Dimendi TryJarak Dimendi TryJarak | Blog Matematika SMA Kristen Kalam Kudus Jayapura dimensi tiga jarak1

Dimensi Tiga
(Jarak)

1

Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
jarak antara unsur-unsur dalam
ruang dimensi tiga

2

Kita akan membahas jarak antara:
titik ke titik
titik ke garis
titik ke bidang
garis ke garis
garis ke bidang
bidang ke bidang
3

Jarak titik ke titik
B

Ja
ra
k

du
a

t it
ik

Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B

A

4

Contoh

E

A

Diketahui
kubus ABCD.EFGH
H
P
G
dengan
F
panjang rusuk a cm.
a cm

Tentukan jarak
titik A ke C,
D
C
a cm
titik A ke G,
a cm
B
dan jarak titik A ke
tengah-tengah bidang EFGH
5

Pembahasan

E

A

Perhatikan
segitiga ABC yang

H
G siku-siku di B, maka
2
2
AB

BC
F
AC = 2 2
a cm
a a
=
2
2a
D
C
=
a cm
a 2
B

a cm
=
a 2
Jadi diagonal sisi AC =
cm
6

Jarak AG = ?

Perhatikan
segitiga ACG yang
H
G siku-siku di C, maka
2
2
AC

CG
E
F

AG =
( a 2 )2  a 2
a cm
=
2
2
2a  a
D
C
=
2
a cm
a 3
3
a
A
B
a cm
=
=

a 3
Jadi diagonal ruang AG =
cm
7

Jarak AP = ?

Perhatikan
segitiga AEP yang
H
P
G
siku-siku
di
E,
maka
E
F
AE 2  EP 2
AP = 2

2
1
a  2 a 2 
=
D
C
a 2  21 a 2
A
=
a cm
B
3 2
1
a
a 6
2
2
=1
=
a 6

2
Jadi jarak A ke P =
cm
8

Jarak titik ke Garis

Jar
ak

titik

dan
gar
is

A

g

Peragaan ini,
menunjukan
jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas garis
yang ditarik dari
titik A dan tegak
lurus garis g
9

H
E

G
F
5 cm

D
A

C

5 cm

B

Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 5 cm.
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….
10

H
E

G

Pembahasan

F

Jarak titik A ke
rusuk HG adalah
D
C panjang ruas garis
5 cm
A
B
AH, (AH  HG)
a 2
AH =
(AH diagonal sisi)
5 2
AH =
Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm
5 cm

11

H

G

E

F
6 cm

D
A

C
6 cm

B

Contoh 2
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak titik B ke
diagonal AG
adalah….
12

H

G
F
cm

6√
3

cm

E

6 √2

P
D
A

B

6 cm

6√

3

G
P ?
A

6

6√2

B

C

Pembahasan
Jarak B ke AG =
jarak B ke P (BPAG)
Diagonal sisi BG =
6√2 cm
Diagonal ruang AG
= 6√3 cm
Lihat segitiga ABG
13

6√
3

G
P ?
A

6

6√2

Lihat segitiga
ABG
BP
BG
Sin A = AG = AB
6 2
6 3

B

BP =

( 6 2 )( 6 )
6 3

x

=
3
3

BP
6
2


6 6
3

BP = 2√6
Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm
14

Contoh 3

12√
2c

m

T

D
A

12 cm

Diketahui T.ABCD
limas beraturan.
Panjang rusuk alas
12 cm, dan panjang
C rusuk tegak
12√2 cm. Jarak A
B
ke TC adalah….
15

Pembahasan

T

A

2
6√

12√
2c

m

2
6√

D

Jarak A ke TC = AP
AC = diagonal persegi
= 12√22
AC  PC 2
AP
=
P
( 12 2 ) 2  ( 6 2 ) 2
=
2( 144  36 )  2.108
=
C
2.3.36 6 6
=
B Jadi jarak A ke TC
= 6√6 cm

12√2
12 cm

16

H

PG

E

F
D

A

C

6 cm

B

6 cm

Contoh 4
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm dan

Titik P pada pertengahan FG.
Jarak titik A dan garis DP adalah….
17

PG

E

F


D
A

C

6 cm

DP =
=
=

6 cm

B
DG 2  GP 2

G

6√2 cm

H

Pembahasan
3 cm P

D

F

Q
R

6 cm

A

( 6 2 )2  3 2
72  9 9
18

Pembahasan
 3 cm P
72  9 9
DP =
G

6√2 cm

Luas segitiga ADP
Q
½DP.AQ = ½DA.PR
4
9.AQ = 6.6√2
D 6 cm
R
AQ = 4√2
Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

F

A

19

Garis tegak lurus
Bidang
Garis tegak lurus
g

V

a
b
g  a, g  b,
Jadi g  V

sebuah bidang
jika garis tersebut
tegak lurus dua
buah garis berpotongan yang terdapat pada bidang
20

Jarak titik ke bidang
A

V



Peragaan ini
menunjukan jarak
antara titik A ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
21

H

G

E

F
D

A

P
10 cm

C
B

Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 10 cm
Jarak titik A ke
bidang BDHF
adalah….
22

H

G

Pembahasan

Jarak titik A ke
E
F
bidang BDHF
diwakili oleh
D
P
C panjang AP.(APBD)
AP = ½ AC (ACBD)
A
B
10 cm
= ½.10√2
= 5√2
Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm
23

Contoh 2

12

cm

T

D
A

8 cm

Diketahui limas
segi-4 beraturan
T.ABCD.
Panjang AB = 8 cm
C dan TA = 12 cm.
Jarak titik T ke
bidang ABCD
B
adalah….
24

Pembahasan

12

cm

T

D P
A

8 cm

Jarak T ke ABCD
= Jarak T ke
perpotongan AC
dan BD
C = TP
AC diagonal persegi
AC = 8√2
B
AP = ½ AC = 4√2
25

AP = ½ AC
=
4√2
2
2
TP = AT2  AP 2
= 12  ( 4 2 )
= 144  32
112
=
C
= 4√7

12
c

m

T

D P
A

8 cm

B

Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm
26

H

G

E

F
D

A

C
9 cm

B

Contoh 3
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 9 cm.
Jarak titik C ke
bidang BDG
adalah….
27

H

G

Pembahasan

Jarak titik C ke
E
F
bidang BDG = CP
yaitu ruas garis
P
D
C yang dibuat melalui
T
A
titik C dan tegak
9 cm
B
lurus GT
CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3
Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm

28

Jarak garis ke garis
P

Q

g

h

Peragaan
menunjukan jarak
antara garis g ke
garis h adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus kedua
garis tersebut
29

H

G

E

D
A

4 cm

Contoh

Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
dengan panjang
C rusuk 4 cm.
Tentukan jarak:
B
a.Garis AB ke garis HG
b.Garis AD ke garis HF
c.Garis BD ke garis EG
30

Penyelesaian

G Jarak garis:
a. AB ke garis
F

H
E

HG

= AH (AH  AB,
D
A

C
4 cm

B

AH  HG)
= 4√2 (diagonal sisi)

b.AD ke garis HF
= DH (DH  AD,
DH

= 4 cm

 HF
31

E

H Q

D
A

P

4 cm

G
F

B

Penyelesaian

Jarak garis:
b.BD ke garis EG
C = PQ (PQ  BD,
PQ

= AE
= 4 cm

 EG

32

Jarak garis ke bidang
g

V

Peragaan
menunjukan
Jarak antara
garis g ke
bidang V adalah
panjang ruas garis
yang
menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
33

H

G

E

F

P

D
A

8 cm

C
B

Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
34

Pembahasan

H
E

F

P

D
A

8 cm

B

G Jarak

garis AE ke
bidang BDHF
diwakili oleh
Cpanjang AP.(AP AE
AP  BDHF)

AP = ½ AC(ACBDHF)
= ½.8√2
= 4√2
Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm
35

Jarak Bidang dan
Bidang
peragaan,
Jarak Dua Bidang

menunjukan jarak
antara bidang W
dengan bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
tegak lurus
bidang W dan
tegak lurus bidang V

W

V

36

H

G

E

F
6 cm

D
A

C
6 cm

B

Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
37

H

G

Pembahasan

Jarak bidang AFH
E
F
ke bidang BDG
Q
6 cm
diwakili oleh PQ
P
D
C PQ = ⅓ CE
A
(CE diagonal ruang)
6 cm
B
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm
38

H

G

E

F
M
D

A

L
12 cm

BK

C

Contoh 2

Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 12 cm.

Titik K, L dan M berturut-turut
merupakan titik tengah BC, CD
dan CG. Jarak antara bidang
AFH dan KLM adalah….
39

H

G

E

F
D

A

L
12 cm

B

Pembahasan

•Diagonal EC = 12√3
•Jarak E ke AFH
=jarak AFH ke BDG
C
=jarak BDG ke C

Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC
=⅓.12√3
= 4√3
Berarti jarak BDG ke C juga 4√3
40

H

G

E

D
A

BDG ke C juga 4√3
M Jarak BDG ke KLM
= jarak KLM ke C
C
=
½.4√3
K
B
= 2√3

F
L
12 cm

Jadi jarak AFH ke KLM =
jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM
= 4√3 + 2√3
= 6√3 cm
41

SELAMAT BELAJAR

42