TAPPDF.COM PDF DOWNLOAD IMPLEMENTASI ALGORITMA WELCHPOWELL DALAM ... STMIK AKBA 1 SM
IMPLEMENTASI ALGORITMA WELCH-POWELL
DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR SEMESTER
Pasnur
Jurusan Sistem Informasi, STMIK AKBA, Makassar
Email : [email protected]
Abstrak
Pembuatan jadwal ujian akhir semester merupakan salah satu kegiatan rutin yang
memerlukan konsentrasi tinggi agar tidak terjadi jadwal bersamaan untuk dua atau lebih mata
kuliah yang diikuti oleh seorang mahasiswa. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan
sebuah teknik agar pembuatan jadwal ujian akhir semester dapat dilakukan secara cepat dan
akurat. Teknik yang diterapkan adalah menggunakan algoritma Welch-Powell yang
merupakan salah satu algoritma dalam metode pewarnaan graf dan diimplementasikan dengan
menggunakan pemrograman PHP Hypertext Preprocessor. Algoritma ini akan mencari sebuah
bilangan kromatik yang menunjukkan jumlah jadwal ujian minimal yang harus
diselenggarakan serta daftar mata kuliah yang boleh memiliki jadwal ujian yang bersamaan.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa algoritma Welch-Powell yang diimplementasikan
dengan pemrograman PHP Hypertext Preprocessor mampu memberikan solusi pembuatan
jadwal ujian akhir semester secara cepat dan akurat.
Kata kunci : algoritma welch-powell, penjadwalan, pewarnaan graf
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Setiap hari manusia memiliki
berbagai aktivitas yang harus diselesaikan
dalam alokasi waktu tertentu. Kegiatankegiatan tersebut memerlukan penjadwalan
yang efektif agar mampu memanfaatkan
semua sumber daya yang dimiliki secara
optimal dan memberikan hasil yang
maksimal.
Pembuatan jadwal ujian akhir
semester merupakan contoh sebuah
penjadwalan yang harus dilakukan oleh
sebuah perguruan tinggi menjelang
berakhirnya masa satu semester. Jadwal
tersebut memetakan berbagai komponen
penjadwalan ke dalam matriks ruang dan
waktu. Hasil akhir dari penjadwalan
tersebut adalah sebuah informasi kepada
seluruh sivitas akademika terkait tentang
pelaksanaan ujian akhir semester setiap
mata kuliah.
Dalam pelaksanaan
akademik
perguruan tinggi yang menerapkan sistem
kredit semester, setiap mahasiswa memiliki
kebebesan tertentu untuk menentukan
sendri mata kuliah yang akan diikutinya
pada masa semester tertentu. Kebebasan
memilihi
ini
menimbulkan
ketidakseragaman
perkuliahan
antar
mahasiswa, walaupun mereka memiliki
masa studi yang sama. Hal tersebut akan
berdampak pada pembuatan jadwal
perkuliahan dan jadwal ujian akhir
semester. Pembuatan kedua jenis jadwal
tersebut sering kali terasa sangat rumit dan
kompleks bahkan harus diulang beberapa
kali karena adanya jadwal yang bersamaan.
35
Kegagalan-kegagalan
dalam
pembuatan jadwal ujian akhir semester
tentunya akan memakai sumber daya yang
lebih besar, sehingga diperlukan sebuah
solusi untuk melakukan penjadwalan
secara cepat dan akurat. Solusi tersebut
dapat dilakukan dengan menerapkan
algoritma
Welch-Powell
dan
diimplementasikan dalam salah satu
pemrograman web yaitu PHP Hypertext
Preprocessor. Algoritma Welch-Powell
efektif digunakan dalam persoalan
pewarnaan graf, seperti penjadwalan, serta
memiliki tingkat kerumitan algoritma yang
rendah.
Sedangkan
penggunaan
pemrograman PHP Hypertext Preprocessor
dalam mengimplementasikan algoritma
tersebut karena pada umumnya sistem
informasi akademik yang merupakan
sistem terintegrasi dalam hal administrasi
akademik pada sebuah perguruan tinggi
dikembangkan secara berbasis web.
Penggunaan pemrograman PHP Hypertext
Preprocessor memudahkan aplikasi untuk
mengambil data terkait dalam proses
pembuatan jadwal ujian akhir semester,
seperti data mahasiswa, data mata kuliah,
dan data pengambilan mata kuliah.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan
masalah
dalam
penelitian ini adalah :
a. Menentukan nilai bilangan kromatik
yang menunjukkan jumlah jadwal
ujian akhir semester minimal yang
harus
dilaksanakan
tanpa
menimbulkan
munculnya
jadwal
bersamaan dua atau lebih mata kuliah
yang diikuti oleh seorang mahasiswa.
b. Menentukan nama-nama mata kuliah
yang boleh memiliki jadwal ujian
akhir semester yang bersamaan.
c.
Mengimplementasikan
algoritma
Welch-Powell ke dalam bahasa
pemrograman
PHP
Hypertext
Preprocessor untuk pembuatan jadwal
ujian akhir semester secara cepat.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
untuk
menghasilkan
sebuah
fitur
pembuatan jadwal ujian akhir semester
yang
dilakukan
dengan
mengimplementasikan algoritma WelchPowell dalam bahasa pemrograman PHP
Hypertext Preprocessor. Fitur tersebut
nantinya dapat diintegrasikan ke dalam
sistem informasi manajemen akademik
perguruan tinggi yang telah ada dan
diharapkan mampu menghasilkan jadwal
ujian akhir semester secara cepat dan
akurat.
1.4 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan
menggabungkan metode kepustakaan dari
berbagai sumber rujukan terkait, serta
metode perancangan dan implementasi
sistem pembuatan jadwal ujian akhir
semester. Metode kepustakaan dilakukan
dengan mengumpulkan berbagai teori
terkait dengan algoritma Welch-Powell
serta persoalan penjadwalan secara umum.
Perancangan sistem dilakukan dengan
membuat diagram alir implementasi
algoritma Welch-Powell dalam pembuatan
jadwal ujian akhir semester, dan
implementasinya dengan menerjemahkan
diagram alir tersebut ke dalam bahasa
pemrograman
PHP
Hypertext
Preprocessor.
36
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Teori Graf
Teori graf merupakan sebuah topik
dasar dalam dalam matematika diskrit dan
ilmu komputer. Teori ini sudah berusia tua
namun memiliki banyak terapan sampai
saat
ini.
Graf
digunakan
untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan
hubungan antar objek-objek tersebut.
Representase visual dari sebuah graf
adalah dengan menyatakan objek dengan
sebuah noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan
hubungan
antar
objek
dinyatakan dengan garis.
Sebuah graf G didefenisikan
sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis
dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini
V adalah himpunan tidak kosong dari
simpul-simpul (vertices atau node) dan E
adalah himpunan sisi (edges atau arcs)
yang
menghubungkan
sepasang
simpul.Setiap simpul v dalam sebuah graf
memiliki
derajat
(degree)
yang
disimbolkan dengan d(v). Derajat tersebut
menunjukkan
jumlah
garis
yang
berhubungan dengan simpul v, di mana
sebuah loop dihitung dua kali.
Gambar 1 berikut memperlihatkan
sebuah contoh skema jaringan komputer,
sedangkan gambar 2 di bawahnya
merupakan representase gambar 1 dalam
bentuk graf.
Gambar 1 : Contoh sebuah skema jaringan
komputer
Gambar 2 : Representase gambar 1 dalam
bentuk graf
2.2 Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf (graph coloring)
merupakan salah satu topik menarik yang
ada dalam teori graf. Pewarnaan graf dapat
berupa pewarnaan simpul, pewarnaan sisi,
dan pewarnaan wilayah.Pewarnaan graf
bukan sekedar memberikan warna yang
berbeda, tetapi juga untuk meminimalkan
jumlah warna yang digunakan.
2.2.1 Pewarnaan Simpul
Pewarnaan simpul pada sebuah graf
adalah memberi warna pada setiap simpul
graf sedemikian, sehingga setiap dua
simpul bertetangga mempunyai warna
yang berbeda. Sebuah pewarnaan yang
menggunakan beberapa buah warna
biasanya disebut dengan n-coloring.
Ukuran terkecil banyaknya warna yang
dapat diberikan kepada sebuah grag G
disebut dengan bilangan kromatik dan
dilambangkan dengan χ(G).
Beberapa graf tertentu dapat
langsung diketahui jumlah bilangan
kromatiknya. Graf kosong memiliki χ(G)
sebanyak 1 karena semua simpul tidak
terhubung, sehingga untuk mewarnai
semua simpul graf tersebut cukup dengan
37
satu warna saja. Graf lengkap memiliki
χ(G) = n, karena semua simpul saling
terhubung satu sama lai, sehingga untuk
mewarnai semua simpul graf tersebut
diperlukan n buah warna.
2.2.2 Pewarnaan Sisi
Pewarnaan sisi sebuah graf berarti
cara pemberian warna pada garis
sedemikian sehingga setiap garis yang
bertumpuan pada titik yang sama memiliki
warna yang berbeda.
2.2.3 Pewarnaan Wilayah
Pewarnaan
wilayah
adalah
pemberian warna pada setiap wilayah pada
graf, sehingga tidak ada wilayah
bersebelahan yang memiliki warna yang
sama.
Teknik pewarnaan wilayah sangat cocok
diterapkan pada kasus pemberian warna
pada sebuah peta wilayah. Pada kasus
tersebut, peta wilayah harus diberikan
warna sedemikian, sehingga wilayah yang
berbatasan langsung tidak memiliki warna
yang sama.
2.3 Algoritma Welch-Powell
Pada graf-graf tertentu, proses
pewarnaan dapat dilakukan secara cepat
dan mudah, misalnya untuk kasus graf
lengkap dan graf lingkaran. Namun pada
kenyataannya graf seringkali dijumpai
dalam bentuk yang tidak teratur. Pada
kondisi tersebut sangat dibutuhkan
algoritma tertentu untuk menyelesaikan
masalah pewarnaannya. Algoritma WelchPowell merupakan salah satu algoritma
yang
dapat
dimanfaatkan
untuk
menyelesaikan kasus pewarnaan graf
secara mangkus.
Algoritma Welch-Powell dapat
digunakan dengan mengikuti langkahlangkah berikut :
a.
Urutkan simpul-simpul dari G
dalam derajat yang menurun. Urutan
yang didapatkan mungkin saja tidak
bersifat unik karena adanya beberapa
simpul yang memiliki derajat yang
sama.
b.
Gunakan sebuah warna untuk
mewarnai simpul pertama yang
memiliki derajat paling tinggi, dan
simpul-simpul lain (dalam urutan yang
terurut) yang tidak bertetangga dengan
simpul pertama tersebut.
c.
Mulai lagi dengan memberikan
warna kedua pada simpul dengan
derajat tertinggi berikutnya di dalam
daftar terurut dan belum diwarnai.
d. Ulangi pemberian warna berbeda
pada simpul-simpul berikutnya
hingga semua
simpul
telah
diwarnai.
Sebuah graf diperlihatkan seperti
pada gambar 3 berikut in, terdiri atas 6
simpul yang diberi nama simpul A, B, C,
D, E, dan F. Graf tersebut akan diberikan
pewarnaan mengikuti algoritma WelchPowell.
Gambar 3 : Contoh sebuah graf
Langkah pertama : mengurutkan simpul
dalam derajat yang menurun, didapatkan
hasil dengan urutan B (derajat 4), E
38
(derajat 4), A (derajat 3), C (derajat 3), D
(derajat 2), dan F (derajat 2).
Langkah kedua : berikan warna (misalnya
merah) untuk simpul dengan derajat
tertinggi, dalam hal ini adalah simpul B
(gambar 4).
Selanjutnya berikan warna yang sama
(warna kuning) kepada simpul-simpul lain
yang tidak bertetangga dengan simpul A,
dalam hal ini simpul D dan F (gambar 7).
Gambar 4 : Pewarnaan simpul pertama
dengan derajat tertinggi.
Gambar 7 : Pewarnaan simpul lain yang
tidak bertetangga dengan simpul A
Selanjutnya berikan warna yang sama
kepada simpul-simpul lain yang tidak
bertetangga dengan simpul B, dalam hal ini
simpul E (gambar 5).
Langkah keempat : mulai lagi pewarnaan
dengan warna yang berbeda (misalnya
hijau) pada simpul yang belum diwarnai
dengan derajat tertinggi, dalam hal ini
adalah simpul C dan merupakan simpul
terakhir yang belum diwarnai (gambar 8).
Gambar 5 : Pewarnaan simpul lain yang
tidak bertetangga dengan simpul B
Gambar 8 : Pewarnaan simpul terakhir
Langkah ketiga : mulai lagi pewarnaan
dengan warna yang berbeda (misalnya
kuning) pada simpul yang belum diwarnai
dengan derajat tertinggi, dalam hal ini
adalah simpul A (gambar 6).
Gambar 6 : Pewarnaan simpul selanjutnya
dengan derajat tertinggi
Berdasarkan
proses
pewarnaan
sebelumnya, dapat diketahui bahwa untuk
melakukan pewarnaan graf seperti yang
ditunjukkan pada gambar 3, diperlukan
minimal 3 warna. Jumlah tersebut disebut
juga sebagai bilangan kromatik.
2.4 Penjadwalan Ujian Akhir Semester
Kegiatan penjadwalan ujian akhir
semester yang didlakukan setiap kali
menjelang berakhirnya masa satu semester
merupakan sebuah proses pemetaan
39
komponen penjadawalan ke dalam matriks
ruang dan waktu. Komponen penjadwalan
yang utama akan meliputi mahasiswa,
mata
kuliah,
ruangan,
dan
data
pengambilan mata kuliah oleh mahasiswa.
Pada
penelitian
ini,
proses
penjadwalan akan akan melibatkan
database akademik yang biasanya terdapat
pada
sistem
informasi
manajemen
akademik di perguruan tinggi. Proses
penjadwalan membutuhkan data dari tiga
buah tabel, yaitu tabel mahasiswa, tabel
mata kuliah, dan tabel perkuliahan, seperti
ditunjukkan pada gambar relasi berikut ini.
3. Perancangan Sistem
Dalam
perancangan
sistem,
digunakan
sebuah
flowchart
yang
memperlihatkan alur pembuatan jadwal
yang disesuaikan dengan algoritma WelchPowell (gambar 10).
Tahap
pertama
yang
akan
dilakukan oleh sistem adalah membuka
Gambar 9 : Tabel dan relasinya yang
dibutuhkan dalam penjadwalan ujian akhir
semester
Banyak
sistem
informasi
manajemen akademik yang dipergunakan
di perguruan tinggi dibangun secara
berbasis web. Hal tersebut biasanya
dilakukan
dengan
alasan
berbagai
kelebihan
aplikasi
berbasis
web
dibandingkan dengan aplikasi berbasis
desktop. Salah satu bahasa pemrograman
yang populer penggunaannya dalam
pengembangan aplikasi berbasis web
adalah PHP Hypertext Preprocessor atau
biasa disingkat saja menjadi PHP. Pada
penelitian ini, sistem penjadwalan ujian
akhir semester yang akan dibangun juga
menggunakan PHP.
40
koneksi ke server database MySQL.
Apabila koneksi berhasil dilakukan, maka
sistem akan membersihkan tabel temporary
1 yang berisi data daftar mata kuliah secara
berpasangan yang memiliki keterhubungan
(terdapat minimal seorang mahasiswa yang
memprogramkan secara bersamaan kedua
mata kuliah tersebut), serta tabel temporary
2 yang berisi data daftar simpul mata
kuliah beserta derajat dan status
pewarnaannya. Pada tahap selanjutnya
program akan membuat dua buah array,
masing-masing berisi daftar mahasiswa
aktif
(mahasiswa
yang
mengikuti
perkuliahan minimal satu mata kuliah) dan
daftar mata kuliah aktif (mata kuliah yang
memiliki minimal satu peserta). Mata
kuliah akan dianggap sebagai simpul dan
akan diatur derajatnya masing-masing
dengan angka 0. Selanjutnya program akan
melakukan perhitungan derajat setiap
simpul mata kuliah dilanjutkan dengan
pengisian data pada tabel temporary 1 dan
temporary 2.
Untuk mulai proses pewarnaan
graf, program akan memulai pengurutan
simpul mata kuliah berdasarkan derajat
tertinggi. Simpul mata kuliah dengan
derajat tertinggi akan diberikan warna, dan
dilanjutkan dengan pewarnaan simpul mata
kuliah lain yang tidak bertetangga dengan
simpul mata kuliah sebelumnya. Proses ini
akan dilakukan secara berulang hingga
semua simpul mata kuliah telah diwarnai.
Pada tahap terakhir, program akan
menampilkan daftar mata kuliah yang
boleh memiliki jadwal ujian bersamaan
dan program akan berakhir dengan
penutupan koneksi database.
4. Hasil dan Pembahasan
Pada
pengujian
program,
digunakan database percobaan yang terdiri
atas tiga buah tabel, yaitu tabel mahasiswa,
tabel mata kuliah, dan tabel pengujian.
Data yang terdapat pada masing-masing
tabel disederhanakan seperti pada tabeltabel berikut ini.
Tabel 1 : Data mahasiswa
NIM
Nama Mahasiswa
20112205001 Andi
20112205002 Budi
20112205003 Wati
20112205004 Fadil
20112205005 Fatma
Tabel 2 : Data mata kuliah
Kode
Nama Mata Kuliah
MK-1 Kecerdasan Buatan
MK-2 Sistem Basis Data
MK-3 Matematika Diskrit
MK-4 Pemrograman Web
MK-5 Statistika
MK-6 Pemodelan dan Simulasi
MK-7 Keamanan Komputer
Tabel 3 : Data perkuliahan
Nama
Nama Mata Kuliah
Mahasiswa
Andi
Kecerdasan Buatan
Andi
Sistem Basis Data
Budi
Matematika Diskrit
Budi
Pemrograman Web
Wati
Kecerdasan Buatan
Wati
Sistem Basis Data
Wati
Pemodelan
dan
Simulasi
Fadil
Kecerdasan Buatan
Fadil
Pemrograman Web
Fatma
Pemrograman Web
Pada saat
maka
program
program
akan
dijalankan,
melakukan
41
serangkaian proses seperti yang telah
digambarkan pada gambar 10 tentang
flowchart sistem. Setelah program
menyelesaikan proses persiapan, maka
program akan membuat daftar mata kuliah
aktif sebagai simpul dan diurutkan
berdasarkan derajat tertinggi. Gambar 11
berikut memperlihatkan graf simpul mata
kuliah sebelum proses iterasi dimulai.
Gambar 12 : Pewarnaan simpul MK-1
sebagai simpul berderajat tertinggi.
Selanjutnya
program
juga
akan
memberikan warna yang sama kepada
simpul mata kuliah yang tidak bertetangga
(tidak berhubungan langsung) dengan
simpul MK-1, dalam hal ini adalah simpul
MK-3 (gambar 13).
Gambar 11 : Kondisi graf sebelum proses
iterasi dimulai
Pada gambar 11 diketahui daftar simpul
mata kuliah yang diurutkan berdasarkan
derajat tertinggi, seperti pada tabel 4
berikut ini.
Tabel 4 : Daftar simpul mata kuliah
sebelum proses iterasi yang diurutkan
berdasarkan derajat tertinggi
Simpul
Derajat
MK-1
3
MK-2
2
MK-3
1
MK-4
2
MK-6
2
Pada proses iterasi pertama, program akan
memberikan warna kepada simpul MK-1
sebagai simpul berderajat tertinggi
(gambar 12).
Gambar 13 : Pewarnaan simpul MK-3
dengan warna yang sama dengan simpul
MK-1.
Pada iterasi kedua, program akan
mengurutkan kembali simpul mata kuliah
yang belum diwarnai berdasarkan derajat
tertinggi. Pada iterasi ini, didapatkan
bahwa simpul MK-2 merupakan simpul
berderajat tertinggi. Program akan
memberikan warna yang kedua terhadap
simpul MK-2 (gambar 14).
42
berderajat tertinggi pada proses iterasi
yang ketiga.
Gambar 14 : Pewarnaan simpul MK-2
dengan warna yang kedua sebagai simpul
berderajat tertinggi pada proses iterasi
yang kedua.
Program juga akan memberikan warna
yang sama dengan simpul mata kuliah lain
yang tidak bertetangga dengan simpul MK2, dalam hal ini adalah simpul MK-4
(gambar 15).
Proses pewarnaan graf akan selesai
jika semua simpul mata kuliah telah
diberikan warna. Simpul-simpul yang
memiliki warna yang sama merupakan
mata kuliah yang boleh memiliki jadwal
ujian akhir semester yang bersamaan. Mata
kuliah yang boleh memiliki jadwal ujian
akhir bersamaan, yaitu MK-1 dengan MK3, serta MK-2 dengan MK-4. Mata kuliah
MK-6 memiliki jadwal tersendiri. Jumlah
warna yang dipakai menunjukkan jumlah
jadwal minimum yang harsu dilaksanakan,
dalam hal ini berjumlah 3 (tiga).
Pada saat program diakses melalui
web browser, maka akan tampil informasi
jadwal ujian akhir semester seperti pada
gambar 17 berikut ini.
Gambar 15 : Pewarnaan simpul MK-4
dengan warna yang sama dengan simpul
MK-2.
Pada iterasi yang ketiga, ternyata
masih terdapat satu simpul mata kuliah
yang belum diwarnai, dalam hal ini adalah
simpul MK-6. Simpul tersebut akan
diberikan warna yang ketiga (gambar 16).
Gambar 16 : Pewarnaan simpul MK-6
dengan warna yang ketiga sebagai simpul
Gambar 17 : Tampilkan hasil eksekusi
program melalui web browser.
43
Pada gambar 17 di atas terlihat
informasi mengenai jadwal ujian akhir
semester untuk kasus data yang diteliti.
Jadwal tersebut terdiri atas jadwal pertama
yang menyelenggarakan ujian untuk mata
kuliah MK-1 dan MK-3, jadwal kedua
yang menyelenggarakan ujian MK-2 dan
MK-4, serta jadwal ketiga yang
menyelengarakan ujian MK-6. Hasil
tersebut sejalan dengan proses pewarnaan
graf secara konvensional.
5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang
telah dilakukan, didapatkan kesimpulan
sebagai berikut :
a. Algoritma Welch-Powell mampu
menentukan bilangan kromatik
yang menunjukkan jumlah jadwal
ujian akhir semester yang harus
dilaksanakan tanpa terjadi jadwal
yang bersamaan pada dua atau
lebih mata kuliah yang diikuti oleh
seorang mahasiswa.
b. Algoritma Welch-Powell mampu
menampilkan informasi namanama mata kuliah yang boleh
memiliki jadwal ujian akhir
semester yang bersamaan.
c. Pemrograman PHP Hypertext
Preprocessor memiliki kemampuan
untuk
mengimplementasikan
algoritma Welch-Powell dalam
pembuatan jadwal ujian akhir
semester.
Daftar Pustaka
[1] Babin, Lee, PHP-5 Recipes : A
Problem
Solution
Approach,
Apress, 2005
[2] Munir,
Rinaldi,
Matematika
Diskrit,
Penerbit
Informatika,
Bandung, 2010
[3] Siang, Jong Jek, Matematika
Diskrit dan Aplikasinya Dalam
Ilmu Komputer, Penerbit Andi,
Yogyakarta, 2009
[4] Stein,
Clifford,
Discrete
Mathemathics
for
Computer
Scientists, Addison-Wesley, 2011
[5] Wibisono, Samuel, Matematika
Diskrit, Graha Ilmu, Yogyakarta,
2008
44
DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR SEMESTER
Pasnur
Jurusan Sistem Informasi, STMIK AKBA, Makassar
Email : [email protected]
Abstrak
Pembuatan jadwal ujian akhir semester merupakan salah satu kegiatan rutin yang
memerlukan konsentrasi tinggi agar tidak terjadi jadwal bersamaan untuk dua atau lebih mata
kuliah yang diikuti oleh seorang mahasiswa. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan
sebuah teknik agar pembuatan jadwal ujian akhir semester dapat dilakukan secara cepat dan
akurat. Teknik yang diterapkan adalah menggunakan algoritma Welch-Powell yang
merupakan salah satu algoritma dalam metode pewarnaan graf dan diimplementasikan dengan
menggunakan pemrograman PHP Hypertext Preprocessor. Algoritma ini akan mencari sebuah
bilangan kromatik yang menunjukkan jumlah jadwal ujian minimal yang harus
diselenggarakan serta daftar mata kuliah yang boleh memiliki jadwal ujian yang bersamaan.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa algoritma Welch-Powell yang diimplementasikan
dengan pemrograman PHP Hypertext Preprocessor mampu memberikan solusi pembuatan
jadwal ujian akhir semester secara cepat dan akurat.
Kata kunci : algoritma welch-powell, penjadwalan, pewarnaan graf
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Setiap hari manusia memiliki
berbagai aktivitas yang harus diselesaikan
dalam alokasi waktu tertentu. Kegiatankegiatan tersebut memerlukan penjadwalan
yang efektif agar mampu memanfaatkan
semua sumber daya yang dimiliki secara
optimal dan memberikan hasil yang
maksimal.
Pembuatan jadwal ujian akhir
semester merupakan contoh sebuah
penjadwalan yang harus dilakukan oleh
sebuah perguruan tinggi menjelang
berakhirnya masa satu semester. Jadwal
tersebut memetakan berbagai komponen
penjadwalan ke dalam matriks ruang dan
waktu. Hasil akhir dari penjadwalan
tersebut adalah sebuah informasi kepada
seluruh sivitas akademika terkait tentang
pelaksanaan ujian akhir semester setiap
mata kuliah.
Dalam pelaksanaan
akademik
perguruan tinggi yang menerapkan sistem
kredit semester, setiap mahasiswa memiliki
kebebesan tertentu untuk menentukan
sendri mata kuliah yang akan diikutinya
pada masa semester tertentu. Kebebasan
memilihi
ini
menimbulkan
ketidakseragaman
perkuliahan
antar
mahasiswa, walaupun mereka memiliki
masa studi yang sama. Hal tersebut akan
berdampak pada pembuatan jadwal
perkuliahan dan jadwal ujian akhir
semester. Pembuatan kedua jenis jadwal
tersebut sering kali terasa sangat rumit dan
kompleks bahkan harus diulang beberapa
kali karena adanya jadwal yang bersamaan.
35
Kegagalan-kegagalan
dalam
pembuatan jadwal ujian akhir semester
tentunya akan memakai sumber daya yang
lebih besar, sehingga diperlukan sebuah
solusi untuk melakukan penjadwalan
secara cepat dan akurat. Solusi tersebut
dapat dilakukan dengan menerapkan
algoritma
Welch-Powell
dan
diimplementasikan dalam salah satu
pemrograman web yaitu PHP Hypertext
Preprocessor. Algoritma Welch-Powell
efektif digunakan dalam persoalan
pewarnaan graf, seperti penjadwalan, serta
memiliki tingkat kerumitan algoritma yang
rendah.
Sedangkan
penggunaan
pemrograman PHP Hypertext Preprocessor
dalam mengimplementasikan algoritma
tersebut karena pada umumnya sistem
informasi akademik yang merupakan
sistem terintegrasi dalam hal administrasi
akademik pada sebuah perguruan tinggi
dikembangkan secara berbasis web.
Penggunaan pemrograman PHP Hypertext
Preprocessor memudahkan aplikasi untuk
mengambil data terkait dalam proses
pembuatan jadwal ujian akhir semester,
seperti data mahasiswa, data mata kuliah,
dan data pengambilan mata kuliah.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan
masalah
dalam
penelitian ini adalah :
a. Menentukan nilai bilangan kromatik
yang menunjukkan jumlah jadwal
ujian akhir semester minimal yang
harus
dilaksanakan
tanpa
menimbulkan
munculnya
jadwal
bersamaan dua atau lebih mata kuliah
yang diikuti oleh seorang mahasiswa.
b. Menentukan nama-nama mata kuliah
yang boleh memiliki jadwal ujian
akhir semester yang bersamaan.
c.
Mengimplementasikan
algoritma
Welch-Powell ke dalam bahasa
pemrograman
PHP
Hypertext
Preprocessor untuk pembuatan jadwal
ujian akhir semester secara cepat.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
untuk
menghasilkan
sebuah
fitur
pembuatan jadwal ujian akhir semester
yang
dilakukan
dengan
mengimplementasikan algoritma WelchPowell dalam bahasa pemrograman PHP
Hypertext Preprocessor. Fitur tersebut
nantinya dapat diintegrasikan ke dalam
sistem informasi manajemen akademik
perguruan tinggi yang telah ada dan
diharapkan mampu menghasilkan jadwal
ujian akhir semester secara cepat dan
akurat.
1.4 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan
menggabungkan metode kepustakaan dari
berbagai sumber rujukan terkait, serta
metode perancangan dan implementasi
sistem pembuatan jadwal ujian akhir
semester. Metode kepustakaan dilakukan
dengan mengumpulkan berbagai teori
terkait dengan algoritma Welch-Powell
serta persoalan penjadwalan secara umum.
Perancangan sistem dilakukan dengan
membuat diagram alir implementasi
algoritma Welch-Powell dalam pembuatan
jadwal ujian akhir semester, dan
implementasinya dengan menerjemahkan
diagram alir tersebut ke dalam bahasa
pemrograman
PHP
Hypertext
Preprocessor.
36
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Teori Graf
Teori graf merupakan sebuah topik
dasar dalam dalam matematika diskrit dan
ilmu komputer. Teori ini sudah berusia tua
namun memiliki banyak terapan sampai
saat
ini.
Graf
digunakan
untuk
merepresentasikan objek-objek diskrit dan
hubungan antar objek-objek tersebut.
Representase visual dari sebuah graf
adalah dengan menyatakan objek dengan
sebuah noktah, bulatan, atau titik,
sedangkan
hubungan
antar
objek
dinyatakan dengan garis.
Sebuah graf G didefenisikan
sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis
dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini
V adalah himpunan tidak kosong dari
simpul-simpul (vertices atau node) dan E
adalah himpunan sisi (edges atau arcs)
yang
menghubungkan
sepasang
simpul.Setiap simpul v dalam sebuah graf
memiliki
derajat
(degree)
yang
disimbolkan dengan d(v). Derajat tersebut
menunjukkan
jumlah
garis
yang
berhubungan dengan simpul v, di mana
sebuah loop dihitung dua kali.
Gambar 1 berikut memperlihatkan
sebuah contoh skema jaringan komputer,
sedangkan gambar 2 di bawahnya
merupakan representase gambar 1 dalam
bentuk graf.
Gambar 1 : Contoh sebuah skema jaringan
komputer
Gambar 2 : Representase gambar 1 dalam
bentuk graf
2.2 Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf (graph coloring)
merupakan salah satu topik menarik yang
ada dalam teori graf. Pewarnaan graf dapat
berupa pewarnaan simpul, pewarnaan sisi,
dan pewarnaan wilayah.Pewarnaan graf
bukan sekedar memberikan warna yang
berbeda, tetapi juga untuk meminimalkan
jumlah warna yang digunakan.
2.2.1 Pewarnaan Simpul
Pewarnaan simpul pada sebuah graf
adalah memberi warna pada setiap simpul
graf sedemikian, sehingga setiap dua
simpul bertetangga mempunyai warna
yang berbeda. Sebuah pewarnaan yang
menggunakan beberapa buah warna
biasanya disebut dengan n-coloring.
Ukuran terkecil banyaknya warna yang
dapat diberikan kepada sebuah grag G
disebut dengan bilangan kromatik dan
dilambangkan dengan χ(G).
Beberapa graf tertentu dapat
langsung diketahui jumlah bilangan
kromatiknya. Graf kosong memiliki χ(G)
sebanyak 1 karena semua simpul tidak
terhubung, sehingga untuk mewarnai
semua simpul graf tersebut cukup dengan
37
satu warna saja. Graf lengkap memiliki
χ(G) = n, karena semua simpul saling
terhubung satu sama lai, sehingga untuk
mewarnai semua simpul graf tersebut
diperlukan n buah warna.
2.2.2 Pewarnaan Sisi
Pewarnaan sisi sebuah graf berarti
cara pemberian warna pada garis
sedemikian sehingga setiap garis yang
bertumpuan pada titik yang sama memiliki
warna yang berbeda.
2.2.3 Pewarnaan Wilayah
Pewarnaan
wilayah
adalah
pemberian warna pada setiap wilayah pada
graf, sehingga tidak ada wilayah
bersebelahan yang memiliki warna yang
sama.
Teknik pewarnaan wilayah sangat cocok
diterapkan pada kasus pemberian warna
pada sebuah peta wilayah. Pada kasus
tersebut, peta wilayah harus diberikan
warna sedemikian, sehingga wilayah yang
berbatasan langsung tidak memiliki warna
yang sama.
2.3 Algoritma Welch-Powell
Pada graf-graf tertentu, proses
pewarnaan dapat dilakukan secara cepat
dan mudah, misalnya untuk kasus graf
lengkap dan graf lingkaran. Namun pada
kenyataannya graf seringkali dijumpai
dalam bentuk yang tidak teratur. Pada
kondisi tersebut sangat dibutuhkan
algoritma tertentu untuk menyelesaikan
masalah pewarnaannya. Algoritma WelchPowell merupakan salah satu algoritma
yang
dapat
dimanfaatkan
untuk
menyelesaikan kasus pewarnaan graf
secara mangkus.
Algoritma Welch-Powell dapat
digunakan dengan mengikuti langkahlangkah berikut :
a.
Urutkan simpul-simpul dari G
dalam derajat yang menurun. Urutan
yang didapatkan mungkin saja tidak
bersifat unik karena adanya beberapa
simpul yang memiliki derajat yang
sama.
b.
Gunakan sebuah warna untuk
mewarnai simpul pertama yang
memiliki derajat paling tinggi, dan
simpul-simpul lain (dalam urutan yang
terurut) yang tidak bertetangga dengan
simpul pertama tersebut.
c.
Mulai lagi dengan memberikan
warna kedua pada simpul dengan
derajat tertinggi berikutnya di dalam
daftar terurut dan belum diwarnai.
d. Ulangi pemberian warna berbeda
pada simpul-simpul berikutnya
hingga semua
simpul
telah
diwarnai.
Sebuah graf diperlihatkan seperti
pada gambar 3 berikut in, terdiri atas 6
simpul yang diberi nama simpul A, B, C,
D, E, dan F. Graf tersebut akan diberikan
pewarnaan mengikuti algoritma WelchPowell.
Gambar 3 : Contoh sebuah graf
Langkah pertama : mengurutkan simpul
dalam derajat yang menurun, didapatkan
hasil dengan urutan B (derajat 4), E
38
(derajat 4), A (derajat 3), C (derajat 3), D
(derajat 2), dan F (derajat 2).
Langkah kedua : berikan warna (misalnya
merah) untuk simpul dengan derajat
tertinggi, dalam hal ini adalah simpul B
(gambar 4).
Selanjutnya berikan warna yang sama
(warna kuning) kepada simpul-simpul lain
yang tidak bertetangga dengan simpul A,
dalam hal ini simpul D dan F (gambar 7).
Gambar 4 : Pewarnaan simpul pertama
dengan derajat tertinggi.
Gambar 7 : Pewarnaan simpul lain yang
tidak bertetangga dengan simpul A
Selanjutnya berikan warna yang sama
kepada simpul-simpul lain yang tidak
bertetangga dengan simpul B, dalam hal ini
simpul E (gambar 5).
Langkah keempat : mulai lagi pewarnaan
dengan warna yang berbeda (misalnya
hijau) pada simpul yang belum diwarnai
dengan derajat tertinggi, dalam hal ini
adalah simpul C dan merupakan simpul
terakhir yang belum diwarnai (gambar 8).
Gambar 5 : Pewarnaan simpul lain yang
tidak bertetangga dengan simpul B
Gambar 8 : Pewarnaan simpul terakhir
Langkah ketiga : mulai lagi pewarnaan
dengan warna yang berbeda (misalnya
kuning) pada simpul yang belum diwarnai
dengan derajat tertinggi, dalam hal ini
adalah simpul A (gambar 6).
Gambar 6 : Pewarnaan simpul selanjutnya
dengan derajat tertinggi
Berdasarkan
proses
pewarnaan
sebelumnya, dapat diketahui bahwa untuk
melakukan pewarnaan graf seperti yang
ditunjukkan pada gambar 3, diperlukan
minimal 3 warna. Jumlah tersebut disebut
juga sebagai bilangan kromatik.
2.4 Penjadwalan Ujian Akhir Semester
Kegiatan penjadwalan ujian akhir
semester yang didlakukan setiap kali
menjelang berakhirnya masa satu semester
merupakan sebuah proses pemetaan
39
komponen penjadawalan ke dalam matriks
ruang dan waktu. Komponen penjadwalan
yang utama akan meliputi mahasiswa,
mata
kuliah,
ruangan,
dan
data
pengambilan mata kuliah oleh mahasiswa.
Pada
penelitian
ini,
proses
penjadwalan akan akan melibatkan
database akademik yang biasanya terdapat
pada
sistem
informasi
manajemen
akademik di perguruan tinggi. Proses
penjadwalan membutuhkan data dari tiga
buah tabel, yaitu tabel mahasiswa, tabel
mata kuliah, dan tabel perkuliahan, seperti
ditunjukkan pada gambar relasi berikut ini.
3. Perancangan Sistem
Dalam
perancangan
sistem,
digunakan
sebuah
flowchart
yang
memperlihatkan alur pembuatan jadwal
yang disesuaikan dengan algoritma WelchPowell (gambar 10).
Tahap
pertama
yang
akan
dilakukan oleh sistem adalah membuka
Gambar 9 : Tabel dan relasinya yang
dibutuhkan dalam penjadwalan ujian akhir
semester
Banyak
sistem
informasi
manajemen akademik yang dipergunakan
di perguruan tinggi dibangun secara
berbasis web. Hal tersebut biasanya
dilakukan
dengan
alasan
berbagai
kelebihan
aplikasi
berbasis
web
dibandingkan dengan aplikasi berbasis
desktop. Salah satu bahasa pemrograman
yang populer penggunaannya dalam
pengembangan aplikasi berbasis web
adalah PHP Hypertext Preprocessor atau
biasa disingkat saja menjadi PHP. Pada
penelitian ini, sistem penjadwalan ujian
akhir semester yang akan dibangun juga
menggunakan PHP.
40
koneksi ke server database MySQL.
Apabila koneksi berhasil dilakukan, maka
sistem akan membersihkan tabel temporary
1 yang berisi data daftar mata kuliah secara
berpasangan yang memiliki keterhubungan
(terdapat minimal seorang mahasiswa yang
memprogramkan secara bersamaan kedua
mata kuliah tersebut), serta tabel temporary
2 yang berisi data daftar simpul mata
kuliah beserta derajat dan status
pewarnaannya. Pada tahap selanjutnya
program akan membuat dua buah array,
masing-masing berisi daftar mahasiswa
aktif
(mahasiswa
yang
mengikuti
perkuliahan minimal satu mata kuliah) dan
daftar mata kuliah aktif (mata kuliah yang
memiliki minimal satu peserta). Mata
kuliah akan dianggap sebagai simpul dan
akan diatur derajatnya masing-masing
dengan angka 0. Selanjutnya program akan
melakukan perhitungan derajat setiap
simpul mata kuliah dilanjutkan dengan
pengisian data pada tabel temporary 1 dan
temporary 2.
Untuk mulai proses pewarnaan
graf, program akan memulai pengurutan
simpul mata kuliah berdasarkan derajat
tertinggi. Simpul mata kuliah dengan
derajat tertinggi akan diberikan warna, dan
dilanjutkan dengan pewarnaan simpul mata
kuliah lain yang tidak bertetangga dengan
simpul mata kuliah sebelumnya. Proses ini
akan dilakukan secara berulang hingga
semua simpul mata kuliah telah diwarnai.
Pada tahap terakhir, program akan
menampilkan daftar mata kuliah yang
boleh memiliki jadwal ujian bersamaan
dan program akan berakhir dengan
penutupan koneksi database.
4. Hasil dan Pembahasan
Pada
pengujian
program,
digunakan database percobaan yang terdiri
atas tiga buah tabel, yaitu tabel mahasiswa,
tabel mata kuliah, dan tabel pengujian.
Data yang terdapat pada masing-masing
tabel disederhanakan seperti pada tabeltabel berikut ini.
Tabel 1 : Data mahasiswa
NIM
Nama Mahasiswa
20112205001 Andi
20112205002 Budi
20112205003 Wati
20112205004 Fadil
20112205005 Fatma
Tabel 2 : Data mata kuliah
Kode
Nama Mata Kuliah
MK-1 Kecerdasan Buatan
MK-2 Sistem Basis Data
MK-3 Matematika Diskrit
MK-4 Pemrograman Web
MK-5 Statistika
MK-6 Pemodelan dan Simulasi
MK-7 Keamanan Komputer
Tabel 3 : Data perkuliahan
Nama
Nama Mata Kuliah
Mahasiswa
Andi
Kecerdasan Buatan
Andi
Sistem Basis Data
Budi
Matematika Diskrit
Budi
Pemrograman Web
Wati
Kecerdasan Buatan
Wati
Sistem Basis Data
Wati
Pemodelan
dan
Simulasi
Fadil
Kecerdasan Buatan
Fadil
Pemrograman Web
Fatma
Pemrograman Web
Pada saat
maka
program
program
akan
dijalankan,
melakukan
41
serangkaian proses seperti yang telah
digambarkan pada gambar 10 tentang
flowchart sistem. Setelah program
menyelesaikan proses persiapan, maka
program akan membuat daftar mata kuliah
aktif sebagai simpul dan diurutkan
berdasarkan derajat tertinggi. Gambar 11
berikut memperlihatkan graf simpul mata
kuliah sebelum proses iterasi dimulai.
Gambar 12 : Pewarnaan simpul MK-1
sebagai simpul berderajat tertinggi.
Selanjutnya
program
juga
akan
memberikan warna yang sama kepada
simpul mata kuliah yang tidak bertetangga
(tidak berhubungan langsung) dengan
simpul MK-1, dalam hal ini adalah simpul
MK-3 (gambar 13).
Gambar 11 : Kondisi graf sebelum proses
iterasi dimulai
Pada gambar 11 diketahui daftar simpul
mata kuliah yang diurutkan berdasarkan
derajat tertinggi, seperti pada tabel 4
berikut ini.
Tabel 4 : Daftar simpul mata kuliah
sebelum proses iterasi yang diurutkan
berdasarkan derajat tertinggi
Simpul
Derajat
MK-1
3
MK-2
2
MK-3
1
MK-4
2
MK-6
2
Pada proses iterasi pertama, program akan
memberikan warna kepada simpul MK-1
sebagai simpul berderajat tertinggi
(gambar 12).
Gambar 13 : Pewarnaan simpul MK-3
dengan warna yang sama dengan simpul
MK-1.
Pada iterasi kedua, program akan
mengurutkan kembali simpul mata kuliah
yang belum diwarnai berdasarkan derajat
tertinggi. Pada iterasi ini, didapatkan
bahwa simpul MK-2 merupakan simpul
berderajat tertinggi. Program akan
memberikan warna yang kedua terhadap
simpul MK-2 (gambar 14).
42
berderajat tertinggi pada proses iterasi
yang ketiga.
Gambar 14 : Pewarnaan simpul MK-2
dengan warna yang kedua sebagai simpul
berderajat tertinggi pada proses iterasi
yang kedua.
Program juga akan memberikan warna
yang sama dengan simpul mata kuliah lain
yang tidak bertetangga dengan simpul MK2, dalam hal ini adalah simpul MK-4
(gambar 15).
Proses pewarnaan graf akan selesai
jika semua simpul mata kuliah telah
diberikan warna. Simpul-simpul yang
memiliki warna yang sama merupakan
mata kuliah yang boleh memiliki jadwal
ujian akhir semester yang bersamaan. Mata
kuliah yang boleh memiliki jadwal ujian
akhir bersamaan, yaitu MK-1 dengan MK3, serta MK-2 dengan MK-4. Mata kuliah
MK-6 memiliki jadwal tersendiri. Jumlah
warna yang dipakai menunjukkan jumlah
jadwal minimum yang harsu dilaksanakan,
dalam hal ini berjumlah 3 (tiga).
Pada saat program diakses melalui
web browser, maka akan tampil informasi
jadwal ujian akhir semester seperti pada
gambar 17 berikut ini.
Gambar 15 : Pewarnaan simpul MK-4
dengan warna yang sama dengan simpul
MK-2.
Pada iterasi yang ketiga, ternyata
masih terdapat satu simpul mata kuliah
yang belum diwarnai, dalam hal ini adalah
simpul MK-6. Simpul tersebut akan
diberikan warna yang ketiga (gambar 16).
Gambar 16 : Pewarnaan simpul MK-6
dengan warna yang ketiga sebagai simpul
Gambar 17 : Tampilkan hasil eksekusi
program melalui web browser.
43
Pada gambar 17 di atas terlihat
informasi mengenai jadwal ujian akhir
semester untuk kasus data yang diteliti.
Jadwal tersebut terdiri atas jadwal pertama
yang menyelenggarakan ujian untuk mata
kuliah MK-1 dan MK-3, jadwal kedua
yang menyelenggarakan ujian MK-2 dan
MK-4, serta jadwal ketiga yang
menyelengarakan ujian MK-6. Hasil
tersebut sejalan dengan proses pewarnaan
graf secara konvensional.
5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang
telah dilakukan, didapatkan kesimpulan
sebagai berikut :
a. Algoritma Welch-Powell mampu
menentukan bilangan kromatik
yang menunjukkan jumlah jadwal
ujian akhir semester yang harus
dilaksanakan tanpa terjadi jadwal
yang bersamaan pada dua atau
lebih mata kuliah yang diikuti oleh
seorang mahasiswa.
b. Algoritma Welch-Powell mampu
menampilkan informasi namanama mata kuliah yang boleh
memiliki jadwal ujian akhir
semester yang bersamaan.
c. Pemrograman PHP Hypertext
Preprocessor memiliki kemampuan
untuk
mengimplementasikan
algoritma Welch-Powell dalam
pembuatan jadwal ujian akhir
semester.
Daftar Pustaka
[1] Babin, Lee, PHP-5 Recipes : A
Problem
Solution
Approach,
Apress, 2005
[2] Munir,
Rinaldi,
Matematika
Diskrit,
Penerbit
Informatika,
Bandung, 2010
[3] Siang, Jong Jek, Matematika
Diskrit dan Aplikasinya Dalam
Ilmu Komputer, Penerbit Andi,
Yogyakarta, 2009
[4] Stein,
Clifford,
Discrete
Mathemathics
for
Computer
Scientists, Addison-Wesley, 2011
[5] Wibisono, Samuel, Matematika
Diskrit, Graha Ilmu, Yogyakarta,
2008
44