BAB IV GERAK DALAM BIDANG DATAR - Bab 4 Gerak dalam Bidang Datar

BAB IV GERAK DALAM BIDANG DATAR

4.1 Kecepatan Gerak Melengkung

  Hingga saat ini telah dibahas gerakan partikel dalam satu dimensi yaitu gerakan searah sumbu-x. Berikut akan dibahas gerakan partikel dalam dua dimensi atau tiga dimensi. Perhatikan Gambar 4.1.

  Jika partikel bergerak pada lintasan melengkung. Pada waktu t

  1 ,

• ix jy kz partikel berada di titik A, dinyatakan oleh posisi vektor = OA =
_{1 1 1} dengan i, j dan k adalah vektor satuan arah sumbu : x, y dan z. Pada
• ix jy kz t

  2 , partikel berada di titik B dengan r 2 = OB = . Walaupun _{2 2 2}

  partikel ini bergerak sepanjang busur AB = ∆s, pergeseran, yang berupa

  AB

  vektor, adalah = ∆r. Pada Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa r ∆r, + = r

  2

  1

  jadi:

  AB

  = ∆r

  AB

  = r

  2 -r

2 AB

  = i(x

  2 -x 1 ) + j(y 2 -y 1 ) + k(z 2 -z 1 )

  ∆x + j ∆y + k ∆z = i

  4.1 Dengan ∆x = x -x , ∆y = y -y , ∆z = z -z . Rata-rata kecepatan juga

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  merupakan vektor, diperoleh dari :

  r − r ∆ r _{2 1} v

  = =

  4.2

  ∆ t t − t _{2 1} Atau x y z

  ∆ ∆ ∆

• v = i j k

  4.3

  ∆ t ∆ t ∆ t y A B

  ∆r r

  1 r

  2 O

x

Gambar 4.1 Pergeseran dan kecepatan rata-rata gerak melengkung

  Kecepatan rata-rata dinyatakan dengan vektor yang sejajar dengan ∆r. Untuk mendapatkan kecepatan sesaat, ∆t harus sangat pergeseran AB = kecil, sehingga :

  ∆ r

  v = v = lim lim _{t t ∆ t}

  ∆ → ∆ →

  Atau

  dx dy dz

• v = i j k

  4.4

  dt dt dt

  Nilai v x , v y , dan v z :

  dx dy dz

  , ,

  v = v = dan v = _{x y z}

  4.5

  dy dt dt

  Besar kecepatan, sering disebut laju : _{2 2 2}

  4.6 Pada gerak lengkung, secara umum, besar kecepatan beserta arahnya selalu berubah. Besar kecepatan berubah karena kelajuan partikel bertambah ataupun berkurang. Arahnya berubah karena tangen lintasan dan kelengkungan lintasan yang kontinu. Kecepatan rata-rata tidak tergantung lintasan partikel hanya tergantung pada posisi awal r dan posisi akhir r .

  v v v v = + + _{x y y}

  1

  2

4.2. Percepatan Gerak Melengkung

  Perhatikan Gambar 4.2. pada gambar tesebut dilukiskan kecepatan ketika waktunya t

  1 dan t 2 , partikel berada di A dan B. Perubahan vektor

  ∆v = v kecepatan dari A ke B dinyatakan oleh

  2 -v 1 . Percepatan rata-rata

  dalam interval waktu ∆t :

  ∆ v v − v _{2 1} a =

  4.7

  = ∆ t t − t _{2 1} Dan sejajar dengan ∆v. Percepatan rata-rata itu dapat ditulis

  ∆ v

  v y

  ∆ ∆ v _{x z}

  a i j k

  = + +

  4.8 ∆ v ∆ t ∆ t _t

  y v

1 B A v

  2 r

  1 r

  2 x Gambar 4.2 Percepatan pada lintasan melengkung.

  Percepatan sesaat, sering disebut percepatan , diperoleh dari ∆ v

  a = a = lim lim _{t t ∆ t}

  ∆ → ∆ →

  Atau

  dv a =

  4.9

  dt

  Percepatan a adalah vektor yang berarah sama dengan perubahan kecepatan. Apabila kecepatan berubah dalam arah pada kurva lintasan partikel, percepatannya selalu menuju pusat kelengkungan kurva. Persamaan (4.9) dapat ditulis

  dv dv dv _x ^y _z a = i j k

  4.10

  dv dt dt _t

  sehingga komponen percepatan sepanjang sumbu-x, y dan z adalah

  dv dv y _{x z}

dv

  , ,

  a a dan a _{x y z} = = =

  4.11

  dt dt dz

  dan besarnya percepatan adalah : _{2 2 2}

  a = a a a _{x y z}

  4.12

4.3 Gerak peluru

  Gerak peluru adalah gerakan suatu partikel yang besar yang besar percepatan serta rahnya selalu tetap. Gerak sebuah peluru yang ditembakkan dengan sudut elevasi θ dengan kecepatan awal v , lintasannya berupa parabola seperti gambar 4.3

  y v A v v a = ox v o v o h g v o

  θ x v o g g v B R

Gambar 4.3 : gerak peluru dengan lintasan berbentuk parabola

  Gerak peluru adalah gerak pada bidang, dengan percepatan a sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Pada bidang dimana v dan a = g berada, pada sumbu y mempunyai arah keatas sehingga : _{ox oy}

• v = iv jv

  4.13 dengan v 0x = v cos θ dan v 0y = v sin θ

  4.14 berdasarkan persamaan v = v + at , diperoleh : v = iv + jv

  x y

  = (iv 0x + jv 0y ) - jg 4.15 atau v = v dan v = v - gt

  4.16

  x 0x y

  Pada saat waktu t kecepatannya adalah : ^{2 2}

• v v v
_{t x y} =

  α didapat dari : dan arah kecepatan peluru

  v _x tg α = v _y

  Kecepatan arah sumbu x adalah tetap, sedangkan arah sumbu y adalah berubah beraturan. Jika vekor r = ix + jy, digabung dengan _{1 2}

  = + +

  persamaan x x v t at diperoleh : ₂ r = ix + jy ₁

  2

  = (iv 0x + jv 0y ).t - j gt ₂

  4.17 atau x = v 0x .t

  4.18 dan ₁

  2

  y = v .t - gt

  4.19

  0y ₂

  adalah merupakan kordinat posisi peluru sebagai fungsi waktu. Pada saat bola mencapai titik tertinggi A kecepatan arah sumbu y, v y = 0, sehingga waktu untuk mencapai titik tertinggi dapat dicari dari persamaan (4.16) : v = v – gt

  y v _y

  t =

  g

  atau

  sin v θ

  t =

  4.20

  h g

  Tinggi maksimum h yang dapat dicapai peluru diperoleh dengan memasukkan harga t pada persamaan (4.20) kedalam persamaan (4.19) sehingga diperoleh : _{2 2} sin

  v θ

  h =

  4.21

  2

  g

  Waktu yang diperlukan untuk sampai pada titik terjauh B, ditetukan dengan masukkan harga y = 0 pada persamaan (4.19), ternyata waktu tersebut sama dengan dua kali waktu yang dibutuhkan untuk sampai pada titik tertinggi

  2 . sin θ v

  t =

  4.22 B

  g

  Jarak terjauh R ditentukan dengan memasukan persamaan (4.22) kedalam persamaan (4.18) sehingga diperoleh : R = v .t

  0x B 2 . sin θ v = ( v cos θ ). ₂ g

  2 sin

  v θ cos θ

  =

  g

  Karena ₂

  2 sin cos v θ θ sin

  2 θ =

  1 8 + = 8,06 m/s

  t = 0,5 s θ =

  = ^{2 2}

  = 6 – 5 = 1 m/s v = ^{2 2} _{y x}

  θ = 10 cos 37 = 10 . 0,8 = 8 m/s v x = v 0x = 8 m/s v 0y = v sin θ = 10 sin 37 = 10 . 0,6 = 6 m/s v y = v 0y – g.t = 6 – 10 . 0,5

  37 Y Jawab : v 0x = v cos

  X

  37 Ditanya : v? dan x?

  2

  maka didapat : R =

  Diketahui : v = 10 m/s g = 10 m/s

  2 Penyelesaian :

  1. Sebuah benda dilemparkan dengan sudut elevasi 37 dan dengan kecepatan awal 10 m/s. Hitunglah :kecepatan dan posisi benda setelah 0,5 s, jika deketahui percepatan gravitasi bumi 10 m/s

  4.23 Contoh :

  θ 2 sin ²

  g v

• v v
arah kecepatan adalah :

  v _y

  θ = tg

  v _x

  1

  =

  8

  = 0,125 θ = 7,1 Posisi pada t = 0,5 s x = v . t

  0x

  = v cos θ. T = 8 . 0,5 = 4 m

  1 ₂ V . t − . g . t y = _y

  2

  1

  

2

  = 6 . 0,5 - . 10 . 0,5

  2

  = 3 – 5 . 0.25 = 3 – 1.25 = 1,75 m jadi kedudukan benda adalah pada kordinat ( 4, 1,75)

  2. Sebuah sasaran terletak pada koordinat (50,8). Seseorang melempar batu dengan sudur elevasi 37 , kearah sasaran tersebut dari pusat koordinat, berapa kecepatan yang harus diberikan agar batu dapat tepat mengenai sasaran?

  Penyelesaian : agar sasaran kena maka x = 5 m dan y = 80 m Diketahui : y = 0 y = 8 m x = 0 x = 50 m θ =

  37 Ditanya : v ? Jawab : v 0x = v cos 37

  = 0,8 v v = v sin 37

  0y

  = 0,6 v Y

  V

  19531 25 , v

  62 v

  )

  2

  8 = 37,5 – 5.( ₂

  3906 25 , v

  ) 29,5 = ₂

  v ² = 5 , 29 19531 25 , v = 662 08 .

  . 10. (

  = 25,73 m/s

  3. Seorang pemain golf, memukul bola dengan kecepatan 6,5 m/s dan sudut elevasi 67,4 , terhadap bidang horizontal.Jika percepatan gravitasi bumi 10 m/s

  2

  . Tentukanlah :

  a. waktu yang di butuhkan untuk mencapai titik tejauh

  b. ketinggian maksimun yang dapat dicapai

  5 ,

  

1

  37 X x = x + v 0x . t 50 = 0 + 0,8 v .t t =

  2

  . 8 ,

  50 v

  =

  5 ,

  62 v

  y = y + v 0y . t -

  1

  

2

  .g.t

  2

  8 = 0 + 0,6 v (

  5 ,

  62 v

  ) -

  c. jarak terjauh yang dapat dicapai Penyelesaian : Diketahui : m/s 67,4 ang di perlukan bola jatuh ke tanah t

  0B

  (2. sin θ . cos θ) =

  2

  67,4 . jarak terjauh : x

  0B

  = 1,8 m c x =

  0B g v ²

  sin2 θ

  =

  g v ²

  10 ) 5 ,

  2 ) 5 ,

  6 ( ² . (2 sin 67,4 . cos 67,4 )

  4. ebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 50 m/s, dengan sudut Penyelesaian : m/s m/s

  2 Di a : θ

  ab : = 3 m

  S elavasi θ. Bila peluru sampai ditanah pada jarak 200 m dari tempat peluru ditembakkan, tentukanlah sudut elevasinya, jika perceptan gravitasi bumi 10 m/s

  2 Diketahui :

  v = 50 x

  0B = 200 m

  g =

  6 ( ² sin

  2 = 10 .

  0B

  a. waktu y t =

  v = 6,5 g = 10 m/s

  2

  θ = Ditanya : t

  0B

  ? Y

  0H

  ? X

  0B

  ? Jawab :

  g v θ . sin

  θ

  2

  =

  10 4 , ) 67 sin 6 ,

  5 .(

  2 = 1,2 s

  b. ketinggian maksimun yang dicapai y H :

  H y = g v ²

  sin

  2

  10 tany Jaw

  2 v

  x = sin2 θ

  0B g . x g _B

  sin 2 θ = ₂

  v 200 .

  10

  = ₂

  50

  = 0,8 sin 2 θ = sin 53

  θ =

  2

  53 θ = 26,5 ( pada kuadran I)

  1

  atau 2 θ = (180 - 53 ) θ = 63,5

2 J adi ada dua sudut elevasi yang menghasilkan jarak terjauh yang sama.

  Dimana kalau kedua sudut tersebut dijumlahkan, besarnya 90 .

  Y v = 50 m/s θ ? 200 m

  X 4.

4 Gerak Melingkar

  Gerak melingkar beraturan adalah suatu gerak dimana besar kecepatan dan percepatannya konstan tetapi arahnya berubah-ubah setiap saat. Dimana arah kecepatan disuatu titik sama dengan arah garis singgung lingkaran dititik itu dan arah percepatannya selalu mengarah ke pusat lingkaran.

  Jika s ebuah benda bergerak mengelilingi lingkaran yang berjari-jari R, maka kecepatannya v akan menyinggung lingkaran dengan arah tegak lurus jari-jari R. Kalau diukur jarak sekeliling lingkaran dari titik pusat lingkaran maka panjang busur s = R. θ, sehingga :

  θ

  ds d

  v = = R

  4.24

  dt dt

  A a _C θ s

  V A R B

  V B

Gambar 4.4 Gerak melingkar

  Perubahan sudut yang disapu R setiap detik dinamakan kecepatan sudu t atau frekuensi sudut

  d θ

  ω =

  4.25

  dt

  Hubungan kecepatan v (kecepatan tangensial atau kecepatan singg ung) dengan kecepatan sudut adalah :

  R

  v = ω 4.26 Waktu yang diperlukan untuk benda melakukan satu kali putaran penuh disebut periode (P), dan banyaknya putaran yang dilakukan tiap detik disebut frekuensi (f), maka :

  1

  f =

  4.27 P Jika percepatan sudut ω konstan persamaan (4.25) diintegralkan didapat :

  θ t

  d = dt t t _t

  θ ω atau θ = θ ω −

• . ( )

  4.28

  ∫ ∫

  θ

  A pabila θ = 0 dan t = 0 maka, θ

  θ = ω.t atau ω =

  4.29

  t

  Untuk satu kali putaran t = P dan θ = 2 π, sehingga diperoleh :

  2 π

  ω = π f = 2

  4.30 P Apab ila ke cepatan sudut partikel berubah terhadap waktu, maka didapat percepatan sudut

  2 d ω d θ

  α = = ₂

  4.31

  dt dt

  Jika percepatan sudut tetap, persamaan (4.31) diintegralkan maka :

  ω t

  ( )

  d = dt = t − t

• ω t

  4.32 ω α atau ω ω α

  ∫ ∫

  Kalau persamaan (4.25) dan persamaan (4.32), digabungkan maka didapat :

  θ t t

  . ( )

  d θ + = ω dt α t − t dt ∫ ∫ ∫ _{t t}

  θ

  Jadi _{1 2} θ = θ ω ( − + ) α + ( − )

  t t t t ₂

  4.33 Persamaan (4.33) merupakan posisi sudut pada setiap saat. Percepatan tangensial pada gerak melingkar adalah : ₂

  dv d ω d

  θ .

  a = = R = R = R α _{T 2}

  4.34

  dt dt dt

  Sedangkan percepatan sentripetal adalah : ₂

  v ² R a = = ω _C

  4.35 R

  a T a a C

Gambar 4.5 Percepatan tangensial dan percepatan sentripetal

  Ji ka pada gerak melingkar beraturan tidak ada percepatan sudut , tidak a da percepatan tangensial, tapi ada percepatan sentripetal yang akan ω tetap maka didapat : meru bah arah gerak kecepatan. dimana

  dv dR ₂

  ω . ω . ω

  a = = = v = R

  4.36

  dt dt

• a a a =
• v v

  bola bermassa 0,5 kg diikat diujung seutas tali yang mempunyai dalam suatu lingkaran horisontal a tegang tali (gaya sentripetal) pu menahan tegangan 50

  1

  .a.t

  2

  θ = θ + ω .t +

  2

  1

  α.t

  2 Contoh :

  Penyelesaian : Diketahui : m

  x = x v .t + +

  20 rpm Di T Jawab

  1. Sebuah panjang 1,5 m. bola tersebut diputar seperti tampak pada gambar di bawah ini. Bila bola tersebut berputar dengan laju konstan dengan membuat putaran 120 putaran permenit (rpm) dan tali tidak putus. Tentukan

  a. Frekuensi f dan periodenya T

  b. Kecepatan sudut dan kecepan linearnya

  c. Percepatan sentripetal dan gay

  d. Laju linearnya, jika tali tersebut hanya mam newton m = 50 kg

  = 1,5 r putaran = 1 tanya :f?, ?, ω? v? F

  C

  ?

  2

  2 + 2.

  a. Frekuensi :

  2 ^t

  Percepatan total benda : _{2 2 T c}

  4.37 Gaya centripetal adalah gay elingkar yang besarnya : a yang harus bekerja pada benda bergerak m

  r v F m _c ²

  . =

  4.38 Analogi gerak melin berubah beraturan gkar berubah beraturan dengan gerak lurus

  Gerak Lurus Gerak Melingkar v

  r

  =

  ω

  = ω

  r

  =

  2 ^t ω ω + x = v . t

  θ = ω r .t v = v t + a.

  ω + α.t ω = v

  2

  = v

  2

  2

• 2.a. ∆t α.∆t ω

  Gaya tegang tali = gaya sentripetal

  aju v .s

  = 2 .s

  

F

s

  m

  2

  π 4 π

  1 ) 6 ( ²

  = 5 .

  r v ²

  L linear : = ω R = 4 π . 1,5 = 6 π m a C =

  c. Percepatan sentripetalnya tan sudu = 2 π 2 = 4 π ra

  b. Kecepa t : ω = 2π.f d.s

  = Jumlah putaran perdetik f =

  = 0,5 s

  1

  2

  1 =

  f

  Perioda : T =

  = 2 s 1.5 m

  60 120

  s .

  =

  menit 120

• 1
• 1
• 2

  , dan mobil masih belum terlempar M l bergerak dengan

  5 , ) 5 , 1 .(

  maks

  5 ² = 1 500 Newton obi laju v

  25

  = 1 500

  C r v ² m .

  r = 25 m µ = 0,6

  = 0,6 P Diketahui : m v = 5 m.s

  s

  Laju maksimum tanpa mo antara ban dan jalan µ

  a. Gaya sentripetal yang b gesek pada mobil tersebut.

  2 yang datar dengan laju 5 m/s tanpa tergelincir/terlempar. Radius tikungan tersebut 25 m. Tentukan

  = 1500 kg Gaya sentripetal : F =

  = 12,25 m.s . Sebuah mobil dengan massa 1500 kg bergerak pada suatu tikungan jalan ekerja pada mobil tersebut dan berapa gaya b. bil terlempar, jika koefisien gesek statis enyelesaian :

  50

  =

  F

  π = 12. π Newton ampu menahan gaya tegangan tali 50 newton, maka laju

  C

  =

  r v ² m .

  = 0,5 5 .

  2

  1 ) 6 ( ²

  F = Tali hanya m linearnya dapat dicari dengan

  m F r _C .

  C r v ² m .

  v

  2

  =

  m F r _C .

  v =

• 1
• 1
F

  C

  maks m F r _C .

  N cos θ - mg = 0 N cos θ = mg

  r v m ² .

  θ =

  Mobil tersebut dapat bergerak pada tikungan tanpa terlempar keluar jika N sin rti gambar (4.6) G gaya sentripetalnya tidak melebihi komponen gaya Normal (N) pada arah yang sejajar jalan, dengan kemiringan θ

  Untuk gerak mobil pada belokan miring dan sudut kemiringan jalan θ, sepe ambar 4.6 Gerak mobil pada bidang datar dan miring

  = 150 = 1 m 2,25 /s

  v maks

  ) 9000 25 (

  = 1500

  = 0,6 . 150 = 9000 newton

  =

  s = µ s .

  v =

  2

  N mg 0 kg. 10 m/s

  F = µ s .

  Dimana F C sama dengan gaya gesek F S :

  maks m F r _C .

  v =

  r v _maks ² m .

4.4.1 Pergerakan pada belokan miring

• =

  g m r v m .

  θ A m m m.g

  Pada titik A, titik terendah : tukan gaya : C N A N D B D

Gambar 4.7 : Posisi gaya yang bergerak pada lingkaran

  mg g cos θ g

  B

  N

  C

  N

  Benda bergerak pada lingkaran, pada titik A,B, C dan D dapat diten mg

  4.40

  . ²

  g r v

  θ µ θ cos sin _S

  . ²

  N N N _S

  . cos . sin .

  D an diperoleh hubungan θ µ θ

  = 0 N cos θ = mg

  N cos θ - mg

  r v m ² .

  θ + µ N =

  N sin s

  4.39 Jika jalan mempunyai koefisien gesek statik µ s , persamaan menjadi

  . ²

  g r v

  tan θ = . tan θ = v m. ² . ²

  g m r .

  θ =

  . cos . sin N N

• =

4.4.2 Gerak melingkar pada bidang vertical

  F = m.a ₂ .

  m v _A

  =

  r

  N A – mg ₂ = .

  m v _A r ₂ . m v _A

  N = m.g +

  4.41 A

  r

  Pada titik B, arah gaya garvitasi arah kebawah sedangkan arah gaya tekan arah keluar, sehingga gaya sentripetalnya berharga negatif, sehingga pada titik B akan jatuh P ada titik C, titik teratas : F = m.a ₂ .

  m v _C

  =

  r ₂ . m v _C

  N C + mg =

  r ₂ . m v _C

  N C = - m.g +

  4.42

  r

  Pada titik D : F = m.a ₂ .

  m v _D

  =

  r ₂ . m v _D

  N - mg cos θ =

  D r ₂ . m v _D

  N = mg cos θ +

  4.43 D

  r

4.4.3 Ay un an konis

  Ayunan konis adalah putaran dari sebuah benda yang diikat dengan tali, a pabila tali membentuk kerucut, lihat gambar (4.8). ₂ .

  m v

  T sin θ =

  r

  T cos θ = mg D iperoleh hubungan

  2 . m v

  . sin θ T r

  = . cos θ .

  T m g ₂ v

  tan θ = 4.44 .

  g r

  T cos θ l θ θ

  Tsin θ m r mg

Gambar 4.8 Ayunan Konis

4.5 Gerak relatif

  Gerak relatif adalah merupakan perpaduan dua buah gerak lurus beraturan. Sebuah kapal laut bergerak dengan kecepatan v diatas kapal

  1

  seorang penumpang bergerak dengan kecepatan v

  2 membentuk sudut θ

  terhadap gerak kapal. Bagaimana pepindahan penumpang menurut pengamat yang diam. Jika perpindahan kapal s

  1 dan perpindahan

  penumpang s maka vektor perpindahan penumpang menurut pengamat

  2

  yang diam adalah : s = s

  1 + s

2 Misalkan kapal bergerak selama t detik maka :

  s = v .t

  1

  1

  s

  2 = v 2 .t

  sehingga : s = s

  1 + s

  2

  s = (v .t + v .t)

  1

  2

  = (v + v ).t

  1

  2 Resultan kecepatan v

  1 dan v

2 adalah v lihat gambar (4.9), sehingga

  persamaan dapat ditulis : s = v. t dengan v = v + v

  1

  2

  v

  2 v

  θ α v

  1 Gambar 4.9. gerak relatif v 1 dan v

  2 Besar kecepatannya adalah : _{2 2} 2 . . cos θ

  v = v v v v ₁

_{2 1 2}

  4.45 Jika kita ambil sudut terkecil : α ^{2 2}

  v = v v − v v _{1 2 1 2}

• 2 . . cos

  4.46 Secara umum, bila benda A bergerak dengan kecepatan V terhadap suatu

  a

  acuan dan benda B bergerak dengan kecepatan V b terhadap acuan yang sama, maka kecepatan benda A terhadap benda B dinamakan kecepatan relatif dan dapat ditulis sebagai v . Secara vektor dapat ditulis :

  ab

  v ab = v a - v b Besar v ab dapat dihitung dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu ^{2 2}

• v = v v −

  2 . v . v cos α

  4.47

  ab a b a b

  Contoh :

  1. Sebuah perahu menyeberangi sungai dengan kecepatan 5 m/s, dengan arah tegak lurus arah arus sungai, jika kecepatan alairan sungai 3 m/s.

  a. Kemana arah kecepatan perahu terhadap arus sungai?

  b. Berapa lebar sungai jika waktu untuk ampai keseberang 15 detik Penyelesaian : v p = 5 m/s v a = 3 m/s Diketahui : v = 5 m/s

  pa

  v = 3 m/s

  at

  t = 15 s Ditanya : arah perahu ? dan lebar sungai ? Jawab :

  a. Perhatikan gambar dibawah ini : v

  pt

  v = 5 m/s

  pa

  α θ v = 3 m/s

  at

  Karena v pt tegak lurus v at maka sudu α dapat di cari dengan perbandingan cosinus :

  v _at

  cos α =

  v _pt

  3

  =

  5

  α =

  53 θ yang arah kecepatan perahu terhadap arus v pt , yaitu sudut merupakan sudut pelurus dari α sehingga di dapat : α + θ = 180

  = 180 α - = 180 - 53

  = 127

  b. Kita hitung dulu v pt dari gambar diatas

  2

  2

  2

  v pt = v pa - v at

  2

  2

  = 5 - 3 = 25 - 9

  = 16 Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor

  

b

  dan v

  v

  a

  = 5 – 12 = - 7 m/s. (tanda minus menyatakan bahwa, B bergerak kiri terhadap A atau dengan kata lain, B ketinggalan 7 m tiap detiknya terhadap A) b. Jika A dan B berlawanan arah, maka sudut antara kedua vektor 180 ° v

  a

  b

  = v

  ba

  Arah ke kanan kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor v ba = v b - v a adapun v

  a. Jika A dan B searah, maka sudut antara kedua vektor 0 ° v b v a

  v a = 12 m/s dan v b = 5 m/s

  ba

  dan kecepatan B terhadap A dinotasikan v

  b

  a

  v pt = 4 m/s lintasan yang ditempuh perahu : s = v

  ke timur) Jawab Kecepatan A dan B masing-masing kita sebut v

  b

  ke utara dan v

  a

  c. Keduanya bergerak dengan arah tegak lurus (v

  ke timur)

  b

  ke barat dan V

  a

  b. Keduanya bergerak berlawanan arah (v

  a. Keduanya bergerak searah (ke timur)

  2. Dua orang A dan B, masing-masing mengendarai sepeda motor. A bergerak dengan kecepatan tetap 12 m/s relatif terhadap bumi, sedangkan B bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s relatif terhadap bumi juga. Tentukan kecepatan relatif B terhadap A jika:

  . t = 4 .15 = 60 m

  pt

• v
v ba = v b - v a adapun v ba = v b - v a

  = 5 – (-12) = 17 m/s

  (B bergerak menjauhi A ke timur dengan kecepatan 17 m/s)

  c. Jika A dan B geraknya saling tegak lurus, maka sudut antara kedua vektor 90 ° v

  a

  v b Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor v = v - v

  ba b a

  Adapun besar v ba dapat diperoleh dengan menggunakan Phytagoras ^{2 2}

• v v −

  2 . v . v cos v ba = α _{a b a b}

  12 2 . 5 . 12 . cos

• 5

  90 v ba = − ^{2 2}

  = = 13 m/s

• 25 144

  3. Seorang anak yang berada di atas kapal bergerak dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap kapal. Kapal tersebut sedang bergerak di laut dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap bumi, kearah timur Tentukan kecepatan anak tersebut relatif terhadap bumi jika :

  a. Arahnya sama dengan arah gerak kapal

  b. Arahnya berlawanan dengan arah gerak kapal

  c. Arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120 ° dengan arah timur (atau 60 ° dengan arah barat)

  Jawab Jika kecepatan anak diberi notasi v dan kecepatan kereta diberi notasi

  a

  v serta kecepatan bumi disebut v ,

  k b

  v = v – v = 8 m/s (*)

  ak a k v kb = v k – v b =

  8 m/s (**) Kecepatan anak terhadap bumi v dapat diperoleh dari persamaan (*)

  

ab

dan (*).
• v v v v +
• v v v v +
• = 256 = 16 m/s
• – v
• v v v v +
• – v
• – v
• – v

  =

  ) 1 .( 8 . 8 .

  2

  8

  8 ^{2 2} − + + v a

  = 128

  64 64 − + v k

  = 0 m/s Atau dengan cara lain Jika arah gerak anak berlawanan dengan arah gerak kereta maka v

  k

  a

  = -8 m/s v k – v b = 8 m/s v ab = v a – v b v ab = v a – v b

  = (v

  a

  k

  ) +(v

  k

  b

  ) = 8 m/s - 8 m/s = 0 m/s

  2 ^{2 2} _{kb ak kb ak}

  besarnya dapat diperoleh dari persamaan (1) dan (2) v ab = v a – v b = (v a – v k ) +(v k – v b ) = 8 m/s + 8 m/s = 16 m/s

  b. Jika arah gerak anak berlawanan arah gerak kereta α = 180° = -1 v ab = α . cos .

  2

  v ab = v a – v b = (v a – v k ) +( v k – v b ) = v ak + v kb

  Ini merupakan penjumlahan vektor dan besarnya dapat diperoleh dengan v ab = α . cos .

  2 ^{2 2} _{kb ak kb ak}

  a. arah gerak anak searah dengan arah gerak kereta α = 0°, cos 0° = 1 v ab = α

  . cos .

  2 ^{2 2} _{kb ak kb ak}

  v a = 8 .

  8 .

  8

  b

  8 ^{2 2} + + v k =

  128

  64

  64

  Atau dengan cara lain v

  ab

  = v

  a

  c. Arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120 ° dengan arah timur (atau 60 ° dengan arah barat) v

• v v v v +

  ab = α cos . .

  2 ^{2 2} _{kb ak kb ak}

  = ^{2 2} 120 cos 8 . 8 .

  2

  8 8 + + =

  64

  64

  64 − +

  = 8 m/s 120 v _k v _a

  

SOAL – SOAL LATIHAN

A. PILIHAN GANDA :

  1. Sebuah rakit menyeberangi sungai dengan arah kecepatan tegak lurus terhadap arah arus sungai. Kecepatan rakit 0,3 m/s dan kecepatan arus 0,4 m/s. Rakit mencapai seberang dalam waktu 150 sekon. Lebar sungai adalah : A. 95 m

  D. 50 m

  B. 75 m

  E. 45 m

  C. 60 m 2. Dua kapal A dan B mula-mula berada pada kedudukan yang sama. Pada saat yang bersamaan, kapal A berlayar ke barat dengan kelajuan 30 km/jam dan kapal B derlayar ke utara dengan kelajuan 40 km/jam. Jarak antara kedua kapal setelah berlayar selama ½ jam adalah :

  A. 20 km

  D. 40 km

  B. 25 km

  E. 50 km

  C. 30 km 3. Sebuah sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan 5 m/menit. Seorang anak pada tepi selatan sungai mampu berenang dengan kelajuan 10 m/menit dalam air tenang. Jika anak itu ingin berenang menyeberangi sungai dengan selang waktu tercepat, maka ia harus

  θ terhadap arah utara. Nilai sin θ adalah : berenang dengan sudut

  1

  2

  D.

  5 A.

  2

  5

  3

  2 E.

  2 B.

  2

  2

3 C.

  3

  4. Air sungai mengalir dari barat ke timur dengan kelajuan c. Seorang anak berenang searah arus sungai dengan kelajuan v sampai menempuh jarak d, kemudian anak tersebut berbalik arah dan berenang menuju ke titik berangkatnya semula. Selang waktu yang ditempuh anak itu adalah :

  2

  2 d dv A.

  D.

• v c
^{2 2} v − c

  2

  2 d dv B.

  E. ^{2 2}

• v − c v c

  3 dv C. _{2 2} v − c

  5. Bola P beratnya dua kali bola Q. P dijatuhkan vertical ke bawah dari atap sebuah gedung dan pada saat bersamaan Q dilempar horizontal pada kelajuan tinggi. Abaikan gesekan udara dan tentukan pernyataan mana berikut ini yang benar : A. P menumbuk tanah sebelum Q

  B. Q menumbuk tanah sebelum P

  C. Saat P menumbuk tanah Q berada setengah ketinggian dari tanah

  D. Keduanya menumbuk tanah pada saat bersamaan

  E. Tidak cukup data dalam soal ini untuk memungkinkan kita menentukan jawabannya.

  6. Sebuah pesawat terbang bergerak mendarat dengan kecepatan 200 m/s melepaskan bom dari ketinggian 500 m. Jika bom jatuh di B dan g

  2

  = 10 m/s , maka jarak AB adalah : _A B A. 500 m

  D. 1.750 m

  B. 1.000 m

  E. 2.000 m

  C. 1.500 m

  7. Sebuah mobil hendak menyeberang sebuah parit yang lebarnya 4,0 meter. Perbedaan tinggi antara kedua sisi parit itu adalah 15 cm seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini. Jika percepatan gravitasi g

  2

  = 10 m/s , maka kelajuan minimum yang diperlukan ole mobil itu tepat dapat berlangsung adalah :

  15 cm _{4 m}

  A. 10 m/s

  D. 20 m/s

  B. 15 m/s

  E. 23 m/s

  C. 17 m/s

  8. Sebuah benda dilempar mendatar dari pinggir sebuah jurang dengan

  o

  kecepatan v. Tiga sekon kemudian kecepatan benda berarah 60 terhadap arah mendatar. Dengan mengabaikan gesekan udara dan

  2

  memakai nilai g = 10 m/s , maka nilai v adalah:

  A. 30 3 m/s D.

  30 2 m/s

  B. 10 3 m/s

  E. 10 2 m/s

  C. 20 m/s

  9. Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan dengan sudut

  o

  elevasi 30 dan dengan kecepatan 40 m/s. Jika gesekan dengan udara diabaikan, maka ketinggian maksimum peluru (dalam m) adalah: A.

  10 D.

  30 B.

  20 E.

  40 D. 25

  10. Peluru ditembakan dari tanah condong ke atas dengan kecepatan v

  o

  dan sudut elevasi 45 , dan mengenai sasaran di tanah yang jarak

  5

  2

  mendatarnya sejauh 2 x 10 m. Bila percepatan gravitasi 9,8 m/s , maka v adalah:

  2

  3 A. 7,0 x 10 m/s

  D. 3,5 x 10 m/s

  3

  3 B. 1,4 x 10 m/s

  E. 4,9 x 10 m/s

3 D. 2,1 x 10 m/s

  o

  11. Sebuah benda ditembakkan miring ke atas dengan sudut elevasi 60

  2

  dan mencapai jarak terjauh 10 3 m. Jika g = 10 m/s . Maka kecepatan pada saat mencapai titik tertinggi (dalam m/s ) adalah: A. 5 2 D.

  10

  2

  10 C. 10

  3 B. 5 3 E.

  12. Sebuah benda dilemparkan dari suatu tempat di tanah, mencapai ketinggian maksimum 90 m dan jatuh kembali ke tanah sejauh 180 m dari tempat asal pelemparan. Berapakah laju awal horizontal dari benda

  2 itu? Ambil g = 9,8 m/s .

  A. 21 m

  D. 48 m

  B. 24 m

  E. 84 m

  C. 42 m

  13. Sebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi α. Jika jarak terjauh peluru sama dengan tinggi maksimumnya, maka nilai tan α adalah : A. 1

  D. 6

  B. 3

  E. 4

  C. 2

  14. Sebuah partikel menjalani gerak parabola dan posisi partikel itu pada

  2

  saat t adalah x = 6t dan y = 12t – 5t . Jika percepatan grafitasi g = 10

  2

  m/s , maka laju awal partikel itu adalah :

  A. 6 m/s

  D. 6 5 m/s

  B. 6 2 m/s

  E. 12 m/s

  C. 6 3 m/s 15. Sebuah bola ditendang dengan laju awal 20 m/s dan sudut elevasi 45o. Pada saat bersamaan seorang pemain yang segaris dengan arah tendangan dan berdiri di garis gol yang 60 m jauhnya, mulai berlari untuk menjemput bola. Berapa laju lari pemain itu agar ia dapat menerima bola umpan sebelum bola itu menumbuk tanah? A. 5 m/s

  D. 10 2 m/s

  B. 5 2 m/s

  E. 20 m/s

  C. 10 m/s

  16. Sebuah gerak parabola memiliki kelajuan awal v. Jika jarak terjauh gerak parabola sama dengan jarak tempuh sebuah partikel yang jatuh bebas agar memiliki laju v, maka sudut elevasi gerak parabola tersebut adalah:

  o o

  A. 30

  D. 75

  o o

  B. 45

  E. 90

  o

  C. 60

  17. Gatotkaca memutar sebuah batu dalam suatu lingkaran horizontal 2 m diatas tanah dengan menggunakan tali sepanjang 1,5 m. Tali putus dan batu terbang secara horizontal dan menumbuk tanah 9 m jauhnya. Percepatan sentripetal yang dialami batu itu selama dipercepat adalah

  2 (g = 10 m/s ).

  2

  2 A. 120 m/s

  D. 145 m/s

  2

  2 B. 125 m/s

  E. 150 m/s

2 C. 135 m/s

  18. Suatu benda berotasi mengitari sebuah poros dengan posisi sudutnya,

  2

  θ, dapat dinyatakan sebagai θ = 2t – 9t + 4; θ dalam rad dan t dalam sekon. Kecepatan sudut suatu partikel pada benda pada t = 1,0 sekon, dalam rad/s adalah :

  A. –6,0

  D. –3,0

  B. –5,0

  E. –2,0

  C. –4,0

  19. Suatu benda berotasi mengitari sebuah poros dengan kecepatan sudutnya ω dapat dinyatakan sebagai ω = t2 – 5,0 . ω dalam rad/s dan t dalam sekon. Perceptan sudut partikel pada benda pada t = 1 sekon dalam rad/s adalah :

  A. 2,0

  D. 3,5

  B. 2,5

  E. 4,0

  C. 3,0

  20. Sebuah roda berputar terhadap suatu poros tetap dan kecepatan sudut partikel pada roda dapat dinyatakan sebagai ω = 2,0 t – 3,0 . t dalam ω dalam rad/s. Jika posisi sudut awal θ sekon dan

  o = 1,5 radian, maka

  posisi sudut partikel pada t = 1,0 sekon dalam rad adalah :

  A. –1,5

  D. +0,5

  B. –1,0

  E. +1,0

  C. –0,5

B. ESSAY :

  1. Apakah yang dimaksud dengan kecepatan relatif dari sebuah benda yang sedang bergerak?

  2. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan relatif tetap sebesar 8 m/s melawan arus sungai yang mempunyai kecepatan tetap 5 m/s. apakah gerak dari kapal tersebut relatif terhadap sungai, merupakan gerak lurus beraturan? Jelaskan.

  3. Sebuah kapal terbang bergerak ke utara dengan kecepatan tetap v k dengan angin pada saat tersebut berkecepatan tetap v a ke arah timur.