PENGGUNAAN ATURAN WARNSDORFF DAN ALGORIT
PENGGUNAAN ATURAN WARNSDORFF DAN ALGORITMA
DEVIDE AND CONQUER DALAM MENYELESAIKAN PERMAINAN
BERBASIS STRATEGI : THE KNIGHT'S TOUR
1)
2)
Santi Septinandari , Yemi Kuswardi S.Si., M.Pd.
1) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS
Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail :
santisept [email protected]
2) Dosen Prodi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS
Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail : [email protected]
Abstrak
The Knigh Tour adalah salah jenis permainan catur yang telah
dikembangkan menjadi aplikasi virtual dan secara online. Prinsip utama permainan
ini adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati semua
petak pada papan catur tepat satu kali. prinsip utama permainan kningt tour
ini merupakan lintasan graph Hamilton. Banyak cara untuk mencari lintasan
Hamilton dalam suau graph. Dalam makalah ini akan dibahas dua cara penentuan
lintasan hamilton dalam permainan knigt tour, yaitu Aturan Warnsdoff dan
Algorifma Devide and Conquer. Hasil kajian yang diperoleh dari penerapan Aturan
Warnsdoff dan Algorifma Devide and Conquer dalam menyelesaikan permainan
kningt tour adalah ditemukannya suatu pola dan karakteristik tertentu dalam
menyelesaikan permainan The Knight Tour ukuran papan kecil dan besar dengan
penerapan Aturan Warnsdoff dan Algorifma Devide and Conquer.
Kata kunci : The Knight Tour, Aturan Warnsdoff dan Algorifma Devide
and
Conquer
1
PENDAHULUAN
Matematika merupakan dasar dari semua ilmu. Matematika bisa digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan rumit hingga sederhana sekalipun, termasuk dalam sebuah
permainan/ game. Jenis permainan yang bisa diselesaikan dengan penerapan matematika
ada banyak sekali, salah satunya adalah permainan berbasis strategi, baik tradisional
maupun modern antara lain permainan modern adala game online The Knigt's Tour.
Prinsip utamanya adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati
semua petak pada papan catur tepat satu kali. Hal ini merupakan prinsip utama salah satu
cabang ilmu matematika yaitu Graf, lebih tepatnya Lintasan Hamilton. Banyak cara
untuk menyelesaikan persoalan ini, antara lain algoritma Devide and Conquer,
algoritma Backtracking, metode De Moivre, Solusi Neural Network dan aturan Warnsdorff
. Dalam menentukan strategi tersebut, perlu diperhatikan ukuran papan catur yang akan
digunakan. Hal ini karena perbedaan ukuran papan catur mempengaruhi jenis metode atau
algortima yang dipakai untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour. Penggunaan
Algortima backtracking untuk menyelesaikan permainan ini sudah banyak dibahas dalam
makalah-makalah
lain,
sedangkan
metode
De Moivre hanya bisa digunakan
untuk menyelesaikan papan catur ukuran standar nxn dengan n = 8. Selain itu, aturan
Warnsdorff merupakan metode pertama yang dibahas untuk menyelesaikan pemecahan The
Knight's Tour, yaitu sejak tahun 1823 dan algortima devide and conquer digunakan untuk
papan berukuran besar. Beberapa penelitian yang terkait antara lain penelitian oleh Sahat
Nicholas dalam makalah berjudul “Aplikasi Graf Dalam Permainan Catur” dan
penelitian oleh minartin dalam skripsinya yang berjudul “Simulasi
Dengan
Knight's Tour
Algoritma Warnsdorff's“.
Penulisan dalam makalah ini bertujuan untuk mengkaji
Warnsdoff
penerapan
Aturan
dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour papan ukuran kecil dan
ukuran papan besar dengan bantuan algortima devide and conquer.
Graf Hamilton adalah graf yang memiliki sirkuit Hamilton. Ciri utama sirkuit
Hamilton adalah semua titiknya ( vertex ) harus dikunjungi satu kali dan tidak harus
melalui semua garis ( sisi ). Sedangkan The Knight's Tour adalah game online yang
cara memainkan
permainan
The
Knight's
Tour
sama
seperti cara menentukan
sirkuit Hamilton. Petak pada papan catur dapat diibaratkan sebagai titik pada graf,
sedangkan
2
pilihan jalannya kuda dapat diibaratkan sebagai sisi yang menghubungkan dua titik sebagai
gerakan dari bidak kuda. Permasalahan sirkuit Hamilton adalah bagaimana melewati semua
titik tepat satu kali, sama seperti The Knight's Tour yaitu menempati setiap petak tepat satu
kali.
PEMBAHASAN
Ukuran papan catur yang bisa dikatakan Knight's Tour
Tidak semua ukuran papan memiliki Knight's Tour. Allen
Schwenk
telah
membuktikan adanya karakterisasi dari papan catur persegi panjang berukuran m
x n sehingga dapat ditemukan knight's tour. Papan catur segiempat berukuran m x n
(untuk m lebih kecil dari n) tidak memiliki
Knight's Tour jika m = 1, 2 atau m = 3 dan n = 5. Berikut ini ukuran papan catur yang dapat
memuat kningt tour:
NxN
genap
>6X6
ganjil
>5X5
genap
4x8
MxN
ganjil
3x7
Genap ganjil
3x8
3x10
5x6
A. Penggunaan Aturan Warnsdorff Pada Papan Ukuran Kecil
Pada papan catur ukuran 3x4
Langkah-langkah yang digunakan oleh aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan
permainan The Knight's Tour :
1) Memilih salah satu petak pada papan secara acak dan tandai petak tersebut sebagai
posisi awal
2) Mendata semua kemungkinan langkah yang dapat dilakukan oleh bidak kuda, lalu
simpan dalam sebuah array, dimisalkan array .: x1 (di b3) , x2 ( di c2 )
3) Menghitung jumlah semua langkah yang mungkin dilakukan kuda ketika berada pada
posisi tersebut ( petak posisi yang disebutkan dalam array X). Posisi yang dihitung
adalah posisi yang belum pernah dilewati sebelumnya.
Jika dipilih X1, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak d2 atau c1. Sedangkan jika
dipilih X2, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak a1. Sehingga :
X1 : kemungkinan 2 langkah
X2 : kemungkinan 1 langkah
4)
Posisi selanjutnya dipilih berdasarkan jumlah langkah yang paling sedikit yang bisa
dilakukan pada posisi X tertentu.
Pilih X2
5) Ulangi langkah 2-4 sampai seluruh papan permainan terisi.
X1
X2
X1 = 2 , X2 = 1, jadi pilih X2
6) Hasil permainan yang telah selesai contohnya seperti ini
Namun, pada penerapan permainan The Knight's Tour papan ukuran 3x4 ini, Aturan
Warndoff ini bisa digunakan dengan penambahan syarat, yaitu pada langkah pertama, titik
awal yang dipilih adalah petak dari kolom a atau kolom d saja.
Pola yang dihasilkan
Ukuran
3x7
Karakteristik
a.
Akan ada solusi jika start dari petak berwarna biru, kecuali pada kolom d2 ( karena
berada di tengah sehingga kemungkinan langkah selanjutnya sama semua.
b. Titik akhir juga pada petak berwarna biru.
3x8
Jika dipilih titik asal di petak sudut, maka kemungkinan titik akhirnya
ada 2 yaitu petak sebelahnya yang berada di kolom yang sama atau di
petak sudut pada baris yang sama
5x5
Ada dua hal yang menjadi ciri khas penerapan Aturan Warndoff
dalam The Knight's
Tour ukuran papan 5X5, yaitu :
a. Jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang dipilih adalah
kotak biru yang ada di tepi papan ( a1, a3, a5, c1, c5, e1, e3, e5)
maka bidak kuda akan berakhir di sebarang tempat ( acak )
b. Sebaliknya, jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang
dipilih adalah kotak biru selain yang di tepi papan, maka bidak kuda
akan berakhir di kotak biru tepi papan
8
8x8
Warna petak awal dan akhir selalu berbeda
Penggunaan Aturan Warnsdorff Papan Catur Ukuran Besar
Untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour dengan papan lebih besar,
diperlukan sebuah algortima “bantuan” untuk mempermudah prosesnya.
Algoritma
yang sering digunakan dan paling popular adalah Algoritma Devide and Conquer. langkahlangkahnya sesuai dengan algoritma tersebut, yaitu :
Divide
:
Membagi
masalah
menjadi
beberapa
bagian
yang
memiliki
kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil ( idealnya
berukuran hampir sama ). Masing-masing bagian yang sudah dipartisi ini disebut basis.
Misalnya untuk papan berukuran 16x16, maka dipartisi menjadi 4 bagian sama besar
yaitu 8x8. Untuk papan ukuran 27x27 bisa dipartisi menjadi 16 basis denan ukuran
8x8, 6x8, dan 6x6. Begitupula seterusnya.
Conquer
: Memecahkan
( menyelesaikan ) masing-masing upa-masalah
(
secara rekursif ). Dalam hal ini, digunakanlah Aturan Warnsdorff lagi.
Combine : Menggabungkan solusi masing-masing basis
sehingga membentuk
solusi masalah semula. Di bagian ini, basis dihubungkan dengan melakukan
rotasi, yaitu diusahakan bahwa solusi dari sestiap basis berakhir di pinggir partisi.
9
Papan catur ukuran 10 x 10
a. Divide ( dibagi )
Papan catur ukuran 10x10 dipartisi menjadi 4 bagian dengan ukuran masingmasing baian adalah 5x5.
b. Conquer ( menyelesaikan satu-satu ) dan Combine ( menggabungkan )
Menyelesaikan satu-satu dengan ururan papan bagian kiri atas, kiri bawah,
kanan bawah, kanan atas lalu menggabungkannya menjadi satu
10
11
12
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan tersebut, penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut :
1.
Penerapan Aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour
ukuran papan kecil bisa dilakukan pada :
• papan ukuran papan nxn, n ganjil, n ≥ 5
• papan ukuran mxm, m genap, m ≥ 6
• papan ukuran axb, dengan a
DEVIDE AND CONQUER DALAM MENYELESAIKAN PERMAINAN
BERBASIS STRATEGI : THE KNIGHT'S TOUR
1)
2)
Santi Septinandari , Yemi Kuswardi S.Si., M.Pd.
1) Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS
Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail :
santisept [email protected]
2) Dosen Prodi Pendidikan Matematika PMIPA FKIP UNS
Jl. Ir. Sutami 36A Surakarta, e-mail : [email protected]
Abstrak
The Knigh Tour adalah salah jenis permainan catur yang telah
dikembangkan menjadi aplikasi virtual dan secara online. Prinsip utama permainan
ini adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati semua
petak pada papan catur tepat satu kali. prinsip utama permainan kningt tour
ini merupakan lintasan graph Hamilton. Banyak cara untuk mencari lintasan
Hamilton dalam suau graph. Dalam makalah ini akan dibahas dua cara penentuan
lintasan hamilton dalam permainan knigt tour, yaitu Aturan Warnsdoff dan
Algorifma Devide and Conquer. Hasil kajian yang diperoleh dari penerapan Aturan
Warnsdoff dan Algorifma Devide and Conquer dalam menyelesaikan permainan
kningt tour adalah ditemukannya suatu pola dan karakteristik tertentu dalam
menyelesaikan permainan The Knight Tour ukuran papan kecil dan besar dengan
penerapan Aturan Warnsdoff dan Algorifma Devide and Conquer.
Kata kunci : The Knight Tour, Aturan Warnsdoff dan Algorifma Devide
and
Conquer
1
PENDAHULUAN
Matematika merupakan dasar dari semua ilmu. Matematika bisa digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan rumit hingga sederhana sekalipun, termasuk dalam sebuah
permainan/ game. Jenis permainan yang bisa diselesaikan dengan penerapan matematika
ada banyak sekali, salah satunya adalah permainan berbasis strategi, baik tradisional
maupun modern antara lain permainan modern adala game online The Knigt's Tour.
Prinsip utamanya adalah memindahkan bidak catur sehingga bidak catur bisa menempati
semua petak pada papan catur tepat satu kali. Hal ini merupakan prinsip utama salah satu
cabang ilmu matematika yaitu Graf, lebih tepatnya Lintasan Hamilton. Banyak cara
untuk menyelesaikan persoalan ini, antara lain algoritma Devide and Conquer,
algoritma Backtracking, metode De Moivre, Solusi Neural Network dan aturan Warnsdorff
. Dalam menentukan strategi tersebut, perlu diperhatikan ukuran papan catur yang akan
digunakan. Hal ini karena perbedaan ukuran papan catur mempengaruhi jenis metode atau
algortima yang dipakai untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour. Penggunaan
Algortima backtracking untuk menyelesaikan permainan ini sudah banyak dibahas dalam
makalah-makalah
lain,
sedangkan
metode
De Moivre hanya bisa digunakan
untuk menyelesaikan papan catur ukuran standar nxn dengan n = 8. Selain itu, aturan
Warnsdorff merupakan metode pertama yang dibahas untuk menyelesaikan pemecahan The
Knight's Tour, yaitu sejak tahun 1823 dan algortima devide and conquer digunakan untuk
papan berukuran besar. Beberapa penelitian yang terkait antara lain penelitian oleh Sahat
Nicholas dalam makalah berjudul “Aplikasi Graf Dalam Permainan Catur” dan
penelitian oleh minartin dalam skripsinya yang berjudul “Simulasi
Dengan
Knight's Tour
Algoritma Warnsdorff's“.
Penulisan dalam makalah ini bertujuan untuk mengkaji
Warnsdoff
penerapan
Aturan
dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour papan ukuran kecil dan
ukuran papan besar dengan bantuan algortima devide and conquer.
Graf Hamilton adalah graf yang memiliki sirkuit Hamilton. Ciri utama sirkuit
Hamilton adalah semua titiknya ( vertex ) harus dikunjungi satu kali dan tidak harus
melalui semua garis ( sisi ). Sedangkan The Knight's Tour adalah game online yang
cara memainkan
permainan
The
Knight's
Tour
sama
seperti cara menentukan
sirkuit Hamilton. Petak pada papan catur dapat diibaratkan sebagai titik pada graf,
sedangkan
2
pilihan jalannya kuda dapat diibaratkan sebagai sisi yang menghubungkan dua titik sebagai
gerakan dari bidak kuda. Permasalahan sirkuit Hamilton adalah bagaimana melewati semua
titik tepat satu kali, sama seperti The Knight's Tour yaitu menempati setiap petak tepat satu
kali.
PEMBAHASAN
Ukuran papan catur yang bisa dikatakan Knight's Tour
Tidak semua ukuran papan memiliki Knight's Tour. Allen
Schwenk
telah
membuktikan adanya karakterisasi dari papan catur persegi panjang berukuran m
x n sehingga dapat ditemukan knight's tour. Papan catur segiempat berukuran m x n
(untuk m lebih kecil dari n) tidak memiliki
Knight's Tour jika m = 1, 2 atau m = 3 dan n = 5. Berikut ini ukuran papan catur yang dapat
memuat kningt tour:
NxN
genap
>6X6
ganjil
>5X5
genap
4x8
MxN
ganjil
3x7
Genap ganjil
3x8
3x10
5x6
A. Penggunaan Aturan Warnsdorff Pada Papan Ukuran Kecil
Pada papan catur ukuran 3x4
Langkah-langkah yang digunakan oleh aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan
permainan The Knight's Tour :
1) Memilih salah satu petak pada papan secara acak dan tandai petak tersebut sebagai
posisi awal
2) Mendata semua kemungkinan langkah yang dapat dilakukan oleh bidak kuda, lalu
simpan dalam sebuah array, dimisalkan array .: x1 (di b3) , x2 ( di c2 )
3) Menghitung jumlah semua langkah yang mungkin dilakukan kuda ketika berada pada
posisi tersebut ( petak posisi yang disebutkan dalam array X). Posisi yang dihitung
adalah posisi yang belum pernah dilewati sebelumnya.
Jika dipilih X1, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak d2 atau c1. Sedangkan jika
dipilih X2, maka bidak kuda bisa melanjutkan ke petak a1. Sehingga :
X1 : kemungkinan 2 langkah
X2 : kemungkinan 1 langkah
4)
Posisi selanjutnya dipilih berdasarkan jumlah langkah yang paling sedikit yang bisa
dilakukan pada posisi X tertentu.
Pilih X2
5) Ulangi langkah 2-4 sampai seluruh papan permainan terisi.
X1
X2
X1 = 2 , X2 = 1, jadi pilih X2
6) Hasil permainan yang telah selesai contohnya seperti ini
Namun, pada penerapan permainan The Knight's Tour papan ukuran 3x4 ini, Aturan
Warndoff ini bisa digunakan dengan penambahan syarat, yaitu pada langkah pertama, titik
awal yang dipilih adalah petak dari kolom a atau kolom d saja.
Pola yang dihasilkan
Ukuran
3x7
Karakteristik
a.
Akan ada solusi jika start dari petak berwarna biru, kecuali pada kolom d2 ( karena
berada di tengah sehingga kemungkinan langkah selanjutnya sama semua.
b. Titik akhir juga pada petak berwarna biru.
3x8
Jika dipilih titik asal di petak sudut, maka kemungkinan titik akhirnya
ada 2 yaitu petak sebelahnya yang berada di kolom yang sama atau di
petak sudut pada baris yang sama
5x5
Ada dua hal yang menjadi ciri khas penerapan Aturan Warndoff
dalam The Knight's
Tour ukuran papan 5X5, yaitu :
a. Jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang dipilih adalah
kotak biru yang ada di tepi papan ( a1, a3, a5, c1, c5, e1, e3, e5)
maka bidak kuda akan berakhir di sebarang tempat ( acak )
b. Sebaliknya, jika langkah pertama pada Aturan Warndoff yang
dipilih adalah kotak biru selain yang di tepi papan, maka bidak kuda
akan berakhir di kotak biru tepi papan
8
8x8
Warna petak awal dan akhir selalu berbeda
Penggunaan Aturan Warnsdorff Papan Catur Ukuran Besar
Untuk menyelesaikan permainan The Knight's Tour dengan papan lebih besar,
diperlukan sebuah algortima “bantuan” untuk mempermudah prosesnya.
Algoritma
yang sering digunakan dan paling popular adalah Algoritma Devide and Conquer. langkahlangkahnya sesuai dengan algoritma tersebut, yaitu :
Divide
:
Membagi
masalah
menjadi
beberapa
bagian
yang
memiliki
kemiripan dengan masalah semula namun berukuran lebih kecil ( idealnya
berukuran hampir sama ). Masing-masing bagian yang sudah dipartisi ini disebut basis.
Misalnya untuk papan berukuran 16x16, maka dipartisi menjadi 4 bagian sama besar
yaitu 8x8. Untuk papan ukuran 27x27 bisa dipartisi menjadi 16 basis denan ukuran
8x8, 6x8, dan 6x6. Begitupula seterusnya.
Conquer
: Memecahkan
( menyelesaikan ) masing-masing upa-masalah
(
secara rekursif ). Dalam hal ini, digunakanlah Aturan Warnsdorff lagi.
Combine : Menggabungkan solusi masing-masing basis
sehingga membentuk
solusi masalah semula. Di bagian ini, basis dihubungkan dengan melakukan
rotasi, yaitu diusahakan bahwa solusi dari sestiap basis berakhir di pinggir partisi.
9
Papan catur ukuran 10 x 10
a. Divide ( dibagi )
Papan catur ukuran 10x10 dipartisi menjadi 4 bagian dengan ukuran masingmasing baian adalah 5x5.
b. Conquer ( menyelesaikan satu-satu ) dan Combine ( menggabungkan )
Menyelesaikan satu-satu dengan ururan papan bagian kiri atas, kiri bawah,
kanan bawah, kanan atas lalu menggabungkannya menjadi satu
10
11
12
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari pembahasan tersebut, penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut :
1.
Penerapan Aturan Warnsdorff dalam menyelesaikan permaianan The Knight's Tour
ukuran papan kecil bisa dilakukan pada :
• papan ukuran papan nxn, n ganjil, n ≥ 5
• papan ukuran mxm, m genap, m ≥ 6
• papan ukuran axb, dengan a