OPERASI MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHAR
OPERASI MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
5
5
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
2.1 Pengertian Fungsi Definisi :
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam
suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari
himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah
hasil fungsi tersebut. x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak
bebas. Contoh : 1. Diketahui f(x) = x
2
– 2x, tentukan
h)4(f)h4(f
−+
Jawab: f(4) = 4
2
– 2.4 = 16 – 8 = 8 f(4+h) = (4+h)
2
– 2(4+h) = 16 + 8h + h
2
– 8 – 2h = 8 + 6h + h
2
h)4(f)h4(f
−+
=
h2hh6
+
= 6 + h 2. Diketahui g(x) =
x1
, tentukan
h)a(g)ha(g
−+
Jawab:
h)a(g)ha(g
−+
=
ah2a1h1.a)ha( hha1ha1
+−=+−=−+
3. Jika f(x) = x
2
– x maka tentukan f(x – 1) Jawab f(x – 1) = (x – 1)
2
– (x – 1) = x
2
– 2x + 1 – x + 1 = x
2
– 3x + 2 Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan
bilangan real terbesar, dimana aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai
bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah. Contoh: 1. Tentukan
daerah asal alamiah untuk (a) f(x) =
3x1
−
(b) g(t) =
2t9
−
Jawab: (a) daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan real
untuk x
≠
3. (b) agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t
2
≥
0. (3 + t)(3-t)
≥
0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3
≤
t
≤
3. Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3
≤
t
≤
3} 2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x
| Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya Jawab: y = – x +
|x|
xy
– 4 8 – 3 6 – 2 4 – 1 2 0 0 1 0 2 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 2 4 6 8 Fungsi y = – x +
x
sumbu x sumbu y Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x +
x
6
2.2 Menggambar Grafik
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah: a. Fungsi identitas : f(x) = x b.
Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta c. Fungsi modulus (nilai mutlak) :
f(x) = x jika x
≥
0 –x jika x
<
0 d. Fungsi tangga : 0 jika 0
≤
x
<
1 f(x) = 1 jika 1
≤
x
<
2 2 jika 2
≤
x
<
3 e. Fungsi linier : f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta f. Fungsi kuadrat : f(x) =
ax
2
+ bx + c, dimana a, b, dan c konstanta Contoh : 1. Gambarkan grafik dari fungsi x
+ 1 jika x
>
3 f(x) = 2 jika – 2
≤
x
≤
3 2x + 3 jika x
<
– 2 jawab: 2. Gambarkan grafik fungsi – x untuk – 3
≤
x
≤
–1y=x
2
– 2 untuk – 1
<
x
≤
2 x + 1 untuk 2
<
x
≤
3 Jawab 2. Suatu fungsi linier f: x
→
cx32
+
, memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0 Jawab: Fungsi linier tersebut
dapat ditulis menjadi y =
cx32
+
Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x
dan y ke fungsi tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1. Jadi persamaan
tersebut adalah y =
1x32
+
. Jika f(x) = 0, maka
1x32
+
= 0, didapatkan x = –
23
xy
–4
–5
–3–3 –2
-
–1 –22 –1202323
+
445
1 2 3 4 –2 –1 –3 –4 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 0 –4 –5 Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)
xy
–33 –11 –1
+
–10–21–1222
+
3 3 4 Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)
0 1 2 3 –2 –1 –3 –1 –2 –3 1 2 3 4 X Y
Aplikasi mtematika pada tekhik sipil
Seorang ahli teknik sipil yang handal umumnya lebih mudah dipercaya daripada
insinyur sipil yang biasa saja. Tapi tantangan seorang ahli insinyur harus bekerja
sama untuk meciptakan kota yangseperti ini, dengan perhitungan sudut-sudut yang
super akurat, dengan sistem kurva yang benar-benar yang tak dijumpai dijumpai
keslahan. Seorang insinyur sipil hendaknya memiliki kemapuan untuk melakukan
pembangunan di medan yang tidak biasa (miring, lautan dan lain-lain dll). Seperti
halnya para dokter spesialis onkologi radiasi yang biasa dibantu para ahli dosimetri,
maka insinyur sipil dibantu seorang surveyor. Tugas surveyor untuk melakukan
pengamatan terhadapsistem geometris tanah yang kompleks (apalagi jika
pembangunan akan dilakukan di laut).
_Penggunaan Peluang_
9)
Aplikasi Matematika pada Ilmu Ekonomi
Aplikasi metematika pada bidang ekonomi yang ingin saya bahas kali ini adalah
ilmu peluang, dengan ilmu ini kita belajarmenghitung peluang di berbagai kasus
asuransi, ilmu yang membahas tentang ini disebut aktuaria, dan ahlinya disebut
aktuaris. Aktuaris adalah sebuah pekerjaan dengan skill elite, dikarenakan konsep
aktuaris yang cukup memerlukan pengetahuan bidang matematika dan statistik
secara mendalam. Oleh karena itu, sejumlah negara memutuskan untuk membuat
lembaga khusus untuk mendidik calon aktuaris dan mengujinnya dalam ujian
profesi aktuaris.Di Indonesia sendiri lembaga ini dikenal dengan nama Persatuan
Aktuaris Indonesia (PAI). Ilmu aktuaria merupakan ilmu gabungan antara ilmu
peluang, matematika, statistika, keuangan, dan pemrograman komputer. Studi dari
website pencarian kerja CareerCast menempatkan actuaria sebagai #1 job di
Amerika Serikat (Needleman, 2010). Studi ini menggunakan lima kriteria kunci
untuk mengurutkan rangking pekerjaan: lingkungan, pendapatan, prospek kerja,
dampak fisik, and stress. Tren matematikawan memang diprediksikan akan naik
pesat pada 2014.
_Penggunaan Program Linear_
10) Aplikasi Mtematika pada ilmu Manajemen
Jika di SMA dipelajari tentang program linear, maka di tingkat perguruan tinggi ada
cabang yang lebih luas, yaitu riset operasi. Mungkin anda sering mendengar kata
“manajer operasional suatu perusahaan”. Manajer operasional bertugas melakukan
manajemen terhadap kegiatan-kegiatan operasional. Manajemen operasi, adalah
suatu cabang dari matematika terapan yang cenderung interdisipliner. Ilmu riset
operasi menggabungkan antara teori matematika dan manajemen. Pendekatan
yang dilakukan dengan pendekatan permodelan matematika, analisis stastistik, dan
teori optimasi matematis. Rumusan masalah pada riset operasi dibagi dalam dua
kelompok besar yaitu: meminimumkan, dan memaksimumkan. Untuk masalah
meminimumkan biasanya yang diminumkan adalah biaya distribusi, biaya produksi,
jarak tempuh, dll. Sedangkan pemaksimalan bertujuan memaksimalkan
keuntungan, jumlah barang produksi, dll.
11) proses mengoptimalkan fungsi objektif
Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan yang banyak
digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Misalnya, program linear digunakan untuk membantu pemimpin perusahaan dalam
mengambil keputusan manajerial. Permasalahan yang berhubungan dengan
program linear selalu berhubungan dengan proses mengoptimalkan fungsi objektif
(fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasi. Dalam hal ini,
optimalisasi dapat berupa memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan.
Salah satu contoh penggunaan program linear adalah untuk menyelesaikan
permasalahan berikut. Misalnya, membuat medali bagi juara I, II, dan III pada
pertandingan bulu tangkis,diperlukan campuran emas dan perak masing-masing
dengan perbandingan 2 : 1, 1 : 1, dan 1 : 2. Jika setiap juara memerlukanpaling
sedikit 20 medali untuk juara I, 15 medali untuk juara II, dan 10 medali untuk juara
III, tentuka model matematika dari masalah program linear tersebut.
_Aplikasi Turunan Fungsi_
12) Menentukan Posisi dan Kecepatan Bola
Dalam kehidupan sehari-hari ditemui banyak gerakan benda-benda di sekitar kita
yang tetap. Posisi suatu benda yang bergerak setiap saat dapat dinyatakan sebagai
suatu fungsi. Fungsi di sini mempunyai arti jarak atau lintasan yang ditempuh
benda dalam satuan waktu tertentu. Dengan demikian, dapat diperkirakan posisi
benda pada waktu tertentu. Misalkan lintasan bola voli pada gambar di samping
dapat diketahui persamaannya. Kita dapat menggunakan turunan fungsi untuk
menentukan posisi dan kecepatan bola pada detik ke-t setelah bola dipukul. Dengan
persamaan h(t)= 5 + 3t – 2 t2. Persamaan kecepatan bola dapat ditentukan dengan
mencari turunan pertama h(t) sedangkan percepatan bola dapat dilakukan dengan
mencari turunan kedua dari h(t).
13) Menentukan Jumlah Maksimum Minyak Pelumas yang Digunakan dalam 4 Tahun
Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat
menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana,
seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang
digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan Q(v) = - 1/45 x2+ 2x – 20 liter. Dengan memahami konsep
turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang
digunakan dalam 4 tahun.
_Aplikasi teori kesebangunan_
14) Rumah-Rumah Di Sekitar Yang Sebangun
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda yang mempunyai
bentuk-bentuk yang sama. Dari benda-benda yang memiliki bentuk sama itu ada
yang ukurannya sama, ada juga yang memiliki ukuran berbeda. Coba perhatikan
kedua gambar di atas Kedua gambar di atas mempunyai bentuk yang sama tetapi
ukurannya berbeda.
Kedua gambar tersebut dikatakan sebangun. Rumah-rumah pada masing-masing
gambar mempunyai bentuk dan ukuran yangsama. Rumah-rumah tersebut
dikatakan kongruen. Itulah contoh aplikasi kesebangunan dalam kehidupan seharihari.
_Aplikasi Barisan dan Deret_
15) Mencari Kapasitas Penonton Dalam Stadion
Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat
duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk
pada barisan paling depan
di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak
daripada baris di depannya. Nah kemudian dicari kapasitas penonton dalam stadion
tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk dengan menggunakan konsep barisan
dan deret.
_Aplikasi Penggunaan Statistika_
16) Penyajian Data dalam Berbagai Bidang
Misalnya jika kamu ke kantor kelurahan, kantor pajak, kantor sekolah, atau kantor
instansi pemerintahan, apakah yang dapat kamu lihat di papan informasi? Biasanya
di papan informasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis, batang, atau balokbalok. Grafikgrafik itu merupakan gambaran mengenai pencacahan penduduk,
perhitungan pajak, dan perkembangan kemajuan sekolah. Contoh-contoh tersebut
merupakan salah satu aplikasi dari konsep statistika. Dalam perkembangannya,
statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang seperti bidang
ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya. Penelitian jenis manapun dirasa
kurang lengkap apabila tidak memanfaatkan perhitungan-perhitungan statistika.
Dalam hal ini kamu akan belajar menggunakan aturan statistika, sehingga dapat
membaca dan menyajikan data dalam bentuk table dan berbagai diagram serta
menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data beserta
penafsirannya.
_Aplikasi Penggunaan Limit fungsi_
17) Pendekatan dalam Kehidupan sehari-hari
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat.
Dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5
bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.
Jika diratarata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29/5 =
5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali
kamu temukan katakata
hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering
dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau
pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus.
_Aplikasi Penggunaan Suku Banyak_
18) Memecahkan Masalah dengan Berbagai Kemungkinan
Masihkah kamu ingat peristiwa kecelakaan pesawat yang saat ini sering terjadi di
Indonesia? Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor.
Beberapa di antaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca,
kerusakan mesin, body pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain.
Jika factor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, …., xn maka terdapat banyak
suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu Matematika, hal demikian dinamakan suku
banyak. Pada hal ini, kamu akan belajar lebih lanjut mengenai aturan suku banyak
dalam penyelesaian masalah. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat
menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil bagi dan sisa,
serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.
_Aplikasi Penggunaan Himpunan_
19) Menentukan himpunan dalam sebuah kehidupan sehari-hari.
Di dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita sudah mengenal tentang
himpunan. Contohnya, sekawanan lembu, sekumpulan ikan, dan sekelompok
burung. Masing-masing kata “kawanan”, “kumpulan”, dan “kelompok” dapat diganti
dengan
kata “himpunan”. Perhatikan gambar-gambar di atas! Apakah gambar-gambar
pada gambar 1 termasuk himpunan? Jika ya, himpunan apakah itu? Jika tidak, apa
alasannya? Nah untuk menyelesaikan hal tersebut kita harus mempelajari konsep
himpunanan.
Berikut adalah gambar-gambar yang mungkin saja termasuk himpunan, himpunan
dalam kehidupan sehari-hari dapat berarti sebuah pengelompokkan suatu jenis
yang sama.
Gambar 1
Gambar 1
20) Berbagai Kumpulan Di Lapangan Sepak Bola
Di lapangan terdapat bola, gawang pertandingan, rumput lapangan dan lain-lain.
Jika kamu perhatikan, di lapangan sepakbola terdapat bermacam-macam kumpulan,
antara lain kumpulan:
1. pemain sepakbola
2. wasit pertandingan sepakbola
3. pelatih sepakbola
4. petugas kesehatan sepakbola
5. pemain sepakbola cadangan
6. bola
7. gawang pertandingan
8. rumpt lapangan
Jika dalam kehidupan sehari-hari berbagai kumpulan dalam lapangan sepak bola itu
dapat dikatakan himpunan dalam operasi matematika.
21) Kumpulan Berbagai Objek dalam Kelas
Sekarang, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di
kelasmu? Jika kamu perhatikan, ter-nyata di kelasmu terdapat kumpulan:
1. murid yang sedang belajar
2. guru yang sedang mengajar
3. bangku murid
4. meja guru
5. papan tulis
6. murid perempuan
7. murid laki-laki
Sebutkan, masih terdapat benda apa lagi di dalam kelasmu? Selanjutnya,
perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di rumahmu. Coba sebutkan
kumpulan apa saja yang dapat kamu bentuk dari benda-benda di rumahmu. Jadi,
pada umumnya, kita berpikir suatu himpunan sebagai suatu koleksi objek-objek
yang memberikan suatu sifat bersama. Misalnya dalam matematika, biasanya untuk
memperhatikan, suatu himpunan garis, suatu himpunan segitiga, suatu himpunan
bilangan real, dsb.
_Aplikasi penggunaan Aljabar_
22) Aktivitas warga Terapung
Tanpa disadari, kita sering menggunakan perhitungan aljabar dalam kehidupan
sehari-hari. Banyak manfaat yang dapat diambil. Kita bisa dengan cepat
menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
masalah
aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan untuk
menyelesaikan suatu masalah. Cobalah kamu perhatikan gambar di atas!
Kesimpulan apa yang dapat kamu tarik dari gambar di atas? Aktivitas yang sedang
dilakukan oleh warga di pasar terapung itu banyak sekali. Ada yang melakukan
transaksi jual beli, baik menggunakan uang atau sistem barter. Dengan cepat
mereka bisa menghitung keuntungan ataupun kerugian yang mereka dapat. Selain
contoh di atas kita juga bisa mengambil contoh lainnya. Misalnya saja ada seorang
developer yang ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu
bisa memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah
yang harus dibangun supaya bisa mendapat keuntungan.
_Aplikasi Penggunaan Garis dan Sudut_
23) Benda atau suatu Bangunan yang Membentuk Sudut
Di Sekolah Dasar, kita sudah diperkenalkan tentang garis dan sudut. Ini bisa
menjadi dasar bagi kita untuk membahas lebih lanjut tentang materi garis dan
sudut. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak contoh yang bisa kita temui
berhubungan dengan garis dan sudut. Perhatikan gambar di samping Jika kita
memperhatikan bentuk gedung di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ada
bagian-bagian dari gedung itu yang membentuk sudut. Dapatkah kamu
menyebutkan bagian mana yang dapat dikatakan membentuk sudut? Selain contoh
di atas ada juga contoh lainnya, antara lain bingkai sebuah foto, permukaan meja
atau kursi, permukaan televisi, lemari, tempat tidur, dan masih banyak lagi contoh
lain yang dapat kamu temukan.
_Aplikasi Segitiga dalam kehidupan sehari-hari
24) Layar-Layar Perahu Nelayan
Perhatikan gambar di samping Perahu layar yang sedang mengarungi lautan
dengan ayarnya yang terkembang merupakan salah contoh benda yang berbentuk
segitiga yang dapat kita lihat pada kehidupan sehari-hari. Contoh lainnya masih
dapat ditemukan seperti contohnya sebuah atap rumah yang membentuk segitiga .
_Aplikasi segiempat dalam kehidupan sehari-hari_
25) Benda-benda yang membentuk Segiempat
Dalam kehidupan sehari-hari banyak benda-benda yang dapat ditemui dengan
membentuk segiempat contohnya Box, Meja makan yang membentuk segiempat,
Komputer, buku dan lain sebagainya. Kita juga dapat menemukan bangunabangunan yang membentuk segiempat seperti badan sebuah rumah dan kantorkantor serta mmasih banyak lagi contoh dalam aplikasi segiempat.
_Aplikasi Pecahhan dalam kehidupan sehari-hari
26) Makanan yang dibagi beberapa bagian.
Dalam aplikasi pecahan dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemuinya ketika
sedang makan buah dan buahnya hanya satu dan keadaan kita harus membagi
dengan teman dengan jumlah 3 orang maka solusinya adalah buah itu dipotong
mmenjadi 3 bagian, nah 3 bagian tersebutlah yang dinamakan pecahan. Selain itu
masih banyak lagi contoh dalam aplikasi pecahan seperti kue yang dibagi beberapa
bagian ketika ada seseorang sedang merayakan ulang tahun.
_Aplikasi Penggunaan Perbandingan_
27) Menngunakan sebuah skala
Dalam pelajaran IPS (geografi) sering kamu diminta untuk menentukan letak suatu
pulau, sungai, kota dan gunung pada suatu wilayah tertentu. Kalian tidak mungkin
melihat keseluruhan dari hal tersebut. Untuk itu dibuatlah suatu gambar
(atlas/peta) yang mewakili keadaan sebenarnya. Gambar itu dibuat sesuai dengan
keadaan sebenarnya, dengan perbandingan (skala) tertentu. Coba perhatikan
seorang pemborong yang akan membangun gedung sekolah, tentu pemborong
tersebut membuat dulu gambar berskala yang disebut maket. Gedung dan
maketnya mempunyai bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda.
Kamu juga akan melakukan hal yang sama jika membuat denah ruangan yang ada
di sekolahmu. Ruangan dan denah yang kamu buat mempunyai bentuk yang sama
tetapi ukurannya berbeda. Maket dan denah dibuat sesuai dengan keadaan
sebenarnya dengan perbandingan (skala) tertentu. Gambar di atas merupakan
peta propinsi Kalimantan Timur dibuat dengan skala 1 : 6.000.000. Artinya 1 cm
pada gambar mewakili 6.000.000 cm pada keadaan sebenarnya. Dalam hal ini skala
adalah perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak sebenarnya, atau
6.000.000 cm pada keadaan sebenarnya digambar dalam peta 1 cm.
5
5
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
2.1 Pengertian Fungsi Definisi :
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam
suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari
himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah
hasil fungsi tersebut. x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak
bebas. Contoh : 1. Diketahui f(x) = x
2
– 2x, tentukan
h)4(f)h4(f
−+
Jawab: f(4) = 4
2
– 2.4 = 16 – 8 = 8 f(4+h) = (4+h)
2
– 2(4+h) = 16 + 8h + h
2
– 8 – 2h = 8 + 6h + h
2
h)4(f)h4(f
−+
=
h2hh6
+
= 6 + h 2. Diketahui g(x) =
x1
, tentukan
h)a(g)ha(g
−+
Jawab:
h)a(g)ha(g
−+
=
ah2a1h1.a)ha( hha1ha1
+−=+−=−+
3. Jika f(x) = x
2
– x maka tentukan f(x – 1) Jawab f(x – 1) = (x – 1)
2
– (x – 1) = x
2
– 2x + 1 – x + 1 = x
2
– 3x + 2 Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan
bilangan real terbesar, dimana aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai
bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah. Contoh: 1. Tentukan
daerah asal alamiah untuk (a) f(x) =
3x1
−
(b) g(t) =
2t9
−
Jawab: (a) daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan real
untuk x
≠
3. (b) agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t
2
≥
0. (3 + t)(3-t)
≥
0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3
≤
t
≤
3. Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3
≤
t
≤
3} 2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x
| Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya Jawab: y = – x +
|x|
xy
– 4 8 – 3 6 – 2 4 – 1 2 0 0 1 0 2 0 –4 –3 –2 –1 0 1 2 2 4 6 8 Fungsi y = – x +
x
sumbu x sumbu y Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x +
x
6
2.2 Menggambar Grafik
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah: a. Fungsi identitas : f(x) = x b.
Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta c. Fungsi modulus (nilai mutlak) :
f(x) = x jika x
≥
0 –x jika x
<
0 d. Fungsi tangga : 0 jika 0
≤
x
<
1 f(x) = 1 jika 1
≤
x
<
2 2 jika 2
≤
x
<
3 e. Fungsi linier : f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta f. Fungsi kuadrat : f(x) =
ax
2
+ bx + c, dimana a, b, dan c konstanta Contoh : 1. Gambarkan grafik dari fungsi x
+ 1 jika x
>
3 f(x) = 2 jika – 2
≤
x
≤
3 2x + 3 jika x
<
– 2 jawab: 2. Gambarkan grafik fungsi – x untuk – 3
≤
x
≤
–1y=x
2
– 2 untuk – 1
<
x
≤
2 x + 1 untuk 2
<
x
≤
3 Jawab 2. Suatu fungsi linier f: x
→
cx32
+
, memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0 Jawab: Fungsi linier tersebut
dapat ditulis menjadi y =
cx32
+
Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x
dan y ke fungsi tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1. Jadi persamaan
tersebut adalah y =
1x32
+
. Jika f(x) = 0, maka
1x32
+
= 0, didapatkan x = –
23
xy
–4
–5
–3–3 –2
-
–1 –22 –1202323
+
445
1 2 3 4 –2 –1 –3 –4 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 0 –4 –5 Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)
xy
–33 –11 –1
+
–10–21–1222
+
3 3 4 Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)
0 1 2 3 –2 –1 –3 –1 –2 –3 1 2 3 4 X Y
Aplikasi mtematika pada tekhik sipil
Seorang ahli teknik sipil yang handal umumnya lebih mudah dipercaya daripada
insinyur sipil yang biasa saja. Tapi tantangan seorang ahli insinyur harus bekerja
sama untuk meciptakan kota yangseperti ini, dengan perhitungan sudut-sudut yang
super akurat, dengan sistem kurva yang benar-benar yang tak dijumpai dijumpai
keslahan. Seorang insinyur sipil hendaknya memiliki kemapuan untuk melakukan
pembangunan di medan yang tidak biasa (miring, lautan dan lain-lain dll). Seperti
halnya para dokter spesialis onkologi radiasi yang biasa dibantu para ahli dosimetri,
maka insinyur sipil dibantu seorang surveyor. Tugas surveyor untuk melakukan
pengamatan terhadapsistem geometris tanah yang kompleks (apalagi jika
pembangunan akan dilakukan di laut).
_Penggunaan Peluang_
9)
Aplikasi Matematika pada Ilmu Ekonomi
Aplikasi metematika pada bidang ekonomi yang ingin saya bahas kali ini adalah
ilmu peluang, dengan ilmu ini kita belajarmenghitung peluang di berbagai kasus
asuransi, ilmu yang membahas tentang ini disebut aktuaria, dan ahlinya disebut
aktuaris. Aktuaris adalah sebuah pekerjaan dengan skill elite, dikarenakan konsep
aktuaris yang cukup memerlukan pengetahuan bidang matematika dan statistik
secara mendalam. Oleh karena itu, sejumlah negara memutuskan untuk membuat
lembaga khusus untuk mendidik calon aktuaris dan mengujinnya dalam ujian
profesi aktuaris.Di Indonesia sendiri lembaga ini dikenal dengan nama Persatuan
Aktuaris Indonesia (PAI). Ilmu aktuaria merupakan ilmu gabungan antara ilmu
peluang, matematika, statistika, keuangan, dan pemrograman komputer. Studi dari
website pencarian kerja CareerCast menempatkan actuaria sebagai #1 job di
Amerika Serikat (Needleman, 2010). Studi ini menggunakan lima kriteria kunci
untuk mengurutkan rangking pekerjaan: lingkungan, pendapatan, prospek kerja,
dampak fisik, and stress. Tren matematikawan memang diprediksikan akan naik
pesat pada 2014.
_Penggunaan Program Linear_
10) Aplikasi Mtematika pada ilmu Manajemen
Jika di SMA dipelajari tentang program linear, maka di tingkat perguruan tinggi ada
cabang yang lebih luas, yaitu riset operasi. Mungkin anda sering mendengar kata
“manajer operasional suatu perusahaan”. Manajer operasional bertugas melakukan
manajemen terhadap kegiatan-kegiatan operasional. Manajemen operasi, adalah
suatu cabang dari matematika terapan yang cenderung interdisipliner. Ilmu riset
operasi menggabungkan antara teori matematika dan manajemen. Pendekatan
yang dilakukan dengan pendekatan permodelan matematika, analisis stastistik, dan
teori optimasi matematis. Rumusan masalah pada riset operasi dibagi dalam dua
kelompok besar yaitu: meminimumkan, dan memaksimumkan. Untuk masalah
meminimumkan biasanya yang diminumkan adalah biaya distribusi, biaya produksi,
jarak tempuh, dll. Sedangkan pemaksimalan bertujuan memaksimalkan
keuntungan, jumlah barang produksi, dll.
11) proses mengoptimalkan fungsi objektif
Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan yang banyak
digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
Misalnya, program linear digunakan untuk membantu pemimpin perusahaan dalam
mengambil keputusan manajerial. Permasalahan yang berhubungan dengan
program linear selalu berhubungan dengan proses mengoptimalkan fungsi objektif
(fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasi. Dalam hal ini,
optimalisasi dapat berupa memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan.
Salah satu contoh penggunaan program linear adalah untuk menyelesaikan
permasalahan berikut. Misalnya, membuat medali bagi juara I, II, dan III pada
pertandingan bulu tangkis,diperlukan campuran emas dan perak masing-masing
dengan perbandingan 2 : 1, 1 : 1, dan 1 : 2. Jika setiap juara memerlukanpaling
sedikit 20 medali untuk juara I, 15 medali untuk juara II, dan 10 medali untuk juara
III, tentuka model matematika dari masalah program linear tersebut.
_Aplikasi Turunan Fungsi_
12) Menentukan Posisi dan Kecepatan Bola
Dalam kehidupan sehari-hari ditemui banyak gerakan benda-benda di sekitar kita
yang tetap. Posisi suatu benda yang bergerak setiap saat dapat dinyatakan sebagai
suatu fungsi. Fungsi di sini mempunyai arti jarak atau lintasan yang ditempuh
benda dalam satuan waktu tertentu. Dengan demikian, dapat diperkirakan posisi
benda pada waktu tertentu. Misalkan lintasan bola voli pada gambar di samping
dapat diketahui persamaannya. Kita dapat menggunakan turunan fungsi untuk
menentukan posisi dan kecepatan bola pada detik ke-t setelah bola dipukul. Dengan
persamaan h(t)= 5 + 3t – 2 t2. Persamaan kecepatan bola dapat ditentukan dengan
mencari turunan pertama h(t) sedangkan percepatan bola dapat dilakukan dengan
mencari turunan kedua dari h(t).
13) Menentukan Jumlah Maksimum Minyak Pelumas yang Digunakan dalam 4 Tahun
Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat
menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana,
seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang
digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam
memenuhi persamaan Q(v) = - 1/45 x2+ 2x – 20 liter. Dengan memahami konsep
turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang
digunakan dalam 4 tahun.
_Aplikasi teori kesebangunan_
14) Rumah-Rumah Di Sekitar Yang Sebangun
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda yang mempunyai
bentuk-bentuk yang sama. Dari benda-benda yang memiliki bentuk sama itu ada
yang ukurannya sama, ada juga yang memiliki ukuran berbeda. Coba perhatikan
kedua gambar di atas Kedua gambar di atas mempunyai bentuk yang sama tetapi
ukurannya berbeda.
Kedua gambar tersebut dikatakan sebangun. Rumah-rumah pada masing-masing
gambar mempunyai bentuk dan ukuran yangsama. Rumah-rumah tersebut
dikatakan kongruen. Itulah contoh aplikasi kesebangunan dalam kehidupan seharihari.
_Aplikasi Barisan dan Deret_
15) Mencari Kapasitas Penonton Dalam Stadion
Konsep barisan dan deret bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian
berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat
duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk
pada barisan paling depan
di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak
daripada baris di depannya. Nah kemudian dicari kapasitas penonton dalam stadion
tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk dengan menggunakan konsep barisan
dan deret.
_Aplikasi Penggunaan Statistika_
16) Penyajian Data dalam Berbagai Bidang
Misalnya jika kamu ke kantor kelurahan, kantor pajak, kantor sekolah, atau kantor
instansi pemerintahan, apakah yang dapat kamu lihat di papan informasi? Biasanya
di papan informasi terdapat gambar lingkaran, grafik garis, batang, atau balokbalok. Grafikgrafik itu merupakan gambaran mengenai pencacahan penduduk,
perhitungan pajak, dan perkembangan kemajuan sekolah. Contoh-contoh tersebut
merupakan salah satu aplikasi dari konsep statistika. Dalam perkembangannya,
statistika sekarang banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang seperti bidang
ekonomi, kedokteran, pertanian dan sebagainya. Penelitian jenis manapun dirasa
kurang lengkap apabila tidak memanfaatkan perhitungan-perhitungan statistika.
Dalam hal ini kamu akan belajar menggunakan aturan statistika, sehingga dapat
membaca dan menyajikan data dalam bentuk table dan berbagai diagram serta
menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data beserta
penafsirannya.
_Aplikasi Penggunaan Limit fungsi_
17) Pendekatan dalam Kehidupan sehari-hari
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat.
Dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5
bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.
Jika diratarata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29/5 =
5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali
kamu temukan katakata
hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering
dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau
pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus.
_Aplikasi Penggunaan Suku Banyak_
18) Memecahkan Masalah dengan Berbagai Kemungkinan
Masihkah kamu ingat peristiwa kecelakaan pesawat yang saat ini sering terjadi di
Indonesia? Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor.
Beberapa di antaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca,
kerusakan mesin, body pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain.
Jika factor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, …., xn maka terdapat banyak
suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu Matematika, hal demikian dinamakan suku
banyak. Pada hal ini, kamu akan belajar lebih lanjut mengenai aturan suku banyak
dalam penyelesaian masalah. Dengan mempelajarinya, kamu akan dapat
menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil bagi dan sisa,
serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.
_Aplikasi Penggunaan Himpunan_
19) Menentukan himpunan dalam sebuah kehidupan sehari-hari.
Di dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita sudah mengenal tentang
himpunan. Contohnya, sekawanan lembu, sekumpulan ikan, dan sekelompok
burung. Masing-masing kata “kawanan”, “kumpulan”, dan “kelompok” dapat diganti
dengan
kata “himpunan”. Perhatikan gambar-gambar di atas! Apakah gambar-gambar
pada gambar 1 termasuk himpunan? Jika ya, himpunan apakah itu? Jika tidak, apa
alasannya? Nah untuk menyelesaikan hal tersebut kita harus mempelajari konsep
himpunanan.
Berikut adalah gambar-gambar yang mungkin saja termasuk himpunan, himpunan
dalam kehidupan sehari-hari dapat berarti sebuah pengelompokkan suatu jenis
yang sama.
Gambar 1
Gambar 1
20) Berbagai Kumpulan Di Lapangan Sepak Bola
Di lapangan terdapat bola, gawang pertandingan, rumput lapangan dan lain-lain.
Jika kamu perhatikan, di lapangan sepakbola terdapat bermacam-macam kumpulan,
antara lain kumpulan:
1. pemain sepakbola
2. wasit pertandingan sepakbola
3. pelatih sepakbola
4. petugas kesehatan sepakbola
5. pemain sepakbola cadangan
6. bola
7. gawang pertandingan
8. rumpt lapangan
Jika dalam kehidupan sehari-hari berbagai kumpulan dalam lapangan sepak bola itu
dapat dikatakan himpunan dalam operasi matematika.
21) Kumpulan Berbagai Objek dalam Kelas
Sekarang, perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di
kelasmu? Jika kamu perhatikan, ter-nyata di kelasmu terdapat kumpulan:
1. murid yang sedang belajar
2. guru yang sedang mengajar
3. bangku murid
4. meja guru
5. papan tulis
6. murid perempuan
7. murid laki-laki
Sebutkan, masih terdapat benda apa lagi di dalam kelasmu? Selanjutnya,
perhatikan apa saja dan siapa saja yang terdapat di rumahmu. Coba sebutkan
kumpulan apa saja yang dapat kamu bentuk dari benda-benda di rumahmu. Jadi,
pada umumnya, kita berpikir suatu himpunan sebagai suatu koleksi objek-objek
yang memberikan suatu sifat bersama. Misalnya dalam matematika, biasanya untuk
memperhatikan, suatu himpunan garis, suatu himpunan segitiga, suatu himpunan
bilangan real, dsb.
_Aplikasi penggunaan Aljabar_
22) Aktivitas warga Terapung
Tanpa disadari, kita sering menggunakan perhitungan aljabar dalam kehidupan
sehari-hari. Banyak manfaat yang dapat diambil. Kita bisa dengan cepat
menyelesasikan masalah persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
masalah
aritmetika sosial, bahkan kita juga bisa menggunakan perbandingan untuk
menyelesaikan suatu masalah. Cobalah kamu perhatikan gambar di atas!
Kesimpulan apa yang dapat kamu tarik dari gambar di atas? Aktivitas yang sedang
dilakukan oleh warga di pasar terapung itu banyak sekali. Ada yang melakukan
transaksi jual beli, baik menggunakan uang atau sistem barter. Dengan cepat
mereka bisa menghitung keuntungan ataupun kerugian yang mereka dapat. Selain
contoh di atas kita juga bisa mengambil contoh lainnya. Misalnya saja ada seorang
developer yang ingin membeli tanah untuk membangun perumahan, developer itu
bisa memperkirakan berapa luas tanah yang harus dibeli, dan berapa jumlah rumah
yang harus dibangun supaya bisa mendapat keuntungan.
_Aplikasi Penggunaan Garis dan Sudut_
23) Benda atau suatu Bangunan yang Membentuk Sudut
Di Sekolah Dasar, kita sudah diperkenalkan tentang garis dan sudut. Ini bisa
menjadi dasar bagi kita untuk membahas lebih lanjut tentang materi garis dan
sudut. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak contoh yang bisa kita temui
berhubungan dengan garis dan sudut. Perhatikan gambar di samping Jika kita
memperhatikan bentuk gedung di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ada
bagian-bagian dari gedung itu yang membentuk sudut. Dapatkah kamu
menyebutkan bagian mana yang dapat dikatakan membentuk sudut? Selain contoh
di atas ada juga contoh lainnya, antara lain bingkai sebuah foto, permukaan meja
atau kursi, permukaan televisi, lemari, tempat tidur, dan masih banyak lagi contoh
lain yang dapat kamu temukan.
_Aplikasi Segitiga dalam kehidupan sehari-hari
24) Layar-Layar Perahu Nelayan
Perhatikan gambar di samping Perahu layar yang sedang mengarungi lautan
dengan ayarnya yang terkembang merupakan salah contoh benda yang berbentuk
segitiga yang dapat kita lihat pada kehidupan sehari-hari. Contoh lainnya masih
dapat ditemukan seperti contohnya sebuah atap rumah yang membentuk segitiga .
_Aplikasi segiempat dalam kehidupan sehari-hari_
25) Benda-benda yang membentuk Segiempat
Dalam kehidupan sehari-hari banyak benda-benda yang dapat ditemui dengan
membentuk segiempat contohnya Box, Meja makan yang membentuk segiempat,
Komputer, buku dan lain sebagainya. Kita juga dapat menemukan bangunabangunan yang membentuk segiempat seperti badan sebuah rumah dan kantorkantor serta mmasih banyak lagi contoh dalam aplikasi segiempat.
_Aplikasi Pecahhan dalam kehidupan sehari-hari
26) Makanan yang dibagi beberapa bagian.
Dalam aplikasi pecahan dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemuinya ketika
sedang makan buah dan buahnya hanya satu dan keadaan kita harus membagi
dengan teman dengan jumlah 3 orang maka solusinya adalah buah itu dipotong
mmenjadi 3 bagian, nah 3 bagian tersebutlah yang dinamakan pecahan. Selain itu
masih banyak lagi contoh dalam aplikasi pecahan seperti kue yang dibagi beberapa
bagian ketika ada seseorang sedang merayakan ulang tahun.
_Aplikasi Penggunaan Perbandingan_
27) Menngunakan sebuah skala
Dalam pelajaran IPS (geografi) sering kamu diminta untuk menentukan letak suatu
pulau, sungai, kota dan gunung pada suatu wilayah tertentu. Kalian tidak mungkin
melihat keseluruhan dari hal tersebut. Untuk itu dibuatlah suatu gambar
(atlas/peta) yang mewakili keadaan sebenarnya. Gambar itu dibuat sesuai dengan
keadaan sebenarnya, dengan perbandingan (skala) tertentu. Coba perhatikan
seorang pemborong yang akan membangun gedung sekolah, tentu pemborong
tersebut membuat dulu gambar berskala yang disebut maket. Gedung dan
maketnya mempunyai bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda.
Kamu juga akan melakukan hal yang sama jika membuat denah ruangan yang ada
di sekolahmu. Ruangan dan denah yang kamu buat mempunyai bentuk yang sama
tetapi ukurannya berbeda. Maket dan denah dibuat sesuai dengan keadaan
sebenarnya dengan perbandingan (skala) tertentu. Gambar di atas merupakan
peta propinsi Kalimantan Timur dibuat dengan skala 1 : 6.000.000. Artinya 1 cm
pada gambar mewakili 6.000.000 cm pada keadaan sebenarnya. Dalam hal ini skala
adalah perbandingan antara jarak pada peta dengan jarak sebenarnya, atau
6.000.000 cm pada keadaan sebenarnya digambar dalam peta 1 cm.