18. Modul Limit Fungsi Pak Sukani
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
LIMIT FUNGSI
a. Limit Fungsi Aljabar
Secara umum bentuk limit ditulis : lim f (x) = f (a)
x a
Jika f (a) = k, maka lim f (x) = k
x a
0
Jika f (a) = , maka lim f (x) = 0
x a
k
k
Jika f (a) = , maka lim f (x) = ∞
x a
0
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).
Contoh :
1. lim 4x 5 = 4 . 2 + 5 = 13
x2
2x 3 2.3 3 6 3 9
=
=
= =3
2. lim
x 3 x
3
3
3
2
2
x 4x 5 (1) 4(1) 5 1 4 5 0
=
3. lim
0
x 1
5x
5(1)
5
5
4.
lim
x 0
x 2 3x 4 (0) 2 3(0) 4 0 0 4 4
=
2x
2(0)
0
0
f(x) 0
Jika lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0, sehingga lim
maka harus
x a
x a
x a g(x) 0
difaktorkan atau diuraikan terlebih dahulu.
22 3.2 2 0
x 2 - 3x 2
(tidak boleh)
1. lim
substitusi langsung :
x2 x-2
22
0
2
x - 3x 2
( x.....)( x 2)
= lim
(perhatikan angka belakang : berapa kali (-2)
lim
x2
x2 x-2
( x 2)
hasilnya (+2) (-1))
2
x - 3x 2
(x - 1) . (x - 2)
lim
= lim
lim x - 1 = 2 – 1 = 1
x2 x-2
(x - 2)
x2
x2
Contoh :
2.
x 2
lim
x 2 3x 10
x 2 5x 6
= ....
(2) 2 3(2) 10
4 6 10
0
Substitusi langsung :
=
= (tidak boleh)
2
4 10 6
0
(2) 5(2) 6
(x.....) (x 2)
x 2 (x.....) (x 2)
x 2 x 5x 6
(perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2)
hasilnya (+6) (-5) dan (+3))
lim
x 2 3x 10
2
= lim
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 1
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
x 2
lim
3.
4.
x 2 3x 10
x 5x 6
2
25 7
(x 5 (x 2)
(x 5)
= lim
=
=
= –7
x 2 (x 3) (x 2)
x 2 (x 3)
23
1
= lim
x 3 64
4 3 64 0
→ substitusi langsung :
= (tidak boleh)
lim
x4 x 4
44
0
3
2
x 64
(x 4) . (x 4x 16)
= lim
= lim (x 2 4x 16)
lim
x4 x 4
x4
x 4
(x 4)
2
= 4 + 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48
03 5.02 6.0 0
x 3 - 5x 2 6x
→
substitusi
langsung
:
= (tidak boleh)
02 3.0
0
x 2 - 3x
x (x 2 - 5x 6)
x 3 - 5x 2 6x
02 5.0 6
(x 2 - 5x 6)
=
=
=
lim
lim
lim
x 0 (x - 3)
x 0 x (x - 3)
x 0 x 2 - 3x
03
6
= –2
=
3
lim
x 0
Jika lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
x a
x a
f(x) 0
maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
lim
x a g(x) 0
(a + b) sekawannya : (a – b) atau sebaliknya
(a – b) sekawannya : (a + b)
x2
→ substitusi langsung :
lim
x2 x 2
Contoh :
1.
x2
x2
= lim
.
lim
x2 x 2
x2 x 2
= lim x 2 =
x2
=2 2
2.
22
0
= (tidak boleh)
0
2 2
(x 2) . ( x 2 )
x 2
= lim
(x 2)
x 2 x2
2 +
2
3 1 2 2 2 0
(tidak boleh)
33
0
0
( x 1) 4
x 1 2
x 1 2
x 1 2
lim
= lim
.
= lim
x 3 ( x 3)( x 1 2)
x 3
x 3
x3
x3
x 1 2
( x 3)
1
1
= lim
=
= lim
x 3 ( x 3)( x 1 2)
x 3 ( x 1 2)
3 1 2
1
1
=
22 4
x 3
lim
x 1 2
substitusi langsung :
x3
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 2
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
Jika lim f(x) dan lim g(x) , sehingga lim
x
x
f(x)
x g(x)
maka harus dibagi
dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
2x 2 6x - 8
2. 2 6. 8
substitusi
langsung
:
(tidak boleh)
lim
3
2
3
2
4. 3.
x x - 4x 3x
f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
2x 2 6x 8
2 6
8
3 3
2 3
3
2x 2 6x - 8
x
x =
x x
x
= lim x3
lim
lim
3
2
2
4
3
4x
3x
x x - 4x 3x
x
x x
1 2
3 3
3
x x
x
x
x
2 6 8
00-0 0 0
=
4 3
1- 0 0 1
1
Contoh :
1.
2.
3() 3 5() 2 4()
3x 3 5 x 2 4 x
substitusi
langsung
:
=
(tidak
3
2
3
2
x 2 x 6 x 3x
2() 6() 3()
boleh)
5 4
3x 3 5 x 2 4 x
3 2
3 3
3
3x 3 5 x 2 4 x
x x
x
x = lim
= lim x 3
lim
2
x
x 2 x 3 6 x 2 3x
x 2x
6
x 4
6x
4x
2
2
3
3
3
lim
3
x
x
x
5 4
= 30 0 = 3
=
6 3
2
200
2
x
x
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
f(x) 0
Untuk soal : lim
maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.
x 0 g(x) 0
Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah
pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.
x 3 - 5x 2 6x
6
lim
=
= -2
2
x 0 x - 3x
3
f(x)
maka harus dilihat pangkat tertingginya
x g(x)
Jika diatas hasilnya = ∞, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan
bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.
Untuk soal : lim
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 3
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
lim
x
2x 2 6x - 8
0
= =0;
3
2
x - 4x 3x
1
lim
x
3x 3 7x 2 - 5x
3
= =∞;
2
3x - 4x 3
0
lim
x
3x 3 6x 2 - 4x
3
=
3
2x - 7x 2
2
b. Limit Fungsi Trigonometri
x
sin x
lim
1 atau
x
x0
x 0 sin x
tan x
x
lim
1 atau
lim
x
x0
x 0 tan x
lim
ax
sin ax
lim
1
ax
x0
x 0 sin ax
tan ax
ax
lim
1
lim
ax
x0
x 0 tan ax
lim
Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya
0
funsi f (x) harus
0
diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
1.
2.
sin 5x
sin 5x 5
5
5
5
sin 5x
= lim
. = . lim
= .1=
lim
x 0 3x
x 0 3x
5
3 x 0 5x
3
3
sin 5x
5
=
atau : lim
x 0 3x
3
sin 4x
sin 4x 4x 3x
4x
sin 4x
3x
4
= lim
.
.
=
. lim
. lim
=
lim
x 0 tan 3x
x 0 tan 3x
x 0 tan 3x 4x 3x
3x x 0 4x
3
sin 4x
4
atau : lim
=
x 0 tan 3x
3
cos 2x
cos 2 . 45o
cos 90o
0
0
lim
=
=
=
=
o
o
o
o
1
1
cos 45 sin 45
cos 45 sin 45
0
x cos x sin x
2
2
4
2
2
fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)
cos 2x
(cos x sinx) (cos x sin x)
lim
= lim
= lim (cos x sin x)
cos
x
sin
x
(cos
x
sin
x)
x
x
x
4
4
4
1
1
2 +
2 = 2
= cos 45o + sin 45o =
2
2
1 cos 0 o
11 0
1 cos 2x
(tidak boleh)
4. lim
substitusi langsung :
o
x 0 5x sin x
0.0 0
5(0). sin 0
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri
1 (1 2sin 2 x)
1 cos 2x
= lim
cos 2x = 1 – 2sin2 x
lim
x 0
x 0 5x sin x
5x sin x
1 1 2sin 2 x
2sin 2 x
sin x
sin x
2
= lim
= lim
=
. lim
lim
x 0
x 0 5x sin x
5x sin x
5 x 0 x x 0 sin x
3.
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 4
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
2
.1.1
5
2
=
5
=
Pembahasan soal-soal :
1.
x 3 27
= ….
lim
x 3
x -3
A. 9
B. 12
C. 18
UN 03/04
Jawab : E
Penyelesaian :
(x 2 3x 9) . (x - 3)
x 3 27
= lim
lim
x 3
x 3
x -3
( x - 3)
D. 21
E. 27
5
2
E. ∞
= lim (x 2 3x 9)
x 3
= 32 + 3 . 3 + 9
=9+9+9
= 27
atau dengan cara diturunkan.
x 3 27
3x 2
= lim
lim
x 3
x 3 1
x -3
= 3 . 32
=3.9
= 27
2.
3x 3 10x 5
lim
= ….
x 5x 3 8x 2
2
3
A.
B.
5
5
UN 03/04
Jawab : B
Penyelesaian :
C.
5
3
D.
3x 3 10x 5
3 3
3
3x 10x 5
x
x
x
lim
= lim
x 5x 3 8x 2
x 5x 3
8x 2
3 3
3
x
x
x
10 5
3 2 3
x
x
= lim
x
8
2
5 2 3
x
x
10 5
3
= lim
x
8 2
5
3
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 5
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
300
500
3
=
5
=
atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka
lihat angka didepan x pangkat tertinggi
3x 3 10x 5 3
=
lim
x 5x 3 8x 2
5
3.
x 2 3x 2
= ….
x2
x2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
UN 04/05
Jawab : A
Penyelesaian :
x 2 3x 2
x 2 3x 2
x2
= lim
.
lim
x2
x
2
x2
x2
x2
(x 2) (x 1) x 2
= lim
x2
(x 2)
lim
E.
= lim (x 1) x 2
x 2
= (2 – 1) .
=1.0
=0
4.
x 0
lim
1 cos 2x
5x 2
22
= ….
5
3
2
B.
C.
2
2
3
UN 04/05
Jawab : D
Penyelesaian :
1 cos 2x
1 (1 2 sin 2 x)
lim
= lim
x 0
x 0
5x 2
5x 2
2 sin 2 x
lim
=
x 0 5x 2
2
sin x
sin x
. lim
= . lim
x
0
x
0
5
x
x
2
= .1.1
5
2
=
5
A.
D.
2
5
E.
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 6
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
5.
x
Nilai dari lim
2x 3 3x 2 2x 5
x 3 4x 7
B.
= ….
A. 0
C. 2
D. 3
E. 4
UN 05/06
Jawab : C
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.
2x 3 3x 2 2x 5
2
= =2
lim
3
x
1
x 4x 7
6.
lim 4 sin 2x . cotg 2x = ….
x 0
A.
UN 05/06
Jawab : E
Penyelesaian :
B. –1
x 0
lim 4 sin 2x . cotg 2x
x 0
lim 4 sin 2x .
7.
8.
C. 0
cotg 2x =
D. 2
E. 4
cos 2x
sin 2x
cos 2x
= lim 4 cos 2x
x 0
sin 2x
= 4 . cos 0o
=4.1
=4
x2 x 2
= ....
x
2x 2
1
C. 1
D. 2
E.
A. 0
B.
2
UN 07/08
Jawab : B
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama
maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.
1
x2 x 2
=
lim
2
x
2
2x
Nilai lim
3x 2 . tan 4x
adalah ....
x 0 x . sin 2 3x
Nilai lim
A. 4
UN 07/08
Jawab : D
Penyelesaian :
3x 2 . tan 4x
lim
x 0 x . sin 2 3x
B. 2
C.
= lim
x 0
5
3
D.
4
3
E.
1
3
3x
x
tan 4x
. lim
. lim
x
0
x
0
sin 3x
sin 3x
x
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 7
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
3x
x
3
tan 4x 4
. lim
. . lim
.
x 0 sin 3x
x 0 sin 3x
3 x 0 x
4
4
3x
3x
tan 4x
= . lim
. lim
. lim
3 x 0 sin 3x x 0 sin 3x x 0 4x
4
= .1.1.1
3
4
=
3
= lim
Soal latihan :
1.
x2 4
= ….
x2 x 2
lim
A. -2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
B. 0
C. 4
2
3x 2x 16
= ….
Nilai dari lim
x2
2x 4
A. 7
B. 6
C. 4
2
x 5x 14
= ….
lim
x 2
3x 6
4
A. –3
B. –
C. 2
3
x 4
lim
....
x16 x 16
1
1
1
B.
C.
A.
8
4
2
2x 6
= ....
lim
x 3
x 1 2
A. 0
B. 2
C. 4
9 x
= ….
lim
x 9
3 x
A. 9
B. 6
C. 3
2
(2 x 3) ( x 4)
lim
....
x (4 x2 3)(2 x 1)
3
A. 4
B. 2
C.
4
3
(3x 1)
lim
= ….
x 2 x( 4 x 2 1)
3
3
3
B.
C.
A.
8
4
2
2 x 3 3x 2 2
= ....
3
x ~ 5 x 3x 4
A. 7
B. 4
5
5
D. 6
E. 8
D. 2
E. 0
D. 6
E. 9
D. 4
E. 8
D. 8
E.
D. 1
E. 0
D.
1
2
E.
1
3
D.
27
8
E. 3
lim
C. 3
5
D. 2
5
E. 1
5
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 8
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
10.
A. –
11.
12.
5
2
cos 2x - 1
= ….
4x sin x
1
1
B.
A.
2
4
lim 2 cos x . tg x = ....
1
4
C. 0
D.
1
4
C. 2
D. 4
E.
C. 0
D. 1
E. 2
C. 2
D. 2 2
E.
C. 1
D. 0
E. –1
C. 0
D.
1
4
E.
1
2
C.
1
4
D.
1
3
E.
1
2
C.
2
5
D. –
2
5
E. –
5
3
D. 2
2
3
E. 3
1
3
D. –
1
2
E. –
4
3
x 0
x
E.
2
lim
x 0
cos 2x 1
= ….
2x 2
B. 1
A. -2
14.
E.
D.
Nilai dari lim
A. 0
13.
2x 3 5x 2 3x
= ....
x 8 2x 2 4x 3
1
B. –
C. 0
2
Nilai dari lim
B. -1
cos 2x
= ….
lim
cos x sin x
x
4
1
B. 2
2
2
lim 2 tan x . cos x = ….
A.
15.
x
A.
16.
17.
18.
19.
20.
1
2
2
B. 2
1 - cos 2x
= ….
Nilai dari lim
x 0 4x sin x
1
1
A.
B.
2
4
x4
= ….
lim
x 4 x 2 2x 8
1
1
B.
A.
8
6
2
2x 7x 3
lim 2
= ….
x 3 x x 12
5
5
A.
B.
3
7
2x 2
= ….
lim
x 1
3x 1 2
2
2
A.
B. 1
3
3
2
x 5x 4
lim 2
= ….
x 0 2x 5x 3
4
A.
B. 1
3
C. 2
C.
1
3
1
2
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 9
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
LIMIT FUNGSI
a. Limit Fungsi Aljabar
Secara umum bentuk limit ditulis : lim f (x) = f (a)
x a
Jika f (a) = k, maka lim f (x) = k
x a
0
Jika f (a) = , maka lim f (x) = 0
x a
k
k
Jika f (a) = , maka lim f (x) = ∞
x a
0
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).
Contoh :
1. lim 4x 5 = 4 . 2 + 5 = 13
x2
2x 3 2.3 3 6 3 9
=
=
= =3
2. lim
x 3 x
3
3
3
2
2
x 4x 5 (1) 4(1) 5 1 4 5 0
=
3. lim
0
x 1
5x
5(1)
5
5
4.
lim
x 0
x 2 3x 4 (0) 2 3(0) 4 0 0 4 4
=
2x
2(0)
0
0
f(x) 0
Jika lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0, sehingga lim
maka harus
x a
x a
x a g(x) 0
difaktorkan atau diuraikan terlebih dahulu.
22 3.2 2 0
x 2 - 3x 2
(tidak boleh)
1. lim
substitusi langsung :
x2 x-2
22
0
2
x - 3x 2
( x.....)( x 2)
= lim
(perhatikan angka belakang : berapa kali (-2)
lim
x2
x2 x-2
( x 2)
hasilnya (+2) (-1))
2
x - 3x 2
(x - 1) . (x - 2)
lim
= lim
lim x - 1 = 2 – 1 = 1
x2 x-2
(x - 2)
x2
x2
Contoh :
2.
x 2
lim
x 2 3x 10
x 2 5x 6
= ....
(2) 2 3(2) 10
4 6 10
0
Substitusi langsung :
=
= (tidak boleh)
2
4 10 6
0
(2) 5(2) 6
(x.....) (x 2)
x 2 (x.....) (x 2)
x 2 x 5x 6
(perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2)
hasilnya (+6) (-5) dan (+3))
lim
x 2 3x 10
2
= lim
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 1
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
x 2
lim
3.
4.
x 2 3x 10
x 5x 6
2
25 7
(x 5 (x 2)
(x 5)
= lim
=
=
= –7
x 2 (x 3) (x 2)
x 2 (x 3)
23
1
= lim
x 3 64
4 3 64 0
→ substitusi langsung :
= (tidak boleh)
lim
x4 x 4
44
0
3
2
x 64
(x 4) . (x 4x 16)
= lim
= lim (x 2 4x 16)
lim
x4 x 4
x4
x 4
(x 4)
2
= 4 + 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48
03 5.02 6.0 0
x 3 - 5x 2 6x
→
substitusi
langsung
:
= (tidak boleh)
02 3.0
0
x 2 - 3x
x (x 2 - 5x 6)
x 3 - 5x 2 6x
02 5.0 6
(x 2 - 5x 6)
=
=
=
lim
lim
lim
x 0 (x - 3)
x 0 x (x - 3)
x 0 x 2 - 3x
03
6
= –2
=
3
lim
x 0
Jika lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga
x a
x a
f(x) 0
maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
lim
x a g(x) 0
(a + b) sekawannya : (a – b) atau sebaliknya
(a – b) sekawannya : (a + b)
x2
→ substitusi langsung :
lim
x2 x 2
Contoh :
1.
x2
x2
= lim
.
lim
x2 x 2
x2 x 2
= lim x 2 =
x2
=2 2
2.
22
0
= (tidak boleh)
0
2 2
(x 2) . ( x 2 )
x 2
= lim
(x 2)
x 2 x2
2 +
2
3 1 2 2 2 0
(tidak boleh)
33
0
0
( x 1) 4
x 1 2
x 1 2
x 1 2
lim
= lim
.
= lim
x 3 ( x 3)( x 1 2)
x 3
x 3
x3
x3
x 1 2
( x 3)
1
1
= lim
=
= lim
x 3 ( x 3)( x 1 2)
x 3 ( x 1 2)
3 1 2
1
1
=
22 4
x 3
lim
x 1 2
substitusi langsung :
x3
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 2
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
Jika lim f(x) dan lim g(x) , sehingga lim
x
x
f(x)
x g(x)
maka harus dibagi
dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
2x 2 6x - 8
2. 2 6. 8
substitusi
langsung
:
(tidak boleh)
lim
3
2
3
2
4. 3.
x x - 4x 3x
f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
2x 2 6x 8
2 6
8
3 3
2 3
3
2x 2 6x - 8
x
x =
x x
x
= lim x3
lim
lim
3
2
2
4
3
4x
3x
x x - 4x 3x
x
x x
1 2
3 3
3
x x
x
x
x
2 6 8
00-0 0 0
=
4 3
1- 0 0 1
1
Contoh :
1.
2.
3() 3 5() 2 4()
3x 3 5 x 2 4 x
substitusi
langsung
:
=
(tidak
3
2
3
2
x 2 x 6 x 3x
2() 6() 3()
boleh)
5 4
3x 3 5 x 2 4 x
3 2
3 3
3
3x 3 5 x 2 4 x
x x
x
x = lim
= lim x 3
lim
2
x
x 2 x 3 6 x 2 3x
x 2x
6
x 4
6x
4x
2
2
3
3
3
lim
3
x
x
x
5 4
= 30 0 = 3
=
6 3
2
200
2
x
x
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
f(x) 0
Untuk soal : lim
maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya.
x 0 g(x) 0
Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah
pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x.
x 3 - 5x 2 6x
6
lim
=
= -2
2
x 0 x - 3x
3
f(x)
maka harus dilihat pangkat tertingginya
x g(x)
Jika diatas hasilnya = ∞, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan
bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x.
Untuk soal : lim
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 3
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
lim
x
2x 2 6x - 8
0
= =0;
3
2
x - 4x 3x
1
lim
x
3x 3 7x 2 - 5x
3
= =∞;
2
3x - 4x 3
0
lim
x
3x 3 6x 2 - 4x
3
=
3
2x - 7x 2
2
b. Limit Fungsi Trigonometri
x
sin x
lim
1 atau
x
x0
x 0 sin x
tan x
x
lim
1 atau
lim
x
x0
x 0 tan x
lim
ax
sin ax
lim
1
ax
x0
x 0 sin ax
tan ax
ax
lim
1
lim
ax
x0
x 0 tan ax
lim
Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya
0
funsi f (x) harus
0
diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
1.
2.
sin 5x
sin 5x 5
5
5
5
sin 5x
= lim
. = . lim
= .1=
lim
x 0 3x
x 0 3x
5
3 x 0 5x
3
3
sin 5x
5
=
atau : lim
x 0 3x
3
sin 4x
sin 4x 4x 3x
4x
sin 4x
3x
4
= lim
.
.
=
. lim
. lim
=
lim
x 0 tan 3x
x 0 tan 3x
x 0 tan 3x 4x 3x
3x x 0 4x
3
sin 4x
4
atau : lim
=
x 0 tan 3x
3
cos 2x
cos 2 . 45o
cos 90o
0
0
lim
=
=
=
=
o
o
o
o
1
1
cos 45 sin 45
cos 45 sin 45
0
x cos x sin x
2
2
4
2
2
fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x – sin x) (cos x + sin x)
cos 2x
(cos x sinx) (cos x sin x)
lim
= lim
= lim (cos x sin x)
cos
x
sin
x
(cos
x
sin
x)
x
x
x
4
4
4
1
1
2 +
2 = 2
= cos 45o + sin 45o =
2
2
1 cos 0 o
11 0
1 cos 2x
(tidak boleh)
4. lim
substitusi langsung :
o
x 0 5x sin x
0.0 0
5(0). sin 0
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri
1 (1 2sin 2 x)
1 cos 2x
= lim
cos 2x = 1 – 2sin2 x
lim
x 0
x 0 5x sin x
5x sin x
1 1 2sin 2 x
2sin 2 x
sin x
sin x
2
= lim
= lim
=
. lim
lim
x 0
x 0 5x sin x
5x sin x
5 x 0 x x 0 sin x
3.
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 4
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
2
.1.1
5
2
=
5
=
Pembahasan soal-soal :
1.
x 3 27
= ….
lim
x 3
x -3
A. 9
B. 12
C. 18
UN 03/04
Jawab : E
Penyelesaian :
(x 2 3x 9) . (x - 3)
x 3 27
= lim
lim
x 3
x 3
x -3
( x - 3)
D. 21
E. 27
5
2
E. ∞
= lim (x 2 3x 9)
x 3
= 32 + 3 . 3 + 9
=9+9+9
= 27
atau dengan cara diturunkan.
x 3 27
3x 2
= lim
lim
x 3
x 3 1
x -3
= 3 . 32
=3.9
= 27
2.
3x 3 10x 5
lim
= ….
x 5x 3 8x 2
2
3
A.
B.
5
5
UN 03/04
Jawab : B
Penyelesaian :
C.
5
3
D.
3x 3 10x 5
3 3
3
3x 10x 5
x
x
x
lim
= lim
x 5x 3 8x 2
x 5x 3
8x 2
3 3
3
x
x
x
10 5
3 2 3
x
x
= lim
x
8
2
5 2 3
x
x
10 5
3
= lim
x
8 2
5
3
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 5
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
300
500
3
=
5
=
atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka
lihat angka didepan x pangkat tertinggi
3x 3 10x 5 3
=
lim
x 5x 3 8x 2
5
3.
x 2 3x 2
= ….
x2
x2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
UN 04/05
Jawab : A
Penyelesaian :
x 2 3x 2
x 2 3x 2
x2
= lim
.
lim
x2
x
2
x2
x2
x2
(x 2) (x 1) x 2
= lim
x2
(x 2)
lim
E.
= lim (x 1) x 2
x 2
= (2 – 1) .
=1.0
=0
4.
x 0
lim
1 cos 2x
5x 2
22
= ….
5
3
2
B.
C.
2
2
3
UN 04/05
Jawab : D
Penyelesaian :
1 cos 2x
1 (1 2 sin 2 x)
lim
= lim
x 0
x 0
5x 2
5x 2
2 sin 2 x
lim
=
x 0 5x 2
2
sin x
sin x
. lim
= . lim
x
0
x
0
5
x
x
2
= .1.1
5
2
=
5
A.
D.
2
5
E.
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 6
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
5.
x
Nilai dari lim
2x 3 3x 2 2x 5
x 3 4x 7
B.
= ….
A. 0
C. 2
D. 3
E. 4
UN 05/06
Jawab : C
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.
2x 3 3x 2 2x 5
2
= =2
lim
3
x
1
x 4x 7
6.
lim 4 sin 2x . cotg 2x = ….
x 0
A.
UN 05/06
Jawab : E
Penyelesaian :
B. –1
x 0
lim 4 sin 2x . cotg 2x
x 0
lim 4 sin 2x .
7.
8.
C. 0
cotg 2x =
D. 2
E. 4
cos 2x
sin 2x
cos 2x
= lim 4 cos 2x
x 0
sin 2x
= 4 . cos 0o
=4.1
=4
x2 x 2
= ....
x
2x 2
1
C. 1
D. 2
E.
A. 0
B.
2
UN 07/08
Jawab : B
Penyelesaian :
Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama
maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi.
1
x2 x 2
=
lim
2
x
2
2x
Nilai lim
3x 2 . tan 4x
adalah ....
x 0 x . sin 2 3x
Nilai lim
A. 4
UN 07/08
Jawab : D
Penyelesaian :
3x 2 . tan 4x
lim
x 0 x . sin 2 3x
B. 2
C.
= lim
x 0
5
3
D.
4
3
E.
1
3
3x
x
tan 4x
. lim
. lim
x
0
x
0
sin 3x
sin 3x
x
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 7
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
3x
x
3
tan 4x 4
. lim
. . lim
.
x 0 sin 3x
x 0 sin 3x
3 x 0 x
4
4
3x
3x
tan 4x
= . lim
. lim
. lim
3 x 0 sin 3x x 0 sin 3x x 0 4x
4
= .1.1.1
3
4
=
3
= lim
Soal latihan :
1.
x2 4
= ….
x2 x 2
lim
A. -2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
B. 0
C. 4
2
3x 2x 16
= ….
Nilai dari lim
x2
2x 4
A. 7
B. 6
C. 4
2
x 5x 14
= ….
lim
x 2
3x 6
4
A. –3
B. –
C. 2
3
x 4
lim
....
x16 x 16
1
1
1
B.
C.
A.
8
4
2
2x 6
= ....
lim
x 3
x 1 2
A. 0
B. 2
C. 4
9 x
= ….
lim
x 9
3 x
A. 9
B. 6
C. 3
2
(2 x 3) ( x 4)
lim
....
x (4 x2 3)(2 x 1)
3
A. 4
B. 2
C.
4
3
(3x 1)
lim
= ….
x 2 x( 4 x 2 1)
3
3
3
B.
C.
A.
8
4
2
2 x 3 3x 2 2
= ....
3
x ~ 5 x 3x 4
A. 7
B. 4
5
5
D. 6
E. 8
D. 2
E. 0
D. 6
E. 9
D. 4
E. 8
D. 8
E.
D. 1
E. 0
D.
1
2
E.
1
3
D.
27
8
E. 3
lim
C. 3
5
D. 2
5
E. 1
5
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 8
Download GRATIS Modul, Bahan Ajar (ppt/flash), Rumus Cepat, Bank Soal, Tes Online, Peningkatan Kompetensi
Guru, dll. Hanya di www.okemat.blogspot.com ; Turut membantu meningkatkan kualitas pendidikan Indonesia.
10.
A. –
11.
12.
5
2
cos 2x - 1
= ….
4x sin x
1
1
B.
A.
2
4
lim 2 cos x . tg x = ....
1
4
C. 0
D.
1
4
C. 2
D. 4
E.
C. 0
D. 1
E. 2
C. 2
D. 2 2
E.
C. 1
D. 0
E. –1
C. 0
D.
1
4
E.
1
2
C.
1
4
D.
1
3
E.
1
2
C.
2
5
D. –
2
5
E. –
5
3
D. 2
2
3
E. 3
1
3
D. –
1
2
E. –
4
3
x 0
x
E.
2
lim
x 0
cos 2x 1
= ….
2x 2
B. 1
A. -2
14.
E.
D.
Nilai dari lim
A. 0
13.
2x 3 5x 2 3x
= ....
x 8 2x 2 4x 3
1
B. –
C. 0
2
Nilai dari lim
B. -1
cos 2x
= ….
lim
cos x sin x
x
4
1
B. 2
2
2
lim 2 tan x . cos x = ….
A.
15.
x
A.
16.
17.
18.
19.
20.
1
2
2
B. 2
1 - cos 2x
= ….
Nilai dari lim
x 0 4x sin x
1
1
A.
B.
2
4
x4
= ….
lim
x 4 x 2 2x 8
1
1
B.
A.
8
6
2
2x 7x 3
lim 2
= ….
x 3 x x 12
5
5
A.
B.
3
7
2x 2
= ….
lim
x 1
3x 1 2
2
2
A.
B. 1
3
3
2
x 5x 4
lim 2
= ….
x 0 2x 5x 3
4
A.
B. 1
3
C. 2
C.
1
3
1
2
Dibuat Oleh Pak Sukani; Email: Likeny_rbg@yahoo.com
Page 9