Buku Pegangan Matematika SMP 2

Bebas digandakan sejak November 2010 s.d. November 2025

Diperbanyak oleh ....

Kata Sambutan

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Kementerian Pendidikan Nasional, sejak tahun 2007, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet ( website ) Jaringan Pendidikan Nasional.

Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembe- lajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 81 Tahun 2008 tanggal 11 Desember 2008.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh ( download ), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi

oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan buku teks pelajaran

ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun seko- lah Indonesia yang berada di luar negeri sehingga dapat memanfaatkan sumber belajar ini.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucap- kan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Juni 2011 Kepala Pusat Kurikulum dan Perbukuan

Kata Sambutan

iii

Daftar Isi

Kata Sambutan ... iii Daftar Isi ... iv Sajian Isi Buku ... vi

BAB I Semester 1

BAB III

Faktorisasi Suku Aljabar ... 1 Persamaan Garis Lurus ... 65

Peta Konsep ... 2

Peta Konsep ... 66

Kata Kunci ... 2

Kata Kunci ... 66

A. Pengertian Bentuk Aljabar ... 3

A. Sifat-Sifat Persamaan Garis Lurus ... 67

B. Pemfaktoran Suku Aljabar ... 14

B. Gradien ... 70

C. Persamaan Garis ... 79 Info Matematika: Segitiga Pascal ataukah Info Matematika: Rene Descartes ... 85 Segitiga Zhu Shijie? ... 26

C. Operasi Pecahan pada Bentuk Aljabar ... 19

Rangkuman ... 86

Rangkuman ... 27

Soal Akhir Bab III ... 87 Soal Akhir Bab I ... 28

BAB II

BAB IV

Relasi dan Fungsi ... 31 Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel ... 89

Peta Konsep ... 32

Kata Kunci ... 32

A. Relasi ... 33

Peta Konsep ... 90

B. Fungsi ... 38

Kata Kunci ... 90

A. Persamaan Linear Satu Variabel ... 91 Info Matematika: Relasi pada Hemofilia ... 60

C. Nilai Fungsi ... 49

B. Persamaan Linear Dua Variabel ... 93 Rangkuman ... 61

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ... 96

Soal Akhir Bab II ... 62

D. Mengenal Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel ... 105 Info Matematika: Mikroskop ... 108 Rangkuman ... 109

Soal Akhir Bab IV ... 110

iv

Matematika 2 untuk SMP/MTs Kelas VIII

BAB V

BAB VII

Teorema Pythagoras ... 113 Bangun Ruang Sisi Datar ... 201

Peta Konsep ... 114

Peta Konsep ... 202

Kata Kunci ... 114

Kata Kunci ... 202

A. Teorema Pythagoras ... 115

A. Prisma ... 204

B. Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku ... 120

B. Kubus ... 215

C. Panjang Sisi Berbagai Jenis Segitiga ... 123

C. Balok ... 224

D. Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku

D. Limas ... 233

Istimewa ... 126 Info Matematika: Bentuk Dadu Tidak Hanya

E. Teorema Pythagoras dalam Kehidupan ... 130 Kubus ... 242 Info Matematika: Teorema Pythagoras Berasal Rangkuman ... 243 dari Cina? ... 132

Tugas Proyek 2 ... 244

Rangkuman ... 133

Soal Akhir Bab VII ... 245 Tugas Proyek 1 ... 133

Evaluasi 2 ... 248

Soal Akhir Bab V ... 134

Evaluasi Akhir ... 252

Evaluasi 1 ... 138

Daftar Pustaka ... 257 Daftar Simbol ... 258

Semester 2

BAB VI

Kunci Jawaban ... 259 Glosarium ... 262

Lingkaran ... 143

Indeks ... 264

Peta Konsep ... 144 Kata Kunci ... 144

A. Mengenal Lingkaran dan Unsur-Unsurnya ... 145

B. Sudut Pusat dan Sudut Keliling ... 154

C. Garis Singgung Lingkaran ... 170

D. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga ... 190 Info Matematika: Bilangan Pi ... 197 Rangkuman ... 198

Soal Akhir Bab VI ... 199

Daftar Isi

Sajian Isi Buku

Buku ini merupakan buku matematika dengan nuansa baru, namun tetap sesuai dengan kurikulum yang berlaku. Paparan pada buku ini terbagi sebagai berikut.

1 . Apersepsi Awal Bab

mempelajari suatu bahasan pada bab Bagian ini berisi gambaran mengenai

tersebut. Soal-soal diberikan secara bertahap materi yang akan dibahas melalui wacana

dengan tingkat kesulitan yang semakin kontekstual yang dilengkapi dengan gambar

besar.

penunjang. Selain itu, terdapat pula tujuan

7 . Eksplorasi

pembelajaran yang harus dicapai oleh peserta Pada bagian ini, peserta didik diajak untuk didik pada bab tersebut.

memahami suatu materi melalui kegiatan

2 . Peta Konsep dan Kata Kunci

terbimbing.

Pada bagian ini, peserta didik akan diberikan

8 . Info Matematika

gambaran pembagian bab secara sistematis Bagian ini berisi artikel matematika yang dalam bentuk diagram. Setelah itu, peserta berhubungan dengan materi yang telah didik akan dikenalkan pada istilah-istilah

dipelajari.

matematika yang akan ditemukan pada bab tersebut. Penjelasan setiap istilah dapat

9 . Rangkuman

dilihat pada Glosarium di akhir buku. Bagian ini berisi uraian singkat tentang materi yang telah dipelajari oleh peserta didik

3 . Uji Prasyarat Matematika

pada bab tersebut.

Sebelum mempelajari suatu bab, ada baiknya peserta didik mengerjakan beberapa soal yang 10 . Evaluasi dan Tugas Proyek merupakan prasyarat untuk mempelajari bab

Evaluasi merupakan media bagi peserta didik tersebut.

untuk menguji kemampuannya setelah mempelajari satu atau beberapa materi.

4 . Paparan Materi

Evaluasi terdiri atas soal akhir bab, evaluasi 1 Materi pada buku ini dipaparkan secara jelas,

dan 2, tugas proyek 1 dan 2, serta evaluasi runtut, dan komunikatif sehingga memudah-

akhir.

kan peserta didik untuk mencapai tujuan pembelajaran yang diinginkan.

11 . Daftar Simbol dan Glosarium Apabila mengalami kesulitan untuk mengenali

5 . Ingat Kembali

simbol ataupun istilah matematika yang Berisi hal-hal penting pada materi-materi digunakan pada suatu bab, peserta didik sebelumnya yang akan digunakan kembali dapat mencari pengertian simbol atau istilah pada pembahasan saat ini. tersebut melalui daftar simbol dan glosarium

5 . Contoh Soal

yang ada di akhir buku. Bagian ini berisi contoh-contoh soal

12 . Indeks

berkaitan dengan materi yang telah dipelajari Bagian ini berisi kata-kata penting yang sebelumnya. terdapat pada buku ini beserta halaman

6 . Latihan

kemunculannya.

Bagian ini merupakan sarana bagi peserta didik untuk menguji kemampuannya setelah

vi

Matematika 2 untuk SMP/MTs Kelas VIII

Mi salnya , kamu memiliki sebidang tanah. Kemudian, kamu ingin membagi tanah

tersebut menjadi beberapa bagian. Sebagian untuk ditanami singko ng, sebagian untuk ditanami jagung, dan sebagian lagi untuk dijadikan taman. Bagaimanakah cara membaginya? Kamu dapat menggunakan fakto risasi suku aljabar untuk membagi tanahmu tersebut.

Sumber: www.p.vtourist.com

Sumber: Bab I www.usep.edu.ph

Fakt ori sasi Suku Alj abar

Tu j u a n P e m b e l a j a r a n : Setelah mempelajari bab ini, kamu

akan mampu untuk:

Apa yang akan dipelajari pada bab ini?

a. memahami pengertian bentuk aljabar,

A. Pengert i an Bent uk Alj abar

b. melakukan berbagai o perasi

B. Pemf akt oran Suku Alj abar

pada bentuk aljabar, dan

C. Operasi Pecahan pada Bent uk Alj abar

c. menguraikan berbagai bentuk aljabar ke dalam fakto r- fakto rnya.

Pet a Konsep

Fakt ori sasi Suku Alj abar

membahas

Operasi Pecahan Bent uk Alj abar

Pengert i an

Pemf akt oran

Suku Alj abar

pada Bent uk Alj abar

terdiri atas

1. Suku dan variabel bentuk

1. Menyederhanakan pecahan aljabar

1. Fakto r- fakto r suku aljabar

bentuk aljabar 2. Operasi penjumlahan pada

2. Fakto risasi bentuk

x 2 + 2 xy + y 2 2. Penjumlahan dan bentuk aljabar

pengurangan pecahan 3. Operasi pengurangan pada

3. Fakto risasi bentuk selisih

bentuk aljabar bentuk aljabar

dua kuadrat

3. Perkalian dan pengurangan 4. Operasi perkalian pada

pecahan bentuk aljabar bentuk aljabar

4. Fakto risasi bentuk

ax 2 bx + c

4. Menyederhanakan bentuk 5. Operasi pembagian pada

pecahan bersusun bentuk aljabar

manfaat

1. Menentukan harga barang 2. Menentukan luas tanah 3. Menentukan keliling 4. Menentukan jarak

Kat a Kunci

Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah- istilah berikut. •

fakto risasi

ko nstanta

• suku

kelipatan persekutuan terkec il •

variabel

fakto r persekutuan terbesar

2 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Fakto risasi Suku Aljabar

Sebelum membahas materi faktorisasi suku aljabar, coba kamu kerjakan soal-soal berikut terlebih dahulu.

1. Tuliskanlah faktor-faktor dari 36.

2. Tentukan KPK dari 24 dan 18

3. Hitunglah 14 × 32

4. Hitunglah 365 : 5

5. Hitunglah 23 – 14

U Uj i Prasyarat j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a

A. Pengert i an Bent uk Alj abar

Bentuk aljabar pernah kamu pelajari di Kelas VII. Masih ingatkah kamu pengertian bentuk aljabar?

Perhatikan ilustrasi berikut.

Misalnya, Pak Gunawan memliki enam sapi dan sepuluh kambing. Kemudian, seluruh sapi dan kambing tersebut dijual kepada seorang pedagang ternak. Harga satu ekor sapi adalah x rupiah dan harga seekor kambing adalah y rupiah. Berapakah uang yang diperoleh Pak Gunawan? Uang yang diperoleh Pak Gunawan adalah

6 x + 10 y rupiah.

1 . Suku dan Variabel Bent uk Aljabar

Hasil penjualan seluruh hewan ternak Pak Gunawan, yaitu 6 x + 10 y merupakan salah satu contoh bentuk aljabar. Bentuk aljabar

6 x + 10 y mempunyai dua suku, yaitu 6 x dan 10 y . Kedua suku tersebut memiliki variabel yang berbeda, yaitu x dan y . Adapun koefisien dari 6 x adalah 6 dan koefisien dari 10 y adalah 10.

Bentuk aljabar adalah bentuk penulisan yang merupakan ko mbinasi antara ko efisien dan variabel.

I ngat Kembali

I ngat Kembali

6 x + 10 y

ko efisien variabel

suku

Gambar 1 .1

Bentuk aljabar dapat digunakan untuk menentukan harga ternak.

Cont oh Soal 1.1

Tentukanlah suku, variabel, dan koefisien dari bentuk-bentuk aljabar berikut.

c. 8 y + 11 y 2 +3 y 3 Penyelesaian :

a. 7 x

b. 5 x 3 +4 x

a. Bentuk aljabar 7 x merupakan bentuk aljabar suku satu. Sukunya 7 x dan variabelnya x . Adapun koefisien dari 7 x adalah 7.

b. Bentuk aljabar 5 x 3 +4 x merupakan bentuk aljabar suku dua. Suku-sukunya x adalah 5 3 dan 4 x . Variabel bentuk aljabar 5 x 3 +4 x adalah x . Adapun koefisien

5 x 3 adalah 5 dan koefisien dari 4 x adalah 4.

c. Bentuk aljabar 8 y + 11 y 2 +3 y 3 merupakan bentuk aljabar suku tiga.

3 2 Suku-sukunya adalah 8 3 y y 2 , 11 , dan 3 y . Variabel bentuk aljabar 8 y + 11 y +3 y y

y adalah 2 . Adapun koefisien 8 adalah 8, koefisien 11 adalah 11, dan koefisien dari 3 y 3 adalah 3.

Latihan 1.1

1. Tentukanlah suku, variabel, dan koefisien dari bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 3 x +2

c. 21 x –5 y +9

b. 5 x –3

2. Tentukanlah suku, variabel, dan koefisien dari bentuk-bentuk aljabar berikut.

x a. 2 –2 x +1

x 2 y c. 2 + –8

b. y 2 +3 y 2 – 28

3. Tulislah tiga bentuk aljabar yang terdiri atas dua variabel.

4. Tulislah tiga bentuk aljabar yang terdiri atas tiga variabel.

5. Aku sebuah suku pada bentuk aljabar. Aku tidak mempunyai variabel. Aku hanya berupa suatu bilangan. Siapakah aku?

2 . Operasi Penj umlahan dan Pengurangan pada Bent uk Alj abar

Kamu telah mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan suku-suku pada bentuk aljabar

I ngat Kembali

di Kelas VII, misalnya 3 x +5 x dan 7 x –5 y .

Suku sejenis adalah suku- suku

Dapatkah kamu menentukan hasil dari 3 x +5 x

dengan variabel dan pangkat

dan 7 variabel yang sama. Misalnya, x –5 y ? Penjumlahan bentuk aljabar 3 x +5 x merupakan bentuk penjumlahan aljabar suku y + 3y dan 4m + 3m.

sejenis. Dengan demikian, hasil dari 3 x +5 x adalah (3 + 5) x =8 x . Adapun bentuk 7 x –5 y merupakan bentuk pengurangan aljabar suku tidak sejenis. Mengapa? Karena 7 x dan 5 y merupakan suku-suku dengan variabel yang berbeda, yaitu x dan y .

4 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Sekarang, berapakah hasil penjumlahan dari 3 x 2 +2 x + 5 dan 6 x + 7? Untuk mendapatkan hasil penjumlahannya, kamu kelompokkan suku-suku sejenisnya terlebih dahulu. Terlihat olehmu bahwa 2 x dan 6 x merupakan suku-suku sejenis.

Jadi, (3 x 2 +2 x + 5) + (6 x + 7) = 3 x 2 + (2 x +6 x )+5+7 =3 x 2 +8 x + 12

Dengan demikian, hasil penjumlahan dari 3 x 2 +2 x + 5 dan 6 x + 7 adalah

3 x 2 +8 x + 12. Selain dengan cara tersebut, kamu dapat pula menyelesaikan penjumlahan 3 x 2 +2 x + 5 dan 6 x + 7 dengan cara bersusun seperti berikut.

3 x 2 +2 x +5

6 x +7

+ +8 x + 12

Cont oh Soal 1.2

Kurangkanlah 2 y 2 + 11 y dari x 2 –8 y 2 + 7.

Penyelesaian : Kalimat ”kurangkanlah 2 y 2 + 11 y dari x 2 –8 y 2 + 7” bermakna bahwa kamu harus

melakukan operasi pengurangan ( x 2 –8 y 2 + 7) – (2 y 2 + 11 y ). Perhatikanlah

2 bahwa –8 2 y dan 2 y merupakan suku-suku sejenis. Dengan demikian,

2 2 2 2 2 ( 2 x –8 y + 7) – (2 y + 11 y )= x –8 y +7–2 y – 11 y

2 = 2 x – (8 y +2 y 2 ) – 11 y +7 = x 2 – 10 y 2 – 11 y +7

Kamu dapat pula menyelesaikan operasi pengurangan tersebut dengan cara bersusun berikut.

x 2 – 8 y 2 + 7 y 2 2 + 11 y

– 10 y 2 – 11 y +7

Latihan 1.2

1. Sebutkan suku yang sejenis pada bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. x + y –3 x +4 y

c. 2 5 ab + b + a – ab +3 b

b. 3 x 2 y – x 2 +4 xy 2 + x 2 y +2 x 2

2. Jika A = –2 x + y dan B =3 x –4 y , tentukan:

a. A – B c. B – A

b. A + B, dan

3. Lakukan operasi penjumlahan berikut.

a. 3 x 2 –3 y 2 dan 3 xy –5 y 2 +8 x

b. 10 r 4 –3 p –4 r 3 dan 2 r –8 p + pr – 10 p

c. 19 y 3 –7 y 2 + 6 dan 2 y 3 +6 y 2 + y +5

Fakto risasi Suku Aljabar

4. Kurangkanlah:

a. 6 a + 7 dari 2 a 2 + 11 a

b. 2 a 2 b –8 bc 2 dari 8 a 2 bc +6 2 ab –6 bc +2 a 2 bc

xy 2 c. 2 8 –8 x +3 xy + 7 dari 8 xy –7 xy +6 x

5. Tentukanlah hasil dari

6 a 5 b –2 a – (4 a 5 b +4 ab 3 –3 a 2 b 2 ) + (9 ab 3 –2 ab ).

3 . Operasi Perkali an pada Bent uk Alj abar

Masih ingatkah kamu tentang operasi perkalian pada bentuk aljabar yang telah kamu pelajari di Kelas VII? Misalnya, dapatkah kamu menentukan hasil perkalian

a ( m + n )? Kamu dapat menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Seperti apakah sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan itu? Lakukan kegiatan berikut agar kamu memahaminya.

Ek sp l o r a si 1.1

Tuj uan : Menemukan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Kegi at an :

1. Perhatikan gambar persegi panjang berikut. • Panjang persegi panjang tersebut adalah m + n satuan.

a I • Lebar persegi panjang tersebut adalah a satuan.

m+n

2. Perhatikan pula gambar persegi panjang di samping.

a II

mn

Lengkapilah tabel berikut pada buku latihanmu.

Tabel 1 .1 Persegi Panj ang I

Persegi Panj ang I I

Pert anyaan : 1. Tentukan luas persegi panjang pada Kegi at an ( 1 ) . 2. Tentukan luas to tal persegi panjang I dan persegi panjang II pada Kegi at an ( 2 ) . 3. Apakah kesimpulanmu setelah melakukan kegiatan tersebut?

6 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu tentu telah mengetahui bahwa luas persegi panjang pada Kegiatan (1) dan Kegiatan (2) sama besar. Jadi, a ( m + n )= am + an dan dinamakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan .

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan tadi dapat kamu perluas menjadi ( a + b )( a + c ). Kamu akan memperoleh ( a + b )( a + c )= ( a + b ) a +( a + b ) c

a = 2 + ab + ac + bc = a 2 +( b + c ) a + bc

Cont oh Soal 1.3

Jabarkanlah perkalian-perkalian bentuk aljabar berikut.

a. 2( x + 3)

b. ( a – 8) ( a + 3)

c. 3( x + 5) + 5( x – 3) Penyelesaian :

a. 2( x + 3) = 2 x + 2(3) =2 x +6

b. ( a – 8) ( a + 3) = (a – 8) a +( a – 8) (3) = 2 a –8 a +3 a – 24

= a 2 + (–8 + 3) a – 24 = a 2 –5 a – 24

c. 3( x + 5) + 5( x – 3) = 3 x + 3(5) + 5 x + 5(–3)

=3 x + 15 + 5 x – 15 = (3 + 5) x + 15 – 15 =8 x

Latihan 1.3

1. Selesaikan perkalian berikut.

a. 2( x + 1)

b. 3 x ( x – 2)

c. ( x + 2)( x – 1)

2. Jabarkanlah perkalian-perkalian bentuk aljabar berikut.

a. 3( x + y )

d. m ( m – 5) – 5( m – 5)

b. 4( c + d ) + 3(3 c +2 d )

e. (6 w – v ) (4 w + 3)

c. (3 a –4 c ) (3 a –8 c )

3. Panjang sisi suatu persegi adalah ( x + 4) cm. Tentukan keliling dan luas persegi tersebut dalam variabel x .

Fakto risasi Suku Aljabar

4. Panjang diaogonal suatu belah ketupat adalah (5 x + 3) cm. Tentukan luas belah ketupat dalam variabel x tersebut.

5. Kebun Pak Ahmad berbentuk persegi panjang dengan panjang (5 x + 4) m dan lebar (2 x + 1) m. Tentukan keliling dan luas dari kebun Pak Ahmad dalam variabel x .

4 . Perpangkat an pada Bent uk Aljabar

Dapatkah kamu menjabarkan bentuk perpangkatan

I ngat Kembali

p 5 ? Kamu dapat menjabarkan p 5 menjadi p × p × p × p × p .

p n Dengan kata lain, dapat kamu jabarkan perpangkatan adalah bentuk perkalian

seperti berikut.

berulang suatu bilangan

. Misalnya, 2 2 =2 × 2 = 4,

p × p × p × ... × p

2 2 2 2 4 ) 2 =5 ×5 =5 ×5×5×5=5 , dan (2 x (5 2 ) =2 · x 2 x =4 2 .

n fakto r

Bentuk (2 x ) 2 merupakan contoh bentuk perpangkatan aljabar suku satu. Bagaimanakah dengan bentuk-bentuk aljabar suku dua, misalnya ( x + y ) 2 dan ( x + y ) 3 ? Dapatkah kamu menentukan perpangkatannya?

Cont oh Soal 1.4

Tentukan bentuk perpangkatan suku dua berikut.

a. ( x + y ) 2

b. ( x + y 3 ) Penyelesaian:

a. ( x

+ 2 y ) =( x + y )( x + y ) =( x + y ) x +( x + y ) y

= x ( x )+ x ( y )+ x ( y )+ y ( y ) = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 +2 xy + y 2

b. ( x + y 3 ) =( x + y )( x + y )( x + y )

=( x + y )( x 2 +2 2 xy + y ) =( x + y )( x 2 )+( x + y )(2 xy )+( x + y )( y 2 ) = x ( x 2 )+ y ( x 2 )+ x (2 xy )+ y (2 xy )+ x ( y 2 )+ y ( y 2 ) = x 3 + x 2 y +2 x 2 y +2 xy 2 + xy 2 + y 3

xy 2 y = 3 +3 +3 +

Coba kamu perhatikan kembali koefisien-koefisien perpangkatan ( x + y ) 2 dan ( x + y ) 3 . Kamu telah mengetahui bahwa perpangkatan dari ( x + y ) 2 adalah x 2 +2 xy + y 2 dengan koefisien suku-sukunya adalah 1, 2, dan 1. Adapun perpangkatan x

3 3 2 2 dari ( 3 + y ) adalah x +3 x y +3 xy + y dengan koefisien suku-sukunya adalah

1, 3, 3, dan 1. Adakah hubungan antara koefisien hasil perpangkatan bentuk aljabar dan pangkat bentuk aljabar tersebut?

8 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Ek sp l o r a si 1.2

Tuj uan : Menemukan hubungan antara ko efisien hasil perpangkatan dan pangkatnya.

Kegi at an : Lengkapilah tabel berikut pada buku latihanmu.

Tabel 1 .2 n

( x + y) n

Hasi l perpangkat an

Koef i si en hasi l perpangkat an

11 2 ( x + y ) 2 x 2 + 2 xy + y 2 121 3 ( x + y ) 3 x 3 +3 x 2 y +3 xy 2 + y 3 1331

4 ( x + y ) 4 x 4 + ... x 3 y + ... x 2 y 2 + ... xy 3 + y 4

5 ( x + y ) 5 x 5 + ... x 4 y + ... x 3 y 2 + ... x 2 y 3 + xy 4 + y 5

Pert anyaan : 1. Dapatkah kamu menemukan hubungan antara ( x + y) n dan ko efisien hasil perpangkatannya? 2. Taksirlah o lehmu hasil perpangkatan ( x + y) 6 berdasarkan hasil yang kamu pero leh pada

tabel yang telah kamu lengkapi tersebut.

Setelah kamu melakukan kegiatan tersebut, kamu tentu melihat bahwa bilangan- bilangan yang terdapat pada kolom koefisien-koefisien hasil perpangkatan ( x + y ) n akan membentuk suatu pola bilangan tertentu. Perhatikan bahwa bilangan yang bukan satu pada pola bilangan tersebut merupakan jumlah berurutan dua bilangan di atasnya. Pola bilangan tersebut dinamakan segitiga Pascal .

1 merupakan penjumlahan

11 1 dan 1

merupakan penjumlahan

4 dan 6

Kamu dapat menggunakan pemahamanmu tentang perpangkatan aljabar suku dua untuk memahami perpangkatan bentuk aljabar suku tiga atau lebih. Pelajarilah contoh-contoh berikut.

Fakto risasi Suku Aljabar

Cont oh Soal 1.5

Tentukanlah hasil perpangkatan pada bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. ( x – y – z ) 2

b. (3 a + b +2 c ) 2 Penyelesaian :

x y z a. 2 ( – – ) = {( x – y )– z 2 } =( x – y 2 ) 2 + 2( x – y )( –z )+ z

yz z =( 2 –2 + )–2 +2 +

x 2 xy y 2 xz

= x 2 + y 2 + 2 z –2 xy –2 xz +2 yz

b. (3 a + b +2 c ) 2 = {(3 a + b )+2 c } 2

= (3 a + b ) 2 + 2(3 a + b )(2 c ) + (2 c ) 2 = {(3 a ) 2 + 2(3 a )( b )+ b 2 } + 2(3 a )(2 c ) + 2( b )(2 c ) + (2 c ) 2

a 2 +6 ab + b 2 + 12 ac +4 bc +4 c =9 2

=9 a 2 + b 2 +4 c 2 +6 ab + 12 ac +4 bc

Latihan 1.4

1. Jabarkanlah bentuk-bentuk perpangkatan berikut.

a. ( x + 3) 2 c. ( x – 7) 3

b. ( x + 8) 2

2. 2 Tentukan koefisien x dari bentuk perpangkatan berikut.

a. ( x + 2) 3 c. ( x – 2) 4

b. (2 x – 3) 3

3. Tentukanlah hasil perpangkatan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. (2 a –2 b +7 c ) 2

b. (– x +3 y +4 z ) 2

c. –( a +2 b –3 c ) 2

4. Jabarkan bentuk-bentuk perpangkatan berikut.

a. ( x – y + z ) 2

b. (2 x – y + z ) 2

c. (2 x – y +3 z ) 2

5. Jabarkan bentuk (2 x+y )5 . Kemudian, tentukan koefisien dari:

a. x 5 c. x 2 y 2

b. x 2 y

10 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

5 . Pembagi an pada Bent uk Alj abar

a. Pembagi an dengan Suku Tunggal

Pada pembagian bentuk aljabar, dikenal

I ngat Kembali

dua istilah, yaitu pembagian dengan suku sejenis dan pembagian dengan suk u tidak sejenis .

Sifat- sifat bilangan bulat

Contoh pembagian dengan suku sejenis berpangkat antara lain sebagai misalnya 2 berikut. x : x . Adapun contoh pembagian

a m × a n a = m+ n

dengan suku tidak sejenis misalnya x : x .

a m a : n = a m–n

Bagaimanakah cara melakukan pembagian

bentuk aljabar? Perhatikan contoh berikut.

Kamu dapat pula menggunakan sifat-sifat operasi bilangan bulat berpangkat untuk menyelesaikan pembagian pada bentuk aljabar. Misalnya, hasil dari 3 x 3 : x x 3

3 x karena

adalah 3 2

=3 x 3–1 =3 x 2 .

Cont oh Soal 1.6

Tentukanlah hasil pembagian bentuk-bentuk aljabar berikut. xy 4 x 2 y xy a. 3 ( +3 – ): x

b. ( xy 4 +3 x 2 y – xy 3 ): y

c. 2 ( xy 4 +3 x y – 3 xy ): xy Penyelesaian :

xy 4 2 4 3 2 3 + 3 xy – xy

a. ( xy + 3 xy − xy ) : x = x

xy 4 3 xy 2 xy = 3

y 4 xy

xy 4 xy 2

+ 3 – xy 3

b. (

xy 4 2 3

+ 3 xy − xy ) : y =

xy 4 3 xy 2 xy = 3

xy 3 = + 3 x 2 − xy 2

Fakto risasi Suku Aljabar

4 2 3 xy + 3 xy – xy

c. ( xy + 3 xy − xy ) : xy = xy

xy 4 xy 2 3 3 xy = + −

b. Pembagi an dengan Suku anyak

Selain dengan suku tunggal, pembagian bentuk aljabar dapat pula dilakukan

3 –5 2 – 24) : ( n + 3), ( x +2 x –5 x – 6) : ( x + 3), dan ( x 2 – 16) : ( x – 4). Bagaimanakah cara melakukan pembagian dengan suku

dengan suku banyak, seperti ( n 2 n

banyak?

Ek sp l o r a si 1.3

Tuj uan : Mengetahui cara melakukan pembagian dengan suku banyak.

Kegi at an :

Berapakah hasil dari ( n 2 – 5 n – 24) : ( n + 3) ?

1. Tulislah pembagian ( n 2 – 5 n – 24) : ( n + 3) dalam bentuk berikut.

n + 3 n 2 − 5 n − 24 )

2. Lakukan pembagian n 2 dengan n.

n 2 + 3 n − 5 n − 24

3. Lakukan perkalian antara n dan n + 3. Kemudian, kurangkan hasil perkalian tersebut dari n 2 – 5 n – 24.

n × n ( + 3) = n 2 + 3 n

n 2 + 3 n 5 n 24

n – − 24

12 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

4. Lakukan pembagian – n dengan n.

n 3 + 2 n − 5 n − 24

n – − 24

=− 5. Lakukan perkalian antara – dan ( n + 3) . Kemudian, kurangkan hasilnya dari – n – 24.

x ( n + 3) = – n – 24

n – − 24 n – − 24

Pert anyaan :

1. Berapakah hasil pembagian ( n 2 – 5 n – 24) dengan ( n + 3) ? 2. o ba kamu lakukan perkalian antara ( n – ) dengan ( n + 3) Berapakah hasilnya?

Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu memperoleh hasil dari operasi ( n 2 –5 n – 24) : ( n + 3) adalah n – 8.

Cont oh Soal 1.

Tentukanlah hasil dari (6 x 3 + 19 x 2 + 31 x + 24) : (2 x + 3).

Penyelesaian :

2 x + 36 ) x 3 + 19 x 2 + 31 x + 24

10 x + 31 x + 24

x 10 2 + 15 x

16 x + 24

16 x + 24 – –

Dengan demikian, hasil dari (6 x 3 + 19 x 2 + 31 x + 24) : (2 x + 3) adalah 3 x 2 +5 x + 8.

Fakto risasi Suku Aljabar

Latihan 1.5

Tentukanlah hasil pembagian bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. 2 xy : x

2. 6 x 2 y :3 xy

3. (2 p 22 r +4 p 2 –6 p 3 ):2 p

4. ( x + y ) 2 : xy

5. y ( x + 2) 3 :8 xy Tentukanlah hasil bagi dari suku-suku aljabar berikut.

6. ( 2 a –8 a + 15) dibagi dengan ( a – 3)

7. ( b 2 –4 b – 5) dibagi dengan ( b – 5)

8. (2 x 2 +3 xy + y 2 ) dibagi dengan ( x + y ) x 9. ( 3 –4 x 2 – 25 x + 78) dibagi dengan ( x – 6)

10. (2 x 2 +3 xy + y 2 ) dibagi dengan ( x + y )

B. Pemf akt oran Suku Aljabar

Setelah kamu mengetahui berbagai operasi yang dapat dilakukan pada bentuk aljabar, kali ini kamu akan diajak untuk mengenali langkah-langkah untuk melakukan pemfaktoran suku aljabar.

1 . Fakt or Fakt or Suku Aljabar

Dapatkah kamu menyebutkan faktor-faktor dari enam? Faktor-faktor dari enam antara lain 1, 2, 3, dan 6. Mengapa? Karena enam dapat ditulis dalam bentuk perkalian

1 × 6, 2 × 3, 3 × 2, dan 6 × 1. Adapun faktor-faktor dari delapan antara lain 1, 2, 4, dan 8. Mengapa? Coba kamu jelaskan.

Sekarang, berapakah faktor persekutuan dari 6 dan 8? Faktor-faktor 6 : 1 , 2 , 3, 6 Faktor-faktor 8 : 1 , 2 , 4, 8

Kamu melihat bahwa faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah 1 dan 2. Oleh karena

1 < 2 maka 2 dikatakan sebagai faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 6 dan 8. x Bagaimanakah cara melakukan pemfaktoran pada bentuk aljabar, misalnya 2 +2 x ? Cara untuk memfaktorkan suatu bentuk aljabar adalah sebagai berikut.

a. Carilah faktor persekutuan setiap suku.

b. Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan setiap suku.

14 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Cont oh Soal 1.

aktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

a. Carilah faktor persekutuan dari 6b dan 8. Kamu telah mengetahui bahwa FPB dari

6 dan 8 adalah 2, kemudian bagilah setiap suku dengan FPB tersebut.

23 ( b + 4 )

Dengan demikian, pemfaktoran dari 6b + 8 adalah 2(3b + 4). Jadi, 6b + 8 = 2(3b + 4).

b. Carilah FPB dari x 2 dan 2x terlebih dahulu. Kemudian dapat menuliskan x 2 = x · x dan 2x = 2 · x. Dengan demikian, FPB dari x 2 dan 2x adalah x. Kemudian, bagilah bentuk aljabar x 2 + 2x dengan FPB-nya, yaitu x . Kamu

x 2 2x

peroleh = x dan

Dengan demikian, pemfaktoran dari x 2 + 2x adalah x(x + 2). Jadi, x 2 + 2x = x(x + 2).

Latihan 1.6

aktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

7. 5x 2 + 15x – 10xy

2 . Fakt orisasi Bent uk x 2 2 xy y 2

Kamu telah mengetahui bahwa bentuk (x + y) 2 dapat kamu uraikan dalam bentuk aljabar suku tiga, yaitu x 2 + 2xy + y 2 . Hal yang sama juga dapat kamu temukan pada bentuk (x – y) 2 . Bentuk (x – y) 2 dapat kamu uraikan menjadi bentuk aljabar suku tiga, yaitu x 2 – 2xy + y 2 . Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pengkuadratan suku dua akan menghasilkan suku tiga. Apakah ciri-cirinya? Perhatikan uraian berikut.

Fakto risasi Suku Aljabar Fakto risasi Suku Aljabar

x 2 y+y 2 ❖ 2 (x – y) 2 =x 2 – 2 =x 2 – 2xy + y 2 Pada uraian tersebut, terlihat bahwa suku pertama (x 2 ) dan suku ketiga (y 2 ) dari hasil

pengkuadratan suku dua merupakan bentuk kuadrat. Adapun suku kedua merupakan dua kali akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.

Cont oh Soal 1.

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

b. 9a 2 – 30a + 25 = (3a) 2 – 29 a 2 25 +5 2 = (3a – 5) 2

c. 16x 2 + 8xy + y 2 = (4x) 2 + 2 16 x 2 y +y 2 2 = (4x + y) 2

Latihan 1.

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

1. x 2 + 10x + 25

4. 9m 2 – 12mn + 4n 2

2. a 2 – 2ab + b 2 5. 81c 2 – 90cd + 25d 2

3. 25p 2 + 30pq + 9q 2

3 . Fakt orisasi Bent uk Selisih ua Kuadrat

Dapatkah kamu menguraikan bentuk aljabar (x + y)(x – y)? Bentuk aljabar (x + y)(x – y) dapat diuraikan sebagai berikut.

(x + y)(x – y) = (x + y)x + (x + y )(–y) =x 2 + xy – xy – y 2 = x 2 –y 2

Ternyata, bentuk aljabar (x + y)(x – y) dapat kamu tulis sebagai x 2 –y 2 . Bentuk x 2 –y 2 dinamakan bentuk selisih dua kuadrat .

16 16 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Contoh Soal 1.1

aktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

a. 4x 2 – 4y 2 c. 36m 2 – 25(m + 4) 2

b. 49m 2 – 64 Penyelesaian :

a. 4x 2 – 4y 2 = 4(x 2 –y 2 )

= 4(x + y)(x – y)

b. 49m 2 – 64 = (7m ) 2 –8 2

= (7m + 8)(7m – 8)

c. 36m 2 – 25(m + 4) 2 = (6m ) 2 – {5(m + 4)} 2 = {6m + 5(m + 4)}{6m – 5(m + 4)} = (6m + 5m + 20)(6m – 5m – 20) = (11m + 20)(m – 20)

Latihan 1.

aktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut .

1. m 2 –n 2 4. 4x 2 y 2 – 9z 2

2. 100 – 9b 2 5. 16p 2 – 81(p – ) 2

3. 36x 2 – 121

4 . Fakt orisasi Bent uk ax 2 bx

Bentuk aljabar ax 2 + bx + c merupakan bentuk yang sering kamu temukan. Contoh- contoh bentuk ax 2 + bx + c antara lain x 2 + 7x + 10, x 2 – 4x – 45, dan 10x 2 + 19x + 6. Bentuk aljabar x 2 + 7x + 10 dan x 2 – 4x – 45 merupakan bentuk ax 2 + bx + c dengan

a = 1. Adapun bentuk 10x 2 + 19x + 6 merupakan bentuk ax 2 + bx + c dengan a ≠ 1.

a. ak

i a i en uk ax 2 bx

dengan a

Sebelum mempelajari faktorisasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a = 1, coba kamu perhatikan hal berikut terlebih dahulu. (x + 2) (x + 5) = (x + 2)(x) + (x + 2)(5)

=x 2 + 2x + 5x + 10 =x 2 + 7x + 10

Coba kamu perhatikan suku kedua, yaitu 7x. Koefisien suku kedua tersebut, yaitu 7, merupakan hasil penjumlahan dua konstanta, yaitu 7 = 2 + 5. Adapun suku ketiga, yaitu 10, merupakan hasil perkalian dua konstanta, yaitu 10 = 2 × 5. Dengan demikian,

Fakto risasi bentuk ax 2 + bx + c adalah ( x + p) ( x + ) dengan b = p + dan c = p × .

Fakto risasi Suku Aljabar

Contoh Soal 1.11

Faktorkanlah bentuk aljabar x 2 + 7x + 12.

Penyelesaian :

Nilai b pada x 2 + 7x + 12 adalah 7. Adapun nilai c pada x 2 + 7x + 12 adalah 12. Dengan demikian, kamu harus mencari suatu nilai p dan q dengan ketentuan p + q = 7 dan p × q = 12. Dapatkah kamu mencari nilai p dan q yang dimaksud? Kamu peroleh nilai p dan q yang dimaksud berturut-turut adalah 3 dan 4.

Dapat kamu tulis, x 2 + 7x + 12 = (x + 3) (x + 4)

b. ak

i a i en uk ax + bx + dengan a ≠

Perhatikan hasil perkalian bentuk aljabar berikut. (3x + 2) (4x + 5) = (3x + 2)(4x) + (3x + 2)(5)

= 12x 2 + 8x + 15x + 10 = 12x 2 + 23x + 10

Kamu peroleh bahwa nilai a, b, dan c pada bentuk 12x 2 + 23x + 10 berturut-turut adalah a = 12, b = 23, dan c = 10. Bentuk 12x 2 + 23x + 10 kamu peroleh setelah menjumlahkan bentuk aljabar 12x 2 + 15x dan 8x + 10. Coba kamu jumlahkan koefisien- koefisien x pada kedua bentuk aljabar tersebut. Kamu akan memperoleh 15 + 8 = 23, sama dengan nilai b pada 12x 2 + 23x + 10. Sekarang, coba kamu lakukan perkalian antara

12 dan 10 serta antara 15 dan 8. Kamu peroleh bahwa 12 × 10 = 120 = 15 × 8. Setelah memperhatikan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka langkah-langkah untuk

melakukan faktorisasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a ≠ 1?

Langkah-langkah melakukan faktorisasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a ≠ 1 adalah sebagai berikut.

1. Ubah bentuk ax 2 + bx + c menjadi ax 2 + (p + q)x + c = ax 2 + px + qx + c dengan

p + q = b dan p × q =a × c .

2. Bentuk aljabar ax 2 + px + qx + c dapat kamu pandang sebagai jumlah dua bentuk aljabar, yaitu ax 2 + px dan qx + c.

3. Tentukan FPB suku-suku ax 2 dan px . Kemudian, tuliskan ax 2 + px dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya.

4. Tentukan pula FPB suku-suku qx dan c. Kemudian, tuliskan qx + c dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya.

5. Setelah melakukan langkah (3) dan langkah (4), kamu akan memperoleh

ax 2 + bx + c = a 1 x (a 2 x +b 2 )+b 1 (a 2 x +b 2 ) = (a 1 x +b 1 ) (a 2 x +b 2 ) dengan a 1 ·a 2 = a dan (a 1 ·b 2 ) + (a 2 ·b 1 ) = b.

1 18 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Contoh Soal 1.12

Faktorkanlah bentuk aljabar 12x 2 + 8x + 1.

Penyelesaian : Pertama, carilah nilai-nilai p dan dengan ketentuan

p+ =

p + = 8 dan p × = 12 × 1 = 12.

12 2 x +8 x +1

Kamu peroleh nilai p dan yang dimaksud adalah 6 dan 2, sehingga

p × = 12 × 1

12x 2 + 8x + 1 = 12x 2 + 6x + 2x + 1

Dengan demikian, bentuk 12x 2 + 8x + 1 dapat kamu tulis sebagai jumlah dari (12x 2 + 6x) dan (2x + 1). Selanjutnya, tentukanlah FPB dari 12x 2 dan 6x serta FPB dari 2x dan 1. Kamu peroleh FPB dari 12x 2 dan 6x adalah 6x. Adapun FPB dari 2x dan 1 adalah 1. Jadi, bentuk 12x 2 + 8x + 1 dapat kamu tulis sebagai 12x 2 + 8x + 1 = 6x(2x + 1) + (2x + 1) = (6x + 1) (2x + 1)

Dengan demikian, faktorisasi dari 12x 2 + 8x + 1 adalah (6x + 1) (2x + 1).

Latihan 1.

aktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.

4. 24 + 10p – p 2 9. 11m 2 – 23mn – 30m 2

5. x 2 + 12xy + 27y 2 10. 3m 2 – 16my – 12m 2

C. Operasi Pecahan pada Bent uk Aljabar

Kamu telah mempelajari bahasan operasi pecahan pada bentuk aljabar di Kelas VII. Kali ini, bahasan tersebut akan kamu perdalam hingga menyederhanakan pecahan bersusun.

1 . Menyederhanakan Pecahan Bent uk Aljabar

Contoh-contoh pecahan dalam bentuk aljabar

y +5 y 2 8 y

I ngat Kembali

antara lain ,

, dan

. Tahukah

2 y 2 – 64 y −8

ax 2 + b

kamu bahwa cx merupakan penyederhanaan dari + d memiliki pembilang ax 2 + y b − 8

y Pecahan

2 dan penyebut cx + d.

2 y ? – 64

Fakto risasi Suku Aljabar

Pecahan-pecahan dalam bentuk aljabar dapat kamu sederhanakan jika pembilang dan penyebut pecahan tersebut memiliki faktor yang sama.

Contoh Soal 1.13

Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut.

a. x Pembilang dan penyebut pecahan 6 12 adalah 6x 2 + 12x dan 9x. Pembilang

dan penyebut pecahan tersebut memiliki faktor yang sama, yaitu 3x. Dengan demikian,

6 x 2 + 12 x

3 x () 3 pembilang dan penyebut dibagi 3 x

b. Pembilang dan penyebut pecahan adalah z 2 – 3z + 2 dan 2z 2 – 4z.

Pembilang dan penyebut pecahan tersebut memiliki faktor yang sama, yaitu z – 2. Dengan demikian,

2 zz ( ) − 2 pembilang dan penyebut dibagi z –2

Latihan 1.1

Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut. x 2

5 xy

x 2 − 5 x – 24

2 20 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

2 . Penj umlahan dan Pengurangan Pecahan Bent uk Alj abar

asih ingatkah kamu syarat untuk melakukan penjumlahan atau pun pengurangan pada pecahan?

I ngat Kembali

+ Pecahan- pecahan hanya 2 isalnya, hasil dari

adalah

dapat dijumlahkan atau

5 5 5 pun dikurangkan apabila

karena penyebut dari pecahan

dan

telah sama,

penyebut- penyebut

5 5 pecahan tersebut sama. yaitu 5. Hal yang sama dapat kamu temukan pula

5 y − 3 3 x + 1 pada

. Akan tetapi, jika pecahan-pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan tersebut memiliki penyebut berbeda maka penyebut pecahan-pecahan

tersebut harus disamakan terlebih dahulu.

Penyebut pecahan-pecahan yang berbeda dapat disamakan dengan cara berikut.

a. Tentukan KPK penyebut setiap pecahan.

b. Bentuklah pecahan-pecahan aljabar baru yang senilai dengan setiap pecahan semula.

Contoh Soal 1.14

elesaikanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut. x

a. +

c. −

b. + m − 1 m 2 − 1

Penyelesaian : x

a. +

b. Perhatikan pecahan

dan

. Penyebut kedua pecahan tersebut

berturut-turut adalah m – 1 dan m 2 – 1. KPK dari m – 1 dan m 2 – 1 adalah m 2 – 1 = (m – 1) (m + 1), sehingga

Fakto risasi Suku Aljabar Fakto risasi Suku Aljabar

2 2 dan 2 p . Penyebut kedua pecahan tersebut berturut- p + p turut adalah 2p 2 dan p 2 + p. KPK dari 2p 2 dan p 2 + p adalah 2p 2 (p + 1), sehingga

Latihan 1.11

elesaikanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut.

7 3 x – 12 x – 1

3 . Perkali an dan Pembagi an Pecahan Bent uk Alj abar

a. Pe kalian ada Pe a an en uk l aba

Cara untuk melakukan perkalian bentuk aljabar sangat sederhana. Kamu cukup mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebutnya.

22 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Contoh Soal 1.15

elesaikanlah perkalian pada bentuk pecahan aljabar berikut. x

a. 2 × c. mn m − 9

n y –2

b. × 2 x

y − 4 Penyelesaian : x

b. Pembagian ada Pe a an en uk l aba

Kamu telah mempelajari cara melakukan pembagian pada pecahan di Kelas VII. x

v isalnya, dapatkah kamu menyelesaikan pembagian pecahan

? elakukan y

xw pembagian pecahan x dengan sama artinya dengan mengalikan pecahan dengan . y

yv Dengan demikian, x

Fakto risasi Suku Aljabar

Contoh Soal 1.16

elesaikanlah pembagian bentuk aljabar berikut.

Latihan 1.12

elesaikanlah perkalian dan pembagian pada bentuk pecahan aljabar berikut.

2 7. b + 2 a 3 p + 2 – 1

3 m + 12 n

xy

2 mn + m 2 n + 1

a − 16 3 a – 21 y − 3 3 y − 9

24 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

4 . Menyederhanakan Pecahan Bersusun

Pecahan bersusun adalah pecahan yang pembilangnya, atau penyebutnya, atau k ed u an ya ber ben t u k p ecah an . Con t oh -con t oh p ecah an ber su su n an t ar a lain

dan a b .

b a Dapatkah suatu pecahan bersusun kamu sederhanakan sehingga pembilang atau

penyebutnya tidak lagi berbentuk pecahan? Lan gkah -lan gkah u n tu k men yederh an akan pecah an bersu su n adalah sebagai

berikut.

a. Tentukan KPK penyebut setiap komponen pecahan bersusun tersebut.

b. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan bersusun dengan KPK yang telah diperoleh.

c. Sederh an akan pembilan g dan pen yebu t pecah an bersu su n tersebu t seh in gga pembilang dan penyebutnya tidak lagi berbentuk pecahan.

Contoh Soal 1.1

ederhanakanlah pecahan bersusun

Penyelesaian : KPK dari 2y, y 2 , x, dan y adalah 2xy 2 . leh karena itu, kalikanlah pembilang dan

penyebut pecahan bersusun tersebut dengan 2xy 2 .

Fakto risasi Suku Aljabar

Latihan 1.13

ederhanakanlah pecahan-pecahan bersusun berikut.

1. a ab 4. p +

2. b 5.

3. 2 a b

I nfo Matematika

Segitiga Pascal ataukah Segitiga hu Shijie?

I GATKAH

kamu pada bentuk di samping? u c. 1 .a

Bentuk tersebut dikenal dengan sebutan segi-

tiga Pascal untuk mengho rmati nama seo rang 11 w .y

matematika an Prancis, yaitu Blai se Pas

b cal e . amun, benarkah Blaise Pascal yang per-

r:

S u tama kali mengenalkan segitiga tersebut? m Se g itig a te rse b ut dipe rkirakan te lah

dikenal o leh bangsa ina jauh sebelum Pascal

mengenalkannya. Segitiga yang mirip dengan segitiga Pascal ditemukan pada buku berbahasa ina pada tahun

13 3 yang ditulis o leh hu Shi j i e , seo rang matematika an ina. Siapakah hu Shijie?

h u Sh i j i e d i p e rki rakan lah i r p ad a t ah un 1 2 6 d i Segitiga mirip segitiga Pascal an- Shan. Tidak ada info rmasi mengenai ri ayat hidup hu y a n g t e rd a p a t p a d a b u ku Shijie ini. amun, beliau telah menulis dua buku matematika, Siyuan ujian karya hu Shijie. yaitu

uanxue ime n dan iyuan u ian. Suan ue imeng ( ntroduction to athematical tudies) ditulis o leh hu Shijie pada tahun 12 . Buku ini merupakan buku matematika untuk pemula dan berisi 26 permasalahan matematika. Buku ini telah diterjemahkan ke dalam bahasa Ko rea pada tahun 1433 dan bahasa epang pada tahun 165 .

Adapun Siyuan ujian ( recious irror o the our lements) ditulis pada tahun 13 3. Buku ini merupakan buku matematika tingkat lanjut. Pada buku ini, terdapat 2

permasalahan matematika yang terbagi menjadi 24 bab, termasuk mengenalkan segitiga yang mirip segitiga Pascal ini. hu Shijie diperkirakan meninggal sekitar tahun 132 .

26 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII 26 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

1. Be ntuk aljabar adalah be ntuk pe nulisan yang me rupakan ko mbinasi antara ko efisien dan variabel.

2. Suatu suku dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku tersebut sejenis. Suku

sejenis adalah suku yang variabelnya sama dan pangkat dari variabel tersebut juga sama.

3. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan adalah sebagai berikut. a. a( m + n) = am + an

b. ( a + b) ( a + c) = a 2 + ( b + c) a + bc

4. Perpangkatan p n dapat dituliskan sebagai berikut. p n = p ××× p p ... × p

n fakto r

( x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 ( x – y) 2 = x 2 – 2 xy + y 2

( x + y) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3xy 2 + y 3 ( x+y+ ) 2 = x 2 + y 2 + 2 + 2 xy + 2x + 2y

5. Fakto risasi bentuk x 2 ± 2 xy + y 2 adalah sebagai berikut.

a. x 2 + 2 xy + y 2 = ( x + y) 2 b. x 2 – 2 xy + y 2 = ( x – y) 2

6. Fakto risasi bentuk selisih dua kuadrat adalah x 2 – y 2 = ( x – y) ( x + y) . . Fakto risasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a = 1 adalah x 2 + bx + c = ( x + p) ( x + ) ,

dengan

b = p + dan c = p × .

1 adalah x 2 + bx + c = ( a 1 x+b 1 )( a 2 x+b 2 ), dengan a 1 .a 2 = a,

. Fakto risasi bentuk ax 2 + bx + c dengan a ≠

( a 1 .b 2 ) + ( a 2 .b 1 )

b, dan

b 1 .b 2 = c . ara untuk melakukan pembagian pecahan bentuk aljabar sama seperti pembagian

pecahan biasa, yaitu a : c a = d × . b d b c

1 . Lang kah- lang kah untuk menyederhanakan pec ahan bersusun adalah sebag ai berikut.

a. Tentukan KPK penyebut setiap ko mpo nen pecahan bersusun tersebut. b. Kalikan pe mbilang dan pe nye but pe c ahan be rsusun te rse but se hing g a pembilang dan penyebutnya tidak lagi berbentuk pecahan.

Fakto risasi Suku Aljabar

12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789 12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789 Soal Akhi r Bab I

A. Pi li hlah j a aban yang t epat pada soal soal beri kut .

1. Bentuk ( 3 a – 5) ( 4a + ) dapat dijabarkan

difakto rkan menjadi . . . .

2. Bentuk ( 5 x – 2) 2 dapat disederhanakan

. Bentuk sederhana dari

adalah 4 x – 2 1

3. Bentuk 3 x 2 – 25 x + 2 dapat difakto rkan

4. Bentuk x 2 – 25 dapat difakto rkan menjadi

asil dari

5. Bentuk p 2 – 16 dapat difakto rkan menjadi

6. asil ( 4 y – 11) 2

adalah . . . .

a. 16 y 2 – 44 y + 121

2 1. asil dari

Be ntuk

a − ab + b 2 dapat

28 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

14. Bentuk sederhana

xy y 11. Bentuk sederhana dari

b. 15. Bentuk sederhana dari

b. d. 12. Bentuk sederhana dari

x − 2 x + 2 5 4 16. − Panjang dua sisi sebuah segitiga berturut-

adalah . . . .

2 a + 2 b 3 a + 3 b turut adalah ( x + a) cm dan ( 3x – 2a) cm. Ke l i l i n g s e g i t i g a t e rs e b u t a d a l a h

a. 6( ) a b 2( 2 + x + a) cm. Panjang sisi ketiga segitiga tersebut adalah . . . .

c. 3 x – a cm b. ( ) a + b

6 a. 3 x cm

d. x – 3a cm 5 1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang.

b. 3 a cm

c. ( ) a + b ika panjang tanah te rse but ditambah

3 m dan lebarnya dikurangi 2 m maka d.

5( ) a + b

luas tanah tersebut 2 m 2 . Ukuran tanah

mula- mula adalah . . . ( Petunjuk: Misalnya,

1 1 + p = panjang dan l = lebar)

adalah . . . . c. p = 22 m dan l = 1 m – 1 d. p = 25 m dan l = 12 m

a. 2 –

y 2 1. Sisi dua persegi

dan berturut- 1 turut adalah 16 cm, 25 cm dan 3, 5 cm.

b. y 2 – y 2 Selisih luas kedua persegi tersebut adalah ....

Fakto risasi Suku Aljabar Fakto risasi Suku Aljabar

1. asil dari 3 2 – 16 2 + 34 2 – 11 2 adalah

dibeli Pak ahya berturut- turut adalah .... a. 46 c. 64 ( Pe tunjuk: misalnya, = b e rat je ruk,

b. 23 d. 32 a = b e rat ape l, dan s = b e rat salak dalam kg)

2. Pak ahya membeli jeruk, apel, dan salak

a = 4, s = 5 sebanyak 12 kg. eruk yang dibeli Pak

a. = 3,

a = 4, s = 3 ahya 2 kg lebih berat daripada apel dan

b. = 5,

a = 3, s = 5 1 kg lebih berat daripada berat salak yang

B. Kerj akanlah soal soal beri kut dengan benar.

1. Tita akan berangkat dari ko ta ke ko ta . Ia akan singgah di ko ta yang terletak di antara ko ta dan . arak ko ta ke ko ta 62 km. arak ko ta ke ko ta tiga kali jarak ko ta

ke ko ta . Tita ingin mengetahui jarak dari ko ta ke ko ta dan jarak dari ko ta ke ko ta . Dapatkah kamu membantu Tita?

2. umlah umur ayah dan ibu tahun. Ibu lebih muda 2 tahun dari ayah. Tahun depan, dua kali lipat umur ibu adalah

tahun. Berapakah umur ayah dan ibu? 3. alih mengikuti suatu perlo mbaan berenang dan berlari. arak yang harus ditempuh dengan

berenang adalah 3 km dan jarak yang harus ditempuh dengan berlari adalah 2 km. alih berenang dengan kecepatan 4 km/ jam dan berlari dengan kecepatan km/ jam. Berapa lama

alih menyelesaikan perlo mbaan itu? 4. Ibu ida membeli sing ko ng deng an harg a p1.

/ kg dan jag ung deng an harg a p3.

, / kg. umlah singko ng dan jagung yang dibeli Ibu ida adalah 6 kg. Berat jagung yang dibeli Ibu ida setengah dari berat singko ng yang dibelinya. Tentukan to tal harga singko ng dan jagung yang dibeli Ibu ida.

5. Sebuah mo bil memerlukan aktu dua jam untuk menempuh perjalanan dari ko ta ke ko ta . Adapun truk memerlukan tiga jam untuk menempuh perjalanan yang sama. Mo bil melaju 1 km/ jam lebih cepat daripada truk. Tentukan jarak ko ta ke ko ta .

30 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Tahukah kamu nama- nama pro vinsi di Indo nesia? o ba kamu pilih lima di antaranya. Kemudian, sebutkan pula nama ibu ko ta setiap pro vinsi yang telah kamu pilih tadi. ubungan antara pro vinsi dan ibu ko tanya merupakan co nto h relasi. Adakah pro vinsi dengan ibu ko ta lebih dari satu?

Sumber: www.crut .com

Sumber: Bab II www.indomerapi.com

elasi dan Fungsi

Tu j u a n P e m b e l a j a r a n : Setelah mempelajari bab ini, kamu

akan mampu untuk:

Apa yang akan dipelajari pada bab ini?

a. memahami pengertian relasi dan fungsi,

A. elasi

b. menyatakan relasi dalam bentuk

B. Fungsi

d i a g ra m p a n a h , h i mp un a n pasangan berurutan, dan diagram

C. i lai Fungsi

artesius, serta c. merumuskan fungsi dan meng- g a m b a rka n g ra f i kn y a , d a n menentukan nilai suatu fungsi.

Pet a Konsep

elasi dan Fungsi

cara menyatakan

terdiri atas

relasi

Pengertian

ilai fungsi fungsi

Ko respo ndensi

Menggambar

satu- satu

grafik fungsi

terdiri atas a. Diagram panah b. impunan pasangan

berurutan

Fungsi kuadrat c. Diagram artesius

Fungsi linear

manfaat 1. Menyatakan hubungan

antara dua o bjek 2. Menghitung nilai fungsi 3. Menyatakan hubungan antarsatuan

Kat a Kunci

Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah- istilah berikut. •

himpunan pasangan berurutan •

r elasi

fungsi

diagram artesius

• diagram panah

ko respo ndensi satu- satu

32 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII 32 Matematika 2 untuk SMP/ MTs Kelas VIII

Sebelum membahas materi relasi dan fungsi, coba kamu kerjakan soal-soal berikut terlebih dahulu.

1. isalnya, A adalah himpunan bilangan bulat antara –6 dan 7. Tentukanlah anggota- anggota A.

2. Dapatkah kamu menerka hubungan antara himpunan = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan himpunan = {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}?

3. Lengkapilah diagram berikut pada buku latihanmu.

Luas segitiga

Luas persegi panjang

2 × alas × 2 + 5 tinggi

A. elasi

Lima siswa ditanyai tentang kegiatan ekstrakurikuler yang mereka suka. Nama kelima anak tersebut adalah Adi, Bella, Cintia, De i, dan llen. Adapun kegiatan ekstrakurikuler yang tersedia adalah seni musik, seni tari, dan seni teater. Ternyata, Adi dan De i menyukai seni musik. Bella, De i, dan llen menyukai seni tari. Adapun Cintia, De i, dan llen menyukai seni teater. Dapatkah kamu membuat sebuah diagram yang menyatakan hubungan antara nama siswa dan kegiatan ekstrakurikuler yang mereka gemari? Pelajari uraian berikut.

1 . Pengert ian elasi

Kamu telah mengetahui bahwa Adi dan De i menyukai seni musik. Bella, De i, dan llen menyukai seni tari. Adapun Cintia, De i, dan llen menyukai seni teater. Bentuklah olehmu himpunan = {Adi, Bella, Cintia, De i, llen} dan himpunan

= {musik, tari, teater}. Kamu dapat membuat hubungan antara anggota himpunan dan anggota himpunan . Hubungan tersebut dinamakan relasi.

elasi yang terdapat antara anggota-anggota

menyu ai

himpunan , yaitu nama siswa dan himpunan , yaitu kegiatan ekstraku riku ler adalah relasi

Adi

• Musik

menyuk ai . Un tu k lebih jelasn ya, perh atikan

Bella

diagram di samping.

intia

• Tari

elasi dari himpunan ke himpunan adalah

Devi

suatu aturan yang me masang kan ang g o ta- Teater ang g o ta himpunan

elasi dan Fungsi

Adi dipasangkan dengan musik karena Adi menyukai kegiatan ekstrakurikuler seni musik. Bella dipasangkan dengan seni tari karena Bella menyukai kegiatan ekstrakurikuler seni tari. Kegiatan ekstrakuriler apa yang disukai oleh Cintia, De i, dan llen?

Pada diagram relasi tersebut, setiap anggota himpunan dapat dipasangkan dengan satu atau beberapa anggota himpunan . Akan tetapi, dapat juga terjadi ada anggota himpunan

yang tidak mempunyai pasangan pada himpunan .

Cont oh Soal 2.1

Diketahui himpunan A dan B sebagai berikut.

A = {Vi i, Dita, aka, Sandy}

B = {Lurus, Ikal, Keriting} Bentuklah relasi berambut jika diketahui Vi i berambut ikal, Dita dan Sandy berambut

lurus, serta aka berambut keriting. Penyelesaian : Buatlah diagram yang menunjukkan relasi antara himpunan A dan himpunan B seperti

Latihan 2.1

Buatlah diagram panah dari relasi-relasi berikut.

1. A = {2, 6, 10, 14} ke B = {1, 3, 5, 7} dengan relasi dua kalinya dari .

2. A = {2, 4, 6} ke B = {4, 8} dengan relasi setengah kalinya dari .

3. A = {2, 4, 7, 8} ke B = {1, 3, 6, 7} dengan relasi dua kalinya dari .

4. P = {2, 3, 5, 6} dan = {4, 5, 6, 7, 8} dengan relasi dua kurangnya dari .

5. = {1, 2, 3, 4} dan = {1, 4, 9, 25} dengan relasi akar kuadrat dari.

2 . Cara Menyat akan elasi

Pada uraian sebelumnya, kamu telah mengenal cara menyatakan relasi dengan menggunakan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram panah . Selain diagram panah, relasi dapat juga dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan dan diagram Cartesius.

Dokumen baru

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

119 3984 16

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

40 1057 43

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

40 945 23

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

21 632 24

PENGARUH PENERAPAN MODEL DISKUSI TERHADAP KEMAMPUAN TES LISAN SISWA PADA MATA PELAJARAN ALQUR’AN HADIS DI MADRASAH TSANAWIYAH NEGERI TUNGGANGRI KALIDAWIR TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

28 790 23

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

60 1348 14

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

66 1253 50

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

20 825 17

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

32 1111 30

KREATIVITAS GURU DALAM MENGGUNAKAN SUMBER BELAJAR UNTUK MENINGKATKAN KUALITAS PEMBELAJARAN PENDIDIKAN AGAMA ISLAM DI SMPN 2 NGANTRU TULUNGAGUNG Institutional Repository of IAIN Tulungagung

41 1350 23