NON-EXHAUSTIVE SEARCH DENGAN TAIL-SCAN PADA ESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL BERBASIS REKONSTRUKSI SPARSE

PADA ESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL BERBASIS REKONSTRUKSI SPARSE LAPORAN KEMAJUAN 3

Oleh KOREDIANTO USMAN

NIM: 33213002 (Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Desember 2015

ESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL BERBASIS REKONSTRUKSI SPARSE

Oleh Koredianto Usman NIM: 33213002 (Program Studi Teknik Elektro dan Informatika) Institut Teknologi Bandung

Menyetujui Tim Pembimbing

Tanggal : 10 Desember 2015

Ketua,

(Prof. Andriyan Bayu Suksmono, Ph.D)

Anggota,

(Prof. Hendra Gunawan, Ph.D)

ABSTRAK

Estimasi arah kedatangan sinyal adalah teknik estimasi sudut kedatangan objek yang dideteksi dengan peralatan radar atau sonar. Teknik klasik untuk estimasi arah kedatangan antara lain adalah MVDR, MUSIC, dan ESPRIT. Peran dari Compressive Sensing (CS) adalah pengurangan jumlah sampel akuisisi pada sisi penerima. Pengurangan ini memberi dampak pada kecilnya data rate, sehingga dimungkinkan membangun sistem radar terdistribusi yang saling mengirimkan data untuk memantau daerah yang luas. Teknik terkini dalam estimasi arah kedatangan sinyal dengan compressive sensing adalah dengan metoda sparsitas sudut. Teknik ini mengasumsikan sinyal datang berasal dari beberapa sumber berbeda yang berjumlah terbatas. Teknik yang telah dikembangkan peneliti untuk skema ini adalah dengan menggunakan sensing matrix A yang tersusun atas steering vector yang berasal dari

semua sudut yang dipindai (-90 0 sampai 90 0 ). Teknik pindai pada semua sudut ini disebut sebagai exhaustive search. Teknik exhaustive search ini memiliki permasalahan pada besarnya matrik sensing A, sehingga proses rekonstruksi CS menjadi berat. Kemungkinan pemindaian pada rentang sudut yang lebih kecil (non-exhaustive search), yaitu pada sudut-sudut yang diduga mengandung sumber sinyal diusulkan pada penelitian ini. Pengujian yang dilakukan pada penelitian ini menunjukkan bahwa teknik ini memiliki tingkat keberhasilan yang baik. Masih terdapat masalah tambahan yang harus diselesaikan pada teknik non-exhaustive search yaitu rekonstruksi CS tidak konvergen jika rentang sudut pindai terlalu sempit. Penambahan pemindaian di luar area pemindaian utama (tail-scan) untuk mengatasi masalah ini juga dilakukan pada laporan ini. Di samping penelitian pada teknik tail-scan, pada Kemajuan Tahap 3 ini juga dilakukan teknik alternatif penyelesaian permasalahan rekonstruksi CS dengan algoritma baru yang disebut dengan metode titik berat. Teknik metode titik berat ini juga dibahas dalam laporan ini.

Kata kunci : compressive sensing, estimasi arah kedatangan sinyal, sparsitas, exhaustive search, non-exhaustive search, tail scan.

ii

DAFTAR ISI

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi BAB I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.3 Premis dan Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.4 Perbandingan Kemajuan 3 dengan Kemajuan sebelumnya . . . .

I.5 Publikasi terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 BAB II Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.6 Kontribusi dan Kebaruan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.1 Model matematis sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.2 Compressive Sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA . . . . . . . . . . . . . . 11

II.4 CS solver dengan CVX Programming . . . . . . . . . . . . . . . 14 BAB III Metode yang diusulkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.1 Teknik Non-Exhaustive Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.2 Teknik Tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III.3 Metode Titik Berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 BAB IV Hasil kemajuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV.1 Hal yang telah dilakukan pada semester berjalan . . . . . . . . . 28

IV.1.1 Hasil simulasi teknik non-exhaustive search dengan tail scan 28

IV.2 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scan tanpa interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV.3 Perbandingan akurasi regular dan random tail-scan dengan interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV.4 Perbandingan kegagalan konvergensi pada tail-scan . . . . . . . . 30

IV.5 Perbandingan waktu komputasi pada skema tail-scan . . . . . . . 31 BAB V Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 BAB

Lampiran A : Faktorisasi QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1 Faktorisasi QR untuk Over determined system . . . . . . . . . . 38 BAB

Penyelesaian Persamaan Underdetermined dengan faktorisai QR . . . 40

2 QR Faktorisasi dengan Transformasi Householder . . . . . . . . . 42

2.1 Prinsip: Membuat elemen nol pada vektor . . . . . . . . . 42

2.2 Pemaktoran Matrik ke komponen Q dan R . . . . . . . . 46

2.3 Contoh Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 QR dekomposisi dengan Column Pivoting . . . . . . . . . 50

2.5 Penyelesaian

persamaan linier Underdetermined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

masalah

sistem

iii

DAFTAR GAMBAR

I.1 Perbandingan pekerjaan penelitian yang dilakukan pada Seminar Kemajuan I, II, dan III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan . . . . . . . .

II.1 Antennas arrangement in ULA with distance d between element . . .

II.2 Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steering vector sudut-sudut yang dipindai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III.1 Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arah untuk memperoleh arah sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.2 Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaian kasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III.3 Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudut dalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian . . . . . . . . . 17

III.4 Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search serta update scanning window pada setiap waktu.

(a),(b), dan (c) pergerakan objek beserta update scanning window yang bersesuaian. (d). ilustrasi pergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2, W3 adalah scanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3 . . . . 18

III.5 Ilustrasi detail tentang proses update scanning window dengan menggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasar dengan algoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanning window pada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergerak sehingga puncak scanning bergeser menuju batas window. (d). update scanning window, sehingga puncak scanning berada di tengah scanning window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.6 Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap . . . . 20

III.7 Non-exhaustive search dengan tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.8 Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b) random tail scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.9 Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L 1 (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III.10 (a). Iterasi awal dengan k 0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = y dan kxk 1 =k 0 berpotongan di P 1 dan P 2 . Titik tengah M 1 dipilih

sebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M 1 dipilih sebagai nilai k berikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yang konvergen. 22

III.11 (a). Kasus dimensi 3, kxk 1 =k 0 membentuk oktahedron. Solusi dari Ax = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k 0 cukup besar, kxk 1 =k 0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongan dengan titik sudut P 1 sampai P 5 . Titik M 1 dipilih sebagai kombinasi konveks dari titik-titik P 1 sampai P 5 ................... 23

iv iv

III.13 Perpotongan antara oktahedron norm L 1 dengan solusi dari fungsi objektif yang berupa garis. Titik potong bidang dan garis dinotasikan dengan P 1 dan P 2. Titik M 1 yang merupakan kombinasi konveks dari P 1 dan P 2 diilustrasikan pada gambar kanan . . . . . . . . . . . . . . 26

1 Tahap pengubahan suatu matrik X sebarang ke matrik segitiga atas . 46

DAFTAR TABEL

I.1 Perbandingan Referensi State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian . . . . . . . .

IV.1 Parameter simulasi exhaustive dan non exhaustive search . . . . . . . . 28

vi

BAB I Pendahuluan

I.1 Latar Belakang

Teknik compressive sensing untuk estimasi arah kedatangan sinyal memperoleh perhatian yang besar pada dekade saat ini. Meski pun CS mulai dianggap sebagai bidang ilmu yang cukup matang pada pertengahan tahun 2000an (Donoho (2006), Candes dan Wakin (2008), Baraniuk (2007)), teknik yang mendasarinya telah berkembang lebih dahulu, seperti matching pursuit (Mallat dan Zhang (1993)), basis pursuit Chen dkk. (2001), algoritma greedy (Tropp (2004)) maupun wavelet. Penerapan teknik CS telah dilakukan pada berbagai bidang, antara lain: kompresi data (Candes dan Wakin (2008), Wahidah dan Suksmono (2010)), channel coding (Candes dan Wakin (2008)), MRI imaging (Swastika dan Haneishi (2012)), wireless channel estimation (Hayasi dkk. (2013)).

Saat ini, teknik CS telah pula diterapkan pada bidang radar. Secara umum radar memiliki tiga fungsi, yaitu: estimasi arah kedatangan, estimasi jarak, dan estimasi kecepatan. Pada bidang estimasi arah kedatangan sinyal, teknik Compressive Sening ditujukan untuk mengurangi jumlah sampel yang harus diakuisisi oleh penerima. Jumlah sampel yang sedikit akan memberikan keuntungan pada kebutuhan bandwidth telekomunikasi yang rendah. Dengan demikian, skema distributed radar system dapat diimplementasikan lebih mudah untuk menjangkau wilayah yang luas.

Secara perkembangan, teknik estimasi arah kedatangan sinyal sendiri telah berkembang sejak era analog, sampai dengan era digital. Pada era digital, teknik estimasi arah kedatangan sinyal dipelopori antara lain oleh algoritma Capon atau MVDR (Dmochowski dkk. (2007)). Dengan memanfaatkan kovariansi matrik sinyal penerima, serta steering vector pada arayh yang dipindai, algoritma ini berhasil memperoleh estimasi arah kedatangan sinyal dengan spektrum puncak yang cukup tajam.

Schmidt melakukan terobosan pada bidang estimasi DoA ini dengan mengusulkan algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification, Schmidt (1986)). Algoritma ini membuka dimensi baru dengan penggunaan teknik sub-space yang berasal dari dekomposisi nilai eigen dari matrik kovariansi. Roy dkk. (1986) juga menggunakan teknik sub-space untuk melakukan estimasi arah kedatangan sinyal. Teknik ini berbeda dengan MUSIC karena teknik ini tidak melakukan estimasi arah kedatangan sinyal dengan memindai semua arah, namun ia memanfaatkan struktur dari susunan antena penerima. Estimasi arah kedatangan diperoleh dengan manipulasi matematis dari susunan ini. Teknik ini populer dengan istilah ESPRIT (Estimation Schmidt melakukan terobosan pada bidang estimasi DoA ini dengan mengusulkan algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification, Schmidt (1986)). Algoritma ini membuka dimensi baru dengan penggunaan teknik sub-space yang berasal dari dekomposisi nilai eigen dari matrik kovariansi. Roy dkk. (1986) juga menggunakan teknik sub-space untuk melakukan estimasi arah kedatangan sinyal. Teknik ini berbeda dengan MUSIC karena teknik ini tidak melakukan estimasi arah kedatangan sinyal dengan memindai semua arah, namun ia memanfaatkan struktur dari susunan antena penerima. Estimasi arah kedatangan diperoleh dengan manipulasi matematis dari susunan ini. Teknik ini populer dengan istilah ESPRIT (Estimation

Teknik klasik pada umumnya bersandar pada teorema sampling klasik Shannon-Nyquist dalam mengakuisisi data. Akuisisi data dilakukan dengan kecepatan sampling sekurang-kurangnya dua kali frekuensi tertinggi sinyal informasi. Akibat dari adanya skema akuisisi ini, data yang diolah oleh algoritma klasik adalah sangat besar. Teknik distributed radar system yang bersandar pada komunikasi antar unit (seperti wireless sensor network) akan memiliki masalah jika harus mentransmisikan data besar setiap saat. Oleh karena itu teknik CS untuk DoA sangat diperlukan pada kondisi tersebut.

Secara umum, terdapat tiga kategori besar dalam pemanfaatan compressive sensing untuk estimasi arah kedatangan sinyal: skema sparsitas waktu, skema sparsitas ruang, dan skema sparsitas sudut. Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yang diterima sensor bersifat sparse secara sampel per sampel. Mengambil asumsi ini, maka pengurangan sampel dilakukan dalam ranah waktu. Penelitian yang memanfaatkan skema ini antara lain adalah Wang dkk. (2009). Di sisi lain, skema sparsitas ruang mengambil asumsi bahwa sinyal yang diterima suatu sensor adalah sama dengan sinyal yang diterima oleh sensor yang lain dengan perbedaan pada fasa. Dengan asumsi ini, maka jumlah sensor dapat dikurangi sampai menjadi sebanyak sinyal yang diterima. Pengurangan jumlah sensor berarti juga mengurangi jumlah sampel yang diterima. Penelitian yang memanfaatkan skema ini antara lain adalah Gurbuz dan McClellan (2008), dan Jouny (2011). Skema sparsitas sudut mengambil asumsi bahwa sinyal yang datang hanya pada sudut-sudut tertentu. Dengan asumsi ini, maka algoritma estimasi arah kedatangan dilakukan dengan mencari spektral tak nol pada matrik sinyal penerima yang disusun terdiri dari semua sudut arah kedatangan yang dipindai. Penelitian yang menggunakan skema ini antara lain adalah Gorodnitsky dan Rao (1997) dan Stoica dkk. (2011).

Skema sparsitas sudut memiliki keuntungan utama dari pada skema sparsitas waktu dan sparsitas sensor yaitu pada jumlah sampel yang sedikit. Penelitian Gorodnitsky dan Rao (1997) mengusulkan penggunaan satu sampel untuk estimasi arah kedatangan. Untuk keperluan rekonstruksi, Gorodnitsky dan Rao menggunakan algoritma Focal Underdetermined System Solver (FOCUSS). Dalam lingkungan dengan derau yang rendah, hasil estimasi arah kedatangan yang dilaporkan oleh Gorodnitsky dan Rao tersebut memiliki resolusi yang tajam. Meski keuntungan ini, algoritma FOCUSS Skema sparsitas sudut memiliki keuntungan utama dari pada skema sparsitas waktu dan sparsitas sensor yaitu pada jumlah sampel yang sedikit. Penelitian Gorodnitsky dan Rao (1997) mengusulkan penggunaan satu sampel untuk estimasi arah kedatangan. Untuk keperluan rekonstruksi, Gorodnitsky dan Rao menggunakan algoritma Focal Underdetermined System Solver (FOCUSS). Dalam lingkungan dengan derau yang rendah, hasil estimasi arah kedatangan yang dilaporkan oleh Gorodnitsky dan Rao tersebut memiliki resolusi yang tajam. Meski keuntungan ini, algoritma FOCUSS

I.2 State of The Art

Pada bagian ini, dipilih tiga referensi yang dijadikan sebagai state of the art. Pemilihan tiga referensi ini dikarenakan karena ketiga referensi ini adalah referensi langsung yang terkait pada upaya penyelesaian masalah yang diusulkan. Ketiga referensi ini adalah Gorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), dan Dai dkk. (2013). Detail dari ketiga referensi tersebut adalah sebagai berikut :

1. Gorodnitsky dan Rao (1997): Sparse Signal Reconstruction form Limited data Using FOCUSS: a re-weighted minimum norm algorithm, Publikasi : IEEE Transaction on Signal Processing, Vol. 45, No.3 (Referensi #1)

2. Stoica, Babu, dan Li (2011): SPICE: A sparse covariance-based estimation method for array processing, Publikasi : IEEE Transaction of Signal Processing, Vol.59, No.2 (Referensi #2)

3. Dai, Xu, dan Zhao (2013): Direction-of-Arrival Estimation Via Real-Valued Sparse Representation, Publikasi : IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters (Referensi #3)

Referensi #1 menjadi referensi utama dari skema sparsitas sudut. Sejauh yang penulis teliti, Referensi #1 dapat dianggap sebagai karya seminal dari teknik sparsitas sudut. Hal yang menarik dikaji adalah bahwa teknik ini dapat bekerja dengan menggunakan satu sampel sinyal saja. Referensi #2 membahas tentang teknik rekonstruksi dengan metode covariance-based. Teknik ini memperbaiki hasil dari Referensi #1 dalam hal ketahanan dalam lingkungan derau tinggi. Teknik ini mengakomodasi penggunaan multi sampel. Referensi #3 membahas tentang teknik penyederhaan perhitungan rekonstruksi compressive sensing dengan cara mengubah nilai-nilai kompleks menjadi nilai-nilai riil. Pengubahan ini diklaim oleh para penulisnya dapat mempercepat komputasi menjadi 4 kali. Dalam kerangka tiga Referensi #1 menjadi referensi utama dari skema sparsitas sudut. Sejauh yang penulis teliti, Referensi #1 dapat dianggap sebagai karya seminal dari teknik sparsitas sudut. Hal yang menarik dikaji adalah bahwa teknik ini dapat bekerja dengan menggunakan satu sampel sinyal saja. Referensi #2 membahas tentang teknik rekonstruksi dengan metode covariance-based. Teknik ini memperbaiki hasil dari Referensi #1 dalam hal ketahanan dalam lingkungan derau tinggi. Teknik ini mengakomodasi penggunaan multi sampel. Referensi #3 membahas tentang teknik penyederhaan perhitungan rekonstruksi compressive sensing dengan cara mengubah nilai-nilai kompleks menjadi nilai-nilai riil. Pengubahan ini diklaim oleh para penulisnya dapat mempercepat komputasi menjadi 4 kali. Dalam kerangka tiga

Referensi #3 Aplikasi

arah Estimasi arah kedatangan

arah Estimasi

sinyal kedatangan dengan dengan

sinyal kedatangan

algoritma compressive sensing FOCUSS

algoritma dengan

SPICE

dengan nilai riil

Tujuan

Menunjukkan bahwa Teknik estimasi arah Mempercepat teknik

dengan kedatangan beberapa perhitungan compressive satu

CS

sensing dengan menghasilkan estimasi

sampel

dapat sampel sekaligus

transformasi unitary arah yang baik dan

untuk memperoleh nilai resolusi tinggi

matrik riil

Skema

Jumlah sumber :

3 Jumlah

2 sumber (pada sudut (pada sudut -44, -33, 3 (pada sudut 10, -2.5 dan 3.5 derajat) ; 56); Jumlah sensor : 40 dan 55 derajat); Jumlah sensor :

sumber

10 ; 8; Jumlah sampel 1 Jumlah sensor :

10 ; Jumlah sampel : 100 ; Algoritma Inisialisasi Jumlah sample : 200 ; Algoritma inisialisasi : MVDR

; Algoritma inisialisasi MUSIC SPICE

Kekurangan Tidak

tinggi kompleksitas tinggi: lingkungan

robust

pada Kompleksitas

melakukan teknik Singular Value derau tinggi

dengan karena

exhaustive search pada Decomposition (SVD)

semua arah

diterapkan pada matrik besar serta perhitungan dekomposisi memerlukan waktu yang besar

Kelebihan

Hanya

komputasi yang lebih satu sampel, sangat multi-sample sehingga ringan dibandingkan efisien bandwidth jika lebih

menggunakan Mengakomodasi

derau tinggi

I.3 Premis dan Hipotesis

Pada Kemajuan I telah disampaikan premis yang mendasari penelitian ini, yaitu : 1). Skema sparsitas sudut memiliki kelemahan pada lingkungan dengan derau tinggi, 2). Skema sparsitas sudut memiliki kompleksitas rekonstruksi yang tinggi. Kedua premis tersebut telah dibuktikan dengan simulasi komputer yang dilakukan. Hasil pembuktian tersebut telah dipublikasikan sebagai publikasi awal dari penelitian ini (Usman dkk. (2014)).

dengan teknik non-exhaustive search. Dari percobaan-percobaan yang dilakukan, maka diperoleh premis-premis lanjutan, yaitu: 3). Skema sparsitas sudut dapat bekerja dengan sudut pindai yang lebih sempit (non-exhaustive search).

Pada Kemajuan III ini, dilakukan percobaan yang lebih intensif pada teknik tail-scan serta pengembangan teknik rekonstruksi CS dengan dengan teknik titik berat (weight point) untuk memperoleh solusi yang dijamin kekonvergenannya. Premis-premis yang diajukan untuk tahap ini adalah: 4). teknik tail-scan memiliki kinerja yang lebih baik dari pada tanpa tail-scan, 5). Tail-scan uniform secara statistik memiliki kinerja yang lebih baik dari pada tail-scan random, 6). Rekonstruksi CS dengan menggunakan titik

berat dari bidang perpotongan norm L 1 dan fungsi objektif memberikan solusi CS yang dijamin kekonvergenannya.

Tabel I.2. Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian

Premis

Hipotesis

Skema sparsitas sudut memiliki Akurasi pada lingkungan derau tinggi akurasi

pada dapat ditingkatkan dengan teknik yang lingkungan derau tinggi

yang

buruk

mengolah beberapa sampel sekaligus Skema sparsitas sudut memiliki Pengurangan

kompleksitas dapat

kompleksitas rekonstruksi yang dilakukan dengan pra-pemindaian dan tinggi

pemindaian pada arah tertentu saja non-exhaustive search

dengan non-exhaustive

Metode

teknik

scanning Perbaikan

dilakukan

memiliki memberikan

scanning

tambahan

permasalahan pada konvergensi, di luar arah utama atau tail-scan khususnya jika menggunakan untuk memberikan basis scanning teknik rekonstruksi CS dengan pada semua arah agar konvergensi pemrograman convex

dapat dijamin

Teknik pemrograman convex Penggunakaan metode titik berat yang

masalah interior point method

berdasarkan

metode dapat

memperbaiki

dan kekonvergenan tersebut

iterasi Newton menimbulkan permasalahan pada nilai awal yang

I.4 Perbandingan Kemajuan 3 dengan Kemajuan sebelumnya

Pada Kemajuan I, penelitian diarahkan pada teknik sparsitas sudut yang dipelopori oleh Goronitsky dan Rao Gorodnitsky dan Rao (1997). Perbaikan dilakukan dengan menggunakan teknik transformasi unitary untuk mempercepat proses perhitungan dari Pada Kemajuan I, penelitian diarahkan pada teknik sparsitas sudut yang dipelopori oleh Goronitsky dan Rao Gorodnitsky dan Rao (1997). Perbaikan dilakukan dengan menggunakan teknik transformasi unitary untuk mempercepat proses perhitungan dari

menggunakan metode titik berat dari bidang perpotongan norm L 1 dan fungsi objektif rekonstruksi. Penggunaan metoda titik berat ini dilakukan sebagai alternatif dari metoda iterasi Newton dengan kelebihan pada jaminan konvergensi. Gambar I.1 memperlihatkan skema penelitian yang dilakukan pada setiap kemajuan ini.

Direction of Arrival

Estimation

Classical

Compressive Sensing

Time Sparsity

Spatial Sparsity

SK I

Angle Sparsity

Unitary Transf.

Non-Exhaustive

Pre-Scanning

Search

Teknik

SK II

Tail Scan

L 1 -Solver Weight Point

Algorithm

SK III

Gambar I.1. Perbandingan pekerjaan penelitian yang dilakukan pada Seminar Kemajuan I, II, dan III.

Gambar I.2 memperlihatkan publikasi yang telah dan yang direncanakan pada setiap kemajuan.

Peningkatan Kinerja Skema Multiple Measurement Vector Estimasi Arah Kedatangan Sinyal

for Improving FOCUSS algorithm dengan Compressive Sensing

in Direction of Arrival Estimation Sparsitas Sudut dan sampel Multisnap

International Conference 2014 — Jurnal Nasional INKOM LIPI

2014 — ICoDSE

Angle Sparsity

Uniform Non-Exhaustive Search on Sparse

Unitary Transf. Reconstruction for Direction of Arrival Estimation

Non-Exhaustive

Pre-Scanning

Search

International Conference 2015 — APWIMob

SK II

Teknik

Tail Scan

L 1 -Solver Weight Point

SK III

Algorithm

Direction of Arrival Estimation Estimation using Compressive

L 1 Sparse Reconstruction using

Sensing : a Survey

Iterative Weight Point Method 2015 — to be SUBMITTED 2015 — to be SUBMITTED

Indonesian Journal of

Journal of Computational

Electrical Engineering

and Applied Mathematics

Elsevier

Direction of Arrival Estimation

SK IV 2016 / 2017 IEICE/IEEE

Gambar I.2. Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan

I.6 Kontribusi dan Kebaruan

Kontribusi dan kebaruan yang diperoleh pada tahapan-tahapan penelitian yang telah dilakukan adalah:

• Teknik Non-Exhaustive Search • Teknik Tail-Scan (uniform dan random) • Algoritma baru untuk rekonstruksi CS : metode Iterative Weight Point

BAB II Landasan Teori

II.1 Model matematis sistem

Untuk keperluan simulasi, maka model matematis dari sistem yang ditinjau perlu dijabarkan terlebih dahulu. Tinjau susunan antena (antenna array) yang terdiri dari M buah elemen antena. Elemen antena ini disusun sehingga terletak pada satu garis, dengan jarak antar antena konstan. Susunan ini disebut sebagai uniform linear array / ULA. Misalkan bahwa sumber sinyal datang pada jarak yang jauh dengan sudut kedatangan sebesar θ relatif terhadap garis normal susunan antena (Gbr. II.1). Jika jarak sistem antena ke sumber jauh lebih besar dari pada dimensi susunan antena, maka berkas yang sampai ke masing-masing antena dapat dianggap sejajar.

Gambar II.1. Antennas arrangement in ULA with distance d between element Dengan menggunakan antena paling atas sebagai referensi, serta jarak antar elemen

antena adalah d, maka perbedaan jarak tempuh pada masing-masing antena (∆) dapat ditulis sebagai

(II.1) Perbedaan jarak ini berkorespondensi dengan delay fasa sebesar :

∆ = d · sin(θ).

· d · sin(θ)

(II.2)

Dengan mengumpulkan sinyal yang diterima oleh masing-masing antena pada suatu vektor x, maka persamaan sinyal terima pada keluaran array adalah :

(II.3) Pada pers.II.3, s adalah sinyal pada masukan antena (dengan dimensi p kali Nsnaps;

x =a·s+n

p adalah jumlah objek), x menotasikan sinyal pada keluaran antena (dengan dimensi M kali Nsnaps), n dalah white gaussian noise, dan a adalah array steering vector atau array manifold. Steering vector a dapat dinyatakan sebagai :

(II.4) Sebagai penerima, steering vector menyatakan bobot pada antena yang

a = 1e −jψ e −j(M −1)ψ

berkorespondensi dengan arah penerimaan maksimum dari sinyal datang (main beam).

II.2 Compressive Sensing

Compressive Sampling/Sensing (CS), adalah pendekatan baru yang menyatukan antara proses sampling dan kompresi. Dengan kekhususan bahwa sinyal yang disampling bersifat sparse (mayoritas sinyal adalah nol dan sedikit sisanya tak nol). Dengan asumsi ini, maka teknik CS dapat digunakan untuk mensampling sinyal dengan rate yang jauh lebih kecil dari pada sampling rate klasik Nyquist. Pada sampling rate yang rendah ini, CS tetap masih mampu untuk merekonstruksi sinyal semula. Kemampuan ini membuka peluang CS dapat menggantikan peralatan yang ada saat ini dengan peralatan yang bekerja berdasarkan prinsip CS yang efisien. Secara prinsip, pensamplingan dengan CS dilakukan dengan mengumpulkan secara random dari sampel lengkap.

Pada teknik sampling klasik Nyquist, proses sampling dan rekonstruksi secara prinsip adalah sederhana dibandingkan dengan sampling dan rekonstruksi pada CS. Proses sampling pada teknik sampling klasik dilakukan dengan melakukan pencuplikan pada sinyal analog dengan jarak antar sampel yang sama/konstan. Pada bagian rekonstruksi, sinyal hasil sampling difilter dengan filter Nyquist untuk memperoleh kembali sinyal semula.

Pada teknik CS, sebelum proses sampling dapat dilaksanakan, pertama harus ditentukan terlebih dahulu basis dua basis, yaitu basis sparsitas Ψ dan basis projeksi Φ. Keberhasilan teknik CS tergantung pada keberhasilan menentukan kedua basis tersebut. Dengan demikian proses modifikasi dari sinyal pada sisi penerima perlu dilakukan. Ini berarti bahwa perangkat CS akan lebih kompleks dibandingkan dengan peralatan sampling klasik. Pada sisi rekonstruksi, solusi dari teknik CS tidaklah unik/tunggal. Dengan kata lain, setelah set solusi ditemukan, maka diperlukan optimasi dengan suatu kriteria (biasanya adalah norm orde-n) dari set solusi yang ada untuk memperoleh satu solusi terbaik sesuai kriteria tersebut. Solusi terbaik

Beberapa peralatan telah dikembangkan dengan prinsip CS ini. Antara lain adalah kamera-satu-piksel (Baraniuk (2007)), sparse MRI (Swastika dan Haneishi (2012)), spectra-denoising (Mingxia dkk. (2013)) dan sebagainya.

Formulasi matematika dari compressive sensing. Ada banyak cara untuk menjelaskan prinsip kerja dari compressive sensing. Tapi yang akan dibahas di sini adalah dengan menggunakan prinsip ketidakpastian (uncertainty principle atau UP). Prinsip ini menyatakan bahwa suatu sinyal tidak mungkin secara bersamaan dapat dilokalisasi dengan baik pada ranah waktu dan frekuensi. Dengan kata lain, jika suatu sinyal terlokalisasi pada ranah waktu, maka sinyal tersebut tidak terlokalisasi pada ranah frekuensi. Sebaliknya jika suatu sinyal terlokalisasi pada ranah frekuensi, maka ia tidak terlokalisasi pada ranah waktu.

Jika suatu sinyal f tidak terlokalisasi pada suatu ranah, maka akan selalu dapat dicari suatu transformasi Ψ pada f untuk menghasilkan suatu sinyal textbfF yang bersifat sparse. Dengan kata lain:

(II.5) Pada sinyal sparse F tersebut, CS dapat dilakukan dengan mengalikan di awal

F = Ψf

(pre-multiplying) dengan suatu pencuplik Φ yang merupakan suatu matrik CS.

(II.6) Jika sinyal asal, f dan hasil transformasinya, F memiliki panjang N, maka sinyal f,

g = ΦF = ΦΨf

dapat direkonstruksi kembali dari sinyal g dengan panjang M (M<<N), dengan syarat M lebih besar dari suatu nilai yang diberikan oleh persamaan

(II.7) dimana K menyatakan tingkat sparsitas dari sinyal f, C adalah suatu konstanta

M≥C·µ 2 (Φ,Ψ) · K · log(N)

(sekitar 2), dan µ(Φ,P si) menyatakan fungsi pengukur tingkat koherensi dari Φ dan Ψ. Tingkat koherensi ini diberikan oleh

µ (Φ,Ψ) = max |hφ,ψi|

(II.8)

Perkalian antara fungsi sparsitas Ψ dan fungsi sampling Φ dalam bentuk matrik tersebut dapat dinyatakan sebagai matrik sensing A :

A = ΨΦ

(II.9)

(II.10) Proses rekonstruksi secara matematis dilakukan menyelesaikan II.10 dalam f.

g = ΨΦf = Af

Namun, oleh karena f memiliki N nilai yang tidak diketahui, sedangkan II.10 memiliki M buah persamaan (M << N), maka penyelesaian II.10 membelikan banyak alternatif solusi bagi f. Kondisi ini disebut sebagai ill-posed problem.

Agar solusi menjadi unik dan sama atau mendekati dari sinyal semula, maka dilakukan optimasi dari solusi yang diperoleh. Optimasi yang umum dilakukan adalah dengan menggunakan optimisasi norm orde-n. Orde yang lazim dipakai dengan asumsi sinyal f bersifat sparse adalah norm- orde 1.

Proses rekonstruksi CS ini secara umum dapat dituliskan sebagai

(II.11) Minimisasi |f| 1 berarti mencari solusi f yang paling sparse.

min|f| 1 s.t. A · f = g

Pada lingkungan yang memiliki derau atau noise, maka sinyal terima akan memasukkan faktor derau ini, sehingga permasalahan CS seperti pada II.10 menjadi :

(II.12) Proses rekonstruksi CS dengan demikian dimodifikasi menjadi:

g = Af + n

(II.13) Dengan ǫ adalah suatu bilangan kecil.

min|f| 1 s.t. A · f − g ≤ ǫ

II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA

Pada bidang radar yang ditinjau, khususnya pada algoritma estimasi arah kedatangan sinyal (Direction of Arrival Estimation - DoA), terdapat beberapa skema CS yang telah dilakukan pada penelitian terdahulu. Penerapan CS pada estimasi DoA secara umum terbagi ke dalam tiga skema : sparsitas waktu (Gurbuz dan McClellan (2008), Kim dkk. (2012)), sparsitas ruang (Wang dkk. (2009), Wang dkk. (2010)), and sparsitas sudut (Gorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), Usman dkk. (2014)).

Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yang dikirim adalah sinusoidal, oleh karena itu, sinyal terima bersifat sparse dalam waktu (atau frekuensi). Sinyal terima x yang dikumpulkan oleh M buah antena N dilakukan sampling pada ranah waktu dengan teknik sampling klasik sebanyak N buah sampel untuk menghasilkan blok sinyal terima sebesar M kali N sinyal masukan. Dengan menggunakan pemrosesan blok,

A (berukuran M kali k, dengan k << N) untuk memperoleh sinyal keluaran y yang berdimensi M kali k, jauh lebih kecil dari pada ukuran sinyal masukkan semula x.

Untuk proses estimasi arah kedatangan, sinyal yang telah dikompres ini kemudian dikembalikan ke sinyal semula sebelum algoritma DoA diterapkan.

Sparsitas ruang memiliki prinsip kerja yang mirip dengan sparsitas waktu. Jika sparsitas waktu mengasumsikan bahwa sinyal tersebut sparse dalam waktu, maka sparsitas ruang mengasumsikan bahwa masing-masing antena pada susunan antena penerima sebenarnya menerima sinyal yang sama dengan perbedaan hanya pada waktu kedatangan (delay). Dengan demikian, sinyal terima diasumsikan bersifat sparse pada arah antena, atau ruang. Sinyal yang dikumpulkan oleh M buah antena, seperti halnya pada sparsitas waktu, memiliki dimensi M kali N. Proses sensing dilakukan dengan dengan mengalikan sinyal terima dengan sensing matrix A yang berdimensi k kali N. Seperti halnya sparsitas waktu, sinyal semula perlu direkonstruksi ulang dengan sebelum estimasi arah kedatangan dapat dilakukan. Dibandingkan dengan sparsitas waktu, skema sparsitas ruang memiliki kekurangan yaitu tingkat kompresi yang rendah, sedangkan kelebihannya adalah ketahanan sinyal terhadap derau lebih baik, serta lebih mudah direalisasikan dalam bentuk perangkat keras, karena matrik sensing A telah secara langsung memberikan arah panduan pada pembuatan perangkat kerasnya. Skema sistem penerima dengan sparsitas ruang dapat dilihat pada Wang dkk. (2009) dan Wang dkk. (2010).

Sparsitas sudut memiliki pendekatan yang berbeda dibandingkan dengan sparsitas waktu dan sparsitas ruang sebelumnya. Skema sparsitas sudut tidak melakukan kompresi pada arah waktu dan ruang. Skema ini mengasumsikan bahwa sinyal yang diterima berasal dari sejumlah sumber sinyal yang terbatas. Beberapa sumber sinyal ini datang pada sudut-sudut yang berbeda. Berdasarkan pada anggapan ini, maka konstruksi permasalahan CS dilakukan dengan menggunakan sensing matrik A yang tersusun atas steering vector dari sinyal datang. Deskripsi matematis yang lebih rinci diberikan pada sub-bab berikutnya. CS formulasi dilakukan dengan menggabungkan sensing matrix A, sparse vektor s, dan snapshot dari sinyal terima x. Rekonstruksi CS tersebut dituliskan sebagai

(II.14) Jika terdapat derau AWGN, maka Rekonstruksi CS tersebut dimodifikasi menjadi

A·s=x

(analogi dengan Persamaan II.12):

(II.15) Dengan menggunakan pendekatan ini, maka sparsitas sudut memiliki keuntungan

A · s = x + n.

skema ini memerlukan sangat sedikit sinyal terima, serta proses estimasi DoA dilakukan bersamaan dengan rekonstruksi CS. Dengan kata lain, penyelesaian CS pada sparse matrik s sekaligus juga adalah penyelesaian masalah estimasi arah kedatangan. Estimasi arah kedatangan sinyal diperoleh berdasarkan posisi element tak nol dari dari matrik solusi sparse s (Gorodnitsky dan Rao (1997)).

Gambar II.2 mengilustrasikan proses penyusunan konstruksi CS teknik sparsitas sudut.

s 1 x 1i

a 11 a 12 a 1p

2 2i

a 21 a 22 a 2p

x s 3 3i

a M 1 a M 2 a Mp

x Mi

a (θ 1 ) a(θ 2 )

a (θ M )

steering vector at angle θ i

Gambar II.2. Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steering vector sudut-sudut yang dipindai

Meski pun memiliki keuntungan ini, skema sparsitas sudut memiliki kelemahan, yaitu kurang tahan terhadap derau lingkungan. Hal ini diverifikasi oleh Usman dkk. (2014). Pada penelitian tersebut, Usman dkk. (2014) mengusulkan peningkatan performa sinyal dengan menggunakan teknik multi-snaps CS. Skema multi-snaps CS ini dilakukan dengan memperluas vektor sinyal terima x menjadi beberapa snap-shots. Solusi sparse s dengan demikian akan mengikuti perluasan ini. Dengan kata lain, vektor s terdiri dari beberapa kolom, yang masing-masing kolom berkorespondensi dengan hasil estimasi arah kedatangan pada setiap snap-shots. Estimasi DoA dilakukan dengan merata-ratakan nilai estimasi pada setiap snap-shots. Dengan demikian estimasi yang diperoleh menjadi lebih robust dibandingkan dengan hanya menggunakan satu snap-shot.

Upaya untuk melakukan perbaikan skema sparsitas sudut dilakukan pula oleh Stoica dkk. (2011) secara terpisah. Skema yang diusulkan oleh Stoica dkk. (2011) diistilahkan dengan independently covariance-based estimation technique (SPICE). Skema Stoica dkk. (2011) juga mengakomodasi kemampuan multi-snaps untuk meningkatkan ketahanan terhadap noise.

Sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, sensing matrix A disusun berdasarkan steering vector dari arah kedatangan yang dipindai. Pemindaian yang dilakukan pada

semua arah kedatangan sinyal (dari −90 0 sampai 90 0 ) disebut dengan exhaustive search. Bab selanjutnya membahas dengan terperinci tentang exhaustive search tersebut serta

skema peningkatan yang diusulkan.

II.4 CS solver dengan CVX Programming

Ada beberapa CS solver yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan estimasi sudut dengan rekonstruksi sparse.

Dua solver yang umum dipakai adalah CVX-programming dan l 1 -magic. CVX-programming dikembangkan oleh Boyd (2014), sedangkan l 1 -magic dikembangkan oleh oleh Candes dan Romberg (2005). CVX-programming bersifat umum dengan kemampuan melakukan optimasi pada berbagai permasalahan pemrograman linier (Linear Programming - LP). CVX-programming juga dapat mengoptimasi pilihan solusi dengan konstrain norm. Dengan demikian, CVX-programming bersifat sangat fleksibel. Engine solver yang digunakan pada CVX-programming antara lain adalah SDPT3 and SeDumi. Terdapat pula solver lain yang berlisensi yang dapat digunakan pada cvx seperti Gurobi dan MOSEK (Boyd (2014)). Untuk menyelesaikan persamaan CS seperti yang terdapat pada persamaan ??, pada CVX-programming, dapat kita tuliskan seperti contoh berikut:

begin cvx variable s(n) complex; minimize(norm(s,1)); subject to

norm(A*s-x,2) < epsilon; end cvx .

BAB III Metode yang diusulkan

III.1 Teknik Non-Exhaustive Search

Sebelum dibahas tentang teknik non-exhaustive search, terlebih dahulu akan dibahas tentang metode Exhaustive search. Exhaustive search adalah upaya untuk menemukan arah kedatangan sinyal dengan melakukan pemindaian pada semua arah kedatangan sinyal yang mungkin. Peneliti sebelumnya melakukan pemindaian secara exhaustive ini. Pada makalahnya, Gorodnitsky dan Rao (1997) melakukan pemindaian pada

semua sudut antara −90 0 sampai 90 0 . Stoica dkk. (2011) melakukan pemindaian dari −90 0 sampai 90 0 dengan resolusi 0.1 0 , dengan demikian terdapat 1800 arah pindai yang berkorespondensi dengan matriks sensing A yang berdimensi M kali 1800. Hal yang sama dilakukan oleh Usman dkk. (2014).

Gambar III.1 menunjukkan ilustrasi pemindaian dengan teknik exhaustive search.

0 0 objek

arah pemindaian

90 0 -90 0

Gambar III.1. Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arah untuk memperoleh arah sumber sinyal

Permasalahan yang dihadapi oleh teknik exhaustive search, seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, adalah besarnya sensing matrix A. Sensing matriks yang besar memerlukan proses komputasi rekonstruksi CS yang besar, sumber daya yang tinggi, serta waktu yang lama. Penyelesaian permasalahan ini diusulkan pada sub-bab berikutnya yang membahas tentang pemindaian non-exhaustive search.

Kemajuan yang dicapai pada penelitian ini berkisar pada eksplorasi teknik non-exhaustive search. Teknik ini adalah perbaikan dari teknik exhaustive search berupa pengurangan rentang pemindaian dari semua sudut yang mungkin (tipikal

pada −90 0 sampai 90 0 ), ke dalam rentang yang lebih sempit. Tentu pemindaian pada pada −90 0 sampai 90 0 ), ke dalam rentang yang lebih sempit. Tentu pemindaian pada

Skema non-exhaustive search dengan pra-pemindaian selengkapnya diberikan pada Gambar III.2.

Pengaturan

Pemindaian Kasar

Jendela Pemindaian

Sinyal

Konstruksi terima

Akuisisi

Snapshot

CS

CS Solver Gambar III.2. Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaian

DoA

kasar Pada Gambar III.2 tersebut, sinyal mula-mula diakuisisi oleh sistem antena

penerima. Pada awal operasi, sinyal dimasukkan ke blok pemindaian kasar. Proses pada blok pemindaian kasar ini bertujuan untuk memperoleh gambaran umum tentang posisi sinyal. Blok pemindaian kasar ini dapat menggunakan salah satu algoritma klasik, seperti DAS, MVDR, MUSIC, dan ESPRIT. Pada proses kemajuan ini II ini, digunakan teknik MVDR. Teknik ini sederhana serta memiliki resolusi yang tinggi. Skema MUSIC dan ESPRIT memerlukan komputasi yang lebih tinggi, sedangkan DAS memiliki resolusi yang rendah.

Gambar III.3 menunjukkan ilustrasi skema non-exhaustive search. Pada gambar tersebut, rentang sudut pemindaian dinyatakan sebagai jendela pindai (scanning window).

Tracking objek pada skema CS-DoA. Keuntungan utama pada skema yang ditawarkan ini adalah penambahan kemampuan tracking terhadap gerakan objek mudah untuk dilaksanakan. Hal ini dikarenakan sampling objek dapat dilakukan Tracking objek pada skema CS-DoA. Keuntungan utama pada skema yang ditawarkan ini adalah penambahan kemampuan tracking terhadap gerakan objek mudah untuk dilaksanakan. Hal ini dikarenakan sampling objek dapat dilakukan

Objek

Scanning Window

Scanning Window

(a)

(b)

Gambar III.3. Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudut dalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian

pada interval tertentu, dan pengambilan sampel sinyal yang sedikit setiap kali pengambilan. Jendela pemindaian (scanning window) dapat digeser-geser pada setiap iterasi menyesuaikan dengan dengan posisi objek.

Untuk melakukan update scanning window ini, maka diperlukan suatu skema update. Pada penelitian ini, skema update dilakukan dengan terlebih dahulu menetapkan lebar scanning window (konstan). Pada setiap scanning, titik tengah dari scanning window diupdate sehingga berimpit atau mendekati lokasi dari posisi objek (Gbr III.5).

Proses update dengan menjadikan lokasi objek sebagai median dari jendela pindai dapat dinyatakan dengan :

(III.1) Pada Pers.III.1, θ P max menyatakan sudut estimasi objek, θ min dan θ max

θ P max = med([θ min ,θ max ])

berturut-turut menyatakan batas kiri dan batas kanan dari jendela pindai.

III.2 Teknik Tail-scan

Skema non-exhaustive search dilakukan dengan pembatasan wilayah sudut pindai hanya pada arah-arah tertentu saja. Namun pembatasan ini ternyata memberikan masalah baru pada proses rekonstruksi CS, yaitu CS Solver yang dalam hal ini adalah cvx-programming, tidak berhasil memperoleh solusi yang konvergen. Fenomena ini tidak diperkirakan sebelumnya, karena dengan asumsi bahwa titik optimal dari CS solver terletak pada lokasi sudut keberadaan sinyal, sedangkan sudut ini sendiri berada pada cakupan sudut yang dipindai. Namun ternyata, cvx-programming tidak berhasil memperoleh solusi yang konvergen.

Gambar III.6 mengilustrasikan permasalahan ini.

objek objek

Gambar III.4. Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search serta update scanning window pada setiap waktu. (a),(b), dan (c) pergerakan objek beserta update scanning window yang bersesuaian. (d). ilustrasi pergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2, W3 adalah scanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3

Pada gambar III.6 tersebut, terdapat tiga macam skema yang digunakan. Skema tersebut adalah skema exhaustive search (lebar jendela pindai adalah −90 0 sampai 90 0 ),

skema non-exhaustive search dengan lebar jendela −30 0 sampai dengan 90 0 , dan skema terakhir adalah non-exhaustive search dengan lebar jendela 0 0 sampai dengan 90 0 .

Sebagai pembanding, posisi aktual dari objek diberikan. Objek tersebut bergerak dari sudut 30 0 sampai dengan 90 0 dengan kecepatan 1,4 0 per detik. Sumbu datar adalah waktu (dalam detik), dan sumbu tegak adalah sudut (dalam derajat). Pada gambar

III.6 tersebut skema exhaustive search dan skema non-exhaustive search dengan sudut pindai lebar (−30 0 sampai dengan 90 0 ) berhasil mengikuti pergerakan objek dengan

baik. Namun untuk lebar jendela pindai yang terlalu kecil (0 0 sampai dengan 90 0 ), cvx-programming gagal memberikan hasil konvergen. Hasil yang diperoleh, iterasi

cvx-programming terjebak pada solusi semu di 5 0 dan 65 0 .

Untuk mengatasi permasalahan ini, maka area pemindaian diperluas mencakup pada arah selain dari arah utama. Arah tambahan ini disebut dengan tail scanning. Gambar

III.7 memperlihatkan ilustrasi tail-scanning. Sifat dari tail scan adalah :

1. jumlahnya lebih sedikit dibandingkan dengan pemindaian pada arah utama

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar III.5. Ilustrasi detail tentang proses update scanning window dengan menggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasar dengan algoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanning window pada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergerak sehingga puncak scanning bergeser menuju batas window. (d). update scanning window, sehingga puncak scanning berada di tengah scanning window

(main-scan)

2. mengarah pada sudut yang tidak terdapat objek

3. berfungsi mencegah algoritma cvx-programming tidak konvergen atau terjebak pada solusi semu

Pada penelitian ini, diusulkan dua macam tipe tail scan yaitu uniform tail scan dan random tail scan. Uniform tail scan adalah tail scan yang terpisah pada jarak yang seragam, sedangkan random tail scan adalah tail scan yang jarak antar pemindaian satu dan lainnya terpisah. Gambar III.8 menunjukkan ilustrasi uniform tail scan dan random tail scan.

an 30 w -90 to 90 Actual

time(second)

Gambar III.6. Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap

0 0 objek

0 -90 90 0

Tail scan

Gambar III.7. Non-exhaustive search dengan tail-scan

III.3 Metode Titik Berat

Metode titik berat dikembangkan pada tahap Kemajuan III ini sebagai jawaban atas permasalahan konvergensi yang dialami oleh metode convex programming yang dikembangkan oleh Boyd (Boyd dan Vandenberghe (2004); Boyd (2014)). Metode titik berat didasarkan pada fakta geometri bahwa rekonstruksi CS dapat diselesaikan dengan

membesarkan atau mengecilkan norm L 1 sehingga norm tersebut bersinggungan dengan fungsi objektif rekonstruksi. Sebagai ilustrasi, kita tinjau kasus dua dan tiga

dimensi berikut. Pada kasus dua dimensi, misalkan vektor asal adalah x = T x 1 x 2 dan

A= A 11 A 12 , sehingga y = A·x = y 1 . Permasalahan rekonstruksi adalah : diberikan

A dan y, kita perlu mencari x sedekat mungkin dengan nilai asal. Kriteria sedekat mungkin dengan nilai asal dapat diukur misalnya dengan nilai kesalahan absolut rata-rata. Karena permasalahan ini bersifat underdetermined, kita dapat memiliki

norm L 1 sebagai kriteria rekonstruksi. Dengan kriteria ini, maka permasalahan rekonstruksi dapat didefinisikan kembali menjadi : diberikan A dan y, selesaikan

-90 90 0 0 90 0 -90 0

Tail scan

Tail scan

(a)

(b)

Gambar III.8. Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b) random tail scan

A · x = y untuk x sehingga kx| 1 minimum.

Oleh karena A adalah matrik dengan ukuran 1x2, maka solusi A · x = y adalah garis yang berada pada diagram kartesian x 1 -x 2 seperti yang ditunjukkan pada Gbr III.9.

A·x=y

A·x=y

(A)

(B)

Gambar III.9. Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L 1 (B)

diberikan oleh persamaan:

Norm orde p (p-norm) dari vektor x = T

(III.2) Sebagai contoh, 0-norm (L 0 ), 1-norm (L 1 ), dan 2-norm (L 2 ) berturut-turut adalah

2 x 2 +x 2 m, |x 2

1 2 + ··· + x N . Dengan, m adalah jumlah elemen tak nol dari x.

1 | + |x 2 | + ··· + |x |, and

0.6 0.4 . Oleh karena itu y = Ax menghasilkan y = 1.2 . Dengan demikian permasalah rekkonstruksi adalah : diberikan y = 1.2 dan x =

Misalkan vektor x adalah x = T 23 . Misalkan pula x =

0.6 0.4 , perlu dicari x, sedemikian sehingga kxk 1 minimum. Oleh karena x tidak diketahui, maka misalkan x = x 1 x 2 . Oleh karena itu Ax = y menghasilkan 0.6x 1 + 0.4x 2 = 1.2. Ada tak hingga banyak solusi dari x 1 x 2 yang memenuhi 0.6x 1 +0.4x 2 = 1.2. Oleh karena kita ingin mencari pasangan x 1 x 2 yang

meminimalkan kxk 1 . Maka sebagai langkah awalkita pilih kxk 1 =k 0 , dengan k 0 adalah meminimalkan kxk 1 . Maka sebagai langkah awalkita pilih kxk 1 =k 0 , dengan k 0 adalah

Potongan garis kxk 1 =k 0 yang dibatasi oleh P 1 dan P 2 adalah konveks. Oleh karena itu, setiap titik M yang merupakan kombinasi konveks dari P 1 dan P 2

M =t·P 1 + (1 − t) · P 2 ,

(III.3)

(0 ≤ t ≤ 1), akan terletak di dalam interval P 1 dan P 2 tersebut.

Gambar III.10. (a). Iterasi awal dengan k 0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = y dan kxk 1 =k 0 berpotongan di P 1 dan P 2 . Titik tengah M 1 dipilih

sebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M 1 dipilih sebagai nilai k berikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yang konvergen.

Dari Gbr III.10 juga terlihat bahwa setiap titik M yang berasal dari kombinasi konveks dari P 1 dan P 2 juga memiliki norm L 1 yang lebih kecil dibandingkan dengan nilai awal. Selanjutnya kita akan turunkan kasus yang lebih rumit pada dimensi 3 yang kemudian kita generalisasi untuk kasus dimensi n.

Misalkan sinyal sparse x adalah x = T 020 . Maka sensing matriks A memiliki dua kemungkinan yaitu matriks 1x3 atau matriks 2x3. Pada kondisi matriks 1x3, sinyal

kompresi y adalah vektor 1x1 dan untuk kondisi matrik A 2x3, maka vektor y adalah berdimensi 2x1.

Permasalahan rekonstruksi CS adalah sama dengan kasus dua dimensi: diberikan vektor y dan matrik A, tentukan x dengan kxk 1 minimum. Solusi dari Ax = y pada kasus matriks A 1x3 adalah suatu bidang, sedangkan untuk matriks A 2x3 adalah suatu garis. Kita tinjau kasus matriks A 1x3 terlebih dahulu. Pada iterasi awal,

kita ambil k 0 cukup besar sehingga bidang Ax = y berpotongan dengan oktahedron kxk 1 =k 0 (Gbr.III.11).

Bentuk dari bidang perpotongan dari kxk 1 =k 0 dan Ax = y dapat berupa politop 4-sisi atau politop 5-sisi seperti pada Gbr.III.11b. Pada algoritma titik berat, maka

adalah penting untuk menentukan bidang perpotongan ini, khususnya titik sudut dari adalah penting untuk menentukan bidang perpotongan ini, khususnya titik sudut dari

Gambar III.11. (a). Kasus dimensi 3, kxk 1 =k 0 membentuk oktahedron. Solusi dari Ax = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k 0 cukup

besar, kxk 1 =k 0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongan dengan titik sudut P 1 sampai P 5 . Titik M 1 dipilih sebagai kombinasi

konveks dari titik-titik P 1 sampai P 5 .