SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN NASKAH D
SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN
NASKAH D
URAIAN1. Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) dari daerah penyelesaian (DP) berikut ini.
Y 3, 6
6 7, 4
3
X
1
5 O Solusi:
1, 0 dan 0, 3
3 x y
3 PtLDV: 3 x y
3
3, 6 dan 7, 4
4 6
y
6 x
3
7 3 4 y 24 2 x
6
x y
2 4
30 PtLDV: x y 2
15
5, 0 dan 7, 4
4 0
y x
5
7 5
y x
2
10 2 x y
10 PtLDV: 2 x y
10
x y
3
3 x 2 y
15
Jadi, SPtLDV adalah
2 x y
10
x
6 y
2. Tentukan nilai optimum fungsi objektif , 2 dari daerah penyelesaian sistem f x y x y
pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) menggunakan garis selidik.
x y
2
4
x y
4
3
24
3 x 2 y
6
x
5
y
4
Solusi: Y f x y , x 2 y
Garis 2 x y melalui titik-titik
8 0, 0 dan 2,1 .
2 x y
4
x
5 4 x 3 y
24
4 x 3 y
24
4 5 3 y
24
4 3, 4
y x y
3 2
6
4
y
4
3
4 5, koordinat titik poptongnya . x y
3
2 2 3 4 10
DP
3
4 4 3
24 y x y
4 5,
3 4 x 3 4
24
1 x
3
x
5
koordinat titik poptongnya
3, 4 .
X 2 O
5
6
2 nilai minimum dicapai pada titik x y
2 2 2 0
4
2, 0 sebesar x
2 y 2 2 0 2 .
x
2 y
nilai maksimum dicapai pada titik 3, 4 sebesar x 2 y 3 2 4 11 .
3. Sebuah pabrik membuat dua macam produksi, meja dan kursi, yang harus diproses melalui bagian
perakitan dan bagian penyempurnaan (finishing). Bagian perakitan menyediakan 60 jam dan bagian penyempurnaan menyediakan 48 jam. Pembuatan 1 meja memerlukan 4 jam perakitan dan 2 jam penyempurnaan. Setiap kursi memerlukan 2 jam perakitan dan 4 jam penyempurnaan, keuntungan $8 per meja dan $6 setiap kursinya. Berapakah banyak meja dan kursi harus diproduksi agar memberikan keuntungan maksimum? Tentukan keuntungan maksimum tersebut.Solusi: Misalnya banyak meja dan kursi masing-masing adalah x dan y buah.
x y
4
2
60 Y x y
2
4
48
30
x
y
f x y , 8 x 6 y
4 x 2 y
60 Menentukan koordinat titik potong garis.
4 2 60 y x x y 30 2
12 y 30 2 x
2 x 4 y
48
x x
2 4 30 2
48
12, 6
x x
2 120 8
48 2 x 4 y
48 6 x
72
x
12
X O
15
24 y 30 2 12
6 4 x 2 y 60 dan
2
4
48 adalah 12, 6 .koordinat titik potong x y f x y , 8 x 6 y
f 0, 0 8 0 6 0
f 15, 0 8 15 6 0 120
12, 6 8 12 6 6 132 f
0,12 8 0 6 12
72 f
Jadi, banyak meja dan kursi harus diproduksi agar memberikan keuntungan maksimum masing- masing adalah 12 dan 6 buah. Keuntungan maksimum tersebut adalah $132.
4. Seorang tukang roti mempunyai bahan A, B, dan C masing-masing sebanyak 150, 90, dan 150 unit.
Sepotong roti memerlukan 1 unit bahan A, 1 unit bahan B, dan 2 unit bahan C. Sepotong kue memerlukan 5 unit bahan A, 2 unit bahan B, dan 1 unit bahan C. Jika sepotong roti dijual dengan harga 35 cent dan sepotong kue 80 cent, berapa masing-masing harus dibuat dan berapa pemasukannya? (Petunjuk : $1 = 100 cent) Solusi: Misalnya banyak produk A dan produk B masing-masing x dan y buah.
x 5 y 150
Y x y
2
90
x y
2 150
150
x
y
x y
5 150
f x y , 35 x 80 y Menentukan koordinat titik potong garis.
50, 20 x
5 y 150 x 150 5 y
45 200 50 x 150 5 y x
2 y
90
30 , x
2 y
90
3
150 5 y 2 y
3
90
x y
5 150 3 y 60 70,10
X y
20 O
90 150
75 x
150 5 20 50
x y dan x y adalah 50, 20 .
koordinat titik potong
5 150 2
90
x 150 5 y
2 x y 150
2 150 5 y y 150
300 10 150 y y y
50
y
3 50 200
x
150 5
3
3
200 50 x y dan x y adalah , .
koordinat titik potong
5 150 2 150
3
3 x
2 y 90 x 90 2 y
x 90 2 y
2 x y 150
2 90 2 y y 150
y y 180 4 150
y
3
30
y
10
x 90 2 10
70
70,10 x
2 y 90 dan 2 x y 150 adalah .
koordinat titik potong ,
35
80 f x y x y
0, 0 35 0 80 0 f
75, 0 35 75 80 0 2625 f
70,10 35 70 80 10 3250 f
f 50, 20 35 50 80 20 3350
f 0, 30 35 0 80 30 240
Jadi, banyak roti dan kue masing-masing harus dibuat adalah 50 dan 20 buah dan pemasukannya $33,50.
3
5. Sebuah perusahaan minyak mempunyai persediaan 9.000 m minyak berat, 12.000 minyak sedang
dan 26.000 minyak ringan. Perusahaan tersebut mempunyai dua jenis alat pembersih A dan B. Alat3 A dapat memelihara 200, 100 dan 300 m minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari.
3 Sedangkan alat B dapat memelihara 200, 100 dan 300 m minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari. Jika biaya pengoperasian alat-alat tersebut $200 per hari, berapa hari alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin? Jika biaya pengoperasian alat A adalah $300 per hari dan B adalah $200 per hari, berapa hari masing-masing harus dioperasikan? Solusi: Misalnya banyak jenis alat pembersih A dan B masing-masing adalah x dan y.
100 x 200 y 9.000 x y
45
Y
100 x 100 y 12.000 x y 120
x y x y
300 300 26.000
3 3 260
120
x x
y y
Kasus Pertama:
260
f x y , 200 x 200 y
3
120, 0 200 120 200 0 24.000 f
2 x y
16
0,120 200 0 200 120 24.000
45 f
x y
120
Jadi, alat-alat tersebut harus
2 x 2 y
12
dioperasikan agar biaya seminimum
mungkin alat A 120 hari dan alat B
45 O 120
260
tidak diopreasikan atau alat A tidak
3
dioperasikan dan alat B 120 hari, dengan biaya mínimum adalah $24.000. Kasus Ke dua:
, 300 200 f x y x y
f 120, 0 300 120 200 0 36.000
f 0,120 300 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 120 hari dan alat B tidak diopreasikan, dengan biaya mínimum adalah $24.000.
Seharusnya:
3 Sebuah perusahaan minyak mempunyai persediaan 9.000 m minyak berat, 12.000 minyak sedang dan 26.000 minyak ringan. Perusahaan tersebut mempunyai dua jenis alat pembersih A dan B. Alat
3 A dapat memelihara 100, 300 dan 400 m minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari.
3 Sedangkan alat B dapat memelihara 200, 100 dan 300 m minyak jenis berat, sedang dan ringan setiap hari.
(1) Jika biaya pengoperasian alat-alat tersebut $200 per hari, berapa hari alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin?
(2) Jika biaya pengoperasian alat A adalah $300 per hari dan B adalah $200 per hari, berapa hari masing-masing harus dioperasikan?
5 100
(1) Kasus Pertama:
20, 60 .
4 3 260 x y adalah
3 120 x y dan
koordinat titik potong
120 3 20 60 y
20 x
x
x x
90, 0 200 90 200 0 18.000 f
4 360 9 260
4 3 120 3 260 x x
120 3 4 3 260 y x x y
y x
120 3
x y
3 120
adalah 50, 20 .
, 200 200 f x y x y
50, 20 200 50 200 20 14.000 f
x y
65
20, 60
50, 20
4 3 260 x y
2 90 x y
3 120 x y
45
40
20, 60 200 20 200 60 16.000 f
90 X Y
3
86
2
O
120, 300 200 f x y x y
(2) Kasus Kedua:
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 50 hari dan alat B 20 hari, dengan biaya mínimum adalah $14.000.
0,120 200 0 200 120 24.000 f
4 3 260
Solusi: Misalnya banyak jenis alat pembersih A dan B masing-masing adalah x dan y.
5 150
y y 270 6 120 y y
3 90 2 120
90 2 3 120 x y x y
x y x y
2 90 90 2
Menentukan koordinat titik potong garis.
30
x y x y x y x y x y x y x x y y
4 3 260
90 300 100 12.000 3 120 400 300 26.000
2
100 200 9.000
y
y
dan
5 100
x y
90
2
x koordinat titik potong
50
90 2 20
y 20 y
y y
90 2 30 30 x
360 8 3 260
4 90 2 3 260 y y
x y x y
4 3 260
90 2
30, 30 .
2 90 x y dan 3 120 x y adalah
koordinat titik potong
30, 30
90, 0 300 90 200 0 27.000 f
50, 20 300 50 200 20 19.000 f
f 20, 60 300 20 200 60 18.000
f 0,120 300 0 200 120 24.000
Jadi, alat-alat tersebut harus dioperasikan agar biaya seminimum mungkin alat A 20 hari dan
alat B 50 hari, dengan biaya mínimum adalah $18.000.