Mengenal Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Mengenal Bilangan
Berpangkat Bulat Positif
Kegiatan1.7
Bilangan berpangkat juga dikenal dengan istilah bilangan eksponen. Saat di
Sekolah Dasar kalian sudah mengenal bilangan berpangkat bulat positif (asli).
2
Misal 23 dibaca “dua pangkat tiga”, 10 “dibaca sepuluh pangkat dua” dan lain
sebagainya. Salah satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk
menyederhanakan bilangan desimal yang memuat angka (relatif) banyak.
Misal bilangan 1.000.000 dapat dinotasikan menjadi bilangan berpangkat
106 . Bilangan desimal 1.000.000 memuat tujuh angka dapat diubah menjadi
6
bilangan berpangkat 10 yang hanya memuat tiga angka. Mengubah bilangan
desimal yang memuat angka yang banyak menjadi bilangan berpangkat bisa
dilakukan asalkan nilainya tetap. Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk
mengenal bilangan berpangkat lebih banyak, memahami cara mengubah notasi
bilangan desimal yang memuat banyak angka menjadi bilangan berpangkat,
serta membandingkan bilangan-bilangan berpangkat.
Ayo
Kita Amati
Menyatakan Bilangan Desimal menjadi Bilangan Berpangkat Bulat
Positif
Berikut ini beberapa bilangan desimal yang dinyatakan dalam bilangan
berpangkat bulat positif.
Bilangan
Desimal
59.049
Bilangan
Berpangkat
Keterangan
310
310 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 59.049
5
515 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 ×
5×5×5×5×5×5
= 30.517.578.125
1.000.000
106
106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 1.000.000
8.000.000
8 × 10
30.517.578.125
15
8 × 10 = 8 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 8 × 1.000.000
= 8.000.000
6
6
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
81
?
Ayo Kita
Menanya
Ajukan pertanyaan terkait dengan pengamatan bilangan berpangkat. Berikut
ini contoh pertanyaan terkait pengamatan bilangan berpangkat.
1. Bagaimana cara menyatakan bilangan berpangkat bulat positif?
2. Bagaimana cara membandingkan bilangan berpangkat yang cukup besar?
3. Bagaimanakah hasil dari bilangan genap pangkat genap?
Ajukan pertanyaan lainnya terkait pengamatan.
+
=+
Ayo Kita
Menggali Informasi
b
Secara umum, bilangan berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan
a dan b adalah bilangan bulat. a disebut bilangan basis atau pokok, sedangkan
b disebut eksponen atau pangkat. Namun dalam materi ini yang akan kita
bahas cukup bilangan berpangkat bulat positif (asli).
Untuk menyatakan bilangan berpangkat bulat menjadi bilangan desimal,
kalian cukup mengubahnya dalam bentuk perkalian, kemudian menentukan
hasil kalinya. Namun, bagaimana cara menyatakan bilangan desimal menjadi
bilangan berpangkat.
Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu
caranya adalah dengan menentukan faktor-faktornya terlebih dahulu.
Faktor Bilangan
Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat
n sedemikian sehingga a × n = b.
Contoh:
2 dikatakan faktor dari dari 6 karena ada bilangan 3 sedemikian sehingga
2×3=6
Setelah memahami tentang faktor, kalian bisa mengubah bilangan-bilangan
yang sangat besar menjadi bilangan berpangkat. Untuk menentukan faktorfaktor dari bilangan desimal tersebut, salah satu caranya adalah dengan
membagi bilangan tersebut secara berulang.
82
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
Contoh:
Cara menjadikan bilangan desimal 648 menjadi bilangan berpangkat.
648
324
162
81
27
9
3
1
648
:2
:2
:2
:3
:3
:3
:3
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ×3 ×3
4
=
23 × 3
Membandingkan Bilangan Berpangkat Besar
Setelah mengamati bentuk bilangan berpangkat tersebut, kalian diharapkan
bisa membandingkan bentuk bilangan berpangkat. Amati contoh berikut.
Contoh 1
6
5
Tentukan bilangan yang lebih besar antara 5 dengan 6
Kalau dalam bilangan desimal, untuk membandingkan cukup mudah, yaitu
dengan melihat angka-angka penyusunnya. Namun untuk bilangan berpangkat
tidak semudah itu. Mungkin sebagian dari kalian menduga bahwa antara
6
5
bilangan 5 dengan 6 adalah sama besar, karena angka-angka penyusunnya
sama namun berbeda posisi. Untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut,
kita bisa rinci bilangan berpangkat tersebut menjadi bilangan desimal lebih
dulu.
56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15.625
65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7.776
6
Ternyata setelah mengubah menjadi bilangan desimal, nampak bahwa 5
lebih dari 65 .
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
83
Cara pada contoh 1 di atas cukup efektif untuk digunakan membandingkan
bilangan berpangkat. Namun, ada kalanya suatu bilangan tidak perlu dijadikan
ke dalam bentuk desimalnya untuk bisa membandingkannya. Perhatikan
contoh 2 berikut.
Contoh 2
101
Tentukan bilangan yang lebih besar antara bilangan 100
100
dengan 101 .
Kedua bilangan tersebut cukup susah untuk dituliskan ke dalam bilangan
desimal karena angkanya yang (relatif) banyak. Dengan menggunakan
kalkulator sederhana pun tidak akan bisa menghasilkan bilangan desimalnya
karena pada kalkulator tersebut hanya terbatas sampai 9 angka saja.
Untuk membandingkan bilangan berpangkat yang cukup besar tersebut,
kalian bisa melakuakan semacam percobaan untuk bilangan-bilangan yang
lebih kecil, tetapi dengan pola yang sama.
34 > 43
45 > 45
56 > 65
Lanjutkan untuk melakukan beberapa percobaan lagi agar lebih meyakinkan
kalian.
Dengan melakukan percobaan tersebut kita bisa menggeneralisasi bahwa
100101 > 101100 .
Ayo Kita
Menalar
1. Jika m menyatakan sebarang bilangan bulat dan n menyatakan sebarang
bilangan bulat positif. Nyatakan bilangan mn ke dalam bentuk perkalian.
Jelaskan.
84
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
b
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan a
d
dengan c . Jelaskan.
3. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
c
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan a
d
dengan b . Jelaskan
4. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan ad dengan
bc. Jelaskan.
5. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat
b
positif genap, tentukan apakah hasil dari a adalah positif atau negatif.
6. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat
b
positif ganjil, tentukan apakah hasil dari a adalah positif atau negatif.
7. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan genap, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
8. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan ganjil, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
9. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan genap, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
10. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan ganjil, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
Ayo Kita
Berbagi
Komunikasikan hasil menalar kalian dengan teman sebangku atau dalam
kelompok. Berdiskusilah untuk mendapatkan jawaban yang terbaik.
Kemudian sajikan hasil diskusi kalian dalam bentuk presentasi di dalam kelas.
Bagi kelompok yang tidak maju diharapkan untuk menanggapi jika kalian
menemui kejanggalan atau perbedaan dengan kelompok kalian.
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
85
?!
Ayo Kita
Berlatih 1.7
A. Soal Pilihan Ganda
1. Bilangan 98 senilai dengan ...
a. 89
b. 310
c. 184
d. 316
2. Urutkan bilangan 34, 43, 25, 52 dari yang terkecil ke yang terbesar.
a. 34, 43, 25, 52
b. 52, 25, 43, 34
c. 52, 25, 34, 43
d. 52, 43, 25, 34
3. Di antara bilangan berikut, tentukan bilangan ganjil positif.
a. −11188
b. −112101
c. −11391
d. −114212
4. Bilangan desimal dengan angka desimal sepersepuluhan terdekat dari
8 adalah ...
a. 2,2
b. 2,4
c. 2,6
d. 2,8
B. Soal Uraian
1. Nyatakan bilangan berpangkat tersebut menjadi bilangan desimal
a. 108
b. 58
c. −106
d. 24 × 107
e.(−2)4 × (−3)5
86
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
2. Nyatakan bilangan desimal berikut menjadi bilangan berpangkat (atau
bilangan perkalian yang memuat pangkat)
a.
b.
c.
d.
e.
9.000.000
46656
−1.500.000
30.375
−2.109.375
3. Dengan menggunakan tanda “”, atau “=” nyatakan perbandingan
masing-masing bilangan berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
53 ... 122
108 ... 810
1.000100 ... 1.00099
99100 ... 100100
300301 ... 301300
f.
1
3
100
...
1
4100
g. 2,7133,14 ... 3,142,713
4. Tentukan bilangan berpangkat berikut, genap ataukah ganjil.
a.
b.
c.
d.
e.
9088
1340
831
−4699
−2388
5. Tentukan bilangan berpangkat berikut, positif ataukah negatif.
a.
b.
c.
d.
e.
9088
−1340
−731
−4099
(−20)88 × (−17)9
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
87
Berpangkat Bulat Positif
Kegiatan1.7
Bilangan berpangkat juga dikenal dengan istilah bilangan eksponen. Saat di
Sekolah Dasar kalian sudah mengenal bilangan berpangkat bulat positif (asli).
2
Misal 23 dibaca “dua pangkat tiga”, 10 “dibaca sepuluh pangkat dua” dan lain
sebagainya. Salah satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk
menyederhanakan bilangan desimal yang memuat angka (relatif) banyak.
Misal bilangan 1.000.000 dapat dinotasikan menjadi bilangan berpangkat
106 . Bilangan desimal 1.000.000 memuat tujuh angka dapat diubah menjadi
6
bilangan berpangkat 10 yang hanya memuat tiga angka. Mengubah bilangan
desimal yang memuat angka yang banyak menjadi bilangan berpangkat bisa
dilakukan asalkan nilainya tetap. Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk
mengenal bilangan berpangkat lebih banyak, memahami cara mengubah notasi
bilangan desimal yang memuat banyak angka menjadi bilangan berpangkat,
serta membandingkan bilangan-bilangan berpangkat.
Ayo
Kita Amati
Menyatakan Bilangan Desimal menjadi Bilangan Berpangkat Bulat
Positif
Berikut ini beberapa bilangan desimal yang dinyatakan dalam bilangan
berpangkat bulat positif.
Bilangan
Desimal
59.049
Bilangan
Berpangkat
Keterangan
310
310 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 59.049
5
515 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 ×
5×5×5×5×5×5
= 30.517.578.125
1.000.000
106
106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 1.000.000
8.000.000
8 × 10
30.517.578.125
15
8 × 10 = 8 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 8 × 1.000.000
= 8.000.000
6
6
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
81
?
Ayo Kita
Menanya
Ajukan pertanyaan terkait dengan pengamatan bilangan berpangkat. Berikut
ini contoh pertanyaan terkait pengamatan bilangan berpangkat.
1. Bagaimana cara menyatakan bilangan berpangkat bulat positif?
2. Bagaimana cara membandingkan bilangan berpangkat yang cukup besar?
3. Bagaimanakah hasil dari bilangan genap pangkat genap?
Ajukan pertanyaan lainnya terkait pengamatan.
+
=+
Ayo Kita
Menggali Informasi
b
Secara umum, bilangan berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan
a dan b adalah bilangan bulat. a disebut bilangan basis atau pokok, sedangkan
b disebut eksponen atau pangkat. Namun dalam materi ini yang akan kita
bahas cukup bilangan berpangkat bulat positif (asli).
Untuk menyatakan bilangan berpangkat bulat menjadi bilangan desimal,
kalian cukup mengubahnya dalam bentuk perkalian, kemudian menentukan
hasil kalinya. Namun, bagaimana cara menyatakan bilangan desimal menjadi
bilangan berpangkat.
Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu
caranya adalah dengan menentukan faktor-faktornya terlebih dahulu.
Faktor Bilangan
Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat
n sedemikian sehingga a × n = b.
Contoh:
2 dikatakan faktor dari dari 6 karena ada bilangan 3 sedemikian sehingga
2×3=6
Setelah memahami tentang faktor, kalian bisa mengubah bilangan-bilangan
yang sangat besar menjadi bilangan berpangkat. Untuk menentukan faktorfaktor dari bilangan desimal tersebut, salah satu caranya adalah dengan
membagi bilangan tersebut secara berulang.
82
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
Contoh:
Cara menjadikan bilangan desimal 648 menjadi bilangan berpangkat.
648
324
162
81
27
9
3
1
648
:2
:2
:2
:3
:3
:3
:3
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ×3 ×3
4
=
23 × 3
Membandingkan Bilangan Berpangkat Besar
Setelah mengamati bentuk bilangan berpangkat tersebut, kalian diharapkan
bisa membandingkan bentuk bilangan berpangkat. Amati contoh berikut.
Contoh 1
6
5
Tentukan bilangan yang lebih besar antara 5 dengan 6
Kalau dalam bilangan desimal, untuk membandingkan cukup mudah, yaitu
dengan melihat angka-angka penyusunnya. Namun untuk bilangan berpangkat
tidak semudah itu. Mungkin sebagian dari kalian menduga bahwa antara
6
5
bilangan 5 dengan 6 adalah sama besar, karena angka-angka penyusunnya
sama namun berbeda posisi. Untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut,
kita bisa rinci bilangan berpangkat tersebut menjadi bilangan desimal lebih
dulu.
56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15.625
65 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7.776
6
Ternyata setelah mengubah menjadi bilangan desimal, nampak bahwa 5
lebih dari 65 .
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
83
Cara pada contoh 1 di atas cukup efektif untuk digunakan membandingkan
bilangan berpangkat. Namun, ada kalanya suatu bilangan tidak perlu dijadikan
ke dalam bentuk desimalnya untuk bisa membandingkannya. Perhatikan
contoh 2 berikut.
Contoh 2
101
Tentukan bilangan yang lebih besar antara bilangan 100
100
dengan 101 .
Kedua bilangan tersebut cukup susah untuk dituliskan ke dalam bilangan
desimal karena angkanya yang (relatif) banyak. Dengan menggunakan
kalkulator sederhana pun tidak akan bisa menghasilkan bilangan desimalnya
karena pada kalkulator tersebut hanya terbatas sampai 9 angka saja.
Untuk membandingkan bilangan berpangkat yang cukup besar tersebut,
kalian bisa melakuakan semacam percobaan untuk bilangan-bilangan yang
lebih kecil, tetapi dengan pola yang sama.
34 > 43
45 > 45
56 > 65
Lanjutkan untuk melakukan beberapa percobaan lagi agar lebih meyakinkan
kalian.
Dengan melakukan percobaan tersebut kita bisa menggeneralisasi bahwa
100101 > 101100 .
Ayo Kita
Menalar
1. Jika m menyatakan sebarang bilangan bulat dan n menyatakan sebarang
bilangan bulat positif. Nyatakan bilangan mn ke dalam bentuk perkalian.
Jelaskan.
84
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
b
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan a
d
dengan c . Jelaskan.
3. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
c
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan a
d
dengan b . Jelaskan
4. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif, dengan a < b < c < d.
Tentukan bilangan manakah yang lebih besar di antara bilangan ad dengan
bc. Jelaskan.
5. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat
b
positif genap, tentukan apakah hasil dari a adalah positif atau negatif.
6. Diketahui a adalah bilangan bulat negatif dan b adalah bilangan bulat
b
positif ganjil, tentukan apakah hasil dari a adalah positif atau negatif.
7. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan genap, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
8. Diketahui a adalah bilangan genap dan b adalah bilangan ganjil, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
9. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan genap, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
10. Diketahui a adalah bilangan ganjil dan b adalah bilangan ganjil, tentukan
b
apakah hasil dari a adalah genap atau ganjil.
Ayo Kita
Berbagi
Komunikasikan hasil menalar kalian dengan teman sebangku atau dalam
kelompok. Berdiskusilah untuk mendapatkan jawaban yang terbaik.
Kemudian sajikan hasil diskusi kalian dalam bentuk presentasi di dalam kelas.
Bagi kelompok yang tidak maju diharapkan untuk menanggapi jika kalian
menemui kejanggalan atau perbedaan dengan kelompok kalian.
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
85
?!
Ayo Kita
Berlatih 1.7
A. Soal Pilihan Ganda
1. Bilangan 98 senilai dengan ...
a. 89
b. 310
c. 184
d. 316
2. Urutkan bilangan 34, 43, 25, 52 dari yang terkecil ke yang terbesar.
a. 34, 43, 25, 52
b. 52, 25, 43, 34
c. 52, 25, 34, 43
d. 52, 43, 25, 34
3. Di antara bilangan berikut, tentukan bilangan ganjil positif.
a. −11188
b. −112101
c. −11391
d. −114212
4. Bilangan desimal dengan angka desimal sepersepuluhan terdekat dari
8 adalah ...
a. 2,2
b. 2,4
c. 2,6
d. 2,8
B. Soal Uraian
1. Nyatakan bilangan berpangkat tersebut menjadi bilangan desimal
a. 108
b. 58
c. −106
d. 24 × 107
e.(−2)4 × (−3)5
86
Kelas VII SMP/MTs
Di unduh dari : Bukupaket.com
Semester 1
2. Nyatakan bilangan desimal berikut menjadi bilangan berpangkat (atau
bilangan perkalian yang memuat pangkat)
a.
b.
c.
d.
e.
9.000.000
46656
−1.500.000
30.375
−2.109.375
3. Dengan menggunakan tanda “”, atau “=” nyatakan perbandingan
masing-masing bilangan berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
53 ... 122
108 ... 810
1.000100 ... 1.00099
99100 ... 100100
300301 ... 301300
f.
1
3
100
...
1
4100
g. 2,7133,14 ... 3,142,713
4. Tentukan bilangan berpangkat berikut, genap ataukah ganjil.
a.
b.
c.
d.
e.
9088
1340
831
−4699
−2388
5. Tentukan bilangan berpangkat berikut, positif ataukah negatif.
a.
b.
c.
d.
e.
9088
−1340
−731
−4099
(−20)88 × (−17)9
MATEMATIKA
Di unduh dari : Bukupaket.com
87