SOAL DAN PENYELESAIAN PEMECAHAN MASALAH
SOAL DAN PENYELESAIAN
PENDALAMAN MATEMATIKA DI SD
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pendalaman Matematika SD
Dosen pengampu Dr. Hafiziani Eka Putri., M.Pd.
Disusun oleh:
5A PGSD
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KAMPUS PURWAKARTA
2016
LATIHAN 1
1. Jika m, n dua bilangan bulat berurutan, maka 4 membagi habis m 2 + n2 – 1.
Jawaban :
Karena m, n dua bilangan bulat berurutan dimisalkan :
m=x
n=x+1
jadi kalau dimisalkan x = 1 maka :
m=x=1
n=x+1
=1+1
=2
4 membagi habis m2 + n2 – 1 berarti bahwa 4 merupakan faktor dari hasil
persamaan tersebut atau persamaan tersebut merupakan kelipatan dari 4.
Untuk membuktikannya dapat dengan substitusikan m dan n ke persamaan
m 2 + n2 – 1 = 12 + 22 – 1
=1+4–1
=4
4 membagi habis :
4
4
= 1, dikatakan membagi habis karena sisa pembagiannya
adalah nol atau hasil subtitusi m n ke persamaan tersebut ketika dibagi 4 terbagi
sama rata. Sesuai dengan rumus keterbagian dimana
𝑎
𝑏
= 𝑐. 𝑏 + 𝑠, 𝑠 = 0
Dimana a = bilangan yang dibagi, b = bilangan yang membagi, c = hasil
pembagian, dan s = sisa pembagian.
Jadi dapat ditulis :
4
4
=1x4+0
Atau untuk membuktikan 4 membagi habis persamaan m 2 + n2 – 1 bisa juga
dengan cara mengalikan persamaan dengan 4 :
4 (m2 + n2 – 1) = 4 ((x)2 + (x+1)2 – 1))
= 4 ( x2 + x2 + 2x + 1 – 1 )
= 4x2 + 4x2 + 8x
= 8x2 + 8x
Jika x = 1 maka 8(1)2 + 8(1) = 16,
16
4
= 4 x 4 + 0 berarti habis dibagi 4 atau 4
membagi habis persamaan tersebut.
Jadi m, n bisa bilangan bulat berapapun yang penting berurutan dan ketika
m + n hasilnya bilangan ganjil. Sehingga ketika disubstitusikan ke persamaan m 2
+ n2 – 1 habis dibagi 4.
2. tiga garis l, m, n di bidang. Jika l dan m tegak lurus n, buktikan bahwa l sejajar m
Diketahui:
l
m
n
Dikatakan tegak lurus yaitu jika membentuk sudut 90°
Dikatakan sejajar apabila ditarik garis sacara terus menerus tidak akan
berpotongan dan mempunyai kemiringan yang sama
Jadi, jika l dan m tegak lurus n, buktikan bahwa l sejajar m, dapat
digambar seperti dibawah ini:
l
m
n
3. Jika a,b,c bilangan bulat ganjil, buktikan bahwa ax2+bx+c=0 tak mempunyai
akar rasional.
Jawab :
Karena akan membuktikan jenis akar persamaan kuadrat, bisa memakai
rumus mencari diskriminan.
D = b2 - 4ac
Misalnya,
a= 3
b= 9
c= 5
maka,
D = b2 - 4ac
= 92 - 4.3.5
= 81 - 60
D = 21
Karena D bukan bilangan kuadrat, maka persamaan diatas tak memiliki akar
rasional.
4. Buktikan bahwa aksioma kesejajaran Hilbert ekivalen dengan pernyataan jika t
garis transversal terhadap l dan m setra l sejajar m, dan t tegak lurus dengan l
maka t tegak lurus dengan m.
Jawab
Diketahui :
t garis transversal (sebuah garis yang memotong dua buah atau lebih garis yang
berada pada ssatu bidang dan memiliki dua titik potong atau lebih)
Ditanyakan : pembuktian t tegak lurus dengan m
Penyelesaian:
Dari definisi tersebut gambar garis t yang memotong garis m dan l.
m
┘
m
t
t
l
l
┘
LATIHAN 2
1. Diketahui bilangan 1,2,3,4,5,6. Tuliskan setiap bilangan tersebut pada satu
lingkaran sehingga tiap sisi segitiga sama.
Jawaban:
Jumlah 11
6
3
1
5
2
4
Jumlah 9
3
4
2
5
6
1
2. Gunakan empat angka 4 dan beberapa tanda +, x, -, :, dan () untuk
menuliskan bilangan 0 sampai dengan 9
Langkah pertama yaitu membuat kerangka penghitungan
0 = 4-4, 8-8
1 = 5-4, 4:4, 16:16, 8:8
2 = 6-4, 4:2, 8:4, 16:8, 4-2
3 = 7-4, 12:4
4 = 8-4, 16:4, 6-2, 8-4
5 = 9-5, 20:4, 4+1
6 = 10-4, 24:4, 4+2, 8-2, 5+1
7 = 11-4, 28:4, 8-1, 5+2, 6+1, 4+3
8 = 12-4, 32:4, 7+1, 6+2, 9-1, 6+2, 4+4
9 = 13-4, 36:4, 5+4, 8+1
Langkah kedua yaitu mengkombinasikan tanda tada operasi hitung tersebut
dengan empat angka 4
Angka 0
4+4-4-4 = 0
( 4+4 ) – ( 4+4 ) = 0
((4x4):4) – 4 = 0
Angka 1
((4x4) : 4) : 4 = 1
( 4+4 ) : ( 4+4 ) = 1
4 + ( 4: 4 ) – 4 = 1
Angka 2
(4 x 4) : (4 + 4) =2
4 – ((4 + 4) : 4) = 2
Angka 3
(4+4+4) : 4 = 3
((4 x 4) – 4) : 4 =3
Angka 4
4 – ((4-4) x 4) = 4
4 + ((4-4) : 4) = 4
Angka 5
((4 x 4) + 4) : 4 = 5
((4 x 4) : 4) + ( 4:4 ) = 5
Angka 6
4 + (( 4+4) : 4) = 6
Angka 7
4 + 4 – ( 4: 4 ) = 7
(44 : 4) – 4 = 7
Angka 8
( 4+4+4) – 4 = 8
(4 x 4) – (4+4) = 8
Angka 9
4+4+ (4:4) = 9
((4:4)+4) + 4 = 9
3. Harga karcis untuk dewasa adalah Rp 6000,00 dan harga karcis untuk anak
Rp 4000,00. Tuti dapat menjual 13 tiket dan memperoleh uang Rp
66.000,00. Berapa tiket dewasa dan tiket anak yang terjual ?
Menjawab :
Dik
Dit
: karcis dewasa = Rp 6000,00
Karcis anak = Rp 4000,00
Terjual
= 13 tiket
Memperoleh = Rp 66.000,00
: berapa tiket dewasa dan anak yang terjual ?
Jawab :
X
= dewasa
Y
= anak
6000 X + 4000 Y = 66.000
6 X + 4 Y = 66 ...... Persamaan (i)
X + Y = 13 ........ Persamaan (ii)
6 X + 4 Y = 66
x1
6 X + 4 Y = 66
X + Y
x4
4 X + 4 Y = 52
= 13
6 X + 4 Y = 66
4 X + 4 Y = 52
2X
X
= 14
= 14/ 2
X
=7
X + Y = 13
7 + Y = 13
Y = 13 – 7
Y = 6
Jadi, tiket yang terjual untuk yang dewasa 7 tiket dan yang anak 6 tiket.
5.Suatu toko sepeda (roda dua) dan becak (tiga roda) menerima 27 sadel (tempat
duduk) dan 60 roda. Hitung jumlah sepeda dan becak
Jawaban:
Diketahui: 27 sadel
60 roda
Sepeda (1) Becak (1)
= Total jumlah sepeda+becak
Sepeda (2) Becak (3)
= Total jumlah roda sepeda+becak
Ditanyakan: Jumlah sepeda dan becak
Penyelesaian: menggunakan aljabar metode eliminasi
Misal : Sepeda = x
Becak = y
Langkah pertama mencari jumlah sepeda dengan pengandaian tersebut
x + y = 27 dikali 3
2x + 3y = 60 dikali 1
3x + 3y = 81
2x + 3y = 60
x
= 21
jumlah sepeda
kemudian masukan jumlah sepeda yang sudah ditemukan untuk mencari jumlah
becak
x + y = 27
21 + y = 27
y = 27 – 21
=6
jumlah becak
Pembuktian:
21 x 2 = 42
6 x 3 = 18
60
Jadi jumlah sepeda adalah 21, sedangkan jumlah becak adalah 6
LATIHAN 3
1. Amir, Budi, Cici, Diri dan Erna mengikuti pemilihan walikota. Amir mendapat
suara 200 lebih banyak dari Budi dan 4000 kurang dari Cici. Erna menerima 2000
suara kurang dari Dodi dan 5000 suara lebih banyak dari pada Budi. Tentukan
urutan mereka.
Dik :
A = B + 2000
A = C - 4000
E = D - 2000
E = 5000 + B
Jawaban
• A= B + 2000
•B= E - 5000
B = B + 5000- 5000
B =B
•D = B + 5000 + 2000
D = B + 7000
•C = B + 2000 + 4000
C = B + 6000
•E = B + 5000
Jadi, urutannya adalah : B - A - E - C - D
2. Dapatkah kita memotong piza dalam bentuk lingkaran dengan empat potongan
menjadi 11 potong ( tak perlu sama besar)
Jawaban
Ya, kita dapat memotong pizza menjadi 11 potong. Dibawah ini bagian-bagiannya:
Jadi, dapat diperoleh 5 bagian 45% dan 6 Bagian 22,5%
3. Suatu tetrimino adalah bentuk yang dibuat dari empat persegi dimana setiap
persegi harus berdampingan sepanjang salah satu sisinya.
Bukan tetrimino
Tuliskan Semua tetrimino.
Jawab
Tetrimino
LATIHAN 4
1. Perhatikan pola yang ada, kemudian dan isilah bilangan berikut berdasarkan
pola yang ada…
(a) 2, 5, 8, 11, …, …., …
(b) 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, …, …, ….
(c) 2, 6, 18, 54, …, …, …
Penyelesaian :
a. 2,
5,
+3
b. 1,
8,
+3
1,
0
+3
3,
3,
+2
14,
11,
0
+3
6,
+3
+1
c. 2,
6,
x3
18,
x3
20
+3
0
x3
+3
6,
+1
162, 486,
54,
x3
17,
x3
10,
10,
+4
15,
0
15
+5
0
+1
1458
x3
2. Tuliskan 3 diagram berikutnya
a)
b)
c)
d)
Tuliskan barisan bilangan yang berkaitan dengan diagram diatas!
Tuliskan suku ke 10. Suku ke 100
Kapan suku tersebut besarnya 2n.
Kapan suku tersebut besarnya 2402
Penyelesaian :
Pola
Aritmatika : beda antar satuan b = U2 -U 1
untuk aritmatika sendiri, memiliki pola barisan bilangan persegi,
segitiga, segitiga pasca, fibonasi
Geometri : rasio antar satuan (r) =
𝑈2
𝑈1
a) Untuk soal nomor 2, merupakan deret aritmatika dan deret diatas berkaitan
dengan deret genap yang membentuk pola persegi
b) Untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :
Un = a + (n-1)b, untuk n bilangan asli ; b = U2-U1
Keterangan :
Un = suku ke n dari suatu barisan
a = suku pertama dari suatu barisan
b = selisih bilangan pada barisan aritmatika (beda)
u = urutan baris
+2
Deret
genap 12
+2
2
4
6
8
10
U1
U6
U2
U3
U4
U5
Un = a + (n-1)b
Un = a + (n-1)2
U10 = 2 + (10-1)2
= 2 + (9)2
= 2 + 18
= 20
c) Kapan suku tersebut besarnya 2n.
b = U2-U1
b = 4-2
=2
U100 = 2 + (100-1)2
= 2 + (99)2
= 2 + 198
= 200
Kapan suku 2n? Setiap mencari suku lainnya
Rumus :
Un = a + (n-1)b
b=2
Un = 2n
Un = a + (n-1)2
U100 = 2.100
= 2 + (n-1)2
= 200
= 2 + 2n – 2
200 = 2n
Un = 2n
200
n=
= 100
2
Jadi 200 = urutan ke-100
pada suku ke-100 besarnya 200
d) Kapan suku tersebut besarnya 2402.
Un = 2n
2n = 2402
U1201 = 2 + (1201-1)2
2402
n=
2
n = 1201
= 2 + (1200)2
= 2 + 2400 = 2402
Jadi, pada suku ke-1201 besarnya 2402
3. Tuliskan diagram 3 kelmopok berikutnya
(a) Tuliskan barisan bilangan yang berkaitan dengan diagram di atas!
(b) Tuliskan suku ke 10. Suku ke 100.
(c) Kapan suku tersebut besarnya 101?
Penyelesaian :
(a) Pada gambar diatas menunjukkan bahwa barisan bilangan tersebut termasuk
Barisan Aritmatika (suatu barisan bilangan degan pola tertentu berupa
penjumlahan yang mempunyai beda/selisih yang sama) dan deret bilangan
aritmatikanya adalah bilangan ganjil yang membentuk pola persegi
+3
+3
+3
2
5
8
11
2. Untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :
Un = a + (n-1) b
Jawab:
U2 – U1
=5 – 2
=3
Un = a + (n – 1) . b
U10 = 2 + (10 – 1) . 3
U10 = 2 + 27
U10 = 29
U100 = a + (n – 1) . b
U100 = 2 + (100 – 1) . 3
U100 = 2 + (99) . 3
U100 = 2 + 297
U100 = 299
3. U101 = 2 + (n – 1) . b
U101 = 2 + (n – 1) . 3
U101 = 2 + 3n – 3
U101 = 3n – 1
U102 = 3n
102
n =
3
= 34
4. barisan bilangan di soal no 1 dan 2 disebut barisan aritmetika. Isilah titik berikut
dengan bilangan jika barisan berbentuk barisan aritmetika.
(a) 5,7,9,…..,35
Jawaban :
a= 5
b=2
an = a+(n - 1) b
= 5+(4 - 1) . 2
= 5+ (3 . 2)
=5+6
= 11
a=5
b=2
an = a + (n-1) b
= 5 + (5 - 1) .2
= 5 + (4 . 2)
=5+8
= 13
(b) 3,7,11,…,67
Jawaban :
a=3
b=4
an = a+ (n-1) .b
= 3 + (4 - 1) .4
= 3 + (3 . 4)
= 3 + 12
= 15
a=3
b=4
an = a + (n-1).b
= 3+ (5 - 1) . 4
= 3+ (4 . 4)
= 3+ 16
= 19
a=3
b=4
an = a + ( n - 1) . b
= 3+ ( 6 - 1) . 4
= 3 + (5 . 4)
= 3 + 20
= 23
LATIHAN 5
1. Hitunglah jumlah bilangan berikut
a. 5+7+9+….+35
b. 1+7+13+….+73
Penyelesaian :
a. Dik : Un = 35
a=5
b = 7-5 = 2
Ditan : Sn ?
Jawab : Un = a + ( n – 1 ) b
35 = 5 +( n – 1 ) 2
35 = 5 + 2n – 2
35 = 2n + 3
35 – 3= 2n + 3 – 3
32=2n
32 2𝑛
=
2 2
16=n
1
Sn = 2n (a + Un)
1
= 2 16 (5 +35)
= 8 (40)
= 320
b. 1 + 7 + 13 + …..+73
Dik : Un = 73
a=1
b=6
Ditan : Sn ?
Jawab : Un = a + (n – 1) b
73= 1 + (n – 1) 6
73 = 1 + 6n – 6
73 = 6n – 5
73 + 5 = 6n – 5 + 5
78 = 6n
78 6𝑛
= 6
6
13 = n
1
Sn = n (a + Un)
2
1
2.
1=1
= 2 13 ( 1 + 73 )
= 6,5 (74)
= 481
isilah bagian kosong untuk meneruskan pola berikut.
Pola tengah ini di kuadratkan ( 2² ) akan menghasilkan penjumlahan dari angkaangka berurutan
1+
+1=4
2
1+2+
(3²)
+2+1=9
3
3
1+2+3+
4
1+2+3+4+
5
(4²)
+3+2+1= 16
(5²)
+4+3+2+1= 25
a. Hitunglah jumlah bilangan berikut :
1+2+3+.......+99 +
100
(100²)
+99 +........+3+2+1 = 100²
= 10.000
b. Hitunglah jumlah bilangan berikut
1 + 2 + 3 + ............... + (n-1) +
n
+ (n-1) + ...... + 3 + 2 + 1 = n²
Jadi,penjumlahan dari angka-angka berurutan itu akan membentuk pola
tengah. Polah tengah ini jika dikuadratkan sama saja saja hasilnya. Yaitu hasil
kuadrat pola tengahdengan hasil penjumlah angka-angka berurutan.
3. Letakkan angka 4, 6, 7, 8, dan 9 pada lingkaran agar jumlah horizontal dan
vertikal sama besar yaitu 19.
Apakah hanya ada satu jawaban? Apakah ada jawaban lain? Sebutkan jika ada
jawaban lain.
Jawab : 1.
2.
6
7
7
4
8
9
3.
6
8
4
9
6
4
4.
8
8
9
4
7
7
9
6
LATIHAN 6
1. Bilangan 10 dapat ditulis sebagai jumlah empat bilangan ganjil dengan tiga
cara. Misalkan saja, (i)= 7+1+1+1; (ii) 10= 5+3+1+1 dan (iii) 10= 3+3+3+1.
Bagaimana dengan bilangan 20 ditulis dalam jumlah delapan bilangan ganjil?
a. Ada berapa cara. Carilah semua cara yang mungkin.
b. Selesaikan dengan memandang lebih sederhana, yaitu banyak angka
satuan yang trelibat. Jika angka satuan yang terlibat hanya ada 8, sekali
lagi selesaikan masalah di atas. Lakukan pula jika angka satuan hanya ada
7, 6 dan seterusnya.
Jawaban:
a. Jumlah 8 bilangan ganjil
1. 3+3+3+3+3+3+1+1
2. 5+3+3+3+3+1+1+1
3. 5+5+5+1+1+1+1+1
4. 7+7+1+1+1+1+1+1
5. 7+3+3+3+1+1+1+1
6. 7+5+3+1+1+1+1+1
7. 9+3+3+1+1+1+1+1
8. 13+1+1+1+1+1+1+1
b.Jumlah 6 bilangan ganjil
1. 5+3+3+3+3+3
2. 7+3+3+3+3+1
3. 7+5+3+3+1+1
4. 7+7+3+1+1+1
5.11+3+3+1+1+1
6.11+5+1+1+1+1
7.13+3+1+1+1+1
8. 15+1+1+1+1+1
c. Jumlah 4 bilangan ganjil
1. 7+7+3+3
2. 7+5+5+3
3. 7+7+5+1
4. 11+5+3+1
5. 13+3+3+1
6. 15+3+1+1
d. Jumlah 10 bilangan ganjil
1. 3+3+3+3+3+1+1+1+1+1
2. Tuliskan semua susunan lima huruf yang dapat dibuat dari huruf yang ada
pada kata “kanan”.
Diketahui : n = 5 (jumlah hurufnya)
R1 = 2 (huruf yang sama “a”)
R2 = 2 (huruf yang sama “n”)
R3= 1( huruf “k”)
Ditanya : semua susunan huruf
𝑛!
Dijawab : p = 𝑅1!𝑅2!
5!
p = 2!2!1!
5×4×3×2×1
P = 2×1.2×1𝑋1
P = 30
˸· Susunan kata yang dapat terbentuk ada 30 kata terdiri dari :
1. Kanna
16. Nnaak
2. Kaann
17. Naakn
3. Knaan
18. Akann
4. Knnaa
19. Aknan
5. Knana
20. Aaknn
6. Nanka
21. Aankn
7. Nanak
22. Annka
8. Nakan
23. Annak
9. Nakna
24. Ankna
10. Naank
25. Ankan
11. Nkaan
26. Anakn
12. Nnkaa
27. Anank
13. Nnaka
28. Aannk
14. Nkana
29. Aknna
15. Nknaa
30. Kanan
3. Carilah angka-angka yang hilang pada bilangan 12 _ _ _ _ 6 terdiri atas 7
angka sehingga merupakan hasil kali dari tiga bilangan asli berturut-turut.
Jawab :
Karena bilangan 12 _ _ _ _ 6 itu kalau dipenggal berarti 1.2 _ _ . _ _ 6 yaitu satu
juta dua ratus (…) (…) (…) (…) enam. Berarti dalam kisaran satu juta.
Coba kita cari perkalian 3 bilangan agar jumlahnya menjadi 1.000.000
100 x 100 x 100 = 1.000.000
Ternyata untuk mengetahui jumlah perkalian menjadi satu juta berada dikisaran 100
yaitu 101, 102, dst…
Namun cluenya adalah hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan sehingga kita
coba dari perkalian 101 hingga 109 secara berurutan dimana angka terakhir atau
satuannya enam (6) dan angka pertama satu (1) dan angka kedua adalah dua (2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (sebagai angka terakhir/satuan)
Agar lebih mudah kita coba cari angka yang hasil kalinya di angka terakhirnya
jumlanya 6
Ternyata apabila angka terakhirnya 1 x 2 x 3 = 6 dan kita masukkan angka tersebut
menjadi
101 x 102 x 103 (hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan)
Dan hasilnya memang angka terakhirnya 6 namun angka yang kedua tidak
menunjukkan angka 2
Hasil dari perkalian 101 x 102 x 103 adalah 1.061.106 (salah)
Lalu kita coba lagi 102 x 103 x 104 ternyata angka terakhirnya bukan 6
Lalu kita coba lagi diangka yang dapat menghasilkan angka 6 (di satuannya)
106 x 107 x 108 menghasilkan 1.224.936 (benar)
Jadi, hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan adalah 106 x 107 x 108
Dan angka yang hilang adalah 2 , 4 , 9 dan 3
LATIHAN 7
1. Amir membawa uang 3 lembar yang diambil dari uang 5 ribu rupiah, 10 ribu
rupiah, dan 50 ribu rupiah. Tentukan kemungkinan jumlah uang yang dibawa
Amir!
Jawaban:
Dik : Amir 3 lembar uang
5000
10.000
50.000
Dit : Jumlah kemungkinan uang yang dibawa Amir?
Jwb :
Tulis semua kemungkinan dari perolehan dan menuliskannya secara teratur
dalam tabel
5000
10.000
50.000
∑
3
0
0
15.000
0
3
0
30.000
0
0
3
150.000
2
1
0
20.000
0
1
2
110.000
2
0
1
60.000
1
0
2
105.000
1
2
0
25.000
0
2
1
70.000
1
1
1
65.000
2. Dengan menggunakan uang 1 ribu rupiah, 5 ribu rupiah dan 10 ribu rupiah,
berapa banyak cara untuk memperoleh uang 20 ribu rupiah .
Dit : berapa banyak cara untuk memperoleh uang 20.000
Jawab :
No
1000
5000
10.000
Jumlah
1.
2
20.000
2.
2
1
20.000
3.
5
1
1
20.000
4.
4
20.000
5.
5
3
20.000
6.
10
2
20.000
7.
15
1
20.000
8.
20
20.000
Jadi, ada 8 cara untuk memperoleh uang 20.000
3. Berapa banyak bilangan yang lebih besar dari 5600 dan dibuat dari angka
2,5,6 dan 9.
Jawab : Dari 5600
Dari angka 2,5,6,9
Posisi 1_ 2_ 3_ 4_
1. Angka posisi ke 1 dapat diisi dengan 3 cara (5,6,9)
2. Angka posisi ke 2 dapat diisi dengan 2 cara (6,9)
3. Angka posisi ke 3 dapat diisi dengan 4 cara (2,5,6,9)
4. Angka posisi ke 4 dapat diisi dengan 4 cara (2,5,6,9)
Maka banyak bilangan 3×2×4×4=96
4. Berapa banyak bilangan yang habis dibagi 5 dan dibuat dari angka 2,6,5,9.
Bagaimana jika angka tidak berulang ?
Jawab: Untuk membuat angka 2,6,5,9 ini syaratnya harus habis dibagi
5.Maka angka yang harus ditaro dibelakang adalah angka 5 agar habis dibagi
5 .kemudian kita masukan kedalam rumus kotak:
Jumlah angka yang harus dibuat ada 4 jadi kita buat kotaknya 4 kemudian
masukan angka 5 dikotak terakhir.
5
a) Setelah angka 5 dimasukan kedalam kotak maka sisa angkanya tinggal 3 jadi
kita bikin 3 kotak lagi
b) Untuk mengisi kotak pertama kita hitung jumlah angkanya ada
berapa,begitupun kotak selanjutnya,
c) 2, 6, 9, 5 : jumlah sisa angka adalah 3 maka kita masukan angka 3 kedalam
kotak pertama kemudian kita pilih angka (bebas mau pilih angka 2,6 atau 9)
untuk kotak pertama.misal kita ambil angka 6
d) Selanjutnya untuk mengisi kotak kedua kita hitung lagi jumlah sisa angka
yang belum dimasukan kedalam kotak
e) 2 , 6 , 9, 5 jumlah angka sisanya ada 2 angka maka kita masukan angka 2
kedalam kotak kedua dan pilih angka (bebas mau pilih 2 atau 9) untuk kotak
kedua.misal kita ambil angka 9
f) Selanjutnya untuk mengisi kotak terakhir kita hitung kembali berapa jumlah
angka yang tersisa
g) 2, 6 . 9 , 5 jumlah sisa angkanya ada 1 maka kita masukan angka 1 kedalam
kotak terakhir dan pilih angka 2
LATIHAN 8
2
7
6
9
5
1
4
3
8
1. Tuliskan semua kemungkinan susunan persegi ajaib di atas.
Penyelesaian:
Untuk menemukan kemungkinan lain dari persegi ajaib 3x3 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, dan 9, kita dapat melakukan cara yang cukup singkat.
Dari contoh kita sudah mendapatkan satu kemungkinan susunan persegi ajaib, yaitu:
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Untuk menemukan kemungkinan lainnya, kita dapat memutar posisi persegi ajaib diatas.
2
7
6
4
9
2
8
3
4
9
5
1
3
5
7
1
5
9
4
3
8
8
1
6
6
17
82
7
5
3
2 diagonal
9
4
Kita sudah menemukan 4 kemungkinan. Bila dilihat, setiap baris, kolom dan
dari
masing-masing persegi ajaib diatas tetap berjumlah 15. Untuk kemungkinan lainnya, kita
bisa melakukan cara lain.
Pertama, tandai kolom atau baris bilangan ganjil, misalnya 1, 5, dan 9. Selanjutnya kita
dapat menukar posisi persegi ajaib tanpa mengubah posisi kolom atau baris dengan
bilangan 1, 5, dan 9.
2
7
6
4
9
2
8
3
4
6
1
8
9
5
1
3
5
7
1
5
9
7
5
3
4
3
8
8
1
6
6
7
2
2
9
4
4
3
8
2
9
4
6
7
2
8
1
6
9
5
1
7
5
3
1
5
9
3
5
7
2
7
6
6
1
8
8
3
4
4
9
2
Jadi, persegi ajaib 3x3 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 memiliki 8 kemungkinan.
2. Buatlah persegi ajaib untuk ukuran 4x4
Langkah 1 : jumlahkan angka 1-16 (jumlah kolom)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136 :2=34
Atau dengan rumus konstanta ajaib, yaitu : [n(nxn+1)]:2=
[4x(4x4+1)]:2=(4x17):2=68:2=34
Langkah 2 : tuliskan bilangan 34 sebagai jumlah dari 4 bilangan (1-16)
34=16+12+5+1
34=16+11+6+1
34=16+10+6+2
34=16+9+7+2
34=16+9+8+1
34=15+11+5+3
34=15+12+6+1
34=15+11+7+1
34=14+11+6+3
34=14+10+6+4
34=14+10+7+3
34=13+10+7+4
34=13+10+7+4
34=13+11+8+2
34=13+11+6+4
34=13+10+7+4
Langkah 3 : buatlah tabel sebagai berikut
Angka
1 2
Banyak 5 3
angka y
ang mu
ncul dal
am penj
umlaha
n
3
3
4
5
5
2
6
6
7
6
8 9 10
2 2 6
11
6
12
2
13
5
14
3
15
3
16
5
Bilangan yang muncul 6 kali yaitu bilangan 6,7,10,11 harus terletak di tengah
6
10
7
11
Sedangkan bilangan yang muncul 5 kali adalah 1,4,14,16 harus muncul di ujung kota
k
1
4
6
10
13
7
11
16
1
15 14 4
12 6
7
9
8
10 11 5
13 3
2
16
Persegi ajaib ini mempunyai beberapa krmungkinan, silahkan dicoba!
3.Carilah persegi ajaib berukuran 3x3 dengan menggunakan angka
3,5,7,9,11,13,15,17,19
3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 99 : 3 = 33
7
13
5
3
11
19
17
9
15
15
5
19
13
3
11
9
17
7
LATIHAN 9
1. Buktikan bahwa jumlah bilangan pada baris ke-n di segitiga Pascal adalah
2n.
Penuntun: Ubah menjadi soal menyusun baris ke n.
Jawaban
Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomornomor dalam barisan ganjil diatur agar terkait dengan nomor-nomor baris genap.
Kontruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol,
hanya tulis nomor 1. Kemudian, baris pertama sampai seterusnya diawali dan diakhiri
dengan angka 1, sudah ada hukumnya. Maka akan menjadi seperti berikut:
1
1
1
1
= 20
1
2
3
= 21
1
3
= 22
1
=
23
1
=2
4
1
5
5
=2
Ubah menjadi soal menyusun baris ke-n
2+4+8+16+32+…+…+n
Un = a.rn-1
Diketahui:
a= 2
𝑈2 4
r= = = 2
𝑈1 2
Un = a.rn-1
Un = 2. 2n-1
Un = 2.2n.2-1
2
Un = 2 .2n
Un = 2n
Un = a.rn-1
U6 = 2.26-1
U6 = 2.25
U6 = 2.32
U6 = 64
Un = 2n
U6 = 26
U6 = 64
6
4
1
4
10
10
5
1
LATIHAN 10
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real 𝑥, 𝑦 berlaku 2𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2...
Jawaban : Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional didalamnya sudah
mencakup bilangan-bilangan seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan
cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari
bilangan rasional tersebut.
Disini pembuktiannya kita ambil memakai bilangan asli,
Misalnya : 𝑥=5
𝑦=7
2𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2=2.5.7 ≤ 52 + 72
=70 ≤ 25 + 49
=70 ≤ 74
2. Misalkan a,b dan c menyatakan sisi dari suatu segitiga ABC, tunjukkan bahwa
3 (ab+bc+ca) < (a+b+c)2 < 4 (ab+bc+ca)
Jawaban : Misalkan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi yang sisinya sama
panjang.
Sisi a = 3 cm
Sisi b = 3 cm
Sisi c = 3 cm
3 (3.3+3.3+3.3) < (3+3+3)2 < 4 (3.3+3.3+3.3)
3 (27) < (81) < 4 (27)
81 < 81 < 108
LATIHAN 11
1. Di laci lemari terdapat 6 pasang kaos kai berwarna biru yang semuanya sama,
dan juga terdapat 6 pasang kaos kaki berwarna hitam. Tentukan berapa
minimal kaos kaki yang harus diambil agar sekali ambil pada saat lampu mati
akan memperoleh satu pasang.
Jawaban: Jawaban: Ini menggunakan prinsip sarang burung. Kita anggap
warna pada kaos kaki adalah sarang burung maka n=2, dan jumlah kaos kaki
dalam sekali ambil adalah jumlah burungnya. Maka dengan menggunakan
prinsip sarang burung bisa dihitung n+1 = 2+1 = 3. Minimal 3 kaos kaki dalam
sekali ambil agar diperoleh satu pasang kaos kaki.
2. Jika pada laci terdapat 4 pasang kaos kaki hitam, 5 pasang kaos kaki hijau dan
3 pasang kaos kaki biru, tentukan berapa minimal kaos kaki yang harus diambil
agar sekali ambil pada saat lampu mati akan memperoleh satu pasang kaos
kaki.
Jawaban: Ini juga menggunakan prinsip sarang burung. Kita anggap warna
pada kaos kaki adalah sarang burung maka n=3, dan jumlah kaos kaki dalam
sekali ambil adalah jumlah burungnya. Maka dengan menggunakan prinsip
sarang burung bisa dihitung n+1 = 3+1 = 4. Minimal 4 kaos kaki dalam sekali
ambil agar diperoleh satu pasang kaos kaki.
PENDALAMAN MATEMATIKA DI SD
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pendalaman Matematika SD
Dosen pengampu Dr. Hafiziani Eka Putri., M.Pd.
Disusun oleh:
5A PGSD
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
KAMPUS PURWAKARTA
2016
LATIHAN 1
1. Jika m, n dua bilangan bulat berurutan, maka 4 membagi habis m 2 + n2 – 1.
Jawaban :
Karena m, n dua bilangan bulat berurutan dimisalkan :
m=x
n=x+1
jadi kalau dimisalkan x = 1 maka :
m=x=1
n=x+1
=1+1
=2
4 membagi habis m2 + n2 – 1 berarti bahwa 4 merupakan faktor dari hasil
persamaan tersebut atau persamaan tersebut merupakan kelipatan dari 4.
Untuk membuktikannya dapat dengan substitusikan m dan n ke persamaan
m 2 + n2 – 1 = 12 + 22 – 1
=1+4–1
=4
4 membagi habis :
4
4
= 1, dikatakan membagi habis karena sisa pembagiannya
adalah nol atau hasil subtitusi m n ke persamaan tersebut ketika dibagi 4 terbagi
sama rata. Sesuai dengan rumus keterbagian dimana
𝑎
𝑏
= 𝑐. 𝑏 + 𝑠, 𝑠 = 0
Dimana a = bilangan yang dibagi, b = bilangan yang membagi, c = hasil
pembagian, dan s = sisa pembagian.
Jadi dapat ditulis :
4
4
=1x4+0
Atau untuk membuktikan 4 membagi habis persamaan m 2 + n2 – 1 bisa juga
dengan cara mengalikan persamaan dengan 4 :
4 (m2 + n2 – 1) = 4 ((x)2 + (x+1)2 – 1))
= 4 ( x2 + x2 + 2x + 1 – 1 )
= 4x2 + 4x2 + 8x
= 8x2 + 8x
Jika x = 1 maka 8(1)2 + 8(1) = 16,
16
4
= 4 x 4 + 0 berarti habis dibagi 4 atau 4
membagi habis persamaan tersebut.
Jadi m, n bisa bilangan bulat berapapun yang penting berurutan dan ketika
m + n hasilnya bilangan ganjil. Sehingga ketika disubstitusikan ke persamaan m 2
+ n2 – 1 habis dibagi 4.
2. tiga garis l, m, n di bidang. Jika l dan m tegak lurus n, buktikan bahwa l sejajar m
Diketahui:
l
m
n
Dikatakan tegak lurus yaitu jika membentuk sudut 90°
Dikatakan sejajar apabila ditarik garis sacara terus menerus tidak akan
berpotongan dan mempunyai kemiringan yang sama
Jadi, jika l dan m tegak lurus n, buktikan bahwa l sejajar m, dapat
digambar seperti dibawah ini:
l
m
n
3. Jika a,b,c bilangan bulat ganjil, buktikan bahwa ax2+bx+c=0 tak mempunyai
akar rasional.
Jawab :
Karena akan membuktikan jenis akar persamaan kuadrat, bisa memakai
rumus mencari diskriminan.
D = b2 - 4ac
Misalnya,
a= 3
b= 9
c= 5
maka,
D = b2 - 4ac
= 92 - 4.3.5
= 81 - 60
D = 21
Karena D bukan bilangan kuadrat, maka persamaan diatas tak memiliki akar
rasional.
4. Buktikan bahwa aksioma kesejajaran Hilbert ekivalen dengan pernyataan jika t
garis transversal terhadap l dan m setra l sejajar m, dan t tegak lurus dengan l
maka t tegak lurus dengan m.
Jawab
Diketahui :
t garis transversal (sebuah garis yang memotong dua buah atau lebih garis yang
berada pada ssatu bidang dan memiliki dua titik potong atau lebih)
Ditanyakan : pembuktian t tegak lurus dengan m
Penyelesaian:
Dari definisi tersebut gambar garis t yang memotong garis m dan l.
m
┘
m
t
t
l
l
┘
LATIHAN 2
1. Diketahui bilangan 1,2,3,4,5,6. Tuliskan setiap bilangan tersebut pada satu
lingkaran sehingga tiap sisi segitiga sama.
Jawaban:
Jumlah 11
6
3
1
5
2
4
Jumlah 9
3
4
2
5
6
1
2. Gunakan empat angka 4 dan beberapa tanda +, x, -, :, dan () untuk
menuliskan bilangan 0 sampai dengan 9
Langkah pertama yaitu membuat kerangka penghitungan
0 = 4-4, 8-8
1 = 5-4, 4:4, 16:16, 8:8
2 = 6-4, 4:2, 8:4, 16:8, 4-2
3 = 7-4, 12:4
4 = 8-4, 16:4, 6-2, 8-4
5 = 9-5, 20:4, 4+1
6 = 10-4, 24:4, 4+2, 8-2, 5+1
7 = 11-4, 28:4, 8-1, 5+2, 6+1, 4+3
8 = 12-4, 32:4, 7+1, 6+2, 9-1, 6+2, 4+4
9 = 13-4, 36:4, 5+4, 8+1
Langkah kedua yaitu mengkombinasikan tanda tada operasi hitung tersebut
dengan empat angka 4
Angka 0
4+4-4-4 = 0
( 4+4 ) – ( 4+4 ) = 0
((4x4):4) – 4 = 0
Angka 1
((4x4) : 4) : 4 = 1
( 4+4 ) : ( 4+4 ) = 1
4 + ( 4: 4 ) – 4 = 1
Angka 2
(4 x 4) : (4 + 4) =2
4 – ((4 + 4) : 4) = 2
Angka 3
(4+4+4) : 4 = 3
((4 x 4) – 4) : 4 =3
Angka 4
4 – ((4-4) x 4) = 4
4 + ((4-4) : 4) = 4
Angka 5
((4 x 4) + 4) : 4 = 5
((4 x 4) : 4) + ( 4:4 ) = 5
Angka 6
4 + (( 4+4) : 4) = 6
Angka 7
4 + 4 – ( 4: 4 ) = 7
(44 : 4) – 4 = 7
Angka 8
( 4+4+4) – 4 = 8
(4 x 4) – (4+4) = 8
Angka 9
4+4+ (4:4) = 9
((4:4)+4) + 4 = 9
3. Harga karcis untuk dewasa adalah Rp 6000,00 dan harga karcis untuk anak
Rp 4000,00. Tuti dapat menjual 13 tiket dan memperoleh uang Rp
66.000,00. Berapa tiket dewasa dan tiket anak yang terjual ?
Menjawab :
Dik
Dit
: karcis dewasa = Rp 6000,00
Karcis anak = Rp 4000,00
Terjual
= 13 tiket
Memperoleh = Rp 66.000,00
: berapa tiket dewasa dan anak yang terjual ?
Jawab :
X
= dewasa
Y
= anak
6000 X + 4000 Y = 66.000
6 X + 4 Y = 66 ...... Persamaan (i)
X + Y = 13 ........ Persamaan (ii)
6 X + 4 Y = 66
x1
6 X + 4 Y = 66
X + Y
x4
4 X + 4 Y = 52
= 13
6 X + 4 Y = 66
4 X + 4 Y = 52
2X
X
= 14
= 14/ 2
X
=7
X + Y = 13
7 + Y = 13
Y = 13 – 7
Y = 6
Jadi, tiket yang terjual untuk yang dewasa 7 tiket dan yang anak 6 tiket.
5.Suatu toko sepeda (roda dua) dan becak (tiga roda) menerima 27 sadel (tempat
duduk) dan 60 roda. Hitung jumlah sepeda dan becak
Jawaban:
Diketahui: 27 sadel
60 roda
Sepeda (1) Becak (1)
= Total jumlah sepeda+becak
Sepeda (2) Becak (3)
= Total jumlah roda sepeda+becak
Ditanyakan: Jumlah sepeda dan becak
Penyelesaian: menggunakan aljabar metode eliminasi
Misal : Sepeda = x
Becak = y
Langkah pertama mencari jumlah sepeda dengan pengandaian tersebut
x + y = 27 dikali 3
2x + 3y = 60 dikali 1
3x + 3y = 81
2x + 3y = 60
x
= 21
jumlah sepeda
kemudian masukan jumlah sepeda yang sudah ditemukan untuk mencari jumlah
becak
x + y = 27
21 + y = 27
y = 27 – 21
=6
jumlah becak
Pembuktian:
21 x 2 = 42
6 x 3 = 18
60
Jadi jumlah sepeda adalah 21, sedangkan jumlah becak adalah 6
LATIHAN 3
1. Amir, Budi, Cici, Diri dan Erna mengikuti pemilihan walikota. Amir mendapat
suara 200 lebih banyak dari Budi dan 4000 kurang dari Cici. Erna menerima 2000
suara kurang dari Dodi dan 5000 suara lebih banyak dari pada Budi. Tentukan
urutan mereka.
Dik :
A = B + 2000
A = C - 4000
E = D - 2000
E = 5000 + B
Jawaban
• A= B + 2000
•B= E - 5000
B = B + 5000- 5000
B =B
•D = B + 5000 + 2000
D = B + 7000
•C = B + 2000 + 4000
C = B + 6000
•E = B + 5000
Jadi, urutannya adalah : B - A - E - C - D
2. Dapatkah kita memotong piza dalam bentuk lingkaran dengan empat potongan
menjadi 11 potong ( tak perlu sama besar)
Jawaban
Ya, kita dapat memotong pizza menjadi 11 potong. Dibawah ini bagian-bagiannya:
Jadi, dapat diperoleh 5 bagian 45% dan 6 Bagian 22,5%
3. Suatu tetrimino adalah bentuk yang dibuat dari empat persegi dimana setiap
persegi harus berdampingan sepanjang salah satu sisinya.
Bukan tetrimino
Tuliskan Semua tetrimino.
Jawab
Tetrimino
LATIHAN 4
1. Perhatikan pola yang ada, kemudian dan isilah bilangan berikut berdasarkan
pola yang ada…
(a) 2, 5, 8, 11, …, …., …
(b) 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, …, …, ….
(c) 2, 6, 18, 54, …, …, …
Penyelesaian :
a. 2,
5,
+3
b. 1,
8,
+3
1,
0
+3
3,
3,
+2
14,
11,
0
+3
6,
+3
+1
c. 2,
6,
x3
18,
x3
20
+3
0
x3
+3
6,
+1
162, 486,
54,
x3
17,
x3
10,
10,
+4
15,
0
15
+5
0
+1
1458
x3
2. Tuliskan 3 diagram berikutnya
a)
b)
c)
d)
Tuliskan barisan bilangan yang berkaitan dengan diagram diatas!
Tuliskan suku ke 10. Suku ke 100
Kapan suku tersebut besarnya 2n.
Kapan suku tersebut besarnya 2402
Penyelesaian :
Pola
Aritmatika : beda antar satuan b = U2 -U 1
untuk aritmatika sendiri, memiliki pola barisan bilangan persegi,
segitiga, segitiga pasca, fibonasi
Geometri : rasio antar satuan (r) =
𝑈2
𝑈1
a) Untuk soal nomor 2, merupakan deret aritmatika dan deret diatas berkaitan
dengan deret genap yang membentuk pola persegi
b) Untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :
Un = a + (n-1)b, untuk n bilangan asli ; b = U2-U1
Keterangan :
Un = suku ke n dari suatu barisan
a = suku pertama dari suatu barisan
b = selisih bilangan pada barisan aritmatika (beda)
u = urutan baris
+2
Deret
genap 12
+2
2
4
6
8
10
U1
U6
U2
U3
U4
U5
Un = a + (n-1)b
Un = a + (n-1)2
U10 = 2 + (10-1)2
= 2 + (9)2
= 2 + 18
= 20
c) Kapan suku tersebut besarnya 2n.
b = U2-U1
b = 4-2
=2
U100 = 2 + (100-1)2
= 2 + (99)2
= 2 + 198
= 200
Kapan suku 2n? Setiap mencari suku lainnya
Rumus :
Un = a + (n-1)b
b=2
Un = 2n
Un = a + (n-1)2
U100 = 2.100
= 2 + (n-1)2
= 200
= 2 + 2n – 2
200 = 2n
Un = 2n
200
n=
= 100
2
Jadi 200 = urutan ke-100
pada suku ke-100 besarnya 200
d) Kapan suku tersebut besarnya 2402.
Un = 2n
2n = 2402
U1201 = 2 + (1201-1)2
2402
n=
2
n = 1201
= 2 + (1200)2
= 2 + 2400 = 2402
Jadi, pada suku ke-1201 besarnya 2402
3. Tuliskan diagram 3 kelmopok berikutnya
(a) Tuliskan barisan bilangan yang berkaitan dengan diagram di atas!
(b) Tuliskan suku ke 10. Suku ke 100.
(c) Kapan suku tersebut besarnya 101?
Penyelesaian :
(a) Pada gambar diatas menunjukkan bahwa barisan bilangan tersebut termasuk
Barisan Aritmatika (suatu barisan bilangan degan pola tertentu berupa
penjumlahan yang mempunyai beda/selisih yang sama) dan deret bilangan
aritmatikanya adalah bilangan ganjil yang membentuk pola persegi
+3
+3
+3
2
5
8
11
2. Untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :
Un = a + (n-1) b
Jawab:
U2 – U1
=5 – 2
=3
Un = a + (n – 1) . b
U10 = 2 + (10 – 1) . 3
U10 = 2 + 27
U10 = 29
U100 = a + (n – 1) . b
U100 = 2 + (100 – 1) . 3
U100 = 2 + (99) . 3
U100 = 2 + 297
U100 = 299
3. U101 = 2 + (n – 1) . b
U101 = 2 + (n – 1) . 3
U101 = 2 + 3n – 3
U101 = 3n – 1
U102 = 3n
102
n =
3
= 34
4. barisan bilangan di soal no 1 dan 2 disebut barisan aritmetika. Isilah titik berikut
dengan bilangan jika barisan berbentuk barisan aritmetika.
(a) 5,7,9,…..,35
Jawaban :
a= 5
b=2
an = a+(n - 1) b
= 5+(4 - 1) . 2
= 5+ (3 . 2)
=5+6
= 11
a=5
b=2
an = a + (n-1) b
= 5 + (5 - 1) .2
= 5 + (4 . 2)
=5+8
= 13
(b) 3,7,11,…,67
Jawaban :
a=3
b=4
an = a+ (n-1) .b
= 3 + (4 - 1) .4
= 3 + (3 . 4)
= 3 + 12
= 15
a=3
b=4
an = a + (n-1).b
= 3+ (5 - 1) . 4
= 3+ (4 . 4)
= 3+ 16
= 19
a=3
b=4
an = a + ( n - 1) . b
= 3+ ( 6 - 1) . 4
= 3 + (5 . 4)
= 3 + 20
= 23
LATIHAN 5
1. Hitunglah jumlah bilangan berikut
a. 5+7+9+….+35
b. 1+7+13+….+73
Penyelesaian :
a. Dik : Un = 35
a=5
b = 7-5 = 2
Ditan : Sn ?
Jawab : Un = a + ( n – 1 ) b
35 = 5 +( n – 1 ) 2
35 = 5 + 2n – 2
35 = 2n + 3
35 – 3= 2n + 3 – 3
32=2n
32 2𝑛
=
2 2
16=n
1
Sn = 2n (a + Un)
1
= 2 16 (5 +35)
= 8 (40)
= 320
b. 1 + 7 + 13 + …..+73
Dik : Un = 73
a=1
b=6
Ditan : Sn ?
Jawab : Un = a + (n – 1) b
73= 1 + (n – 1) 6
73 = 1 + 6n – 6
73 = 6n – 5
73 + 5 = 6n – 5 + 5
78 = 6n
78 6𝑛
= 6
6
13 = n
1
Sn = n (a + Un)
2
1
2.
1=1
= 2 13 ( 1 + 73 )
= 6,5 (74)
= 481
isilah bagian kosong untuk meneruskan pola berikut.
Pola tengah ini di kuadratkan ( 2² ) akan menghasilkan penjumlahan dari angkaangka berurutan
1+
+1=4
2
1+2+
(3²)
+2+1=9
3
3
1+2+3+
4
1+2+3+4+
5
(4²)
+3+2+1= 16
(5²)
+4+3+2+1= 25
a. Hitunglah jumlah bilangan berikut :
1+2+3+.......+99 +
100
(100²)
+99 +........+3+2+1 = 100²
= 10.000
b. Hitunglah jumlah bilangan berikut
1 + 2 + 3 + ............... + (n-1) +
n
+ (n-1) + ...... + 3 + 2 + 1 = n²
Jadi,penjumlahan dari angka-angka berurutan itu akan membentuk pola
tengah. Polah tengah ini jika dikuadratkan sama saja saja hasilnya. Yaitu hasil
kuadrat pola tengahdengan hasil penjumlah angka-angka berurutan.
3. Letakkan angka 4, 6, 7, 8, dan 9 pada lingkaran agar jumlah horizontal dan
vertikal sama besar yaitu 19.
Apakah hanya ada satu jawaban? Apakah ada jawaban lain? Sebutkan jika ada
jawaban lain.
Jawab : 1.
2.
6
7
7
4
8
9
3.
6
8
4
9
6
4
4.
8
8
9
4
7
7
9
6
LATIHAN 6
1. Bilangan 10 dapat ditulis sebagai jumlah empat bilangan ganjil dengan tiga
cara. Misalkan saja, (i)= 7+1+1+1; (ii) 10= 5+3+1+1 dan (iii) 10= 3+3+3+1.
Bagaimana dengan bilangan 20 ditulis dalam jumlah delapan bilangan ganjil?
a. Ada berapa cara. Carilah semua cara yang mungkin.
b. Selesaikan dengan memandang lebih sederhana, yaitu banyak angka
satuan yang trelibat. Jika angka satuan yang terlibat hanya ada 8, sekali
lagi selesaikan masalah di atas. Lakukan pula jika angka satuan hanya ada
7, 6 dan seterusnya.
Jawaban:
a. Jumlah 8 bilangan ganjil
1. 3+3+3+3+3+3+1+1
2. 5+3+3+3+3+1+1+1
3. 5+5+5+1+1+1+1+1
4. 7+7+1+1+1+1+1+1
5. 7+3+3+3+1+1+1+1
6. 7+5+3+1+1+1+1+1
7. 9+3+3+1+1+1+1+1
8. 13+1+1+1+1+1+1+1
b.Jumlah 6 bilangan ganjil
1. 5+3+3+3+3+3
2. 7+3+3+3+3+1
3. 7+5+3+3+1+1
4. 7+7+3+1+1+1
5.11+3+3+1+1+1
6.11+5+1+1+1+1
7.13+3+1+1+1+1
8. 15+1+1+1+1+1
c. Jumlah 4 bilangan ganjil
1. 7+7+3+3
2. 7+5+5+3
3. 7+7+5+1
4. 11+5+3+1
5. 13+3+3+1
6. 15+3+1+1
d. Jumlah 10 bilangan ganjil
1. 3+3+3+3+3+1+1+1+1+1
2. Tuliskan semua susunan lima huruf yang dapat dibuat dari huruf yang ada
pada kata “kanan”.
Diketahui : n = 5 (jumlah hurufnya)
R1 = 2 (huruf yang sama “a”)
R2 = 2 (huruf yang sama “n”)
R3= 1( huruf “k”)
Ditanya : semua susunan huruf
𝑛!
Dijawab : p = 𝑅1!𝑅2!
5!
p = 2!2!1!
5×4×3×2×1
P = 2×1.2×1𝑋1
P = 30
˸· Susunan kata yang dapat terbentuk ada 30 kata terdiri dari :
1. Kanna
16. Nnaak
2. Kaann
17. Naakn
3. Knaan
18. Akann
4. Knnaa
19. Aknan
5. Knana
20. Aaknn
6. Nanka
21. Aankn
7. Nanak
22. Annka
8. Nakan
23. Annak
9. Nakna
24. Ankna
10. Naank
25. Ankan
11. Nkaan
26. Anakn
12. Nnkaa
27. Anank
13. Nnaka
28. Aannk
14. Nkana
29. Aknna
15. Nknaa
30. Kanan
3. Carilah angka-angka yang hilang pada bilangan 12 _ _ _ _ 6 terdiri atas 7
angka sehingga merupakan hasil kali dari tiga bilangan asli berturut-turut.
Jawab :
Karena bilangan 12 _ _ _ _ 6 itu kalau dipenggal berarti 1.2 _ _ . _ _ 6 yaitu satu
juta dua ratus (…) (…) (…) (…) enam. Berarti dalam kisaran satu juta.
Coba kita cari perkalian 3 bilangan agar jumlahnya menjadi 1.000.000
100 x 100 x 100 = 1.000.000
Ternyata untuk mengetahui jumlah perkalian menjadi satu juta berada dikisaran 100
yaitu 101, 102, dst…
Namun cluenya adalah hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan sehingga kita
coba dari perkalian 101 hingga 109 secara berurutan dimana angka terakhir atau
satuannya enam (6) dan angka pertama satu (1) dan angka kedua adalah dua (2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (sebagai angka terakhir/satuan)
Agar lebih mudah kita coba cari angka yang hasil kalinya di angka terakhirnya
jumlanya 6
Ternyata apabila angka terakhirnya 1 x 2 x 3 = 6 dan kita masukkan angka tersebut
menjadi
101 x 102 x 103 (hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan)
Dan hasilnya memang angka terakhirnya 6 namun angka yang kedua tidak
menunjukkan angka 2
Hasil dari perkalian 101 x 102 x 103 adalah 1.061.106 (salah)
Lalu kita coba lagi 102 x 103 x 104 ternyata angka terakhirnya bukan 6
Lalu kita coba lagi diangka yang dapat menghasilkan angka 6 (di satuannya)
106 x 107 x 108 menghasilkan 1.224.936 (benar)
Jadi, hasil kali dari tiga bilangan asli berurutan adalah 106 x 107 x 108
Dan angka yang hilang adalah 2 , 4 , 9 dan 3
LATIHAN 7
1. Amir membawa uang 3 lembar yang diambil dari uang 5 ribu rupiah, 10 ribu
rupiah, dan 50 ribu rupiah. Tentukan kemungkinan jumlah uang yang dibawa
Amir!
Jawaban:
Dik : Amir 3 lembar uang
5000
10.000
50.000
Dit : Jumlah kemungkinan uang yang dibawa Amir?
Jwb :
Tulis semua kemungkinan dari perolehan dan menuliskannya secara teratur
dalam tabel
5000
10.000
50.000
∑
3
0
0
15.000
0
3
0
30.000
0
0
3
150.000
2
1
0
20.000
0
1
2
110.000
2
0
1
60.000
1
0
2
105.000
1
2
0
25.000
0
2
1
70.000
1
1
1
65.000
2. Dengan menggunakan uang 1 ribu rupiah, 5 ribu rupiah dan 10 ribu rupiah,
berapa banyak cara untuk memperoleh uang 20 ribu rupiah .
Dit : berapa banyak cara untuk memperoleh uang 20.000
Jawab :
No
1000
5000
10.000
Jumlah
1.
2
20.000
2.
2
1
20.000
3.
5
1
1
20.000
4.
4
20.000
5.
5
3
20.000
6.
10
2
20.000
7.
15
1
20.000
8.
20
20.000
Jadi, ada 8 cara untuk memperoleh uang 20.000
3. Berapa banyak bilangan yang lebih besar dari 5600 dan dibuat dari angka
2,5,6 dan 9.
Jawab : Dari 5600
Dari angka 2,5,6,9
Posisi 1_ 2_ 3_ 4_
1. Angka posisi ke 1 dapat diisi dengan 3 cara (5,6,9)
2. Angka posisi ke 2 dapat diisi dengan 2 cara (6,9)
3. Angka posisi ke 3 dapat diisi dengan 4 cara (2,5,6,9)
4. Angka posisi ke 4 dapat diisi dengan 4 cara (2,5,6,9)
Maka banyak bilangan 3×2×4×4=96
4. Berapa banyak bilangan yang habis dibagi 5 dan dibuat dari angka 2,6,5,9.
Bagaimana jika angka tidak berulang ?
Jawab: Untuk membuat angka 2,6,5,9 ini syaratnya harus habis dibagi
5.Maka angka yang harus ditaro dibelakang adalah angka 5 agar habis dibagi
5 .kemudian kita masukan kedalam rumus kotak:
Jumlah angka yang harus dibuat ada 4 jadi kita buat kotaknya 4 kemudian
masukan angka 5 dikotak terakhir.
5
a) Setelah angka 5 dimasukan kedalam kotak maka sisa angkanya tinggal 3 jadi
kita bikin 3 kotak lagi
b) Untuk mengisi kotak pertama kita hitung jumlah angkanya ada
berapa,begitupun kotak selanjutnya,
c) 2, 6, 9, 5 : jumlah sisa angka adalah 3 maka kita masukan angka 3 kedalam
kotak pertama kemudian kita pilih angka (bebas mau pilih angka 2,6 atau 9)
untuk kotak pertama.misal kita ambil angka 6
d) Selanjutnya untuk mengisi kotak kedua kita hitung lagi jumlah sisa angka
yang belum dimasukan kedalam kotak
e) 2 , 6 , 9, 5 jumlah angka sisanya ada 2 angka maka kita masukan angka 2
kedalam kotak kedua dan pilih angka (bebas mau pilih 2 atau 9) untuk kotak
kedua.misal kita ambil angka 9
f) Selanjutnya untuk mengisi kotak terakhir kita hitung kembali berapa jumlah
angka yang tersisa
g) 2, 6 . 9 , 5 jumlah sisa angkanya ada 1 maka kita masukan angka 1 kedalam
kotak terakhir dan pilih angka 2
LATIHAN 8
2
7
6
9
5
1
4
3
8
1. Tuliskan semua kemungkinan susunan persegi ajaib di atas.
Penyelesaian:
Untuk menemukan kemungkinan lain dari persegi ajaib 3x3 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, dan 9, kita dapat melakukan cara yang cukup singkat.
Dari contoh kita sudah mendapatkan satu kemungkinan susunan persegi ajaib, yaitu:
2
7
6
9
5
1
4
3
8
Untuk menemukan kemungkinan lainnya, kita dapat memutar posisi persegi ajaib diatas.
2
7
6
4
9
2
8
3
4
9
5
1
3
5
7
1
5
9
4
3
8
8
1
6
6
17
82
7
5
3
2 diagonal
9
4
Kita sudah menemukan 4 kemungkinan. Bila dilihat, setiap baris, kolom dan
dari
masing-masing persegi ajaib diatas tetap berjumlah 15. Untuk kemungkinan lainnya, kita
bisa melakukan cara lain.
Pertama, tandai kolom atau baris bilangan ganjil, misalnya 1, 5, dan 9. Selanjutnya kita
dapat menukar posisi persegi ajaib tanpa mengubah posisi kolom atau baris dengan
bilangan 1, 5, dan 9.
2
7
6
4
9
2
8
3
4
6
1
8
9
5
1
3
5
7
1
5
9
7
5
3
4
3
8
8
1
6
6
7
2
2
9
4
4
3
8
2
9
4
6
7
2
8
1
6
9
5
1
7
5
3
1
5
9
3
5
7
2
7
6
6
1
8
8
3
4
4
9
2
Jadi, persegi ajaib 3x3 dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 memiliki 8 kemungkinan.
2. Buatlah persegi ajaib untuk ukuran 4x4
Langkah 1 : jumlahkan angka 1-16 (jumlah kolom)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136 :2=34
Atau dengan rumus konstanta ajaib, yaitu : [n(nxn+1)]:2=
[4x(4x4+1)]:2=(4x17):2=68:2=34
Langkah 2 : tuliskan bilangan 34 sebagai jumlah dari 4 bilangan (1-16)
34=16+12+5+1
34=16+11+6+1
34=16+10+6+2
34=16+9+7+2
34=16+9+8+1
34=15+11+5+3
34=15+12+6+1
34=15+11+7+1
34=14+11+6+3
34=14+10+6+4
34=14+10+7+3
34=13+10+7+4
34=13+10+7+4
34=13+11+8+2
34=13+11+6+4
34=13+10+7+4
Langkah 3 : buatlah tabel sebagai berikut
Angka
1 2
Banyak 5 3
angka y
ang mu
ncul dal
am penj
umlaha
n
3
3
4
5
5
2
6
6
7
6
8 9 10
2 2 6
11
6
12
2
13
5
14
3
15
3
16
5
Bilangan yang muncul 6 kali yaitu bilangan 6,7,10,11 harus terletak di tengah
6
10
7
11
Sedangkan bilangan yang muncul 5 kali adalah 1,4,14,16 harus muncul di ujung kota
k
1
4
6
10
13
7
11
16
1
15 14 4
12 6
7
9
8
10 11 5
13 3
2
16
Persegi ajaib ini mempunyai beberapa krmungkinan, silahkan dicoba!
3.Carilah persegi ajaib berukuran 3x3 dengan menggunakan angka
3,5,7,9,11,13,15,17,19
3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 99 : 3 = 33
7
13
5
3
11
19
17
9
15
15
5
19
13
3
11
9
17
7
LATIHAN 9
1. Buktikan bahwa jumlah bilangan pada baris ke-n di segitiga Pascal adalah
2n.
Penuntun: Ubah menjadi soal menyusun baris ke n.
Jawaban
Barisan segitiga Pascal umumnya dihitung dimulai dengan baris kosong, dan nomornomor dalam barisan ganjil diatur agar terkait dengan nomor-nomor baris genap.
Kontruksi sederhana pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan nol,
hanya tulis nomor 1. Kemudian, baris pertama sampai seterusnya diawali dan diakhiri
dengan angka 1, sudah ada hukumnya. Maka akan menjadi seperti berikut:
1
1
1
1
= 20
1
2
3
= 21
1
3
= 22
1
=
23
1
=2
4
1
5
5
=2
Ubah menjadi soal menyusun baris ke-n
2+4+8+16+32+…+…+n
Un = a.rn-1
Diketahui:
a= 2
𝑈2 4
r= = = 2
𝑈1 2
Un = a.rn-1
Un = 2. 2n-1
Un = 2.2n.2-1
2
Un = 2 .2n
Un = 2n
Un = a.rn-1
U6 = 2.26-1
U6 = 2.25
U6 = 2.32
U6 = 64
Un = 2n
U6 = 26
U6 = 64
6
4
1
4
10
10
5
1
LATIHAN 10
1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real 𝑥, 𝑦 berlaku 2𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2...
Jawaban : Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional didalamnya sudah
mencakup bilangan-bilangan seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan
cacah, bilangan prima, serta bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari
bilangan rasional tersebut.
Disini pembuktiannya kita ambil memakai bilangan asli,
Misalnya : 𝑥=5
𝑦=7
2𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2=2.5.7 ≤ 52 + 72
=70 ≤ 25 + 49
=70 ≤ 74
2. Misalkan a,b dan c menyatakan sisi dari suatu segitiga ABC, tunjukkan bahwa
3 (ab+bc+ca) < (a+b+c)2 < 4 (ab+bc+ca)
Jawaban : Misalkan segitiga ABC adalah segitiga sama sisi yang sisinya sama
panjang.
Sisi a = 3 cm
Sisi b = 3 cm
Sisi c = 3 cm
3 (3.3+3.3+3.3) < (3+3+3)2 < 4 (3.3+3.3+3.3)
3 (27) < (81) < 4 (27)
81 < 81 < 108
LATIHAN 11
1. Di laci lemari terdapat 6 pasang kaos kai berwarna biru yang semuanya sama,
dan juga terdapat 6 pasang kaos kaki berwarna hitam. Tentukan berapa
minimal kaos kaki yang harus diambil agar sekali ambil pada saat lampu mati
akan memperoleh satu pasang.
Jawaban: Jawaban: Ini menggunakan prinsip sarang burung. Kita anggap
warna pada kaos kaki adalah sarang burung maka n=2, dan jumlah kaos kaki
dalam sekali ambil adalah jumlah burungnya. Maka dengan menggunakan
prinsip sarang burung bisa dihitung n+1 = 2+1 = 3. Minimal 3 kaos kaki dalam
sekali ambil agar diperoleh satu pasang kaos kaki.
2. Jika pada laci terdapat 4 pasang kaos kaki hitam, 5 pasang kaos kaki hijau dan
3 pasang kaos kaki biru, tentukan berapa minimal kaos kaki yang harus diambil
agar sekali ambil pada saat lampu mati akan memperoleh satu pasang kaos
kaki.
Jawaban: Ini juga menggunakan prinsip sarang burung. Kita anggap warna
pada kaos kaki adalah sarang burung maka n=3, dan jumlah kaos kaki dalam
sekali ambil adalah jumlah burungnya. Maka dengan menggunakan prinsip
sarang burung bisa dihitung n+1 = 3+1 = 4. Minimal 4 kaos kaki dalam sekali
ambil agar diperoleh satu pasang kaos kaki.