TAPPDF.COM PDF DOWNLOAD IMPLEMENTASI METODE ELIMINASI GAUSS PADA RANGKAIAN LISTRIK ... 1 PB
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik
Menggunakan Matlab
Silmi 1, Rina Anugrahwaty 2
Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Mesin 1
Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Telekomunikasi 2
Silmiadnanlubis@Gmail.Com 1, Rinaa_Key@Yahoo.Com 2
Abstract
The linear system is widely used and applied in solving electric circuit problems. The linear equation can be
solved using the Gaussian elimination method. To calculate n equations by the unknown number of n of large
and complex systems, it takes a long time and is not efficient. The procedure performed by converting the linear
equations into the form of augmentation matrix is then operated into a triangular matrix. Implementation of the
Gauss elimination method shows the manual calculation results and designed Matlab software are not different.
This is proven by applying to seven (7) linear equations, the current quantities from I1 to current I6 are equal to
zero (0) and the current I7 equals one (1).
Keywords: Gaussian Elimination, electric circuit, Matlab
Abstrak
Sistem persamaan linier banyak digunakan dan diterapkan dalam penyelesaian permasalahan rangkaian listrik.
Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Untuk menghitung n
persamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang besar dan kompleks, membutuhkan waktu
yang cukup lama dan tidak efisien. Prosedur yang dilakukan dengan mengkonversi persamaan linear ke dalam
bentuk matriks augmentasi kemudian dioperasikan menjadi matriks triangularisasi. Implementasi dari metode
eliminasi Gauss menunjukkan hasil perhitungan secara manual maupun menggunakan Matlab tidak ada
perbedaan. Hal ini dibuktikan dengan menggunakan tujuh (7) persamaan linear, besaran arus dari I1 sampai I6
hasilnya nol (0) dan arus I7 sama dengan satu (1).
Kata Kunci : Eliminasi Gauss, rangkaian listrik, Matlab
1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
Komputer adalah salah satu teknologi yang
sangat berkembang dan penerapannya telah
dimanfaatkan dalam persoalan matematika berbagai
disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang
fisika, kimia dan rekayasa seperti teknik sipil,
mesin, elektro dan sebagainya. Peranan komputer
tersebut mempercepat proses perhitungan tanpa
membuat kesalahan..
Salah satu penggunaan sistem persamaan
linear pada rangkaian listrik adalah dengan
menggunakan metode eliminasi Gauss. Namun,
untuk menghitung jumlah n persamaan dengan
jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang
sangat besar dan kompleks, diperlukan komputer
untuk menghitung persamaan rangkaian listrik
tersebut. Matlab dapat membantu penyelesaian
sistem persamaan linear dengan menggunakan
metode eliminasi Gauss [1].
Tulisan ini bertujuan untuk memberikan solusi
penyelesaian metode eliminasi gauss pada
rangkaian listrik dengan menggunakan Matlab,
agar tidak membutuhkan yang lama untuk
menghitung persamaan tersebut.
2. Eliminasi Gauss
Eliminasi
Gauss
adalah
suatu
cara
mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
menjadi matriks yang lebih sederhana dan banyak
digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan
linier. Prosedur penyelesaian dari metode ini
adalah dengan melakukan operasi baris menjadi
matriks eselon-baris. Metode ini mengubah
persamaan linear tersebut ke dalam matriks
augmentasi dan mengoperasikannya.
Sistem persamaan linier merupakan salah satu
sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah
persamaan dan variabel yang berhingga. Untuk
dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linier
adalah mencari nilai-nilai variabel-variabel
persamaan tersebut.
Ada dua metode untuk mencari penyelesaian
persamaan [2] :
1. Metode langsung, yang mana terdiri dari
metode eliminasi Gauss, eliminasi GaussJordan, matriks invers dan metode
dekomposisi LU.
2. Metode tak langsung, yang sering disebut
juga metode iterasi. Metode ini terdiri dari
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
metode iterasi Jacobi dan metode iterasi
Gauss-Seidel.
Adapun bentuk umum dari sistem persamaan
linier adalah sebagai berikut [3] :
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
pada rangkaian listrik dengan metode eliminasi
Gauss adalah mencari nilai-nilai variabelnya.
Sebagai contoh penerapan rangkaian listrik dengan
menggunakan metode eliminasi Gauss [4] dapat
dilihat pada gambar 1.
=
=
Penyelesaian dengan menggunakan metode
eliminasi Gauss terdiri dari beberapa tahap, yaitu:
1. Konversi persamaan linear ke dalam
bentuk matriks teraugmentasi.
+2 + =6
+3 +2 =9
2 + + 2 = 12
Maka, persamaan linear yang dikonversi
ke dalam bentuk matriks teraugmentasi
adalah:
2.
1 2
1 3
2 1
1
2
2
6
9
12
Gambar 1. Rangkaian listrik.
Persamaan yang diperoleh adalah sebagai
berikut :
+( +
+( +
Kemudian operasikan matriks yang telah
dikonversi ke dalam bentuk matriks
teraugmentasi
dengan
proses
triangularisasi. Baris ke-2 pada matiks
dikurangi dengan baris ke-1.
1
0
2
2 1
1 1
1 2
6
3
1
1
0
0
1 1
1 1
0 3
6
3
9
1
0
0
2 1
3 2
3 0
)
)
=
=
Persamaannya dapat disusun ke kembali dalam
bentuk matriks berikut :
0 (
0
1
6
3
0
Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1:
+
)
(
1
0 8 6
0 6 9
1 1 1
+
1
) =
12
= 8
0
=
0
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2:
1
0
0
2 1
1 1
0 1
Selanjutnya dikonversi ke dalam bentuk matriks
triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga
kolom kedua bernilai = 0.
=
6
3
3
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-3:
3.
4.
+2 + =6
+ =3
=3
′
′
′
+ =3
+3=3
=0
+2 + =6
+ 2(0) + 3 = 3
Lakukan subsitusi balik maka diperoleh:
′
3. Analisis rangkaian listrik dengan metode
eliminasi Gauss
′
31
6 12
9 8
1 0
1 1 1 0
0 6 9 8
0 8 6 12
8
= 1.333
6
=
= 0 1.333 0 = 0
=
= 8 1.333 6 = 0
=
= 6 1.333 9 = 6
=
= 12 1.333 8
= 1.333
1 1 1
0
= 0 6 9
8
0 0
6 1.333
=
Setelah terbentuk matriks baru dan
diperoleh persamaan linear baru, yaitu:
0 8
0 6
1 1
=
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Nilai arus masing-masing hambatan rangkaian
listrik tersebut adalah sebagai berikut:
=
=
=
=
=
0
(1
1.333
=
6
(
=
0.222
8
+
9
6
)
0.222
diagonal suatu matriks, tetapi jika ada
elemen diagonal yang bernilai 0, maka baris
dimana elemen itu berada harus ditukar
posisinya dengan baris yang dibawahnya
sampai elemen diagbal matriks menjadi nol.
3. Lakukan proses triangularisasi.
4. Hitung nilai .
5. Lakukan
subsitusi
mundur
untuk
memperoleh nilai variabel yang dicari.
= 1.666
0.222 + 1 1.666)
= 1.444
1
4.
Matlab
Salah satu perangkat lunak (software) yang
digunakan untuk perhitungan matematika adalah
Matlab. Matlab merupakan singkatan dari matrix
laboratory, yang mana digunakan sebagai
pengembangan
algoritma
matematika
dan
komputasi, pemodelan, simulasi dan pembuatan
protipe dari penerimaan data dan pengembangan
aplikasi berbasis grafik dan pembuatan Graphical
User Interface (GUI). Hal yang paling penting
untuk diketahui, seluruh perhitungan yang
dilakukan pada perangkat lunak ini dilakukan
secara matematis dalam bentuk matriks. Gambar 2
menunjukkan tampilan dari Matlab [5].
Gambar 3. Algoritma eliminasi Gauss
Pada kasus jumlah n persamaan dengan
jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang
sangat besar dan kompleks, diperlukanlah Matlab
untuk melakukan perhitungan dalam mencari
solusi.
Gambar 2. Tampilan Matlab default setting
5.
Implementasi dan Pembahasan
Adapun algoritma eleminasi Gauss adalah
sebagai berikut:
1. Konversi sistem persamaan linear ke dalam
bentuk matriks augmentasi.
2. Periksalah elemen-elemen pivot, apakah ada
yang bernilai nol. Elemen-elemen pivot
adalah elemen-elemen yang menempati
1. Penyelesaian menggunakan 3 buah
persamaan linear. Gambar rangkaian
listrik dapat dilihat pada Gambar 4.
I3
I2
I1
32
R1
2 O hm
R2
6 O hm
V1
1 2 V o lt
R3
3 O hm
V2
8 V o lt
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
0 8 6
0 6 9
1 1 1
′
Gambar 4. Rangkaian listrik untuk 3
persamaan linear
12
= 8
0
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
1 1
0 6
0 0
=
1
0
9
8
6 1.333
Setelah dibentuk matriks triangular, maka
subsitusi kembali ke dalam bentuk persamaan,
sehingga diperoleh arus masing-masing sebagai
berikut:
=
=
.
=
0.222167
=
=
=
=
0
(
(1
8
9
= 1.666583
0.222167
6
)
0.222167 + 1 1.666583)
1
= 1.444416
Dengan menggunakan Matlab besaran arus
adalah :
I3 = - 0,222; I2 = 1,666 dan I1 = 1,444
2. Penyelesaian menggunakan 6 buah persamaan
linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat
pada Gambar 6.
Gambar 4. Proses Pembentukkan Matriks dan
subsitusi persamaan.
Gambar 6. Rangkaian listrik untuk 6 persamaan
linear
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat
persamaan sebagai berikut [4]:
0 + 8 + 6 = 12
0 +6 +9 =8
+ +1 =0
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat
persamaan sebagai berikut :
Dari persamaan di atas dapat disusun ke dalam
persamaan di bawah berikut:
33
76
25
50 + 0 + 0 + 0 = 10
25 + 56
30 + 0 + 0 = 0
50
1 + 106
55 + 160
25
=0
0
30
55 + 160
25
50
=0
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
0 +0 +0
0 +0 +0
25 + 56
50
1
Bentuk matriks triangular:
76
25
50
0
0
0
25
56
1
30
0
0
0
50
30
1
106
55
55 160
0
25
0
50
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
1 =0
+ 106 = 0
27 = 105
43
34
24 = 141
35
34
72
5 = 105
35
43
0
0 10
0
0
0
160
25 0
25
50 0
1 0
56
1 106 0
Penerapan
eliminasi
menggunakan Matlab adalah :
a. Matriks triangular:
dengan
0
0
72
0
17
35 0
0
87
0 122
35
0
0
72 233
0
87
34
0
0
0
28
16
35 149
35
34
43 105
0
0
28
34
0
0
34 141
72
0
0
35
105
43
0
0
35 0
0
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi
dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut:
I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;
I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi
dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut:
I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A;
I4 = 0 A; I5 = 0 A; I6 = 0 A; I7 = 1 A.
Dengan menggunakan Matlab besaran arus
adalah:
I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A; I4 = 0 A; I5 = 0 A;
I6 = 0 A; I7 = 1 A.
Dari hasil perhitungan dengan cara manual
dan menggunakan Matlab, besaran arus dengan 3, 6
dan 7 persamaan linear tidak ada perbedaan,
misalnya dengan menggunaan 7 persamaan linear
arus I1 sampai dengan arus I6 menghasilkan arus
yang sama yaitu sama dengan nol (0) dan arus I7
sama dengan satu (1).
Dengan menggunakan Matlab besaran arus dapat
adalah :
I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;
I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.
3.
Gauss
Penyelesaian menggunakan 7 buah persamaan
linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat
pada Gambar 7.
6. Kesimpulan
Matriks yang digunakan pada Matlab
memerlukan matriks augmentasi sebagai input yang
tidak dapat dibentuk secara otomatis di Matlab,
sehingga perlu dibentuk persamaan linear yang
diperoleh
dari
rangkaian
listrik
dengan
menggunakan hukum Kirchoff.
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan
dengan menggunakan 3, 6 dan 7 persamaan linear
dari rangkaian listrik, implementasi metode
eliminasi Gauss menggunakan Matlab dapat
membantu proses perhitungan dengan hasil yang
akurat dan tidak membutuhkan waktu yang lama.
Gambar 7. Rangkaian listrik untuk 7 persamaan
linear
Dari rangkaian listrik di atas diperoleh 7
persamaan linear dengan menggunakan hukum
Kirchoff adalah sebagai berikut [6]:
26 = 72
17
35
34 = 122
35
87
4 = 233
87
34
72
13 = 149
17
35
28
35
34
7.
Daftar Pustaka
[1] Suparno, Supriyanto. 2014. Komputasi untuk
Sains dan Teknik Menggunakan Matlab.
Jakarta: Universitas Indonesia.
[2] Steven, Chapra. 2010. Applied Numerical
Methods with Matlab for Engineers and
34
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
[3]
[4].
[5]
[6]
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Scientists. New Delhi: Mcgraw-Hill Education
India.
Kisabo, Bhar., Funmilayo, Adebimpe., and
Okey, Augustine. 2016. Comparative Analysis
of Numerical Solution to a Linear System of
Algebraic Equations. International Journal of
Systems Science and Applied Mathematics.
Vol.1(4): 50-57.
Taing, Seamleng, 2001. Algebra and
Applications. New York: Springer.
Kumar Agam. 2012. Matlab and Simulink for
Engineers. USA: Oxford University Press.
Bourne, Murray. 2017. Metrics and Linear
Equations. http://www.intmath.com/matricesdeterminants/6-matrices-linear-equations.php
diunduh 4 Mei 2017.
35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik
Menggunakan Matlab
Silmi 1, Rina Anugrahwaty 2
Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Mesin 1
Staff Pengajar Politeknik Negeri Medan Teknik Telekomunikasi 2
Silmiadnanlubis@Gmail.Com 1, Rinaa_Key@Yahoo.Com 2
Abstract
The linear system is widely used and applied in solving electric circuit problems. The linear equation can be
solved using the Gaussian elimination method. To calculate n equations by the unknown number of n of large
and complex systems, it takes a long time and is not efficient. The procedure performed by converting the linear
equations into the form of augmentation matrix is then operated into a triangular matrix. Implementation of the
Gauss elimination method shows the manual calculation results and designed Matlab software are not different.
This is proven by applying to seven (7) linear equations, the current quantities from I1 to current I6 are equal to
zero (0) and the current I7 equals one (1).
Keywords: Gaussian Elimination, electric circuit, Matlab
Abstrak
Sistem persamaan linier banyak digunakan dan diterapkan dalam penyelesaian permasalahan rangkaian listrik.
Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss. Untuk menghitung n
persamaan dengan jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang besar dan kompleks, membutuhkan waktu
yang cukup lama dan tidak efisien. Prosedur yang dilakukan dengan mengkonversi persamaan linear ke dalam
bentuk matriks augmentasi kemudian dioperasikan menjadi matriks triangularisasi. Implementasi dari metode
eliminasi Gauss menunjukkan hasil perhitungan secara manual maupun menggunakan Matlab tidak ada
perbedaan. Hal ini dibuktikan dengan menggunakan tujuh (7) persamaan linear, besaran arus dari I1 sampai I6
hasilnya nol (0) dan arus I7 sama dengan satu (1).
Kata Kunci : Eliminasi Gauss, rangkaian listrik, Matlab
1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
Komputer adalah salah satu teknologi yang
sangat berkembang dan penerapannya telah
dimanfaatkan dalam persoalan matematika berbagai
disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang
fisika, kimia dan rekayasa seperti teknik sipil,
mesin, elektro dan sebagainya. Peranan komputer
tersebut mempercepat proses perhitungan tanpa
membuat kesalahan..
Salah satu penggunaan sistem persamaan
linear pada rangkaian listrik adalah dengan
menggunakan metode eliminasi Gauss. Namun,
untuk menghitung jumlah n persamaan dengan
jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang
sangat besar dan kompleks, diperlukan komputer
untuk menghitung persamaan rangkaian listrik
tersebut. Matlab dapat membantu penyelesaian
sistem persamaan linear dengan menggunakan
metode eliminasi Gauss [1].
Tulisan ini bertujuan untuk memberikan solusi
penyelesaian metode eliminasi gauss pada
rangkaian listrik dengan menggunakan Matlab,
agar tidak membutuhkan yang lama untuk
menghitung persamaan tersebut.
2. Eliminasi Gauss
Eliminasi
Gauss
adalah
suatu
cara
mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
menjadi matriks yang lebih sederhana dan banyak
digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan
linier. Prosedur penyelesaian dari metode ini
adalah dengan melakukan operasi baris menjadi
matriks eselon-baris. Metode ini mengubah
persamaan linear tersebut ke dalam matriks
augmentasi dan mengoperasikannya.
Sistem persamaan linier merupakan salah satu
sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah
persamaan dan variabel yang berhingga. Untuk
dapat menyelesaikan suatu sistem persamaan linier
adalah mencari nilai-nilai variabel-variabel
persamaan tersebut.
Ada dua metode untuk mencari penyelesaian
persamaan [2] :
1. Metode langsung, yang mana terdiri dari
metode eliminasi Gauss, eliminasi GaussJordan, matriks invers dan metode
dekomposisi LU.
2. Metode tak langsung, yang sering disebut
juga metode iterasi. Metode ini terdiri dari
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
metode iterasi Jacobi dan metode iterasi
Gauss-Seidel.
Adapun bentuk umum dari sistem persamaan
linier adalah sebagai berikut [3] :
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
pada rangkaian listrik dengan metode eliminasi
Gauss adalah mencari nilai-nilai variabelnya.
Sebagai contoh penerapan rangkaian listrik dengan
menggunakan metode eliminasi Gauss [4] dapat
dilihat pada gambar 1.
=
=
Penyelesaian dengan menggunakan metode
eliminasi Gauss terdiri dari beberapa tahap, yaitu:
1. Konversi persamaan linear ke dalam
bentuk matriks teraugmentasi.
+2 + =6
+3 +2 =9
2 + + 2 = 12
Maka, persamaan linear yang dikonversi
ke dalam bentuk matriks teraugmentasi
adalah:
2.
1 2
1 3
2 1
1
2
2
6
9
12
Gambar 1. Rangkaian listrik.
Persamaan yang diperoleh adalah sebagai
berikut :
+( +
+( +
Kemudian operasikan matriks yang telah
dikonversi ke dalam bentuk matriks
teraugmentasi
dengan
proses
triangularisasi. Baris ke-2 pada matiks
dikurangi dengan baris ke-1.
1
0
2
2 1
1 1
1 2
6
3
1
1
0
0
1 1
1 1
0 3
6
3
9
1
0
0
2 1
3 2
3 0
)
)
=
=
Persamaannya dapat disusun ke kembali dalam
bentuk matriks berikut :
0 (
0
1
6
3
0
Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1:
+
)
(
1
0 8 6
0 6 9
1 1 1
+
1
) =
12
= 8
0
=
0
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2:
1
0
0
2 1
1 1
0 1
Selanjutnya dikonversi ke dalam bentuk matriks
triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga
kolom kedua bernilai = 0.
=
6
3
3
Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-3:
3.
4.
+2 + =6
+ =3
=3
′
′
′
+ =3
+3=3
=0
+2 + =6
+ 2(0) + 3 = 3
Lakukan subsitusi balik maka diperoleh:
′
3. Analisis rangkaian listrik dengan metode
eliminasi Gauss
′
31
6 12
9 8
1 0
1 1 1 0
0 6 9 8
0 8 6 12
8
= 1.333
6
=
= 0 1.333 0 = 0
=
= 8 1.333 6 = 0
=
= 6 1.333 9 = 6
=
= 12 1.333 8
= 1.333
1 1 1
0
= 0 6 9
8
0 0
6 1.333
=
Setelah terbentuk matriks baru dan
diperoleh persamaan linear baru, yaitu:
0 8
0 6
1 1
=
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Nilai arus masing-masing hambatan rangkaian
listrik tersebut adalah sebagai berikut:
=
=
=
=
=
0
(1
1.333
=
6
(
=
0.222
8
+
9
6
)
0.222
diagonal suatu matriks, tetapi jika ada
elemen diagonal yang bernilai 0, maka baris
dimana elemen itu berada harus ditukar
posisinya dengan baris yang dibawahnya
sampai elemen diagbal matriks menjadi nol.
3. Lakukan proses triangularisasi.
4. Hitung nilai .
5. Lakukan
subsitusi
mundur
untuk
memperoleh nilai variabel yang dicari.
= 1.666
0.222 + 1 1.666)
= 1.444
1
4.
Matlab
Salah satu perangkat lunak (software) yang
digunakan untuk perhitungan matematika adalah
Matlab. Matlab merupakan singkatan dari matrix
laboratory, yang mana digunakan sebagai
pengembangan
algoritma
matematika
dan
komputasi, pemodelan, simulasi dan pembuatan
protipe dari penerimaan data dan pengembangan
aplikasi berbasis grafik dan pembuatan Graphical
User Interface (GUI). Hal yang paling penting
untuk diketahui, seluruh perhitungan yang
dilakukan pada perangkat lunak ini dilakukan
secara matematis dalam bentuk matriks. Gambar 2
menunjukkan tampilan dari Matlab [5].
Gambar 3. Algoritma eliminasi Gauss
Pada kasus jumlah n persamaan dengan
jumlah n yang tidak diketahui dari sistem yang
sangat besar dan kompleks, diperlukanlah Matlab
untuk melakukan perhitungan dalam mencari
solusi.
Gambar 2. Tampilan Matlab default setting
5.
Implementasi dan Pembahasan
Adapun algoritma eleminasi Gauss adalah
sebagai berikut:
1. Konversi sistem persamaan linear ke dalam
bentuk matriks augmentasi.
2. Periksalah elemen-elemen pivot, apakah ada
yang bernilai nol. Elemen-elemen pivot
adalah elemen-elemen yang menempati
1. Penyelesaian menggunakan 3 buah
persamaan linear. Gambar rangkaian
listrik dapat dilihat pada Gambar 4.
I3
I2
I1
32
R1
2 O hm
R2
6 O hm
V1
1 2 V o lt
R3
3 O hm
V2
8 V o lt
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
0 8 6
0 6 9
1 1 1
′
Gambar 4. Rangkaian listrik untuk 3
persamaan linear
12
= 8
0
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
1 1
0 6
0 0
=
1
0
9
8
6 1.333
Setelah dibentuk matriks triangular, maka
subsitusi kembali ke dalam bentuk persamaan,
sehingga diperoleh arus masing-masing sebagai
berikut:
=
=
.
=
0.222167
=
=
=
=
0
(
(1
8
9
= 1.666583
0.222167
6
)
0.222167 + 1 1.666583)
1
= 1.444416
Dengan menggunakan Matlab besaran arus
adalah :
I3 = - 0,222; I2 = 1,666 dan I1 = 1,444
2. Penyelesaian menggunakan 6 buah persamaan
linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat
pada Gambar 6.
Gambar 4. Proses Pembentukkan Matriks dan
subsitusi persamaan.
Gambar 6. Rangkaian listrik untuk 6 persamaan
linear
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat
persamaan sebagai berikut [4]:
0 + 8 + 6 = 12
0 +6 +9 =8
+ +1 =0
Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat
persamaan sebagai berikut :
Dari persamaan di atas dapat disusun ke dalam
persamaan di bawah berikut:
33
76
25
50 + 0 + 0 + 0 = 10
25 + 56
30 + 0 + 0 = 0
50
1 + 106
55 + 160
25
=0
0
30
55 + 160
25
50
=0
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
0 +0 +0
0 +0 +0
25 + 56
50
1
Bentuk matriks triangular:
76
25
50
0
0
0
25
56
1
30
0
0
0
50
30
1
106
55
55 160
0
25
0
50
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
1 =0
+ 106 = 0
27 = 105
43
34
24 = 141
35
34
72
5 = 105
35
43
0
0 10
0
0
0
160
25 0
25
50 0
1 0
56
1 106 0
Penerapan
eliminasi
menggunakan Matlab adalah :
a. Matriks triangular:
dengan
0
0
72
0
17
35 0
0
87
0 122
35
0
0
72 233
0
87
34
0
0
0
28
16
35 149
35
34
43 105
0
0
28
34
0
0
34 141
72
0
0
35
105
43
0
0
35 0
0
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi
dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut:
I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;
I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.
Setelah dibentuk matriks triangular dan subsitusi
dalam bentuk persamaan, diperoleh arus masingmasing sebagai berikut:
I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A;
I4 = 0 A; I5 = 0 A; I6 = 0 A; I7 = 1 A.
Dengan menggunakan Matlab besaran arus
adalah:
I1 = 0 A; I2 = 0 A; I3 = 0 A; I4 = 0 A; I5 = 0 A;
I6 = 0 A; I7 = 1 A.
Dari hasil perhitungan dengan cara manual
dan menggunakan Matlab, besaran arus dengan 3, 6
dan 7 persamaan linear tidak ada perbedaan,
misalnya dengan menggunaan 7 persamaan linear
arus I1 sampai dengan arus I6 menghasilkan arus
yang sama yaitu sama dengan nol (0) dan arus I7
sama dengan satu (1).
Dengan menggunakan Matlab besaran arus dapat
adalah :
I1 = 0,2706 A; I2=0,1748 A; I3=0,1239 A;
I4 = 0,0966 A; I5=0,0439 A; I6=0,0460 A.
3.
Gauss
Penyelesaian menggunakan 7 buah persamaan
linear. Gambar rangkaian listrik dapat dilihat
pada Gambar 7.
6. Kesimpulan
Matriks yang digunakan pada Matlab
memerlukan matriks augmentasi sebagai input yang
tidak dapat dibentuk secara otomatis di Matlab,
sehingga perlu dibentuk persamaan linear yang
diperoleh
dari
rangkaian
listrik
dengan
menggunakan hukum Kirchoff.
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan
dengan menggunakan 3, 6 dan 7 persamaan linear
dari rangkaian listrik, implementasi metode
eliminasi Gauss menggunakan Matlab dapat
membantu proses perhitungan dengan hasil yang
akurat dan tidak membutuhkan waktu yang lama.
Gambar 7. Rangkaian listrik untuk 7 persamaan
linear
Dari rangkaian listrik di atas diperoleh 7
persamaan linear dengan menggunakan hukum
Kirchoff adalah sebagai berikut [6]:
26 = 72
17
35
34 = 122
35
87
4 = 233
87
34
72
13 = 149
17
35
28
35
34
7.
Daftar Pustaka
[1] Suparno, Supriyanto. 2014. Komputasi untuk
Sains dan Teknik Menggunakan Matlab.
Jakarta: Universitas Indonesia.
[2] Steven, Chapra. 2010. Applied Numerical
Methods with Matlab for Engineers and
34
JITEKH, Vol 6, No 1, Tahun 2017, 30-35
[3]
[4].
[5]
[6]
ISSN 2338-5677(Media Cetak)
ISSN 2549-6646 (Media Online)
Scientists. New Delhi: Mcgraw-Hill Education
India.
Kisabo, Bhar., Funmilayo, Adebimpe., and
Okey, Augustine. 2016. Comparative Analysis
of Numerical Solution to a Linear System of
Algebraic Equations. International Journal of
Systems Science and Applied Mathematics.
Vol.1(4): 50-57.
Taing, Seamleng, 2001. Algebra and
Applications. New York: Springer.
Kumar Agam. 2012. Matlab and Simulink for
Engineers. USA: Oxford University Press.
Bourne, Murray. 2017. Metrics and Linear
Equations. http://www.intmath.com/matricesdeterminants/6-matrices-linear-equations.php
diunduh 4 Mei 2017.
35