KETAKSAMAAN HARNACK DALAM KONTEKS GRAF

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

KETAKSAMAAN HARNACK DALAM KONTEKS GRAF
BAIQ RIKA AYU FEBRILIA 1 GDQ SAPTO WAHYU INDRATNO 2
1

Institut Teknologi Bandung, rika.febrilia@students.itb.ac.id
2 Institut Teknologi Bandung, sapto@math.itb.ac.id

Abstrak
Pada penelitian ini kami tampilkan suatu pendekatan baru dalam pembuktikan ketaksamaan Harnack dalam konteks graf, maxB u ≤ C minB u, dimana B suatu definisi bola
dalam konteks graf, C adalah konstanta dan u adalah solusi Lu(x) = 0 dimana
X
axy (u(x) − u(y)) .
Lu(x) :=
y∼x

Di sini ketaksamaan Harnack dibuktikan dengan menggunakan pendekatan probabilitas
yang didasarkan pada critical density property dan doubling property. Dengan pendekatan
baru ini ketaksamaan Harnack kini dapat diperoleh tanpa menggunakanSobolev’s inequality dan covering lemmas.
Kata Kunci: ketaksamaan Harnack, graf, critical density property, doubling property

1. Pendahuluan
Pembuktian ketaksamaan Harnack pada umumnya didasarkan pada pendekatan iteratif
Moser [2]. Ketaksamaan Harnack dalam konteks graf pertama kali diperkenalkan oleh T.
Delmotte [4] dengan menggunakan Vitali’s covering lemmas, ketaksamaan John-Nirenberg’s
dan ketaksamaan Sobolev’s. Penelitian lain yang dilakukan oleh G. Di Fazio dan temanteman [1] menggunakan pendekatan probabilitas critical density property dan double ball
property dengan menggunakan covering lemmas. Dalam penelitian ini, digunakan suatu
pendekatan baru untuk membuktikan ketaksamaan Harnack, yaitu dengan menggunakan
critical density property dan doubling property.

2. Formulasi Model
Didefinisikan operator
Lu (x) =

X

axy (u (x) − u (y)),

(1)

x∼y

ISBN : 978-602-19590-2-2

793

Ketaksamaan Harnack dalam…

Febrilia B.R.A., Indratno S.W.

dimana
axy =



1, x ∼ y ,

0, lainnya.

Jika Lu = 0 pada B\∂ B maka u merupakan fungsi harmonik. Dalam tulisan ini disajikan
suatu pendekatan probabilitas untuk menunjukkan bahwau yang memenuhi Lu = 0 akan
memenuhi ketaksamaan Harnack, yaitu:
max u ≤ C min u.
B

(2)

B

Definisi 1. Seperti dalam [1], KΩ adalah keluarga dari fungsiu dengan counting measure
# dan domain pada Ω. Untuk u ∈ KΩ dan A ⊂ dom(u) dapat ditulis u ∈ KΩ (A). Deng an
kata lain,
KΩ (A) = {u ∈ KΩ dan A ⊂ dom(u)},
dimana dom(u) adalah domain dari fungsiu.
Dikatakan KΩ tertutup pada perkalian dengan konstanta kecilτ jika untuk setiapu ∈ KΩ
dan τ ∈ (0, 1), maka τ u ∈ KΩ .
Definisi 2. KΩ memenuhi Harnack property dengan konstantaCH , jika untuk setiapu ∈

KΩ (B2r (x0 )) dengan u tak negatif dan terbatas secara lokal, memenuhi
sup u ≤ CH inf u.
BR (x0 )

(3)

BR (x0 )

Definisi 3. G = (V , E) adalah suatu graf dimanaV = simpul (vertices) dan E = sisi (edg es).
Misalkan x, y ∈ V . x dan y dikatakan bertetangga (neighbors), x ∼ y, jika terdapat
sisi (edges) diantara keduanya. Suatu graf dikatakan terhubung jika setiap dua simpul di
dalamnya terdapat lintasan.
Definisi 4. Misalkan G adalah graf yang terhubung,x, y ∈ G dan r ∈ N. Jarak x dan y
adalah lintasan terpendek dari x dan y, yang dinotasikan dengand(x, y),
d (x, y) = min{r | ∃ (x = a0 , a1 , ..., ar = y)

∀i, ai ∼ ai+1 }.

(4)

Definisi 5. Bola dan kulit dalam grafG didefinisikan masing-masing sebagai
B (x, r) = {y ∈ G | d(x, y) < r} dan

∂ B = {y ∈ G | d(x, y) = r}.

(5)

Untuk mempersingkat penulisan notasiBr (x) digunakan untuk menggantikan notasiB (x, r).
Untuk B = Br (x) dan λ > 0, dapat ditulis λB = Bλr (x) = B (x, λr). Untuk X ⊂ G,
#X = banyaknya simpul diX.
Kondisi keteraturan yang pertama pada grafG adalah terdapat C1 > 1 sedemikian hingg a
untuk setiap bola B ⊂ G, berlaku
# (2B) ≤ C1 # (B) .
Karena # (B (x, 1)) = 1 untuk setiap x ∈ G, denganB := B (x, 1) diperoleh untuk setiap
x ∈ G,
# ({y ∈ G | y ∼ x}) ≤ C1 .

KNM XVI - 3-6 Juli 2012 – UNPAD, Jatinangor

794

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Untuk setiap x ∈ V didefinisikan suatu pengukuran
X
b(x, y),
µ(x) =
y∈V

dimana
b(x, y) =



1, jika (x, y) ∈ E,
0, lainnya.

Graf G diasumsikan tanpa arah dengan tak hingga simpul dimana memenuhi sifatµ(x) ≤
N (terbatas secara lokal).
Diberikan fungsi f bernilai real yang terdefinisi pada bola B, rata-rata f pada bola B
tersebut didefinisikan sebagai,
fB :=

1 X
f (x) .
# (B)
x∈B

Untuk mempelajari PDE dalam graf, dibutuhkan suatu kondisi keteraturan padaG yang
mengikuti pertaksamaan Poincar´e: terdapat C2 > 0 sedemikian hingga untuk setiap bola
B := B (x0 , n) ⊂ G,
X
X X
| f (x) − f (y) |2 .
| f (x) − fB |2 ≤ C2 n2
x∈B

x∈2B

y∈2B
y∼x

Untuk setiap pasangan x ∼ y, kita kaitkan symmetric weight axy dan kondisi keteraturan
ketiga ellipticity sebagai berikut: terdapat C3 > 0 sedemikian hingga untuk setiap pasangan
x ∼ y di G,
1
≤ axy ≤ C3 .
C3
Konstanta C1 , C2 dan C3 yang berasosiasi di dalam graf disebut geometric constants dan
konstanta lain yang bergantung hanya padageometric constants disebut structural constant.
Definisi 6. (X, d, #) merupakan doubling metric space jika (X, d) adalah metric space dan
# memenuhi doubling property, yaitu terdapat konstanta positifC1 > 1 sedemikian hingga
0 < # (B2r (x)) ≤ C1 # (Br (x)) ,

x ∈ X, r > 0.

(6)

∀B ⊂ Ω,

(7)

Definisi 7. Suatu fungsi u ∈ BM O jika
1 X
| u (x) − uB |< ∞
# (B)
x∈B

dimana
uB =

1 X
u (x) .
# (B)
x∈B

ISBN : 978-602-19590-2-2

795

Ketaksamaan Harnack dalam…

Febrilia B.R.A., Indratno S.W.

Definisi 8. Diberikan ǫ ∈ (0, 1), γ ∈ (0, 1) dan M ≥ 1, KΩ memenuhi critical density property dengan konstanta M dan ǫ, jika untuk setiap bola B2r (x0 ) ⊂ Ω dan u ∈
KΩ (B2r (x0 )) dengan
# ({x ∈ Br (x0 ) | u(x) ≥ M }) ≥ ǫ# (Br (x0 ))

(8)

memenuhi
inf

Br/2 (x0 )

u > γ.

(9)

Definisi 9. Misalkan CD > 1. KΩ memenuhi doubling property dengan konstanta CD jika
untuk setiap bola B2r (x0 ) ⊂ Ω dan u ∈ KΩ (B2r (x0 )) memenuhi
1
# (B2 r(x0 ))

X

u(x) ≤ CD

x∈B2 r(x0 )

1
# (Br (x0 ))

X

u(x).

(10)

X

u̺ (x).

(11)

x∈Br (x0 )

u̺ merupakan doubling weight, jika terdapat ̺ > 0 ∋
1
# (B2 r(x0 ))

X

u̺ (x) ≤ CD

x∈B2 r(x0 )

1
# (Br (x0 ))

x∈Br (x0 )

Teorema 1. ([2, Teorema 4]) Misalkan (X, d, #) doubling metric space dan KΩ memenuhi
critical density property (dengan konstanta M dan ε) dan doubling property (dengan konstanta CD ). Asumsikan, jika ∀ u ∈ KΩ (Br (x0 )) dan λ ≥ u pada Br (x0 ) maka λ − u ∈
KΩ (Br (x0 )).Jika ∃̺ > 0 ∋ ∀u ∈ KΩ , u̺ merupakan doubling weight maka KΩ memenuhi
Harnack Property dengan konstanta CH yang hanya bergantung pada ε, M , CD , dan doubling metric dengan konstanta K dan C1 .

3. Hasil
Didefinisikan,
Dxy u := u (x) − u (y) .
u merupakan solusi (subsolution, supersolution) pada bola B jika Lu = (≥, ≤) 0 pada
B\∂B.
Proposisi 1. Jika u adalah supersolution (subsolution) pada B maka u merupakan weak
supersolution (subsolution) pada B dalam pengertian berikut: untuk setiapφ ≥ 0, φ = 0
pada ∂B,
X X axy
Dxy uDxy φ ≥ (≤) 0.
2
y∈B
x∈B

y∼x

Proposisi 2. Misalkan u adalah supersolution pada B. Maka terdapat structural constant
C˜ := C32 C1 > 1 sedemikian hingga jika x, y ∈ B\∂B, maka




 u (x) 
 u (x)

˜




 u (y) − 1 ≤ C ln u (y)  ,
dan



u (x)
ln
u (y)

2

≤ C˜ 2 Dxy uDxy

KNM XVI - 3-6 Juli 2012 – UNPAD, Jatinangor

 
1
.
u

796

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Lemma 1. Untuk setiap y ∈ G, r ∈ N, x ∈ B(y, r) dan setiap s dengan 1 ≤ s ≤ r,
 r δ
# (B (y, s)) .
# (B (x, r)) ≤ C12
s
Untuk x = y dan s = 1, dari Lemma 1 diperoleh
# (B (x, r)) ≤ C12 rδ .
(12)
Lemma 2. Terdapat structural constant C4 := 4C˜ 6 C34 > 1 sedemikian hingga jika η ≥
0, η = 0 pada ∂B dan u > 0 adalah weak supersolution pada B, maka
X  u (x) 2
X
ln
η (x)2 ≤ C4
(Dxy η)2 .
u
(y)
x,y∈B
x,y∈B
y∼x

y∼x

Lemma 3. (Fabes Lemma [1]). Misalkan w adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan


pada B := (x0 , n) dan 0 < ε ≤ 1. Terdapat konstanta C5 := 2 1 + ε12 C2 > 1
sedemikian hingga jika
# (E) := # ({x ∈ B | w(x) = 0}) ≥ ε#(B),

(13)

maka
X

w(x)2 ≤ C5 n2

x∈B

X

(Dxy w)2 .

x,y∈B
y∼x

Teorema 2. (Energy estimate for ln u). Terdapat structural constants C > 0 sedemikian
hingga jika u > 0 adalah supersolution pada 4B 0 , B 0 := B(x0 , n), maka
X  u(x) 2


1
ln
(14)
η(x)2 ≤ C 2 # B 0 .
u(y)
n
x,y∈B
y∼x

Akibatnya,


ln u ∈ BM O B 0 .

(15)

Proof. Didefinisikan η pada 4B 0 sebagai:

2B 0 ,

η ≡ 1 pada
η ≡ 0 pada



∂ 4B 0 ,

1
, ∀x, y ∈ 4B 0 , x ∼ y.
n2
Menggunakan cut-off function η pada Lemma 2, diperoleh
X X  u (x) 2
X X  u (x) 2
ln
ln
≤
η(x)2
u
(y)
u
(y)
0
0
0
0
(Dxy η)2 ≤

x∈2B

y∈2B
y∼x

x∈4B

≤ C4

y∈4B
y∼x

X

x∈4B 0

≤ C4 C1

X

(Dxy η)2

y∈4B 0
y∼x

X 1
n2
0

x∈4B

≤ C4 C13

ISBN : 978-602-19590-2-2



1
# B0 .
2
n

797

Ketaksamaan Harnack dalam …

Febrilia B.R.A., Indratno S.W.

Hasil di atas dan ketaksamaan Poincar´e mengakibatkan
X X  u (x) 2
X


2
2
ln
|ln u (x) − (ln u)B 0 | ≤ C2 n
≤ C4 C13 C2 # B 0 . (16)
u (y)
0
0
0
x∈2B

x∈B

y∈2B
y∼x

Dari (16) dan ketaksamaan H¨older diperoleh
1/2

X
X




1/2

|ln u (x) − (ln u)B 0 |2  ≤ C4 C13 C2 # B 0 .
|ln u (x) − (ln u)B 0 | ≤ # B 0
x∈B 0

x∈B 0

Ini melengkapi bukti dari Teorema 2.
Teorema 3. (Critical density for all ε ∈ (0, 1)). Diberikan ε ∈ (0, 1), terdapat konstanta
γ ∈ (0, 1) hanya bergantung pada C1 , C2 , C3 dan ε sedemikian hingga jika u > 0 adalah
supersolution pada 8B 0 , B 0 := B(x0 , n), maka




# {x ∈ 2B 0 | u(x) ≥ 1} ≥ ε# 2B 0
(17)
mengakibatkan

min u ≥ γ.

(18)

B0

Proof. Asumsikan bahwa u > 0 adalah supersolution pada 8B 0 dan




# (E) := # {x ∈ 2B 0 |u(x) ≥ 1} ≥ ε# 2B 0 .

Didefinisikan w(x) := max{− ln u(x), 0}, yang menghasilkan




# (E) := # {x ∈ 2B 0 |w(x) = 0} ≥ ε# 2B 0 .

(19)

Definisikan η pada 8B 0 sebagai:

pada 4B 0 ,

η≡1



pada ∂ 8B 0 ,

η≡0
(Dxy η)2 ≤

1
(8n)

δ+2

,

∀x, y ∈ 8B 0 , x ∼ y.

Dengan menggunakan (19), Lemma 3, Lemma 2 dan (12) diperoleh

2
X
X
X
max w
(Dxy w)2
w(x)2 ≤ C5 n2
w(x)2 ≤
≤
B0

x∈2B 0

x∈B 0

≤ C 5 n2

X 

ln

x,y∈4B 0
x∼y

≤ C 5 C 4 n2

X

u (x)
u (y)

x,y∈4B 0
x∼y

2

≤ C 5 n2

≤ C5 C4 C1

1
(8n)δ

ln

x,y∈8B 0
x∼y

(Dxy η)2 ≤ C5 C4 n2

x,y∈8B 0
y∼x

X 
X

x,y∈8B 0
y∼x

u (x)
u (y)

2

η(x)2

1
(8n)δ+2

#(8B 0 ) ≤ C5 C4 C1 C12 =: C02 ,

KNM XVI - 3-6 Juli 2012 – UNPAD, Jatinangor

798

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

yang dalam hal u menjadi
min u ≥ e−C0 =: γ.
B0

Misalkan B ⊂ G dan KG (B) adalah kelas dari solusi Lu (x) = 0, yaitu
KG (B) := {u | u > 0, Lu (x) = 0, x ∈ B\∂B, B ⊂ dom(u)}.
Perhatikan bahwa, Lu = 0 mengakibatkan Lu ≥ 0 dan Lu < 0, sehingga KG memenuhi
Teorema 2 dan Terorema 3. Untuk u ∈ KG (B) dan u ≤ λ pada B, maka λ − u ∈ KG (B).
Teorema 4. Harnack. Terdapat structural constant C > 1 yang hanya bergantung pada
geometric constants C1 , C2 dan C3 yang bersesuaian dengan graf sedemikian hingga jika
u > 0 adalah solusi pada 8B, yaitu Lu = 0 pada 8B\∂(8B), maka
max u ≤ C min u.
B

B

(20)

Proof. Teorema Harnack merupakan akibat dari Teorema
1, Teorema 2 dan Teorema
3. Dari




Teorema 2, diperoleh bahwa ln u ∈ BM O B 0 . Karena ln u ∈ BM O B 0 , akibatnya
u memenuhi Doubling Property [2]. Dan dari Teorema 3 diperoleh bahwa u memenuhi
critical density property. Teorema 2 dan Teorema 3 memenuhi semua asumsi pada Teorema
1, akibatnya u memenuhi Ketaksamaan Harnack.

Daftar Pustaka
[1]G. Di Fazio, C. Guti e´ rrez, and E. Lanconelli, Covering theorems, inequalities on
metric spaces and aplications to PDE’s, Math. Ann. 341, (2008), 255-291.
[2]J. Moser, On Harnacks theorem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl.
Math. 14 (1961), 577591.
[3]S. W. Indratno, D. Maldonado and S. Silwal, On the axiomatic approach to Harnack’s inequality in doubling quasi-metric spaces, To appear in Revista Matematica
Iberoamericana.
[4]T. Delmotte, In´
egalit´
e de Harnack elliptique sur les graphes, Colloq. Math. 72,
(1997), no.1, 19-37.

ISBN : 978-602-19590-2-2

799

Febrilia B.R.A., Indratno S.W.

KNM XVI - 3-6 Juli 2012 – UNPAD, Jatinangor

Ketaksamaan Harnack dalam …

800