Matematika SMA EXPONEN DAN LOGARITMA
EXPONEN DAN LOGARITMA
Bab 2
A. EXPONEN.
Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Bulat.
1. a m .a n
2.
a
m
a
n
a
a
(m
n)
3. a m .b m
(m n)
4.
( a .b )
a
m
a
b
m
b
m
5. a
m
n
a
m .n
m
Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Rasional/Pecah.
1. a
1
1
n
a
2. a 0
n
3.
n
1; ( a
4.
0)
n
n
a. b
1
n
a
a
n
ab
( a .b ) n ; n
,a
0
0
1
m
5. a
7.
n
n
m n
a
a
m
m .n
n
n
m
;n
a
a;m
0; n
6.
0
n
a
n
b
a
a
b
b
n
;a
0 dan b
0
0
Menyederhanakan bentuk :
2b
a
Untuk ( a 2 b ) 0 berlaku :
m + n = a dan m x n = b
2 b
a
n dengan m
m
0 jika dan hanya jika
n
Contoh :
8
4 3
...
8 4 3
Jawab :
8
4 3
8
2 12
6
2
8
4 3
8
2 12
6
2
a. 3
2 3
b. 3
c. 2
2 3
c
Merasionalkan penyebut
a
c
a
b
a
c
a
(a
c
b
c
b
a
b
6
2
6
d. 2
3
c(a
a
(a
b)
c(a
a
6
2 12
2
8
2
4 3
2
3
4
e. 2
3
c
a
b)
b)
2
atau
(a
(a
6
2 3
b
b)
.
b
b)
2
b
c
a
b)
2
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
b
( a
b)
c( a
( a
b)
a
( a
b)
c( a
( a
b)
a
b)
b
b)
b
1
Matematika SMA
Soal Latihan :
1.
Nilai dari
a.
2.
3
(12
n)
(2n 7)
9
3
adalah ...
5n
1
9
b.
3
Jika f ( x )
13
x
3 maka
1
c.
f (a
2b
c)
9
2 f (b )
1
1
n m
a
1
3
b. 0
3
125 a b
a.
3
2
3
6
2
ab
3
1
27
3
b.
a b
2
1
3
6.
1
y
x
1
2
x y
4
49
45
b. 6
9.
b.
6
3
10. Jika
3
2
3
12.
4 3
8
4 3
a. 3
2
3
2
2
3
2
a b
e. ( 3
11 )
2
d.
2
2
e. 7
3
2 30
adalah …
8
2
9
d. 2 3 e. 2 6
sama dengan …
6
d.
2
3
5
2
e.
9
5
adalah …
11
11 )
c.
11 ) d.
2 (3
4 (3
11 )
c. –2
d. 2
e. 3
...
a. 3 2 3 b. 3
6
3
3
3
b. –3
8
e.
b 6 , a dan b bilangan bulat maka a + b = …
a
a. –5
11.
2
a b
d. x – y e. y – x
x
c.
4
b. 4 ( 3
11 )
2
y
6 adalah …
c.
3
2 (3
2
3
d.
1
32
Bentuk sederhana dari
a.
2
adalah …
27
2
m n
...
c. 3 2
Nilai dari bentuk
a. 2 6
e. a
2 10
128
8.
f (c )
2
d. 1
20
18
7
12
2
c.
2 6
Nilai dari bentuk
( f ( b ))
2b )
2
xy
y
2 6 b. 7
a. 3
a b
1
x
e. f ( a
f (c )
c. ab
1
Bentuk sederhana dari
a. 5
7.
b.
6
6
2
ab
Bentuk sederhana dari
a.
3
2
c. ½
6
y
5.
2
adalah sama dengan …
m n
a
9
f (c )
d.
f (c )
a. –1
4.
c.
f (a )
1
3.
f (c )
2 f ( a ) f (b )
b.
e.
...
f ( a )( f ( b ))
a. f ( a )
2
d.
2
c. 2
2 3
d. 2
2 3
e. 2
3
3
...
3 2
2
b. 3
1
3
2
c. 3
1
3
2
d. 3
3
2
2
e. 3
2
3
2
2
Matematika SMA
1
1
13. Diketahui x 2 x
a. 7
b. 8
27
3
4
14.
5
a. –2
15.
b.-1
3
...
d. 10
e. 11
a. 3
b. 3
1
2
5
c. 3
16
3
2
3
7x
17. Bentuk dari
2
6
5
(x
6y
4
y
1
3
d. 4
2
e. 2
2
3
e. 5
1
3
2
=…
2
4
3
8
b. 12
a. 11
5
6
3
2
4
d. 1
...
64
3
2
16. Nilai dari 27
c. 0
3
729
243
a. (1
1
...
2
1
5
x
2
1
2
3 , Nilai dari x
c. 9
2
3
c. 13
d. 14
e. 15
5
)x
untuk x = 4 dan y = 27 adalah …
2
b. (1
2 2 )9 2
2 2 )9 3
c. (1
2 2 )18 3
d. (1 2 2 ) 27 2
e. (1 2 2 ) 27 3
18. Untuk bilangan 0,646464… jika dinyatakan dalam pecahan biasa adalah …
2
7
64
a.
b.
c.
d. 0,65
e. 4
3
9
99
19. Nilai dari
7 7 7 ...
a. 4
...
b. 5
20. Nilai dari
a. 4
c. 6
30
30
30
b. 5
...
d. 7
e. 8
d. 7
e. 8
...
c. 6
B. PERSAMAAN EXPONEN
1.
2.
3.
4.
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
a
g (x)
f ( x)
g ( x)
b
f (x)
f ( x)
0
b
g (x)
dibawa ke bentuk log.
g (x)
h(x)
Bentuk f ( x )
f ( x)
Dengan kemungkinan : - ekponen sama atau g(x)=h(x)
f ( x)
- bilangan pokok
1
1 , dengan syarat h(a)+g(a)=genap
- bilangan pokok f ( x )
- bilangan pokok f(x)=0, dengan syarat h(a).g(a)>0
5. Bentuk persamaan yang dapat dikembangkan menjadi persamaan kuadrat.
Cara Cerdik :
a
mx
n
b
px
q
maka
x
a
m
b
p
log
b
q
a
n
Contoh Soal :
1.
3
x 1
4
x 1
, maka harga x sebesar …
3
A.
4
log 12
B.
12
log
Cara biasa :
4
3
4
C.
3
log 12
D. log 12
E. log
4
3
Cara singkat :
3
Matematika SMA
3
x 1
4
log 3
(x
x 1
log 4
1) log 3
x log 3
log 3
log 3
log 3 . 4
log 12
x
x log 4
x (log 4
x
3
1
4
1
log
4
3
log 4
3
1
4
1
log
4
1
3
log 12
12
x log 3
log 3)
4
3
log 12
4
3
log
1) log 4
x log 4
x log
4
3
x 1
(x
log 4
log 12
A=3;b=4;m=1;n=1;p=1;q=
1
x 1
Contoh :
2. Jika diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar persamaan x
6
a. 10
b. 10
5
c. 10
4
2 log x
d. 10
Cara biasa :
x
2 log x
2
log
g
log 1000
3
2 log x
2
x
2
1
10 =
x1 . x 2
e. 10
a log
1000
log x log x
2
3
...
2
Cara cerdik :
2 log x
log x
1000 , maka nilai x 1 . x 2
2
x
g
b log x
Maka : x1 . x 2
g
c
0
b
a
Sehingga :
0
1
100
x 1 .x 2
100
2
3
2
1
1
100
C. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN.
1. Untuk 0
a.
b.
1 Fs. Turun
a
Jika a
f (x)
Jika a
f (x)
2. Untuk a
a. a
f (x)
b. a
f (x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
1 Fs. Naik
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
Contoh :
2
Nilai x yang memenuhi 3 x 3 x
a. 1 x 2 b. 2 x 3
Jawab :
x
2
3
x
2
3
3x 4
9
3x 4
3
c.
x 1
3
adalah …
x
2
d.
x
e.
2
x
3
2 ( x 1)
3x
2
x
(x
5x 6 0
2 )( x 3) 0
2
x
4
9
x 1
2
x
4
2x
2
3
Soal Latihan :
4
Matematika SMA
3x
1
3
1. Jika persamaan
243
1
3
a. 2
2
3
3
1
3
x 2
1
3
b. 5
dan x 0 memenuhi persamaan tersebut. Maka nilai dari 1
9
c. 2
2
3
d.
1
3
e.
3
4
x 0 adl
1
3
2
1
2
2.
Nilai x yang memenuhi hubungan 5 x
3.
a. –5
Jika 2 x
a. 1
4.
Jika x
25
c. –3
d. 1
e. 3
2
4 , Nilai x adalah …
b. 4
c. 27
d. 81
e. 256
x
p
0 dan x 1 memenuhi
x dengan p bilangan rasional , maka p = …
3
3
x x
4
9
b.
3
6.
Penyelesaian persamaan 2
a. –1
b. 1
x
7.
Himpunan penyelesaian dari 2
3 atau x
2}
A. { x / x
B. { x / x
2 atau x
C. { x / x
5
9
c.
Nilai x yang memenuhi 5
a. 125
b. 64
d.
4
x 1
d. 9
x 5
2
x
2
2
1
3
B.
1
27 adalah …(E.96)
2x 1
1
C. 2
5
1
3
3x 7
x
2
D. 2
49
adalah
2
5x 3
27
2x 3
27
y
y
9
3
a. x = 2 , y = 2
3x 2
2
a.
15. 9
12
x 1
a. ½
3
x y
2
6
1
5
adalah
(x
2
3x 4)
. Nilai
. = …(E.99)
E. –22
dan
. Nilai
D. 3
10
D. 1 dan -
(x
7
2
2
. = … (p)
E. 6
adalah ……(kd.94)
E. - 12 dan 9
2 x 3)
c. x = 1 , y = 2
d. x = 3 , y = 1
e. x = 3 , y = 0
d. 1
e. xy
2
:
1
x
b. x = 2 , y = 1
4
x
1
y
E.
ialah …
1
1
dan
D. –10
C. 1
12. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan 1000
A. 1 dan - 92 B. 1 dan 92
C. –1 dan 72
13. Harga x dan y dari persamaan
x
1
2
x 3
C. –8
11. Penyelesaian persamaan 3
A. –6
B. –3
3
4
adalah …(E.00)
C. 1
6 x 16
2x
1
2 2x
2
10. Akar-akar persamaan 7
A. 8
B. –4
14. x
E.
2
5
B.
4
x
D. {3}
4
27
3
3}
x
1}
Nilai x yang memenuhi persamaan
A.
e. 2
adalah …(E.97)
2}
D. { x / 3 x
E. { x / 2
4
9.
7
9
6 x 11
3
1
e.
adalah p dan q , dengan p > q . Nilai p-q = … (E.98)
c. 5
d. 6
e. 7
3x 4
3}
6 atau x
2
3
3 adalah …
x
c. 27
2
Himpunan penyelesaian dari
A.
adalah …
25
x
5.
8.
1
b. –4
x 1
1
3
a.
6
2x 6
1
3
x
sama dengan …
1
x
b.
3
12
2
x y
7
c.
12
xy
2
4x 1
3
b. 2
c. – ½
d.1
e. –1
5
Matematika SMA
Bab 2
LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari eksponen. Dengan demikian logaritma dan eksponen mempunyai hubungan :
b
log a
c
a
c
b
Sifat-sifat :
1. a log b
a
log c
b
a
8. log
c
b
a
p
log
3. a log b .c
p
log b
p
log a
a
9. log b
0
a
a
log b
10. a log b
log c
p
b
c
2. a log 1
c
b
0
log a
1
p
b
a
4. log
a
a
log b
11. a
log c
a
log b
b
c
a
5. a log b n
6. a log
n
a
n
a
b
12. a m
log b
n
log b
7. a log b . b log c
a
log b
b
1
a
13. log b
a
14. n log b
log c
m
b
log a
m
m
a
log b
n
Contoh :
Jika 2 log 7
A.
2
2
3
3
2
B.
a
log 7
log 7
log 49
...
C.
a
log 7
a
8
a , maka
a
2
3
D.
3
a
2
E.
8
7
a
a
log 2
a log 2
8
Jadi : log 49
log 7
2
2 . log 7
2 .a log 2
2
log 2
3
3 . log 2
3 log 2
3
a
Persamaan Logaritma
a
a
p . log f ( x )
b
p
f ( x)
b
Langkah-penyelesaian :
1. a log f ( x )
f (x)
log a
a
log g ( x )
g (x)
2. Syarat : f ( x )
log a
f ( x)
f ( x)
0 dan g ( x )
g ( x)
g ( x)
0
Contoh soal :
Himpunan penyelesaian persamaan 9
A.
1
2
B.
2
3
log( 2 x 1 )
C. 3
25 adalah …
D.
1
,3
E.
2 ,3
2
6
Matematika SMA
Cara biasa :
3
9
3
Cara singkat :
log( 2 x 1 )
3
2
3
25
3
log( 2 x 1 )
2 . log( 2 x 1 )
5
2
2x
1
5, x
3
25
3
3
2 log( 2 x 1 )
3
3
log( 2 x 1 )
a
f ( x)
25
2
5
a
log b
2
2x
log c
1
5
x
a
f ( x ) maks
log
3
b
c
2
2
Contoh Soal :
2
f ( x)
log( x
A. 4
2
5)
x ), nilai maksimumnya adalah …
log( 3
B. 8
C. 12
D. 15
Cara biasa :
2
f ( x)
E. 16
Cara singkat :
log( x
= 2 log( x
= 2 log(
2
5)
5 )( 3
x
2
log( 3
f ( x ) maks
x)
2x
f ( x ) maks syarat
x ),
log
x
5
3
2
x
2
log 16
4
2
15 )
f ( x)
'
0
maka f(x)’=-2x-2=0 , x = -1
f ( x ) maks
f ( 1)
2
log[
( 1)
2 ( 1)
15 ]
b
n
a log
2
n
b log x
x
0 , maka x 1 . x 2
c
n
a
Contoh Soal :
Bila x 1 dan x 2 adalah akar-akar log x (logx - 4)=log 0,001, maka nilai x 1 . x 2 =…
A. 0,1
B. 10
C. 100
D. 1000
E. 10.000
Cara singkat :
Cara biasa :
log x (logx - 4)=log 0,001 , missal log x = p
log x (logx - 4)=log 0,001=-3
2
p(p-4) = -3
log x 4 log x 3 0
p
2
4p
3
0
a=1 ,b=3, c=2 ,n=10
( p 3)( p 1) 0
p=3
p=1
log x = 3
log x = 1
x = 1000
x = 10
Jadi x 1 . x 2 =10.000
4
b
maka x 1 . x 2
n
a
10
1
10
4
10 . 000
Pertidaksamaan Logaritma.
Pertidaksamaan Logaritma bentuk :
a
log x
a
log y
x
y untuk a
a
log x
a
log y
1 dengan syarat x
0, y
0
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi
2
log( 2 x
Maka 2 x
x
1)
2
1
x
log( x
3)
3
4
Syarat : 2 x 1 0 maka x 1
3
Syarat : x 3 0 aka x
Jadi nilai x yang memenuhi 1 x
4
7
Matematika SMA
SOAL LATIHAN :
1.
Jika
3.
3
2
3
a.
2.
1
log 2 x
b.
3
2
3
Jika log
a. 512
log
n
2(a
a.
5.
b)
3
1
a
7.
2r
Jika 2 log 3
a.
8.
3
ab
a
ab
log( ca )
2
3
a dan
3
a
2
10. log x
3
3
ab
a
ab
x 1
3
5a
b)
e.
5
2
3r
d.
e.
2
ab
d.
2
ab
a
ab
5
b.
2
a
3 , dan
5b
d.
3b
a
2
2
12. Bentuk sederhana dari :
a. 4 . 5 log 12
A.
1
2
x
y B.
36
3
4 , maka
a
1
2
x dan
x
3
A.
1
B.
(5 x
x
3 y)
3
e.
2
ab
a
ab
40
e.
3
e.
3b
a
3a
b
5a
e. -2
2
3
x z
2
y z
adalah …
2
14
e.
3
23
4
2
6)
1
2
e. 4 . log 5
d. 4
log 245
D.
5x
2
adalah …
y
1
C. 1
2
15. Diketahui 2 log 3
4r
1
2
(x
adalah …(E.98)
E.
y)
log( 3 x
1
2
x
y
2 adalah
1)
dan
,untuk
... (E.97)
3
1
2
4
y . Nilai
1
2
C.
2y
log
3
2
c. 4 . 3 log 12
log 7
14. Penyelesaian persamaan log( 3 x
-
3
5b
log
d.
log 5
2
, nilai
3
b. 2 . 5 log 12
13. Diketahui 3 log 5
b)
a
d. 2
10
c.
log
1
, maka nilai ( x + 1 ) = …
2 3x
log z
25
3
2 (1
d. –40
3
a.
2
...
3
a
n
log 56 adalah …
21
c. 4
2 , log y
2
log 27 dipenuhi nilai x sama dengan …
b. 6
11. Jika a log x
1 e. m
e. 3
a
c.
b
3
2
...
ab
1
a
5 maka log 3
b
b , dan 2
1
n
sama dengan …
2
c. 20
3a
2
3
1
3
c.
3
log 9
a. 8
e. 0
2(a
d.
40
b.
log 8
d. 12
3
...
log b
a , log 3
5a
b
1
log( ab )
4
b , maka nilai
log 7
16
dan
e.
d. m
15
d.
3r
c.
b.
3a
c
log 5
4r
1
Jika log 2
a.
9
b.
Jika log
b)
a
3
1
1
3
a. 40
9.
2 (1
c. 2
r maka
b.
3
b . Nilai log
c.
3
2
log 27
3
a.
b
b.
Jika
b)
a
3
1
a. 1
6.
c. m – n = 1
1
a dan log 3
2 (1
8
3
d. 2 3
n ) maka
1
log( bc )
25
m
n
b.
b.
c. 64
log( m
m
Diketahui log 2
3
1 , maka x dama dengan …
log x
log
n
4
3
c.
3
b. 128
m
Jika log
2
a. m + n = 1
4.
, nilai x adalah …
1
2
3
x dan
B.
1
2
2
D. 2
E. 3
3
2
log 5
(5 x
y , maka
3 y ) C.
16. Penyelesaian pertidaksamaan 5 log( x
3)
1
2
2
(3 x
5
log 45 15 sama dengan … (E.96)
5 y ) D. x
log( x
1)
2
x
y
y
2
E. x y
xy
1 adalah … (E.00)
8
Matematika SMA
A. x > 3
B. x > 4
C. 3 x2, maka nilai 3x1 – x2
x
=
a. – 5
b. – 1
c. 4
d.5
e. 7
7. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6
b. x > 8
c. 4 < x < 6
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a. x < –14 b. x < –15
c. x < –16
d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8
1
3
8
64
2x
2
a.
5
0
e.27
c. x > 1
d. x > 2
e. x > 7
16. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah ….
a. –3 < x < 1
b. –2 < x < 0
c. –3 < x < 0
d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2
e. –3 < x < –2 atau 0 < x < 1
17. Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =….
a. 23
b. 24
c. 25
18. Nilai 2x yang memenuhi 4 x
a. 2
2
3
b. 4
16
x 5
d. 26
e. 27
adalah ….
d. 16
c. 8
e. 32
19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x – 3x + 2 ) < log ( 10 – x ), x R adalah ….
2
a.
d.
x
x
2
x
x
1 atau 2
x
b.
4
2
x
2
x
1 atau x
c.
2
x
2
x
4
e. { }
10
20. Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah ….
a. x < 2
b. x > 1
c. x < 1 atau x > 2
d. 0 < x < 2
e. 1 < x < 2
Kunci Jawaban Eksponen dan logaritma
1. C
2. B
3. A
4. B
5. E
6. B
7. A
8. C
9. C
10. D
11. E 12. B 13. B 14. E 15. E 16. A 17. E 18. B 19. D 20. E
11
Matematika SMA
Bab 2
A. EXPONEN.
Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Bulat.
1. a m .a n
2.
a
m
a
n
a
a
(m
n)
3. a m .b m
(m n)
4.
( a .b )
a
m
a
b
m
b
m
5. a
m
n
a
m .n
m
Sifat-sifat bil. Berpangkat yang eksponennya bil. Rasional/Pecah.
1. a
1
1
n
a
2. a 0
n
3.
n
1; ( a
4.
0)
n
n
a. b
1
n
a
a
n
ab
( a .b ) n ; n
,a
0
0
1
m
5. a
7.
n
n
m n
a
a
m
m .n
n
n
m
;n
a
a;m
0; n
6.
0
n
a
n
b
a
a
b
b
n
;a
0 dan b
0
0
Menyederhanakan bentuk :
2b
a
Untuk ( a 2 b ) 0 berlaku :
m + n = a dan m x n = b
2 b
a
n dengan m
m
0 jika dan hanya jika
n
Contoh :
8
4 3
...
8 4 3
Jawab :
8
4 3
8
2 12
6
2
8
4 3
8
2 12
6
2
a. 3
2 3
b. 3
c. 2
2 3
c
Merasionalkan penyebut
a
c
a
b
a
c
a
(a
c
b
c
b
a
b
6
2
6
d. 2
3
c(a
a
(a
b)
c(a
a
6
2 12
2
8
2
4 3
2
3
4
e. 2
3
c
a
b)
b)
2
atau
(a
(a
6
2 3
b
b)
.
b
b)
2
b
c
a
b)
2
b
c
b
a
c
a
b
c
b
a
b
( a
b)
c( a
( a
b)
a
( a
b)
c( a
( a
b)
a
b)
b
b)
b
1
Matematika SMA
Soal Latihan :
1.
Nilai dari
a.
2.
3
(12
n)
(2n 7)
9
3
adalah ...
5n
1
9
b.
3
Jika f ( x )
13
x
3 maka
1
c.
f (a
2b
c)
9
2 f (b )
1
1
n m
a
1
3
b. 0
3
125 a b
a.
3
2
3
6
2
ab
3
1
27
3
b.
a b
2
1
3
6.
1
y
x
1
2
x y
4
49
45
b. 6
9.
b.
6
3
10. Jika
3
2
3
12.
4 3
8
4 3
a. 3
2
3
2
2
3
2
a b
e. ( 3
11 )
2
d.
2
2
e. 7
3
2 30
adalah …
8
2
9
d. 2 3 e. 2 6
sama dengan …
6
d.
2
3
5
2
e.
9
5
adalah …
11
11 )
c.
11 ) d.
2 (3
4 (3
11 )
c. –2
d. 2
e. 3
...
a. 3 2 3 b. 3
6
3
3
3
b. –3
8
e.
b 6 , a dan b bilangan bulat maka a + b = …
a
a. –5
11.
2
a b
d. x – y e. y – x
x
c.
4
b. 4 ( 3
11 )
2
y
6 adalah …
c.
3
2 (3
2
3
d.
1
32
Bentuk sederhana dari
a.
2
adalah …
27
2
m n
...
c. 3 2
Nilai dari bentuk
a. 2 6
e. a
2 10
128
8.
f (c )
2
d. 1
20
18
7
12
2
c.
2 6
Nilai dari bentuk
( f ( b ))
2b )
2
xy
y
2 6 b. 7
a. 3
a b
1
x
e. f ( a
f (c )
c. ab
1
Bentuk sederhana dari
a. 5
7.
b.
6
6
2
ab
Bentuk sederhana dari
a.
3
2
c. ½
6
y
5.
2
adalah sama dengan …
m n
a
9
f (c )
d.
f (c )
a. –1
4.
c.
f (a )
1
3.
f (c )
2 f ( a ) f (b )
b.
e.
...
f ( a )( f ( b ))
a. f ( a )
2
d.
2
c. 2
2 3
d. 2
2 3
e. 2
3
3
...
3 2
2
b. 3
1
3
2
c. 3
1
3
2
d. 3
3
2
2
e. 3
2
3
2
2
Matematika SMA
1
1
13. Diketahui x 2 x
a. 7
b. 8
27
3
4
14.
5
a. –2
15.
b.-1
3
...
d. 10
e. 11
a. 3
b. 3
1
2
5
c. 3
16
3
2
3
7x
17. Bentuk dari
2
6
5
(x
6y
4
y
1
3
d. 4
2
e. 2
2
3
e. 5
1
3
2
=…
2
4
3
8
b. 12
a. 11
5
6
3
2
4
d. 1
...
64
3
2
16. Nilai dari 27
c. 0
3
729
243
a. (1
1
...
2
1
5
x
2
1
2
3 , Nilai dari x
c. 9
2
3
c. 13
d. 14
e. 15
5
)x
untuk x = 4 dan y = 27 adalah …
2
b. (1
2 2 )9 2
2 2 )9 3
c. (1
2 2 )18 3
d. (1 2 2 ) 27 2
e. (1 2 2 ) 27 3
18. Untuk bilangan 0,646464… jika dinyatakan dalam pecahan biasa adalah …
2
7
64
a.
b.
c.
d. 0,65
e. 4
3
9
99
19. Nilai dari
7 7 7 ...
a. 4
...
b. 5
20. Nilai dari
a. 4
c. 6
30
30
30
b. 5
...
d. 7
e. 8
d. 7
e. 8
...
c. 6
B. PERSAMAAN EXPONEN
1.
2.
3.
4.
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
Bentuk a
f (x)
a
g (x)
f ( x)
g ( x)
b
f (x)
f ( x)
0
b
g (x)
dibawa ke bentuk log.
g (x)
h(x)
Bentuk f ( x )
f ( x)
Dengan kemungkinan : - ekponen sama atau g(x)=h(x)
f ( x)
- bilangan pokok
1
1 , dengan syarat h(a)+g(a)=genap
- bilangan pokok f ( x )
- bilangan pokok f(x)=0, dengan syarat h(a).g(a)>0
5. Bentuk persamaan yang dapat dikembangkan menjadi persamaan kuadrat.
Cara Cerdik :
a
mx
n
b
px
q
maka
x
a
m
b
p
log
b
q
a
n
Contoh Soal :
1.
3
x 1
4
x 1
, maka harga x sebesar …
3
A.
4
log 12
B.
12
log
Cara biasa :
4
3
4
C.
3
log 12
D. log 12
E. log
4
3
Cara singkat :
3
Matematika SMA
3
x 1
4
log 3
(x
x 1
log 4
1) log 3
x log 3
log 3
log 3
log 3 . 4
log 12
x
x log 4
x (log 4
x
3
1
4
1
log
4
3
log 4
3
1
4
1
log
4
1
3
log 12
12
x log 3
log 3)
4
3
log 12
4
3
log
1) log 4
x log 4
x log
4
3
x 1
(x
log 4
log 12
A=3;b=4;m=1;n=1;p=1;q=
1
x 1
Contoh :
2. Jika diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar persamaan x
6
a. 10
b. 10
5
c. 10
4
2 log x
d. 10
Cara biasa :
x
2 log x
2
log
g
log 1000
3
2 log x
2
x
2
1
10 =
x1 . x 2
e. 10
a log
1000
log x log x
2
3
...
2
Cara cerdik :
2 log x
log x
1000 , maka nilai x 1 . x 2
2
x
g
b log x
Maka : x1 . x 2
g
c
0
b
a
Sehingga :
0
1
100
x 1 .x 2
100
2
3
2
1
1
100
C. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN.
1. Untuk 0
a.
b.
1 Fs. Turun
a
Jika a
f (x)
Jika a
f (x)
2. Untuk a
a. a
f (x)
b. a
f (x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
1 Fs. Naik
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
a
g (x)
maka
f ( x)
g ( x)
Contoh :
2
Nilai x yang memenuhi 3 x 3 x
a. 1 x 2 b. 2 x 3
Jawab :
x
2
3
x
2
3
3x 4
9
3x 4
3
c.
x 1
3
adalah …
x
2
d.
x
e.
2
x
3
2 ( x 1)
3x
2
x
(x
5x 6 0
2 )( x 3) 0
2
x
4
9
x 1
2
x
4
2x
2
3
Soal Latihan :
4
Matematika SMA
3x
1
3
1. Jika persamaan
243
1
3
a. 2
2
3
3
1
3
x 2
1
3
b. 5
dan x 0 memenuhi persamaan tersebut. Maka nilai dari 1
9
c. 2
2
3
d.
1
3
e.
3
4
x 0 adl
1
3
2
1
2
2.
Nilai x yang memenuhi hubungan 5 x
3.
a. –5
Jika 2 x
a. 1
4.
Jika x
25
c. –3
d. 1
e. 3
2
4 , Nilai x adalah …
b. 4
c. 27
d. 81
e. 256
x
p
0 dan x 1 memenuhi
x dengan p bilangan rasional , maka p = …
3
3
x x
4
9
b.
3
6.
Penyelesaian persamaan 2
a. –1
b. 1
x
7.
Himpunan penyelesaian dari 2
3 atau x
2}
A. { x / x
B. { x / x
2 atau x
C. { x / x
5
9
c.
Nilai x yang memenuhi 5
a. 125
b. 64
d.
4
x 1
d. 9
x 5
2
x
2
2
1
3
B.
1
27 adalah …(E.96)
2x 1
1
C. 2
5
1
3
3x 7
x
2
D. 2
49
adalah
2
5x 3
27
2x 3
27
y
y
9
3
a. x = 2 , y = 2
3x 2
2
a.
15. 9
12
x 1
a. ½
3
x y
2
6
1
5
adalah
(x
2
3x 4)
. Nilai
. = …(E.99)
E. –22
dan
. Nilai
D. 3
10
D. 1 dan -
(x
7
2
2
. = … (p)
E. 6
adalah ……(kd.94)
E. - 12 dan 9
2 x 3)
c. x = 1 , y = 2
d. x = 3 , y = 1
e. x = 3 , y = 0
d. 1
e. xy
2
:
1
x
b. x = 2 , y = 1
4
x
1
y
E.
ialah …
1
1
dan
D. –10
C. 1
12. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan 1000
A. 1 dan - 92 B. 1 dan 92
C. –1 dan 72
13. Harga x dan y dari persamaan
x
1
2
x 3
C. –8
11. Penyelesaian persamaan 3
A. –6
B. –3
3
4
adalah …(E.00)
C. 1
6 x 16
2x
1
2 2x
2
10. Akar-akar persamaan 7
A. 8
B. –4
14. x
E.
2
5
B.
4
x
D. {3}
4
27
3
3}
x
1}
Nilai x yang memenuhi persamaan
A.
e. 2
adalah …(E.97)
2}
D. { x / 3 x
E. { x / 2
4
9.
7
9
6 x 11
3
1
e.
adalah p dan q , dengan p > q . Nilai p-q = … (E.98)
c. 5
d. 6
e. 7
3x 4
3}
6 atau x
2
3
3 adalah …
x
c. 27
2
Himpunan penyelesaian dari
A.
adalah …
25
x
5.
8.
1
b. –4
x 1
1
3
a.
6
2x 6
1
3
x
sama dengan …
1
x
b.
3
12
2
x y
7
c.
12
xy
2
4x 1
3
b. 2
c. – ½
d.1
e. –1
5
Matematika SMA
Bab 2
LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari eksponen. Dengan demikian logaritma dan eksponen mempunyai hubungan :
b
log a
c
a
c
b
Sifat-sifat :
1. a log b
a
log c
b
a
8. log
c
b
a
p
log
3. a log b .c
p
log b
p
log a
a
9. log b
0
a
a
log b
10. a log b
log c
p
b
c
2. a log 1
c
b
0
log a
1
p
b
a
4. log
a
a
log b
11. a
log c
a
log b
b
c
a
5. a log b n
6. a log
n
a
n
a
b
12. a m
log b
n
log b
7. a log b . b log c
a
log b
b
1
a
13. log b
a
14. n log b
log c
m
b
log a
m
m
a
log b
n
Contoh :
Jika 2 log 7
A.
2
2
3
3
2
B.
a
log 7
log 7
log 49
...
C.
a
log 7
a
8
a , maka
a
2
3
D.
3
a
2
E.
8
7
a
a
log 2
a log 2
8
Jadi : log 49
log 7
2
2 . log 7
2 .a log 2
2
log 2
3
3 . log 2
3 log 2
3
a
Persamaan Logaritma
a
a
p . log f ( x )
b
p
f ( x)
b
Langkah-penyelesaian :
1. a log f ( x )
f (x)
log a
a
log g ( x )
g (x)
2. Syarat : f ( x )
log a
f ( x)
f ( x)
0 dan g ( x )
g ( x)
g ( x)
0
Contoh soal :
Himpunan penyelesaian persamaan 9
A.
1
2
B.
2
3
log( 2 x 1 )
C. 3
25 adalah …
D.
1
,3
E.
2 ,3
2
6
Matematika SMA
Cara biasa :
3
9
3
Cara singkat :
log( 2 x 1 )
3
2
3
25
3
log( 2 x 1 )
2 . log( 2 x 1 )
5
2
2x
1
5, x
3
25
3
3
2 log( 2 x 1 )
3
3
log( 2 x 1 )
a
f ( x)
25
2
5
a
log b
2
2x
log c
1
5
x
a
f ( x ) maks
log
3
b
c
2
2
Contoh Soal :
2
f ( x)
log( x
A. 4
2
5)
x ), nilai maksimumnya adalah …
log( 3
B. 8
C. 12
D. 15
Cara biasa :
2
f ( x)
E. 16
Cara singkat :
log( x
= 2 log( x
= 2 log(
2
5)
5 )( 3
x
2
log( 3
f ( x ) maks
x)
2x
f ( x ) maks syarat
x ),
log
x
5
3
2
x
2
log 16
4
2
15 )
f ( x)
'
0
maka f(x)’=-2x-2=0 , x = -1
f ( x ) maks
f ( 1)
2
log[
( 1)
2 ( 1)
15 ]
b
n
a log
2
n
b log x
x
0 , maka x 1 . x 2
c
n
a
Contoh Soal :
Bila x 1 dan x 2 adalah akar-akar log x (logx - 4)=log 0,001, maka nilai x 1 . x 2 =…
A. 0,1
B. 10
C. 100
D. 1000
E. 10.000
Cara singkat :
Cara biasa :
log x (logx - 4)=log 0,001 , missal log x = p
log x (logx - 4)=log 0,001=-3
2
p(p-4) = -3
log x 4 log x 3 0
p
2
4p
3
0
a=1 ,b=3, c=2 ,n=10
( p 3)( p 1) 0
p=3
p=1
log x = 3
log x = 1
x = 1000
x = 10
Jadi x 1 . x 2 =10.000
4
b
maka x 1 . x 2
n
a
10
1
10
4
10 . 000
Pertidaksamaan Logaritma.
Pertidaksamaan Logaritma bentuk :
a
log x
a
log y
x
y untuk a
a
log x
a
log y
1 dengan syarat x
0, y
0
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi
2
log( 2 x
Maka 2 x
x
1)
2
1
x
log( x
3)
3
4
Syarat : 2 x 1 0 maka x 1
3
Syarat : x 3 0 aka x
Jadi nilai x yang memenuhi 1 x
4
7
Matematika SMA
SOAL LATIHAN :
1.
Jika
3.
3
2
3
a.
2.
1
log 2 x
b.
3
2
3
Jika log
a. 512
log
n
2(a
a.
5.
b)
3
1
a
7.
2r
Jika 2 log 3
a.
8.
3
ab
a
ab
log( ca )
2
3
a dan
3
a
2
10. log x
3
3
ab
a
ab
x 1
3
5a
b)
e.
5
2
3r
d.
e.
2
ab
d.
2
ab
a
ab
5
b.
2
a
3 , dan
5b
d.
3b
a
2
2
12. Bentuk sederhana dari :
a. 4 . 5 log 12
A.
1
2
x
y B.
36
3
4 , maka
a
1
2
x dan
x
3
A.
1
B.
(5 x
x
3 y)
3
e.
2
ab
a
ab
40
e.
3
e.
3b
a
3a
b
5a
e. -2
2
3
x z
2
y z
adalah …
2
14
e.
3
23
4
2
6)
1
2
e. 4 . log 5
d. 4
log 245
D.
5x
2
adalah …
y
1
C. 1
2
15. Diketahui 2 log 3
4r
1
2
(x
adalah …(E.98)
E.
y)
log( 3 x
1
2
x
y
2 adalah
1)
dan
,untuk
... (E.97)
3
1
2
4
y . Nilai
1
2
C.
2y
log
3
2
c. 4 . 3 log 12
log 7
14. Penyelesaian persamaan log( 3 x
-
3
5b
log
d.
log 5
2
, nilai
3
b. 2 . 5 log 12
13. Diketahui 3 log 5
b)
a
d. 2
10
c.
log
1
, maka nilai ( x + 1 ) = …
2 3x
log z
25
3
2 (1
d. –40
3
a.
2
...
3
a
n
log 56 adalah …
21
c. 4
2 , log y
2
log 27 dipenuhi nilai x sama dengan …
b. 6
11. Jika a log x
1 e. m
e. 3
a
c.
b
3
2
...
ab
1
a
5 maka log 3
b
b , dan 2
1
n
sama dengan …
2
c. 20
3a
2
3
1
3
c.
3
log 9
a. 8
e. 0
2(a
d.
40
b.
log 8
d. 12
3
...
log b
a , log 3
5a
b
1
log( ab )
4
b , maka nilai
log 7
16
dan
e.
d. m
15
d.
3r
c.
b.
3a
c
log 5
4r
1
Jika log 2
a.
9
b.
Jika log
b)
a
3
1
1
3
a. 40
9.
2 (1
c. 2
r maka
b.
3
b . Nilai log
c.
3
2
log 27
3
a.
b
b.
Jika
b)
a
3
1
a. 1
6.
c. m – n = 1
1
a dan log 3
2 (1
8
3
d. 2 3
n ) maka
1
log( bc )
25
m
n
b.
b.
c. 64
log( m
m
Diketahui log 2
3
1 , maka x dama dengan …
log x
log
n
4
3
c.
3
b. 128
m
Jika log
2
a. m + n = 1
4.
, nilai x adalah …
1
2
3
x dan
B.
1
2
2
D. 2
E. 3
3
2
log 5
(5 x
y , maka
3 y ) C.
16. Penyelesaian pertidaksamaan 5 log( x
3)
1
2
2
(3 x
5
log 45 15 sama dengan … (E.96)
5 y ) D. x
log( x
1)
2
x
y
y
2
E. x y
xy
1 adalah … (E.00)
8
Matematika SMA
A. x > 3
B. x > 4
C. 3 x2, maka nilai 3x1 – x2
x
=
a. – 5
b. – 1
c. 4
d.5
e. 7
7. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….
a. x > 6
b. x > 8
c. 4 < x < 6
9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a. x < –14 b. x < –15
c. x < –16
d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8
1
3
8
64
2x
2
a.
5
0
e.27
c. x > 1
d. x > 2
e. x > 7
16. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah ….
a. –3 < x < 1
b. –2 < x < 0
c. –3 < x < 0
d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2
e. –3 < x < –2 atau 0 < x < 1
17. Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =….
a. 23
b. 24
c. 25
18. Nilai 2x yang memenuhi 4 x
a. 2
2
3
b. 4
16
x 5
d. 26
e. 27
adalah ….
d. 16
c. 8
e. 32
19. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x – 3x + 2 ) < log ( 10 – x ), x R adalah ….
2
a.
d.
x
x
2
x
x
1 atau 2
x
b.
4
2
x
2
x
1 atau x
c.
2
x
2
x
4
e. { }
10
20. Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah ….
a. x < 2
b. x > 1
c. x < 1 atau x > 2
d. 0 < x < 2
e. 1 < x < 2
Kunci Jawaban Eksponen dan logaritma
1. C
2. B
3. A
4. B
5. E
6. B
7. A
8. C
9. C
10. D
11. E 12. B 13. B 14. E 15. E 16. A 17. E 18. B 19. D 20. E
11
Matematika SMA