KONTEN DIGITAL MATEMATIKA SMA

KONTEN DIGITAL MATEMATIKA SMA
TAHUN 2011
PENULIS :
Sigit Tri Guntoro
Muh. Tamimuddin H
PENILAI :
Julan Hernadi
Wiworo
PENGEMBANG :
Deni Saputra
Muh. Tamimuddin H
PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
IRASIONALDAFTAR ISI
Tujuan Pembelajaran
1. Persamaan Irasional
1.1 Pengertian
1.2 Landasan Teori
1.3 Metoda Penyelesaian
2. Pertidaksamaan Irasional
2.1 Pengertian

2.2 Landasan Teori
2.3 Metoda Penyelesaian
3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari
4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional
4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha
4.2 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word
Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika
1
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL
Tujuan Pembelajaran
1. Persamaan Irasional
1.1 Pengertian
Persamaan irasional ialah persamaan yang memuat variabel atau peubahnya berada dalam
tanda akar.
Contoh:
1. 4 2
2
x−=x+

2. (x − )5 = 2x −11
3. 1+ x 5 = 5 − x
Berikut ini bukan persamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar
1. 2 11 √5
2. 1 √3 √2
Hal ini karena tidak ada variable di dalam tanda akar.
Secara umum persamaan irasional berbentuk

atau

dengan

dan

suatu polinomial.
Setiap bilangan real yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan irasional memberikan
pernyataan yang benar disebut penyelesaian atau akar persamaan irasional.
Contoh:
Perhatikan persamaan √1 2
Tujuan dari konten pembelajaran ini adalah pembaca dapat memahami tentang

pengertian persamaan dan pertidaksamaan irasional, landasan teori serta
memahami langkah penyelesaian soal persamaan dan pertidaksamaan irasional. Persamaan dan
Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika
2
Bila disubstitusikan 3 maka persamaan ini memberika hasil

1

3

2 ⟷ √4 2 ⟷ 2 2, suatu pernyataan yang benar. Jadi 3 adalah
penyelesaiannya. Coba ambil x=1, disubstitusikan ke persamaan diperoleh
√1 2 ⟷ √1 1 2 ⟷ 0 2, suatu pernyataan yang salah. Jadi 1 bukan
penyelesaian.
Berkaitan dengan penjelasan ini, persamaan irasional mungkin mempunyai penyelesaian
atau mungkin juga tidak mempunyai penyelesaian. Bila ia mempunyai penyelesaian maka
penyelesaiannya dapat tunggal atau dapat juga lebih dari satu.
1.2 Landasan Teori
Secara umum untuk menyelesaikan persamaan irasional dilakukan dengan menghilangkan
tanda akar pada kedua ruas, yaitu dengan mengkuadratkan masing-masing ruas. Proses ini

dapat dilakukan beberapa kali sampai tanda akar hilang dan diperoleh persamaan aljabar
biasa yang ekuivalen. Hati-hati dengan cara ini jangan sampai salah konsep. Berikut ini
diberikan aturan main atau dalil pendukungnya
→

Tetapi belum tentu berlaku sebaliknya

→ . Yang benar adalah sebagai berikut

↔

0↔

0→

atau

Berkaitan dengan persamaan irasional, yaitu dalam bentuk

atau

haruslah dipenuhi

,

≥ 0.
1.3 Metoda
Berikut adalah beberapa aturan yang harus diperhatikan ketika menyelesaikan persamaan
irasional.
• Akar dari suatu bilangan tidak boleh negatif. Tidaklah benar jika mengatakan
√4 ±2, yang benar adalah √4 2Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika
3
• Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif karena akar bilangan negatif
menghasilkan bilangan imajiner, bukan bilangan real.
Mengingat persamaan irasional umumnya dalam bentuk

atau

dimana

dan

maka untuk menyelesaikannya dicari terlebih
dahulu nilai yang memenuhi:
(i)

≥0
(ii)

≥0
Penyelesaian dari kedua ketentuan ini biasa disebut syarat awal atau prasyarat.
Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan, dalam hal ini menentukan nilai yang memenuhi
(iii)

atau

Akhirnya, nilai yang memenuhi (i), (ii) dan (iii) adalah penyelesaian dari persamaan
irasional yang dimaksud.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi (x − )3 = x − 5

Penyelesaian:
Agar berlaku (x − )3 = x − 5 , harus dipenuhi
Prasyarat:
(i) (x – 3) ≥ 0 , diperoleh x ≥ 3.
(ii) x − 5 ≥ 0 , diperoleh x ≥ 5
Kedua syarat ini dapat digabung menjadi
x≥5
Selanjutnya diselesaikan persamaan,
(iii) (x − )3 = x − 5 ⇒
2
(x − )3 = (x − )5 ⇔ 3 10 25
2
x−=x−x+
⇔ 3 10 25
2
x−=x−x+
⇔ (x − )(7 x + )3 = 0Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika
4
Jadi diperoleh x = 7 atau x = 3. Karena harus memenuhi x ≥ 5 (ingat (2))maka nilai yang

memenuhi adalah x = 7. Ini merupakan contoh persamaan irasional yang mempunyai
penyelesaian tunggal
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari 16 4
2
x−=x+
Penyelesaian:
Prayarat:
(i) x
2
− 16 ≥ 0 → x ≤ −4 atau x ≥ 4 , dan
(ii) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4
Kedua syarat ini digabungkan sehingga didapat 4

atau

≥4

(iii) Kemudian kedua ruas 16 4
2

x − = x + dikuadratkan diperoleh
x
2
–16 = x + 4
↔x
2
– x – 20 = 0
↔ (x − 5)(x + 4) = 0
↔ x = 5 atau x = − 4
Dengan memperhatikan prasyarat maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas

adalah { − 4, 5 }. Ini merupakan persamaan irasional yang mempnyai penyelesaian tidak
tunggal.
Contoh 3
Tentukan nilai x yang memenuhi x + 5 + 2x + 1 = 6
Penyelesaian:
Prasyarat:
(i) x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ −5Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika
5
(ii)

2
1
2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
Syarat (i) dan (ii) dapat digabung menjadi
2
1
x≥−
(iii) x + 5 + 2x +1 = 6 ↔ x + 5 = 6 − 2x +1
.
Sesuai dengan penjelasan
sebelumnya maka 6 − 2x +1 ≥ 0⇔6 ≥ 2x + 1
.
Dari sini diperoleh
x+≤⇒≥x
2
1

2 3 36 17
Dari prasyarat (i), (ii) dan (iii) diperoleh interval prasyarat:
2

1
2
1
− ≤ x ≤ 17
Selanjutnya persamaan diselesaikan.
x + 5 + 2x + 1 = 6
⇔ x + 5 = 6 − 2x +1
⇒ x + 5 = 36 − 12 2x +1 + (2x + 1)
⇔ 12 2x +1 = x + 32
⇒ 144(2x + 1) = x
2
+ 64x + 1024
⇔x
2
− 224 x + 880 = 0
⇔(x − 4)(x − 220) = 0
⇔ x = 4 atau x = 220
Mengacu prasyarat, diperoleh himpunan penyelesaiannya: {4}
Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa tidak semua persamaan irasional memiliki
penyelesaian.
Contoh 4
Tentukan penyelesaian dari √2

3

Jawab:
Prasyarat:
(i) 3 ≥ 0

↔ ≥3

(ii) 2 ≥ 0

↔ ≤ 2Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika

6
Perhatikan bahwa tidak ada nilai yang memenuhi ≥ 3 sekaligus ≤ 2
Jadi tidak ada nilai yang memenuhi √2

3

2. Pertidaksamaan Irasional
2.1 Pengertian
Pertidaksamaan irasional ialah pertidaksamaan yang memuat variabel atau peubahnya
berada dalam tanda akar.
Contoh:
1. 4 2
2
x−≤x+
2. (x − )5 > 2x −11
Berikut ini bukan pertidaksamaan irasional
3. 1 + x 5 < 5 bukan pertidaksamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar
4. x x 5 5x
2
>+
2.2 Landasan teori
Untuk menyelesaikan pertidaksaman irasional dilakukan dengan mengubahnya menjadi
pertidaksamaan ekuivalen yang tidak memuat tanda akar lagi. Umumnya, dengan
mengkuadratkan kedua ruas. Prosedur ini dapat dilakukan dengan menggunakan dalil atau

aturanberikut.
Misalkan , ≥ 0, maka berlaku ≤ ↔
≥
√≥√↔
Kesamaan berlaku jika , yaitu

↔

√ √↔
2.3 Metoda
Jika diberikan pertidaksamaan irasional yang berbentuk

≥

Maka penyelesaiannya harus memenuhi syarat berikut
(i)

≥ 0 sebab bilangan di dalam akar tidak boleh negatif. Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK
Matematika
7

ii

≥ 0, sebab akar suatu bilangan tidak boleh negatif.

iii

≤

Syarat (i) dan (ii) biasanya disebut syarat awal atau prasyarat.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi

3
<

5

Penyelesaian:
Prasyarat:
(i) (x – 3) ≥ 0 , sehingga x ≥ 3.
5( − x) ≥ 0 , sehingga x ≤ 5
(ii) (x − )3 < 5( − x) ⇔(x − )3 < 5( − x)
⇔x