TS PENGGUNAAN METODE CROSS PADA STRUKTUR
"#)
! !
1)
2)
Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar
Email: jemyw@ft.untar.ac.id
Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar
Email: fannywatii@ft.untar.ac.id
!
" !
!
#$
Kata kunci: kekakuan, koefisien distribusi, faktor pemindah, momen primer, goyangan
!
"
%
(
#
$ %
# "
"
&
'
%
$
Metode Cross ini awalnya diperkenalkan oleh Prof. Hardy Cross pada tahun 1930 yang merupakan
suatu metode dalam penyelesaian analisis struktural balok kontinu dan kerangka kaku statis tak
tentu. Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persaman.persamaan
serempak di dalam metode defleksi dengan pendekatan berturut.turut, dengan ketelitian cukup baik
dengan syarat iterasi yang dilakukan mimimal lima cycle/putaran (Chu, 1985: 262).
#
$
Dalam metode Cross (distribusi moment) terdapat beberapa pengertian sebagai berikut:
% Faktor pemindah/koefisien induksi (c
)
Suatu faktor pemindah terhadap perataan momen pada satu titik untuk mendapatkan momen
pada ujung titik lainnya.
. Faktor distribusi (
)
Perbandingan besaran momen yang terdistribusi pada batang.batang yang bertemu di satu titik
1
atau koefisien distribusi untuk besaran momen.momen yang diterima batang.batang yang
bertemu pada satu titik percabangan.
. Faktor kekakuan (
)
suatu faktor pengali yang didapat dari kekakuan balok untuk menentukan besarnya momen di
satu titik yang diperlukan untuk berputar sudut dititik tersebut sebesar satu radial.
. Momen primer (
)
Besaran momen pada ujung balok akibat beban luar dan akibat pergoyangan.
& $
$
&
1. Hitung momen primer setiap balok akibat beban merata maupun terpusat.
2. Hitung momen primer pada kolom akibat pergoyangan.
3. Hitung nilai kekakuan lentur (faktor kekakuan) setiap balok dan kolom.
4. Hitung koefisien distribusi balok dan kolom pada setiap titik kumpul dengan faktor pemindah
(carry over factor) untuk balok dan kolom.
5. Tahap I (akibat portal tidak bergoyang)
Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat beban luar sehingga diperoleh momen.
momen ujung.
6. Tahap II. (akibat portal bergoyang)
Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat pengaruh pergoyangan sehingga
diperoleh momen.momen ujung.
7. Dari tahap I dan II dicari besar reaksi pendelnya, kemudian kedua reaksi pendel ini dijumlahkan
dan disamakan dengan nol dan akan didapatkan suatu angka konstanta.
8. Momen akhir dari ujung.ujung balok dan kolom didapat dengan mengkombinasikan momen.
momen akibat tahap I dan II dengan memasukkan angka konstanta pada tahap II.
9. Dengan cara freebody kemudian dihitung besaran.besaran reaksi dan gaya.gaya dalam, terakhir
digambar bidang Momen. Lintang dan Normal.
10. Untuk menghentikan pendistribusian momen, paling sedikit sudah melakukan 5 putaran dalam
perataan momen dan momen yang didistribusikan sudah mencapai nilai yang kecil
dibandingkan dengan nilai awal dari momen itu sendiri.
&#
Untuk mendapatkan besaran %
& '
(momen primer), Carry over factor (COF) dan
kekakuan balok (stiffness factor) akibat berbagai jenis beban pada balok dan kolom dengan
kekakuan yang tidak merata, maka perlu dicari terlebih dahulu besar putaran sudut yang terjadi.
Untuk mendapatkan rumus deformasi/putaran sudut akibat berbagai beban digunakan metode unit
load. Penurunan rumus tersebut sudah dibahas pada penulisan yang diajukan Wijaya. J (2013).
' '( () ! ') *(!+ , - ! , . ) /0
-(! '
)(,(! ( !(0 0 ,
) * "
* ' 0(!1
P
A
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
B
θA =
PL2
24EI
θB =
5PL2
96EI
L
Gambar 1. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang
2
q
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
θA =
7qL3
(+)
256EI
θB =
9qL3
(.)
256 EI
θB =
MAL
(+)
8EI
L
Gambar 2. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban
MA
θB
θA
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
θA =
3M A L
(.)
16 EI
L
Gambar 3. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A
θA
A
θB B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
MB
θA =
M BL
(.)
8EI
θB =
5M B L
(+)
16 EI
L
Gambar 4. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B
A
MA
EI
θA
2EI
1/4L
1/2L
B
EI
θB
1/4L
θA =
17 M A L
(+)
64 EI
θB =
7M A L
( .)
64 EI
Gambar 5. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A
A
θA
EI
1/4L
θB
2EI
EI
1/2L
1/4L
MB
B
θA =
7M BL
( .)
64 EI
θB =
17 M B L
( +)
64 EI
Gambar 6. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B
q
EI
A 1/4 L
7 qL3
(+)
θA =
256 EI
7 qL3
(.)
θB = .
256 EI
EI
2EI
1/4 L B
1/2L
L
Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q sepanjang bentang
3
P
1/2L
EI
A 1/4 L
5 PL2
(+)
θA =
128 EI
EI
1/4 L B
2EI
1/2L
L
5 PL2
(.)
θB = .
128 EI
Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang
&&
&&
2
3
P
MA
A
2EI
1/2 L
MB
B
EI
1/2 L
C
FE M AB = −
7
PL
66
FE M BA =
L
10
PL
66
Gambar 8. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P
q
&&#
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
FE M AB = −
FE M BA =
L
17 2
qL
176
13 2
qL
176
Gambar 9. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q
MA
& & &. A
P
EI
1/4 L
2EI
1/2 L
L
EI
1/4 L
MB
B
10
FE M AB = . PL
96
FE M BA =
10
PL
96
Gambar 10. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P
& & 4.
q
MA
A
EI
1/4 L
2EI
1/2 L
L
MB
EI
1/4 L
FE M AB = .
B
FE M BA =
7 2
qL
96
7 2
qL
96
Gambar 11. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q
4
&&5
∆
B
FE M A = .
MB
112EIC
11L2
1/2 L EI
FE M B = .
L
80EIC
11L2
1/2 L 2EI
RAB = ∆/L
MA
A
:
Gambar 12. Struktur Kolom Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI dengan pergoyangan sebesar ∆
4
)**+,
*
6
A
2EI
- 6
$
B
EI
1/2 L
1/2 L
7 #35
7 #3&
. -/, *
-
Kekakuan balok AB adalah
80EI
11L
Kekakuan balok BA adalah
48EI
11L
Gambar 13. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI
A
EI
1/4 L
7 83 8
2EI
1/2 L
EI
1/4 L
7 83 8
B
Kekakuan balok AB adalah
68EI
15L
ekakuan balok BA adalah
68EI
15L
Gambar 14. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI
5
+
Analisis free body dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan akibat beban luar dan momen
ujung pada setiap balok.
1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang.batang yang bebas.
2. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung
yang telah diperoleh.
3. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah 2 untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan
total.
5
4. Dengan data.data pada langkah 2, hitung momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.
5. Gambar bidang momen, lintang dan normal.
9
$
$
q=60 kN/m
. -
P =100 kN
C EI
EI
3m
EI
3m
2EI
; 5 , )
Company,.
, Mc Graw Hill International Book
@
+ ! "
! 6#A & , Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan
Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3, 167.178.
@
+ ! "
! 6#A 4 , Penggunaan Metode Slope Deflection Pada Struktur
Statis Tak Tentu dengan Kekakuan yang Tidak Merata dalam Satu Balok" Jurnal Kajian
Teknologi Volume 10 Nomor 2, 93.100.
10
! !
1)
2)
Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar
Email: jemyw@ft.untar.ac.id
Dosen Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Untar
Email: fannywatii@ft.untar.ac.id
!
" !
!
#$
Kata kunci: kekakuan, koefisien distribusi, faktor pemindah, momen primer, goyangan
!
"
%
(
#
$ %
# "
"
&
'
%
$
Metode Cross ini awalnya diperkenalkan oleh Prof. Hardy Cross pada tahun 1930 yang merupakan
suatu metode dalam penyelesaian analisis struktural balok kontinu dan kerangka kaku statis tak
tentu. Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persaman.persamaan
serempak di dalam metode defleksi dengan pendekatan berturut.turut, dengan ketelitian cukup baik
dengan syarat iterasi yang dilakukan mimimal lima cycle/putaran (Chu, 1985: 262).
#
$
Dalam metode Cross (distribusi moment) terdapat beberapa pengertian sebagai berikut:
% Faktor pemindah/koefisien induksi (c
)
Suatu faktor pemindah terhadap perataan momen pada satu titik untuk mendapatkan momen
pada ujung titik lainnya.
. Faktor distribusi (
)
Perbandingan besaran momen yang terdistribusi pada batang.batang yang bertemu di satu titik
1
atau koefisien distribusi untuk besaran momen.momen yang diterima batang.batang yang
bertemu pada satu titik percabangan.
. Faktor kekakuan (
)
suatu faktor pengali yang didapat dari kekakuan balok untuk menentukan besarnya momen di
satu titik yang diperlukan untuk berputar sudut dititik tersebut sebesar satu radial.
. Momen primer (
)
Besaran momen pada ujung balok akibat beban luar dan akibat pergoyangan.
& $
$
&
1. Hitung momen primer setiap balok akibat beban merata maupun terpusat.
2. Hitung momen primer pada kolom akibat pergoyangan.
3. Hitung nilai kekakuan lentur (faktor kekakuan) setiap balok dan kolom.
4. Hitung koefisien distribusi balok dan kolom pada setiap titik kumpul dengan faktor pemindah
(carry over factor) untuk balok dan kolom.
5. Tahap I (akibat portal tidak bergoyang)
Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat beban luar sehingga diperoleh momen.
momen ujung.
6. Tahap II. (akibat portal bergoyang)
Buat tabel Cross dan lakukan distribusi momen akibat pengaruh pergoyangan sehingga
diperoleh momen.momen ujung.
7. Dari tahap I dan II dicari besar reaksi pendelnya, kemudian kedua reaksi pendel ini dijumlahkan
dan disamakan dengan nol dan akan didapatkan suatu angka konstanta.
8. Momen akhir dari ujung.ujung balok dan kolom didapat dengan mengkombinasikan momen.
momen akibat tahap I dan II dengan memasukkan angka konstanta pada tahap II.
9. Dengan cara freebody kemudian dihitung besaran.besaran reaksi dan gaya.gaya dalam, terakhir
digambar bidang Momen. Lintang dan Normal.
10. Untuk menghentikan pendistribusian momen, paling sedikit sudah melakukan 5 putaran dalam
perataan momen dan momen yang didistribusikan sudah mencapai nilai yang kecil
dibandingkan dengan nilai awal dari momen itu sendiri.
&#
Untuk mendapatkan besaran %
& '
(momen primer), Carry over factor (COF) dan
kekakuan balok (stiffness factor) akibat berbagai jenis beban pada balok dan kolom dengan
kekakuan yang tidak merata, maka perlu dicari terlebih dahulu besar putaran sudut yang terjadi.
Untuk mendapatkan rumus deformasi/putaran sudut akibat berbagai beban digunakan metode unit
load. Penurunan rumus tersebut sudah dibahas pada penulisan yang diajukan Wijaya. J (2013).
' '( () ! ') *(!+ , - ! , . ) /0
-(! '
)(,(! ( !(0 0 ,
) * "
* ' 0(!1
P
A
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
B
θA =
PL2
24EI
θB =
5PL2
96EI
L
Gambar 1. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang
2
q
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
θA =
7qL3
(+)
256EI
θB =
9qL3
(.)
256 EI
θB =
MAL
(+)
8EI
L
Gambar 2. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban
MA
θB
θA
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
θA =
3M A L
(.)
16 EI
L
Gambar 3. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A
θA
A
θB B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
MB
θA =
M BL
(.)
8EI
θB =
5M B L
(+)
16 EI
L
Gambar 4. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B
A
MA
EI
θA
2EI
1/4L
1/2L
B
EI
θB
1/4L
θA =
17 M A L
(+)
64 EI
θB =
7M A L
( .)
64 EI
Gambar 5. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A
A
θA
EI
1/4L
θB
2EI
EI
1/2L
1/4L
MB
B
θA =
7M BL
( .)
64 EI
θB =
17 M B L
( +)
64 EI
Gambar 6. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B
q
EI
A 1/4 L
7 qL3
(+)
θA =
256 EI
7 qL3
(.)
θB = .
256 EI
EI
2EI
1/4 L B
1/2L
L
Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q sepanjang bentang
3
P
1/2L
EI
A 1/4 L
5 PL2
(+)
θA =
128 EI
EI
1/4 L B
2EI
1/2L
L
5 PL2
(.)
θB = .
128 EI
Gambar 7. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P ditengah bentang
&&
&&
2
3
P
MA
A
2EI
1/2 L
MB
B
EI
1/2 L
C
FE M AB = −
7
PL
66
FE M BA =
L
10
PL
66
Gambar 8. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P
q
&&#
A
B
EI
1/2 L
2EI
1/2 L
FE M AB = −
FE M BA =
L
17 2
qL
176
13 2
qL
176
Gambar 9. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q
MA
& & &. A
P
EI
1/4 L
2EI
1/2 L
L
EI
1/4 L
MB
B
10
FE M AB = . PL
96
FE M BA =
10
PL
96
Gambar 10. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban terpusat P
& & 4.
q
MA
A
EI
1/4 L
2EI
1/2 L
L
MB
EI
1/4 L
FE M AB = .
B
FE M BA =
7 2
qL
96
7 2
qL
96
Gambar 11. Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban merata q
4
&&5
∆
B
FE M A = .
MB
112EIC
11L2
1/2 L EI
FE M B = .
L
80EIC
11L2
1/2 L 2EI
RAB = ∆/L
MA
A
:
Gambar 12. Struktur Kolom Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI dengan pergoyangan sebesar ∆
4
)**+,
*
6
A
2EI
- 6
$
B
EI
1/2 L
1/2 L
7 #35
7 #3&
. -/, *
-
Kekakuan balok AB adalah
80EI
11L
Kekakuan balok BA adalah
48EI
11L
Gambar 13. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI
A
EI
1/4 L
7 83 8
2EI
1/2 L
EI
1/4 L
7 83 8
B
Kekakuan balok AB adalah
68EI
15L
ekakuan balok BA adalah
68EI
15L
Gambar 14. Carry Over Factor untuk Struktur Jepit.jepit dengan kekakuan balok 2EI dan EI
5
+
Analisis free body dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan akibat beban luar dan momen
ujung pada setiap balok.
1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang.batang yang bebas.
2. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung
yang telah diperoleh.
3. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah 2 untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan
total.
5
4. Dengan data.data pada langkah 2, hitung momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.
5. Gambar bidang momen, lintang dan normal.
9
$
$
q=60 kN/m
. -
P =100 kN
C EI
EI
3m
EI
3m
2EI
; 5 , )
Company,.
, Mc Graw Hill International Book
@
+ ! "
! 6#A & , Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan
Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3, 167.178.
@
+ ! "
! 6#A 4 , Penggunaan Metode Slope Deflection Pada Struktur
Statis Tak Tentu dengan Kekakuan yang Tidak Merata dalam Satu Balok" Jurnal Kajian
Teknologi Volume 10 Nomor 2, 93.100.
10