19. Modul Turunan (Diferensial) Pak Sukani

TURUNAN (DIFERENSIAL)

a. Turunan Fungsi Aljabar

Rumus Dasar Turunan

1. f (x) = axn df (x)/dx atau f' (x) = n . axn – 1 2. f (x) = ax  f' (x) = a

3. f (x) = a  f' (x) = 0 4. f (x) = ln x  f'(x) =

x 1

5. f (x) = ex f' (x) = ex Contoh :

1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 3x Jawab :

f'(x) = 2 . 2x2 – 1 + 3 = 4x + 3

2. Turunan dari f(x) = 4x3– 2x2 + 6x – 5 adalah : Jawab :

f' (x) = 3 . 4x3 – 1– 2 . 2x2 – 1 + 6 = 12x2– 4x + 6

3. Turunan dari f(x) = (x – 2) (2x + 6) adalah : Jawab :

f (x) = 2x2 + 6x – 4x – 12 = 2x2 + 2x – 12 f' (x) = 4x + 2

4. Turunan dari f(x) = (2x + 3)2 adalah : Jawab :

f (x) = 4x2 + 12x + 9 f' (x) = 8x + 12

5. Tentukan turunan pertama dari f (x) = ₂ 2 3

2 6 4 2

x x x

x  

Jawab :

Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu

f (x) = _{2 3}

2 2 3

2 6 2

4 2 2

x x x

x x x



 = x – 2 + 3x-1 f' (x) = 1 – 0 + (-1) . 3x–1 – 1

f' (x) = 1 – 3x–2 f' (x) = 1 – 3₂

x

6. Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = 2x x – 4 x Jawab :

f (x) = 2x x – 4 x = 2 2 3

x – 4 2 1 x f' (x) = 2 .

2 3 ₂1

x – 4 .

2

1 ₂1

x = 3 2 1 x –

2 1 x

2

f' (x) = 3 x – x 2

Aturan Rantai

1. f(x) = Un  f'(x) = n . Un – 1 . U' Contoh :

1. f(x) = (2x – 5)3 f'(x) = 3 (2x – 5)2 . 2 f'(x) = 6 (2x – 5)2 2. f(x) = (3x + 2)5

f'(x) = 5 (3x + 2)4 . 3 f'(x) = 15 (3x + 2)4

3. f(x) = (5x3) = (5x – 3)1/2 f'(x) = (5 3) .5

2

1 ₂1

 x f'(x) =

3 5 2

5  x

2. f(x) = U.V  f'(x) = U' . V + V' . U Contoh :

1. f(x) = (3x + 1) . (5x – 3) f'(x) = 3 (5x – 3) + 5 (3x + 1) f'(x) = 15x – 9 + 15x + 5 f'(x) = 30x – 9

2. f(x) = (2x2– 3) . (x2 + 4)

f'(x) = 4x (x2 + 4) + 2x (2x2– 3) f'(x) = 4x3 + 16x + 4x2– 6x f'(x) = 8x2 + 10x

3. f(x) = V U

 f'(x) = '. ₂ '. V

U V V

U 

Contoh : 1. f(x) =

) 5 2 (

) 3 4 (

  x x

f'(x) = 2 ) 5 2 ( ) 3 4 ( 2 ) 5 2 ( 4     x x x f'(x) = 2 ) 5 2 ( 6 8 20 8     x x x f'(x) = 2 ) 5 2 ( 26  x

2. f(x) =

) 6 2 ( ) 5 3 (   x x f'(x) = 2 ) 6 2 ( ) 5 3 ( 2 ) 6 2 ( 5      x x x f'(x) = 2 ) 6 2 ( 5 6 30 10      x x x f'(x) = 2 ) 6 2 ( 24  x

Atau dengan cara lain : f(x) = d cx b ax  

 f'(x) = ₂

) ( . . d cx b c d a   Contoh : 1. f(x) =

) 5 2 ( ) 3 4 (   x x f'(x) = 2 ) 5 2 ( ) 6 ( 20    x f'(x) = 2 ) 5 2 ( 26  x

2. f(x) =

) 6 2 ( ) 5 3 (   x x

f'(x) = ₂

) 6 2 ( 3 . 2 ) 6 ).( 5 (    

x = (2 6)2

6 30

  x

f'(x) = ₂

) 6 2 ( 24  x

b. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

1. f (x) = sin ax → f' (x) = a cos ax 2. f (x) = cos ax → f' (x) = -a sin ax

3. f (x) = sin (ax + b) → f' (x) = a cos (ax + b) 4. f (x) = cos (ax + b) → f' (x) = -a sin (ax + b) Contoh :

1. Turunan dari f (x) = 2 sin 3x adalah : Jawab :

f'(x) = 3 . 2 cos 3x = 6 cos 3x 2. Turunan dari f (x) = 4 cos (2x – 5)

Jawab :

f'(x) = -2 . 4 cos (2x – 5) = -8 sin (2x – 5)

3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 4sin 2x – 3 cos x Jawab :

f'(x) = 4 . 2 cos 2x + 3 sin x = 8 cos 2x + 3 sin x

4. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 2 sin (4x – 1) + 3 cos (5 – 2x) Jawab :

f'(x) = 2 . 4 cos (4x – 1) – (-2) sin (5 – 2x) = 8 cos (4x – 1) + 2 sin (5 – 2x)

5. Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos (3x + 2) + 5 sin (2x – 7) Jawab :

f'(x) = –3 sin (3x + 2) + 10 cos (2x – 7) Nilai Turunan

Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f(x)  f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu, kemudian x nya diganti dengan a

Contoh :

1. Tentukan nilai f'(3) dari : f(x) = 3x2 + 6x – 5 Jawab :

f'(x) = 6x + 6  f'(3) = 6(3) + 6 = 18 + 6 = 24 2. Tentukan nilai f'(2) dari : f(x) = (3x + 2) (2x – 4)

Jawab :

f(x) = 6x2– 12x + 4x – 8 = 6x2 + 8x – 8

f'(x) = 12x – 8  f'(2) = 12(2) – 8 = 24 – 8 = 16 3. Tentukan nilai f'(4) dari : f(x) = (2x – 5)3

Jawab :

f'(x) = 3 (2x – 5)2 . 2 f'(x) = 12 (2x – 5)2

f'(4) = 12 (2(4) – 5)2 = 12 (3)2 = 12 . 9 = 108 4. Tentukan nilai f'(2) dari :

) 3 3 (

) 6 5 ( ) (

  

x x x f Jawab :

2 ) 3 3 (

) 6 .( 3 ) 3 .( 5 ) ( '

    

x x

f = ₂

) 3 3 (

18 15

  

x = (3 3)2 3  x

3 1 9 3 ) 3 6 (

3 )

3 ) 2 ( 3 (

3 )

2 (

' _{2 2}  

   

f

5. Tentukan nilai f'(30o) dari f(x) = 3 sin 2x adalah : Jawab :

f'(x) = 6 cos 2x

f' (30o) = 6 cos 2(30o) = 6 cos 60o = 6 .

2 1

= 3 6. Tentukan nilai f'(45o) dari f(x) = 4 cos (3x + 15o)

Jawab :

f'(x) = –12 sin (3x + 15o)

f'(45o) = –12 sin (3(45o) + 15o) = –12 sin (135o + 15o) = –12 . sin 150o = –12 .

2 1

= –6 c. Pemakaian Turunan

1. Fungsi naik, Fungsi turun, dan Stationer

Pada gambar fungsi f (x), titik P terletak pada kurva dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk x < a, fungsi f (x) merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk x > a, fungsi f (x) merupakan fungsi naik. Untuk x = a, fungsi f (x) dalam kondisi diam(tidak turun dan tidak naik). Kondisi diam tersebut dinamakan stationer.

a. Fungsi turun, jika turunannya f' (x) < 0 b. Fungsi naik, jika turunannya f' (x) > 0

c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' (x) = 0 Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x3 + 3x2– 9x + 6 jika fungsinya naik.

Jawab :

Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f (x) > 0  f' (x) > 0 f (x) = x3 + 3x2– 9x + 6  f' (x) = 3x2 + 6x – 9 < 0

3x2 + 6x – 9 > 0 (dibagi dengan 3) x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) (x – 1) > 0 x + 3 < 0  x < –3 x – 1 > 0  x > 1

HP : {x  x < –3 atau x > 1}

f (x) turun f (x) naik y = f (x)

{a, f (x)}

x y

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya turun. Jawab :

Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) < 0  f' (x) < 0 f (x) = x (x – 2)2 = x (x2– 4x + 4) = x3– 4x2 + 4x

f' (x) = 3x2– 8x + 4 < 0 (3x – 2) (x – 2) < 0

3x – 2 > 0  3x < 2  x >

3 2

x – 2 < 0  x < 2

HP : {x 

3 2

< x < 2}

3. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3– 3x2– 9x + 8 jika fungsinya diam (stationer).

Jawab :

Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0  f' (x) = 0 f (x) = x3– 3x2– 9x + 8  f' (x) = 3x2– 6x – 9 = 0

3x2– 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3) x2– 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0 x – 3 = 0  x = 3 x + 1 = 0  x = –1 HP : {–1, 3}

4. Sebuah bola dilemparkan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h (t) = 32 – 4t2 (dalam satuan meter). Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.

Jawab :

h (t) = 32t – 4t2  h' (t) = 32 – 8t Syarat maksimum jika h' (t) = 0 32 – 8t = 0  8t = 32

t = 4 detik

h (4) = 32 (4) – 4 (4)2 = 128 – 64 = 64 meter.

2. Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x1, y1) adalah …. y – y1 = m (x – x1)  m = gradien garis = f'(x)

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2– 5x – 6 di titik (2, – 12).

Jawab :

y = x2– 5x – 6  y' = 2x – 5

m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1 y – y1 = m (x – x1)

y + 12 = –x + 2 x + y + 12 – 2 = 0 x + y + 10 = 0

2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis x1 = 2.

Jawab :

y = x2 + 4  y' = 2x m = 2 (2) = 4

y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8 y = m (x – x1) + y1

y = 4 (x – 2) + 8 y = 4x – 8 + 8 y = 4x

3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan garis y = 3x – 6.

Jawab :

y = 3x2  y' = 6x  m1 = 6x y = 3x – 6  y' = 3  m2 = 3

Karena garisnya sejajar maka m1 = m2 = 3 6x = 3  x1 =

2 1

y1 = 3 (

2 1

)2 = 3 ( 4 1

) = 4 3 y = m (x – x1) + y1 y = 3 (x –

2 1

) +

4 3

y = 3x –

2 3

+

4 3

y = 3x – 4 3

atau 4y – 12x + 3 = 0 Pembahasan soal-soal :

1. Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x4–1) adalah ….

A. 12x6 + x4– x3– 1 C. 7x6 + 4x3– 3x2 E. 42x5 + 12x2– 6x B. 12x6– x4 + x3 D. 7x6– 4x3 + 3x2

UN 03/04 Jawab : C Penyelesaian :

f (x) = x7 + x4– x3– 1 f' (x) = 7x6 + 4x3– 3x2 2. Turunan pertama fungsi :

f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = ….

A. 3 x – 3x C. 3 x + 3x E.

x 3

B. 3 x – 3 D. x 3

– 3x UN 04/05

Jawab : E Penyelesaian :

f (x) = 6 x + 3x = 6 2

1

x + 3x f ' (x) = 3 2

1

x



+ 3 =

2 1

x 3

+ 3

f ' (x) = x 3

+ 3

3. Turunan pertama dari f(x) =

2 x 1 8x  

adalah f'(x) = .... A.

4 4 15

2  

x

x C. 4 4

17

2  

x

x E. 4 4

8

2  

x x B. 4 4 15

2 _{ } 

x

x D. 4 4

17

2 _{ } 

x x

UN 07/08 Jawab : C Penyelesaian : y =

V U

 y' = '. ₂ . '

V V U V U 

U = 8x - 1  U' = 8 dan V = x + 2  V' = 1 f'(x) = 2 ) 2 ( 1 ). 1 8 ( ) 2 .( 8     x x x = 4 4 1 8 16 8

2      x x x x = 4 4 17

2  

x x

atau dengan cara : f(x) = 2 x 1 8x   f'(x) = 2 ) 2 ( ) 1 .( 1 2 . 8    x = 4 4 1 16

2    x x = 4 4 17

2  

x x

4. Turunan pertama dari y = sin 2x –cos 3x adalah ….

A. cos 2x + sin 3x C. –2 cos 2x + 3 sin 3x E. –2 cos 2x – 3 sin 3x

B. –cos 2x – sin 3x D. 2 cos 2x + 3 sin 3x UN 05/06

Jawab : D Penyelesaian :

y = sin 2x  y' = 2 cos 2x y = cos 3x  y' = –3 sin 3x y = sin 2x – cos 3x

y' = 2 cos 2x – (–3 sin 3x) y' = 2 cos 2x + 3 sin 3x 5. Grafik fungsi f (x) =

3 1

x3 + x2–3x + 2 naik pada interval ….

A. x < -3 atau x > 1 C. -3 < atau x < 1 E. 1 < x < 3 B. x < -1 atau x > 3 D. -1 < x < 3

UN 03/04 Jawab : A Penyelesaian :

Syarat fungsi naik : turunan pertama > 0 f' (x) = x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) . (x – 1) > 0 x + 3 < 0 → x < -3 x –1 > 0 → x > 1

karena tanda pertidaksamaan pada soal > maka HP nya menggunakan tanda penghubung atau.

HP : x < -3 atau x > 1

6. Grafik fungsi f (x) = x3–3x + 3, naik pada interval ….

A. -1 < x < 3 C. x > 1 atau x > 3 E. x < -1 atau x > 1 B. 1 < x < -3 D. x < 1 atau x > -1

UN 04/05 Jawab : E Penyelesaian :

Syarat fungsi naik adalah turunannya > 0 f (x) = x3– 3x + 3

f ' (x) = 3x2– 3 > 0  (dibagi 3) x2– 1 > 0

(x – 1) (x + 1) > 0 x – 1 > 0  x > 1 dan x + 1 < 0  x < -1

jadi fungsi naik pada interval : {x < -1 atau x > 1}

7. Titik maksimum dari fungsi y = -x2 + 8x - 12 adalah ….

A. (2, 0) B. (3, 3) C. (4, 4) D. (5, 3) E. (6, 0) UN 07/08

Jawab : C Penyelesaian :

Syarat maksimum, turunannya y' = 0 y = -x2 + 8x - 12  -2x + 8 = 0

2x = 8  x = 4

y = -(4)2 + 8 (4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4

Titik maksimum : (4, 4)

8. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 2x2+ 1 pada titik yang berabsis 1 adalah …. A. 7y – x + 3 = 0 C. y + 7x + 3 = 0 E. y – 7x + 3 = 0 B. y + 7x – 3 = 0 D. y – 7x – 3 = 0

UN 05/06 Jawab : E Penyelesaian :

Persamaan garis singgung : y = m (x – x1) + y1  x1 = 1 y1 = (1)3 + 2 (1)2 + 1 = 1 + 2 + 1 y1 = 4

gradien m = y' = 3x2 + 4x untuk x = 1 m = 3 (1)2 + 4 (1) = 3 + 4 = 7

y = 7 (x – 1) + 4 y = 7x – 7 + 4

y = 7x – 3  y – 7x + 3 = 0

Soal latihan :

1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5x – 6 x adalah f'(x) = ….

A. 5 – x 3

B. 5 + x 3

C. 5 – 3 x D. 5 + 3 x E. 5 – 3x x

2. Turunan pertama dari fungsi : f (x) = 2x3 (x2–3) adalah f '(x) = ….

A. 2x5– 6x3 C. 2x2 (5x2– 9) E. 2x (5x2– 9) B. 10x4– 6x2 D. 2x2 (5x2– 9x)

3. Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2+ 6) adalah f' (x) = ….

A. 6 (x2– x + 2) C. 6x2– 3x + 6 E. 2x3– 3x2 + 12x B. 2 (x2– x + 6) D. 2x3– 3x2 + 12x – 18

4. Turunan pertama dari y = √x + 3x - 2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2 + 3 C ½ x1/2 + 3 D ½ x-1/2 + 3 E ½ x2 + 3 5. Turunan pertama dari y = x + 3x –2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2 + 3 C. ½ x-1/2 + 3 D. ½ x1/2 + 3 E. ½ x2 + 3 6. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x3– 4x2 + 6x adalah f'(x). Nilai dari f'(2) = ....

A. 30 B. 22 C. 18 D. 12 E. 8

7. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2 sin 3x –3 cos x adalah ….

A. 6 cos 3x – 3 sin x C. –6 cos 3x + 3 sin x E. 6 cos 3x + 3 sin x B. –

3 2

cos 3x – 3 sin x D.

3 2

cos 3x + 3 sin x

8. f(x) = 2x2 + 3x – 1, jika f1(x) adalah turunan pertama dari f(x) maka nilai f1(2) = ….

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 E. 11

9. Turunan pertama dari y = cos2x + sin2x adalah ….

A. 2cos2x – 2sin2x C. - cos2x + sin2x E. -4cos2x – 4sin2x B. cos2x – 2sin2x D. 4cos2x + 4sin2x

10. y’ dari y = x2 2x1 adalah ….

A. 2x x22x1 C. (2x2) x22x1 E.

1 2x x

1 x

2_{ }



B. (2x_2) x2 _2x_1 _D.

1 x 2 x

2 x 2

2_{ }



11. Turunan pertama dari y = 3x1 adalah …. A. y' = 3 (3x 1) C. y' =

1) (3x 3

1

 E. y' = (3x 1)

3  B. y' = 3 (3x 1)3 D. y' =

3

1) (3x 3

1 

12. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x2 - 12x + 3, naik pada interval .... A. x < -2 atau x >

2 1

C. 2 < x < 2 1

E. 2 < x < -2 1 B. x <

2 1

atau x > 2 D. -2 < x <

2 1

13. Grafik fungsi f (x) = x3– 6x2– 15x, turun pada interval ….

A. {–1 < x < 5} C. {1 < x < 5} E. {x < –5 atau x > 1}

B. {–5 < x < 1} D. {x < –1 atau x > 5} 14. Interval x dimana f(x) = 2x3_9x2_12x _{turun adalah ....}

A. x< -2 atau x > -1 C. -1 < x < 2 E. 1 < x < 2 B. x < 1 atau x > 2 D. -2 < x < -1

15. Jika y = 3 x 2

4 x 3



 _{, maka y’ = ….}

A. 2 3

B.

3 x 2

3

 C. 2

) 3 x 2 (

3

 D. 2

) 3 x 2 (

3



 _E.

2

) 3 x 2 (

17



16. Nilai minimum lokal dari fungsi y = 1/3x3 - x2 - 3x + 4 adalah ….

A. -9 B. -6 C. -5 D. -1 E. 3

17. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 4x3 + 9x2–12x + 3 adalah ….

A. 4 B. 12 C. 24 D. 31 E. 36

18. Sebuah roket ditembakkan tegak lurus selama t detik dengan persamaan lintasan h(t)= 600t – 5t2 (satuan meter). Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah ... meter.

A. 48.000 B. 36.000 C. 24.000 D. 18.000 E. 9.000 19. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2– 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah ….

A. 3y – x – 11 = 0 C. 3x + y + 11 = 0 E. 3x – y – 11 = 0 B. 3y + x + 11 = 0 D. 3x – y + 11 = 0

20. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x2 - 12x + 3, turun pada interval .... A. -2 < x <

2 1

C. 2 < x <

2 1

E. x <

2 1

atau x > 2 B. 2 < x <

-2 1

D. x < -2 atau x >

2 1

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari f (x) = x (x + 2)2 jika fungsinya turun. Jawab :

Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f (x) < 0  f' (x) < 0 f (x) = x (x – 2)2 = x (x2– 4x + 4) = x3– 4x2 + 4x

f' (x) = 3x2– 8x + 4 < 0 (3x – 2) (x – 2) < 0

3x – 2 > 0  3x < 2  x > 3 2

x – 2 < 0  x < 2

HP : {x  3 2

< x < 2}

3. Tentukan nilai x yang memenuhi dari f (x) = x3– 3x2– 9x + 8 jika fungsinya diam (stationer).

Jawab :

Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f (x) = 0  f' (x) = 0 f (x) = x3– 3x2– 9x + 8  f' (x) = 3x2– 6x – 9 = 0

3x2– 6x – 9 = 0 (dibagi dengan 3) x2– 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0 x – 3 = 0  x = 3 x + 1 = 0  x = –1 HP : {–1, 3}

4. Sebuah bola dilemparkan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h (t) = 32 – 4t2 (dalam satuan meter). Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola.

Jawab :

h (t) = 32t – 4t2  h' (t) = 32 – 8t Syarat maksimum jika h' (t) = 0 32 – 8t = 0  8t = 32

t = 4 detik

h (4) = 32 (4) – 4 (4)2 = 128 – 64 = 64 meter.

2. Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (x1, y1) adalah ….

y – y1 = m (x – x1)  m = gradien garis = f'(x)

Contoh :

1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2– 5x – 6 di titik (2, – 12).

Jawab :

y = x2– 5x – 6  y' = 2x – 5

m = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = –1 y – y1 = m (x – x1)

y + 12 = –x + 2 x + y + 12 – 2 = 0 x + y + 10 = 0

2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + 4 di titik dengan absis x1 = 2.

Jawab :

y = x2 + 4  y' = 2x m = 2 (2) = 4

y1 = (2)2 + 4 = 4 + 4 = 8

y = m (x – x1) + y1

y = 4 (x – 2) + 8 y = 4x – 8 + 8 y = 4x

3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = 3x2 yang sejajar dengan garis y = 3x – 6.

Jawab :

y = 3x2  y' = 6x  m1 = 6x

y = 3x – 6  y' = 3  m2 = 3

Karena garisnya sejajar maka m1 = m2 = 3

6x = 3  x1 =

2 1

y1 = 3 (

2 1

)2 = 3 ( 4 1

) = 4 3 y = m (x – x1) + y1

y = 3 (x – 2 1

) + 4 3

y = 3x – 2 3

+ 4 3

y = 3x – 4 3

atau 4y – 12x + 3 = 0 Pembahasan soal-soal :

1. Turunan pertama dari : f (x) = (x3 + 1) (x4–1) adalah ….

A. 12x6 + x4– x3– 1 C. 7x6 + 4x3– 3x2 E. 42x5 + 12x2– 6x B. 12x6– x4 + x3 D. 7x6– 4x3 + 3x2

UN 03/04 Jawab : C Penyelesaian :

f (x) = x7 + x4– x3– 1 f' (x) = 7x6 + 4x3– 3x2 2. Turunan pertama fungsi :

f (x) = 6 x + 3x adalah f ' (x) = ….

A. 3 x – 3x C. 3 x + 3x E.

x 3

B. 3 x – 3 D. x 3

– 3x UN 04/05

Jawab : E Penyelesaian :

f (x) = 6 x + 3x = 6 2 1 x + 3x f ' (x) = 3 2

1 x



+ 3 = 2 1 x

3 + 3

f ' (x) = x 3

+ 3

3. Turunan pertama dari f(x) = 2 x 1 8x  

adalah f'(x) = .... A.

4 4 15 2  

x

x C. 4 4

17 2  

x

x E. 4 4

8 2  

x x B. 4 4 15 2 _{ }



x

x D. 4 4

17 2 _{ }



x x

UN 07/08 Jawab : C Penyelesaian : y =

V U

 y' = '. ₂ . '

V V U V U 

U = 8x - 1  U' = 8 dan V = x + 2  V' = 1 f'(x) = 2 ) 2 ( 1 ). 1 8 ( ) 2 .( 8     x x x = 4 4 1 8 16 8

2      x x x x = 4 4 17 2  

x x

atau dengan cara : f(x) = 2 x 1 8x   f'(x) = 2 ) 2 ( ) 1 .( 1 2 . 8    x = 4 4 1 16 2  

 x x = 4 4 17 2  

x x

4. Turunan pertama dari y = sin 2x –cos 3x adalah ….

A. cos 2x + sin 3x C. –2 cos 2x + 3 sin 3x E. –2 cos 2x – 3 sin 3x

B. –cos 2x – sin 3x D. 2 cos 2x + 3 sin 3x UN 05/06

Jawab : D Penyelesaian :

y = sin 2x  y' = 2 cos 2x y = cos 3x  y' = –3 sin 3x y = sin 2x – cos 3x

y' = 2 cos 2x – (–3 sin 3x) y' = 2 cos 2x + 3 sin 3x 5. Grafik fungsi f (x) =

3 1

x3 + x2–3x + 2 naik pada interval ….

A. x < -3 atau x > 1 C. -3 < atau x < 1 E. 1 < x < 3 B. x < -1 atau x > 3 D. -1 < x < 3

UN 03/04 Jawab : A Penyelesaian :

Syarat fungsi naik : turunan pertama > 0 f' (x) = x2 + 2x – 3 > 0

(x + 3) . (x – 1) > 0 x + 3 < 0 → x < -3 x –1 > 0 → x > 1

karena tanda pertidaksamaan pada soal > maka HP nya menggunakan tanda penghubung atau.

HP : x < -3 atau x > 1

6. Grafik fungsi f (x) = x3–3x + 3, naik pada interval ….

A. -1 < x < 3 C. x > 1 atau x > 3 E. x < -1 atau x > 1 B. 1 < x < -3 D. x < 1 atau x > -1

UN 04/05 Jawab : E Penyelesaian :

Syarat fungsi naik adalah turunannya > 0 f (x) = x3– 3x + 3

f ' (x) = 3x2– 3 > 0  (dibagi 3) x2– 1 > 0

(x – 1) (x + 1) > 0 x – 1 > 0  x > 1 dan x + 1 < 0  x < -1

jadi fungsi naik pada interval : {x < -1 atau x > 1}

7. Titik maksimum dari fungsi y = -x2 + 8x - 12 adalah ….

A. (2, 0) B. (3, 3) C. (4, 4) D. (5, 3) E. (6, 0) UN 07/08

Jawab : C Penyelesaian :

Syarat maksimum, turunannya y' = 0 y = -x2 + 8x - 12  -2x + 8 = 0

2x = 8  x = 4

y = -(4)2 + 8 (4) - 12 = -16 + 32 - 12 = 4

Titik maksimum : (4, 4)

8. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 2x2+ 1 pada titik yang berabsis 1 adalah …. A. 7y – x + 3 = 0 C. y + 7x + 3 = 0 E. y – 7x + 3 = 0 B. y + 7x – 3 = 0 D. y – 7x – 3 = 0

UN 05/06 Jawab : E Penyelesaian :

Persamaan garis singgung : y = m (x – x1) + y1 x1 = 1

y1 = (1)3 + 2 (1)2 + 1 = 1 + 2 + 1

y1 = 4

gradien m = y' = 3x2 + 4x untuk x = 1 m = 3 (1)2 + 4 (1) = 3 + 4 = 7

y = 7 (x – 1) + 4 y = 7x – 7 + 4

y = 7x – 3  y – 7x + 3 = 0

Soal latihan :

1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5x – 6 x adalah f'(x) = ….

A. 5 –

x

3

B. 5 +

x

3

C. 5 – 3 x D. 5 + 3 x E. 5 – 3x x

2. Turunan pertama dari fungsi : f (x) = 2x3 (x2–3) adalah f '(x) = ….

A. 2x5– 6x3 C. 2x2 (5x2– 9) E. 2x (5x2– 9) B. 10x4– 6x2 D. 2x2 (5x2– 9x)

3. Turunan pertama dari f (x) = (2x – 3) (x2+ 6) adalah f' (x) = ….

A. 6 (x2– x + 2) C. 6x2– 3x + 6 E. 2x3– 3x2 + 12x B. 2 (x2– x + 6) D. 2x3– 3x2 + 12x – 18

4. Turunan pertama dari y = √x + 3x - 2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2 + 3 C ½ x1/2 + 3 D ½ x-1/2 + 3 E ½ x2 + 3 5. Turunan pertama dari y = x + 3x –2 adalah y' = ….

A. ½ x + 3 B. ½ x-2 + 3 C. ½ x-1/2 + 3 D. ½ x1/2 + 3 E. ½ x2 + 3 6. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2x3– 4x2 + 6x adalah f'(x). Nilai dari f'(2) = ....

A. 30 B. 22 C. 18 D. 12 E. 8

7. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 2 sin 3x –3 cos x adalah ….

A. 6 cos 3x – 3 sin x C. –6 cos 3x + 3 sin x E. 6 cos 3x + 3 sin x B. –

3 2

cos 3x – 3 sin x D. 3 2

cos 3x + 3 sin x

8. f(x) = 2x2 + 3x – 1, jika f1(x) adalah turunan pertama dari f(x) maka nilai f1(2) = ….

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 E. 11

9. Turunan pertama dari y = cos2x + sin2x adalah ….

A. 2cos2x – 2sin2x C. - cos2x + sin2x E. -4cos2x – 4sin2x B. cos2x – 2sin2x D. 4cos2x + 4sin2x

10. y’ dari y = x2 2x1 adalah ….

A. 2x x22x1 C. (2x2) x22x1 E.

1 2x x

1 x

2_{ }



B. (2x_2) x2 _2x_1 _D.

1 x 2 x 2 x 2

2_{ } 

11. Turunan pertama dari y = 3x1 adalah …. A. y' = 3 (3x 1) C. y' =

1) (3x 3

1

 E. y' = (3x 1)

3  B. y' = 3 (3x 1)3 D. y' =

3 1) (3x 3 1 

12. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x2 - 12x + 3, naik pada interval .... A. x < -2 atau x >

2 1

C. 2 < x < 2 1

E. 2 < x < -2 1 B. x <

2 1

atau x > 2 D. -2 < x < 2 1

13. Grafik fungsi f (x) = x3– 6x2– 15x, turun pada interval ….

A. {–1 < x < 5} C. {1 < x < 5} E. {x < –5 atau x > 1}

B. {–5 < x < 1} D. {x < –1 atau x > 5} 14. Interval x dimana f(x) = 2x3_9x2_12x _{turun adalah ....}

A. x< -2 atau x > -1 C. -1 < x < 2 E. 1 < x < 2 B. x < 1 atau x > 2 D. -2 < x < -1

15. Jika y = 3 x 2 4 x 3 

 _{, maka y’ = ….}

A. 2 3 B. 3 x 2 3

 C. 2

) 3 x 2 ( 3

 D. 2

) 3 x 2 ( 3   _E. 2 ) 3 x 2 ( 17 

16. Nilai minimum lokal dari fungsi y = 1/3x3 - x2 - 3x + 4 adalah ….

A. -9 B. -6 C. -5 D. -1 E. 3

17. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 4x3 + 9x2–12x + 3 adalah ….

A. 4 B. 12 C. 24 D. 31 E. 36

18. Sebuah roket ditembakkan tegak lurus selama t detik dengan persamaan lintasan h(t)= 600t – 5t2 (satuan meter). Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah ... meter.

A. 48.000 B. 36.000 C. 24.000 D. 18.000 E. 9.000 19. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2– 5x – 3 pada titik P (2, –5) adalah ….

A. 3y – x – 11 = 0 C. 3x + y + 11 = 0 E. 3x – y – 11 = 0 B. 3y + x + 11 = 0 D. 3x – y + 11 = 0

20. Grafik fungsi f(x) = 4x3 + 9x2 - 12x + 3, turun pada interval .... A. -2 < x <

2 1

C. 2 < x < 2 1

E. x <

2 1

atau x > 2 B. 2 < x <

-2 1

D. x < -2 atau x > 2 1