2. Sifat – sifat pokok logaritma : 1) glog gn = n

2) glog g = 1 3) glog 1 = 0

3. Sifat – sifat logaritma :

1) Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis :

glog ( a × b ) = glog a + glog b

2) Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing – masing bilangan itu, ditulis :

g log (

b a

) = glog a - glog b

3) Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, ditulis :

g

log an = n × glog a

4) Mengubah bilangan pokok logaritma :

g

log a = g a p p

log log

Jika p = a, maka : glog a = g a

log 1

5) Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat – sifat yang terdahulu : a) glog a × alog b = glog b

b) gnlog am = n m g

log a

c) gnlog an = glog a

6) Sifat 6 adalah perluasan dari definisi logaritma : ggloga = a


(45)

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Metode Penelitian

Pada penelitian ini, penulis menggunakan penelitian dengan pendekatan deskriptif kualitatif yaitu penelitian yang menghasilkan data deskripsi yang berupa kata – kata tertulis maupun lisan dari orang atau perilaku yang sedang diamati. Penelitian deskriptif bertujuan untuk mendeskripsikan atau menggambarkan keadaan atau fenomena sebenarnya yang ada di lapangan.

B. Subyek dan Obyek Penelitian

Subyek dalam penelitian ini adalah 4 orang siswa kelas X SMA Immanuel Kalasan. Keempat subyek tersebut dipilih karena hasil pekerjaan keempat subyek paling rendah di antara subyek – subyek lainnya. Keempat subyek tersebut adalah :

1. Nama : Livi ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun

Alamat : Kaliajir Lor RT 03 / RW 02, Kalitirto, Berbah, Sleman Anak ke : 1 ( satu )

Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : D3 / Swasta Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SMP / Swasta

2. Nama : Martha ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun

Alamat : Juwangen RT 04 / RW 01 No. 50 Anak ke : 1 ( satu )

Jumlah Saudara Kandung : 4 ( empat ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Buruh

Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Ibu rumah tangga


(46)

3. Nama : Nuno ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 17 tahun

Alamat : Sumber Lor RT 05 / RW 28, Kalitirto, Berbah, Sleman Anak ke : 2 ( dua )

Jumlah Saudara Kandung : 1 ( satu )

Pendidikan / Pekerjaan Ayah : STh / Guru Kesenian Pendidikan / Pekerjaan Ibu : STh / Pendeta

4. Nama : Renata ( bukan nama sebenarnya ) Umur : 16 tahun

Alamat : Kadirojo RT 08 / RW 02, Purwomartani, Sleman Anak ke : 3 ( tiga )

Jumlah Saudara Kandung : 2 ( dua ) Pendidikan / Pekerjaan Ayah : SD / Petani Pendidikan / Pekerjaan Ibu : SD / Petani

Keempat subyek menyelesaikan soal yang diberikan oleh peneliti dan peneliti melakukan wawancara terhadap siswa untuk mencari informasi mengenai kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma. Sedangkan obyek penelitian ini adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.

SMA Immanuel adalah sekolah status swasta dan terakreditasi B yang terletak 15 km dari pusat kota Yogyakarta. Profil SMA Immanuel adalah sebagai berikut :

1. Nama Sekolah : SMA Immanuel 2. No. Statistik : 302040215043

3. Alamat : Gampar, Tamanmartani Kecamatan : Kalasan

Kabupaten : Sleman

Propinsi : Daerah Istimewa Yogyakarta Kode Pos : 55571


(47)

5. Nama Yayasan : Yayasan Immanuel Indonesia 6. Nomor Akte : 29

7. Tahun Berdiri : 1979 8. Luas Tanah : 1500 m2 9. Luas Bangunan : 1000 m2

C. Teknik Pengumpulan Data

Pengumpulan data dilakukan melalui proses wawancara terhadap subyek penelitian di dalam kelas yang dilakukan dengan perekaman video ( menggunakan alat bantu handycam ) dan kegiatan wawancara.

1. Video Rekaman

Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan pengamatan menggunakan handycam untuk merekam kegiatan siswa dalam menyelesaikan soal logaritma terutama dalam hal mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

2. Wawancara

Merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara melakukan tanya jawab secara langsung terhadap para siswa, terutama mengenai hal – hal yang terkait dalam menyelesaikan soal.

D. Instrumen Penelitian

Dalam penelitian ini, instrumen yang digunakan yaitu instrumen untuk menggali kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat meliputi pembuatan LKS dan pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan untuk melakukan wawancara.

1. Lembar Kerja Siswa

Lembar kerja siswa digunakan sebagai persoalan yang harus ditentukan penyelesaiannya oleh siswa. Lembar kerja siswa terdiri dari 4 buah soal mengenai logaritma. Setiap siswa diberi kesempatan untuk menyelesaikan soal dengan caranya masing – masing yang dilanjutkan


(48)

dengan wawancara tentang cara penyelesaian soal. Soal – soal tersebut adalah :

Nyatakan tiap bentuk logaritma di bawah ini dengan memakai notasi eksponen dan tentukan nilai tiap logaritma tersebut !

1. Log 100 Penyelesaian :

2. 2Log 8 Penyelesaian :

3. 3Log 3 27 Penyelesaian :

4. 4Log 64 Penyelesaian :

2. Pertanyaan untuk Melakukan Wawancara

Pertanyaan – pertanyaan yang akan diajukan meliputi : (1) alasan siswa menentukan penyelesaian soal dengan cara yang digunakannya, (2) dari mana penyelesaian tersebut berasal, dan (3) apakah ada penyelesaian yang lain untuk menjawab soal tersebut. Dengan mengajukan pertanyaan – pertanyaan tersebut kepada siswa, maka dapat diperoleh informasi yang berkaitan dengan kesalahan dan kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal.


(49)

E. Teknik Analisis Data

Analisis data dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :

1. Transkripsi data rekaman video yakni data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci.

2. Menentukan topik data yakni rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti.

3. Menentukan kategori – kategori data yakni gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama dalam sekelompok topik data.

4. Penarikan kesimpulan, yaitu kategori data – kategori data yang diperoleh diubah sehingga diperoleh suatu kesimpulan dari data tersebut.

Dalam menentukan kesalahan dan kesulitan siswa, peneliti melakukan tes sacara klasikal terhadap seluruh siswa kelas 1. Selanjutnya, peneliti melakukan koreksi terhadap hasil pekerjaan siswa. Dari hasil koreksi tersebut peneliti menemukan berbagai kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal, sehingga dapat ditentukan kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk ara menjadi bentuk pangkat.


(50)

BAB IV ANALISIS DATA

A. Hasil Observasi

Penelitian dilakukan tanggal 6 sampai dengan tanggal 10 Maret 2007 dengan subyek 4 orang siswa kelas X SMA. Data berupa cara siswa menyelesaikan soal yang telah direkam menggunakan handycam. Perekaman bertujuan untuk mengetahui kesalahan dan kesulitan yang dialami siswa selama menyelesaikan soal tersebut.

B. Transkripsi Data

Transkripsi data yaitu data yang diperoleh dari lapangan ditulis dalam bentuk uraian atau laporan terperinci. Transkripsi data menghasilkan transkrip data yang disajikan dalam bentuk dialog antara peneliti dengan subyek penelitian.

C. Topik Data

Topik data adalah rangkuman bagian data yang mengandung makna yang sedang diteliti. Dalam penelitian ini, makna yang diteliti adalah kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat. Berikut disajikan topik data – topik data kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma.


(51)

Tabel 1. Topik Data Kesalahan Subyek Livi

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KH 1. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 256 pada soal

4

log 256 menjadi 4log 256 = 4log 2564, diperoleh dengan cara menghilangkan tanda akar pada 256dan mengganti dengan bilangan 2564.

(1/5), (1/7-8)

2 KH 1. 2 Kesalahan dalam mengubah bilangan bulat

menjadi bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu : 4log 16 = 4log 44, dengan cara mengubah

bilangan 16 menjadi 44 yang diperoleh dari

44 = 4×4 = 16.

(1/7-8)

3 KH 1. 3 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(1/33-34), (1/49-150)

4 KH 1. 4 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 8 = 84, diperoleh dari setengah dari 8 adalah 4, sehingga 8 = 84.

(1/33), (1/39-40), (1/42)

5 KH 1. 5 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real

dengan bilangan bulat, yaitu : 82 = 16, diperoleh dengan cara mengalikan bilangan pokok dengan pangkat bilangannya yaitu 82 = 8 × 2 = 16.

(1/51-52)

6 KH 1. 6 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar

bilangan real, yaitu : 8 = 4 diperoleh dengan cara membagi dua bilangan 8 sehingga menghasilkan bilangan 4.

(1/49), (1/56)

7 KH 1. 7 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap

hasil penarikan akar bilangan real, yaitu :

menjelaskan 8 = 4 dan 16 = 4, yang

diperoleh berdasarkan penjelasan siswa bahwa setengah dari 16 adalah 8 dan setengah dari 8 adalah 4, maka 8 = 16 = 4.

(1/57-64)

8 KH 1. 8 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 16 = 164, yang

diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(1/65-66)

9 KH 1. 9 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 16 = 160, yang


(52)

diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 0.

10 KH 1. 10 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real

dengan bilangan nol, yaitu : 160 = 16 diperoleh dengan cara mengalikan 16 dengan 0 dimana hasil kali 16 dengan 0 adalah tetap 16.

(1/73-74)

11 KH 1. 11 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 64 = 44 yang diperoleh

berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(1/89), (1/91-94)

12 KH 1. 12 Kesalahan dalam menyatakan argumen terhadap

perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : hilangnya tanda akar pada bilangan 64

diakibatkan karena tanda akar tersebut jika diubah menjadi bentuk pangkat akan menjadi 44.

(1/89), (1/94-96)

13 KH 1. 13 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : a = a4, yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(1/101-102)

14 KH 1. 14 Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada

bentuk logaritma, yaitu : 4log 64 = 4log 4 = 4log 4 = 1, kemudian mengubah jawabannya menjadi : 4 . 4log 4 = 4 . 1 = 4.

(1/105), (1/107-110)

15 KH 1. 15 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 9 = 92 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(1/117-118)

16 KH 1. 16 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : menjelaskan 94

1

= 3 karena setengahnya 9 hasilnya 6 dan seperempatnya 9 hasilnya 3.

(1/119-120)

17 KH 1. 17 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 9 = 93 1

diperoleh dari pemahaman siswa bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat bilangan 32.

(1/117), (1/124-126)

18 KH 1.18 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real

denagan bilangan pecahan, yaitu : 93 1

= 3 yang diperoleh dari 93

1

artinya

3 1

dari 9 adalah 3.

(1/119-120), (1/124)


(53)

19 KH 1. 19 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : 93

1

= 3 karena 9 dibagi

3 1

= 3.

(1/127-130)

20 KH 1. 20 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 16 = 164 1

diperoleh dengan cara 16= 4 dan 4 merupakan

4 1

bagian dari 16 sehingga 16 = 164

1

.

(1/131-132)

21 KH 1. 21 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : 164

1

= 4 karena 16 dibagi

4 1

= 4.

(1/133-136)

22 KH 1. 22 Kesalahan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : “ bahwa akar dari setiap bilangan yang berbeda, artinya juga berbeda “.

(1/141-142)

23 KH 1. 23 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 33 diperoleh dari

3 27hasilnya adalah 3 dan pangkat 3 pada tanda

akar adalah tetap sehingga 3 27 = 33.

(1/143-144)

24 KH 1. 24 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : 273

1

= 3 diperoleh dari 27 dibagi

3 1

= 3.

(1/159-160)

Tabel 2. Topik Data Kesalahan Subyek Martha

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KH 2. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 273 diperoleh dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar ke bilangan 27, sehingga bilangan 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari bilangan 27.

(2/9-10)

2 KH 2. 2 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.


(54)

3 KH 2. 3 Kesalahan dalam memangkatkan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dengan cara mengalikan 4 dengan 2 sehingga menghasilkan 8.

(2/31-32)

4 KH 2.4 Kesalahan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat, yaitu : 42 = 8 diperoleh dari 4 × 2 = 8.

(2/37-42)

5 KH 2. 5 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 4 = 44 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 4.

(2/45-46), (2/59-60)

Tabel 3. Topik Data Kesalahan Subyek Nuno

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KH 3. 1 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 100 = 1002 yang

diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(3/6-7), (3/10), (3/15-16)

2 KH 3. 2 Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 4 = 42 yang diperoleh berdasarkan pengertian siswa tentang tanda akar yaitu tanda akar sama artinya dengan pangkat 2.

(3/31-32)

3 KH 3. 3 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat

suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.

(3/39), (3/41), (3/44)

4 KH 3. 4 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar

bilangan real, yaitu : 1= tidak terdefinisi.

(3/45-48)

Tabel 4. Topik Data Kesalahan Subyek Renata

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KH 4. 1 Kesalahan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu : 64 = 8 × 8 = 64.

(4/11-14), (4/17-18) 2 KH 4. 2 Kesalahan dalam menginterpretasikan pangkat suatu

bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : siswa berpendapat bahwa bilangan pangkat yang berbentuk pecahan adalah tidak ada.


(55)

Tabel 5. Topik Data Kesulitan Subyek Livi

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 1. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan

4

log 256= … .

(1/5-6)

2 KS 1. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 256 = ( 256 )....

(1/9-12)

3 KS 1. 3 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menentukan penyelesaian

4

log 44 dan 4log 4 .

(1/17), (1/19-20), (1/23-24)

4 KS 1. 4 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 38 = 8....

(1/28-32)

5 KS 1. 5 Kesulitan dalam menginterpretasikan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 8 = 82.

(1/35), (1/37-38)

6 KS 1. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 16 = 4.

(1/43), (1/45-46)

7 KS 1.7 Kesulitan dalam menyatakan argumen terhadap

hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 8 = 4.

(1/57-58)

8 KS 1. 8 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan 16 = 164.

(1/69-70)

9 KS 1. 9 Kesulitan dalam menginterpretasikan bilangan

pangkat pada bilangan real, yaitu : menjelaskan pangkat 2 pada angka 8.

(1/54), (1/75-76)

10 KS 1. 10 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma, yaitu : menghitung hasil dari log 10.

(1/82-83)

11 KS 1. 11 Kesulitan dalam menginterpretasikan akar suatu bilangan, yaitu : menjawab pertanyaan “ akar = pangkat berapa ? “

(1/97-100)

12 KS 1. 12 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk akar, yaitu : menghitung hasil dari 64.

(1/105-106)

13 KS 1. 13 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : menjelaskan 94

1

= 3.

(1/119), (1/121-122)


(56)

14 KS 1.14 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27....

(1/143), (1/147-148)

15 KS 1. 15 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan pecahan, yaitu : menjelaskan 273

1

= 3.

(1/153), (1/155-158)

Tabel 6. Topik Data Kesulitan Subyek Martha

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 2. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat pada bentuk logaritma, yaitu :

3

log 3 27 = 3log 27....

(2/6-8)

2 KS 2. 2 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 3 27 = 27....

(2/7), (2/13-14)

3 KS 2.3 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real

dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 273.

(2/15-16)

4 KS 2. 4 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar

bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 81.

(2/17-18), (2/21-22)

5 KS 2. 5 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat, yaitu : menjelaskan 4 = 42 = 8.

(2/32-36)

6 KS 2. 6 Kesulitan dalam memberikan penjelasan terhadap

hasil penarikan akar bilangan real, yaitu : menjelaskan 4 = 4.

(2/43-44)

7 KS 2. 7 Kesulitan dalam memangkatkan bilangan real

dengan bilangan bulat, yaitu : menghitung hasil dari 44.

(2/47-48)

8 KS 2. 8 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 4 = 4....

(2/49-50)

9 KS 2. 9 Kesulitan dalam membedakan bilangan real

dengan bentuk akar, yaitu : membedakan bilangan 4 dengan bilangan 4 .

(2/51-52)

10 KS 2. 10 Kesulitan dalam menginterpretasikan pangkat

suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan, yaitu : menentukan ada atau tidaknya pangkat bilangan yang berbentuk bilangan pecahan.

(2/55-56)


(57)

Tabel 7. Topik Data Kesulitan Subyek Nuno

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 3. 1 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 100 = 100....

(3/7), (3/21-22)

Tabel 8. Topik Data Kesulitan Subyek Renata

NO. KODE TOPIK DATA DATA

1 KS 4. 1 Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada

bentuk logaritma, yaitu : menyelesaikan 2log 3 8.

(4/2-6)

2 KS 4. 2 Kesulitan dalam melakukan penarikan akar bilangan real, yaitu : menghitung hasil dari 64.

(/7), (4/9-10), (4/15-16)

3 KS 4.3 Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi

bentuk pangkat, yaitu : 64 = 64....

(4/21-22)

D. Kategori Data

Kategori data adalah gagasan abstrak yang mewakili makna yang sama yang terkandung di dalam sekelompok topik data. Dalam penelitian ini ditentukan kategori mengenai kategori kesalahan dan kesulitan siswa. Berikut disajikan kategori - kategori kesalahan dan kesulitan siswa dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat pada pembelajaran materi logaritma dalam bentuk :

1. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data 2. Tabel Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data

3. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesalahan Data 4. Diagram Pohon Kategori dan Sub Kategori Kesulitan Data


(58)

Tabel 9. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data

1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan.

KH 1.1, KH 1.4, KH 1.8, KH 1.13 b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.

KH 1.3, KH 1.15 c. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat oleh karena pengertian subyek bahwa bentuk akar adalah pangkat nol.

KH 1.9

d. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pengertian subyek bahwa 9 merupakan hasil dari bentuk kuadrat 32.

KH 1.17

e. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pemahaman subyek bahwa 4 merupakan seperempat bagian dari 16.

KH 1.20

f. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan pada tanda akar terdapat angka 3.

KH 1.23 g. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dikarenakan 27 dibagi sepertiga adalah tiga.

KH 1.24 2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk akar

Kesalahan dalam memahami tanda akar sebagai pangkat empat. KH 1.11, KH 1.12,

KH 1.13 3. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

a. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real.

KH 1.10, KH 1.18, KH 1.21, KH 1.24 b. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap

pembagian.

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.20, KH 1.21, KH 1.24

c. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma.

KH 1.14 d. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan

akar suatu bilangan.

KH 1.6 4. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

a. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan.

KH 1.7 b. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil

pemangkatan bilangan real.

KH 1.16, KH 1.19, KH 1.21

Tabel 10. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data

1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat a. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk

pangkat dengan cara memindahkan angka 3 pada tanda akar menjadi pangkat dari 27.

KH 2.1

b. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dengan cara mengkuadratkan bilangan.

KH 2.2


(59)

pangkat dengan cara memangkatkan 4 suatu bilangan. 2. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real.

KH 2.3 3. Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

Kesalahan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan ) terhadap hasil pemangkatan bilangan real dengan bilangan bulat.

KH 2.4

Tabel 11. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data

1. Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesalahan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan oleh pegertian subyek bahwa tanda akar berarti pangkat dua.

KH 3.1, KH 3.2

2. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.

KH 3.3 3. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.

KH 3.4

Tabel 12. Kategori dan Sub Kategori Data Kesalahan Subyek Renata dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesalahan Siswa Topik Data

1. Kesalahan dalam memahami konsep bentuk pangkat

Kesalahan dalam memahami pangkat pecahan dimana pangkat suatu bilangan yang berbentuk bilangan pecahan adalah tidak ada.

KH 4.2 2. Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar

Kesalahan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan.

KH 4.1

Tabel 13. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Livi dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesulitan Siswa Topik Data

1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

KS 1.2, KS 1.9, KS 1.14

2. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada bentuk logaritma dikarenakan subyek tidak paham terhadap materi logaritma.

KS 1.1, KS 1.3, KS 1.10 b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan

akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.


(60)

3. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

a. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek mengerjakan soal tidak menggunakan cara yang tepat.

KS 1.5, KS 1.8

b. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan.

KS 1.6, KS 1.7, KS 1.13, KS 1.15 c. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan dalam

menginterpretasikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

KS 1.11

Tabel 14. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Martha dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesulitan Siswa Topik Data

1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.

KS 2.1, KS 2.2, KS 2.8

2. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar dan bentuk pangkat a. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk akar yang

mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

KS 2.7

b. Kesulitan dalam memahami konsep bentuk pangkat yang mengakibatkan subyek tidak mampu mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat.

KS 2.10

3. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar

a. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar terhadap penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk akar.

KS 2.4

b. Kesulitan dalam melakukan operasi aljabar pada pemangkatan bilangan real dikarenakan subyek tidak paham terhadap bentuk pangkat.

KS 2.3, KS 2.7

4. Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan ( alasan )

Kesulitan dalam membuat suatu pernyataan terhadap hasil penarikan akar suatu bilangan dikarenakan subyek mengerjakan soal dengan sembarangan.

KS 2.5, KS 2.6

Tabel 15. Kategori dan Sub Kategori Data Kesulitan Subyek Nuno dalam Mengubah Bentuk Akar menjadi Bentuk Pangkat

Kategori Data Kesulitan Siswa Topik Data

1. Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat Kesulitan dalam mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat dikarenakan subyek tidak mengerti definisi bentuk akar.


(1)

88

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


(2)

89

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


(3)

90

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


(4)

91

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


(5)

92

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI


(6)

93

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI