BAB 4 LIMIT DAN TURUNAN
febriantoni79.blogspot.com
LIMIT DAN TURUNAN
A
h
B
C
DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk
NAMA SISWA
: ……………………
KELAS
: ……………………
SEKOLAH
: ……………………
febriantoni79.blogspot.com
STANDAR KOMPETENSI 1
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Standar Kompetensi : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disuatu titik dan di tak hingga
Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis
lim
f(x) dibaca “limit x mendekati c dari
xc
f(x)”.
Latihan:
1. Tentukan nilai dari
Lim
x3
5x+6
2. Tentukan nilai dari
Lim
5x 1
x 3 4x 2
Lim
2x 1
x 1 x 1
3. Tentukan nilai dari
Lim 3 x 6
x 2 x 1
4. Tentukan nilai dari
5. Tentukan nilai dari
Lim
x5
2
x 5 2 x 9 x 5
Lim
x2 x 6
6. Tentukan nilai dari
x 3 x 2 7 x 12
Lim
2x 2 9x 5
7. Tentukan nilai dari
x 5 4 x 2 17 x 15
9. Tentukan nilai dari
x2 9
lim 2
=…
x 3 x 5 x 6
x 3 2x 2 3
8. Tentukan nilai dari
x2 2
x0
Lim
10. Tentukan nilai dari
x 2 3 x 18
lim 2
x3 x
2x 3
=…
febriantoni79.blogspot.com
Jika pada
Lim
x
f(x) menjumpai bentuk
pada substitusi x dengan , maka diselesaikan dengan
membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.
Latihan:
2x 1
x 4 x 2 3x
2.
5 2 x x3
x 5 x3 2 x 2 1
4. .
5.
Lim
5x2 2 x 3
7 x2
x
Lim
6x 3 x 2
6.
x 7 2 x x3 3
7.
(2x 1) 2
adalah ….
lim
2
x 6x - 3x 5
8.
1.
3.
Lim
Lim
2x 2 2 x 8
...........
lim 2
9. x x x 2
4 x3 2 x
x 3x 2 x
Lim
x3 4 x 2 7
x 3 6 x 2 2 x3
Lim
4x 2 2x 2 2 x
adalah …
lim
2x 2 - 5x - 3
x
x 2 8x 15
lim 4x 3 ...........
10. x
febriantoni79.blogspot.com
0
maka f(x) harus difaktorkan
0
0
pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan bentuk bukan
jika x
0
Limit x c Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =
diganti dengan c
x 2 4x 3
=…
x 3
x3
x2 9
=…
x 3 x 3
2. Nilai lim
x 2 4x 5
=…
x 1
x 1
4.
1. Nilai lim
3. Nilai lim
5. Nilai lim
x 4
x 2 6x 8
=…
x4
6. Nilai lim
9.
x3
Lim
x2 2x 8
= ….
x2
x2
x 2 8 x 12
x2
x 2 2 x 15
=…
7. Nilai dari lim
x 3
x 2 5x 4
=…
x 1
x 1
lim
8. Nilai lim
x3
10. .
x2 4
x 2 3x 18
x 2 2x 3
=…
=…
Lim
x2 x 6
= ….
x 3 x 2 7 x 12
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri
Sifat – sifat limit trigonometri :
Lim
Lim
x
sin x
=
=1
x 0 sin x x 0 x
Lim
x
tgx
1
x 0 tgx
x0 x
Lim
Latihan:
1. Tentukan limit dari
3. Tentukan limit dari
5. Tentukan limit dari
7. Tentukan limit dari
Lim
sin 5 x
x 0 3x
Lim
2. Tentukan limit dari
tg 3 x
x 0 cos 4 x
4. Tentukan limit dari
sin 5x
x 0 tg 4 x
6. Tentukan limit dari
1 cos x
x 0 sin x
8. Tentukan limit dari
Lim
Lim
Lim
sin 4 x
x
x0
Lim
2 sin 3 x
x 0 4x
Lim
sin 2 x
x 0 x2
1 cos x
x
x0
Lim
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan
fungsi
Turunan y = f(x) didefinisikan dengan
y ' f ' ( x)
dy lim
f ( x h) f ( x )
h
dx h 0
n
n 1
Jika y ax maka y ' anx
Latihan :
1. Tentukan turunan dari y = 4x + 3
3. Tentukan
y=
2. Tentukan turunan dari y =
1 2
x 7x 1
2
dari 4. Tentukan turunan dari y = 5x 3 7 x 2
turunan
1 4 4 3
x x 6 x 2 5x 7
2
3
5. Tentukan turunan dari y = 4 x 2 10
7. Turunan pertama dari
adalah …
( )= 3
6. Tentukan turunan dari Turunan pertama dari
= 2 − 4 + 2 adalah y’ = …
−6
+ 3 8. Turunan pertama dari
adalah …
( ) = 2− 5 +
9. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan 10. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
febriantoni79.blogspot.com
Latihan
1. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 2. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan
adalah f’(x). Nilai f’(1) = …
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f’(1) = …
3. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan 4. Turunan pertama dari
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f(x) = 12 x4 23 x3 4 x 1 adalah f’(x) nilai dari
f’(2) = …
f’(3) = …
( )=
5. Diketahui
−
+ 3 + 1. 6. Turunan1 pertama dari ( ) = 2 − 5 +
adalah f (x), nilai dari f’(3) adalah
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x), nilai
dari f’(2) adalah….
7. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 4
adalah f(x)1 nilai dari f’(2) adalah….
+ 2 8. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 5 +
adalah f(x)1 nilai dari f’(3) adalah….
( ) = 2 − 2 − 4 + 1. 10. Diketahui
( ) = 2 + 2 − 4 + 1.
9. Diketahui
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) nilai
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) nilai
dari f’(3) adalah….
dari f’(1) adalah….
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi
dan memecahkan masalah
Turunan bentuk u.v dan
Jika y = uv
Jika y =
u
v
u
v
maka y ’ = u ’v + uv ’
maka y ’ =
u' v uv '
v2
Latihan:
1. Tentukan turunan dari y = (4x+2)(2x+5)
2. Tentukan turunan dari y = (-x+1)(3-x)
3. Turunan pertama dari ( ) =
4. Turunan pertama fungsi ( ) =
adalah …
,
( )=
( )=
5. Diketahui fungsi
. Turunan 6. Diketahui
, ≠ − 3. Turunan
pertama fungsi f(x) adalahf’(x). Nilai dari f’(1)
pertama fungsi f(x) adalahf’(x). Nilai f’(2) =
=…
7. Turunan pertama dari ( ) =
adalah f’(x), maka nilai f’(2) = …
( )=
, ≠ 1 8. Diketahui
dan f’(x) adalah
turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) = …
( )=
( )=
9. Diketahui
dan f’(x) adalah 10. Diketahui
dan f’(x) adalah
turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …
turunan pertama dari f(x). Nilai f’(3) = …
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menyelsaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi dan penafsarinnya
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
1) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
2) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
3) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0
Latihan:
1. Jika sebuah mesin foto Copy digunakan selama 2. Untuk memproduksi x unit barang diperlukan
x hari, maka biaya perawatan perhari yang
biaya (
− 500 + 6.000.000) rupiah.
− 72) ribu
dikeluarkan adalah (3 +
Jumlah barang yang diproduksi agar biaya
rupiah. Biaya perawatan minimum selama x
produksi minimum adalah …
hari adalah … ribu rupiah
3. Diketahui total biaya produksi adalah (10 + 4. Sebuah perusahaan mampu menjual produknya
sebanyak (2.000 – 10x) unit tiap bulannya
+ ) untuk x unit barang, total biaya
dengan harga jual setiap unitnya adalah x
produksi minimum adalah …
rupiah. Biaya produksi yang dikeluarkan
sebesar (25.000 + 400x) rupiah. Harga jual
setiap unit produk tersebut agar diperoleh
keuntungan maksimum adalah …
5. Suatu perusahaan menghasilkan x unit barang 6. Sebuah home industry memproduksi x unit
dengan biaya total sebesar (450 + 2x + 0,5x2)
barang dengan biaya yang dinyatakan
rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut
(x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan
setelah barang tersebut habis terjual adalah
terjual dengan harga Rp60,00 untuk setiap
(60x) ribu rupiah. Keuntungan maksimal home
unitnya, laba maksimal yang diperoleh adalah
industry tersebut adalah …
…
7. Biaya produksi x barang dinyatakan dengan 8. Untuk memproduksi x unit barang perhari
fungsi f(x) = (x2 – 100x + 4500) ribu rupiah.
diperlukan biaya (x3 – 450x2 + 37.500x) rupiah.
Biaya minimum untuk memproduksi barang
Biaya produksi akan menjadi minimal jika
tersebut adalah …
perhari produksi ….
febriantoni79.blogspot.com
9. Untuk memproduksi x unit barang per hari 10. Untuk memproduksi x unit barang perhari
diperlukan biaya (x3 – 5.000x2 + 3.000.000x)
diperlukan biaya 2 x 3 2.100x 2 600.000x
rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal
rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum
jika produksi maksimal perhari sebanyak ….
jika produksi maksimal perhari sebanyak ….
Latihan :
1. Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 – 2x + 13 2. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20 turun
adalah …
pada interval …
3. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 naik 4. Nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3
pada interval …
pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah …
2
5. Tentukan nilai maksimum f ( x) x x 6
untuk 6 x 5
6. Tentukan nilai maksimum
untuk 1 x 5
7. Tentukan
nilai
minimum 8. Tentukan
nilai
3
2
f ( x) x 3x 2 untuk 1 x 5
f ( x) 4 x 15x 12 x 5
3
2
0 x3
f ( x) 3x x 2
minimum
untuk
LIMIT DAN TURUNAN
A
h
B
C
DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk
NAMA SISWA
: ……………………
KELAS
: ……………………
SEKOLAH
: ……………………
febriantoni79.blogspot.com
STANDAR KOMPETENSI 1
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Standar Kompetensi : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disuatu titik dan di tak hingga
Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis
lim
f(x) dibaca “limit x mendekati c dari
xc
f(x)”.
Latihan:
1. Tentukan nilai dari
Lim
x3
5x+6
2. Tentukan nilai dari
Lim
5x 1
x 3 4x 2
Lim
2x 1
x 1 x 1
3. Tentukan nilai dari
Lim 3 x 6
x 2 x 1
4. Tentukan nilai dari
5. Tentukan nilai dari
Lim
x5
2
x 5 2 x 9 x 5
Lim
x2 x 6
6. Tentukan nilai dari
x 3 x 2 7 x 12
Lim
2x 2 9x 5
7. Tentukan nilai dari
x 5 4 x 2 17 x 15
9. Tentukan nilai dari
x2 9
lim 2
=…
x 3 x 5 x 6
x 3 2x 2 3
8. Tentukan nilai dari
x2 2
x0
Lim
10. Tentukan nilai dari
x 2 3 x 18
lim 2
x3 x
2x 3
=…
febriantoni79.blogspot.com
Jika pada
Lim
x
f(x) menjumpai bentuk
pada substitusi x dengan , maka diselesaikan dengan
membagi dengan variabel pangkat yang tertinggi.
Latihan:
2x 1
x 4 x 2 3x
2.
5 2 x x3
x 5 x3 2 x 2 1
4. .
5.
Lim
5x2 2 x 3
7 x2
x
Lim
6x 3 x 2
6.
x 7 2 x x3 3
7.
(2x 1) 2
adalah ….
lim
2
x 6x - 3x 5
8.
1.
3.
Lim
Lim
2x 2 2 x 8
...........
lim 2
9. x x x 2
4 x3 2 x
x 3x 2 x
Lim
x3 4 x 2 7
x 3 6 x 2 2 x3
Lim
4x 2 2x 2 2 x
adalah …
lim
2x 2 - 5x - 3
x
x 2 8x 15
lim 4x 3 ...........
10. x
febriantoni79.blogspot.com
0
maka f(x) harus difaktorkan
0
0
pembilang atau penyebutnya, kemudian disederhanakan sehingga menghasilkan bentuk bukan
jika x
0
Limit x c Jika x diganti dengan c pada f(x) menghasilkan f(c) =
diganti dengan c
x 2 4x 3
=…
x 3
x3
x2 9
=…
x 3 x 3
2. Nilai lim
x 2 4x 5
=…
x 1
x 1
4.
1. Nilai lim
3. Nilai lim
5. Nilai lim
x 4
x 2 6x 8
=…
x4
6. Nilai lim
9.
x3
Lim
x2 2x 8
= ….
x2
x2
x 2 8 x 12
x2
x 2 2 x 15
=…
7. Nilai dari lim
x 3
x 2 5x 4
=…
x 1
x 1
lim
8. Nilai lim
x3
10. .
x2 4
x 2 3x 18
x 2 2x 3
=…
=…
Lim
x2 x 6
= ….
x 3 x 2 7 x 12
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri
Sifat – sifat limit trigonometri :
Lim
Lim
x
sin x
=
=1
x 0 sin x x 0 x
Lim
x
tgx
1
x 0 tgx
x0 x
Lim
Latihan:
1. Tentukan limit dari
3. Tentukan limit dari
5. Tentukan limit dari
7. Tentukan limit dari
Lim
sin 5 x
x 0 3x
Lim
2. Tentukan limit dari
tg 3 x
x 0 cos 4 x
4. Tentukan limit dari
sin 5x
x 0 tg 4 x
6. Tentukan limit dari
1 cos x
x 0 sin x
8. Tentukan limit dari
Lim
Lim
Lim
sin 4 x
x
x0
Lim
2 sin 3 x
x 0 4x
Lim
sin 2 x
x 0 x2
1 cos x
x
x0
Lim
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan
fungsi
Turunan y = f(x) didefinisikan dengan
y ' f ' ( x)
dy lim
f ( x h) f ( x )
h
dx h 0
n
n 1
Jika y ax maka y ' anx
Latihan :
1. Tentukan turunan dari y = 4x + 3
3. Tentukan
y=
2. Tentukan turunan dari y =
1 2
x 7x 1
2
dari 4. Tentukan turunan dari y = 5x 3 7 x 2
turunan
1 4 4 3
x x 6 x 2 5x 7
2
3
5. Tentukan turunan dari y = 4 x 2 10
7. Turunan pertama dari
adalah …
( )= 3
6. Tentukan turunan dari Turunan pertama dari
= 2 − 4 + 2 adalah y’ = …
−6
+ 3 8. Turunan pertama dari
adalah …
( ) = 2− 5 +
9. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan 10. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
febriantoni79.blogspot.com
Latihan
1. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 2. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan
adalah f’(x). Nilai f’(1) = …
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f’(1) = …
3. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan 4. Turunan pertama dari
f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai
f(x) = 12 x4 23 x3 4 x 1 adalah f’(x) nilai dari
f’(2) = …
f’(3) = …
( )=
5. Diketahui
−
+ 3 + 1. 6. Turunan1 pertama dari ( ) = 2 − 5 +
adalah f (x), nilai dari f’(3) adalah
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x), nilai
dari f’(2) adalah….
7. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 4
adalah f(x)1 nilai dari f’(2) adalah….
+ 2 8. Turunan pertama dari ( ) = 2 − 5 +
adalah f(x)1 nilai dari f’(3) adalah….
( ) = 2 − 2 − 4 + 1. 10. Diketahui
( ) = 2 + 2 − 4 + 1.
9. Diketahui
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) nilai
Turunan pertama dari f(x) adalah f’(x) nilai
dari f’(3) adalah….
dari f’(1) adalah….
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi
dan memecahkan masalah
Turunan bentuk u.v dan
Jika y = uv
Jika y =
u
v
u
v
maka y ’ = u ’v + uv ’
maka y ’ =
u' v uv '
v2
Latihan:
1. Tentukan turunan dari y = (4x+2)(2x+5)
2. Tentukan turunan dari y = (-x+1)(3-x)
3. Turunan pertama dari ( ) =
4. Turunan pertama fungsi ( ) =
adalah …
,
( )=
( )=
5. Diketahui fungsi
. Turunan 6. Diketahui
, ≠ − 3. Turunan
pertama fungsi f(x) adalahf’(x). Nilai dari f’(1)
pertama fungsi f(x) adalahf’(x). Nilai f’(2) =
=…
7. Turunan pertama dari ( ) =
adalah f’(x), maka nilai f’(2) = …
( )=
, ≠ 1 8. Diketahui
dan f’(x) adalah
turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) = …
( )=
( )=
9. Diketahui
dan f’(x) adalah 10. Diketahui
dan f’(x) adalah
turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …
turunan pertama dari f(x). Nilai f’(3) = …
febriantoni79.blogspot.com
Standar Kompetensi : Menyelsaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
ekstrim fungsi dan penafsarinnya
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
1) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
2) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
3) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0
Latihan:
1. Jika sebuah mesin foto Copy digunakan selama 2. Untuk memproduksi x unit barang diperlukan
x hari, maka biaya perawatan perhari yang
biaya (
− 500 + 6.000.000) rupiah.
− 72) ribu
dikeluarkan adalah (3 +
Jumlah barang yang diproduksi agar biaya
rupiah. Biaya perawatan minimum selama x
produksi minimum adalah …
hari adalah … ribu rupiah
3. Diketahui total biaya produksi adalah (10 + 4. Sebuah perusahaan mampu menjual produknya
sebanyak (2.000 – 10x) unit tiap bulannya
+ ) untuk x unit barang, total biaya
dengan harga jual setiap unitnya adalah x
produksi minimum adalah …
rupiah. Biaya produksi yang dikeluarkan
sebesar (25.000 + 400x) rupiah. Harga jual
setiap unit produk tersebut agar diperoleh
keuntungan maksimum adalah …
5. Suatu perusahaan menghasilkan x unit barang 6. Sebuah home industry memproduksi x unit
dengan biaya total sebesar (450 + 2x + 0,5x2)
barang dengan biaya yang dinyatakan
rupiah. Jika semua produk perusahaan tersebut
(x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan
setelah barang tersebut habis terjual adalah
terjual dengan harga Rp60,00 untuk setiap
(60x) ribu rupiah. Keuntungan maksimal home
unitnya, laba maksimal yang diperoleh adalah
industry tersebut adalah …
…
7. Biaya produksi x barang dinyatakan dengan 8. Untuk memproduksi x unit barang perhari
fungsi f(x) = (x2 – 100x + 4500) ribu rupiah.
diperlukan biaya (x3 – 450x2 + 37.500x) rupiah.
Biaya minimum untuk memproduksi barang
Biaya produksi akan menjadi minimal jika
tersebut adalah …
perhari produksi ….
febriantoni79.blogspot.com
9. Untuk memproduksi x unit barang per hari 10. Untuk memproduksi x unit barang perhari
diperlukan biaya (x3 – 5.000x2 + 3.000.000x)
diperlukan biaya 2 x 3 2.100x 2 600.000x
rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal
rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum
jika produksi maksimal perhari sebanyak ….
jika produksi maksimal perhari sebanyak ….
Latihan :
1. Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 – 2x + 13 2. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20 turun
adalah …
pada interval …
3. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 naik 4. Nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3
pada interval …
pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah …
2
5. Tentukan nilai maksimum f ( x) x x 6
untuk 6 x 5
6. Tentukan nilai maksimum
untuk 1 x 5
7. Tentukan
nilai
minimum 8. Tentukan
nilai
3
2
f ( x) x 3x 2 untuk 1 x 5
f ( x) 4 x 15x 12 x 5
3
2
0 x3
f ( x) 3x x 2
minimum
untuk