BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

142

LAMPIRAN III

BAHAN AJAR
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa
lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh ke tanah.
Tentunya lintasan bola tersebut membentuk sebuah kurva atau parabola. Dan
ketika bola tersebut dilemparkan ada bola yang menyinggung net atau tiang net.
Atau ketika kamu melempar bola tersebut bola itu menyinggung kabel listrik atau
menyinggung benda lain. Net, dan kabel tersebutlah yang dinamakan garis
singgung. Net atau kabel listrik tersebut menyinggung lintasan bola yang
berbentuk kurva tersebut dan dinamakan garis singgung kurva. Atau ketika
bermain badminton bola tersebut di lempar ke lawan main dan menyinggung raket
lawan. Raket itu lah yang di namakan garis singgung.
Perhatikan gambar di bawah ini
y
𝑦2
𝑦1

Mana yang merupakan
garis
singgung
kurva?dan mana yang
merupakan
titik
singgung?

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐵 (𝑥2 , 𝑦2 )
S

𝐴(𝑥1 , 𝑦1 )
𝑥1
𝑥2

x

Pada gambar seorang anak melemparbola di pantulkan keatas dan membentuk

kurva 𝑓(𝑥), kemudian lintasan bola tersebut menyinggung sebuah tonggak listrik
yang putus yang dinamakan dengan garis S. garis S itu lah yang dinamakan garis
singgung.
Berdasarkan gambar di atas persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
di titik 𝐴(𝑥1 , 𝑥2 ) adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Keterangan:
y = ordinat (posisi anak itu)
x = absis (tanah)
y1 = titik singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan garis singgung AB pada
koordinat y (titik singgung kabel listrik pada ordinat 𝑦 = 𝑦1 )
x1 = titik sinngung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan garis AB pada absis x (titik
singgung kabel listrik pada ordinat 𝑥 = 𝑥1 )
m = gradien atau kemiringan dari garis singgung AB

143

Contoh 1 :
Diketahui kurva 𝑦 = 𝑥 2 – 3𝑥 + 4 menyinggung sebuah garis di titik A (3,4) .
Carilah Persamaan garis singgung di titik A!
Jawab:

Diketahui:
𝑦 = 𝑥 2 – 3𝑥 + 4
Titik singgung : 3,4
Ditanya : persamaan garis singgung kurva?
Langkah-langkah:
Kurva 𝑦 = 𝑥 2 – 3𝑥 + 4
Untuk mencari persamaan garis singing terlebih dulu mencari gradient
garis singgung di titik A:
𝑦’ = 2𝑥 – 3
Gradien di titik A (3,4)
𝑚 = 𝑦′(𝑥=3) = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

Penyelesaian:
Persamaan garis singgung di titik A (3,4)
𝑦 – 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 – 𝑥1 )
𝑦 – 4 = 3 (𝑥 – 3 )
𝑦 – 4 = 3𝑥 – 9
𝑦 = 3𝑥 – 5

Kesimpulan:

Jadi persamaan garis singgung kurva adalah 𝑦 = 3𝑥 – 5

Contoh 2 :
Garis singgung kurva 𝑦 = 2 2 − 𝑥 di titik (𝑎, 𝑏) sejajar dengan garis 𝑥 + 𝑦 =
0. Berapakah nilai 𝑎 + 𝑏 !
Jawab:
Diketahui: 𝑦 = 2 2 − 𝑥 // 𝑥 + 𝑦 = 0
Ditanya : nilai 𝑎 + 𝑏?
Langkah-langkah:

𝑑𝑦

Gradient garis singgung kurva 𝑦 = 2 2 − 𝑥 adalah 𝑚1 = 𝑑𝑥 =

−1

2−𝑥

Garis 𝑥 + 𝑦 = 0 mempunyai gradient 𝑚2 = −1
Karena garis singgung garis 𝑦 = 2 2 − 𝑥 // 𝑥 + 𝑦 = 0 maka 𝑚1 = 𝑚2

144

Penyelesaian:
sehingga diperoleh:
−1

2−𝑎

= −1

𝑥=𝑎

dikuadratkan
2−𝑎 = 1
2−𝑎 = 1
𝑎=1
𝑓 1 = 𝑏 = 2 2−1 =2

Kesimpulan:

Jadi nilai 𝑎 + 𝑏 = 1 + 2 = 3

145

BAHAN AJAR
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sebuah peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak
turun dari titik B ke titik C. maka gambar dari ilustrasi tersebut adalah :

1. Dikatakan fungsi f naik untuk x < 0.
Jika 𝑥 < 0 maka 𝑓′(𝑥) > 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik

di 𝑥 < 0 positif.

2. Dikatakan fungsi f turun untuk 𝑥 > 0

Jika 𝑥 > 0 maka 𝑓′ (𝑥) < 0, gradien garis singgung kurva pada setiap titik

di 𝑥 > 0 negatif.

3. Dikatakan fungsi f mempunyai nilai stasioner (nilai ekstrem) 𝑓 (0) = 1

Jika 𝑥 = 0 maka 𝑓′(𝑥) = 0, dan garis singgung pada titik (0,1) sejajar sumbu

x. Dalam hal ini fungsi f tidak naik dan tidak turun.

Menentukan interval-interval (selang) dimana fungsi f naik atau turun
langkah-langkahnya adalah :
1. Tentukan 𝑓′(𝑥)

2. Fungsi f naik, jika 𝑓′(𝑥) > 0

3. Fungsi f naik, jika 𝑓′(𝑥) > 0

146

Contoh :
Tentukan pada interval mana fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 15𝑥 + 4 merupakan :
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun

Jawab:
Diketahui: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 15𝑥 + 4
Ditanya : Interval fungsi naik dan turun
Penyelesaian:
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 + 18𝑥 + 15
Syarat fungsi naik
𝑓 ′ (𝑥) > 0
3𝑥 2 + 18𝑥 + 15 > 0
𝑥 2 + 6𝑥 + 5 > 0
𝑥 + 1 (𝑥 + 5) > 0
Harga Batas
𝑥 = −1, 𝑥 = −5
-5

-1

Syarat fungsi turun
𝑓 ′ (𝑥) < 0
3𝑥 2 + 18𝑥 + 15 < 0
𝑥 2 + 6𝑥 + 5 < 0

𝑥 + 1 (𝑥 + 5) < 0
Harga batas
𝑥 = −1, 𝑥 = −5
-5

-1

Kesimpulan:
Jadi fungsi naik pada interval 𝑥 < −5 atau 𝑥 > −1 dan fungsi turun pada interval
−5 < 𝑥 < −1
Jadi fungsi naik pada interval

147

BAHAN AJAR
NILAI STASIONER DAN JENISNYA
Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari persamaan garis
singgung pada kurva. Jika kita melemparkan sebuah bola kasti atau bola lain
akan terbentuk sebuah kurva atau parabola. Saat dilempar ada saatnya bola itu
naik dan ada saatnya bola itu turun dan ada pula saat nya bola tersebut tidak naik

dan tidak turun yaitu saat kecepatan dari bola itu adalah nol. Saat bola tidak naik
dan tidak turun itulah yang di namakan titik stasioner. Dan dalam titik tersebut
terdapat nilai dari titik itu.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan sebuah lintasan bola yang berbentuk kurva dengan persamaan 𝑦 =
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 – 2.

Lintasan
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 – 2
mempunyai nilai minimum pada
𝑥 = 0 sebab
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) =
2
0 – 2 = – 2.
Turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 – 2adalah
𝑓 ′(𝑥) = 2𝑥.
𝑓 ′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 < 0
𝑓 ′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 > 0
𝑓 ′(0) = 0 pada 𝑥 = 0.

𝑓(𝑥) turun untuk 𝑥 < 0 dan 𝑓 (𝑥) naik untuk 𝑥 > 0.
𝑓(𝑥) di 𝑥 = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.
Jika 𝑓 ‘ 𝑎 = 0, 𝑓 (𝑎) adalah nilai stationer f pada 𝑥 = 𝑎
Jenis-jenis nilai stasioner adalah
1. Titik balik maksimum
2. Titik balik minimum
3. Titik belok horizontal

148

Untuk menentukan jenis-jenis nilai stasioner harus diselidiki di sekitar
𝑥 = 𝑎. Terdapat 4 kemungkinan di sekitar 𝑥 = 𝑎, yaitu

1. Titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah titik balik maksimum

f‘=0

titik balik maksimum

f(x)

f‘

+

f‘

-

2. Titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah titik balik minimum
f(x)
f‘ -

+

f’

f‘=0

titik balik minimum
3. Titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah titik belok naik dan turun
f(x)

f(x)
titik belok
naik

titik belok
turun

+

𝒇‘ < 0

0
− 𝑓‘ > 0

𝑓‘=0

𝑓’ > 0

+

𝑓‘ = 0

−𝑓’ < 0

149

Defenisi :
Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan
pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau f '(x) = 0
Jenis titik stationer dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan uji
turunan kedua.
Langkah-langkah untuk menentukan jenis stationer adalah
1. Dari persamaan f ‘(x) = 0 telah diperoleh absis titik stationer x=2.
Gambarlah absis stasioner ini pada garis bilangan.

-1 0 1 2 3 4
2. Tentukan absis titik-titik uji di sebelah kiri dan kanan absis
stationer. Misalnya : untuk titik uji di kiri x = 2 adalah x = 0 dan
di kanannya adalah x = 3
Absis titik uji

0

3

3. Periksa tanda dari f ‘(0) dan f ‘(3) dengan menyubstitusikannya ke
dalam 𝑓 ‘(𝑥) = −2𝑥 + 4

𝑓 ‘ (0) = −2 (0) + 4 (positif)

𝑓 ’ (3) = −2 (3) + 4 = −2 (negatif)

Bubuhkan tanda-tanda positif/negatif tersebut pada selang

yang memuat absis titik uji yang bersesuaian.
f ‘(x)

+

0

-

Gradien
Karena terjadi perubahan tanda f ’ dari (+) ke (-) dari kiri ke
kanan, titik (2,4) merupakan titik balik maksimum dan nilai balik
maksimumnya adalah f (2) = 4

150

Contoh :
Diketahui persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 𝑥 3 , Tentukan titik potong dengan
sumbu x dan sumbu y , nilai stasioner dan titik stasioner.
Jawab:
Diketahui: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 𝑥 3
Ditanya : Titik potong sumbu x dan y, Nilai stasioner dan titiknya?
Penyelesaian:
Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.
𝑦 = 0 = 3𝑥 – 𝑥 3
0 = 𝑥 (3 – 𝑥 2 )
0 = 𝑥( 3 − 𝑥)(

3 + 𝑥)

Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 , 0), (− 3 , 0)
Garfik memotong sumbu y, jika x = 0
𝑦 = 3𝑥 – 𝑥 3
𝑦 = 3.0 − 03
𝑦 = 0
titik potong sumbu y adalah (0,0)
Nilai dan titik Stasioner
Syarat stasioner adalah : 𝑓’ (𝑥) = 0
𝑓’ (𝑥) = 3 – 3𝑥 2
3 (1 − 𝑥 2 )

3 (1 – 𝑥) (1 + 𝑥)
𝑥 = 1, 𝑥 = −1
untuk 𝑥 = 1 𝑓 1 = 3 1 – −1 3 = 2
𝑥 = −1 𝑓(−1) = 3(−1) – (−1)3 = −2

nilai stasionernya : 𝑦 = 2 dan 𝑦 = −2
titik stasioner : Titik balik Maksimum di(1,2) dan Titik balik minimum di
(−1, −2)
Kesimpulan:
Tipot sumbu x: Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 , 0), (− 3 , 0)
Tipot sumbu y : (0,0)
Nilai stasioner :𝑦 = 2 dan 𝑦 = −2
Titik stasioner : (1,2) dan (−1, −2)

151

BAHAN AJAR
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM DALAM
INTERVAL TERTUTUP
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup
dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval.
b. Menentukan nilai stasioner
c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan
(b).
Contoh Soal:
Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi 𝑓 𝑥 = 6𝑥 2 − 𝑥 3 pada
interval −1 < 𝑥 < 3.
Penyelesaian:
Fungsi 𝑓 𝑥 = 6𝑥 2 − 𝑥 3 pada interval −1 < 𝑥 < 3.
Nilai fungsi pada batas interval:
𝑓 −1 = 6 −1 2 − −1 3 = 6 + 1 = 7
𝑓 3 = 6(3)2 − (3)3 = 54 − 27 = 27
Nilai stasioner fungsi:
𝑓 ′ 𝑥 = 12𝑥 − 3𝑥 2 = 0
3𝑥 4 − 𝑥 = 0
𝑥 = 0 atau 𝑥 = 4
𝑥 = 0 di dalam interval(dicari nilai fungsinya)
𝑥 = 4 di luar interval (tidak dicari nilai fungsinya)
Untuk 𝑥 = 0 maka:
𝑓 0 = 6𝑥 2 − 𝑥 3
=6 0 2− 0 3=0
Untuk 𝑥 = −1 maka:
𝑓 −1 = 6𝑥 2 − 𝑥 3
= 6 −1 2 − −1 3
=7
Untuk 𝑥 = 1 maka:
𝑓 1 = 6𝑥 2 − 𝑥 3
=6 1 2− 1 3
=5

152

Untuk 𝑥 = 2 maka:
𝑓 2 = 6𝑥 2 − 𝑥 3
=6 2 2− 2 3
= 16
Untuk 𝑥 = 3 maka:
𝑓 3 = 6𝑥 2 − 𝑥 3
=6 3 2− 3 3
= 27
Sehingga diperoleh 𝑓 −1 = 7, 𝑓 0 = 0, 𝑓 1 = 5, 𝑓 2 = 16, 𝑓 3 = 27
Jadi nilai maksimum dari fungsi 𝑓 𝑥 = 6𝑥 2 − 𝑥 3 adalah 27 dan nilai minimum
adalah 0.

153

BAHAN AJAR
PENGGUNAAN NILAI MAKSIMUM DAN
MINIMUM
Dalam matematika terapan sering kali berhadapan dengan soal yang harus
diterjemahkan dalam bahasa matematika yang disebut membuat model
matematika kemudian dianalisis.
Nilai ekstrem diperoleh dari f ’= 0 atau

dy
=0
dx

Contoh :
1. Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu akan dipagari
untuk peternakan ayam. Jika pagar kawat yang tersedia panjangnya 500 m
dan peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang, tentukan ukurannya
agar terdapat daerah peternakan yang seluas-luasnya !
Jawab :
Diketahui : panjang pagar kawat : 500 m
Ditanya: ukuran daerah peternakan seluas-luasnya?
Langkah-langkah:
Misalkan lebar kandang = x meter
panjangnya = (500 − 2𝑥) meter

Jika 𝑥  0 dan (500 – 2𝑥)  0 maka 0  x  250
Luas kandang = 𝐿 (𝑥) = 𝑥(500 − 2𝑥)
= 500𝑥 − 2𝑥 2

𝐿 ‘ (𝑥) = 500 – 4 𝑥 = 4 (125 – 𝑥)

Penyelesaian:

Nilai ekstrem diperoleh jika 𝐿 ‘ (𝑥) = 0
4 (125 – 𝑥) = 0
𝑥 = 125

154

500 − 2𝑥
L

x

x

Jadi, untuk x = 125 terdapat nilai ekstrem maksimum
𝐿(125) = 125 (500 − 250)
= 31.250

Kesimpulan:
Jadi, untuk membuat kandang dengan lebar = 125 m dan panjang = 250 m,
akan terdapat luas kandang yang sebesar-besarnya, yaitu 31.250 m2.
2. Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume
8000𝜋 𝑐𝑚3 . Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang

digunakan seminimal mungkin.
Jawab:

Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8000𝜋 𝑐𝑚3

Ditanyakan : Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal?
Langkah-langkah:
Misalkan volume silinder = V (r), tinggi silinder = t , jari-jari alas silinder =
r dan luas permukaan silinder adalah L (r)
𝑉 𝑟 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
8000𝜋 = 𝜋𝑟 2 × 𝑡

𝐿 𝑟 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 + 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔

𝑡=

8000
𝑟2

……2)

= 𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟𝑡

Substitusikan pers 1 ke pers 2, sehingga diperoleh
𝐿 𝑟 = 𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟𝑡

= 𝜋𝑟 2 + 2𝜋𝑟(

…..1)

8000
)
𝑟2

Agar silinder mempunyai luas yang minimum, maka
𝐿′ 𝑟 = 0

𝜋𝑟 2 + 16.000𝜋𝑟 −1 = 0

155

16.000𝜋
=0
𝑟2
16.000𝜋
2𝜋𝑟 =
𝑟2

2𝜋𝑟 −

𝑟 3 = 8000
𝑟 = 20

Penyelesaian:

…..3)

Substitusikan 3) ke persamaan 1)
8000
𝑟2
8000
=
202

𝑡=

= 20
Kesimpulan:
Jadi, tinggi silinder adalah 20 cm, dan jari-jari silinder adalah 20 cm

156

BAHAN AJAR
PENGGUNAAN TURUNAN DALAM KECEPATAN
DAN PERCEPATAN
A. Kecepatan
Kecepatan yaitu kecepatan sebagai perubahan jarak yang ditempuh
benda terhadap waktu.
Apabila jarak yang ditempuh suatu benda dalam t detik dinyatakan
dengan h(t), maka kecepatan sesaat benda tersebut pada detik ke – t adalah:
𝑣 𝑡 =

𝑑𝑕(𝑡)
= 𝑕′𝑡
𝑑𝑡

B. Percepatan

Apabila kecepatan benda juga merupakn fungsi dari waktu (v(t))
maka perubahan kecepatan terhadap waktu ini dinamakan percepatan
rata-rata(𝑎).
𝑎=

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛
∆𝑣
=
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑙𝑢𝑘𝑎𝑛 ∆𝑡

Perhatikan grafik kecepatan terhadap waktu.
v

v(t)

t
0

t1

t2

Percepatan rata-rata dari t1 = 1 sampai t2 = t  t adalah :
(a) 

v v(t 2 )  v(t1 )

t
t

157



v(t  t )  v(t )
t

Jika t cukup kecil (t  0) , maka percepatan rata-rata akan
menjadi percepatan sesaat pada t = t1. Sehingga :
𝑣 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑣(𝑡)
∆𝑡→0
∆𝑡
𝑑𝑣
𝑎=
= 𝑣 ′ (𝑡)
𝑑𝑡

𝑎 = lim

Contoh:
1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya
setelah x detik memenuhi persamaan 𝑓 𝑥 = 6𝑥 3 + 𝑥 2 , dengan 𝑓(𝑥)
dinyatakan dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang
waktu 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 dan kecepatan sesaat benda saat x = 2!
Jawab:
Diketahui : persamaan benda 𝑓 𝑥 = 6𝑥 3 + 𝑥 2
∆𝑥 = 1

Ditanya : Kecapatan rata-rata pada 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 dan kecepatan sesaat bensa

saat x = 2

Penyelesaian:
Untuk mencari kecepatan rata-rata gunakan rumus
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

Untuk mencari kecepatan sesaat gunakan rumus
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∇𝑥→0
∆𝑥
lim

Kecepatan rata-rata pada 2 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥) 𝑓 2 + 1 − 𝑓(2)
=
∆𝑥
1
=

6(3)3 + (3)2 − (6 2 3 + 2 2 )
1
162 + 9 − 52
=
1
= 119 𝑚/𝑠

158

Kecepatan sesaat pada saat x = 2
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑓 2 + ∆𝑥 − 𝑓(2)
lim
= lim
∇𝑥→0
∇𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
= lim

∇𝑥→0

6 2 + ∆𝑥

3

+ 2 + ∆𝑥
∆𝑥

2

− (6(2)3 + 22 )

6 8 + 12∆ + 6∆2 + ∆𝑥 3 + 4 + 4∆𝑥 + ∆𝑥 2 − 52
= lim
∇𝑥→0
∆𝑥

48 + 72∆ + 36∆2 + 6∆𝑥 3 + 4 + 4∆𝑥 + ∆𝑥 2 − 52
= lim
∇𝑥→0
∆𝑥
72∆ + 36∆2 + 6∆𝑥 3 + 4∆𝑥 + ∆𝑥 2
= lim
∇𝑥→0
∆𝑥
= lim 72 + 36∆ + 6∆𝑥 2 + 4 + ∆𝑥
∇𝑥→0

= lim 76 + 36∆ + 6∆𝑥 2 + ∆𝑥
∇𝑥→0

= 76

Kesimpulan
Jadi kecepatan rata-rata benda pada selang waktu 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
adalah 119 𝑚/𝑠 dan kecepatan sesaat benda adalah 76 𝑚/𝑠

2. Sebuah peluru ditembakkan vertical ke atas dengan kecepatan 𝑉0 𝑚/
𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi 𝑕 𝑡 = 5 +
5

20𝑡 − 𝑡 2 . Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah?
4
Jawab:
5
Diketahui: fungsi 𝑕 𝑡 = 5 + 20𝑡 − 𝑡 2 .
4

Ditanya :Tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut ?
Langkah
Untuk mencari tinggi maksimum kita cari titik stasionernya. Titik
stasioner terjadi jika 𝑕′ 𝑥 = 0
5
𝑕 𝑡 = 5 + 20𝑡 − 𝑡 2
4
5
′
𝑕 𝑡 = 20 − 𝑡 = 0
2
5
20 = 𝑡
2
40 = 5𝑡
40
𝑡=
=8
5

159

Penyelesaian:
jika t = 8 adalah
5
𝑕 𝑡 = 5 + 20𝑡 − 𝑡 2
4
5
𝑕 8 = 5 + 20(8) − (8)2
4
𝑕 8 = 5 + 160 − 80

𝑕 8 = 85 𝑚
Kesimpulan:
Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru adalah 85 m