MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM KENDALI

  

MODEL MATEMATIS

SISTEM DINAMIS DAN

SISTEM KENDALI

• PENDAHULUAN
• KLASIFIKASI SISTEM
• MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

• PEMODELAN STATE SPACE

  

PENDAHULUAN

• Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya.
• Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tsb secara memadai.
• Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem ybs.
• Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton.
• Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, Ohm.
• Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.
• Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti.
• Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis.
• Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor- faktor penting saja dalam pemodelan.

• Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem.
• Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi.
• Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).
• Dua pendekatan analisis :
>Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
• State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)

KLASIFIKASI SISTEM

• LINEAR VS NONLINEAR
• TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
• CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
• DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
• LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS
• TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

• LINEAR VS NON-LI>Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.
• Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)
• Sistem linear : berlaku hukum superposisi:

  Daerah linear

• respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda merupakan kombinasi respons masing-masing input.
• Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.
• Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.
• Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu, sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.

TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

• Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu.
• Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.
• Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu.
• Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.
• Contoh Sistem Kendali Time-varying:

  Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

• Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu.
• Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel / sinyal yang diskrit terhadap waktu.

DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

• Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.
• Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.

  LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS

• Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik.
• Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.
• Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem transmisi.
• Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.

TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

• Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).
• Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi

  (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu. Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1) R L

  Hukum Fisis : Kirchoff Persamaan dinamis sistem / Persamaan differensial

  c e e

  i o

  di

  1 i

  L Ri idt e

• =

  i ∫ dt c

  1 idt e

  = o

  ∫ c

  Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

  1 sLI ( s ) RI ( s ) I ( s ) E ( s )

  = + + i

  Cs

1 I ( s )

  I ( s ) E ( s ) sE ( s ) = → = _{o o} sC C ₂ I ( s ) s LI ( s ) RsI ( s ) sE ( s )

• =

  _i

  c

  Fungsi alih :

  I ( s ) C E ( s )

  1

  o = =

  2

1 E ( s ) 

  2  LCs RCs

  1

  i s L Rs + + I ( s )

    C

   

  Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2) L R

  1

• C e(t)

  L e (t)

• 2

  i (t) i (t)

  1

  2

  di

  1 e t ( ) Ri L e ( )

  1 = + +

  1

  1 dt di

  2 e L ( )

  2 =

  2 dt i = i t ( ) − i t ( ) c

  1

  2

  d e i i C ( )

  3 − =

  1

  2 d ( ) t e dt

  }

i C

  = c dt Transformasi Laplace :

  E s ( ) E s ( ) sL I s ( ) ( )

  2 I s ( ) ( )

  2

  − → = _{2 2}

₂

sL ₂ I s ( ) − I s ( ) = sC E s ( ) ( )

  3

  1

2 E s ( ) R sL I s ( ) E s ( ) ( )

  1 = + + _{1 1}

  ( ) E s ( ) E s ( )

  − I s ( ) ( )

  1

  =

  R sL

• 1

  1 ( ) & ( )

  1 2 ( )

  3 →

  E s ( ) E s ( ) E s ( ) − sC E s ( )

  − =

• R sL sL
₁ 2<
• SL E s ( ) sL E s ( ) R sL E s ( )
₂ − − _{2 1} ( ) sC E s ( )

  = ( )( ) ₂

• R sL sL
_{1 2} sL E s R s L L E s R sL s L C E s ^{2 ( )} _{2 −} ( ) ( ) ₁ 2 =<
¹ ( ) ( )

  ( ) ( ) ² + sL E s ( ) s L C R _{2 =}

^{2 sL s L L R E s ( )}

₁
¹

² ( ) ( )

  [ ] E s ( ) sL ₂

  = ₂ E s ( ) s L C R sL s L L R _{2 1} + + + + _{1 2}

  ( ) ( ) sL

  2

  =

  3

  2

  s L L C s L CR s L L R

  1

  2

  2

  1

  2

  ( )

  Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)

  R Op Amp ideal :

  2 i

  2 Z = ~ in Sehingga i = 0

  R

  1

• i e e i

  x

  e ~0 virtual ground,

  i

  1 e ^x

• o

  sehingga

  i i ₁ = ₂ Persamaan Rangkaian: e e e e e e

  − − − i x x o i o

  = ⇒ = R R R R

  1

  2

  1

2 Diperoleh:

  R

  2

  e e : = − o

  R

  1

  Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (4) i c

  2 i i i

  = +

  1

  2

  3

  e e e − i x i

  R

  2 i i

  3 ~

  =

  1 R R 1 i

  R

  1 d e e

• x o

  ( ) −

  e i C i x

  =

  1 dt e e i o de

• 2

  − o

  C ~ dt e e e

  − − x o o i

  ~ =

  3 R R

  2

  2

  e de e i o o

  C = − −

  R dt R

  1

2 E ( s ) E ( s )

  i o sCE ( s )

  = − − o

  R R

  1

  2

  sehingga E ( s ) R

  1   o

  2

  = −

  1 i

• E ( s ) R R Cs

  1

  2

   

  Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi(1) n input

  pada t &lt; 0 : sistem tak bergerak pada t = 0 gerobak di gerakan

  y output

  dengan kecepatan konstan

  k m dn kons tan

  = dt b

  y = output relatif terhadap ground

  2 d y dy dn

   

• m b k y n

  − −

  2 ( ) dt  dt dt  +

  2 d y dy dn m b ky b kn

  =

+ + +

  2 dt dt dt

  Laplace :

  2

  ms bs k Y ( s ) bs k U ( s )

• =

  ( ) ( )

• Y ( s ) bs k

  =

2 U ( s ) ms bs k

• + +

  Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2) x k m gaya luar f b

  Hukum Newton kedua : M = massa, (kg)

  2 A = percepatan, m / s

  ma F =

  ∑

  F = gaya, N

  2

  d x dx m b kx f

• =

  2 dt Laplace :

• d

  2

  ms X s ( ) bs X s ( ) kX s ( ) F s ( )

• =

  Diperoleh Fungsi Alih: X s ( )

  1 =

2 F s ( ) ms bs k

  Ambil :

  f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

  1

  1 X s ( ) = =

  2

  Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

J α T

  = ∑

  2 J = momen inersia beban kg m

  2 = percepatan sudut beban rad / s

  α

  T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

  J w T b

  2 d θ d θ

• J b T

  =

  2 dt dt

  = kecepatan sudut rad / s

  ω

  = simpangan sudut (rad)

  θ atau : d ω

• J b ω T

  = dt

  Model Matematis untuk Generator DC : R R L f g g e z e a L e

  

Lf g

f i a i f i = arus jangkar i = arus medan n a f

  Kecepatan konstan n

  ο

  Arus output i dapat dikontrol dari besarnya arus i

  ο a

  f

  e k n φ = ⋅ ⋅

  (1) g

  1 e k i

  = ⋅ g g f

  } φ k i

  = ⋅ f

  2

  generator

  Konstanta KVL pada kiri/input : d

  (1) : e R i L

  ( )

  2 = f f f f dt e g i

• if

  ( )

  3 = f k g

  Substitusi (3) - à (2):

  e L de

  e R = f f k k dt g g

• g f g
Dalam Laplace:

  1 E s R sL E s ( ) ( ) = + f f f g

  [ ] k g

  FungsiAlih : E s k

  ( ) g g

  =

  ( ) f f f

• E s R sL

  

KVL pada loop kanan/ouput

d ia e e i R L L

  ; − + = + + − a g a g g dt e i z

  = ⋅ a a L

  Atau:

  e a i

  = a z

  L Substitusi :

  L e de g

a a

e e R

  − + + = − a g g z z dt

  L L R L de

   g g  a e e e

  = + + g at a

    z z dt

  L L  

  R sL 

g g 

  E ( s )

1 E ( s )

  = + + g a

    z ( s ) z ( s )

  L L  

   z s ( )  L

  E s ( )   = a z s ( )

    L

  Diperoleh:

  E s ( ) z ( ) s a L

  = E s ( ) z ( ) s R L s

  g L g g

  Sehingga :

  E s ( ) E s ( ) E s ( ) g a a x

  = E ( ) s E ( ) s E s ( ) f f g

  R g z ( ) s L x

  = R sLf z ( ) s R sLg

  L g

  Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar rangkaian jangkar R

  L

  m m

  e τ e

  m (t)

  θ

  a o

  simpangan sudut i

  a

  J inersia i = arus jangkar L

  a f

  B= damping

  I

  f

  

E

= konstan

  f

  i

  f

  

= arus medan

  e = tegangan terinduksi m

  

e k n n= kecepatan rotasi (putaran)motor

φ = ⋅ ⋅ m

  1

  φ k i = konstan φ

  = ⋅ f

2 I = konstan

  f

  sehingga d θ o

  K = konstanta tegangan motor e

  e k n k = ⋅ = m e e dt

  Persamaan rangkaian :

d

ia e R i L e

  =

+ +

a m a m m dt d d θ ia o e R i L k

  =

+ +

a m a m e dt dt E s ( ) R sL I ( ) s k s θ ( ) s

  = + + a m m a e o

  ( )

  Persamaan Beban Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yang dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar i a

  T = k . i T a

  K = konstansta torsi motor T

  2 d θ d θ

  T J B =

  2 dt dt

• o

  atau :

• 2

  k I ( s ) Js B ( s ) T a s o

• = Θ

  ( ) sehingga :

  Dengan definisi : L m

  T = → a Konstanta waktu jangkar

  R m

  J R

  Konstanta waktu motor

  m T

  = → m k k e T

  R B m

  Faktor redaman

  γ = → k k e T

  Diperoleh:

  s k

  1 Θ ( ) s

  =

2 E s

  ( ) a s T T s T T s

  γ γ

  1

  a m m a ( )

  ( ) [

  ] Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar : back emf volt R

  L a a simpangan sudut pores motor rad

  θ e e b Τ

  J a i a

moren

b = kref gesekan motor + beban inersia m i = arus jangkar

  N / rad/s a motor + beban

  2 i konstan kg m f arus medan torsi yang dihasilkan motor, N m

  Fluksi oleh arus medan : ψ k i Konstan untuk i ψ konstan

  = ⋅ →

  f

  f f Torsi T :

  T k i φ k i k i k i = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ i a i a f f a k = konstanta motor - torsi

  Tegangan Back EMF: Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &amp; kecepatan sudut putaran poros motor.

  d θ e k

  = ⋅ b b dt

   Persamaan input : di a

  L R i e e = + + a a a b a dt

  Persamaan output :

  2

  d d θ θ

  = ⋅ = a

• T k i J b

  2

  dt dt

  Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor Ward-Leonard

  Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar

  Konfigurasi dasar : L L R m

  R R g m f g e e

  

L g e

f m f i i θ f a o n

  J

  I f generator dc

  B E f servo motor

  Fungsi alih : E s k

  ( ) g g

  = E s R sL

  ( )

• f f f

  Persamaan Loop kanan : d d θ _{in o} e R R i L L k _{g g m a g m e} = + + + +

  ( ) ( ) dt dt E s ( ) R R s L L I s ( ) k s ( ) s _{g g m g m a e o} = + + + + Θ

  ( ) ( ) [ ]

  Persamaan Beban : o

  2

  d d θ θ

  T J B =

• o

  2 dt

• d

  k I ( s ) Js Bs ( s ) ⋅ = Θ

• 2

  T a o ( ) ( )

  Js B s

• 2

  I ( s ) ( s ) = Θ a o k

  T

  atau :

  e e R R R ; L L L , sehingga → ⋅ → → + + a g m m g m m g

  

( ) ( )

( ) s kT

  Θ _o = ₂ E s ( ) _g s J L L s R R J L L B s R R B k k _{m g m g m g m g e T} + + +

  ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

  [ ]

  sehingga :

  E s ( ) s ( ) s g ( )

  Θ o Θ o x

  = e ( ) s E s ( ) E ( ) s f g f = …………………….. Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Medan

  R

  f

  I

  a = arus jangkar konstan

  L e

  f f

  E

  a

  i

  f

  (t) i = arus medan

  θ

o

f

  J B Torsi yang dihasilkan motor :

  T ~ φ kons tan

=

a

  ~ i f

  sehingga

  T = k . i T f

  Pers beban :

  2 d θ d θ

  T J B =

• o o

  2 dt dt

2 J d d

  θ θ

i B

  = f

• o o

  2

  kT dt dt

  Pers loop kiri / input :

  di

  e i R L = f f f f dt

• f

  Diperoleh:

  k R B θ ( s ) ⋅ T f o

  → = E ( s ) s

1 T s

  1 T s

  f f ( m ) ( )

  Lf

  Konstanta waktu rangkaian

  T = = f

  Rf J T

  = = m Konstanta waktu motor

  B